5.1 定积分的概念与性质
5.2 微积分学基本定理
5.3 定积分的积分法
5.4 广义积分
第 5章 定积分
结束
前页 结束后页
5.1.1 引入定积分概念的实例
引例 1 曲边梯形的面积,如图,由连续曲线 y=f(x),直
线 x=a,x=b及 x轴围成的图形称为曲边梯形,
下面我们求曲边梯形的面积
(1)分割 在 (a,b)内插入 n–1个分点
bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?
],[ ],[,.,],[],[ 112110 nnii xxxxxxxx ?? ?,,,,,
把区间 [a,b]分成 n个小区间
记每一个小区间 的长度为 1 ( 1 2 )i i ix x x i n?? ? ? ?,,1[,]iixx?
a b x
()y f x?
o
y
5.1 定积分的概念与性质
前页 结束后页
(2)近似
表示第 i个小曲边梯形的面积,在小区间
内任取一点,过点 作 x轴的垂线与曲线
交于点,以 为底,为高做矩形,以此
矩形做为小曲边梯形面积的近似值,则
iA? 1[,] ( 1,2,,)iix x i n? ?
1()i i i ixx??? ?? i?
(,( ))i i iPf?? ix? ()if ?
()i i iA x f ?? ? ? ?
a
()y f x?
M
N
o
y
(3)求和
将所有矩形面积求和
1 1 2 2 ( ) ( ) ( )n n nA f x f x f x? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1
()
n
ii
i
fx?
?
??? xb
过每个 分点 xi(i=1,2,…,n)作 y轴的平行线,将 曲边梯形
分割成 n个小曲边梯形,
前页 结束后页
(4)取极限
记 为所有小区间中长度的最大者,即,
当 时,总和的极限就是曲边梯形面积 A,即
? 1m a x { }iin x? ????
0? ?
0 1l i m ( )
n
ii
i
A f x? ??
?
? ? ??
解 (1) 分割
引例 2 变力做功
? ?,,
)(
做的功,求变力区间为连续函数,质点的位移
的是位移已知变力设某质点作直线运动,
Fba
ssF
在 插入 n个分点
0 1 2 1 i n na s s s s s s b?? ? ? ? ? ? ? ? ?
[,]ab
则 即是曲边梯形面积的近似值,nA
前页 结束后页
将闭区间 [a,b]分成 n个小区间,
0 1 1 2 1 1[,],[,],,[,],,[,]i i n ns s s s s s s s??
1 ( 1,2,,)i i is s s i n?? ? ? ?
小区间的长度
(2)近似
在每一个小区间 上任取一点,把 做为
质点在小区间上受力的近似值,于是,力 F在小区间
上对质点所做的功的近似值为
1[,]iiss? i? ()iF?
1[,]iiss?
( ) ( 1,2,,)i i iW F s i n?? ? ? ?
前页 结束后页
(3)求和
11
()?
??
? ? ? ???
nn
ii i
ii
W W F S
把各小区间上力 F所做的功的近似值加起来,即得到
在区间 上所做功的近似值,即? ?,ab
(4)取极限
把所有小区间的最大长度记为,即,
则当 时,和式的极限即为变力在区间 上对质点
所做的功,即
? m a x ( )is? ??
0?? ? ?,ab
0 1
l i m ( )
n
ii
i
W = F s
?
?
? ?
??
前页 结束后页
5.1.2 定积分的概念
],[,],,[,],,[],,[
:],[
:
1],[],[)(
112110
1210
nnii
nn
xxxxxxxx
nba
bxxxxxa
nbabaxf
??
?
???????
?
??
?
个小区间分成把区间
个分点
中任意插入上有界,在在设函数
定义
),( 1 iiii xx ??? ?? 上任取一点在每一个小区间
各个小区间的长度为
],[
1
1
ii
iii
xx
xxx
?
????
?
?
?
n
i
ii xf
1
)( )( ?简称积分和式作和式
前页 结束后页
,记作上的在区间
数相等,则称此极限为函述和式的极限都存在且
时,上任意取法,只要当上点和小区间
任一分法,如果对区间记
],[
)(
0],[
],[},...,,ma x {
1
2
ba
xf
xx
baxxx
iii
ni
?
????
?
??
?
定积分 (简称积分 )
0 1( ) d li m ( ),
nb
iia
i
f x x f x? ??
?
????
其中 f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x 叫
做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限, [a,b]
叫做积分区间,
前页 结束后页
根据定积分的定义,前面所讨论的两个引例就可
以用定积分概念来描述:
曲线, x轴及两条直线 x=a,x=b所围
成的曲边梯形面积 A等于函数 f(x)在区间 [a,b]上的定积
分,即
)0)()(( ?xfxf
.d)( xxfA ba??
前页 结束后页
如果函数 f(x)在区间 [a,b]上的定积分存在,
则称函数 f(x)在区间 [a,b]上可积,
质点在变力 F(s)作用下作直线运动,由起始位置
a移动到 b,变力对质点所做之功等于函数 F(s)在 [a,b]
上的定积分,即
( ) d? ? baW F s s
可以证明,若函数 f (x)在 在区间 [a,b]上连续,或只有有
限个第一类间断点,则 f (x)在 在区间 [a,b]上可积,
前页 结束后页
关于定积分的概念,还应注意两点,
(1)定积分 是积分和式的极限,是一个数值,
定积分值只与被积函数 f(x)及积分区间 [a,b]有关,
而与积分变量的记法无关,即有
.d)(d)(d)( ??? ?? bababa uufttfxxf
xxfba d)(?
(2)在定积分 的定义中,总假设,为了
今后的使用方便,对于 时作如下规定:
xxfba d)(? ba?
baba ??,
.d)(d)(,
0d)(
xxfxxfba
xxfba
b
a
a
b
b
a
??
?
???
??
时当;时,当
前页 结束后页
如果在 [a,b]上,此时
由曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b及
x轴所围成的曲边梯形位于 x轴的
下方,则定积分 在几何
上表示上述曲边梯形的面积 A的相反数,
5.1.3 定积分的几何意义:
如果在 [a,b]上,则 在几何上表
示由曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b及
x轴所围成的曲边梯形的面积,
0)( ?xf ?ba xxf d)(
( ) 0fx ≤
( )dba f x x?
a
x
()y f x?
o
y b
a x
()y f x?
o
y
b
前页 结束后页
如果在 [a,b]上 f(x)既可取正值又可取负值,则定
积分 在几何上表示介于曲线 y=f(x),直线
x=a,x=b及 x轴之间的各部分面积的代数和,
?ba xxf d)(
1 3 2 4( ) d ( ) ( )
b
a f x x A A A A? ? ? ?? 1 2 3 4A A A A? ? ? ?
x
y= f (x)
a
b
o
y
A4
A3
A2
A1
( ) d? ? baA f x x
前页 结束后页
性质 1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数
和,即 [ ( ) ( ) ] d ( ) d ( ) d? ? ?? ? ?b b b
a a af x g x x f x x g x x
5.1.4 定积分的基本性质
设下面函数 f (x),fi (x),g(x)在 [a,b]上可积,
推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积
分的代数和,即 12
12
[ ( ) ( ) ( ) ] d
( ) d ( ) d ( ) d,
? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ?
b
na
b b b
na a a
f x f x f x x
f x x f x x f x x
前页 结束后页
如果积分区间 [a,b]被分点 c分成区间 [a,c]和 [c,b],
则 ( ) d ( ) d ( ) db c b
a a cf x x f x x f x x??? ? ?
性质 3
性质 3表明定积分对积分区间具有可加性,这个
性质可以用于求分段函数的定积分,
当 c在区间 [a,b] 之外时,上面表达式也成立,
性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外,
).( d)(d)( 是常数kxxfkxxkf baba ?? ?
前页 结束后页
2
1
1,0,
( ) ( ) d,
1,0,
2
?
???
?
? ?
???
?
?
已 知

