1
2
前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然而
工程中除了这两种简单的运动外,刚体的平面运动也是工
程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在
研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分
解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。本章将
分析刚体平面运动的分解，应用合成运动的理论，分析平
面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚体上点的
速度和加速度。
运动学 第九章 刚体的平面运动
3
1,平面运动的定义
在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离
始终保持不变．也就是说,
刚体上任一点都在与该固
定平面平行的某一平面内
运动，具有这种特点的运
动称为刚体的 平面运动 。
例如
§ 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解
运动学 第九章 刚体的平面运动
4
运动学 第九章 刚体的平面运动
5
2．平面运动的简化
用一个平行于固定平面 S 1的平
面 S 2来截平面运动刚体，得截面 S，
它是一个平面图形。过平面图形
上任意一点 A作垂直于图形的直线
A1A2，显然直线 A1A2作平移，因此
A点的运动完全可以代表直线 A1A2
的运动；平面图形 S的运动也就代
表了整个刚体的运动。因此,刚
体的平面运动可简化为平面图形
在其自身平面内的运动。
运动学 第九章 刚体的平面运动
6
刚体的平面运动可简化为平面图形
在其自身平面内的运动。
运动学 第九章 刚体的平面运动
7
3．平面运动方程
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定
平面图形内任意一条线段的位置,
任意线段 O?M的位置可
用 O?点的坐标和 AB与 x轴夹
角表示．因此图形 S 的位
置决定于 三个
独立的参变量。点 O?的坐标
和 ? 角都是时间的函数，即
?,,OO yx ??
运动学 第九章 刚体的平面运动
8
4．平面运动分解为平移和转动
当图形 Ｓ 上 O?点不动时，则刚体作定轴转动
当图形 Ｓ 上 ? 角不变时，则刚体作平动。
如果在平面图形上任取一点 O?定义 为基点，假想在基点上固结
一随基点 O?平移 的动系 O?x? y ? z ?，那么 刚体平面运动可以看成
是随基点 O?的平移和绕基点 O?的转动这两部分运动的合成。
平面运动方程 )(
2 tfy O ??
)(1 tfx O ??
)(3 tf??
对于每一瞬时 t,都可以求出对应的, 平
面图形 S在该瞬时的位置也就确定了。
?,,OO yx ??
运动学 第九章 刚体的平面运动
9
平面运动分解为随基点的平
移和绕基点的转动
运动学 第九章 刚体的平面运动
10
由于基点是任取的，自然就会提出这样的问题：如
果基点的选择不同，随基点的平动和绕基点的转动
会有什么异同呢？
运动学 第九章 刚体的平面运动
11
如右下图所示，平面图形 Ｓ 在 ?ｔ 时间内从位置 I运动到位置 II
以 A为基点, 随基点 A平动到
A'B''后,绕基点转 角到 A'B'
以 B为基点, 随基点 B平动到
A''B'后,绕基点转 角到 A'B'
图中看出,AB?? A'B'' ?? A''B',
于是有
21 ?? ???
1??
2??
21
21
21
2
0
1
0
,;,limlim
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
????
dt
d
dt
d
tt tt
S
A
B
A?
B? B??
A??
??1 ??2
S
I
II
显然基点不同，轨迹也
不同，因此随基点平移
的速度和加速度与基点
的选择有关。
运动学 第九章 刚体的平面运动
12
由上可得,平面运动随基
点平动的运动规律与基点的选
择有关，而绕基点转动的规律
与基点选取无关。 即 ?, ?与
基点选取无关
运动学 第九章 刚体的平面运动
13
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
由上节的分析可知，任何平面
图形在自身平面内的运动都可以分
解为随基点 O ?的平移（牵连运动）
和绕基点 O ?的转动（相对运动）。
于是，平面图形内任意一点 M的运
动也是这两种运动的合成。而相对
轨迹总是以基点 O ?为圆心，以 O ?M
为半径的圆弧。因而可用上一章 点
的速度合成定理 来计算 M点的速度。
这一方法称为基点法。
O?
?
vO?
vO?
vMO? vM
x?
y?
M
运动学 第九章 刚体的平面运动
14
根据速度合成定理
rea vvv ??
则 M点速度为,
OMOM ?? ?? vvv
MOMOv MO
OMOM
?????
???
?
??
方向,;,,rea
?
vvvvvv
又由下面对应关系
即 平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该
点随图形绕基点转动的速度的矢量和。
O?
?
vO?
vO?
vMO? vM
x?
y?
M
运动学 第九章 刚体的平面运动
15
如图所示平面机构中, AB=BD=DE=l=300 mm。 在图示位置时,
BD∥ AE杆 AB的角速度为 ω=5 rad·s－ 1。 试求此瞬时杆 DE的角速度和
杆 BD中点 C 的速度 。
?60 ?60
ω
A
B C
D
E
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
16
运 动 演 示
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
17
vB
DBBD vvv ??
解,1,求杆 DE的角速度。
其中, D 点绕 B 的转动速度 vDB 的方向与 BD垂直, D点的速度 vD与 DE 垂直 。
以 B点为基点，应用速度合成定理,D点的
速度可表示为
1sm 5.1 －??? lv
B ?
杆 BD作平面运动,vB大小为
方向与 AB垂直。
?60 ?60
ω
A
B C
D
E
vD
vDB
vB
?60
?60
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
18
由速度合成矢量图可得
1sm 5.1 －????
BDBD vvv
1sr a d 5 －??? lv
BDBD?
于是可得此瞬时杆 BD的角速度为
vDB 为 D点绕 B的转动速度，应有
BDv BDDB ?? ?
转向为逆时针
vB
?60 ?60
ω
A
B C
D
E
vD
vDB
vB
?60
?60
ωBD
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
19
CBBC vvv ??
122 sm 3.1 －????
CBBC vvv
1sm 75.0
2
－???? lv
BDCB ?
2,求杆 BD中点 C的速度。
仍以 B点为基点，应用速度合成定理,C点
的速度可表示为
vB
?60 ?60
ω
A
B C D
E
vB
vC
vCB
其中 vB大小和方向均为已知,vCB 方向与 BD杆
垂直，大小为
由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时 vC
的方向恰好沿杆 BD，大小为
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
20
由于平面图形上任意两点 A和 B的距离是不变的，因此点 A
和 B的速度 vA和 vB之间必存在某种关系。如取点 A为基点,B为
动点，则由基点法
BAAB vvv ??
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等,
这就是速度投影定理。 该方法在已知其中一点速度的大小和
方向，同时又已知另一点速度的方向，仅求其大小的情况下
使用较方便。但该方法不能计算平面图形的角速度
A
?
vA
vA
vBA vB
x?
y?
B
ABBA ?v由于
ABAABB )()( vv ?
故
运动学 第九章 刚体的平面运动
21
曲柄滑块机构如图所示,
曲柄 OA以匀角速度 ω转动 。
已知曲柄 OA长为 R,连杆
AB长为 l。 当曲柄在任意位
置 φ = ωt 时, 求滑块 B的速
度 。
B
?
ω
A
ψ O
x
y
例 题 9- 2
运动学 第九章 刚体的平面运动
22
B
?
ω
A
ψ O
x
y
解,
vA
vA
vB
vBA
因为 A点速度 vA已知，故选 A为基点。
应用速度合成定理,B点的速度可
表示为
其中 vA的大小 vA=R ω 。
vB = vA+ vBA
基点法
例 题 9- 2
运动学 第九章 刚体的平面运动
23
)s i n ()
2
π
s i n ()
2
π
s i n ( ???? ?
?
?
?
?
BBAA vvv
?
???
?
??
c o s
)s i n (
)
2
πs i n (
)s i n ( ??
?
??? Rvv
AB
所以
?? s ins in lR?其中
可求得连杆 AB 的角速度
?
?
?
?
?
?
c os
c os
)
2
π
s i n (
)
2
π
s i n (
??
?
?
???
l
R
l
v
l
v ABA
AB
顺时针转向。
vA
vB
vBA
B x
y
??2π
??2π
由速度合成矢量图可得
B
?
ω
A
ψ O
x
y
vA
vA
vB
vBA
例 题 9- 2
运动学 第九章 刚体的平面运动
24
)s in (c o s ??? ?? AB vv
应用速度投影定理，有
c o s c o s ?? BA vv ?
将 vA= r ω, α ＝ 90o -ψ - ω,
β ＝ ψ 代入上式有
vA
B
?
ω
A
ψ O
x
y
vB
90o -ψ- ω
速度投影法
?
??
?
?
??
c o s
)s i n (
c o s
)s i n ( ?
?
?
?? Rvv AB
求得
例 题 9- 2
运动学 第九章 刚体的平面运动
25
1．速度瞬心的概念
一般情况下，在每一瞬时，平面图
形 S及其延伸扩展部分上都唯一地存在
一个速度为零的点，该点称为速度瞬心。
§ 9- 3 求 平面 图形 内各点速度的瞬心法
下面介绍在计算平面图形的角速度和各点速度中
应用最广，较为方便和形象的瞬心法。
如图所示，已知点 A的速度为 vA，
图形角速度大小为 ?,转向如图所示。
运动学 第九章 刚体的平面运动
26
如以点 A为基点,则在 vA的垂线 AN上（由 vA到
AN的转向与角速度的转向一致）任意一点 M的
速度 vM的大小为
随着点 M在垂线上的位置的
变化,vM的大小也随之变化，
因此总可以在 AN上找到一点
C（该点是唯一的），使得
该瞬时的 vC为零。显然，只
要令
?
AvAC ?
AMvv AM ??? ?
则 0???? ACvv
AC ?
点 C称为 瞬时速度中心,
简称 速度瞬心
运动学 第九章 刚体的平面运动
27
C
D
A
B vD
vA
vB
? ?
C
(a) (b)
2,平面图形内各点的速度及其分布
如果以速度瞬心 C为基
点，图（ a)中各点的速
度可以写成
DCDCCD
BCBCCB
ACACCA
vvvv
vvvv
vvvv
???
???
???
大小为 DCvvBCvvACvv
DCDBCBACA ????????? ???
这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，
与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似（图 b)。
因此，平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转
动。
运动学 第九章 刚体的平面运动
28
需要强调的是，速度瞬
心在平面图形及扩展部
分上的位置是随时间变
化的。
运动学 第九章 刚体的平面运动
29
３．几种确定速度瞬心位置的方法
（ 1） 已知图形上一点的速度 和图形
角速度 ? 可以确定速度瞬心的位置。 （ C点）
且 C在 绕 A点顺 ? 转向转 90o的方向一侧,
,,AA ACvAC v?? ?
Av
Av
(2)已知某瞬间平面图形上
A,B两点速度 的方向，
且, 过 A,B两
点分别作速度 的垂线,
交点 C即为该瞬间的速度瞬
心,
BA vv,
BA vv 不平行
BA vv,C
运动学 第九章 刚体的平面运动
30
AB
vvb BA
B
???,)( 反向与 vv
A
AB
vva BA
BA
???,)( 同向与 vv
（ 3） 已知某瞬时图形上 A,B两点速度
的大小,且
BA vv,ABAB BA ?? vv,
C
C
运动学 第九章 刚体的平面运动
31
（ 5） 已知某瞬时图形上 A,B两
点的速度方向相同，且不与 AB
连线垂直。此时,图形的瞬心
在无穷远处,图形的角速度 ? =0,
图形上各点速度相等,这种情
况称为 瞬时平动, (此时各点的
加速度不相等 )
（ 4） 已知一平面图形在固定
面上作无滑动的滚动,则图形与
固定面的接触点 C为速度瞬心,
运动学 第九章 刚体的平面运动
32
例 题 9-3
如图所示，半径为 R
的车轮，沿直线轨道作无
滑动的滚动，已知轮心 O
以匀速 vO前进。求轮缘上 A，
B,C和 D各点的速度。
C
A
B D
O
vO
运动学 第九章 刚体的平面运动
33
C
A
B D
O
vO
解,
COOC vvv ??
