1
2
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机
床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。
利,振动给料机 弊,磨损，减少寿命，影响强度
振动筛 引起噪声，影响劳动条件
振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。
3,研究振动的目的,消除或减小有害的振动，充分利用振动
为人类服务。
2,振动的利弊,
1,所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。
3
4,振动的分类, 单自由度系统的振动
按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类,
自由振动,无阻尼的自由振动
有阻尼的自由振动，衰减振动
强迫振动,无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。
4
§ 19–1 单自由度系统无阻尼自由振动
§ 19–2 求系统固有频率的方法
§ 19–3 单自由度系统的有阻尼自由振动
§ 19–4 单自由度系统的无阻尼强迫振动
§ 19–5 单自由度系统的有阻尼强迫振动
§ 19–6 临界转速 · 减振与隔振的概念
第十九章 机械振动基础
5
§ 18-1 单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的概念,
6
7
运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为 恢复力 。
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位
置附近的振动称为 无阻尼自由振动 。
)/( 0,
)/( 0,
)/( 0,
22
222
22
Im g am g aI
lgm g lml
mkxxkxxm
nn
nn
nn
?????
?????
?????
??????
??????
??
????
????
????
质量 —弹簧系统,
单摆,
复摆,
8
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解
对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平衡位
置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是,
0?? cqqa ??
a,c是与系统的物理参数有关的常数。令 ac
n /2 ??
则自由振动的微分方程的标准形式,
02 ?? qq n???
解 为,
)s i n ( ?? ?? tAq n
9
0
0
2
2
02
0 a r c t g,q
qq
qA n
n
?
? ?
?
?
???
设 t = 0 时,则可求得,
00,qqqq ?? ??
或,
tCtCq nn ?? s inc o s 21 ??
C1,C2由初始条件决定为
nq CqC ?/,02 01 ???
tqtqq n
n
n ??? s inc o s
0
0
????
10
三、自由振动的特点,
A—— 物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。
?n t + ? —— 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
? —— 初相位，决定振体运动的起始位置。
T —— 周期，每振动一次所经历的时间。
f —— 频率，每秒钟振动的次数,f = 1 / T 。
—— 固有频率，振体在 2?秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有
参数有关。
n
T ??2?
n?
11
无阻尼自由振动的特点是,
(2) 振幅 A和初相位 ? 取决于运动的初始条件 (初位移和初速度 )；
(1) 振动规律为简谐振动；
(3)周期 T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数 (m,k,I )。
n?
四、其它
1,如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力
只影响静平衡点 O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动
频率、振幅和相位等。
12
2,弹簧并联系
统和弹簧串联系
统的等效刚度
21
21
21
21
2
2
1
1
,)(
,
kkk
kk
mg
kkmg
FFmg
k
F
k
F
eq
stst
st
???
?
????
????
??
?
并联
21
21
eq
21
2121
21
k
)
11
(
)
11
(
kk
kk
kk
mg
k
mg
kk
mg
k
mg
k
mg
eq
st
ststst
?
??
???
????
??
?
???
串联
并
联
串
联
13
1,由系统的振动微分方程的标准形式
2,静变形法,
3,能量法,
§ 18-2 求系统固有频率的方法
02 ?? qq n???
st
n
g
?? ?
st?
：集中质量在全部重力
作用下的静变形
n?
由 Tmax=Umax,求出
14
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统
动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势
能点）。
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达
到最大值。
m g AAkU stst ???? ])[(21 22m ax ??
2
m a x 2
1 kAUmgk
st ????
222
m a x 2
1
2
1
nmAxmT ??? ?
如,
15
m
kkAmA
UT
nn ??
?
??
2
1
2
1
222
m a xm a x由
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振
动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。
例 1 图示系统。设轮子无侧向摆动，
且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹
簧的质量，轮子是均质的，半径为 R，质
量为 M，重物质量 m,试列出系统微幅
振动微分方程，求出其固有频率。
16
解,以 x 为广义坐标（静平衡位置为
坐标原点）
RkgRmM st 2)( ??? ?
gk mMst ??? 2?
