8.1 二重积分的概念与性质
8.2 二重积分的计算
第 8章 多元函数积分学
结束
前页 结束后页
若有一个柱体，它的底是 Oxy平面上的闭区域 D，
它的侧面是以 D 的边界曲线为准
线，且母线平行于 z轴的柱面，
它的顶是曲面 z=f(x,y)，
设 f(x,y)≥0 为 D上的连续函数,
我们称这个柱体为曲顶柱体,
引例 1 曲顶柱体的体积,
(,)z f x y?
8.1.1 二重积分的概念
8.1 二重积分的概念与性质
现在来求这个曲顶柱体的体积,
D
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其中 既表示第 i个小块，也表示第 i个小块的面积,
i??
(2)近似 记 为 的直径
(即 表示 中任意两点间距
离的最大值 )，在 中任取一
点,以 为高而底
为 的平顶柱体体积为
ii???
i??
ii???
(,)ii?? (,)iif ??
i??
(,),i i if ? ? ??
解 (1)分割 用两组曲线把区域 D任意分割成 n个小块,
12,,,,n? ? ?? ? ?
(,)z f x y?
(,)ii??
此为小曲顶柱体体积的近似值 Δσi
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(4) 取极限 记,若极限
12m a x {,,,}n? ? ? ??
0 1
lim (,)
n
i i i
i
f
?
? ? ?
? ?
??
存在,则它即为所求曲顶柱体的体积,
(3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲
顶柱体体积的近似值为
1
(,),
n
i i i
i
f ? ? ?
?
??
前页 结束后页
1．二重积分的定义
定义 设 f (x,y)是定义在闭区域 D上的有界函数,
把区域 D 任意分割成 n个小区域, 其
中 表示第 i个小区域 (i=1,2,...,n),也表示其面积,在每个小
区域 上任取一点,作和i??
i??
12,,,n? ? ?? ? ?,
1
(,)
n
i i i
i
f ? ? ?
?
??
若 为 的直径，记,若极限
12m a x {,,,}n? ? ? ??
0 1
lim (,)
n
i i i
i
f
?
? ? ?
? ?
??
i? i??
(,)ii??
存在,则称为函数 在区域 D上的定积分,记(,)f x y
(,)
D
f x y d ???
即
0 1
lim (,)
n
i i i
i
f
?
? ? ?
? ?
???(,)
D
f x y d ???
前页 结束后页
其中 f (x,y) 称为被积函数,称为被积表达式,
称为面积元素,x 和 y 称为积分变量,称为积
分和,
由以上定义知,曲顶柱体的体积
(,) df x y ?
注,(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径
时积分和有惟一确定的极限,极限值与 D的分法和
的取法无关,
区域有关而和积分变量无关,
(2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分
d?
1
(,)n i i i
i
f ? ? ?
?
??
0??
(,)ii??
(,) d
D
V f x y ?? ??
前页 结束后页
2.二重积分的存在定理
若 f(x,y)在有界闭区域 D上连续，则 f(x,y)在 D上必可积,
3.二重积分的几何意义：
(1) 若在 D上 f(x,y)≥0，则 表示以区域 D为
底，以 f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积,
(,) d ???
D
f x y
(2) 若在 D上 f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在 Oxy面的下方
二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积,
(3)若 f(x,y)在 D的某些子区域上为正的，在 D的另一些子区
域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱
体体积的代数和 (即在 Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减
去 Oxy平面之下的曲顶柱体的体积 ).
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8.1.2 二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质,假设下面各性质中
所涉及的函数 f(x,y),g(x,y)在区域 D上都是可积的,
性质 2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代
数和的积分等于各函数积分的代数和，即
[ (,) (,) ] d (,) d (,) d,
D D D
f x y g x y f x y g x y? ? ?? ? ??? ?? ??
性质 1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，
即
(,) d ( ),d
DD
k f x y k f x y????? ??
前页 结束后页
12
(,) d (,) d (,) d,
D D D
f x y f x y f x y? ? ????? ?? ??
性质 3 若 D 可以分为两个区域 D1,D2，则
d(
D
? ? ????
性质 5 若在积分区域 D上有 f(x,y)=1，则
性质 4 若在 D上处处有 f(x,y)≤ g(x,y)，则有
(,) d (,) d,
DD
f x y g x y????? ??
表示 D的面积 )
1D
2D
前页 结束后页
性质 7(二重积分中值定理 ) 设 f(x,y)在有界闭区域 D
上连续，则在 D上存在点,使(,)??
(,) d (,),
D
f x y f? ? ? ????
性质 6(估值定理 ) 若在 D上处处有 m≤ f(x,y)≤ M，则
(,) d
D
m f x y M? ? ????? ?（ 表示 D的面积 )
?（ 表示 D的面积 )
上式的等号右边的式子称为函数 f(x,y)在 D上平均值,
前页 结束后页
例 1 设 D是圆域：,证明2214xy? ? ?
22 43 π e e d 3 π e.?????? xy
D
解 在 D上,的最小值 m=e，最大值
M=e4，而 D的面积 S(D)=4π–π=3π.由估值公
式 (3)得
22(,) e xyf x y ??
22 43 π e e d 3 π e.xy
D
??????
前页 结束后页
8.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称
为二次积分或累次积分,下面从二重积分的几何意义
来引出这种计算方法,
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两
组直线段，将区域 D分割成 n个小块
从而有
即
12,,,,n? ? ?? ? ?
(,) d (,) d d,
DD
f x y f x y x y? ??? ??