0??? COOC vvv
注意，为求车轮的角速度，可利用车轮作
无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点 C 的
速度为零，即
因为轮心 O点速度已知，故选 O为基点。
vO vCO vC=0
ω 其中 vCO 的方向已知,其 大小 vCO =R ω 。
基点法
R
v
R
v OCO ???因此 （顺时针）
例 题 9-3
应用速度合成定理，轮缘上 C点的速度
可表示为
运动学 第九章 刚体的平面运动
34
C
A
B D
O
vO
vO vCO vC=0
ω
求得 ω之 后，应用基点法各点的速度就很容
易求得如下,vO vAO v
A
vO
vBO vB
vO
vDO vD
R
v
R
v OCO ???
,2 iv OA v? OA vv 2?A点,
,jiv OOB vv ?? OB vv 2?B点,
,jiv OOD vv ?? OD vv 2?D点,
其中,i, j 为 x,y 轴的单位矢量。
例 题 9-3
运动学 第九章 刚体的平面运动
35
C
A
B D
O x
y
vO
ω
车轮上与地面相接触的 C点的速度为零
即为车轮的瞬心 。 利用已知速度 vO,可求得
车轮的角速度为
此 ω与以 O点为基点求出的角速度 ω完全相
同，说明图形的角速度与基点选择无关。
车轮上点 B的速度方向垂直于连线
CB，大小为
OB vRBCv 22 ????? ??
vB
同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果同前。
瞬心法
R
v
OC
v O?? O? （顺时针）
例 题 9-3
运动学 第九章 刚体的平面运动
36
在图中, 杆 AB长 l，
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁 。 已知 A点以速度 u沿
水平轴线运动, 试求图
示位置杆端 B点的速度
及杆的角速度 。 A
B
ψ u
O
例 题 9-4
运动学 第九章 刚体的平面运动
37
运 动 演 示
例 题 9-4
运动学 第九章 刚体的平面运动
38
A
B
ψ v
O
解,
解法一、选 A点为基点,A点的速度 vA=v,则 B点的
速度可表示为
BAAB vvv ??vA =v
vB vBA 式中 vB方向沿 OB向下, vBA方向垂直于杆 AB,由速
度合成矢量图可得
,
ta n ?
vv
B ?,s in ?
vv
BA ?
ωAB
基点法
?
?
s in
1???
l
v
l
v BA
AB
所以 ( 逆时针 )
例 题 9-4
运动学 第九章 刚体的平面运动
39
A
B
ψ
O
解法二、也可以选 B点为基点，则 A点的速度可表示为
ABBA vvv ??
vA=v
vB
vAB
式中 vB方向沿 BO向下, vAB方向垂直杆 AB，
且 vBA=ωAB·AB,但 ωAB未知, 而 vA=v。 由速度
合成矢量图可得
ωAB
vB
例 题 9-4
,
ta n ?
vv
B ?,s in ?
vv
BA ?
?
?
s in
1???
l
v
l
v BA
AB
所以 ( 逆时针 )
运动学 第九章 刚体的平面运动
40
A
B
ψ
O
ωAB
u
因为杆 AB上 A点的速度已知,B点的速度方
向也已知，故可求出杆 AB的速度瞬心在 C 点。
???? c o t c o s s i n ??????? vll vBCv ABB
所得结果自然与前相同，但求解步骤却简单得多。
注意到 vA = v,所以可以求得 Cv
vB
瞬心法
?
?
s in?
???
l
v
AC
v
AB ( 逆时针 )
例 题 9-4
运动学 第九章 刚体的平面运动
41
如图所示, 节圆半径为 r的行星
齿轮 II由曲柄 OA带动在节圆半径为 R
的固定齿轮 I 上作无滑动的滚动 。 已
知曲柄 OA以匀角速度 ωO 转动, 求在
图示位置时, 齿轮 II节圆上 M1,M2，
M3和 M4各点的速度 。 图中线段 M3M4
垂直于线段 M1M2。
ωO
O
A
M2
M4
M1
ω
M3 C
R
r
Ⅱ
Ⅰ
例 题 9-5
运动学 第九章 刚体的平面运动
42
运 动 演 示
例 题 9-5
运动学 第九章 刚体的平面运动
43
解,
OOA rROArACv ???? ????????? )(
所以轮 II 上 M1,M2, M3 和 M4 各点的速度分别为,
01 ?? Cvv OrRCMv ?? )(222 ????
OrRCMvv ?? )(2343 ?????
各点的速度方向如图所示。
因为 A点的速度
行星齿轮 II 上与固定齿轮 I 的节圆相接
触的 C点是齿轮 II的速度瞬心, 所以可利用瞬
心法求齿轮 II 上各点的速度 。 为此先求轮 II
的角速度 。
因此轮 II 的角速度
Or
rR ?? ?? （逆时针）
ωO
O
A
M2
M4
M1
ω
M3 C
R
r
Ⅱ
Ⅰ
v2
v3
v4
vA
例 题 9-5
运动学 第九章 刚体的平面运动
44
图所示平面机构中，曲柄 OA=100 mm,以角速度 ω =
2 rad·s－ 1转动。连杆 AB带动摇杆 CD,并拖动轮 E 沿水平面
滚动。已知 CD = 2CB，图示位置时 A,B,E 三点恰在一水
平线上，且 CD⊥ ED，试求此瞬时 E点的速度。
A B
C O
D
E
ω
?30
?60
例 题 9-6
o
60o
运动学 第九章 刚体的平面运动
45
运 动 演 示
例 题 9-6
运动学 第九章 刚体的平面运动
46
解,
由速度投影定理，杆 AB上 A,B点的速度在 AB 线上投
影相等，即
AB vv ??30c o s
1sm 2 3 1.0
30 c o s30 c o s
－?????
??
?OAvv A
B
摇杆 CD绕 C点作定轴转动
1sm 4 6 2.02 －?????
B
B
D vCDCB
vv
轮 E沿水平面滚动，轮心 E的速度
水平，由速度投影定理,D,E 两
点的速度关系为
DE vv ??30 c o s
A B
C O
D
E
ω
?30
?60
vA vB
vD
vE
速度投影法
1sm 5 3 3.0 －??Ev求得
例 题 9-6
30o
60o
运动学 第九章 刚体的平面运动
47
图示机构中, 曲
柄 OA以角速度 ω0顺钟
向转动 。 设 OA=AB= r，
BD= r, 在图示瞬
时, O,B,C 在同一
铅直线上, 试求此瞬时
点 B和 C的速度 。
3
ω0
?30
?60
O
D
C
A
B
例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
48
运 动 演 示
例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
49
ω0
?30
?60
O
D
C
A
B
1,分析作平面运动的连杆 AB。
已知杆上 A,B两点速度的方向。由 A和
B 分别作出 vA 和 vB 的垂线，所得交点 Cv1
就是杆 AB 的速度瞬心。并且
230s in1
rABAC
v ??
?
所以，杆 AB的角速度
0
0
1
2
2
??? ??? rr
C
v
v
A
AB
（逆时针转向）
vB
vA
ωAB Cv1
解,速度瞬心法
连杆 AB 和 BC 均作平面运动。
例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
50
此后就可以用瞬心法求 B点的速度。
因为
2
3
30 c o s1
r
ABBC ?? ?
所以,B 点的速度大小等于
00 322
3 ?? rrv
B ???
方向如图 。
ω0
?30
?60
O
D
C
A
B
vB
vA
ωAB C1
例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
51
ω0
?30
?60
O
D
C
A
B
vB
vA
ωAB C1
已知杆上 B,C 两点速度的方向。
得交点 C2 就是杆 BC 的瞬心。
点 C 的速度大小
00
2
22
2
3
2
3
3
30c o s
??
?
rr
v
BC
v
CCCCv
B
B
BCC
???
?????
?
方向如图。
2BC
v B
BC ??
（顺时针转向）
vC
ωBC C2
杆 BC 的角速度
2,分析作平面运动的连杆 BC。 例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
52
如图平面铰链机构 。 已
知杆 O1A的角速度是 ω1, 杆
O2B的角速度是 ω2,转向如
图, 且在图示瞬时, 杆 O1A
铅直, 杆 AC 和 O2B水平,
而杆 BC对铅直线的偏角 ；
又 O2B=b,O1A= b。 试求
在这瞬时 C 点的速度 。
?30
3
O1
A
O2 B
C
ω1
ω2
?30
x
y
例 题 9-8
运动学 第九章 刚体的平面运动
53
运 动 演 示
例 题 9-8
运动学 第九章 刚体的平面运动
54
O1
A
O2 B
C
ω1
ω2
?30
x
y
解, 先求出 A点和 B点的速度。有
bAOv A 111 3 ?? ??
bBOv B 222 ?? ??
vA
vB
vA 和 vB 的方向如图。
以 A点为基点分析 C 点的速度，有
CAAC vvv ??
另外，又以 B作为基点分析 C 点的速度，有
CBBC vvv ??
比较以上两式，有
CBBCAA vvvv ???
vA
vCA vC
（ 1）
（ 2）
vCB
vB
例 题 9-8
运动学 第九章 刚体的平面运动
55
上式投影到 x 轴得
?30 c osCBA vv ?
? ? bbvvvv CBC B xBxCx 11 3
2
3
230c o s0 ?? ???
?
?
??
?
?
????? ?
? ?b
bbvvvvv CBBC B yByCy
21
12
2
1
230s i n
??
??
???
????????? ?
CBBCAA vvvv ???
bvv ACB 12
30 co s
??? ?
方向如图 所以
把 式分别投影到 x,y轴上
CBBC vvv ??
O1
A
O2 B
C
ω1
ω2
?30
x
y
vA
vB
vA
vCA vC
vCB
vB
例 题 9-8
运动学 第九章 刚体的平面运动
56
例 题 9-8
于是得 ? ?
2
221
2
1
2
21
2
1
22
24
3
????
???
???
?????
b
bvvv CyCxC
? ? ? ?
1
21
3
,t a n
?
?? ??
??
Cx
Cy
C v
v
xv
运动学 第九章 刚体的平面运动
57
图示一连杆机构, 曲柄 AB
和圆盘 CD分别绕固定轴 A和 D转
动 。 BCE为三角形构件, B,C
为销钉连接 。 设圆盘以匀速
n0=40 r﹒ min－ 1顺时针转向转动,
尺寸如图 。 试求图示位置时曲
柄 AB的角速度 ωAB和构件 BCE上
点 E的速度 vE。
A
D
C
B
E
ω0 φ 120
50 100
50
60
例 题 9-9
运动学 第九章 刚体的平面运动
58
例 题 9-9
运动学 第九章 刚体的平面运动
59
A
D
C
B
E
ω0 φ 120
50 100
50
60
ωAB
vC
vB
CB vv ??c o s
根据已知数据，得到,
10
0 sr a d 19.460
π2 －??? n?
?6.22,
13
12
50120
120c o s
22 ???? ??
故 smm 2 7 2c o s 10 －???? ?? CDv B
曲柄 AB的角速度
1sr a d 09.2 －???
AB
v B
AB?
解,
C点速度已知，, B点速
度垂直于曲柄 AB。根据速度投影定理
得
0??? CDvC
1,求曲柄 AB的角速度 ωAB 。 例 题 9-9
运动学 第九章 刚体的平面运动
60
A
D
C
B
E
ω0 φ 120
50 100
50
60
ωAB
vB
vC
由于构件 BCE上 C点的速度 vC垂直
于 CE,根据速度投影定理可知 E点的速
度 vE也应垂直于 CE。 应用速度投影定
理, vB与 vE在 BE连线上的投影相等,
即
??? c o s)c o s ( EB vv ??
式中
?6.26a r c t a n ??
BC
CE?
所以
1smm 1 9 9
c o s
)c o s ( －????
?