则任意位置 x 时,
kxgmMxkF st 22)2( ????? ?
静平衡时,
17
应用动量矩定理,
k x RRFgRmMFm
xRmM
R
x
MRRxMRxmL
A
A
42)()(
)
2
3
(
2
1 2
???????
??
???
?
??
由, 有 ?? )( Fm
dt
dL
A
A k xRxRmM 4)
2
3( ??? ??
振动微分方程,
固有频率,
mM
k
x
mM
k
x
n
23
8
0
23
8
?
?
?
?
?
?
??
18
解 2, 用机械能守恒定律
以 x为广义坐标（取静平衡位置为原点）
2
22
2
2
)
2
3
(
2
1
2
1)(
22
1
2
1
xmM
xm
R
xMR
xMT
?
?
?
?
??
???
以平衡位置为计算势能的零位置，
并注意轮心位移 x时，弹簧伸长 2x
gxmMxkkx
gxmMxkU
st
stst
)(22
)(])2[(
2
2
22
????
?????
?
??
因平衡时
gxmMxk st )(2 ???
22 k xU ??
19
由 T+U= 有,
const
c o n s tkxxmM ??? 22 2)23(21 ?
04)23( ??? kxxmM ??
mM
k
x
mM
k
x
n
23
8
0
23
8
?
?
?
?
?
?
??
对时间 t 求导，再消去公因子,得 x?
20
例 2 鼓轮：质量 M，对轮心回转半径 ?，在水平面上只滚不滑，
大轮半径 R，小轮半径 r,弹簧刚度,重物质量为 m,不计
轮 D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。
21,kk
解,取静平衡位置 O为坐标原
点，取 C偏离平衡位置 x为广义
坐标。系统的最大动能为,
21
)
)(
)(
( )(
2
1
])) [ ((
2
1
21
2
m a x21
m a x
22
m a x21m a x
Rkk
rRmg
xkk
x
R
rRmgxkkU
st
stst
?
?
???
??????
?
??
2
m a x
222
2
2
m a x
2m a x22
m a xm a x
] [
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
xr)m ( R)RM(
R
x
R
rR
m
R
x
MxMT
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
系统的最大势能为,
22
设 则有
)s in ( ?? ?? nAx
nAxAx ??? m a xm a x,?
)(21 2 )()( 221m a x222
222
m a x AkkUAR
rRmRMT
n ??
???? ??
根据 Tmax=Umax,解得
222
2
21
)()(
)(
rRmRM
Rkk
n ???
?
?
?
?
23
§ 18-3 单自由度系统的有阻尼自由振动
一、阻尼的概念,
阻尼,振动过程中，系统所受的阻力。
粘性阻尼,在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性
引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘
性阻尼。
vcR ??
投影式,xcR
x ???
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
24
二、有阻尼自由振动微分方程及其解,
质量 — 弹簧系统存在粘性阻尼,xckxxm ??? ???
02 2,22n ????? xxnx mcnmk n?? ???则令
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
25
其通解分三种情况讨论,
1、小阻尼情形 mkcn
n 2 )( ?? ?
)s i n ( ?? ?? ? tAex dnt
22 nnd ?? ?? — 有阻尼自由振动的圆频率
则时设,,,0 00 xxxxt ?? ???
00
22
01
22
2
002
0 tg ;
)(
nxx
nx
n
nxx
xA n
n ?
?
?
?
?
?? ? ?
? ?
?
?
26
衰减振动的特点,
(1) 振动周期变大,
频率减小 。
mk
cn
n
T
n
n
d
d
2
1
2
22
22
22
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
—— 阻尼比
有阻尼自由振动,
当 时,
可以认为
nn ??? 1???
TT dnd ?? ??2
2
2
1
1
1
???
?
?
??
??
?
?
nd
d
d
ff
T
T
27
(2) 振幅按几何级数衰减
对数减缩率
??
?
??
?
?
2
1
2
lnln
2
1
?
?
?
???