8.2 二重积分的计算
d d dxy? ?
前页 结束后页
(,) d
D
f x y ???
假定函数 在有界闭区域 D上连续,且在 D上,
1.当 D为矩形区域时,
,a,b,c,d 为常数 ),
表示以 f (x,y)为顶,区域 D为底的
曲顶柱体的体积 V.
任取,用过点 x且垂
直于 x轴的平面截曲顶柱体,
则可得到一曲边梯形,其面积
为
a
b
x
(,)f x y (,) 0f x y ?
a x b≤ ≤
c y d≤ ≤
(,)x a b?
( ) (,)dcs x f x y y? ? d
c d
()sx
前页 结束后页
( ) d ( (,) d ) db b da a cV s x x f x y y x??? ? ?
于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得,
所以 (,) d d ( (,) d ) d d (,) db d b d
a c a cD f x y x y f x y y x x f x y y???? ? ? ? ?
同法可得到先对 x后对 y
的积分方法, c dy
(,) d d
D
f x y x y??
[ (,) d ] d d (,) dd b d bc a c af x y x y y f x y x??? ? ? ?
这是先对 y后对 x的累次积
分计算二重积分的方法
a
b
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例 2 计算积分,其中 D是正方形区域：2 dd
D
y xy
x??
1 2,0 1,xy≤ ≤ ≤ ≤
解 2122
10
d d d d
D
yyx y x y
xx??? ? ?
2
21
1 d 1,
24
x
x???
12
2
21
0
1 d
2 yxx? ?
前页 结束后页
2.当区域 D为
在区间 [a,b]上任取一点 x，过该点作垂直于 x轴的平面
截立体，截得一曲边梯形,其面积为 S(x)，则
( ) d,baV S x x? ?
2
1
()
()
( ) (,) d,x
x
S x f x y y?
?
? ?
于是所求的体积
(,)z f x y?
a
b x
S(x)
1()x?
2()x?
12( ) ( ),x y x a x b?? ? ? ? ?
2
1
()
() (,) d d
bx
ax f x y y x
?
?? ??
2
1
()
()d (,) d
bx
axx f x y y
?
?? ??
前页 结束后页
在 [c,d]上取定一点 y，过该点作垂直于 y轴的平面截
曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形,
若截面面积为 S(y)，则
y
(,)z f x y?
c d
12( ) ( ),y x y c y d?? ? ? ? ?
同样，设区域 D由 和 围成,用不等式表示为1()y? 2()y?
2
1
()
()( ) (,) d
xy
xyS y f x y x,? ?
2
1
()
()( ) d [ (,) d ] d
d d x y
c c x yV S y y f x y x y??? ? ?
所给立体体积
2
1
()
()d (,) d
d x y
c x yy f x y x? ??
1 ()xy??
1 ()xy??
y
()Sy
前页 结束后页
2
1
()
()
(,) d d (,) d ddy
cy
D
f x y x y f x y x y?
?
???
?????? ? ?因此
即二重积分可以化成先对变元 x 积分，后对变元 y 积分的
二次积分,也可化为先对变量 y 积分，后对变量 x 积分的
二次积分
先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量，
2
1
()
()
d (,) ddy
cy
y f x y x?
?
? ?? 2
1
()
()d (,) d
bx
axx f x y y
?
?? ??
按定积分的计算方法解之,
在上述讨论中，我们假定 f (x,y)≥0，但是实际上，上
述结论并不受此限制,
前页 结束后页
先与直线相交的区域 D的边界曲
线 作为积分下限
为了便于确定积分区域 D的不等式表达式，通常
可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域 D的图形,
(2) 若先对 y积分，且平行于 y轴的直线与区域 D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于 y积分限的方
法是：
后与直线相交的区域 D的边界曲线 a
b
1()x?
2()x?
1()x?
2()x?作平行于 y轴的有向直线与区域 D相交
作为积分上限,
前页 结束后页
先与有向直线相交的区域 D边界
曲线 作为积分下限
而先对 x后对 y积分时，其积分区间为区域 D在 Oy
轴上投影区间 [c,d]，对积分变量 y,c是下限,d是上限
2
1
()
()
(,) d d d (,) d,by
ay
D
f x y x y x f x y y?
?
??? ? ?
1()y? 2()y?
c
d
后与有向线段相交的区域 D的边
界曲线 作为积分上限,
1()y?
2()y?
作平行于 x轴的有向直线与区域 D相交
于是
前页 结束后页
例 1 用二重积分计算由平面 2x+3y+z = 6和三个坐标平
面所围成的四面体的体积,
解 所求体积即是以
( 6 2 3 ) d,
D
xy ?????
我用分加用两种积分次序求这个积分。
也就是计算二重积分
z=6–2x–3y 为顶，
以 △ ABC围成区域 D为底
的柱体体积,
前页 结束后页
解法 1 先对 y 积分,
3 2 ( 1 )
3
00
( 6 2 3 ) d d ( 6 2 3 ) d
x
D
x y x x y y?
?
? ? ? ? ??? ? ?
作平行于 y轴的直线与区域 D相交，得积分下限为 y=0，
积分上限为, x的变化范围为 0到 3.21 3xy ????????
2 ( 1 )
33 2
0
0
3
( 6 2 ) d
2
x
x y y x
?
??? ? ?
?????
22
3
0
1 2 1 6 1 d
33
xx x??? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ? ????
2
3
0
6 1 d 6.
3
x x??? ? ?
?????
