3.1 中值定理
3.2 洛必达法则
3.3 函数的单调性与极值
3.4 函数图形的描绘
3.6 导数在经济中的应用
结束
第 3章 中值定理、导数应用
前页 结束后页
定理 1 设函数 满足下列条件)(xf
)()( bfaf ?(3)
(1) 在闭区间 上连续；],[ ba
(2) 在开区间 内可导 ;),( ba
则在内至少存在一点,? ?
3.1.1 罗尔定理
a b
使得 0)( ?? ?f
前页 结束后页
?
几何解释如图
A B
a b
在直角坐标系 Oxy中
曲线
两端点的连线 平行
于 轴,其斜率为零x
()y f x?
AB
故在曲线弧上定有一点
使曲线在该点的切线平
行于弦,即平行
于 轴。
AB
(,( ))Mf??
x
0()f ?? ?
O x
y
即
前页 结束后页
则在区间 内至少存在
),( ba
(1) 在闭区间 上连续；],[ ba
(2) 在开区间 内可导；),( ba
定理 2 设函数 满足下列条件)(xf
)(xfy ?
M
A
B
ba ?
T
( ) ( )() f b f af
ba?
?? ?
?
一点,? 使得
3.1.2 拉格朗日中值定理
前页 结束后页
曲线 处处有不垂直
于 轴的切线
如图 在直角坐标系 Oxy
()y f x?
x
端点连线 AB的斜率为
( ) ( )f b f a
ba
?
?
所以定理实际是说存在
点,使曲线在该点的
切线 T平行于弦 AB。
?
()y f x?M
A
B
ba ?
T
o x
y
( ) ( )() f b f af
ba?
?? ?
?
即
前页 结束后页
2.在开区间 内可导，),( ba
1.在闭区间 上连续；],[ ba
定理 3 Cauchy中值定理
则在区间 内定有点),( ba ?
)()(
)()(
)(
)(
agbg
afbf
g
f
?
??
?
?
?
?使得
3.1.3 柯西中值定理
设函数 与 满足如下条件：()fx )(xg
前页 结束后页
Rolle定理是 Lagrange定理的特例,
在 Lagrange中值定理中如果
则 Lagrange中值定理变成 Rolle定理；
Cauchy定量是 Lagrange定理的推广
在 Cauchy中值定理中如果,
则 Cauchy化为 Lagrange中值定理。
)()( afbf ?
xxg ?)(
三个中值定理的关系
前页 结束后页
如果在某极限过程下,函数 f ( x)与 g(x)同时趋于零或
者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极
限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。
一般分为三种类型讨论：
)(
)(
xg
xf
3.2 洛必达法则
0
01,型不定式
?
?2,型不定式．
3．其它型不定式
前页 结束后页
定理 1 设函数与在的某空心邻域内有定义, 且
满足如下条件：
0
0
0)(lim)(lim)1( ?? ?? xgxf axax
且在该邻域内都存在和,xgxf )()()2( ??;0)( ?? xg
.)( )(lim)( )(lim xg xfxg xf
axax ?
??
??
则
） （ ???
? )(
)(lim)3(
xg
xf
ax
存在 或为
1,型未定式．
前页 结束后页
（ 为任意实数）例 1 求
x
x
x
1)1(l i m
0
??
?
?
?
?
??
?????
?
?? 1
)1(lim1)1(lim 1
20
xa
x
x
xx
解
例 2 求
20
)1ln(lim
x
x
x
?
?
x
x
x
x
xx 2
1
1
lim
)1l n (
lim
020
???
??
解
??
?
?
? )1(2
1lim
0 xxx
前页 结束后页
例 3 求
20
2l i m
x
ee xx
x
?? ?
?
解 12lim2lim2lim
0020
??????
?
?
?
?
?
?
xx
x
xx
x
xx
x
ee
x
ee
x
ee
此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。
0
0x ??
例 4 求
x
x
x 1
a r c ta n
2lim
?
???
?
解
22
2
2
1
a r c t a n
12li m li m li m 1
11 1x x x
x x
x
x
xx
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ?
??
前页 结束后页
2,型不定式．?
?
的某空心邻域内有定义，且满足如下条件
( 1 ) li m ( ) li m ( )x a x af x g x?? ? ? ?
( 2 ) ( )fx? 与 ()gx?
在该邻域内都存在，且
( ) 0gx? ?
()( 3 ) lim ( )
()xa
fx A
gx?
? ??
? 有 限 或
则 ( ) ( )
lim lim( ) ( )
x a x a
f x f x
g x g x??
??
?
定理 2 设函数 ()fx ()gx xa?与 在点
前页 结束后页
例 5 求
x
x
x 3t a n
t a nlim
2
??
解,
x
x
x
x
xx 3s e c3
s e clim
3t a n
t a nlim
2
2
22
?? ??
? xx
x 2
2
c o s
3c o slim
3
1
2
???
)s i n(c o s2
)s i n3(3c o s2lim
3
1
2 xx
xx
x ?
??
? ?
32s i n 6s i nlim
2
??
? x
x
x ?
定理 2的结论对于 时的 型未定式??x
?
?
前页 结束后页
例 6 求
nx x
xlnlim
???
解 01lim
1
lim
ln
lim
1
???
?????????? nxnxnx nxnx
x
x
x
能满足定理中 )(xf )(xg与 应满足的条件，
)(
)(lim
)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
xg
xf
axaxax ??
???
?
??
???
)(xf ? )(xg?与还是 型未定式，且)( )(lim xg xfax ???
0
0如果
前页 结束后页
如果反复使用洛必达法则也无法确定
则洛必达法则失效,
此时需用别的办法判断未定式 )( )(xg xf
)(
)(
xg
xf 或能断定
)(
)(
xg
xf
?
?的极限,无极限，
前页 结束后页
例 7 求
x
x
x
x s i n
1s i n
lim
2
0?
解 这个问题是属于
0
0 型未定式，
2
00
11
sin sin
l im l im 0
1sin sinxx
x
xxx
xx
x
??
? ? ?
但分子分母分别
11
2 s in c o s
c o s
x
xx
x
?求导后得
此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。
但原极限是存在的，可用下法求得
前页 结束后页
3．其它型不定式
未定式除
0
0 和
?
? 型外，还有
?1
00
0?
??0
???
型,
型,
等五种类型。
型,
型,
型,
前页 结束后页
型或者 型
型：
?
????
?
1
0
0
0
10 ??
(?? 型 )
变为
xxx lnlim 30 ??
3
0 1
lnlim
x
x
x ??
?
4
0 3
1
lim
x
x
x
?
?
??
x
x
x 3
lim
4
0 ?
?
?? 3
lim
3
0
x
x
??
??
xxx lnl i m 30 ??例 8 求
解
0?
前页 结束后页
型,
通分相减变为 型
0
0
例 9 求 )ln 11(lim
1 xx
x
x ???
（ 型）???
解 )ln 11(lim 1 xx xx ??? xx xxxx ln)1( 1lnl i m 1 ? ??? ? (
0 )
0 型
x
x
x
x
x ln1
11lnl i m
1 ??
???
? x
x
x
x ln11
lnlim
1 ??
?
?
xx
x
x 11
1
lim
2
1
?
?
?
2?
( 0 )0 型
前页 结束后页
?1 00 0? 型未定式,
由于它们是来源于幂指函数 的极限? ? )()( xgxf
因此通常可用取对数的方法或利用 ? ? )()( xgxf )(ln)( xfxge?
0
0
?
?
即可化为 型未定式，再化为 型或 型求解。??0
例 10 求 x
x x?? 0lim
0( 0 )型
xxxx
x
x
x
xeex
lnlimln
00
0limlim ??
??
??
??
xxx lnlim0 ??
x
x
x 1
lnlim
0 ??
?
2
0 1
1
lim
x
x
x
?
?
?? 0)(lim
0 ??? ?? xx
1lim 00 ???? ex xx
解
所以
前页 结束后页
例 11 求 x
x x
s i n
0 )( c o tlim ??
,)( c o t s i n xxy ? xxy c o tlns i nln ?
??? yx lnlim0
x
x
x
s i n
1
cotln
l i m
0 ??
?
x
x
xx
x
c o s
s i n
1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
2
0
?
?
?
?
? 0
c o s
s i nl i m
20 ?? ?? x
x
x
??? yx 0lim
解 设
xxx c o tlns i nlim 0 ??
所以 ?
??
x
x x
s i n
0 )( c o tlim ??? yx e ln0lim
10 ?e
（ 型）0?
前页 结束后页
例 12 求 x
ex
x ln1
1
)(lnl i m ?
?
（ 型 ）?1
,)( l n ln1
1
xxy ?? )l n ( l n
ln1
1ln x
xy ??
x
xx
x
x
y
exexex 1
1
ln
1
lim
ln1
lnln
limlnlim
?
?
?
?
???
1)ln 1(l i m ????
? xex
所以 1ln1 1)(lnl i m ??