?
d
nT
i
i
nTe
A
A
d
2、临界阻尼情形
临界阻尼系数
) 1,( ?? ?? nn
mkc c 2?
])([ 000 tnxxxex nt ??? ? ? ),,0(
00 xxxxt ?? ??? 时
d
di
i
nT
Ttn
nt
i
i e
Ae
eA
A
A
?? ??
?
?
)(
1
相邻两次振幅之比
28
可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，
不再具备振动的特性。
)( 2222 21 tn tnnt nn eCeCex ?? ???? ??
代入初始条件
),,0( 00 xxxxt ?? ??? 时
22
00
22
222
0
22
0
1
2
)(;
2
)(
n
n
n
n
n
xxnn
C
n
xnnx
C
?
?
?
?
?
????
?
?
???
?
??
) 1,( ?? ?? nn )( ccc ?3、过阻尼（大阻尼）情形
所示规律已不是周期性的了，随时间的增长,x 0，
不具备振动特性。
29
例 3 质量弹簧系统,W=150N,?st=1cm,A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼系数 c 。
20
21
20
3
2
2
1
21
1 )( dnTe
A
A
A
A
A
A
A
A ???? ?
解,
20)(
16.0
8.0 dn Te ???
21
220205ln
??
?????
?
??
n
n
dn T
由于 很小,?
??405ln ?
)s / c mN(122.0
9801
150
2
40
5ln
2
40
5ln
2
2
??
?
????????
???
?
st
W
g
W
mkc
30
§ 18-4 单自由度系统的无阻尼强迫振动
一、强迫振动的概念
强迫振动：在外加激振力作用下的振动。
简谐激振力,
H— 力幅； ?— 激振力的圆频率 ； ? — 激振力的初相位。
)s i n ( ?? ?? tHS
)s i n ( ?? ???? tHkxxm ??
则令,2 mHhmkn ???
)s i n (2 ??? ??? thxx n??
无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，
二阶常系数非齐次线性微分方程。
二、无阻尼强迫振动微分方程及其解
31
21 xxx ??
)s i n (
)s i n (
2
1
??
??
??
??
tbx
tAx n
为对应齐次方程的通解
为特解
)s i n (,22222 ?????? ????? thxhb
nn
)s i n ()s i n ( 22 ?????? ????? thtAx
n
n
全解为,
稳态强迫振动
3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统
的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。
三、稳态强迫振动的主要特性,
1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。
2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的
质量及刚度系数无关。
32
(1) ? =0时
k
Hhb
n
?? 20
?
(2) 时，振幅 b随 ? 增大而增大；当 时,
n?? ? ??bn?? ?
(3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差 。
rad ?n?? ?
22 ?? ?
?
n
hb
b 随 ? 增大而减小；
0 ;,2 0 ????? bbbn 时时 ???
? — 振幅比或称动力系数
? — 频率比
?— ? 曲线 幅频响应曲线
（幅频特性曲线） 1
33
4、共振现象
,时n?? ? ??b
，这种现象称为共振。
此时,)c o s (
2 ?? ?? tBtx n
)c o s (
2
2
,
2
2
??
?
??
????
???
tt
b
x
t
h
b
h
B
n
n
nn
34
§ 18-5 单自由度系统的有阻尼强迫振动
一、有阻尼强迫振动微分方程及其解
tHQxcRkxF xxx ?s i n,,????? ?
tHxckxxm ?s i n???? ???
将上式两端除以 m,并令
m
Hh
m
cn
m
k
n ??? ; 2 ;
2?
thxxnx n ?? s i n2 2 ??? ???
有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微
分方程。
21 xxx ??
35
x
1是齐次方程的通解 )02( 2 ??? xxnx n????
小阻尼,
)s i n ( 221 ??? ??? ? tAex nnt
（ A,? 积分常数，取决于初始条件）
x2 是特解,)s in (
2 ?? ?? tbx
代入标准形式方程并整理
22
22222
2
tg
4)(
??
?
?
???
?
?
??