前页 结束后页
解法 2 先对 x积分
作平行于 x轴的有向直线与区域 D相交，得积分下限
x=0，积分上限,y的变化范围为 0到 2.31 2yx ????????
2 3 ( 1 )2
00
( 6 2 3 ) d d ( 6 2 3 ) d
y
D
x y y x y x? ?? ? ? ? ??? ? ?
3 ( 1 )2
22
0 0
6 3 d
y
x x y x y
?
??? ? ????
2
0
9 ( 1 ) d 64yyy? ? ? ??
前页 结束后页
例 3 计算积分,其中 D是由 y=x,y=0
和 所围成的三角形区域,
sin c o s d d
D
x y x y??
2
π?x
解法 1 先对 y积分, 作平行于 y轴的直线与积分 区域 D
相交，积分下限为 y = 0，积分上限为 y = x,D在
x 轴上的投影区间为,π[0,]2
π
2
00
sin c o s d d d sin c o s dx
D
x y x y x x y y???? ? ?
π
2
00
π
22
0
si n si n d
π
si n d,
4
x
x y y
xx
?
??
?
? 2?
前页 结束后页
解法 2 先对 x积分,
作平行于 x轴的直线与积分区域 D相交，沿 x轴
正向看，得积分下限为 x = y，积分上限为
D在 y轴上的投影区间为,故π[0,]2
π
2x ?
π
2
00
sin c o s d d d sin c o s d
x
D
x y x y y x y x??? ? ?
π π
2 2
0
π
22
0
c os [ c os ] d
π
c os d,
4
y
y x y
yy
??
??
?
?
前页 结束后页
例 4 计算积分,其中 D由 y≥0确定,??
D
yxy dd 22 1,xy??
解法 1 先对 y 积分，
作平行于 y轴的直线与区域 D相交，积分下限 y = 0；
积分上限为, D在 x方向变化范围 -1到 1.21yx??
211
10
d d d dx
D
y x y x y y?
?
??? ? ?
1 2
1
12( 1 ) d
23xx?? ? ??
21
1 2
1
0
1 d
2
x
yx
?
?
? ?
前页 结束后页
解法 2 先对 x积分,
作平行于 x轴的直线与区域 D相交，沿着 y轴正方向看，
积分下限为,积分上限为, 21xy??21xy? ? ?
2211y x y? ? ?≤ ≤
22
2 2
11 1 1
0 1 0 1
d d d d d
yy
y y
D
y x y y y x y x y
??
?? ??
? ? ??? ? ? ?
1
2
0
1
3
2 2
0
2 1 d
22
( 1 )
33
y y y
y
??
??
? ? ? ???
??
?
因此
前页 结束后页
例 6 计算,其中 D由不等式
及 所确定,
1y x x y??，
2x ≤
2
2 dd
D
x xy
y??
解法 1 化为先对 y 积分后对 x 积分的二次积分,
作平行于 y轴的直线与区域 D相交，积分下限为
积分上限为 y = x，因此
1y
x?1
yxx ≤ ≤
2,
1,
2
x
y
??
?
? ?
??
得
,
1,
yx
xy
???
??由
1,
1.
x
y
???
??得
1,
2,
xy
x
???
??由
x轴上的积分区间为 [1,2].
前页 结束后页
2 2
2
122 1
1d d d dx
xD
x x y x x y
yy
???? ? ?
? ? 22 2 4 21 11 1 9d 2,44x x x x xx??? ? ? ? ??????
2 2
1 1
1 dx
x
xx
y
????
?????
解法 2 化为先对 x 积分后对 y 积分的二次积分,
作平行于 x轴的直线与积分区域 D
相交，可知积分下限不是同一函数,
这需要将积分区域分为两个子区域,
,
2,
yx
x
???
??由
2,
2.
x
y
???
??,得
1
2
y
x
x
? ??
?
? ??;由
2,
1
.
2
x
y
??
?
?
??
?
得
在 y轴上的积分区间为 1,22??????
前页 结束后页
当 时，平行于 x轴的直线与区域 D相交时，沿
有向线段的正向，积分下限为,积分上限为 x = 2.
1 1
2 y≤ ≤
1x
y?
当 时，平行于 x 轴的
直线与区域 D相交时,沿 x轴正方
向看，积分下限 x = y，积分上
限为 x = 2.
12y≤ ≤
,
1,
yx
x
y
??
?
? ?
??
由 1,
1.
x
y
??
? ??得
y的积分区间被分成 和,1,12?????? [1,2]
前页 结束后页
2 2 21 2 2 2
112 2 21
2
d d d d d dy
yD
x x xx y y x y x
y y y? ? ??? ? ? ? ?
12
1 2 5 21
2
1 8 1 1 8dd
33 y y yy y y
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ???
21
2
4
1
1
2
1 1 8 1 8
3 4 3 2
17 5 9
.
12 6 4
y
y y y
????
? ? ? ? ?????
?? ??
? ? ?
显然解法 1较简便,因此选择
积分次序是将二重积分化为二次
积分的重要问题,
前页 结束后页
例 9 交换二次积分 的积分次序,
1 2 2
0 0 1 0d (,) d d (,) d
yyI y f x y x y f x y x???? ? ? ?
解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为 D1
与 D2.先依给定的积分限将积分区域用不等式表示为：
12
0 1,1 2,:,
0,0 2,
yyDD
x y x y
? ? ? ?????
? ? ? ? ???