xx
f x f x xx
x
利用定积分的几何意义,可分别求出
0
1
1( 1 ) d
2? ???,xx
2
1
13( ) d 1,
22? ? ??-所 以 f x x
例 1
2 0 2
1 1 0( ) d ( 1 ) d ( 1 ) d2?? ? ? ? ?? ? ?,
xf x x x x x解
2
0 ( 1 ) d 12???,
x x
前页 结束后页
,则上恒有如果在区间 1)(],[ ?xfba性质 4
.d1d)( abxxxf baba ??? ??
,则上恒有如果在区间 0)(],[ ?xfba性质 5
(0.)dba f x x ??
,则上恒有如果在区间 )()(],[ xgxfba ?推论 1
( ) d ( ) d,bbaaf x x g x x???
| ( ) d | ( ) d ( ),bbaaf x x f x x a b????推论 2
前页 结束后页
则上的最大值及最小值,
在区间分别是函数及设
],[
)(
ba
xfmM性质 6 (估值定理 )
).( )(d)()( baabMxxfabm ba ????? ?
).(d)()(
42
abMxxfabm ba ???? ?
得及性质由性质
),( )( bxaMxfm ?????证明
??? ??
b
a
b
a
b
a xMxxfxm,
,得推论由性质
dd)(d
15
m
M
前页 结束后页
.ds i n3π
6
π 的值试估计定积分 ? xx
,?????? ????????? ?? ? 6π3π2 3ds i n6π3π21 3
π
6
π xx
.12 π3ds i n12π 3π
6
π ?? ? xx即
例 2
,最小值
,上,最大值,在
2
1
6
π
s i n)
6
π
(
2
3
3
π
s i n)
3
π
(]
3
π
6
π
[
??
??
f
f