?
n
n
n
n
h
b — 强迫振动的振幅
— 强迫振动相位滞后激振力相位角
振动微分方程的全解为
)s i n ()s i n ( 22 ????? ????? ? tbtAex nnt
衰减振动 强迫振动
36
振动开始时，二者同时存在的过程 —— 瞬态过程。
仅剩下强迫振动部分的过程 —— 稳态过程。需着重讨论部分。
nn
n
b
b
????
?? ??? ;,
0
令
频率比 振幅比 阻尼比
因此,
22222 1
2 t g;
4)1(
1
?
???
???
? ??
??
?
二、阻尼对强迫振动的影响
1、振动规律 简谐振动。
2、频率,有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。
3、振幅
)s in (2 ?? ?? tbx
37
(1)
,1,)(1 ????? ???? 时n
可不计阻尼。,0bb ?
(2)
,0,)(1 ????? ???? 时n
阻尼也可忽略。
时时 0, 7 0,)(1 ??? ???? n
(3)
阻尼对振幅影响显著。 ?一
定时，阻尼增大，振幅显著
下降。
222 212,0 ????
? ????? nn nd
db 得由
— 共振频率
此时,
2
0
m a x22m a x
12
2 ??? ?
?
?
?
b
b
nn
hb
n
或
38
???? 2,,1
0
m a x
bb
n ???? 时当
4、相位差
有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角 ?,? 称为 相位差 。
21
2tg
?
???
??
(1) ?总在 0至 ? 区间内变化。
(2) 相频曲线（ ? - ?曲线）是一条单调上升的曲线。 ? 随 ? 增
大而增大。
(3) 共振时 ? =1，,曲线上升最快，阻尼值不同的曲线,
均交于这一点。
(4) ?>1时,? 随 ? 增大而增大。当 ?, 1时,反相。 ?? ?
2
?? ?
39
例 1 已知 P=3500N,k=20000N/m,
H=100N,f=2.5Hz,c=1600N·s/m,求 b,?,强迫
振动方程。
解,
r a d / s 58.103500 8.92000022 ?????? Pkgm
k eq
n?
m 105.22 0 0 0 02 1002 30 ??????? kHk Hb
eq
485.1
58.10
5.222; 212.0
58.10
24.2
r a d / s 24.2
8.9/35002
1600
2
?
?
??????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
nnn
fn
m
c
n
40
mm 84.15.2736.0
736.0
485.1212.04)485.11(
1
4)1(
1
0
2222222
????
?
????
?
??
?
bb ?
???
?
)847.05s i n (84.1
)r a d( 847.0)522.0(a r c t g)]1/(2[a r c t g
2
22
??
?????
??
?????
tx
41
§ 18-6 临界转速 ? 减振与隔振的概念
一、转子的临界转速
引起转子剧烈振动的特定转速称为 临界转速 。这种现象是
由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。
单圆盘转子,
圆盘：质量 m,质心 C点；转轴过盘的几
何中心 A点,AC= e,盘和轴共同以匀角速
度 ? 转动。 当 ?< ?n（ ?n为圆盘转轴所组
成的系统横向振动的固有频率）时,OC=
x+e (x为轴中点 A的弯曲变形）。
42
kxexm ?? 2)( ? （ k为转轴相当刚度系数）
11
2
2
2 ?
?
?
?
?
?
?
n
e
m
k
ex
??? xn,时当 ??
临界角速度,
临界转速,
cc
nc
n
m
k
?
?
??
30?
??
43
,运转时当 n?? ? 质心 C位于 O,A之间 OC= x- e
2
2 )(11 ?
?
?
n
e
m
k
ex
?
?
?
?
exx nn ??????,;,,时当时当 ?????