转换为先对 y积分，后对 x积分，作平
行于 y轴的直线与区域 D相交，得下限
为 y = x,上限为 y=2–x，因此
在 D中,01x??
2x y x? ? ?
12
0 d (,) d,
x
xI x f x y y
??? ??
1D
2D
前页 结束后页
例 计算,其中 D为 y=x-4 和 y2=2 x 所围成的区域
D
y x y?? dd
解
2
4
2
yx
yx
????
??由
2,
2.
x
y
???
???得
8
4
x
y
???
??得
2
44
2 2
ddyy
D
y x y y x y?
?
??? ? ?dd
44 4
432
2
2 2
1
2
38
17
y
yy
?
? ?
? ? ?
?
(2,2)?
(8,4)
先对 x积分
前页 结束后页
与极角等于 和 的两条
这个小区域近似地看作是边长为
和 的小矩形，所以它的面积
二、二重积分在极坐标下的计算
若点 M在直角坐标系中坐标为 (x,y)，在极坐标
系中坐标为,则有如下关系：(,)r?
c o s,s i n,x r y r????
设 是
由半径为 和 的两个圆弧
?
1rr??
1?
??
r ???
1????
rr??? ? ? ?,
i??
1Rr?
1R r r? ??
1???
1? ? ?? ? ?
1r
r?
因此，在极坐标系中 d d d,rr???
在极坐标系中，
r
我们用 R=常数
=常数 来分割区域 D.
射线所围成的小区域,
前页 结束后页
于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为
(,) d ( c o s,s in ) d d,
DD
f x y f r r r r? ? ? ???? ??
这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐
标的变换公式,
也可以写成
(,) d d ( c o s,s in ) d d,
DD
f x y x y f r r r r? ? ???? ??
此式区域 D左端的边界的曲线方程应利用直角
坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示,
前页 结束后页
通常把极坐标系下的二重积分分为以下三种情况,
1.若极点在区域 D之外,12,( ) ( ),r r r? ? ? ? ?? ? ? ?
从而有
2
1
()
()
( c os,si n ) d d
d ( c os,si n ) d,
D
r
r
f r r r r
f r r r r
??
??
? ? ?
? ? ??
??
??
?
??
D
2 ()r ???
1()r ???
即
2.极点位于区域 D的边界上
即 0 ( )rr? ? ? ?? ? ? ?，
()
0
( c os,sin ) d d
d ( c os,sin ) d
D
r
f r r r r
f r r r r
??
?
? ? ?
? ? ??
??
??
从而有
?
??
()r ???
前页 结束后页
3,极点在区域 D的内部,02 π,0 ( )?? rr≤ ≤ ≤ ≤
2 π ()
00
( c o s,sin ) d d
d ( c o s,sin ) d
D
r
f r r r r
f r r r r
?
? ? ?
? ? ??
??
??
则有 ()r ???
另外,如图所示情况,即 2 ()r ???
1202 π,( ) ( )r? ? ? ? ?? ? ? ?
2
1
2 π ()
0 ( )
( c os,si n ) d d
d ( c os,si n ) d
D
f r r r r
f r r r r
??
??
? ? ?
? ? ??
??
??
即 D:
1 ()r ???
前页 结束后页
对一般的二重积分,如果积分区域 D为圆形、半圆
形、圆环形、扇形域等，或被积函数中含有 f (x2+y2)
的形式，利用极坐标常能简化积分计算,
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二
重积分
(1) 将 代入被积函数,c o s,s inx r y r????
(2) 将区域 D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，
确定相应的积分限,
(3) 将面积元 dxdy换为,ddrr?
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的
二重积分步骤与 1相似，只需依反方向进行,
前页 结束后页
例 11 计算二重积分 区域 D为由 x2+y2-2y=0
及 x=0围成的第一象限内的区域,
22 dd
D
x y x y???,
解 区域 D如图所示
令 代换，可得极坐标表达式
此时 D可以表示为
c o s,s inx r y r???? 2 s inr ??
π0,0 2 s in
2 r? ? ? ?,
1D
这属于第二种类型,于是
2 s i n
00 ddr r r
?? ?????
π
32
0
8 sin d
3 ??? ?
π
2
3
0
8 1 1 6c o s c o s,
3 3 9
????? ? ???
??
π
22
0
8 ( 1 c o s ) d c o s
3 ??? ? ??
原式
前页 结束后页
22
1 dd
1D xyxy????例 计算二重积分,其中 D由圆周
2 2 2x y a?? ( a 为大于 0 的常数 ) 所围成的闭区域,
解 积分区域如图所示,令 得圆周方
程为,所以积分区域 D为
a
a
c o s,s inx r y r????
ra?,00 ra??≤ ≤ 2 ≤ ≤
于是由极点位于区域内的积分公式
2 2 2
1 d d d d
11DD
rx y r
x y r ??? ? ??? ??
2
200 dd1
a r r
r
? ??
???
2 22
0
0
1 ln ( 1 ) d ln ( 1 )
2
a
ra? ??? ? ? ??
前页 结束后页
计算二重积分,
其中 D为圆环
22 ddxy
D
e x y????
2214xy?≤ ≤
解积分区域如图所示,令 可得圆环的
极坐标表示为
c o s,s inx r y r????
0 2,1 2r??≤ ≤ ≤ ≤
于是 2 2 2ddx y r
DD
e x y r e r ?? ? ???? ?? dd
2
2
2
0
1
1()
2
red? ?????
14()ee? ????