前页 结束后页
).( ))((d)( baabfxxfba ????? ??
性质 7(定积分中值定理 ) 如果函数 f(x)在闭区间 [a,b]上
连续,则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点,使下
式成立
?
证明 因为函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续,根据闭区间
上连续函数的最大值和最小值定理,f(x)在 [a,b]
上一定有最大值 M和最小值 m,由定积分的性
质 6,有
( ) ( ) d ( )? ? ? ??,bam b a f x x M b a
1 ( ) d??
? ?即,
b
am f x x Mba
前页 结束后页
即数值 介于 f(x)在 [a,b]上的最大值 M和最
小值 m之间,根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在
一点,使得
1 ( ) d
? ?
b
a f x xba
1( ) ( ) d? ?
? ?
b
a
f f x xba
?
( ) d ( ) ( ) ( )??? ? ? ?? ba f x x f b a a b即
性质 7的几何意义:
在 上至少存在一点,使
得曲边梯形的面积等于同一底
边而高为 的矩形的面积,
[,]ab ?
()f ? a b?
前页 结束后页
如果函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续,我们称
为函数 f(x)在 [a,b]上的平均值,?? ba xxfab d)1
如已知某地某时自 0至 24时天气温度曲线为 f(t),
t为时间,则 表示该地、该日的平均气温,?240 d)(241 ttf
如已知某河流在某处截面上各点的水深为 h(x),
(a为河流在该截面处水面之宽度 ),则该河流
在该截面处的平均水深为,
ax ??0
?a xxha 0 d)(1
前页 结束后页
5.2.1 变上限积分与对积分上限变量求导数
设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,则对于任意的 x
( ),积分 存在,且对于给定的 x( )
就有一个积分值与之对应,所以上限为变量的积分
是上限 x的函数,
a x b?? ( )dxa f x x? a x b??
( )d? xa f x x
注意:积分上限 x与被积表达式 f(x)dx中的积分变量 x是
两个不同的概念,在求积时 (或说积分过程中 )上限 x是
固定不变的,而积分变量 x是在下限与上限之间
( )d,? xa f t t
5.2 微分学基本定理
变化的,因此常记为
前页 结束后页
上具有导数,且在
的积分所确定的函数
上连续,则变上限在区间如果函数
],[
)( d)()(
],[)(
ba
bxattfxΦ
baxf
x
a
??? ?
定理 1
).( )(d)(d d)(' bxaxfttfxxΦ xa ???? ?
?? ??? xaxxa ttfttf d)(d)(=
?
???
??
??
?
???
xx
x
x
a
xx
x
x
a
ttf
ttfttfttf
d)(
d)(d)(d)( )() (
0
xΦxxΦΦ
x
?????
??
?
,不妨设证明
前页 结束后页
( ) d ( ) (,),xxx f t t f x x x x??? ??? ? ? ??
由积分中值定理有
).()( ?? fx xfxΦ ?? ????即
数的连续性,有根据导数的定义以及函
,,从而时,有当
0 xxxxx ?????? ?
结论:变上限积分所确定的函数 对积分上限
x的导数等于被积函数 f(t)在积分上限 x处的值 f(x).
?xa ttf d)(
,)()(limlim)(
0
xffxΦxΦ'
xx
?????
???
?
?
).(d)(dd)( xfttfxx'Φ xa ?? ?即
前页 结束后页
由上述结论可知:尽管不定积分与定积分概念的引入
完全不同,但彼此有着密切的联系,因此我们可以 通
过求原函数来计算定积分,
.],[)(
d)()(
],[)(
上的一个原函数在是
上连续,则在区间如果函数
baxf
ttfxΦ
baxf
x
a?
?可以证明 原函数存在定理
前页 结束后页
.)()( CxΦxF ???
上的任一个原函数,则
在是上连续,且在区间设函数
],[
)()(],[)(
ba
xfxFbaxf定理 2 微积分学基本定理
( ) d ( ) ( )??? ba f x x F b F a
).()()(d)( aFbFxFxxf baba ????或记作
5.2.2 微积分学基本定理
证明
的一个原函数,也是而
的一个原函数,是
)(d)()(
)()(
xfttfxΦ
xfxF
x
a??
前页 结束后页
( ) ( ),? ? ?令 有x a F a Φ aC
( ) ( )? ? ?令 有,x b F b Φ bC
上式称为牛顿 -莱布尼茨公式,也称为微积分基本定理,
( ) d ( ) ( )???所 以,ba f t t F b F a
( ) ( ) d 0
( ),
??
?
?由 于,
所 以
a
a
Φ a f t t
F a C
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) d ( ) ( )
? ? ? ?
? ? ??