当转速 ? 非常高时，圆盘质心 C与两支点的连线相接近，
圆盘接近于绕质心 C旋转，于是转动平稳。
为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。
44
二、减振与隔振的概念
剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围
的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设
计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。
许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以
采用减振或隔振的措施。
减振, 在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如,
利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。
45
隔振,将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性
装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。
隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。
被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。
46
2
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机
床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。
利,振动给料机 弊,磨损，减少寿命，影响强度
振动筛 引起噪声，影响劳动条件
振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。
3,研究振动的目的,消除或减小有害的振动，充分利用振动
为人类服务。
2,振动的利弊,
1,所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。
3
4,振动的分类, 单自由度系统的振动
按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动
弹性体的振动
按振动产生的原因分类,
自由振动,无阻尼的自由振动
有阻尼的自由振动，衰减振动
强迫振动,无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。
4
§ 19–1 单自由度系统无阻尼自由振动
§ 19–2 求系统固有频率的方法
§ 19–3 单自由度系统的有阻尼自由振动
§ 19–4 单自由度系统的无阻尼强迫振动
§ 19–5 单自由度系统的有阻尼强迫振动
§ 19–6 临界转速 · 减振与隔振的概念
第十九章 机械振动基础
5
§ 18-1 单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的概念,
6
7
运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为 恢复力 。
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位
置附近的振动称为 无阻尼自由振动 。
)/( 0,
)/( 0,
)/( 0,
22
222
22
Im g am g aI
lgm g lml
mkxxkxxm
nn
nn
nn
?????
?????
?????
??????
??????
??
????
????
????
质量 —弹簧系统,
单摆,
复摆,
8
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解
对于任何一个单自由度系统，以 q 为广义坐标（从平衡位
置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是,
0?? cqqa ??
a,c是与系统的物理参数有关的常数。令 ac
n /2 ??
则自由振动的微分方程的标准形式,
02 ?? qq n???
解 为,
)s i n ( ?? ?? tAq n
9
0
0
2
2
02
0 a r c t g,q
qA n
n
?
? ?
?
?
???
设 t = 0 时,则可求得,
00,qqqq ?? ??
或,
tCtCq nn ?? s inc o s 21 ??
C1,C2由初始条件决定为
nq CqC ?/,02 01 ???
tqtqq n
n
n ??? s inc o s
0
0
????
10
三、自由振动的特点,
A—— 物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。
?n t + ? —— 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
? —— 初相位，决定振体运动的起始位置。
T —— 周期，每振动一次所经历的时间。
f —— 频率，每秒钟振动的次数,f = 1 / T 。
—— 固有频率，振体在 2?秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有
参数有关。
n
T ??2?
n?
11
无阻尼自由振动的特点是,
(2) 振幅 A和初相位 ? 取决于运动的初始条件 (初位移和初速度 )；
(1) 振动规律为简谐振动；
(3)周期 T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数 (m,k,I )。
n?
四、其它
1,如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力
只影响静平衡点 O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动
频率、振幅和相位等。
12
2,弹簧并联系
统和弹簧串联系
统的等效刚度
21
21
21
21
2
2
1
1
,)(
,
kkk
kk
mg
kkmg
FFmg
k
F
k
F
eq
stst
st
???
?
????
????
??
?
并联
21
21
eq
21
2121
21
k
)
11
(
)
11
(
kk
kk
kk
mg
k
mg
kk
mg
k
mg
k
mg
eq
st
ststst
?
??
???
????
??
?
???
串联
并
联
串
联
13
1,由系统的振动微分方程的标准形式
2,静变形法,
3,能量法,
§ 18-2 求系统固有频率的方法
02 ?? qq n???
st
n
g
?? ?
st?
：集中质量在全部重力
作用下的静变形
n?
由 Tmax=Umax,求出
14
无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统
动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势
能点）。
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达
到最大值。
m g AAkU stst ???? ])[(21 22m ax ??
2
m a x 2
1 kAUmgk
st ????
222
m a x 2
1
2
1
nmAxmT ??? ?
如,
15
m
kkAmA
UT
nn ??
?
??
2
1
2
1
222
m a xm a x由
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振
动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。
例 1 图示系统。设轮子无侧向摆动，
且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹
簧的质量，轮子是均质的，半径为 R，质
量为 M，重物质量 m,试列出系统微幅
振动微分方程，求出其固有频率。
16
解,以 x 为广义坐标（静平衡位置为
坐标原点）
RkgRmM st 2)( ??? ?
gk mMst ??? 2?