?
? ex x
ex
解
前页 结束后页
3.3 函数的单调性与极值
定理 1 设函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区
间 (a,b)内可导，则：
1.若在 (a,b)内,则 f (x)在区间 (a,b)内单调增加( ) 0fx? ?
2.若在 (a,b)内,则 f (x)在区间 (a,b)内单调减少。0)( ?? xf
a b a b
3.3.1 函数的单调性及判别法
前页 结束后页
例 2 确定函数 的单调区间,xxxf 3)( 3 ??
可导,且等号只在 x=0 成立, 0c o s1 ???? xy
解 因为所给函数在区间 上连续，在 内],[ ??? ),( ???
例 1 判定函数 在区间 上的单调性,xxy s i n?? ],[ ???
所以 函数 在区间 上单调增加,xxy s in?? ],[ ???
解 )1)(1(333)( 2 ?????? xxxxf
所以当
x = -1,x = 1
时
0)( ?? xf
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x)
前页 结束后页
解 函数的定义域 且在定义域内连续),( ????
例 3 确定函数 的单调区间。3 2xy ?
33
2
xy ??
其导数为
当 时 不存在，且不存在使 的点0?x y? 0??y
用 把定义域分成两个区间，见下表：0?x
x (-∞,0) (0,+∞ )
f′(x) - +
f (x) 单增 单减
前页 结束后页
反之，如果对此邻域内任一点,恒有
则称 为函数 的一个极小值，
称为极小值点。
)(xf
)( 0xxx ?
)( 0xf
0x
)()( 0xfxf ?
3.3.2 函数的极值
定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，若对此
邻域内每一点,恒有,则称
是函数 的一个极大值,称为函数 的一个极
大值点；
)(xf 0x
)( 0xxx ? )()( 0xfxf ? )( 0xf
0x)(xf )(xf
函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极
小值点统称为极值点。
前页 结束后页
a
b1x 3x 5x2x 4x
A B
C
D
E
极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整
个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯
一的。如下图中 A,B,C,D,E都是极值点。
从图中可看出,极小值
不一定小于极大值，如
图中 D点是极小值,A
点是极大值。
前页 结束后页
定理 3（极值第一判别法）：
设函数 在点 的某邻域内连续，且在此
邻域内（ 可除外）可导
)(xf 0x
0x
（ 1）如果当 时,而当 时，
则 在 取得极大值。0x
0)( ?? xf 0xx ?0xx? 0)( ?? xf
)(xf
0)( ?? xf 0)( ?? xf
??0x ??0x0x
（ ）
如图所示：
在,),( 00 xx ?? 0)( ?? xf
在,),( 00 ??xx 0)( ?? xf
在 取得极大值。)(xf 0x
前页 结束后页
（ 2）如果当 时,而当 时，
则 在 取得极小值。0x
0)( ?? xf0xx ?0xx ? 0)( ?? xf
)(xf
0)( ?? xf0)( ?? xf
??0x ??0x0x
（ ）
如图所示：
在,),( 00 xx ??
0)( ?? xf在,),( 00 ??xx
0)( ?? xf
在 取得极小值。)(xf 0x
（ 3）如果在 两侧
的符号不变，则 不是
的极值点，如图示
0x )(xf ?
0x
)(xf
0)( ?? xf
??0x ??0x0x
（ ）
0)( ?? xf
前页 结束后页
(4)利用定理 3,判断 (2)中的点是否为极值点,如果是
求极值点的步骤：
(1)求函数的定义域 (有时是给定的区间 );
(3)用 (2)中的点将定义域 (或区间 )分成若干个子区间,
进一步判定是极大值点还是极小值点,
(2)求出,求出使 的点及 不存在的点 ;)(xf? 0)( ?? xf )(xf?
讨论在每个区间 的符号 ;)(xf?
(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值,
前页 结束后页
例 4 求函数 的单调区间和极值, 32 )1()1()( ??? xxxf
解 函数的定义域为 ),( ????
223 )1()1(3)1)(1(2)( ??????? xxxxxf
)15()1)(1( 2 ???? xxx
0)( ?? xf,11 ??x,512 ?x 13 ?x令,得驻点
这三个点将定义域 分成四个部分区间，列表如下
极大值,
3125
3456
5
1 ??
?
??
?
?f 极小值 0)1( ?f
f ( x )
+0-0+0+f ′ ( x )
( 1,+ ∞ )1(,1 )( - 1,)- 1( - ∞,- 1)x ∞∞ 5151
5
1
前页 结束后页
)1)(1(333)( 2 ?????? xxxxf
xxf 6)( ???
令 得 11 ?x 12 ??x0)( ?? xf
由于 06)1( ??????f 06)1( ????f
定理 4(极值的第二判别法 ) 设函数 在点 处具有)(xf 0x
二阶导数，且, ；0)( 0 ?? xf 0)( 0 ??? xf
（ 1） 若,则 是函数 的极小值点；0)( 0 ?? xf 0x )(xf
（ 2）若,则 是函数 的极大值点；0)( 0 ?? xf
0x
)(xf
例 5 求函数 的极值, xxxf 3)( 3 ??
解 函数的定义域为 ),( ????
所以 为极大值,为极小值,2)1( ??f 2)1( ??f
前页 结束后页
3.3.3 函数的最大值与最小值
是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者
最小的就是函数在区间 上的最小值。
],[ ba连续函数在区间 上的最大值与最小值可通过比较
端点处的函数值 和 ;1.区间 ],[ ba ( ) ( )f a f b
2.区间 内使),( ba 0)( ?? xf
内使 不存在的点处的函数值。3.区间 ),( ba )(xf?
这些值中最大的就是函数在 上的最大值,],[ ba
],[ ba
上的最大值与最小值是全局性的概念,函数在区间 ],[ ba
如下几类点的函数值得到：
前页 结束后页
上的最大值和最小值。
在驻点处函数值分别为
在端点的函数值为
最大值为
最小值为
解 )1)(1(444)( 3 ?????? xxxxxxf
令 0)( ?? xf,得驻点 1
1 ??x 0,2 ?x 1,3 ?x
13)2()2( ??? ff
4)1()1( ??? ff
例 6 求函数 在区间 52)( 24 ??? xxxf [ 2,2]?
)(xf 4)1(,5)0(,4)1( ???? fff
3)2()2( ??? ff
比较上述 5个点的函数值，即可得 在区间 上的)(xf [ 2,2]?
前页 结束后页
M1
x
y
o1?
2?
M2
M1
x
y
o 1?
2?
M2
3.4.1 曲线的凹凸与拐点
定义 1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上
方，则称曲线在这个区间上是凹的。
如图所示
3.4 函数图形的描绘
前页 结束后页
如果曲线弧总是位于其切线的下方, 则称曲线在
这个区间上是凸的 。 如下图：
当曲线为凹时，曲线 的切线斜率
随着 的增加而增加，即 是增函数；反之，当
曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随
着 的增加而减少，即 是减函数。
)( xfy ? xxf ta n)( ??
x
)(xfy ?
)(xf?
( ) t a nf x x? ?
x )(xf?
M1
x
1? 2?
M2
y
o
M1
x
y
o
M2
前页 结束后页
定理 1 设函数 在区间
（ 1）如果 ∈ 时，恒有,则曲线
在 内为凹的；
（ 2）如果 ∈ 时，恒有,则曲线
在 内为凸的。
定义 2 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点 。
拐点既然是凹与凸的分界点, 所以在拐点的某邻域
内 必然异号, 因而在拐点处 或 不存在 。
)(xf
x
)(xf
x
)(xf
)(xf ?? )(xf ??
0)( ??? xf
),( ba
),( ba
0)( ??? xf
),( ba
),( ba
),( ba
0)( ??? xf
前页 结束后页
例 1 求曲线 的凹凸区间与拐点 。
解
令,得,
12 34 ??? xxy
23 64 xxy ??? 2,1 2 1 2 1 2 ( 1 )y x x x x?? ? ? ? ?
列表如下
?0?0?
0???y 1,0 21 ?? xx
)1,0( ),1( ??)0,(?? 10
)1,0()0,1(
()fx??
()fx
有拐点 有拐点
x
前页 结束后页
可见,曲线在区间 内为凹的，在区
间 内为凸的，曲线的拐点是 和,
),1(,)0,( ????
)1,0()1,0( )0,1(
如果函数 在 的某邻域内连续，当在点 的二
阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存在
且在 的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两
侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点,
)(xf 0x 0x
0x ))(,( 00 xfx
))(,( 00 xfx
0x
综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：
（ 1）求一阶及二阶导数,
（ 2）求出 及 不存在的点；
)(xf? )(xf ??
)(xf? )(xf ??
前页 结束后页
（ 3） 以 （ 2） 中找出的全部点, 把函数的定义域分成
若干部分区间, 列表考察 在各区间的符号, 从而
可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点 。
)(xf ??
例 2 求曲线 的凹凸区间与拐点 。2xey ??