例
8.2 二重积分的计算
第 8章 多元函数积分学
结束
前页 结束后页
若有一个柱体，它的底是 Oxy平面上的闭区域 D，
它的侧面是以 D 的边界曲线为准
线，且母线平行于 z轴的柱面，
它的顶是曲面 z=f(x,y)，
设 f(x,y)≥0 为 D上的连续函数,
我们称这个柱体为曲顶柱体,
引例 1 曲顶柱体的体积,
(,)z f x y?
8.1.1 二重积分的概念
8.1 二重积分的概念与性质
现在来求这个曲顶柱体的体积,
D
前页 结束后页
其中 既表示第 i个小块，也表示第 i个小块的面积,
i??
(2)近似 记 为 的直径
(即 表示 中任意两点间距
离的最大值 )，在 中任取一
点,以 为高而底
为 的平顶柱体体积为
ii???
i??
ii???
(,)ii?? (,)iif ??
i??
(,),i i if ? ? ??
解 (1)分割 用两组曲线把区域 D任意分割成 n个小块,
12,,,,n? ? ?? ? ?
(,)z f x y?
(,)ii??
此为小曲顶柱体体积的近似值 Δσi
前页 结束后页
(4) 取极限 记,若极限
12m a x {,,,}n? ? ? ??
0 1
lim (,)
n
i i i
i
f
?
? ? ?
? ?
??
存在,则它即为所求曲顶柱体的体积,
(3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲
顶柱体体积的近似值为
1
(,),
n
i i i
i
f ? ? ?
?
??
前页 结束后页
1．二重积分的定义
定义 设 f (x,y)是定义在闭区域 D上的有界函数,
把区域 D 任意分割成 n个小区域, 其
中 表示第 i个小区域 (i=1,2,...,n),也表示其面积,在每个小
区域 上任取一点,作和i??
i??
12,,,n? ? ?? ? ?,
1
(,)
n
i i i
i
f ? ? ?
?
??
若 为 的直径，记,若极限
12m a x {,,,}n? ? ? ??
0 1
lim (,)
n
i i i
i
f
?
? ? ?
? ?
??
i? i??
(,)ii??
存在,则称为函数 在区域 D上的定积分,记(,)f x y
(,)
D
f x y d ???
即
0 1
lim (,)
n
i i i
i
f
?
? ? ?
? ?
???(,)
D
f x y d ???
前页 结束后页
其中 f (x,y) 称为被积函数,称为被积表达式,
称为面积元素,x 和 y 称为积分变量,称为积
分和,
由以上定义知,曲顶柱体的体积
(,) df x y ?
注,(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径
时积分和有惟一确定的极限,极限值与 D的分法和
的取法无关,
区域有关而和积分变量无关,
(2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分
d?
1
(,)n i i i
i
f ? ? ?
?
??
0??
(,)ii??
(,) d
D
V f x y ?? ??
前页 结束后页
2.二重积分的存在定理
若 f(x,y)在有界闭区域 D上连续，则 f(x,y)在 D上必可积,
3.二重积分的几何意义：
(1) 若在 D上 f(x,y)≥0，则 表示以区域 D为
底，以 f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积,
(,) d ???
D
f x y
(2) 若在 D上 f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在 Oxy面的下方
二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积,
(3)若 f(x,y)在 D的某些子区域上为正的，在 D的另一些子区
域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱
体体积的代数和 (即在 Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减
去 Oxy平面之下的曲顶柱体的体积 ).
前页 结束后页
8.1.2 二重积分的性质
二重积分有与定积分类似的性质,假设下面各性质中
所涉及的函数 f(x,y),g(x,y)在区域 D上都是可积的,
性质 2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代
数和的积分等于各函数积分的代数和，即
[ (,) (,) ] d (,) d (,) d,
D D D
f x y g x y f x y g x y? ? ?? ? ??? ?? ??
性质 1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，
即
(,) d ( ),d
DD
k f x y k f x y????? ??
前页 结束后页
12
(,) d (,) d (,) d,
D D D
f x y f x y f x y? ? ????? ?? ??
性质 3 若 D 可以分为两个区域 D1,D2，则
d(
D
? ? ????
性质 5 若在积分区域 D上有 f(x,y)=1，则
性质 4 若在 D上处处有 f(x,y)≤ g(x,y)，则有
(,) d (,) d,
DD
f x y g x y????? ??
表示 D的面积 )
1D
2D
前页 结束后页
性质 7(二重积分中值定理 ) 设 f(x,y)在有界闭区域 D
上连续，则在 D上存在点,使(,)??
(,) d (,),
D
f x y f? ? ? ????
性质 6(估值定理 ) 若在 D上处处有 m≤ f(x,y)≤ M，则
(,) d
D
m f x y M? ? ????? ?（ 表示 D的面积 )
?（ 表示 D的面积 )
上式的等号右边的式子称为函数 f(x,y)在 D上平均值,
前页 结束后页
例 1 设 D是圆域：,证明2214xy? ? ?
22 43 π e e d 3 π e.?????? xy
D
解 在 D上,的最小值 m=e，最大值
M=e4，而 D的面积 S(D)=4π–π=3π.由估值公
式 (3)得
22(,) e xyf x y ??
22 43 π e e d 3 π e.xy
D
??????
前页 结束后页
8.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算
二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称
为二次积分或累次积分,下面从二重积分的几何意义
来引出这种计算方法,
在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两
组直线段，将区域 D分割成 n个小块
从而有
即
12,,,,n? ? ?? ? ?
(,) d (,) d d,
DD
f x y f x y x y? ??? ??