??B
E
vv
vE α
α
2,求 E点的速度。 例 题 9-9
运动学 第九章 刚体的平面运动
61
§ 9- 4 用基点法求 平面图形卡内各点的加速度
如图所示，由 § 9- 1的分析可
知，任何平面图形在自身平面内的
运动都可以分解为随基点 A的平移
（牵连运动）和绕基点 A的转动
（相对运动）。于是，平面图形内
任意一点 B的运动也是这两种运动
的合成。而相对轨迹总是以基点 A
为圆心，以 AB为半径的圆弧。因而
可用上一章 点的加速度合成定理 来
计算 M点的速度。由于动系作平移，
故 科氏加速度恒为零 。
运动学 第九章 刚体的平面运动
62
由
rea aaa ??
以及对应关系
rae aaaaaa ??? BABA
可得
nt
BABAA
BAAB
aaa
aaa
???
??
即 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕
基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 。
其中
2nt ?? ???? ABaABa
BABA
运动学 第九章 刚体的平面运动
63
曲柄滑块机构如图所示, 曲柄 OA长 R,连杆 AB长 l。 设曲柄以匀
角速度 ω沿逆钟向绕定轴 O 转动 。 试求当曲柄转角为 φ 时滑块 B的加
速度和连杆 AB的角加速度 。
O
A
B
φ ?
ω
例 题 9-10
运动学 第九章 刚体的平面运动
64
O
A
B
φ ?
ω
例 题 9-10 解,
vA
因为 A点速度 vA已知，故选 A为基点。
应用速度合成定理,B点的速度可
表示为
其中 vA的大小 vA=R ω 。
vB = vA+ vBA vA
vB
vBA
先求连杆 AB的角速度
)s i n ()
2
π
s i n ()
2
π
s i n ( ???? ?
?
?
?
?
BBAA vvv
由速度合成矢量图可得
运动学 第九章 刚体的平面运动
65
O
A
B
φ ?
ω
vA ?
?
? Rv
BA c o s
c o s?所以
?? s ins in lR?
其中
可求得连杆 AB 的角速度
?
???
c o s
c o s???
l
R
l
v BA
AB
顺时针转向。 vA
vB
vBA
B x
y
??2π
??2π
vA
vB
vBA
例 题 9-10
运动学 第九章 刚体的平面运动
66
选点 A为基点, 则滑块 B的加速度为
其中，基点 A 加速度的大小为
nt
BABAAB aaaa ???
2n ?Raa
AA ??
ABBA ABa ???t
方向沿 AO；动点 B 绕基点 A 相对转
动的切向加速度的 大小为 t
BAa
连杆的角加速度 αAB 尚属未知。暂时
假定 αAB 沿逆钟向，故 如图所示。 t
BAa
求滑块 B的加速度。 例 题 9-10
O
A
B
φ ?
ω a
A
aA
atBA
anBA
aB
运动学 第九章 刚体的平面运动
67
n)c o s ( c o s
BAAB aaa ??? ???
? ?n)c o s ( c o s1 BAAB aaa ??? ???
求 的大小时，为了消去未知量,
把式 投影到与 相垂直
的方向 BA 上得
Ba
nt BABAAB aaaa ???
tBAa
tBAa
从而求得滑块 B的加速度
2n ABBA ABa ???
相对转动法向加速度 的大小为 n
BAa
滑块 B 的加速度 aB的方向为水平并假定
向左，大小待求。
O
A
B
φ ?
ω a
A
aA
atBA
anBA
aB
例 题 9-10
运动学 第九章 刚体的平面运动
68
转向为逆钟向。
同样，把 投影到
铅直轴 y上，有
nt BABAAB aaaa ???
连杆 AB的角加速度
)s ins in(c o s1 nt ??? BAABA aaa ??
)s i ns i n(
c o s
1 nt ??
?
? BAABAAB aa
lAB
a ?
?
??
从而求得
??? s i n c o s s i n0 nt BABAA aaa ????
求连杆 AB的角加速度。
y
O
A
B
φ ?
ω a
A
aA
atBA
aB
anBA
例 题 9-10
运动学 第九章 刚体的平面运动
69
曲柄滑块连杆机构如图
所示, 曲柄 OA长 R,连杆 AB
长 l。 曲柄以匀角速 ω0转动 。
求图示位置时连杆 AB中心点
M 的加速度 。
B ω0
A
ψ O
x
y
M φ
例 题 9-11
运动学 第九章 刚体的平面运动
70
2,加速度分析
因 A点作匀速圆周运动，则
2n ?Raa AA ??
M点相对 基点 A 的 法向加速度
202n )(
v
MA AC
RAMAMa ?? ????
M点相对 基点 A 的 切向加速度
??? AMa MAt
解,
AC
R
AC
v A 0?? ???
nt MAMAAM aaaa ???
选 A点为基点，则 M点的加速度为
1,速度分析 首先求得连杆 AB 的瞬心 C
如图所示，利用瞬心法分 析，可得连杆
的角速度为
例 题 9-11
B ω0
A
ψ O
x
y
M φ
aA
aA
tMAa
nMAa
vA
vB
C
运动学 第九章 刚体的平面运动
71
为求连杆的角加速度 α，应先求出 B点的加速
度,选 A点为基点，则 B点的加速度
nt BABAAB aaaa ???
投影到 ξ 轴上得
n)c o s (c o s BAAB aaa ????? ???
因 2
0?Ra A ?
202n )(
AC
RlABa
BA
?? ???
?
?
c o s
c o slAC ?
得到
??
????
c o s
1
c o s
c o s)c o s (
2
2
2
0 ??
?
?
?
?
? ??? Ra
B
B ω0
A
ψ O x
y
M φ
C
ω
aA
aA
tMAa
nMAa
vA
aA
tBAa
nBAa
aB
例 题 9-11
运动学 第九章 刚体的平面运动
72
投影到 η 轴上
t)s in (s in BAAB aaa ????? ???
??? c o s)s in (t BABA aaa ???
求得连杆 AB的角加速度 α大小为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????? ?
?
??????? t a n
c o s
c o s)c o s ()s i n (
2
22
0
t
l
R
l
R
AB
a BA
逆时针转向
nt BABAAB aaaa ???
例 题 9-11
B ω0
A
ψ O x
y
M φ
C
ω
aA
aA
tMAa
nMAa
vA
aA
tBAa
nBAa
aB
运动学 第九章 刚体的平面运动
73
分别投影到 ξ, η 轴上得
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
?
???
???
2
2
2
0
n
c os
c os
2
)c os (
)c os (
l
R
R
aaa MAAM
t)s in (
MAAM aaa ???? ???
由于 ?? ????
2
1t AMa
MA
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????? ?
?
??????
? t a nc o s
c o s)c o s ()s i n (
2 2
22
0
l
RRa
M
由此即可求得 M 点加速度的大小和方向。
nt MAMAAM aaaa ???对
B ω0
A
ψ O x
y
M φ
C
ω
aA
aA
tMAa
nMAa
vA
aA
tBAa
nBAa
aB
例 题 9-11
运动学 第九章 刚体的平面运动
74
如图所示, 在椭圆规的
机构中, 曲柄 OD以匀角速度
ω绕 O轴转动, OD=AD=BD=l，
求当 时, 规尺 AB的角加
速度和 A点的加速度 。
?60??
y
O
B
A x
ω
φ
D
例 题 9-12
运动学 第九章 刚体的平面运动
75
运 动 演 示
例 题 9-12
运动学 第九章 刚体的平面运动
76
曲柄 OD 绕 O轴转动，规尺 AB作平面运动。
AB上的 D点加速度, la
D 2??
nt
ADADDA aaaa ???
设规尺 AB 的角速度为 ωAB,可由基点法或瞬心法求得
?? ?AB
解,
其中 的大小, 方向沿
AB 。 atAD 大小未知，垂直于 AD，其方向暂设
如图。因为 A点作直线运动，可设 aA的方向如
图所示。
ADa ABAD ?? 2n ?nADa
取 AB上的 D点为基点,A点的加速度 y
O
B
A x
ω
φ
D aD
aD
nADa
aA
tADa
lADa ABAD 22n ?? ???
则
例 题 9-12
运动学 第九章 刚体的平面运动
77
y
O
B
A x
ω
φ
D aD
aD
nADa
aA
tADa
取 η 和 ξ 轴如图所示，将上式分别在 η 和
ξ 轴上投影，得
由上式解得
η
ξ
n)2πc o s (c o s ADDA aaa ??? ??
??? s inc o s s in0 nt ADADD aaa ????
lllaaa ADDA 2
22n
60c o s
60c o s
c o s
)2πc o s ( ???
?
? ???????
?
?
0c o s s i n)(c o s s i ns i n
22n
t ?????
?
???
?
?? llaaa ADD
AD
0
t
??
AD
a AD
AB?
规尺 AB角加速度
nt ADADDA aaaa ???
故 aA的实际方向与原假设的方向相反 。
对式 例 题 9-12
运动学 第九章 刚体的平面运动
78
如图所示, 在外啮合行星齿轮机构中, 系杆 O1O = l,以匀角速度 ω1绕
O1轴转动 。 大齿轮 Ⅱ 固定, 行星轮 Ⅰ 半径为 r,在轮 Ⅱ 上只滚不滑 。 设 A和 B
是轮缘上的两点, A点在 O1O的延长线上, 而 B点则在垂直于 O1O的半径上 。
试求点 A和 B 的加速度 。
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O1
O
A
B
C
例 题 9-13
运动学 第九章 刚体的平面运动
79
轮 Ⅰ 作平面运动，其中心 O的速度和
加速度分别为,
1?lv O ?
1?? r
l
r
v O ??
轮 Ⅰ 的速度瞬心在 C点，则轮 Ⅰ 的角速度
因为 ω1和 ω都为常量，所以轮 Ⅰ 的角加速度为零，则有
解,
1,求 A点的加速度 。
选 O为基点，应用加速度合成定理
nt
AOAOOA aaaa ???
0t ?AOa
2
1?la O ?
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O1
A
B
C
aO
vo
ω O
aO
例 题 9-13
运动学 第九章 刚体的平面运动
80
A点相对于基点 O的法向加速度沿半径
OA,指向中心 O，大小为
2
1
2
2n ??
r
lra
AO ??
ω1 Ⅰ
Ⅱ
O1
O
A B
C
aO
aO
nAOa
)1(
2
1
2
1
2
2
1
n
r
l
l
r
l
l
aaa
AOOA
??
??
??
?
??
所以由图可知 A点的加速度的方向沿 OA，
指向中心 O，它的大小为
ω
例 题 9-13
运动学 第九章 刚体的平面运动
81
nt BOBOOB aaaa ???
? ?
2
2
1
2n2 1 ?
?
??
?
?????
r
llaaa
BOOB ?
所以 B点的加速度大小为
它与半径 OB 间的夹角为
l
r
r
l
l
a
a
BO
O a r c t a na r c t a na r c t a n
2
1
2
2
1
n
???
?
?
?
2,求 B点的加速度。
选 O为基点，应用加速度合成定理
,21
2
2n ??
r
lra
BO ??
,21?la O ? 0t ?BOa
其中
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O1
O
A B
C
aO ω
nBOaa
O
Ba
例 题 9-13
运动学 第九章 刚体的平面运动
82
车轮沿直线滚动，已知车轮半径为 R，中心 O的速度为
vO，加速度为 aO。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮
上速度瞬心的加速度。
C
O vO aO
例 题 9-14
运动学 第九章 刚体的平面运动
83
车轮只滚不滑，所以其角速度和角加速度
分别为
R
vO??
R
aO??
取中心 O为基点，则 C点的加速度
nt COCOOC aaaa ???
式中
OCO aaRa ??t R
vRa O
CO
2
2n ?? ?