解 函数的定义域为
当 时,, 故以 将定
义域分成三个区间，列表如下：
0???y
2
1??x
22 xxey ???? 2 2,2 ( 2 1 )xy e x??? ??
2
1??x
2
1??x
),( ????
前页 结束后页
x 1(,)
2?? ?
1
2?
11(,)
22?
1
2
1(,)
2 ??
)( xf ??
)(xf
+ 0 － 0 +
有
拐
点
有
拐
点
在 处，曲线上对应的点 与
为拐点。
2
1??x )1,
2
1(
e?
)1,21( e
前页 结束后页
3.4.2
有些函数的定义域或值域是无穷区间, 此时函数的图
形向无限远处延伸, 如双曲线, 抛物线等 。 有些向无穷远
延伸的曲线, 越来越接近某一直线的趋势, 这种直线就是
曲线的渐近线 。
定义 3 如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时, 该
点与某直线的距离趋于零, 则称此直线为曲线的渐近线 。
1．
如果曲线 的定义域是无穷区间，且有
或,则直线 为曲线 的渐近线，称
)( xfy ? bxf
x ???? )(lim
by ?bxf
x ???? )(lim
)( xfy ?
为水平渐近线,如下图
前页 结束后页
x
y
o x
y
o
例 3 求曲线 的水平渐近线 。
1
1
?? xy
解 因为
所以 是曲线的一
条水平渐近线，如图示
011lim ??
?? xx
0?y
前页 结束后页
2、
如果曲线 满足
或
)( xfy ? ??
? )(lim xfcx
???? )(lim xfcx ??
?? )(lim xfcx
则称直线 为曲线 的铅
直渐近线（或垂直渐近线），如图
cx ? )( xfy ?
例４ 求曲线 的铅直渐近线 。
1
1
?? xy
解
所以 是曲线的一条铅直渐近线。
???
? 1
1l i m
1 xx
1?x
如前页图所示
前页 结束后页
3.4.3
函数的图形有助于直观了解函数的性质, 所以研究函
数图形的描绘方法很有必要, 现在综合上面对函数性态的
研究,
（ 1）
（ 2） 确定函数的奇偶性 （ 曲线的对称性 ） 和周期性；
（ 3） 确定函数的单调区间和极值 ;
（ 4
（ 5
（ 6）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。
（ 7）用平滑的曲线连接各点。
前页 结束后页
例 5 作函数 的图形。
2
)1(4
2 ?
??
x
xy
解 （ 1） 定义域为, (,0)?? (0,)??
（ 2） 求函数的增减区间, 极值, 凹凸区间及拐点；
因为,
3
)2(4
x
xy ???
4
)3(8
x
xy ????
令 得 ；
令 得 列表如下,
0??y 2??x
0???y 3??x
x (,3)?? ? ( 3,2)?? ( 2,0)?－ 3 － 2 0
－ － 0 + －
－ 0 + + +
),0( ??
y?
y?
y
前页 结束后页
（ 3）渐近线：因为
所以 为水平渐近线；
22)1(4lim 2 ???
?
??
?
? ??
??? x
x
x
2x??
又因为,
所以 为铅直渐近线。
???
?
??
?
? ??
?
2)1(4lim 2
0 x
x
x
0?x
（ 4） 描出几个点：
12(,),A ?? 16(,),B
21(,),C 23
9(,),D
x
y
o
如图所示
作出函数图形
前页 结束后页
例 6 在经济学中，会经常遇到函数
试作出函数的图形。
2
2
2
1)( xex ???
?
解 （ 1）定义域：（－ ∞, +∞ ）；
（ 2）奇偶性：由于,故 为偶函数，
其图形关于 轴对称；
)()( xx ???? )(x?
（ 3）增减、极值、凹凸及拐点：
y
因为 2 2
2
)(
x
exx
?
??? ? 2
2
2
)1)(1()( xexxx ????? ??
?
令,得 ；
令,得,,
0)( ??? x 0?x
0)( ?? ?? x 11 ??x 12 ?x
前页 结束后页
（ 4）渐近线
0
2
1lim)(lim 2
2
???
?
??????
x
xx
ex
?
所以 是水平渐近线 。0?y
先作出函数在 内的图形，然后利用对称性作
出区间 内
的图形，如图
(0,)??
(,0)??
o
前页 结束后页
?2
1
y?
x
y?
y
0 (0,1) 1 （ 1,+∞）
0 － －
0 +
极大值
)21( 1,e?拐点
列表讨论如下
其中, ；4.0
2
1 ?
? 24.02
1 ?
e?
前页 结束后页
3.5 导数在经济中的应用
3.5.1 函数的变化率 ——边际函数
定义 1 设函数 在点 处可导，)( xfy ? x
边际函数值。其含义为,当 时,x改变一个单位，相
0xx ?
)(xf 在点 0x 处的导数 )( 0xf? 称为 )(xf 在点 0x 处的
相应地 y 约改变 个单位．)( 0xf ?
为 的边际函数。)(xf ? )(xf称导函数
当 时,)( 0xfy ???1??x
实际上,xxfdyy ?????? )(
0
解,所以,xy 4?? 20
5 ?? ?xy
22 xy ? 在 5?x 时的边际函数值。,试求例 1 设函数
前页 结束后页
设 C为总成本，
下面介绍几个常见的边际函数,
1．边际成本
1C
为固定成本，
则有
为可变成本，
2C
为平均成本，C 为边际成本，C? 为产量，Q
总成本函数 12( ) ( )C C Q C C Q? ? ?
平均成本函数 12 ()() C C QC C Q
QQ? ? ?
边际成本函数 ()C C Q???
2
( ) 1 0 0 4QC C Q? ? ?例 2 已知某商品的成本函数为,求当
时的总成本，平均成本及边际成本。10Q ?
解 由 2100
4
QC ?? 100
4
QC
Q?? 2
QC??
前页 结束后页
令 得
边际成本
于是当 时10Q ?
总成本 125)10( ?C
平均成本
5.12)10( ?C
5)10( ??C
2
100
Q??
Q 为多少时，平均成本最小?例 3 在例 1中，当产量
解 ?C
4
1?
3
200C
Q?
0?C 2 400Q ? 20Q ?
0)20( ??C
所以,当 Q = 20时平均成本最小。
前页 结束后页
2．收益
平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到
的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化
率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。
设 P为商品价格,Q 为商品量,R 为总收益,为平
均收益,为边际收益，则有
R
需求函数
总收益函数
平均收益函数
边际收益函数
()R R Q?
()QPP?
()R R Q?
()R R Q???
R?
前页 结束后页
需求与收益有如下关系,
总收益
平均收益
边际收益
( ) ( )R R Q Q P Q??
( ) ( )( ) ( )R Q Q P QR R Q P Q
QQ? ? ? ?
()R R Q???
()() RQR R Q
Q??
总收益与平均收益及边际收益的关系为
前页 结束后页
求销售量为 30时的总收益，平均收益与边际收益。
10 5QP ??
2
( ) ( ) 1 0 1 2 05QR Q Q P Q Q? ? ? ?
( ) ( ) 1 0,5QR Q P Q? ? ?
例 4 设某产品的价格和销售量的关系为
解 总收益
平均收益
4)30( ?R
边际收益 2( ) 1 0,
5R Q Q
? ??
2)30( ???R
前页 结束后页
Q
3
在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量
的函数，分别记为 和,则总利润 可表()RQ ()CQ ()LQ
示为
( ) ( ) ( )L L Q R Q C Q? ? ?
( ) ( ) ( )L Q R Q C Q? ? ???
最大利润原则,
取得最大值的必要条件为()LQ ( ) 0LQ? ?
( ) ( )R Q C Q???即
所以取得最大利润的必要条件是,边际收益等于边际成本
前页 结束后页
10 5QP ??
例 5 已知某产品的需求函数为 成本函数为
5 0 2CQ?? 问产量为多少时总利润 L 最大?
解 已知,
10 5QP ?? 5 0 2CQ??
于是有 2( ) 1 0
5
QR Q Q??
2
( ) ( ) ( ) 8 5 0
5
QL Q R Q C Q Q? ? ? ? ?
2( ) 8,
5L Q Q
? ?? 2()
5
LQ?? ??
令 得( ) 0LQ? ?
20Q ? 0)20( ???L
所以当 Q=20时总利润最大
前页 结束后页
例 6 某工厂生产某种产品，固定成本 20000元，每生产
一单位产品，成本增加 100元。已知收益
Q
L
( ) 2 0 0 0 1 0 0QQ??C = C解 根据题意，总成本函数为
是年产量
的函数
21400
() 2
80000
QQ
R R Q
? ?
?
?? ?
??
0 4 0 0Q??
400Q ?
问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少?
从而可得总利润函数为 ( ) ( ) ( )L L Q R Q C Q? ? ?
213 0 0 2 0 0 0 0 0 4 0 0
2
6 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0
Q Q Q
QQ
? ? ? ? ?
