1
2
学习运动学的目的 除了为后续课程打基础外，也可以直接用
来解决工程实际问题，例如机构运动分析。
参考系 运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。因此，在
描述物体的运动时都需要指明参考系。一般工程问题中，都取
与地面固连的坐标系为参考系。
主要内容 包括 建立机械运动的描述方法,即选择合适的参量对
物体的机械运动进行数学描述。研究表征运动几何性质的基本
物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究运动分
解与合成的规律。
运动的力学模型 点和刚体
运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学 。
而不考虑运动发生的原因。
引 言
运动学 引言
3
4
1.运动方程
显然矢端曲线就是动点的运动
轨迹。
2.点的速度
3.加速度
r
rr
v ????
? tΔt
Δ
Δt d
d
lim
0
rrvva ??????
? 2
2
0 d
d
d
dlim
ttΔt
Δ
Δt
§ 6-1 矢量法
)( trr ?
运动学 第六章 点的运动学
5
1.运动方程
如果取矢径的原点与直角
坐标系的原点重合，则有
如下关系
kjir zyx ???
§ 6-2 直角坐标
法
直角坐标表示的点的运动方程为
)( )( )( 321 tfztfytfx ???
以上也就是点的轨迹的参数方程
2.点的速度
kjirv
t
z
t
y
t
x
t d
d
d
d
d
d
d
d ????
kjiv zyx vvv ??? 又
运动学 第六章 点的运动学
6
3,加速度
同理
kjikji
kji
v
a
zyx
zyx
aaa
t
z
t
y
t
x
t
v
t
v
t
v
t
??????
????
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx aaaa 222 ???
a
a
a
a
a
a zyx ??? ),c o s ( ),c o s ( ),c o s ( kajaia
t
zv
t
yv
t
xv
zyx d
d
d
d
d
d ???故
2
z
2
y
2
x vvvv ???
v
v x?),c o s ( iv
v
v y
?),c o s ( jv
v
v z?),c o s ( kv
速度大小
方向
大小和方向为
运动学 第六章 点的运动学
7
一人在路灯下由灯柱起以匀速 v 沿直线背离灯柱
行走 。 设人高 AB=l,灯高 OL=h,试求头顶影子 M 的
速度和加速度 。
例 题 6-1
v t x
h
O
L
A
B
l
x
M
运动学 第六章 点的运动学
8
解,取坐标轴 Ox 如图。由三角形相似关
系，有
即
从而求得 M 点的直线运动方程
M 点的速度
而加速度 a = 0,即 M 点作匀速运动。
AB
BM
OL
OM ?
l
vtx
h
x ??
vtlh hx ??
vlh htxv ??? dd
v t x
h
O
L
A
B
l
x
M
例 题 6-1
运动学 第六章 点的运动学
9
椭圆规的曲柄 OA可绕
定轴 O转动, 端点 A以铰链
连接于规尺 BC；规尺上的
点 B和 C可分别沿互相垂直
的滑槽运动, 求规尺上任
一点 M 的轨迹方程 。
A
C
B
y
O
x
M x
y ??
已知,
.
2
bCM
a
ABACOA
?
???
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
10
运 动 演 示
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
11
A
C
B
y
O
x
M x
y ??
?
?
s in
c o s)(
by
bax
??
??
1
)( 2
2
2
2
??
? b
y
ba
x
考虑任意位置,M点的坐标 x，
y可以表示成
消去上式中的角 φ，即得 M点的轨
迹方程,
解,
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
12
轨 迹 演 示
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
13
思考题,M点的轨迹是什么曲线？
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
14
轨 迹 演 示
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
15
在上例的椭圆规尺 BC
上固连一个半径是 a/2的圆
盘, 圆心重合于 A。 求圆盘
边缘上任一点 M 的运动方
程和轨迹方程, 已知角
φ=? t,其中 ?是常量 。
y
x A
B
C
O
M
?2
?
?
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
16
运 动 演 示
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
17
???
???
c o s)c o s (
)2c o s (c o s
??