由于 aO与 大小相等方向相反，于是有 t
COa
解, 车轮作平面运动，其速度瞬心在与地面的
接触点 C。
R
vaa o
COC
2
n ?? 方向向上
C
O vO aO α
ω
C
O
Ca
n
C
O aO
aO
t
COa
nCOa
例 题 9-14
运动学 第九章 刚体的平面运动
84
§ 9-1 运动学综合应用举例
工程机构都是由数个构件组成的，各构件之间通
过各种联接来实现运动的传递。各构件的运动也
是多种多样的。因此，在一个复杂的机构中，可
能同时存在多种运动，需要综合应用在关理论和
方法来分析和解决问题。下面通过例子来说明。
运动学 第九章 刚体的平面运动
85
如图所示平面机构, 滑块 B可
沿杆 OA滑动 。 杆 BE与 BD分别与
套筒 B铰接, BD杆可沿水平导轨
运动 。 滑块 E以匀速 v 沿铅直导轨
向上运动, 杆 BE长为 。 图示瞬
时杆 OA 铅直, 且与杆 BE 夹角
为 。 求该瞬时杆 OA的角速度
与角加速度 。
l2
?45O
E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A
例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
86
运 动 演 示
例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
87
由 v及 vB方向可知此瞬时点 O为 BE杆的
速度瞬心，所以有
l
v
OE
v
BE ???
vOBv BEB ??? ?
以 E为基点,B点的加速度为
nt
BEBEEB aaaa ???
O E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A
vB aB
tBEa
nBEa
杆 BE作平面运动，可先求出套筒 B
的速度和加速度。套筒在 OA杆上滑动，
并带动杆 OA转动，可按复合运动方法
求解杆 OA的角速度和加角速度。
1,求 B点的速度。
2,求 B点的加速度。
解,例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
88
沿 BE方向投影上式，得
n45 c o s BEB aa ??
l
vaa BE
B
2n 2
45 c o s
?? ?
l
vBEa
BEBE
2
2n 2??? ?
nt
BEBEEB aaaa ???
从而求得
O E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A
vB aB
tBEa
nBEa
例 题 9-15
由于滑块 E作匀速直线运动，故 aE=0。
的大小为
n
BEa
运动学 第九章 刚体的平面运动
89
应用速度合成定理 rea vvv ??
,ea vv ?,0r ?v vvv B ??e
于是得杆 OA的角速度
上面用刚体平面运动方法求出了 B点的速度和加
速度 。 由于 B 滑块可以在 OA杆上滑动, 因此可利用
点的复合运动方法求解杆 OA的角速度和角加速度 。
式中 va=vB；牵连速度 ve其方向垂直于 OA,因此与
va同向；相对速度 vr沿 OA杆, 即垂直于 va 。 显然
有
3,求 OA杆的角速度。
O E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A vr
v
e va 动系－ 固连于 OA杆。
动点－滑块 B。
定系－ 固连机座。
l
v
OB
v
OA ??
e?
（逆时针转向）
例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
90
O E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A
故杆 OA的角加速度为
aa t
ea
nea
αOA
牵连法向加速度
l
vOBa
OA
2
2n
e ??? ?
滑块 B的绝对加速度 Baa ?a
将上式投影到与 ar垂直的 BD线上，得
t
ea aa ?
滑块 B的相对运动为沿 OA的直线运动，此瞬
时, vr=0,故相对加速度 ar= 0。
4,求杆 OA的角加速度。
r
n
e
t
ea aaaa ???
应用加速度合成定理
l
vaa
B
2
t
e
2??则滑块 B的牵连切向加速度为
2
2t
e 2
l
v
OB
a
OA ???
（顺时针转向）
牵连切向加速度沿 BD杆。
例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
91
在示平面机构中, AC
杆在导轨中以匀速 v平动,
通过铰链 A带动 AB杆沿导套
O运动, 导套 O与杆 AC的距
离为 l。 图示瞬时 AB杆与 AC
杆的夹角为, 求此
瞬时 AB杆的角速度及角加
速度 。
?60??
A C
O
B
?60
v
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
92
运 动 演 示
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
93
A C
O
B
?60
v va
ve
vr
rea vvv ??
由速度合成定理
ωAB
由于杆 AB在导套 O中滑动，因此杆 AB与导套 O具有相同的角速度及角加速度。
其角速度
各速度矢如图所示。
解法一 解,1,求 AB杆的角速度。
动系－ 固连于 导套 O 。 动点－ A点 。
定系－ 固连机座。
绝对运动－ A点以匀速 v 沿 AC方向的运动。
相对运动－ A点沿导套 O的直线运动。
牵连运动－导套 O绕定 轴的 转动 。
vv ?a
其中
vvv 2 360s inae ?? ? 260c o sar vvv ?? ?
从而求得
l
v
AO
v
AB 4
3e ???
（逆时针转向）
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
94
A C
O
B
?60
由于 A点为匀速直线运动, 故其绝对加速度为零 。
A点的相对运动为沿导套 O的直线运动, 因此其相对
加速度 ar 沿杆 AB方向, 故由加速度合成定理有
式中，绝对加速度 aa = 0，科氏加速度
l
vva
4
32 2
reC ?? ?
l
vaa
4
3 2
C
t
e ??
aC
ar
tea
nea
将上式投影到 ate方向得
从而求得 AB杆的角加速度大小为
2,求 AB杆的角加速度。
动点、动系与定系的选取与上相同。
Creneta aaaaa ????
2
2t
e
8
33
l
v
AO
a
AB ???
（顺时针转向）
αAB
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
95
以 O点为坐标原点建立如图直角坐标系,
vx A ???
?c o t A lx ?
将其两端对时间求导，并注意到
当 时得 AB杆角速度 ?60??
角加速度
y
A C
O
B
?
x
xA
?
l
v
再将其两端对时间求导，得
得 ?? 2s in
l
v??
????? 2s ins in2s in 22
2
l
v
l
v ?? ???
,43 lvAB ?? ?? ?
2
2
8
33
l
v
AB ?? ?? ??
解法二
则 A点的 x 坐标为
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
96
如图所示平面机构, AB长
为 l,滑块 A可沿摇杆 OC的长槽
滑动 。 摇杆 OC以匀角速度 ω绕
O轴转动, 滑块 B以匀速 v=ωl
沿水平导轨滑动 。 图示瞬时 OC
铅直, AB与水平线 OB夹角为
30o。 求此瞬时 AB杆的角速度
及角加速度 。
B
O
A
C
?30
ω
v
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
97
运 动 演 示
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
98
B
O
A
C
?30
ω
v
对作平面运动的 AB杆，以 B点为基点，有
再用点的复合运动理论分析,
vB
vAB
ve
vr
其中
Avv ?a 2e
?? lOAv ???
AB杆作平面运动, A点又在摇杆 OC内有相对运
动, 这是一个应用刚体平面运动和点的复合运动理
论联合求解的问题, 而且是一种含两个运动输入量
ω和 v 较复杂的机构运动问题 。
相对速度 vr大小未知。
1,求 AB杆的角速度。
解：
ABBA vvv ??
（ 1）
动点－ A点,动系－ 固连于 导套 OC杆上 。
由点的复合运动速度合成定理，有
rea vvv ?? （ 2）
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
99
由上面（ 1）、（ 2）两式有
沿 vB方向投影（ 3）式得
e30s in vvv ABB ?? ?
lvvv BAB ???? )(2 e
故 AB杆的角速度
沿 vr方向投影（ 3）式得
r30c o s vv AB ??
lv ?
2
3
r ?
re vvvv ??? ABB
（ 3）
从而求得
?? ??
AB
v AB
AB
（顺时针）
从而求得 B O
A
C
?30
ω
v
vB
vAB
ve
vr
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
100
对作平面运动的 AB 杆，以 B为基点，有
Aaa ?a 0
t
e ?a
lABa ABAB 22n ?? ???
nABa
tABa B
O
A
C
?30
ω
v
式中
nea
ra
Ca
lOAa 22ne ?? ??? lva 2rC 32 ?? ??
2,求 AB杆的角加速度。
由于 vB为常量，所以 aB=0，而
同理再用点的复合运动理论分析,
动点、动系与定系的选取与上相同，则有
nt
ABABBA aaaa ???
（ 4）
Crtenea aaaaa ????
（ 5）
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
101
Cr
n
e
nt aaaaa ????
ABAB
从而求得 AB杆的角加速度为
沿垂直于 OC杆的 aC方向投影得
C
nt 30c o s30s in aaa
ABAB ??
??
la AB 2t 33 ??
因此
B
O
A
C
?30
ω
v
nABa
tABa
nea
ra
Ca
αAB
由上面（ 4）、（ 5）两式有
2
t
33 ?? ?? ABa ABAB
（逆时针）
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
102
如图所示平面机构, AC杆铅
直运动, BD杆水平运动, A为铰
链, 滑块 B可沿槽杆 AE中的直槽滑
动 。 图示瞬时,
,30 ???
1smm 310 －??Av
1smm50 －??Bv
2smm 10 －??Ba
aA
B
A
C
B′
E
D
θ vB
aB
vA
AB=60 mm,
求该瞬时槽 AE杆的角速度及角
加速度 。
例 题 9-18
2smm 310 －??
Aa
运动学 第九章 刚体的平面运动
103
运 动 演 示
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
104
B
A
C
B′
E
D
θ vB
再对作平面运动的槽杆 AE,以 A为基点，有
为槽杆上与滑块 B重合的 B'点的速度，
其大小和方向均未知。 B?
? vve
Bvv ?a
式中, vr方向沿 AE，大小未知；
有三个待求量，无法作出速度平行四边形。
式 vA中已知； vB'A方向垂直于 AE，大小未知； vB' 大小、方向均未知。
1,求槽杆 AE的角速度。
解,
vA
vr
va=vB
本题为刚体平面运动和点的复合运动综合问题 。
先用点的复合运动理论分析,
动系－ 固连于 槽杆 AE。 定系－ 固连机座。
动点－ 滑块 B 。
rea vvv ??
由速度合成定理，有 （ 1）
ABAB ?? ?? vvv
（ 2）
vA
ABv?
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
105
ABAB vvv ???? ?? 60 c os30 c os
r60s in30s in vvv AB ?? ??
1smm 330 －???ABv
1r smm 10 －??v
将上式分别投影到 vB’A及 vr方向，有
从而解得
故槽杆 AE的角速度为
rea vvv ?? ABAB ?? ?? vvv
rvvvv ??? ?ABAB
得
联立上面（ 1）、（ 2）两式
1sr a d 866.0
2
3 －???? ?
AB
v AB
AE?
（顺时针）
B
A
C
B′
E
D
θ vB
vA
vr
va=vB
vA
ABv?
ωAE
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
106
再对作平面运动的槽杆 AE,以 A为基点，
B'点的加速度
2,求槽杆 AE的角加速度。
2rC smm 32.173102 －???? va AE?
,a Baa ?
ar方向沿 AE，大小未知；
B ?? aa e
其大小和方向均未知。 式中
smm 45 22n －????? ABa AEAB ?
式中
B
A
C
B′
E
D
θ
aA
aB
aA
t ABa?
nABa?
aa=aB
ar a
C
同理先用点的复合运动理论分析,
动点、动系与定系的选取与上相同，则有
Crea aaaa ???
（ 3）
nt ABABAB ??? ??? aaaa
（ 4）
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
107
Cr
nt aaaaaa ????? ??
ABABAB
分别投影到 atB'A及 vr方向，得
解得
故槽杆 AE的角速度
Ct30s i n30c o s aaaa ABAB ????? ???
rn30c o s30s i n aaaa ABAB ????? ???
smm 32.17 2t －???ABa
2r smm 65 －???a
B
A
C
B′
E
D
θ
aA
aB
aA
t ABa?
nABa?
aa=aB
ar a
C
αAE
联立上面（ 3）、（ 4）两式有
sr a d 289.0 2
t
－??? ?
AB
a AB
AE?