??
?
? ???
R
前页 结束后页
( ) ( ) ( )L Q R Q C Q? ? ??? 3 0 0 0 4 0 0
1 0 0 4 0 0
QQ
Q
? ? ???
? ???
令 得0() ??L 300Q ?
由于,故 时利润最大01)3 0 0( ?????L 300Q ?
此时
250002000090000
2
190000)300( ?????L
即当生产量为 300个单位时,总利润最大,其最大
利润为 25000元,
前页 结束后页
设某企业某种产品的生产量为 个单位,代表总成
本,代表边际成本,每单位产品的平均成本为
在生产实践中,经常遇到这样的问题,即在既定的生产规
模条件下,如何合理安排生产能使成本最低,利润最大?
Q
4
()CQ
()CQ? ()CQC Q?
于是 ( ) ( ) ( )C Q C Q Q C Q????
由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量
应满足,于是得到一个经济学中的重要结论,
0Q
0( ) 0CQ? ?
使平均成本为最小的生产水平（生产量 ），正是使
边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。
0Q
前页 结束后页
2( ) 5 4 1 8 6C Q Q Q? ? ?例 7 设某产品的成本函数为
试求使平均成本最小的产量水平。
解 平均成本 ( ) 5 4( ) 1 8 6CQC Q Q
QQ? ? ? ?
( ) 6,254CQ Q? ? ? ? 3108()CQ
Q
?? ?
令 解得( ) 0CQ? ? 3Q ?,由于
27
1 0 8)3( ???C
所以 是平均成本 的最小值点也就是
平均成本最小的产量水平
3Q ? ()CQ
此时 )3(54)3( CC ???
即 时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小, 3Q ?
前页 结束后页
5．库存管理问题
在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与
保管费用是成反比的。
订购批量大,次数少,费用就小,保管费用就相应增加；
订购批量小,次数多,费用就大,保管费用就相对较少。
因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。
下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某种
物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复
到最高库存,每天保证等量供应生产需要，使之不发生
缺货。
Qmax
前页 结束后页
Q RQ
1CRQ
假设某企业某种物资的年需用量为 R,单价为 P,平均一次
因此 订货费用为
2）保管费用 在进货周期内都是初始最大，最终为零，
订货费用为 C1, 年保管费用率（即保管费用与库存商品价
值之比）为 Ｃ ２,订货批量为,进货周期（两次进货
间隔 )Ｔ,进货周期 Ｔ,则年总费用由两部分组成：
１ )订货费用 每次订货费用为Ｃ 1，年订货次数为
所以全年每天平均库存量为,故保管费用为
2
Q 21
2 QPC
于是总费用
1
2
1
2
CRC Q P C
Q??
故可用求最值法求得最优订购批量, 最优订购次数
*
R
Q
以及最优进货周期 Ｔ,此时总费用最小。
*Q
前页 结束后页
解 设最优订购批量为 则订购次数为Q
例 8 某种物资一年需用量为 24000件，每件价格为 40元，
年保管费率 12%,为，每次订购费用为 64元，试求最优订购
批量 最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产
品的销售是均匀的）
24000
Q
于是订货费用为 2400064
Q?
，保管费用为 1 4 0 0,1 2
2 Q ??
从而总费用 2 4 0 0 0 1( ) 6 4 4 0 0,1 2
2C C Q QQ? ? ? ? ? ?
2
6 4 2 4 0 0 0( ) 2 0 0, 1 2CQ
Q
?? ? ? ? ?
3
2 6 4 2 4 0 0 0()CQ
Q
???? ?
前页 结束后页
0)800( ???C又因为
于是当 800Q ?
最优订货批量 (件 /批 ) * 800Q ?
最优订货批次 (批 /年 ) 30
800
24000 ?
最优进货周期 (天 )(全年按 360天计 ) 12
30
360 ?
最小进货总费用 (元 ) 3 8 4 0)8 0 0(m i n ?? CC
令 得 (件 /批 ) ( ) 0CQ? ? 6 4 2 4 0 0 0 800
2 0 0, 1 2Q
???
?
前页 结束后页
3.5.2 函数的相对变化率 — 函数的弹性
1、弹性
定义 2 设函数 )( xfy ? 在点 0x
)(
)()(
0
00
0 xf
xfxxf
y
y ?????
与自变量的相对改变量
0x
x? 之比
0
0
xx
yy
?
? 称为函数从 0xx ?
到 xxx ??? 0
当 时,的极限称为 )(xf 在
导数，也就是相对变化率，或称弹性。
两点间的相对变化率，
0??x
0
0
xx
yy
?
?
0xx ?
或称两点间的弹性
处的相对
记作
0
0 )(;
0
Ex
xEf
Ex
Ey
xx ?
处可导,函数的相对改变量
前页 结束后页
是 的函数
,若 可导
0
0
0lim
0 xx
yy
Ex
Ey
xxx ?
??
???
0
0
0
lim yxxy
x ?
??
?? )()( 0
0
0 xf
xxf ??
0x
0xx
Ex
Ey
?
对一般的 x )(xf
xx
yy
Ex
Ey
x ?
??
?? 0
l i m
y
x
x
y
?
??
?? 0
lim
y
xy?? x
)(xf
函数 在点 的弹性 反映了随着 的变化)(xf )( xf
Ex
Ex
变化幅度的大小,也就是 随 变化反映的强烈
列程度或灵敏度,
)( 0xfExE 表示在,当 产生 1%的变化时,近似的
称为
当 为定值时
则有
改变 %)( 0xfExE
0xx ?
x
x )(xf
x
)(xf )(xf
前页 结束后页
( 为常数）的弹性函数。
例 9 求函数 在 处的弹性, xy 23 ?? 3?x
2??y解
,23 2 xxyxyExEy ????
3
2
323
32
3
??? ??
?xEx
Ey
例 10 求幂函数 ??xy ?
解,1??? ?? xy
axxxExEy ?? ? ??? 1
可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点
处弹性不变，所以称为不变弹性函数
前页 结束后页
为商品在价格为Ｐ时的需求价格弹性．记为 即
2．需求弹性与供给弹性
(1)需求弹性
“需求, 是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有
能力购买的商品量。通常需求是价格的函数,P 表示商品
的价格,Q 表示需求量,称为需求函数。()Q f P?
?
定义 3 设某商品的需求函数在 P处可导,称 ()EQ PfP
EP Q?? ? ?
()EQ PfP
EP Q
? ?? ? ? ?
前页 结束后页
解 需求函数为
例 11 已知某商品的需求函数 求,10PeQ ??
,101)( 10
P
ePfQ ??????
5,1 0,1 5P P P? ? ?
时的需求弹性并说明其意义
1010
1
)(
10
10 P
e
P
ePf P
P
?????
?
?
,5.0)5( ?? 说明 P=5时，价格上涨 1%，需求量减少 0.5％
,1)10( ?? 说明 P=10时，价格与需求的变动幅度相同
,5.1)15( ?? 说明 P=15时，价格上涨 1%，需求量减少 1.5％
前页 结束后页
)( PQ ??
（ 2）供给弹性
“供给, 是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有
可供出售的商品量。通常供给是价格的函数，
P表示商品的价格,Q表示供给量,称为供给函数
我们用 D表示需求曲线，用 表示供给曲线，如图示．
定义 4 设某商品的供给函数
在Ｐ处可导，称()QP??
()EQ PPEP Q? ?? 为商品在价格
)(P?
即 ( ) ( )EQ PPP
EP Q??
???
为Ｐ时的供给弹性，记
)( PQ ??
)( PfQ ?
E
S
D
前页 结束后页
当 时，需求量 大于供给量,供不应求，
会形成抢购黑市等，将导致价格上涨，Ｐ增加；
（ 3）均衡价格
均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格。在图
中是在需求曲线 Ｄ 与供给曲线 Ｓ 的交点Ｅ处的处的横坐
标 Ｐ ＝ Ｐ ０,此时需求量与供给量均为,称均衡商品量
0PP ?
当 时，需求量 小于供给量,供大于求；
商品滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，
P减小 。
0PP ?
总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动
0Q
DQ SQ
DQ SQ
前页 结束后页
而将 的商品称为富有弹性商品．
由于,而边际收益
当 时，,Ｒ取得最大值．
()R P Q P f P??
3.边际收益与需求弹性的关系
))(1)(()()(1)()()( PPfPf PPfPfPfPPfR ?????
?
?
???
? ???????
由此可知，当 时，,Ｒ递增，即价格
上涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少．
1)( ?P?
1)( ?P?
当 时，,Ｒ递增，即价格上涨会使总
收益减少；价格下跌会使总收益增加．
1)( ?P?
在经济学中，将 的商品称为缺乏弹性商品，
将 的商品称为单位弹性商品，
0??R
0??R
0??R
1)( ?P?
1)( ?P?
1)( ?P?