则任意位置 x 时,
kxgmMxkF st 22)2( ????? ?
静平衡时,
17
应用动量矩定理,
k x RRFgRmMFm
xRmM
R
x
MRRxMRxmL
A
A
42)()(
)
2
3
(
2
1 2
???????
??
???
?
??
由, 有 ?? )( Fm
dt
dL
A
A k xRxRmM 4)
2
3( ??? ??
振动微分方程,
固有频率,
mM
k
x
mM
k
x
n
23
8
0
23
8
?
?
?
?
?
?
??
18
解 2, 用机械能守恒定律
以 x为广义坐标（取静平衡位置为原点）
2
22
2
2
)
2
3
(
2
1
2
1)(
22
1
2
1
xmM
xm
R
xMR
xMT
?
?
?
?
??
???
以平衡位置为计算势能的零位置，
并注意轮心位移 x时，弹簧伸长 2x
gxmMxkkx
gxmMxkU
st
stst
)(22
)(])2[(
2
2
22
????
?????
?
??
因平衡时
gxmMxk st )(2 ???
22 k xU ??
19
由 T+U= 有,
const
c o n s tkxxmM ??? 22 2)23(21 ?
04)23( ??? kxxmM ??
mM
k
x
mM
k
x
n
23
8
0
23
8
?
?
?
?
?
?
??
对时间 t 求导，再消去公因子,得 x?
20
例 2 鼓轮：质量 M，对轮心回转半径 ?，在水平面上只滚不滑，
大轮半径 R，小轮半径 r,弹簧刚度,重物质量为 m,不计
轮 D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。
21,kk
解,取静平衡位置 O为坐标原
点，取 C偏离平衡位置 x为广义
坐标。系统的最大动能为,
21
)
)(
)(
( )(
2
1
])) [ ((
2
1
21
2
m a x21
m a x
22
m a x21m a x
Rkk
rRmg
xkk
x
R
rRmgxkkU
st
stst
?
?
???
??????
?
??
2
m a x
222
2
2
m a x
2m a x22
m a xm a x
] [
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
xr)m ( R)RM(
R
x
R
rR
m
R
x
MxMT
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
系统的最大势能为,
22
设 则有
)s in ( ?? ?? nAx
nAxAx ??? m a xm a x,?
)(21 2 )()( 221m a x222
222
m a x AkkUAR
rRmRMT
n ??
???? ??
根据 Tmax=Umax,解得
222
2
21
)()(
)(
rRmRM
Rkk
n ???
?
?
?
?
23
§ 18-3 单自由度系统的有阻尼自由振动
一、阻尼的概念,
阻尼,振动过程中，系统所受的阻力。
粘性阻尼,在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性
引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘
性阻尼。
vcR ??
投影式,xcR
x ???
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
24
二、有阻尼自由振动微分方程及其解,
质量 — 弹簧系统存在粘性阻尼,xckxxm ??? ???
02 2,22n ????? xxnx mcnmk n?? ???则令
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
25
其通解分三种情况讨论,
1、小阻尼情形 mkcn
n 2 )( ?? ?
)s i n ( ?? ?? ? tAex dnt
22 nnd ?? ?? — 有阻尼自由振动的圆频率
则时设,,,0 00 xxxxt ?? ???
00
22
01
22
2
002
0 tg ;
)(
nxx
nx
n
nxx
xA n
n ?
?
?
?
?
?? ? ?
? ?
?
?
26
衰减振动的特点,
(1) 振动周期变大,
频率减小 。
mk
cn
n
T
n
n
d
d
2
1
2
22
22
22
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
—— 阻尼比
有阻尼自由振动,
当 时,
可以认为
nn ??? 1???
TT dnd ?? ??2
2
2
1
1
1
???
?
?
??
??
?
?
nd
d
d
ff
T
T
27
(2) 振幅按几何级数衰减
对数减缩率
??
?
??
?
?
2
1
2
lnln
2
1
?
?