（逆时针）
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
108
运动学 第九章 刚体的平面运动
2
前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然而
工程中除了这两种简单的运动外,刚体的平面运动也是工
程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在
研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分
解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。本章将
分析刚体平面运动的分解，应用合成运动的理论，分析平
面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚体上点的
速度和加速度。
运动学 第九章 刚体的平面运动
3
1,平面运动的定义
在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离
始终保持不变．也就是说,
刚体上任一点都在与该固
定平面平行的某一平面内
运动，具有这种特点的运
动称为刚体的 平面运动 。
例如
§ 9-1 刚体平面运动的概述和运动分解
运动学 第九章 刚体的平面运动
4
运动学 第九章 刚体的平面运动
5
2．平面运动的简化
用一个平行于固定平面 S 1的平
面 S 2来截平面运动刚体，得截面 S，
它是一个平面图形。过平面图形
上任意一点 A作垂直于图形的直线
A1A2，显然直线 A1A2作平移，因此
A点的运动完全可以代表直线 A1A2
的运动；平面图形 S的运动也就代
表了整个刚体的运动。因此,刚
体的平面运动可简化为平面图形
在其自身平面内的运动。
运动学 第九章 刚体的平面运动
6
刚体的平面运动可简化为平面图形
在其自身平面内的运动。
运动学 第九章 刚体的平面运动
7
3．平面运动方程
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定
平面图形内任意一条线段的位置,
任意线段 O?M的位置可
用 O?点的坐标和 AB与 x轴夹
角表示．因此图形 S 的位
置决定于 三个
独立的参变量。点 O?的坐标
和 ? 角都是时间的函数，即
?,,OO yx ??
运动学 第九章 刚体的平面运动
8
4．平面运动分解为平移和转动
当图形 Ｓ 上 O?点不动时，则刚体作定轴转动
当图形 Ｓ 上 ? 角不变时，则刚体作平动。
如果在平面图形上任取一点 O?定义 为基点，假想在基点上固结
一随基点 O?平移 的动系 O?x? y ? z ?，那么 刚体平面运动可以看成
是随基点 O?的平移和绕基点 O?的转动这两部分运动的合成。
平面运动方程 )(
2 tfy O ??
)(1 tfx O ??
)(3 tf??
对于每一瞬时 t,都可以求出对应的, 平
面图形 S在该瞬时的位置也就确定了。
?,,OO yx ??
运动学 第九章 刚体的平面运动
9
平面运动分解为随基点的平
移和绕基点的转动
运动学 第九章 刚体的平面运动
10
由于基点是任取的，自然就会提出这样的问题：如
果基点的选择不同，随基点的平动和绕基点的转动
会有什么异同呢？
运动学 第九章 刚体的平面运动
11
如右下图所示，平面图形 Ｓ 在 ?ｔ 时间内从位置 I运动到位置 II
以 A为基点, 随基点 A平动到
A'B''后,绕基点转 角到 A'B'
以 B为基点, 随基点 B平动到
A''B'后,绕基点转 角到 A'B'
图中看出,AB?? A'B'' ?? A''B',
于是有
21 ?? ???
1??
2??
21
21
21
2
0
1
0
,;,limlim
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
????
dt
d
dt
d
tt tt
S
A
B
A?
B? B??
A??
??1 ??2
S
I
II
显然基点不同，轨迹也
不同，因此随基点平移
的速度和加速度与基点
的选择有关。
运动学 第九章 刚体的平面运动
12
由上可得,平面运动随基
点平动的运动规律与基点的选
择有关，而绕基点转动的规律
与基点选取无关。 即 ?, ?与
基点选取无关
运动学 第九章 刚体的平面运动
13
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
由上节的分析可知，任何平面
图形在自身平面内的运动都可以分
解为随基点 O ?的平移（牵连运动）
和绕基点 O ?的转动（相对运动）。
于是，平面图形内任意一点 M的运
动也是这两种运动的合成。而相对
轨迹总是以基点 O ?为圆心，以 O ?M
为半径的圆弧。因而可用上一章 点
的速度合成定理 来计算 M点的速度。
这一方法称为基点法。
O?
?
vO?
vO?
vMO? vM
x?
y?
M
运动学 第九章 刚体的平面运动
14
根据速度合成定理
rea vvv ??
则 M点速度为,
OMOM ?? ?? vvv
MOMOv MO
OMOM
?????
???
?
??
方向,;,,rea
?
vvvvvv
又由下面对应关系
即 平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该
点随图形绕基点转动的速度的矢量和。
O?
?
vO?
vO?
vMO? vM
x?
y?
M
运动学 第九章 刚体的平面运动
15
如图所示平面机构中, AB=BD=DE=l=300 mm。 在图示位置时,
BD∥ AE杆 AB的角速度为 ω=5 rad·s－ 1。 试求此瞬时杆 DE的角速度和
杆 BD中点 C 的速度 。
?60 ?60
ω
A
B C
D
E
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
16
运 动 演 示
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
17
vB
DBBD vvv ??
解,1,求杆 DE的角速度。
其中, D 点绕 B 的转动速度 vDB 的方向与 BD垂直, D点的速度 vD与 DE 垂直 。
以 B点为基点，应用速度合成定理,D点的
速度可表示为
1sm 5.1 －??? lv
B ?
杆 BD作平面运动,vB大小为
方向与 AB垂直。
?60 ?60
ω
A
B C
D
E
vD
vDB
vB
?60
?60
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
18
由速度合成矢量图可得
1sm 5.1 －????
BDBD vvv
1sr a d 5 －??? lv
BDBD?
于是可得此瞬时杆 BD的角速度为
vDB 为 D点绕 B的转动速度，应有
BDv BDDB ?? ?
转向为逆时针
vB
?60 ?60
ω
A
B C
D
E
vD
vDB
vB
?60
?60
ωBD
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
19
CBBC vvv ??
122 sm 3.1 －????
CBBC vvv
1sm 75.0
2
－???? lv
BDCB ?
2,求杆 BD中点 C的速度。
仍以 B点为基点，应用速度合成定理,C点
的速度可表示为
vB
?60 ?60
ω
A
B C D
E
vB
vC
vCB
其中 vB大小和方向均为已知,vCB 方向与 BD杆
垂直，大小为
由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时 vC
的方向恰好沿杆 BD，大小为
例 题 9-1
运动学 第九章 刚体的平面运动
20
由于平面图形上任意两点 A和 B的距离是不变的，因此点 A
和 B的速度 vA和 vB之间必存在某种关系。如取点 A为基点,B为
动点，则由基点法
BAAB vvv ??
即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等,
这就是速度投影定理。 该方法在已知其中一点速度的大小和
方向，同时又已知另一点速度的方向，仅求其大小的情况下
使用较方便。但该方法不能计算平面图形的角速度
A
?
vA
vA
vBA vB
x?
y?
B
ABBA ?v由于
ABAABB )()( vv ?
故
运动学 第九章 刚体的平面运动
21
曲柄滑块机构如图所示,
曲柄 OA以匀角速度 ω转动 。
已知曲柄 OA长为 R,连杆
AB长为 l。 当曲柄在任意位
置 φ = ωt 时, 求滑块 B的速
度 。
B
?
ω
A
ψ O
x
y
例 题 9- 2
运动学 第九章 刚体的平面运动
22
B
?
ω
A
ψ O
x
y
解,
vA
vA
vB
vBA
因为 A点速度 vA已知，故选 A为基点。
应用速度合成定理,B点的速度可
表示为
其中 vA的大小 vA=R ω 。
vB = vA+ vBA
基点法
例 题 9- 2
运动学 第九章 刚体的平面运动
23
)s i n ()
2
π
s i n ()
2
π
s i n ( ???? ?
?
?
?
?
BBAA vvv
?
???
?
??
c o s
)s i n (
)
2
πs i n (
)s i n ( ??
?
??? Rvv
AB
所以
?? s ins in lR?其中
可求得连杆 AB 的角速度
?
?
?
?
?
?
c os
c os
)
2
π
s i n (
)
2
π
s i n (
??
?
?
???
l
R
l
v
l
v ABA
AB
顺时针转向。
vA
vB
vBA
B x
y
??2π
??2π
由速度合成矢量图可得
B
?
ω
A
ψ O
x
y
vA
vA
vB
vBA
例 题 9- 2
运动学 第九章 刚体的平面运动
24
)s in (c o s ??? ?? AB vv
应用速度投影定理，有
c o s c o s ?? BA vv ?
将 vA= r ω, α ＝ 90o -ψ - ω,
β ＝ ψ 代入上式有
vA
B
?
ω
A
ψ O
x
y
vB
90o -ψ- ω
速度投影法
?
??
?
?
??
c o s
)s i n (
c o s
)s i n ( ?
?
?
?? Rvv AB
求得
例 题 9- 2
运动学 第九章 刚体的平面运动
25
1．速度瞬心的概念
一般情况下，在每一瞬时，平面图
形 S及其延伸扩展部分上都唯一地存在
一个速度为零的点，该点称为速度瞬心。
§ 9- 3 求 平面 图形 内各点速度的瞬心法
下面介绍在计算平面图形的角速度和各点速度中
应用最广，较为方便和形象的瞬心法。
如图所示，已知点 A的速度为 vA，
图形角速度大小为 ?,转向如图所示。
运动学 第九章 刚体的平面运动
26
如以点 A为基点,则在 vA的垂线 AN上（由 vA到
AN的转向与角速度的转向一致）任意一点 M的
速度 vM的大小为
随着点 M在垂线上的位置的
变化,vM的大小也随之变化，
因此总可以在 AN上找到一点
C（该点是唯一的），使得
该瞬时的 vC为零。显然，只
要令
?
AvAC ?
AMvv AM ??? ?
则 0???? ACvv
AC ?
点 C称为 瞬时速度中心,
简称 速度瞬心
运动学 第九章 刚体的平面运动
27
C
D
A
B vD
vA
vB
? ?
C
(a) (b)
2,平面图形内各点的速度及其分布
如果以速度瞬心 C为基
点，图（ a)中各点的速
度可以写成
DCDCCD
BCBCCB
ACACCA
vvvv
vvvv
vvvv
???
???
???
大小为 DCvvBCvvACvv
DCDBCBACA ????????? ???
这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，
与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似（图 b)。
因此，平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转
动。
运动学 第九章 刚体的平面运动
28
需要强调的是，速度瞬
心在平面图形及扩展部
分上的位置是随时间变
化的。
运动学 第九章 刚体的平面运动
29
３．几种确定速度瞬心位置的方法
（ 1） 已知图形上一点的速度 和图形
角速度 ? 可以确定速度瞬心的位置。 （ C点）
且 C在 绕 A点顺 ? 转向转 90o的方向一侧,
,,AA ACvAC v?? ?
Av
Av
(2)已知某瞬间平面图形上
A,B两点速度 的方向，
且, 过 A,B两
点分别作速度 的垂线,
交点 C即为该瞬间的速度瞬
心,
BA vv,
BA vv 不平行
BA vv,C
运动学 第九章 刚体的平面运动
30
AB
vvb BA
B
???,)( 反向与 vv
A
AB
vva BA
BA
???,)( 同向与 vv
（ 3） 已知某瞬时图形上 A,B两点速度
的大小,且
BA vv,ABAB BA ?? vv,
C
C
运动学 第九章 刚体的平面运动
31
（ 5） 已知某瞬时图形上 A,B两
点的速度方向相同，且不与 AB
连线垂直。此时,图形的瞬心
在无穷远处,图形的角速度 ? =0,
图形上各点速度相等,这种情
况称为 瞬时平动, (此时各点的
加速度不相等 )
（ 4） 已知一平面图形在固定
面上作无滑动的滚动,则图形与
固定面的接触点 C为速度瞬心,
运动学 第九章 刚体的平面运动
32
例 题 9-3
如图所示，半径为 R
的车轮，沿直线轨道作无
滑动的滚动，已知轮心 O
以匀速 vO前进。求轮缘上 A，
B,C和 D各点的速度。
C
A
B D
O
vO
运动学 第九章 刚体的平面运动
33
C
A
B D
O
vO
解,
COOC vvv ??