3.2 洛必达法则
3.3 函数的单调性与极值
3.4 函数图形的描绘
3.6 导数在经济中的应用
结束
第 3章 中值定理、导数应用
前页 结束后页
定理 1 设函数 满足下列条件)(xf
)()( bfaf ?(3)
(1) 在闭区间 上连续；],[ ba
(2) 在开区间 内可导 ;),( ba
则在内至少存在一点,? ?
3.1.1 罗尔定理
a b
使得 0)( ?? ?f
前页 结束后页
?
几何解释如图
A B
a b
在直角坐标系 Oxy中
曲线
两端点的连线 平行
于 轴,其斜率为零x
()y f x?
AB
故在曲线弧上定有一点
使曲线在该点的切线平
行于弦,即平行
于 轴。
AB
(,( ))Mf??
x
0()f ?? ?
O x
y
即
前页 结束后页
则在区间 内至少存在
),( ba
(1) 在闭区间 上连续；],[ ba
(2) 在开区间 内可导；),( ba
定理 2 设函数 满足下列条件)(xf
)(xfy ?
M
A
B
ba ?
T
( ) ( )() f b f af
ba?
?? ?
?
一点,? 使得
3.1.2 拉格朗日中值定理
前页 结束后页
曲线 处处有不垂直
于 轴的切线
如图 在直角坐标系 Oxy
()y f x?
x
端点连线 AB的斜率为
( ) ( )f b f a
ba
?
?
所以定理实际是说存在
点,使曲线在该点的
切线 T平行于弦 AB。
?
()y f x?M
A
B
ba ?
T
o x
y
( ) ( )() f b f af
ba?
?? ?
?
即
前页 结束后页
2.在开区间 内可导，),( ba
1.在闭区间 上连续；],[ ba
定理 3 Cauchy中值定理
则在区间 内定有点),( ba ?
)()(
)()(
)(
)(
agbg
afbf
g
f
?
??
?
?
?
?使得
3.1.3 柯西中值定理
设函数 与 满足如下条件：()fx )(xg
前页 结束后页
Rolle定理是 Lagrange定理的特例,
在 Lagrange中值定理中如果
则 Lagrange中值定理变成 Rolle定理；
Cauchy定量是 Lagrange定理的推广
在 Cauchy中值定理中如果,
则 Cauchy化为 Lagrange中值定理。
)()( afbf ?
xxg ?)(
三个中值定理的关系
前页 结束后页
如果在某极限过程下,函数 f ( x)与 g(x)同时趋于零或
者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极
限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。
一般分为三种类型讨论：
)(
)(
xg
xf
3.2 洛必达法则
0
01,型不定式
?
?2,型不定式．
3．其它型不定式
前页 结束后页
定理 1 设函数与在的某空心邻域内有定义, 且
满足如下条件：
0
0
0)(lim)(lim)1( ?? ?? xgxf axax
且在该邻域内都存在和,xgxf )()()2( ??;0)( ?? xg
.)( )(lim)( )(lim xg xfxg xf
axax ?
??
??
则
） （ ???
? )(
)(lim)3(
xg
xf
ax
存在 或为
1,型未定式．
前页 结束后页
（ 为任意实数）例 1 求
x
x
x
1)1(l i m
0
??
?
?
?
?
??
?????
?
?? 1
)1(lim1)1(lim 1
20
xa
x
x
xx
解
例 2 求
20
)1ln(lim
x
x
x
?
?
x
x
x
x
xx 2
1
1
lim
)1l n (
lim
020
???
??
解
??
?
?
? )1(2
1lim
0 xxx
前页 结束后页
例 3 求
20
2l i m
x
ee xx
x
?? ?
?
解 12lim2lim2lim
0020
??????
?
?
?
?
?
?
xx
x
xx
x
xx
x
ee
x
ee
x
ee
此定理的结论对于 时 型未定式同样适用。
0
0x ??
例 4 求
x
x
x 1
a r c ta n
2lim
?
???
?
解
22
2
2
1
a r c t a n
12li m li m li m 1
11 1x x x
x x
x
x
xx
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ?
??
前页 结束后页
2,型不定式．?
?
的某空心邻域内有定义，且满足如下条件
( 1 ) li m ( ) li m ( )x a x af x g x?? ? ? ?
( 2 ) ( )fx? 与 ()gx?
在该邻域内都存在，且
( ) 0gx? ?
()( 3 ) lim ( )
()xa
fx A
gx?
? ??
? 有 限 或
则 ( ) ( )
lim lim( ) ( )
x a x a
f x f x
g x g x??
??
?
定理 2 设函数 ()fx ()gx xa?与 在点
前页 结束后页
例 5 求
x
x
x 3t a n
t a nlim
2
??
解,
x
x
x
x
xx 3s e c3
s e clim
3t a n
t a nlim
2
2
22
?? ??
? xx
x 2
2
c o s
3c o slim
3
1
2
???
)s i n(c o s2
)s i n3(3c o s2lim
3
1
2 xx
xx
x ?
??
? ?
32s i n 6s i nlim
2
??
? x
x
x ?
定理 2的结论对于 时的 型未定式??x
?
?
前页 结束后页
例 6 求
nx x
xlnlim
???
解 01lim
1
lim
ln
lim
1
???
?????????? nxnxnx nxnx
x
x
x
能满足定理中 )(xf )(xg与 应满足的条件，
)(
)(lim
)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
xg
xf
axaxax ??
???
?
??
???
)(xf ? )(xg?与还是 型未定式，且)( )(lim xg xfax ???
0
0如果
前页 结束后页
如果反复使用洛必达法则也无法确定
则洛必达法则失效,
此时需用别的办法判断未定式 )( )(xg xf
)(
)(
xg
xf 或能断定
)(
)(
xg
xf
?
?的极限,无极限，
前页 结束后页
例 7 求
x
x
x
x s i n
1s i n
lim
2
0?
解 这个问题是属于
0
0 型未定式，
2
00
11
sin sin
l im l im 0
1sin sinxx
x
xxx
xx
x
??
? ? ?
但分子分母分别
11
2 s in c o s
c o s
x
xx
x
?求导后得
此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。
但原极限是存在的，可用下法求得
前页 结束后页
3．其它型不定式
未定式除
0
0 和
?
? 型外，还有
?1
00
0?
??0
???
型,
型,
等五种类型。
型,
型,
型,
前页 结束后页
型或者 型
型：
?
????
?
1
0
0
0
10 ??
(?? 型 )
变为
xxx lnlim 30 ??
3
0 1
lnlim
x
x
x ??
?
4
0 3
1
lim
x
x
x
?
?
??
x
x
x 3
lim
4
0 ?
?
?? 3
lim
3
0
x
x
??
??
xxx lnl i m 30 ??例 8 求
解
0?
前页 结束后页
型,
通分相减变为 型
0
0
例 9 求 )ln 11(lim
1 xx
x
x ???
（ 型）???
解 )ln 11(lim 1 xx xx ??? xx xxxx ln)1( 1lnl i m 1 ? ??? ? (
0 )
0 型
x
x
x
x
x ln1
11lnl i m
1 ??
???
? x
x
x
x ln11
lnlim
1 ??
?
?
xx
x
x 11
1
lim
2
1
?
?
?
2?
( 0 )0 型
前页 结束后页
?1 00 0? 型未定式,
由于它们是来源于幂指函数 的极限? ? )()( xgxf
因此通常可用取对数的方法或利用 ? ? )()( xgxf )(ln)( xfxge?
0
0
?
?
即可化为 型未定式，再化为 型或 型求解。??0
例 10 求 x
x x?? 0lim
0( 0 )型
xxxx
x
x
x
xeex
lnlimln
00
0limlim ??
??
??
??
xxx lnlim0 ??
x
x
x 1
lnlim
0 ??
?
2
0 1
1
lim
x
x
x
?
?
?? 0)(lim
0 ??? ?? xx
1lim 00 ???? ex xx
解
所以
前页 结束后页
例 11 求 x
x x
s i n
0 )( c o tlim ??
,)( c o t s i n xxy ? xxy c o tlns i nln ?
??? yx lnlim0
x
x
x
s i n
1
cotln
l i m
0 ??
?
x
x
xx
x
c o s
s i n
1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
2
0
?
?
?
?
? 0
c o s
s i nl i m
20 ?? ?? x
x
x
??? yx 0lim
解 设
xxx c o tlns i nlim 0 ??
所以 ?
??
x
x x
s i n
0 )( c o tlim ??? yx e ln0lim
10 ?e
（ 型）0?
前页 结束后页
例 12 求 x
ex
x ln1
1
)(lnl i m ?
?
（ 型 ）?1
,)( l n ln1
1
xxy ?? )l n ( l n
ln1
1ln x
xy ??
x
xx
x
x
y
exexex 1
1
ln
1
lim
ln1
lnln
limlnlim
?
?
?
?
???
1)ln 1(l i m ????
? xex
所以 1ln1 1)(lnl i m ??
?