8.2 二重积分的计算
d d dxy? ?
前页 结束后页
(,) d
D
f x y ???
假定函数 在有界闭区域 D上连续,且在 D上,
1.当 D为矩形区域时,
,a,b,c,d 为常数 ),
表示以 f (x,y)为顶,区域 D为底的
曲顶柱体的体积 V.
任取,用过点 x且垂
直于 x轴的平面截曲顶柱体,
则可得到一曲边梯形,其面积
为
a
b
x
(,)f x y (,) 0f x y ?
a x b≤ ≤
c y d≤ ≤
(,)x a b?
( ) (,)dcs x f x y y? ? d
c d
()sx
前页 结束后页
( ) d ( (,) d ) db b da a cV s x x f x y y x??? ? ?
于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得,
所以 (,) d d ( (,) d ) d d (,) db d b d
a c a cD f x y x y f x y y x x f x y y???? ? ? ? ?
同法可得到先对 x后对 y
的积分方法, c dy
(,) d d
D
f x y x y??
[ (,) d ] d d (,) dd b d bc a c af x y x y y f x y x??? ? ? ?
这是先对 y后对 x的累次积
分计算二重积分的方法
a
b
前页 结束后页
例 2 计算积分,其中 D是正方形区域：2 dd
D
y xy
x??
1 2,0 1,xy≤ ≤ ≤ ≤
解 2122
10
d d d d
D
yyx y x y
xx??? ? ?
2
21
1 d 1,
24
x
x???
12
2
21
0
1 d
2 yxx? ?
前页 结束后页
2.当区域 D为
在区间 [a,b]上任取一点 x，过该点作垂直于 x轴的平面
截立体，截得一曲边梯形,其面积为 S(x)，则
( ) d,baV S x x? ?
2
1
()
()
( ) (,) d,x
x
S x f x y y?
?
? ?
于是所求的体积
(,)z f x y?
a
b x
S(x)
1()x?
2()x?
12( ) ( ),x y x a x b?? ? ? ? ?
2
1
()
() (,) d d
bx
ax f x y y x
?
?? ??
2
1
()
()d (,) d
bx
axx f x y y
?
?? ??
前页 结束后页
在 [c,d]上取定一点 y，过该点作垂直于 y轴的平面截
曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形,
若截面面积为 S(y)，则
y
(,)z f x y?
c d
12( ) ( ),y x y c y d?? ? ? ? ?
同样，设区域 D由 和 围成,用不等式表示为1()y? 2()y?
2
1
()
()( ) (,) d
xy
xyS y f x y x,? ?
2
1
()
()( ) d [ (,) d ] d
d d x y
c c x yV S y y f x y x y??? ? ?
所给立体体积
2
1
()
()d (,) d
d x y
c x yy f x y x? ??
1 ()xy??
1 ()xy??
y
()Sy
前页 结束后页
2
1
()
()
(,) d d (,) d ddy
cy
D
f x y x y f x y x y?
?
???
?????? ? ?因此
即二重积分可以化成先对变元 x 积分，后对变元 y 积分的
二次积分,也可化为先对变量 y 积分，后对变量 x 积分的
二次积分
先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量，
2
1
()
()
d (,) ddy
cy
y f x y x?
?
? ?? 2
1
()
()d (,) d
bx
axx f x y y
?
?? ??
按定积分的计算方法解之,
在上述讨论中，我们假定 f (x,y)≥0，但是实际上，上
述结论并不受此限制,
前页 结束后页
先与直线相交的区域 D的边界曲
线 作为积分下限
为了便于确定积分区域 D的不等式表达式，通常
可以采用下述步骤：
(1) 画出积分区域 D的图形,
(2) 若先对 y积分，且平行于 y轴的直线与区域 D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于 y积分限的方
法是：
后与直线相交的区域 D的边界曲线 a
b
1()x?
2()x?
1()x?
2()x?作平行于 y轴的有向直线与区域 D相交
作为积分上限,
前页 结束后页
先与有向直线相交的区域 D边界
曲线 作为积分下限
而先对 x后对 y积分时，其积分区间为区域 D在 Oy
轴上投影区间 [c,d]，对积分变量 y,c是下限,d是上限
2
1
()
()
(,) d d d (,) d,by
ay
D
f x y x y x f x y y?
?
??? ? ?
1()y? 2()y?
c
d
后与有向线段相交的区域 D的边
界曲线 作为积分上限,
1()y?
2()y?
作平行于 x轴的有向直线与区域 D相交
于是
前页 结束后页
例 1 用二重积分计算由平面 2x+3y+z = 6和三个坐标平
面所围成的四面体的体积,
解 所求体积即是以
( 6 2 3 ) d,
D
xy ?????
我用分加用两种积分次序求这个积分。
也就是计算二重积分
z=6–2x–3y 为顶，
以 △ ABC围成区域 D为底
的柱体体积,
前页 结束后页
解法 1 先对 y 积分,
3 2 ( 1 )
3
00
( 6 2 3 ) d d ( 6 2 3 ) d
x
D
x y x x y y?
?
? ? ? ? ??? ? ?
作平行于 y轴的直线与区域 D相交，得积分下限为 y=0，
积分上限为, x的变化范围为 0到 3.21 3xy ????????
2 ( 1 )
33 2
0
0
3
( 6 2 ) d
2
x
x y y x
?
??? ? ?
?????
22
3
0
1 2 1 6 1 d
33
xx x??? ? ? ?? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ? ????