b
a
Φ b F b C F b F a
Φ b f t t F b F a
( ) d ( ) ( )???即,ba f x x F b F a
前页 结束后页
牛顿-莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积
分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便
的基本方法,即求定积分的值,只要求出被积
函数 f(x)的一个原函数 F(x),然后计算原函数在
区间 [a,b]上的增量 F(b)–F(a)即可,
该公式把计算定积分归结为求原函数的问题,.
前页 结束后页
.d10 2? xx例 1 求
的一个原函数,是被积函数因为 xx 2
3
3解
.
3
1
333
d
01
33
1
0
3
1
0
2
????
?
?
x
xx
莱布尼茨公式,有根据牛顿
例 2 求,d1
11
1 2?? ? xx
莱布尼茨公式,有根据牛顿
的一个原函数,是被积函数因为
?
?
1
1
a r c t a n 2
x
x

1
1
1
1 2 a r c t a nd1
1
?? ??? xxxπ2?
前页 结束后页
? ?,d)1l n(dd 1 2?? ?x ttx例 3 求
22
1
d ln( 1 ) d ln( 1 ),
d ?
?? ? ? ???
???
x t t x
x

例 4 求,
da r c t a n
l i m 20
0 x
x
x
tt?
?
00
2 200
d a r c t a n d
a r c t a n d d
lim lim
()??
??
????? ??
xx
xx
tttt
x
x'x解
0
1 ( ar c t an )lim
2 ( )?? x
x'
x'0
a r c t a n lim
2?? x
x
x
2
0
1
111li m,
2 1 2?
???
x
x
前页 结束后页
例 5 计算 2
0 ( ) df x x?
,其中 ? 2,0 1()
5,1 2
xxfx ?
?
≤ ≤

解 2 1 2
0 0 1
( ) d ( ) d ( ) df x x f x x f x x??? ? ?
12 1222
0101
5 1 725
22x d x x d x x x? ? ? ? ???
例6 计算由曲线,直线 x=2 与 x轴围成的图形
的面积.
2yx?
2
2 23
0
0
18d
33A x x x? ? ??
解 由定积分的几何意义,得
前页 结束后页
定理 设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,若
满足下列三个条件:
( 1 ) ( ),( )ab? ? ? ???,
()??xt
5.3.1 定积分的换元积分法
上述公式称为定积分的换元积分公式,简称换元公式,
(2)当 t在 α与 β之间变化时,单调变化且
连续,则
( ) d ( ) ( ) d?? ?????????ba f x x f t ' t t
()? t ()?'t
5.3 定积分的积分方法
前页 结束后页
注意:
(1)定积分的换元法在换元后,积分上,下限也要作相
应的变换,即“换元必换限”,
(2)在换元之后,按新的积分变量进行定积分运算,不
必再还原为原变量,
(3)新变元的积分限可能 α>β,也可能 α<β,但一定要求
满足,即 对应于
,对应于,
ba ?? )(,)( ???? ??t
ax? ??t bx?
前页 结束后页
.dc o ss i n2π0 4? xxx例 1 求
,则时,,当时,当 12π00 ???? txtx
π 1
442
00sin c o s d d???所 以 x x x t t
,,则令 txxtx ddc o ss i n ??解
.5151 105 ?? t
π π44
2200sin c o s d sin d( sin )x x x x x???方法二
π
5 2
0
1 si n
5 x? ? ?
5
511
,
55
πsin sin 0
2
? ? ?????
??
注, 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时,可
以不引入中间变量
前页 结束后页
例 2 计算
1
4 d
(1 l n )
e x
xx??