? ex x
ex
解
前页 结束后页
3.3 函数的单调性与极值
定理 1 设函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续，在开区
间 (a,b)内可导，则：
1.若在 (a,b)内,则 f (x)在区间 (a,b)内单调增加( ) 0fx? ?
2.若在 (a,b)内,则 f (x)在区间 (a,b)内单调减少。0)( ?? xf
a b a b
3.3.1 函数的单调性及判别法
前页 结束后页
例 2 确定函数 的单调区间,xxxf 3)( 3 ??
可导,且等号只在 x=0 成立, 0c o s1 ???? xy
解 因为所给函数在区间 上连续，在 内],[ ??? ),( ???
例 1 判定函数 在区间 上的单调性,xxy s i n?? ],[ ???
所以 函数 在区间 上单调增加,xxy s in?? ],[ ???
解 )1)(1(333)( 2 ?????? xxxxf
所以当
x = -1,x = 1
时
0)( ?? xf
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x)
前页 结束后页
解 函数的定义域 且在定义域内连续),( ????
例 3 确定函数 的单调区间。3 2xy ?
33
2
xy ??
其导数为
当 时 不存在，且不存在使 的点0?x y? 0??y
用 把定义域分成两个区间，见下表：0?x
x (-∞,0) (0,+∞ )
f′(x) - +
f (x) 单增 单减
前页 结束后页
反之，如果对此邻域内任一点,恒有
则称 为函数 的一个极小值，
称为极小值点。
)(xf
)( 0xxx ?
)( 0xf
0x
)()( 0xfxf ?
3.3.2 函数的极值
定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，若对此
邻域内每一点,恒有,则称
是函数 的一个极大值,称为函数 的一个极
大值点；
)(xf 0x
)( 0xxx ? )()( 0xfxf ? )( 0xf
0x)(xf )(xf
函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极
小值点统称为极值点。
前页 结束后页
a
b1x 3x 5x2x 4x
A B
C
D
E
极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整
个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯
一的。如下图中 A,B,C,D,E都是极值点。
从图中可看出,极小值
不一定小于极大值，如
图中 D点是极小值,A
点是极大值。
前页 结束后页
定理 3（极值第一判别法）：
设函数 在点 的某邻域内连续，且在此
邻域内（ 可除外）可导
)(xf 0x
0x
（ 1）如果当 时,而当 时，
则 在 取得极大值。0x
0)( ?? xf 0xx ?0xx? 0)( ?? xf
)(xf
0)( ?? xf 0)( ?? xf
??0x ??0x0x
（ ）
如图所示：
在,),( 00 xx ?? 0)( ?? xf
在,),( 00 ??xx 0)( ?? xf
在 取得极大值。)(xf 0x
前页 结束后页
（ 2）如果当 时,而当 时，
则 在 取得极小值。0x
0)( ?? xf0xx ?0xx ? 0)( ?? xf
)(xf
0)( ?? xf0)( ?? xf
??0x ??0x0x
（ ）
如图所示：
在,),( 00 xx ??
0)( ?? xf在,),( 00 ??xx
0)( ?? xf
在 取得极小值。)(xf 0x
（ 3）如果在 两侧
的符号不变，则 不是
的极值点，如图示
0x )(xf ?
0x
)(xf
0)( ?? xf
??0x ??0x0x
（ ）
0)( ?? xf
前页 结束后页
(4)利用定理 3,判断 (2)中的点是否为极值点,如果是
求极值点的步骤：
(1)求函数的定义域 (有时是给定的区间 );
(3)用 (2)中的点将定义域 (或区间 )分成若干个子区间,
进一步判定是极大值点还是极小值点,
(2)求出,求出使 的点及 不存在的点 ;)(xf? 0)( ?? xf )(xf?
讨论在每个区间 的符号 ;)(xf?
(5)求出各极值点处的函数值,得函数的全部极值,
前页 结束后页
例 4 求函数 的单调区间和极值, 32 )1()1()( ??? xxxf
解 函数的定义域为 ),( ????
223 )1()1(3)1)(1(2)( ??????? xxxxxf
)15()1)(1( 2 ???? xxx
0)( ?? xf,11 ??x,512 ?x 13 ?x令,得驻点
这三个点将定义域 分成四个部分区间，列表如下
极大值,
3125
3456
5
1 ??
?
??
?
?f 极小值 0)1( ?f
f ( x )
+0-0+0+f ′ ( x )
( 1,+ ∞ )1(,1 )( - 1,)- 1( - ∞,- 1)x ∞∞ 5151
5
1
前页 结束后页
)1)(1(333)( 2 ?????? xxxxf
xxf 6)( ???
令 得 11 ?x 12 ??x0)( ?? xf
由于 06)1( ??????f 06)1( ????f
定理 4(极值的第二判别法 ) 设函数 在点 处具有)(xf 0x
二阶导数，且, ；0)( 0 ?? xf 0)( 0 ??? xf
（ 1） 若,则 是函数 的极小值点；0)( 0 ?? xf 0x )(xf
（ 2）若,则 是函数 的极大值点；0)( 0 ?? xf
0x
)(xf
例 5 求函数 的极值, xxxf 3)( 3 ??
解 函数的定义域为 ),( ????
所以 为极大值,为极小值,2)1( ??f 2)1( ??f
前页 结束后页
3.3.3 函数的最大值与最小值
是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者
最小的就是函数在区间 上的最小值。
],[ ba连续函数在区间 上的最大值与最小值可通过比较
端点处的函数值 和 ;1.区间 ],[ ba ( ) ( )f a f b
2.区间 内使),( ba 0)( ?? xf
内使 不存在的点处的函数值。3.区间 ),( ba )(xf?
这些值中最大的就是函数在 上的最大值,],[ ba
],[ ba
上的最大值与最小值是全局性的概念,函数在区间 ],[ ba
如下几类点的函数值得到：
前页 结束后页
上的最大值和最小值。
在驻点处函数值分别为
在端点的函数值为
最大值为
最小值为
解 )1)(1(444)( 3 ?????? xxxxxxf
令 0)( ?? xf,得驻点 1
1 ??x 0,2 ?x 1,3 ?x
13)2()2( ??? ff
4)1()1( ??? ff
例 6 求函数 在区间 52)( 24 ??? xxxf [ 2,2]?
)(xf 4)1(,5)0(,4)1( ???? fff
3)2()2( ??? ff
比较上述 5个点的函数值，即可得 在区间 上的)(xf [ 2,2]?
前页 结束后页
M1
x
y
o1?
2?
M2
M1
x
y
o 1?
2?
M2
3.4.1 曲线的凹凸与拐点
定义 1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上
方，则称曲线在这个区间上是凹的。
如图所示
3.4 函数图形的描绘
前页 结束后页
如果曲线弧总是位于其切线的下方, 则称曲线在
这个区间上是凸的 。 如下图：
当曲线为凹时，曲线 的切线斜率
随着 的增加而增加，即 是增函数；反之，当
曲线为凸时，曲线 的切线斜率 随
着 的增加而减少，即 是减函数。
)( xfy ? xxf ta n)( ??
x
)(xfy ?
)(xf?
( ) t a nf x x? ?
x )(xf?
M1
x
1? 2?
M2
y
o
M1
x
y
o
M2
前页 结束后页
定理 1 设函数 在区间
（ 1）如果 ∈ 时，恒有,则曲线
在 内为凹的；
（ 2）如果 ∈ 时，恒有,则曲线
在 内为凸的。
定义 2 曲线上凹与凸的部分的分界点称为曲线的拐点 。
拐点既然是凹与凸的分界点, 所以在拐点的某邻域
内 必然异号, 因而在拐点处 或 不存在 。
)(xf
x
)(xf
x
)(xf
)(xf ?? )(xf ??
0)( ??? xf
),( ba
),( ba
0)( ??? xf
),( ba
),( ba
),( ba
0)( ??? xf
前页 结束后页
例 1 求曲线 的凹凸区间与拐点 。
解
令,得,
12 34 ??? xxy
23 64 xxy ??? 2,1 2 1 2 1 2 ( 1 )y x x x x?? ? ? ? ?
列表如下
?0?0?
0???y 1,0 21 ?? xx
)1,0( ),1( ??)0,(?? 10
)1,0()0,1(
()fx??
()fx
有拐点 有拐点
x
前页 结束后页
可见,曲线在区间 内为凹的，在区
间 内为凸的，曲线的拐点是 和,
),1(,)0,( ????
)1,0()1,0( )0,1(
如果函数 在 的某邻域内连续，当在点 的二
阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存在
且在 的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两
侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点,
)(xf 0x 0x
0x ))(,( 00 xfx
))(,( 00 xfx
0x
综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：
（ 1）求一阶及二阶导数,
（ 2）求出 及 不存在的点；
)(xf? )(xf ??
)(xf? )(xf ??