2
3
0
6 1 d 6.
3
x x??? ? ?
?????
前页 结束后页
解法 2 先对 x积分
作平行于 x轴的有向直线与区域 D相交，得积分下限
x=0，积分上限,y的变化范围为 0到 2.31 2yx ????????
2 3 ( 1 )2
00
( 6 2 3 ) d d ( 6 2 3 ) d
y
D
x y y x y x? ?? ? ? ? ??? ? ?
3 ( 1 )2
22
0 0
6 3 d
y
x x y x y
?
??? ? ????
2
0
9 ( 1 ) d 64yyy? ? ? ??
前页 结束后页
例 3 计算积分,其中 D是由 y=x,y=0
和 所围成的三角形区域,
sin c o s d d
D
x y x y??
2
π?x
解法 1 先对 y积分, 作平行于 y轴的直线与积分 区域 D
相交，积分下限为 y = 0，积分上限为 y = x,D在
x 轴上的投影区间为,π[0,]2
π
2
00
sin c o s d d d sin c o s dx
D
x y x y x x y y???? ? ?
π
2
00
π
22
0
si n si n d
π
si n d,
4
x
x y y
xx
?
??
?
? 2?
前页 结束后页
解法 2 先对 x积分,
作平行于 x轴的直线与积分区域 D相交，沿 x轴
正向看，得积分下限为 x = y，积分上限为
D在 y轴上的投影区间为,故π[0,]2
π
2x ?
π
2
00
sin c o s d d d sin c o s d
x
D
x y x y y x y x??? ? ?
π π
2 2
0
π
22
0
c os [ c os ] d
π
c os d,
4
y
y x y
yy
??
??
?
?
前页 结束后页
例 4 计算积分,其中 D由 y≥0确定,??
D
yxy dd 22 1,xy??
解法 1 先对 y 积分，
作平行于 y轴的直线与区域 D相交，积分下限 y = 0；
积分上限为, D在 x方向变化范围 -1到 1.21yx??
211
10
d d d dx
D
y x y x y y?
?
??? ? ?
1 2
1
12( 1 ) d
23xx?? ? ??
21
1 2
1
0
1 d
2
x
yx
?
?
? ?
前页 结束后页
解法 2 先对 x积分,
作平行于 x轴的直线与区域 D相交，沿着 y轴正方向看，
积分下限为,积分上限为, 21xy??21xy? ? ?
2211y x y? ? ?≤ ≤
22
2 2
11 1 1
0 1 0 1
d d d d d
yy
y y
D
y x y y y x y x y
??
?? ??
? ? ??? ? ? ?
1
2
0
1
3
2 2
0
2 1 d
22
( 1 )
33
y y y
y
??
??
? ? ? ???
??
?
因此
前页 结束后页
例 6 计算,其中 D由不等式
及 所确定,
1y x x y??，
2x ≤
2
2 dd
D
x xy
y??
解法 1 化为先对 y 积分后对 x 积分的二次积分,
作平行于 y轴的直线与区域 D相交，积分下限为
积分上限为 y = x，因此
1y
x?1
yxx ≤ ≤
2,
1,
2
x
y
??
?
? ?
??
得
,
1,
yx
xy
???
??由
1,
1.
x
y
???
??得
1,
2,
xy
x
???
??由
x轴上的积分区间为 [1,2].
前页 结束后页
2 2
2
122 1
1d d d dx
xD
x x y x x y
yy
???? ? ?
? ? 22 2 4 21 11 1 9d 2,44x x x x xx??? ? ? ? ??????
2 2
1 1
1 dx
x
xx
y
????
?????
解法 2 化为先对 x 积分后对 y 积分的二次积分,
作平行于 x轴的直线与积分区域 D
相交，可知积分下限不是同一函数,
这需要将积分区域分为两个子区域,
,
2,
yx
x
???
??由
2,
2.
x
y
???
??,得
1
2
y
x
x
? ??
?
? ??;由
2,
1
.
2
x
y
??
?
?
??
?
得
在 y轴上的积分区间为 1,22??????
前页 结束后页
当 时，平行于 x轴的直线与区域 D相交时，沿
有向线段的正向，积分下限为,积分上限为 x = 2.
1 1
2 y≤ ≤
1x
y?
当 时，平行于 x 轴的
直线与区域 D相交时,沿 x轴正方
向看，积分下限 x = y，积分上
限为 x = 2.
12y≤ ≤
,
1,
yx
x
y
??
?
? ?
??
由 1,
1.
x
y
??
? ??得
y的积分区间被分成 和,1,12?????? [1,2]
前页 结束后页
2 2 21 2 2 2
112 2 21
2
d d d d d dy
yD
x x xx y y x y x
y y y? ? ??? ? ? ? ?
12
1 2 5 21
2
1 8 1 1 8dd
33 y y yy y y
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ???
21
2
4
1
1
2
1 1 8 1 8
3 4 3 2
17 5 9
.
12 6 4
y
y y y
????
? ? ? ? ?????
?? ??
? ? ?
显然解法 1较简便,因此选择
积分次序是将二重积分化为二次
积分的重要问题,
前页 结束后页
例 9 交换二次积分 的积分次序,
1 2 2
0 0 1 0d (,) d d (,) d
yyI y f x y x y f x y x???? ? ? ?
解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为 D1
与 D2.先依给定的积分限将积分区域用不等式表示为：
12
0 1,1 2,:,
0,0 2,
yyDD
x y x y
? ? ? ?????
? ? ? ? ???