0??? COOC vvv
注意，为求车轮的角速度，可利用车轮作
无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点 C 的
速度为零，即
因为轮心 O点速度已知，故选 O为基点。
vO vCO vC=0
ω 其中 vCO 的方向已知,其 大小 vCO =R ω 。
基点法
R
v
R
v OCO ???因此 （顺时针）
例 题 9-3
应用速度合成定理，轮缘上 C点的速度
可表示为
运动学 第九章 刚体的平面运动
34
C
A
B D
O
vO
vO vCO vC=0
ω
求得 ω之 后，应用基点法各点的速度就很容
易求得如下,vO vAO v
A
vO
vBO vB
vO
vDO vD
R
v
R
v OCO ???
,2 iv OA v? OA vv 2?A点,
,jiv OOB vv ?? OB vv 2?B点,
,jiv OOD vv ?? OD vv 2?D点,
其中,i, j 为 x,y 轴的单位矢量。
例 题 9-3
运动学 第九章 刚体的平面运动
35
C
A
B D
O x
y
vO
ω
车轮上与地面相接触的 C点的速度为零
即为车轮的瞬心 。 利用已知速度 vO,可求得
车轮的角速度为
此 ω与以 O点为基点求出的角速度 ω完全相
同，说明图形的角速度与基点选择无关。
车轮上点 B的速度方向垂直于连线
CB，大小为
OB vRBCv 22 ????? ??
vB
同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果同前。
瞬心法
R
v
OC
v O?? O? （顺时针）
例 题 9-3
运动学 第九章 刚体的平面运动
36
在图中, 杆 AB长 l，
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁 。 已知 A点以速度 u沿
水平轴线运动, 试求图
示位置杆端 B点的速度
及杆的角速度 。 A
B
ψ u
O
例 题 9-4
运动学 第九章 刚体的平面运动
37
运 动 演 示
例 题 9-4
运动学 第九章 刚体的平面运动
38
A
B
ψ v
O
解,
解法一、选 A点为基点,A点的速度 vA=v,则 B点的
速度可表示为
BAAB vvv ??vA =v
vB vBA 式中 vB方向沿 OB向下, vBA方向垂直于杆 AB,由速
度合成矢量图可得
,
ta n ?
vv
B ?,s in ?
vv
BA ?
ωAB
基点法
?
?
s in
1???
l
v
l
v BA
AB
所以 ( 逆时针 )
例 题 9-4
运动学 第九章 刚体的平面运动
39
A
B
ψ
O
解法二、也可以选 B点为基点，则 A点的速度可表示为
ABBA vvv ??
vA=v
vB
vAB
式中 vB方向沿 BO向下, vAB方向垂直杆 AB，
且 vBA=ωAB·AB,但 ωAB未知, 而 vA=v。 由速度
合成矢量图可得
ωAB
vB
例 题 9-4
,
ta n ?
vv
B ?,s in ?
vv
BA ?
?
?
s in
1???
l
v
l
v BA
AB
所以 ( 逆时针 )
运动学 第九章 刚体的平面运动
40
A
B
ψ
O
ωAB
u
因为杆 AB上 A点的速度已知,B点的速度方
向也已知，故可求出杆 AB的速度瞬心在 C 点。
???? c o t c o s s i n ??????? vll vBCv ABB
所得结果自然与前相同，但求解步骤却简单得多。
注意到 vA = v,所以可以求得 Cv
vB
瞬心法
?
?
s in?
???
l
v
AC
v
AB ( 逆时针 )
例 题 9-4
运动学 第九章 刚体的平面运动
41
如图所示, 节圆半径为 r的行星
齿轮 II由曲柄 OA带动在节圆半径为 R
的固定齿轮 I 上作无滑动的滚动 。 已
知曲柄 OA以匀角速度 ωO 转动, 求在
图示位置时, 齿轮 II节圆上 M1,M2，
M3和 M4各点的速度 。 图中线段 M3M4
垂直于线段 M1M2。
ωO
O
A
M2
M4
M1
ω
M3 C
R
r
Ⅱ
Ⅰ
例 题 9-5
运动学 第九章 刚体的平面运动
42
运 动 演 示
例 题 9-5
运动学 第九章 刚体的平面运动
43
解,
OOA rROArACv ???? ????????? )(
所以轮 II 上 M1,M2, M3 和 M4 各点的速度分别为,
01 ?? Cvv OrRCMv ?? )(222 ????
OrRCMvv ?? )(2343 ?????
各点的速度方向如图所示。
因为 A点的速度
行星齿轮 II 上与固定齿轮 I 的节圆相接
触的 C点是齿轮 II的速度瞬心, 所以可利用瞬
心法求齿轮 II 上各点的速度 。 为此先求轮 II
的角速度 。
因此轮 II 的角速度
Or
rR ?? ?? （逆时针）
ωO
O
A
M2
M4
M1
ω
M3 C
R
r
Ⅱ
Ⅰ
v2
v3
v4
vA
例 题 9-5
运动学 第九章 刚体的平面运动
44
图所示平面机构中，曲柄 OA=100 mm,以角速度 ω =
2 rad·s－ 1转动。连杆 AB带动摇杆 CD,并拖动轮 E 沿水平面
滚动。已知 CD = 2CB，图示位置时 A,B,E 三点恰在一水
平线上，且 CD⊥ ED，试求此瞬时 E点的速度。
A B
C O
D
E
ω
?30
?60
例 题 9-6
o
60o
运动学 第九章 刚体的平面运动
45
运 动 演 示
例 题 9-6
运动学 第九章 刚体的平面运动
46
解,
由速度投影定理，杆 AB上 A,B点的速度在 AB 线上投
影相等，即
AB vv ??30c o s
1sm 2 3 1.0
30 c o s30 c o s
－?????
??
?OAvv A
B
摇杆 CD绕 C点作定轴转动
1sm 4 6 2.02 －?????
B
B
D vCDCB
vv
轮 E沿水平面滚动，轮心 E的速度
水平，由速度投影定理,D,E 两
点的速度关系为
DE vv ??30 c o s
A B
C O
D
E
ω
?30
?60
vA vB
vD
vE
速度投影法
1sm 5 3 3.0 －??Ev求得
例 题 9-6
30o
60o
运动学 第九章 刚体的平面运动
47
图示机构中, 曲
柄 OA以角速度 ω0顺钟
向转动 。 设 OA=AB= r，
BD= r, 在图示瞬
时, O,B,C 在同一
铅直线上, 试求此瞬时
点 B和 C的速度 。
3
ω0
?30
?60
O
D
C
A
B
例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
48
运 动 演 示
例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
49
ω0
?30
?60
O
D
C
A
B
1,分析作平面运动的连杆 AB。
已知杆上 A,B两点速度的方向。由 A和
B 分别作出 vA 和 vB 的垂线，所得交点 Cv1
就是杆 AB 的速度瞬心。并且
230s in1
rABAC
v ??
?
所以，杆 AB的角速度
0
0
1
2
2
??? ??? rr
C
v
v
A
AB
（逆时针转向）
vB
vA
ωAB Cv1
解,速度瞬心法
连杆 AB 和 BC 均作平面运动。
例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
50
此后就可以用瞬心法求 B点的速度。
因为
2
3
30 c o s1
r
ABBC ?? ?
所以,B 点的速度大小等于
00 322
3 ?? rrv
B ???
方向如图 。
ω0
?30
?60
O
D
C
A
B
vB
vA
ωAB C1
例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
51
ω0
?30
?60
O
D
C
A
B
vB
vA
ωAB C1
已知杆上 B,C 两点速度的方向。
得交点 C2 就是杆 BC 的瞬心。
点 C 的速度大小
00
2
22
2
3
2
3
3
30c o s
??
?
rr
v
BC
v
CCCCv
B
B
BCC
???
?????
?
方向如图。
2BC
v B
BC ??
（顺时针转向）
vC
ωBC C2
杆 BC 的角速度
2,分析作平面运动的连杆 BC。 例 题 9-7
运动学 第九章 刚体的平面运动
52
如图平面铰链机构 。 已
知杆 O1A的角速度是 ω1, 杆
O2B的角速度是 ω2,转向如
图, 且在图示瞬时, 杆 O1A
铅直, 杆 AC 和 O2B水平,
而杆 BC对铅直线的偏角 ；
又 O2B=b,O1A= b。 试求
在这瞬时 C 点的速度 。
?30
3
O1
A
O2 B
C
ω1
ω2
?30
x
y
例 题 9-8
运动学 第九章 刚体的平面运动
53
运 动 演 示
例 题 9-8
运动学 第九章 刚体的平面运动
54
O1
A
O2 B
C
ω1
ω2
?30
x
y
解, 先求出 A点和 B点的速度。有
bAOv A 111 3 ?? ??
bBOv B 222 ?? ??
vA
vB
vA 和 vB 的方向如图。
以 A点为基点分析 C 点的速度，有
CAAC vvv ??
另外，又以 B作为基点分析 C 点的速度，有
CBBC vvv ??
比较以上两式，有
CBBCAA vvvv ???
vA
vCA vC
（ 1）
（ 2）
vCB
vB
例 题 9-8
运动学 第九章 刚体的平面运动
55
上式投影到 x 轴得
?30 c osCBA vv ?
? ? bbvvvv CBC B xBxCx 11 3
2
3
230c o s0 ?? ???
?
?
??
?
?
????? ?
? ?b
bbvvvvv CBBC B yByCy
21
12
2
1
230s i n
??
??
???
????????? ?
CBBCAA vvvv ???
bvv ACB 12
30 co s
??? ?
方向如图 所以
把 式分别投影到 x,y轴上
CBBC vvv ??
O1
A
O2 B
C
ω1
ω2
?30
x
y
vA
vB
vA
vCA vC
vCB
vB
例 题 9-8
运动学 第九章 刚体的平面运动
56
例 题 9-8
于是得 ? ?
2
221
2
1
2
21
2
1
22
24
3
????
???
???
?????
b
bvvv CyCxC
? ? ? ?
1
21
3
,t a n
?
?? ??
??
Cx
Cy
C v
v
xv
运动学 第九章 刚体的平面运动
57
图示一连杆机构, 曲柄 AB
和圆盘 CD分别绕固定轴 A和 D转
动 。 BCE为三角形构件, B,C
为销钉连接 。 设圆盘以匀速
n0=40 r﹒ min－ 1顺时针转向转动,
尺寸如图 。 试求图示位置时曲
柄 AB的角速度 ωAB和构件 BCE上
点 E的速度 vE。
A
D
C
B
E
ω0 φ 120
50 100
50
60
例 题 9-9
运动学 第九章 刚体的平面运动
58
例 题 9-9
运动学 第九章 刚体的平面运动
59
A
D
C
B
E
ω0 φ 120
50 100
50
60
ωAB
vC
vB
CB vv ??c o s
根据已知数据，得到,
10
0 sr a d 19.460
π2 －??? n?
?6.22,
13
12
50120
120c o s
22 ???? ??
故 smm 2 7 2c o s 10 －???? ?? CDv B
曲柄 AB的角速度
1sr a d 09.2 －???
AB
v B
AB?
解,
C点速度已知，, B点速
度垂直于曲柄 AB。根据速度投影定理
得
0??? CDvC
1,求曲柄 AB的角速度 ωAB 。 例 题 9-9
运动学 第九章 刚体的平面运动
60
A
D
C
B
E
ω0 φ 120
50 100
50
60
ωAB
vB
vC
由于构件 BCE上 C点的速度 vC垂直
于 CE,根据速度投影定理可知 E点的速
度 vE也应垂直于 CE。 应用速度投影定
理, vB与 vE在 BE连线上的投影相等,
即
??? c o s)c o s ( EB vv ??
式中
?6.26a r c t a n ??
BC
CE?
所以
1smm 1 9 9
c o s
)c o s ( －????
?