11
44d d ( 1 l n )
( 1 l n ) 1 l n
ee xx
x x x??????
=
14 l n 1 l n 4 l n 2
ex??
注 用第二类换元法计算定积分时,由于引
入了新的积分变量,因此,必须根据引入的
变量代换,相应地变换积分限.
前页 结束后页
.d194 xx x? ?
ttt d)111(2 32? ????
例 3 求
,,则令 ttxxtx t d2d,2 ???解
,时,,当时,当 3924 ???? txtx
??? ? ?????? 32
23
2
9
4 d1
112d2
1d1 tt
ttt
t
tx
x
x
l n 4,7
1ln
2
2
3
2
2
??
?
?
?
?
?
?
???? tt
t
前页 结束后页
? ?
? ?
.0d)(
,)()2(
,d)(2d)(
,)()1(
0
?
?
?
?
?
??
?
?
a
a
aa
a
xxf
aaxf
xxfxxf
aaxf
则上连续,且为奇函数,在若
则上连续,且为偶函数,在若
证明
例 4
前页 结束后页
0 ( ) d d d
? ? ? ? ??在, 令,a f x x x t x t
???? ???????? aaaa xxfttfttfxxf 0000 d)(d)( d)(d)(
? ??
???
???
???? ?
a
aaa
a
xxfxf
xxfxxfxxf
0
00
d)()(
d)(d)(d)(
0
0( ) d ( ) d ( ) d?? ??? ? ?
aaf x x f x x f x x证明
,有时,,当时,则当 00 ????? txatax
,则是偶函数,即如果 )()()()1( xfxfxf ??
.d)(2d)( 0?? ?? aa a xxfxxf
前页 结束后页
,则是奇函数,即如果 )()()()2( xfxfxf ???
.0d)( ???a a xxf
例 4表明了连续的奇、偶函数在对称区间 [–a,a]上
的积分性质,即偶函数在 [–a,a]上的积分等于区间 [0,a]
上积分的两倍;奇函数在对称区间上的积分等于零,
可以利用这一性质,简化连续的奇、偶函数在对称区
间上的定积分的计算,
前页 结束后页
例 5 求,d1 )( a r c t a ns i n1 1 2
2
?? ?? xx xx ? ?
,0d
1
s i n
1,1
1
s i n
1
1 2
2
?
?
?
?
?? x
x
x
x
x
上为奇函数,则有在区间其中
,d1 )( a r c t a nd1 s i nd1 )( a r c t a ns i n 1 1 2
21
1 2
1
1 2
2
??? ??? ?????? xx xxx xxx xx解
? ?上为偶函数,则有在区间而 1,11 2
2)( a r c ta n
??
x
x
前页 结束后页
x
x
xx
x
x d
1
)a r c t a n(2d
1
)a r c t a n( 1
0 2
21
1 2
2
?? ????
.96d1 )( a r c t a ns i n π
31
1 2
2
???? ?? xx xx
)( ar c t and)a r c t a n(2 10 2 xx??
,
96
3
2
π
)( ar c tan
3
1
0
3
?
? x
前页 结束后页
例 6 证明,dc o sds i n 2π02π0 ?? ? xxxx nn
,则时,当时,当
,-,则-令
0
2
π
,
2
π
0
dd
2
π
????
??
txtx
txtx
证明
ttxx nn d2πs i nds i n 0
2
π2
π
0 ?? ??
??
?
? ???
.dc o s
dc o s
2
π
0
2
π
0
?
?
?
?
xx
tt
n
n
前页 结束后页
5.3.2 分部积分法
,则有
、上具有连续导数在区间设函数
)('
)( '],[)(),(
xv
xubaxvxu
( ),??uv ' u' v uv '
,ddd)(
],[
??? ??
b
a
b
a
b
a xu v 'xv u 'x'uv
ba 上的定积分分别求等式两端在
' d | ' d,????所 以 bb baaauv x uv u v x
( ) ' d |,??由 于 b baa uv x uv
前页 结束后页
例 7 求,de10 2? xx x
xxx xxx x de
2
1
2
1
de 10 2
1
0
21
0
2 e ?? ??
代入分部积分公式,得,21dddd ee 22 xx vxuxvxu ????,;,令解
).1(
4
1
4
1
2
1
e
ee
2
1
0
22
??
?? x
前页 结束后页
例 8 求,da r c s i n210? xx
??
?
?? 2
1
0 2
2
1
0
2
1
0
d
1
a r c s i nda r c s i n x
x
x
xxxx
代入分部积分公式,得
? ????? 2
1
0
2
2 )1d(1
1
2
1
4
π
2
1 x
x
,d
1
1d,dda r c s i n
2 xvxuxvxu x ?????,,令解
.1
2
2
8
π2
1
8
π2
2
1
0
2
???
??? x
前页 结束后页
例8 计算
1 ln d
e
e
xx?
1
11 1l n d ( l n ) d l n d
ee
ee
x x x x x x? ? ?? ? ?
11
1 1 1
1
11( l n ) d ( l n ) dee
e e
x x x x x x x xxx??? ? ? ? ? ? ? ???
????
1 1
11d d 2 1ee
e
x e xee ??? ? ? ? ? ? ???
????