转换为先对 y积分，后对 x积分，作平
行于 y轴的直线与区域 D相交，得下限
为 y = x,上限为 y=2–x，因此
在 D中,01x??
2x y x? ? ?
12
0 d (,) d,
x
xI x f x y y
??? ??
1D
2D
前页 结束后页
例 计算,其中 D为 y=x-4 和 y2=2 x 所围成的区域
D
y x y?? dd
解
2
4
2
yx
yx
????
??由
2,
2.
x
y
???
???得
8
4
x
y
???
??得
2
44
2 2
ddyy
D
y x y y x y?
?
??? ? ?dd
44 4
432
2
2 2
1
2
38
17
y
yy
?
? ?
? ? ?
?
(2,2)?
(8,4)
先对 x积分
前页 结束后页
与极角等于 和 的两条
这个小区域近似地看作是边长为
和 的小矩形，所以它的面积
二、二重积分在极坐标下的计算
若点 M在直角坐标系中坐标为 (x,y)，在极坐标
系中坐标为,则有如下关系：(,)r?
c o s,s i n,x r y r????
设 是
由半径为 和 的两个圆弧
?
1rr??
1?
??
r ???
1????
rr??? ? ? ?,
i??
1Rr?
1R r r? ??
1???
1? ? ?? ? ?
1r
r?
因此，在极坐标系中 d d d,rr???
在极坐标系中，
r
我们用 R=常数
=常数 来分割区域 D.
射线所围成的小区域,
前页 结束后页
于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为
(,) d ( c o s,s in ) d d,
DD
f x y f r r r r? ? ? ???? ??
这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐
标的变换公式,
也可以写成
(,) d d ( c o s,s in ) d d,
DD
f x y x y f r r r r? ? ???? ??
此式区域 D左端的边界的曲线方程应利用直角
坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示,
前页 结束后页
通常把极坐标系下的二重积分分为以下三种情况,
1.若极点在区域 D之外,12,( ) ( ),r r r? ? ? ? ?? ? ? ?
从而有
2
1
()
()
( c os,si n ) d d
d ( c os,si n ) d,
D
r
r
f r r r r
f r r r r
??
??
? ? ?
? ? ??
??
??
?
??
D
2 ()r ???
1()r ???
即
2.极点位于区域 D的边界上
即 0 ( )rr? ? ? ?? ? ? ?，
()
0
( c os,sin ) d d
d ( c os,sin ) d
D
r
f r r r r
f r r r r
??
?
? ? ?
? ? ??
??
??
从而有
?
??
()r ???
前页 结束后页
3,极点在区域 D的内部,02 π,0 ( )?? rr≤ ≤ ≤ ≤
2 π ()
00
( c o s,sin ) d d
d ( c o s,sin ) d
D
r
f r r r r
f r r r r
?
? ? ?
? ? ??
??
??
则有 ()r ???
另外,如图所示情况,即 2 ()r ???
1202 π,( ) ( )r? ? ? ? ?? ? ? ?
2
1
2 π ()
0 ( )
( c os,si n ) d d
d ( c os,si n ) d
D
f r r r r
f r r r r
??
??
? ? ?
? ? ??
??
??
即 D:
1 ()r ???
前页 结束后页
对一般的二重积分,如果积分区域 D为圆形、半圆
形、圆环形、扇形域等，或被积函数中含有 f (x2+y2)
的形式，利用极坐标常能简化积分计算,
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二
重积分
(1) 将 代入被积函数,c o s,s inx r y r????
(2) 将区域 D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，
确定相应的积分限,
(3) 将面积元 dxdy换为,ddrr?
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的
二重积分步骤与 1相似，只需依反方向进行,
前页 结束后页
例 11 计算二重积分 区域 D为由 x2+y2-2y=0
及 x=0围成的第一象限内的区域,
22 dd
D
x y x y???,
解 区域 D如图所示
令 代换，可得极坐标表达式
此时 D可以表示为
c o s,s inx r y r???? 2 s inr ??
π0,0 2 s in
2 r? ? ? ?,
1D
这属于第二种类型,于是
2 s i n
00 ddr r r
?? ?????
π
32
0
8 sin d
3 ??? ?
π
2
3
0
8 1 1 6c o s c o s,
3 3 9
????? ? ???
??
π
22
0
8 ( 1 c o s ) d c o s
3 ??? ? ??
原式
前页 结束后页
22
1 dd
1D xyxy????例 计算二重积分,其中 D由圆周
2 2 2x y a?? ( a 为大于 0 的常数 ) 所围成的闭区域,
解 积分区域如图所示,令 得圆周方
程为,所以积分区域 D为
a
a
c o s,s inx r y r????
ra?,00 ra??≤ ≤ 2 ≤ ≤
于是由极点位于区域内的积分公式
2 2 2
1 d d d d
11DD
rx y r
x y r ??? ? ??? ??
2
200 dd1
a r r
r
? ??
???
2 22
0
0
1 ln ( 1 ) d ln ( 1 )
2
a
ra? ??? ? ? ??
前页 结束后页
计算二重积分,
其中 D为圆环
22 ddxy
D
e x y????
2214xy?≤ ≤
解积分区域如图所示,令 可得圆环的
极坐标表示为
c o s,s inx r y r????
0 2,1 2r??≤ ≤ ≤ ≤
于是 2 2 2ddx y r
DD
e x y r e r ?? ? ???? ?? dd
2
2
2
0
1
1()
2
red? ?????
14()ee? ????
例