??B
E
vv
vE α
α
2,求 E点的速度。 例 题 9-9
运动学 第九章 刚体的平面运动
61
§ 9- 4 用基点法求 平面图形卡内各点的加速度
如图所示，由 § 9- 1的分析可
知，任何平面图形在自身平面内的
运动都可以分解为随基点 A的平移
（牵连运动）和绕基点 A的转动
（相对运动）。于是，平面图形内
任意一点 B的运动也是这两种运动
的合成。而相对轨迹总是以基点 A
为圆心，以 AB为半径的圆弧。因而
可用上一章 点的加速度合成定理 来
计算 M点的速度。由于动系作平移，
故 科氏加速度恒为零 。
运动学 第九章 刚体的平面运动
62
由
rea aaa ??
以及对应关系
rae aaaaaa ??? BABA
可得
nt
BABAA
BAAB
aaa
aaa
???
??
即 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕
基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 。
其中
2nt ?? ???? ABaABa
BABA
运动学 第九章 刚体的平面运动
63
曲柄滑块机构如图所示, 曲柄 OA长 R,连杆 AB长 l。 设曲柄以匀
角速度 ω沿逆钟向绕定轴 O 转动 。 试求当曲柄转角为 φ 时滑块 B的加
速度和连杆 AB的角加速度 。
O
A
B
φ ?
ω
例 题 9-10
运动学 第九章 刚体的平面运动
64
O
A
B
φ ?
ω
例 题 9-10 解,
vA
因为 A点速度 vA已知，故选 A为基点。
应用速度合成定理,B点的速度可
表示为
其中 vA的大小 vA=R ω 。
vB = vA+ vBA vA
vB
vBA
先求连杆 AB的角速度
)s i n ()
2
π
s i n ()
2
π
s i n ( ???? ?
?
?
?
?
BBAA vvv
由速度合成矢量图可得
运动学 第九章 刚体的平面运动
65
O
A
B
φ ?
ω
vA ?
?
? Rv
BA c o s
c o s?所以
?? s ins in lR?
其中
可求得连杆 AB 的角速度
?
???
c o s
c o s???
l
R
l
v BA
AB
顺时针转向。 vA
vB
vBA
B x
y
??2π
??2π
vA
vB
vBA
例 题 9-10
运动学 第九章 刚体的平面运动
66
选点 A为基点, 则滑块 B的加速度为
其中，基点 A 加速度的大小为
nt
BABAAB aaaa ???
2n ?Raa
AA ??
ABBA ABa ???t
方向沿 AO；动点 B 绕基点 A 相对转
动的切向加速度的 大小为 t
BAa
连杆的角加速度 αAB 尚属未知。暂时
假定 αAB 沿逆钟向，故 如图所示。 t
BAa
求滑块 B的加速度。 例 题 9-10
O
A
B
φ ?
ω a
A
aA
atBA
anBA
aB
运动学 第九章 刚体的平面运动
67
n)c o s ( c o s
BAAB aaa ??? ???
? ?n)c o s ( c o s1 BAAB aaa ??? ???
求 的大小时，为了消去未知量,
把式 投影到与 相垂直
的方向 BA 上得
Ba
nt BABAAB aaaa ???
tBAa
tBAa
从而求得滑块 B的加速度
2n ABBA ABa ???
相对转动法向加速度 的大小为 n
BAa
滑块 B 的加速度 aB的方向为水平并假定
向左，大小待求。
O
A
B
φ ?
ω a
A
aA
atBA
anBA
aB
例 题 9-10
运动学 第九章 刚体的平面运动
68
转向为逆钟向。
同样，把 投影到
铅直轴 y上，有
nt BABAAB aaaa ???
连杆 AB的角加速度
)s ins in(c o s1 nt ??? BAABA aaa ??
)s i ns i n(
c o s
1 nt ??
?
? BAABAAB aa
lAB
a ?
?
??
从而求得
??? s i n c o s s i n0 nt BABAA aaa ????
求连杆 AB的角加速度。
y
O
A
B
φ ?
ω a
A
aA
atBA
aB
anBA
例 题 9-10
运动学 第九章 刚体的平面运动
69
曲柄滑块连杆机构如图
所示, 曲柄 OA长 R,连杆 AB
长 l。 曲柄以匀角速 ω0转动 。
求图示位置时连杆 AB中心点
M 的加速度 。
B ω0
A
ψ O
x
y
M φ
例 题 9-11
运动学 第九章 刚体的平面运动
70
2,加速度分析
因 A点作匀速圆周运动，则
2n ?Raa AA ??
M点相对 基点 A 的 法向加速度
202n )(
v
MA AC
RAMAMa ?? ????
M点相对 基点 A 的 切向加速度
??? AMa MAt
解,
AC
R
AC
v A 0?? ???
nt MAMAAM aaaa ???
选 A点为基点，则 M点的加速度为
1,速度分析 首先求得连杆 AB 的瞬心 C
如图所示，利用瞬心法分 析，可得连杆
的角速度为
例 题 9-11
B ω0
A
ψ O
x
y
M φ
aA
aA
tMAa
nMAa
vA
vB
C
运动学 第九章 刚体的平面运动
71
为求连杆的角加速度 α，应先求出 B点的加速
度,选 A点为基点，则 B点的加速度
nt BABAAB aaaa ???
投影到 ξ 轴上得
n)c o s (c o s BAAB aaa ????? ???
因 2
0?Ra A ?
202n )(
AC
RlABa
BA
?? ???
?
?
c o s
c o slAC ?
得到
??
????
c o s
1
c o s
c o s)c o s (
2
2
2
0 ??
?
?
?
?
? ??? Ra
B
B ω0
A
ψ O x
y
M φ
C
ω
aA
aA
tMAa
nMAa
vA
aA
tBAa
nBAa
aB
例 题 9-11
运动学 第九章 刚体的平面运动
72
投影到 η 轴上
t)s in (s in BAAB aaa ????? ???
??? c o s)s in (t BABA aaa ???
求得连杆 AB的角加速度 α大小为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????? ?
?
??????? t a n
c o s
c o s)c o s ()s i n (
2
22
0
t
l
R
l
R
AB
a BA
逆时针转向
nt BABAAB aaaa ???
例 题 9-11
B ω0
A
ψ O x
y
M φ
C
ω
aA
aA
tMAa
nMAa
vA
aA
tBAa
nBAa
aB
运动学 第九章 刚体的平面运动
73
分别投影到 ξ, η 轴上得
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
?
???
???
2
2
2
0
n
c os
c os
2
)c os (
)c os (
l
R
R
aaa MAAM
t)s in (
MAAM aaa ???? ???
由于 ?? ????
2
1t AMa
MA
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????? ?
?
??????
? t a nc o s
c o s)c o s ()s i n (
2 2
22
0
l
RRa
M
由此即可求得 M 点加速度的大小和方向。
nt MAMAAM aaaa ???对
B ω0
A
ψ O x
y
M φ
C
ω
aA
aA
tMAa
nMAa
vA
aA
tBAa
nBAa
aB
例 题 9-11
运动学 第九章 刚体的平面运动
74
如图所示, 在椭圆规的
机构中, 曲柄 OD以匀角速度
ω绕 O轴转动, OD=AD=BD=l，
求当 时, 规尺 AB的角加
速度和 A点的加速度 。
?60??
y
O
B
A x
ω
φ
D
例 题 9-12
运动学 第九章 刚体的平面运动
75
运 动 演 示
例 题 9-12
运动学 第九章 刚体的平面运动
76
曲柄 OD 绕 O轴转动，规尺 AB作平面运动。
AB上的 D点加速度, la
D 2??
nt
ADADDA aaaa ???
设规尺 AB 的角速度为 ωAB,可由基点法或瞬心法求得
?? ?AB
解,
其中 的大小, 方向沿
AB 。 atAD 大小未知，垂直于 AD，其方向暂设
如图。因为 A点作直线运动，可设 aA的方向如
图所示。
ADa ABAD ?? 2n ?nADa
取 AB上的 D点为基点,A点的加速度 y
O
B
A x
ω
φ
D aD
aD
nADa
aA
tADa
lADa ABAD 22n ?? ???
则
例 题 9-12
运动学 第九章 刚体的平面运动
77
y
O
B
A x
ω
φ
D aD
aD
nADa
aA
tADa
取 η 和 ξ 轴如图所示，将上式分别在 η 和
ξ 轴上投影，得
由上式解得
η
ξ
n)2πc o s (c o s ADDA aaa ??? ??
??? s inc o s s in0 nt ADADD aaa ????
lllaaa ADDA 2
22n
60c o s
60c o s
c o s
)2πc o s ( ???
?
? ???????
?
?
0c o s s i n)(c o s s i ns i n
22n
t ?????
?
???
?
?? llaaa ADD
AD
0
t
??
AD
a AD
AB?
规尺 AB角加速度
nt ADADDA aaaa ???
故 aA的实际方向与原假设的方向相反 。
对式 例 题 9-12
运动学 第九章 刚体的平面运动
78
如图所示, 在外啮合行星齿轮机构中, 系杆 O1O = l,以匀角速度 ω1绕
O1轴转动 。 大齿轮 Ⅱ 固定, 行星轮 Ⅰ 半径为 r,在轮 Ⅱ 上只滚不滑 。 设 A和 B
是轮缘上的两点, A点在 O1O的延长线上, 而 B点则在垂直于 O1O的半径上 。
试求点 A和 B 的加速度 。
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O1
O
A
B
C
例 题 9-13
运动学 第九章 刚体的平面运动
79
轮 Ⅰ 作平面运动，其中心 O的速度和
加速度分别为,
1?lv O ?
1?? r
l
r
v O ??
轮 Ⅰ 的速度瞬心在 C点，则轮 Ⅰ 的角速度
因为 ω1和 ω都为常量，所以轮 Ⅰ 的角加速度为零，则有
解,
1,求 A点的加速度 。
选 O为基点，应用加速度合成定理
nt
AOAOOA aaaa ???
0t ?AOa
2
1?la O ?
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O1
A
B
C
aO
vo
ω O
aO
例 题 9-13
运动学 第九章 刚体的平面运动
80
A点相对于基点 O的法向加速度沿半径
OA,指向中心 O，大小为
2
1
2
2n ??
r
lra
AO ??
ω1 Ⅰ
Ⅱ
O1
O
A B
C
aO
aO
nAOa
)1(
2
1
2
1
2
2
1
n
r
l
l
r
l
l
aaa
AOOA
??
??
??
?
??
所以由图可知 A点的加速度的方向沿 OA，
指向中心 O，它的大小为
ω
例 题 9-13
运动学 第九章 刚体的平面运动
81
nt BOBOOB aaaa ???
? ?
2
2
1
2n2 1 ?
?
??
?
?????
r
llaaa
BOOB ?
所以 B点的加速度大小为
它与半径 OB 间的夹角为
l
r
r
l
l
a
a
BO
O a r c t a na r c t a na r c t a n
2
1
2
2
1
n
???
?
?
?
2,求 B点的加速度。
选 O为基点，应用加速度合成定理
,21
2
2n ??
r
lra
BO ??
,21?la O ? 0t ?BOa
其中
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O1
O
A B
C
aO ω
nBOaa
O
Ba
例 题 9-13
运动学 第九章 刚体的平面运动
82
车轮沿直线滚动，已知车轮半径为 R，中心 O的速度为
vO，加速度为 aO。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮
上速度瞬心的加速度。
C
O vO aO
例 题 9-14
运动学 第九章 刚体的平面运动
83
车轮只滚不滑，所以其角速度和角加速度
分别为
R
vO??
R
aO??
取中心 O为基点，则 C点的加速度
nt COCOOC aaaa ???
式中
OCO aaRa ??t R
vRa O
CO
2
2n ?? ?