前页 结束后页
例 9 求,de10? xx
]e2[ 10e t??
,,则令 ttxxtx t d2d,2 ???解
?
??
?
?
1
0
1
0
1
0
de2
de2de
t
tx
t
ttx,则时,,当时,当 1100 ???? txtx
tttt de22 1010e ???
? ?
.2
1)e(e2
?
???
前页 结束后页
5.4 无穷区间的广义积分
前面所讨论的定积分,其积分区间都是有
限区间.然而,在实际问题中,常常会遇
到积分区间为无穷区间的积分.
前页 结束后页
存在,则称此极限为
如果极限
上连续,取在区间设函数
?
??
???
b
a
+b
xxf
abaxf
d)(lim
),[)(
函数 f(x)在无穷区间 上的广
义积分,记作, 即
定义
? ??a xxf d)(
,?? ????? ? baba xxfxxf d)(limd)(
)[0,??
这时也称广义积分 收敛;如果上述极限
不存在,则称广义积分 发散,
? ??a xxf d)(
? ??a xxf d)(
前页 结束后页
无穷区间 上的广义积分定义为
类似地,无穷区间 上的广义积分定义为 ],( b??
).( d)(limd)( baxxfxxf baab ?? ?? ?????
),( ???
,??? ?????? ?? ?? aa xxfxxfxxf d)(d)(d)(
.d)(
d)(d)(
d)(
发散否则称广义积分
收敛,都收敛,则称广义积分
和两个广义积分此时,如果上式右端的


xxf
xxfxxf
xxf
a
a
?
??
?
?
??
?
??
??
??
上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分,
前页 结束后页
.de0 3? ?? ? xx例 1 求
b
x
b 0
3elim
3
1 ?
???
??
xx b xbx delimde 0 30 3 ?? ?????? ? ?解
)3d(elim31 0 3 xb x
b
??? ? ?
???
.
3
1
]1
1
[l i m
3
1
e
3
?
???
??? bb
前页 结束后页
例 2 求,d1
1
2?
??
?? ? xx

根据定义,有
x
x
x
x
x
x
d
1
1
d
1
1
d
1
1
0 2
0
22 ???
??
??
??
?? ?
?
?
?
?

xxxx a
a
d1 1limd1 1 0 20 2 ?? ???
?????
? ?,2π)2π(0a r c t a nlim 0 ????? ??? aa x
2200
11d lim d
11
??
? ? ??????
b
bxxxx? ? 0
πlim a r c t a n
2
b
b x? ? ???,
所以,广义积分 收敛,且? ???? ? xx d1 1 2 21 d π,1???? ??? xx
前页 结束后页
.11d11 当时发散收敛,当证明广义积分 ??? ?? ??? xx例 3
x
x
x
x
b
b
d
1
d
1
1
11 li m ??
???
??
?
?
?
? 时,则当
证明
,ln 1lim ????
???
b
b
x
x
x
x
x
b
b
d
1
d
1
,1
11 li m ??
???
??
?
?
??
? 时当
??
?
?
?
???
?
????
?
???,当
,当
1,
1,
1
1
1
1
1
1lim
?
?
??
?
b
b
.1
1
1
1d
1
1
时发散当


时收敛,且其值为当所以广义积分
?
??
??
?
?
?
?
x
x