???
a
AMOAx
???
???
s in)c o s (
)2s in (s in
??
???
a
AMOAy
取固定坐标系 Oxy，令 ∠ MAC =2?,
则 M 点在 Oxy中的坐标为
解,
将 φ=?? t 代入上式即可得到圆盘边缘上任一点 M
的运动方程 。 另外, 由上式可以看出, 两个坐标 x,y成
正比, 即 常量?? ?t a n,xy
故 M点的 轨迹是斜率为 tan?并通过坐标原点的直线，上式即为其
轨迹方程。
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
y
x A
B
C O
M
?
?
2??
18
轨 迹 演 示
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
19
)c o s ( ??? ??? aOM
)c o s ( ??? ?? ta
taxtay CB ?? c o s,s i n ??
对于圆盘边缘上不同的点, 角 ?? 取不
同的值 。 但所有各点均作直线运动, 且轨迹
通过原点 O。
如令轴 Oξ重合于 M点的轨迹直线，则有
代入 φ=? t, 得 M点沿 Oξ的直线运动方程
对于点 B与 C，角 ??=90o与 0o，故有
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
y
x A
B
C O
M
?
?
2??
20
x
y
O
A
C
B l
?
曲柄连杆机构中曲柄 OA和连杆 AB的长度分别为
r和 l。 且 l>r,角 ?=?t,其中 ?是常量 。 滑块 B可沿
轴 Ox作往复运动, 试求滑块 B的运动方程, 速度和
加速度 。
例 题 6-4
运动学 第六章 点的运动学
21
运 动 演 示
例 题 6-4
运动学 第六章 点的运动学
22
?? s i n c o s 222 rlrCBOCx ?????
,s i n1 c o s 2
2
t
l
r
ltrx ?? ?
?
?
?
?
????
考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得 滑块 B 的坐标
将 ???t 代入上式得
令 λ= r/l,将上式的根式展
开，有
x
y
O
A
C
B l
?
ttt s i n81 s i n211 s i n1 442222 ?????? ????
解,
例 题 6-4
运动学 第六章 点的运动学
23
?
?
??
?
? ??
???
?
???
? ?? ttrlx ???? 2 c o s
4 c o s41
2
,2s i n
2
s i n
d
d
?
?
?
?
?
? ???? ttr
t
x
v ?
?
??
? ?.2c o sc o s
d
d 2
2
2
ttr
t
xa ???? ????
略去 λ4以及更高阶项, 并利用关系
滑块 B的速度和加速度为
x
y
O
A
C
B l
?
2
t2 c o s1 s i n 2 ?? ??t
t
l
rltrx ?? s i n1 c o s 22
?
?
??
?
????
则
可表示为
例 题 6-4
运动学 第六章 点的运动学
24
§ 6-3 自然法
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的
位置的方法叫 自然法 。该方法适用于动点的 轨迹为已知的
情况。
1.弧坐标
弧坐标表示的运动方程 为
S = f (t)
选定轨迹上的一点 O为参考点，并
设 O点的某一侧为正向，动点 M在
轨迹上的位置由弧长 s确定,s 称为
动点 M在轨迹上的 弧坐标 。
运动学 第六章 点的运动学
25
2.自然轴系
运动学 第六章 点的运动学
26
运动学 第六章 点的运动学
27
3.点的速度
ττ
rr
rr
v
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
v
t
S
St
S
St
S
t
S
St
tt
tt
d
d
d
d
d
d
limlim
)(limlim
00
00
显然
nτb ??
以点 M为原点，以切线、主法
线和副法线为坐标轴组成的正
交坐标系称为曲线在点 M的自
然坐标系。
经过 ? t时间,点沿轨迹由 M到
M‘,矢径有增量,则 rΔ
运动学 第六章 点的运动学
28
t
v
t
S
t
v
t
v)(v
tt d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2 τ
ττττva ??????????
ττa ??? 2
2
t d
d
d
d
t
S
t
v
(1)切向加速度 （表示速度大小的变化）
4.点的加速度
(2)法向加速度 （ 表示速度方向的变化）
S
v
t
S
S
v
t
v
t
v
t
tt
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
??