?
???
?
d
nT
i
i
nTe
A
A
d
2、临界阻尼情形
临界阻尼系数
) 1,( ?? ?? nn
mkc c 2?
])([ 000 tnxxxex nt ??? ? ? ),,0(
00 xxxxt ?? ??? 时
d
di
i
nT
Ttn
nt
i
i e
Ae
eA
A
A
?? ??
?
?
)(
1
相邻两次振幅之比
28
可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，
不再具备振动的特性。
)( 2222 21 tn tnnt nn eCeCex ?? ???? ??
代入初始条件
),,0( 00 xxxxt ?? ??? 时
22
00
22
222
0
22
0
1
2
)(;
2
)(
n
n
n
n
n
xxnn
C
n
xnnx
C
?
?
?
?
?
????
?
?
???
?
??
) 1,( ?? ?? nn )( ccc ?3、过阻尼（大阻尼）情形
所示规律已不是周期性的了，随时间的增长,x 0，
不具备振动特性。
29
例 3 质量弹簧系统,W=150N,?st=1cm,A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼系数 c 。
20
21
20
3
2
2
1
21
1 )( dnTe
A
A
A
A
A
A
A
A ???? ?
解,
20)(
16.0
8.0 dn Te ???
21
220205ln
??
?????
?
??
n
n
dn T
由于 很小,?
??405ln ?
)s / c mN(122.0
9801
150
2
40
5ln
2
40
5ln
2
2
??
?
????????
???
?
st
W
g
W
mkc
30
§ 18-4 单自由度系统的无阻尼强迫振动
一、强迫振动的概念
强迫振动：在外加激振力作用下的振动。
简谐激振力,
H— 力幅； ?— 激振力的圆频率 ； ? — 激振力的初相位。
)s i n ( ?? ?? tHS
)s i n ( ?? ???? tHkxxm ??
则令,2 mHhmkn ???
)s i n (2 ??? ??? thxx n??
无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，
二阶常系数非齐次线性微分方程。
二、无阻尼强迫振动微分方程及其解
31
21 xxx ??
)s i n (
)s i n (
2
1
??
??
??
??
tbx
tAx n
为对应齐次方程的通解
为特解
)s i n (,22222 ?????? ????? thxhb
nn
)s i n ()s i n ( 22 ?????? ????? thtAx
n
n
全解为,
稳态强迫振动
3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统
的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。
三、稳态强迫振动的主要特性,
1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。
2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的
质量及刚度系数无关。
32
(1) ? =0时
k
Hhb
n
?? 20
?
(2) 时，振幅 b随 ? 增大而增大；当 时,
n?? ? ??bn?? ?
(3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差 。
rad ?n?? ?
22 ?? ?
?
n
hb
b 随 ? 增大而减小；
0 ;,2 0 ????? bbbn 时时 ???
? — 振幅比或称动力系数
? — 频率比
?— ? 曲线 幅频响应曲线
（幅频特性曲线） 1
33
4、共振现象
,时n?? ? ??b
，这种现象称为共振。
此时,)c o s (
2 ?? ?? tBtx n
)c o s (
2
2
,
2
2
??
?
??
????
???
tt
b
x
t
h
b
h
B
n
n
nn
34
§ 18-5 单自由度系统的有阻尼强迫振动
一、有阻尼强迫振动微分方程及其解
tHQxcRkxF xxx ?s i n,,????? ?
tHxckxxm ?s i n???? ???
将上式两端除以 m,并令
m
Hh
m
cn
m
k
n ??? ; 2 ;
2?
thxxnx n ?? s i n2 2 ??? ???
有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微
分方程。
21 xxx ??
35
x
1是齐次方程的通解 )02( 2 ??? xxnx n????
小阻尼,
)s i n ( 221 ??? ??? ? tAex nnt
（ A,? 积分常数，取决于初始条件）
x2 是特解,)s in (
2 ?? ?? tbx
代入标准形式方程并整理
22
22222
2
tg
4)(
??
?
?
???
?
?
??