由于 aO与 大小相等方向相反，于是有 t
COa
解, 车轮作平面运动，其速度瞬心在与地面的
接触点 C。
R
vaa o
COC
2
n ?? 方向向上
C
O vO aO α
ω
C
O
Ca
n
C
O aO
aO
t
COa
nCOa
例 题 9-14
运动学 第九章 刚体的平面运动
84
§ 9-1 运动学综合应用举例
工程机构都是由数个构件组成的，各构件之间通
过各种联接来实现运动的传递。各构件的运动也
是多种多样的。因此，在一个复杂的机构中，可
能同时存在多种运动，需要综合应用在关理论和
方法来分析和解决问题。下面通过例子来说明。
运动学 第九章 刚体的平面运动
85
如图所示平面机构, 滑块 B可
沿杆 OA滑动 。 杆 BE与 BD分别与
套筒 B铰接, BD杆可沿水平导轨
运动 。 滑块 E以匀速 v 沿铅直导轨
向上运动, 杆 BE长为 。 图示瞬
时杆 OA 铅直, 且与杆 BE 夹角
为 。 求该瞬时杆 OA的角速度
与角加速度 。
l2
?45O
E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A
例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
86
运 动 演 示
例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
87
由 v及 vB方向可知此瞬时点 O为 BE杆的
速度瞬心，所以有
l
v
OE
v
BE ???
vOBv BEB ??? ?
以 E为基点,B点的加速度为
nt
BEBEEB aaaa ???
O E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A
vB aB
tBEa
nBEa
杆 BE作平面运动，可先求出套筒 B
的速度和加速度。套筒在 OA杆上滑动，
并带动杆 OA转动，可按复合运动方法
求解杆 OA的角速度和加角速度。
1,求 B点的速度。
2,求 B点的加速度。
解,例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
88
沿 BE方向投影上式，得
n45 c o s BEB aa ??
l
vaa BE
B
2n 2
45 c o s
?? ?
l
vBEa
BEBE
2
2n 2??? ?
nt
BEBEEB aaaa ???
从而求得
O E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A
vB aB
tBEa
nBEa
例 题 9-15
由于滑块 E作匀速直线运动，故 aE=0。
的大小为
n
BEa
运动学 第九章 刚体的平面运动
89
应用速度合成定理 rea vvv ??
,ea vv ?,0r ?v vvv B ??e
于是得杆 OA的角速度
上面用刚体平面运动方法求出了 B点的速度和加
速度 。 由于 B 滑块可以在 OA杆上滑动, 因此可利用
点的复合运动方法求解杆 OA的角速度和角加速度 。
式中 va=vB；牵连速度 ve其方向垂直于 OA,因此与
va同向；相对速度 vr沿 OA杆, 即垂直于 va 。 显然
有
3,求 OA杆的角速度。
O E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A vr
v
e va 动系－ 固连于 OA杆。
动点－滑块 B。
定系－ 固连机座。
l
v
OB
v
OA ??
e?
（逆时针转向）
例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
90
O E
B
D
l
l
ωOA
?45
v
A
故杆 OA的角加速度为
aa t
ea
nea
αOA
牵连法向加速度
l
vOBa
OA
2
2n
e ??? ?
滑块 B的绝对加速度 Baa ?a
将上式投影到与 ar垂直的 BD线上，得
t
ea aa ?
滑块 B的相对运动为沿 OA的直线运动，此瞬
时, vr=0,故相对加速度 ar= 0。
4,求杆 OA的角加速度。
r
n
e
t
ea aaaa ???
应用加速度合成定理
l
vaa
B
2
t
e
2??则滑块 B的牵连切向加速度为
2
2t
e 2
l
v
OB
a
OA ???
（顺时针转向）
牵连切向加速度沿 BD杆。
例 题 9-15
运动学 第九章 刚体的平面运动
91
在示平面机构中, AC
杆在导轨中以匀速 v平动,
通过铰链 A带动 AB杆沿导套
O运动, 导套 O与杆 AC的距
离为 l。 图示瞬时 AB杆与 AC
杆的夹角为, 求此
瞬时 AB杆的角速度及角加
速度 。
?60??
A C
O
B
?60
v
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
92
运 动 演 示
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
93
A C
O
B
?60
v va
ve
vr
rea vvv ??
由速度合成定理
ωAB
由于杆 AB在导套 O中滑动，因此杆 AB与导套 O具有相同的角速度及角加速度。
其角速度
各速度矢如图所示。
解法一 解,1,求 AB杆的角速度。
动系－ 固连于 导套 O 。 动点－ A点 。
定系－ 固连机座。
绝对运动－ A点以匀速 v 沿 AC方向的运动。
相对运动－ A点沿导套 O的直线运动。
牵连运动－导套 O绕定 轴的 转动 。
vv ?a
其中
vvv 2 360s inae ?? ? 260c o sar vvv ?? ?
从而求得
l
v
AO
v
AB 4
3e ???
（逆时针转向）
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
94
A C
O
B
?60
由于 A点为匀速直线运动, 故其绝对加速度为零 。
A点的相对运动为沿导套 O的直线运动, 因此其相对
加速度 ar 沿杆 AB方向, 故由加速度合成定理有
式中，绝对加速度 aa = 0，科氏加速度
l
vva
4
32 2
reC ?? ?
l
vaa
4
3 2
C
t
e ??
aC
ar
tea
nea
将上式投影到 ate方向得
从而求得 AB杆的角加速度大小为
2,求 AB杆的角加速度。
动点、动系与定系的选取与上相同。
Creneta aaaaa ????
2
2t
e
8
33
l
v
AO
a
AB ???
（顺时针转向）
αAB
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
95
以 O点为坐标原点建立如图直角坐标系,
vx A ???
?c o t A lx ?
将其两端对时间求导，并注意到
当 时得 AB杆角速度 ?60??
角加速度
y
A C
O
B
?
x
xA
?
l
v
再将其两端对时间求导，得
得 ?? 2s in
l
v??
????? 2s ins in2s in 22
2
l
v
l
v ?? ???
,43 lvAB ?? ?? ?
2
2
8
33
l
v
AB ?? ?? ??
解法二
则 A点的 x 坐标为
例 题 9-16
运动学 第九章 刚体的平面运动
96
如图所示平面机构, AB长
为 l,滑块 A可沿摇杆 OC的长槽
滑动 。 摇杆 OC以匀角速度 ω绕
O轴转动, 滑块 B以匀速 v=ωl
沿水平导轨滑动 。 图示瞬时 OC
铅直, AB与水平线 OB夹角为
30o。 求此瞬时 AB杆的角速度
及角加速度 。
B
O
A
C
?30
ω
v
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
97
运 动 演 示
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
98
B
O
A
C
?30
ω
v
对作平面运动的 AB杆，以 B点为基点，有
再用点的复合运动理论分析,
vB
vAB
ve
vr
其中
Avv ?a 2e
?? lOAv ???
AB杆作平面运动, A点又在摇杆 OC内有相对运
动, 这是一个应用刚体平面运动和点的复合运动理
论联合求解的问题, 而且是一种含两个运动输入量
ω和 v 较复杂的机构运动问题 。
相对速度 vr大小未知。
1,求 AB杆的角速度。
解：
ABBA vvv ??
（ 1）
动点－ A点,动系－ 固连于 导套 OC杆上 。
由点的复合运动速度合成定理，有
rea vvv ?? （ 2）
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
99
由上面（ 1）、（ 2）两式有
沿 vB方向投影（ 3）式得
e30s in vvv ABB ?? ?
lvvv BAB ???? )(2 e
故 AB杆的角速度
沿 vr方向投影（ 3）式得
r30c o s vv AB ??
lv ?
2
3
r ?
re vvvv ??? ABB
（ 3）
从而求得
?? ??
AB
v AB
AB
（顺时针）
从而求得 B O
A
C
?30
ω
v
vB
vAB
ve
vr
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
100
对作平面运动的 AB 杆，以 B为基点，有
Aaa ?a 0
t
e ?a
lABa ABAB 22n ?? ???
nABa
tABa B
O
A
C
?30
ω
v
式中
nea
ra
Ca
lOAa 22ne ?? ??? lva 2rC 32 ?? ??
2,求 AB杆的角加速度。
由于 vB为常量，所以 aB=0，而
同理再用点的复合运动理论分析,
动点、动系与定系的选取与上相同，则有
nt
ABABBA aaaa ???
（ 4）
Crtenea aaaaa ????
（ 5）
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
101
Cr
n
e
nt aaaaa ????
ABAB
从而求得 AB杆的角加速度为
沿垂直于 OC杆的 aC方向投影得
C
nt 30c o s30s in aaa
ABAB ??
??
la AB 2t 33 ??
因此
B
O
A
C
?30
ω
v
nABa
tABa
nea
ra
Ca
αAB
由上面（ 4）、（ 5）两式有
2
t
33 ?? ?? ABa ABAB
（逆时针）
例 题 9-17
运动学 第九章 刚体的平面运动
102
如图所示平面机构, AC杆铅
直运动, BD杆水平运动, A为铰
链, 滑块 B可沿槽杆 AE中的直槽滑
动 。 图示瞬时,
,30 ???
1smm 310 －??Av
1smm50 －??Bv
2smm 10 －??Ba
aA
B
A
C
B′
E
D
θ vB
aB
vA
AB=60 mm,
求该瞬时槽 AE杆的角速度及角
加速度 。
例 题 9-18
2smm 310 －??
Aa
运动学 第九章 刚体的平面运动
103
运 动 演 示
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
104
B
A
C
B′
E
D
θ vB
再对作平面运动的槽杆 AE,以 A为基点，有
为槽杆上与滑块 B重合的 B'点的速度，
其大小和方向均未知。 B?
? vve
Bvv ?a
式中, vr方向沿 AE，大小未知；
有三个待求量，无法作出速度平行四边形。
式 vA中已知； vB'A方向垂直于 AE，大小未知； vB' 大小、方向均未知。
1,求槽杆 AE的角速度。
解,
vA
vr
va=vB
本题为刚体平面运动和点的复合运动综合问题 。
先用点的复合运动理论分析,
动系－ 固连于 槽杆 AE。 定系－ 固连机座。
动点－ 滑块 B 。
rea vvv ??
由速度合成定理，有 （ 1）
ABAB ?? ?? vvv
（ 2）
vA
ABv?
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
105
ABAB vvv ???? ?? 60 c os30 c os
r60s in30s in vvv AB ?? ??
1smm 330 －???ABv
1r smm 10 －??v
将上式分别投影到 vB’A及 vr方向，有
从而解得
故槽杆 AE的角速度为
rea vvv ?? ABAB ?? ?? vvv
rvvvv ??? ?ABAB
得
联立上面（ 1）、（ 2）两式
1sr a d 866.0
2
3 －???? ?
AB
v AB
AE?
（顺时针）
B
A
C
B′
E
D
θ vB
vA
vr
va=vB
vA
ABv?
ωAE
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
106
再对作平面运动的槽杆 AE,以 A为基点，
B'点的加速度
2,求槽杆 AE的角加速度。
2rC smm 32.173102 －???? va AE?
,a Baa ?
ar方向沿 AE，大小未知；
B ?? aa e
其大小和方向均未知。 式中
smm 45 22n －????? ABa AEAB ?
式中
B
A
C
B′
E
D
θ
aA
aB
aA
t ABa?
nABa?
aa=aB
ar a
C
同理先用点的复合运动理论分析,
动点、动系与定系的选取与上相同，则有
Crea aaaa ???
（ 3）
nt ABABAB ??? ??? aaaa
（ 4）
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
107
Cr
nt aaaaaa ????? ??
ABABAB
分别投影到 atB'A及 vr方向，得
解得
故槽杆 AE的角速度
Ct30s i n30c o s aaaa ABAB ????? ???
rn30c o s30s i n aaaa ABAB ????? ???
smm 32.17 2t －???ABa
2r smm 65 －???a
B
A
C
B′
E
D
θ
aA
aB
aA
t ABa?
nABa?
aa=aB
ar a
C
αAE
联立上面（ 3）、（ 4）两式有
sr a d 289.0 2
t
－??? ?
AB
a AB
AE?
（逆时针）
例 题 9-18
运动学 第九章 刚体的平面运动
108
运动学 第九章 刚体的平面运动