前页 结束后页
（ 3） 以 （ 2） 中找出的全部点, 把函数的定义域分成
若干部分区间, 列表考察 在各区间的符号, 从而
可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点 。
)(xf ??
例 2 求曲线 的凹凸区间与拐点 。2xey ??
解 函数的定义域为
当 时,, 故以 将定
义域分成三个区间，列表如下：
0???y
2
1??x
22 xxey ???? 2 2,2 ( 2 1 )xy e x??? ??
2
1??x
2
1??x
),( ????
前页 结束后页
x 1(,)
2?? ?
1
2?
11(,)
22?
1
2
1(,)
2 ??
)( xf ??
)(xf
+ 0 － 0 +
有
拐
点
有
拐
点
在 处，曲线上对应的点 与
为拐点。
2
1??x )1,
2
1(
e?
)1,21( e
前页 结束后页
3.4.2
有些函数的定义域或值域是无穷区间, 此时函数的图
形向无限远处延伸, 如双曲线, 抛物线等 。 有些向无穷远
延伸的曲线, 越来越接近某一直线的趋势, 这种直线就是
曲线的渐近线 。
定义 3 如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时, 该
点与某直线的距离趋于零, 则称此直线为曲线的渐近线 。
1．
如果曲线 的定义域是无穷区间，且有
或,则直线 为曲线 的渐近线，称
)( xfy ? bxf
x ???? )(lim
by ?bxf
x ???? )(lim
)( xfy ?
为水平渐近线,如下图
前页 结束后页
x
y
o x
y
o
例 3 求曲线 的水平渐近线 。
1
1
?? xy
解 因为
所以 是曲线的一
条水平渐近线，如图示
011lim ??
?? xx
0?y
前页 结束后页
2、
如果曲线 满足
或
)( xfy ? ??
? )(lim xfcx
???? )(lim xfcx ??
?? )(lim xfcx
则称直线 为曲线 的铅
直渐近线（或垂直渐近线），如图
cx ? )( xfy ?
例４ 求曲线 的铅直渐近线 。
1
1
?? xy
解
所以 是曲线的一条铅直渐近线。
???
? 1
1l i m
1 xx
1?x
如前页图所示
前页 结束后页
3.4.3
函数的图形有助于直观了解函数的性质, 所以研究函
数图形的描绘方法很有必要, 现在综合上面对函数性态的
研究,
（ 1）
（ 2） 确定函数的奇偶性 （ 曲线的对称性 ） 和周期性；
（ 3） 确定函数的单调区间和极值 ;
（ 4
（ 5
（ 6）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。
（ 7）用平滑的曲线连接各点。
前页 结束后页
例 5 作函数 的图形。
2
)1(4
2 ?
??
x
xy
解 （ 1） 定义域为, (,0)?? (0,)??
（ 2） 求函数的增减区间, 极值, 凹凸区间及拐点；
因为,
3
)2(4
x
xy ???
4
)3(8
x
xy ????
令 得 ；
令 得 列表如下,
0??y 2??x
0???y 3??x
x (,3)?? ? ( 3,2)?? ( 2,0)?－ 3 － 2 0
－ － 0 + －
－ 0 + + +
),0( ??
y?
y?
y
前页 结束后页
（ 3）渐近线：因为
所以 为水平渐近线；
22)1(4lim 2 ???
?
??
?
? ??
??? x
x
x
2x??
又因为,
所以 为铅直渐近线。
???
?
??
?
? ??
?
2)1(4lim 2
0 x
x
x
0?x
（ 4） 描出几个点：
12(,),A ?? 16(,),B
21(,),C 23
9(,),D
x
y
o
如图所示
作出函数图形
前页 结束后页
例 6 在经济学中，会经常遇到函数
试作出函数的图形。
2
2
2
1)( xex ???
?
解 （ 1）定义域：（－ ∞, +∞ ）；
（ 2）奇偶性：由于,故 为偶函数，
其图形关于 轴对称；
)()( xx ???? )(x?
（ 3）增减、极值、凹凸及拐点：
y
因为 2 2
2
)(
x
exx
?
??? ? 2
2
2
)1)(1()( xexxx ????? ??
?
令,得 ；
令,得,,
0)( ??? x 0?x
0)( ?? ?? x 11 ??x 12 ?x
前页 结束后页
（ 4）渐近线
0
2
1lim)(lim 2
2
???
?
??????
x
xx
ex
?
所以 是水平渐近线 。0?y
先作出函数在 内的图形，然后利用对称性作
出区间 内
的图形，如图
(0,)??
(,0)??
o
前页 结束后页
?2
1
y?
x
y?
y
0 (0,1) 1 （ 1,+∞）
0 － －
0 +
极大值
)21( 1,e?拐点
列表讨论如下
其中, ；4.0
2
1 ?
? 24.02
1 ?
e?
前页 结束后页
3.5 导数在经济中的应用
3.5.1 函数的变化率 ——边际函数
定义 1 设函数 在点 处可导，)( xfy ? x
边际函数值。其含义为,当 时,x改变一个单位，相
0xx ?
)(xf 在点 0x 处的导数 )( 0xf? 称为 )(xf 在点 0x 处的
相应地 y 约改变 个单位．)( 0xf ?
为 的边际函数。)(xf ? )(xf称导函数
当 时,)( 0xfy ???1??x
实际上,xxfdyy ?????? )(
0
解,所以,xy 4?? 20
5 ?? ?xy
22 xy ? 在 5?x 时的边际函数值。,试求例 1 设函数
前页 结束后页
设 C为总成本，
下面介绍几个常见的边际函数,
1．边际成本
1C
为固定成本，
则有
为可变成本，
2C
为平均成本，C 为边际成本，C? 为产量，Q
总成本函数 12( ) ( )C C Q C C Q? ? ?
平均成本函数 12 ()() C C QC C Q
QQ? ? ?
边际成本函数 ()C C Q???
2
( ) 1 0 0 4QC C Q? ? ?例 2 已知某商品的成本函数为,求当
时的总成本，平均成本及边际成本。10Q ?
解 由 2100
4
QC ?? 100
4
QC
Q?? 2
QC??
前页 结束后页
令 得
边际成本
于是当 时10Q ?
总成本 125)10( ?C
平均成本
5.12)10( ?C
5)10( ??C
2
100
Q??
Q 为多少时，平均成本最小?例 3 在例 1中，当产量
解 ?C
4
1?
3
200C
Q?
0?C 2 400Q ? 20Q ?
0)20( ??C
所以,当 Q = 20时平均成本最小。
前页 结束后页
2．收益
平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到
的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化
率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。
设 P为商品价格,Q 为商品量,R 为总收益,为平
均收益,为边际收益，则有
R
需求函数
总收益函数
平均收益函数
边际收益函数
()R R Q?
()QPP?
()R R Q?
()R R Q???
R?
前页 结束后页
需求与收益有如下关系,
总收益
平均收益
边际收益
( ) ( )R R Q Q P Q??
( ) ( )( ) ( )R Q Q P QR R Q P Q
QQ? ? ? ?
()R R Q???
()() RQR R Q
Q??
总收益与平均收益及边际收益的关系为
前页 结束后页
求销售量为 30时的总收益，平均收益与边际收益。
10 5QP ??
2
( ) ( ) 1 0 1 2 05QR Q Q P Q Q? ? ? ?
( ) ( ) 1 0,5QR Q P Q? ? ?
例 4 设某产品的价格和销售量的关系为
解 总收益
平均收益
4)30( ?R
边际收益 2( ) 1 0,
5R Q Q
? ??
2)30( ???R
前页 结束后页
Q
3
在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量
的函数，分别记为 和,则总利润 可表()RQ ()CQ ()LQ
示为
( ) ( ) ( )L L Q R Q C Q? ? ?
( ) ( ) ( )L Q R Q C Q? ? ???
最大利润原则,
取得最大值的必要条件为()LQ ( ) 0LQ? ?
( ) ( )R Q C Q???即
所以取得最大利润的必要条件是,边际收益等于边际成本
前页 结束后页
10 5QP ??
例 5 已知某产品的需求函数为 成本函数为
5 0 2CQ?? 问产量为多少时总利润 L 最大?
解 已知,
10 5QP ?? 5 0 2CQ??
于是有 2( ) 1 0
5
QR Q Q??
2
( ) ( ) ( ) 8 5 0
5
QL Q R Q C Q Q? ? ? ? ?
2( ) 8,
5L Q Q
? ?? 2()
5
LQ?? ??
令 得( ) 0LQ? ?
20Q ? 0)20( ???L
所以当 Q=20时总利润最大
前页 结束后页
例 6 某工厂生产某种产品，固定成本 20000元，每生产
一单位产品，成本增加 100元。已知收益
Q
L
( ) 2 0 0 0 1 0 0QQ??C = C解 根据题意，总成本函数为
是年产量
的函数
21400
() 2
80000
R R Q
? ?
?
?? ?
??
0 4 0 0Q??
400Q ?
问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少?