????
τ
τττ
a
0
2
00
n
lim
)(limlim
d
d
)
d
dlim(
0
v
t
S
t
S
t
??
?
?
??
运动学 第六章 点的运动学
29
由图可知
?
??
?
??
1
d
d
)
2
2
s i n
(lim2
s i n2
lim||lim
000
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????? SSSS ttt
τ
2
s i n2
2
s i n||2|||| ?? ??????? τττ'τ
22s i n,0,0
?? ??????? St 时当
????? ττ 1|| 于是
nτaaana
??
2
nt
2
n d
d
,
v
t
vv
?????即
n
t2
n
2
t
||a r c t g,
a
aaaa ??? ?全加速度的大小方向为
?为轨迹曲线在点 M 处的曲率半径
运动学 第六章 点的运动学
30
飞机在铅直面内从位置 M0处以 s=250t+5t2规律沿半径
r=1500 m的圆弧作机动飞行 （ 如图 ）, 其中 s以 m计, t以 s
计, 当 t=5s时, 试求飞机在轨迹上的位置 M及其速度和加
速度 。
O M0
M
r
例 题 6-5
运动学 第六章 点的运动学
31
O M0
M
r
(-)
s
(+)
v0
v
at
an
a
解,因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用
自然法求解。取 M0为弧坐标 s 的原点,s 的正
负方向如图所示。
当 t = 5 s时，飞机的位置 M 可由弧坐标确定
3 7 5 152 5 0 2 ??? tts
先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度
,102 5 0
d
d t
t
sv ???
,10
d
d
t ?? t
va 22
n )102 5 0(1 5 0 0
1
t
v
a ???
?
例 题 6-5
运动学 第六章 点的运动学
32
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
sm 8.60 2n2t2 －???? aaa
1 66.0 t a n
n
t ??
a
a
?
?5.9??
O M0
M
r
(-)
s
(+)
v0
v
at
an
a ??
代入 t = 5s
2sm 300 －??v
,sm 10 2t －??a
2n sm 60 －??a
得
例 题 6-5
运动学 第六章 点的运动学
33
销钉 B可沿半径等于 R的
固定圆弧滑道 DE和摆杆的直
槽中滑动,OA=R=0.1 m。已
知摆杆的转角
（时间以 s计,φ以 rad计），
试求销钉在 t1=1/4 s和 t2=1 s时
的加速度。
tπ2s in8π??
R
O
ω
φ
R
E
D B C
s
O' A
θ
-s
+s
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
34
运 动 演 示
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
35
已知销钉 B的轨迹是圆弧 DE,中心
在 A点, 半径是 R。 选滑道上 O'点作为
弧坐标的原点, 并以 O'D为正向 。 则 B
点在任一瞬时的弧坐标
?Rs ?
但是, 由几何关系知,
且, 将其代入上式,
得
tπ2s in8π??
?? 2?
π2s in40π2 tRs ?? ?
这就是 B点的自然形式的运动方程。
解,
R
O
ω
φ
R
E
D B C
s
O' A
θ
-s
+s
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
36
R
O
ω
φ
R
E
D B C
s
O' A
θ
-s
+s
B点的速度在切向上的投影
2
t π2c o s20
π
d
d t
t
sv ??
vt
B点的加速度 a 在切向的投影
π2s i n
10
π
d
d 3t
t tt
va ???
而在法向的投影
π2co s
40
π
1.0
π2co s
20
π
2
4
2
2
2
n t
t
v
a ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
at
an
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
37
当 时,,,
又,。
可见,这时 B点的加速度大小
2
3
t11 m / s 10
π?? aa
且 a1沿切线的负向。
s 411 ?t
2
3
t1 m / s 10
π??a
rad 8π1 ?? 0t1 ?v
0n1 ?a
当 t1= 1 s 时,
又 可见，这
时点 B的加速度大小
m / s 20π
2
t2 ?v
,0 1 ??