?
n
n
n
n
h
b — 强迫振动的振幅
— 强迫振动相位滞后激振力相位角
振动微分方程的全解为
)s i n ()s i n ( 22 ????? ????? ? tbtAex nnt
衰减振动 强迫振动
36
振动开始时，二者同时存在的过程 —— 瞬态过程。
仅剩下强迫振动部分的过程 —— 稳态过程。需着重讨论部分。
nn
n
b
b
????
?? ??? ;,
0
令
频率比 振幅比 阻尼比
因此,
22222 1
2 t g;
4)1(
1
?
???
???
? ??
??
?
二、阻尼对强迫振动的影响
1、振动规律 简谐振动。
2、频率,有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。
3、振幅
)s in (2 ?? ?? tbx
37
(1)
,1,)(1 ????? ???? 时n
可不计阻尼。,0bb ?
(2)
,0,)(1 ????? ???? 时n
阻尼也可忽略。
时时 0, 7 0,)(1 ??? ???? n
(3)
阻尼对振幅影响显著。 ?一
定时，阻尼增大，振幅显著
下降。
222 212,0 ????
? ????? nn nd
db 得由
— 共振频率
此时,
2
0
m a x22m a x
12
2 ??? ?
?
?
?
b
b
nn
hb
n
或
38
???? 2,,1
0
m a x
bb
n ???? 时当
4、相位差
有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角 ?,? 称为 相位差 。
21
2tg
?
???
??
(1) ?总在 0至 ? 区间内变化。
(2) 相频曲线（ ? - ?曲线）是一条单调上升的曲线。 ? 随 ? 增
大而增大。
(3) 共振时 ? =1，,曲线上升最快，阻尼值不同的曲线,
均交于这一点。
(4) ?>1时,? 随 ? 增大而增大。当 ?, 1时,反相。 ?? ?
2
?? ?
39
例 1 已知 P=3500N,k=20000N/m,
H=100N,f=2.5Hz,c=1600N·s/m,求 b,?,强迫
振动方程。
解,
r a d / s 58.103500 8.92000022 ?????? Pkgm
k eq
n?
m 105.22 0 0 0 02 1002 30 ??????? kHk Hb
eq
485.1
58.10
5.222; 212.0
58.10
24.2
r a d / s 24.2
8.9/35002
1600
2
?
?
??????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
nnn
fn
m
c
n
40
mm 84.15.2736.0
736.0
485.1212.04)485.11(
1
4)1(
1
0
2222222
????
?
????
?
??
?
bb ?
???
?
)847.05s i n (84.1
)r a d( 847.0)522.0(a r c t g)]1/(2[a r c t g
2
22
??
?????
??
?????
tx
41
§ 18-6 临界转速 ? 减振与隔振的概念
一、转子的临界转速
引起转子剧烈振动的特定转速称为 临界转速 。这种现象是
由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。
单圆盘转子,
圆盘：质量 m,质心 C点；转轴过盘的几
何中心 A点,AC= e,盘和轴共同以匀角速
度 ? 转动。 当 ?< ?n（ ?n为圆盘转轴所组
成的系统横向振动的固有频率）时,OC=
x+e (x为轴中点 A的弯曲变形）。
42
kxexm ?? 2)( ? （ k为转轴相当刚度系数）
11
2
2
2 ?
?
?
?
?
?
?
n
e
m
k
ex
??? xn,时当 ??
临界角速度,
临界转速,
cc
nc
n
m
k
?
?
??
30?
??
43
,运转时当 n?? ? 质心 C位于 O,A之间 OC= x- e
2
2 )(11 ?
?
?
n
e
m
k
ex
?
?
?
?
exx nn ??????,;,,时当时当 ?????
当转速 ? 非常高时，圆盘质心 C与两支点的连线相接近，
圆盘接近于绕质心 C旋转，于是转动平稳。
为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。
44
二、减振与隔振的概念
剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围
的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设
计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。
许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以
采用减振或隔振的措施。
减振, 在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如,
利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。
45
隔振,将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性
装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。
隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。
被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。
46