从而可得总利润函数为 ( ) ( ) ( )L L Q R Q C Q? ? ?
213 0 0 2 0 0 0 0 0 4 0 0
2
6 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0
Q Q Q
? ? ? ? ?
??
?
? ???
R
前页 结束后页
( ) ( ) ( )L Q R Q C Q? ? ??? 3 0 0 0 4 0 0
1 0 0 4 0 0
Q
? ? ???
? ???
令 得0() ??L 300Q ?
由于,故 时利润最大01)3 0 0( ?????L 300Q ?
此时
250002000090000
2
190000)300( ?????L
即当生产量为 300个单位时,总利润最大,其最大
利润为 25000元,
前页 结束后页
设某企业某种产品的生产量为 个单位,代表总成
本,代表边际成本,每单位产品的平均成本为
在生产实践中,经常遇到这样的问题,即在既定的生产规
模条件下,如何合理安排生产能使成本最低,利润最大?
Q
4
()CQ
()CQ? ()CQC Q?
于是 ( ) ( ) ( )C Q C Q Q C Q????
由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量
应满足,于是得到一个经济学中的重要结论,
0Q
0( ) 0CQ? ?
使平均成本为最小的生产水平（生产量 ），正是使
边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。
0Q
前页 结束后页
2( ) 5 4 1 8 6C Q Q Q? ? ?例 7 设某产品的成本函数为
试求使平均成本最小的产量水平。
解 平均成本 ( ) 5 4( ) 1 8 6CQC Q Q
QQ? ? ? ?
( ) 6,254CQ Q? ? ? ? 3108()CQ
Q
?? ?
令 解得( ) 0CQ? ? 3Q ?,由于
27
1 0 8)3( ???C
所以 是平均成本 的最小值点也就是
平均成本最小的产量水平
3Q ? ()CQ
此时 )3(54)3( CC ???
即 时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小, 3Q ?
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5．库存管理问题
在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与
保管费用是成反比的。
订购批量大,次数少,费用就小,保管费用就相应增加；
订购批量小,次数多,费用就大,保管费用就相对较少。
因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。
下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某种
物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复
到最高库存,每天保证等量供应生产需要，使之不发生
缺货。
Qmax
前页 结束后页
Q RQ
1CRQ
假设某企业某种物资的年需用量为 R,单价为 P,平均一次
因此 订货费用为
2）保管费用 在进货周期内都是初始最大，最终为零，
订货费用为 C1, 年保管费用率（即保管费用与库存商品价
值之比）为 Ｃ ２,订货批量为,进货周期（两次进货
间隔 )Ｔ,进货周期 Ｔ,则年总费用由两部分组成：
１ )订货费用 每次订货费用为Ｃ 1，年订货次数为
所以全年每天平均库存量为,故保管费用为
2
Q 21
2 QPC
于是总费用
1
2
1
2
CRC Q P C
Q??
故可用求最值法求得最优订购批量, 最优订购次数
*
R
Q
以及最优进货周期 Ｔ,此时总费用最小。
*Q
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解 设最优订购批量为 则订购次数为Q
例 8 某种物资一年需用量为 24000件，每件价格为 40元，
年保管费率 12%,为，每次订购费用为 64元，试求最优订购
批量 最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产
品的销售是均匀的）
24000
Q
于是订货费用为 2400064
Q?
，保管费用为 1 4 0 0,1 2
2 Q ??
从而总费用 2 4 0 0 0 1( ) 6 4 4 0 0,1 2
2C C Q QQ? ? ? ? ? ?
2
6 4 2 4 0 0 0( ) 2 0 0, 1 2CQ
Q
?? ? ? ? ?
3
2 6 4 2 4 0 0 0()CQ
Q
???? ?
前页 结束后页
0)800( ???C又因为
于是当 800Q ?
最优订货批量 (件 /批 ) * 800Q ?
最优订货批次 (批 /年 ) 30
800
24000 ?
最优进货周期 (天 )(全年按 360天计 ) 12
30
360 ?
最小进货总费用 (元 ) 3 8 4 0)8 0 0(m i n ?? CC
令 得 (件 /批 ) ( ) 0CQ? ? 6 4 2 4 0 0 0 800
2 0 0, 1 2Q
???
?
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3.5.2 函数的相对变化率 — 函数的弹性
1、弹性
定义 2 设函数 )( xfy ? 在点 0x
)(
)()(
0
00
0 xf
xfxxf
y
y ?????
与自变量的相对改变量
0x
x? 之比
0
0
xx
yy
?
? 称为函数从 0xx ?
到 xxx ??? 0
当 时,的极限称为 )(xf 在
导数，也就是相对变化率，或称弹性。
两点间的相对变化率，
0??x
0
0
xx
yy
?
?
0xx ?
或称两点间的弹性
处的相对
记作
0
0 )(;
0
Ex
xEf
Ex
Ey
xx ?
处可导,函数的相对改变量
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是 的函数
,若 可导
0
0
0lim
0 xx
yy
Ex
Ey
xxx ?
??
???
0
0
0
lim yxxy
x ?
??
?? )()( 0
0
0 xf
xxf ??
0x
0xx
Ex
Ey
?
对一般的 x )(xf
xx
yy
Ex
Ey
x ?
??
?? 0
l i m
y
x
x
y
?
??
?? 0
lim
y
xy?? x
)(xf
函数 在点 的弹性 反映了随着 的变化)(xf )( xf
Ex
Ex
变化幅度的大小,也就是 随 变化反映的强烈
列程度或灵敏度,
)( 0xfExE 表示在,当 产生 1%的变化时,近似的
称为
当 为定值时
则有
改变 %)( 0xfExE
0xx ?
x
x )(xf
x
)(xf )(xf
前页 结束后页
( 为常数）的弹性函数。
例 9 求函数 在 处的弹性, xy 23 ?? 3?x
2??y解
,23 2 xxyxyExEy ????
3
2
323
32
3
??? ??
?xEx
Ey
例 10 求幂函数 ??xy ?
解,1??? ?? xy
axxxExEy ?? ? ??? 1
可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点
处弹性不变，所以称为不变弹性函数
前页 结束后页
为商品在价格为Ｐ时的需求价格弹性．记为 即
2．需求弹性与供给弹性
(1)需求弹性
“需求, 是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有
能力购买的商品量。通常需求是价格的函数,P 表示商品
的价格,Q 表示需求量,称为需求函数。()Q f P?
?
定义 3 设某商品的需求函数在 P处可导,称 ()EQ PfP
EP Q?? ? ?
()EQ PfP
EP Q
? ?? ? ? ?
前页 结束后页
解 需求函数为
例 11 已知某商品的需求函数 求,10PeQ ??
,101)( 10
P
ePfQ ??????
5,1 0,1 5P P P? ? ?
时的需求弹性并说明其意义
1010
1
)(
10
10 P
e
P
ePf P
P
?????
?
?
,5.0)5( ?? 说明 P=5时，价格上涨 1%，需求量减少 0.5％
,1)10( ?? 说明 P=10时，价格与需求的变动幅度相同
,5.1)15( ?? 说明 P=15时，价格上涨 1%，需求量减少 1.5％
前页 结束后页
)( PQ ??
（ 2）供给弹性
“供给, 是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有
可供出售的商品量。通常供给是价格的函数，
P表示商品的价格,Q表示供给量,称为供给函数
我们用 D表示需求曲线，用 表示供给曲线，如图示．
定义 4 设某商品的供给函数
在Ｐ处可导，称()QP??
()EQ PPEP Q? ?? 为商品在价格
)(P?
即 ( ) ( )EQ PPP
EP Q??
???
为Ｐ时的供给弹性，记
)( PQ ??
)( PfQ ?
E
S
D
前页 结束后页
当 时，需求量 大于供给量,供不应求，
会形成抢购黑市等，将导致价格上涨，Ｐ增加；
（ 3）均衡价格
均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格。在图
中是在需求曲线 Ｄ 与供给曲线 Ｓ 的交点Ｅ处的处的横坐
标 Ｐ ＝ Ｐ ０,此时需求量与供给量均为,称均衡商品量
0PP ?
当 时，需求量 小于供给量,供大于求；
商品滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，
P减小 。
0PP ?
总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动
0Q
DQ SQ
DQ SQ
前页 结束后页
而将 的商品称为富有弹性商品．
由于,而边际收益
当 时，,Ｒ取得最大值．
()R P Q P f P??
3.边际收益与需求弹性的关系
))(1)(()()(1)()()( PPfPf PPfPfPfPPfR ?????
?
?
???
? ???????
由此可知，当 时，,Ｒ递增，即价格
上涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少．
1)( ?P?
1)( ?P?
当 时，,Ｒ递增，即价格上涨会使总
收益减少；价格下跌会使总收益增加．
1)( ?P?
在经济学中，将 的商品称为缺乏弹性商品，
将 的商品称为单位弹性商品，
0??R
0??R
0??R
1)( ?P?
1)( ?P?
1)( ?P?