,0t2 ?a 。 m / s
40
π 24
n2 ?a
2
4
n22 sm 40
π －??? aa 且 a2 沿半径 B2A。
a2=a1n A
D
B1
B2
R
θ1
E
a1=a1t
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
38
半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动 （ 如图 ） 。
轮缘上一点 M,在初瞬时与轨道上的 O点叠合；在瞬时 t半径 MC
与轨道的垂线 HC组成交角 φ=ωt,其中 ω是常量 。 试求在车轮滚
一转的过程中该 M点的运动方程, 瞬时速度和加速度 。
O H
C
D
M
x
y
φ
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
39 O A H
B
C
D
M
x
y
φ
在 M点的运动平面内取直角坐标系 Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道,
并指向轮子滚动的前进方向, 轴 y 铅直向上 。 考虑车轮在任意瞬时位置,
因车轮滚动而不滑动, 故有 OH=弧 MH 。 于是, 在图示瞬时动点 M 的坐标
为
?? s i nrr
MBMHAHOHOAx
??
????? 弧
? co srr
BCHCHBAMy
??
????
解,1.求 M点的运动方程。
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
40
) s in( ttrx ?? ??
) c o s1( try ???
这方程说明 M点的轨迹是滚轮线 （ 即摆线 ） 。 车轮滚一转的时间
T=2π/ω, 在此过程中, M点的轨迹只占滚轮线的一环 OEP,其两端 O和 P
是尖点 。
O A H
B
C
D
M
x
y
φ
P
以 代入,
得 M点的运动方程
t?? ?
?? s inrrx ??
? c osrry ??
对
E
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
41
求坐标 x,y 对时间的一阶导数，
得
) c o s1( trv x ?? ??
trv y ?? s in?
故得 M点速度 v 的大小和方向
2s i n2s i n)c o s1(
2222 trttrvvv yx ????? ??????
MD
MBt
v
v x ????
2s i n2s i n),c o s (
??iv
MD
BDt
v
v y ????
2 c o s2 c o s),c o s (
??jv
M点的速度矢恒通过轮子的最高点 D。
O A H
B
C
D
M
P x
y
φ
2.求 M点的瞬时速度。
v 2
?
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
42
求 vx,vy对时间的一阶导数，得
tra x ?? s in2?
tra y ?? c o s2?
故得 M点加速度 a 的大小
和方向，有
,222 ?raaa yx ???
MC
MB
a
a x ??? ? s i n),c o s ( ia,co s),co s (
MC
BC
a
a y ??? ?ja
,0?xv ;0?yv,0?xa 2?ra y ?x=0,y=0; 当 t = 0时，有
这表示，当 M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。
这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
O A H
B
C
D
M
P
E
x
y
φ
2?
a
3.求 M点的瞬时加速度。 例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
43
轨 迹 演 示
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
44
试求例 7 中轮缘上 M点的切向加速度和法向
加速度，并求轨迹的最大曲率半径。
φ
O H
C
D
M
x
y
2?
P
a
v
例 题 6-8
运动学 第六章 点的运动学
45
解,2 s i n2 trv ???由
因而它的切向加速度
2 c o sd
d 2
t
tr
t
va ????
注意, 当 时, 而
当 时, ；两者相差一个
负号 。 在 以后, M点进入另一个滚
轮环, 这里出现尖点, 运动方向发生
突然逆转, 由 突变为 。
00 ?t ;20t ?ra ?
?
π2
1 ?t
21t ?ra ??
1t
ta
2?r?2?r
O H
C
D
M
E
x
y
φ
2?
2π
v
at
a
例 题 6-8
运动学 第六章 点的运动学
46
矢量 at 和 an 的方向分别沿 MD 和 MH。
2
s i n22t2n traaa ?????
M点的法向加速度大小
O H
C
D
M
E
x
y
φ
2?
2π
v
at
a
an
例 题 6-8
运动学 第六章 点的运动学
47
另一方面，,故轨迹的曲
率半径为
?
2
n
va ?
2
s i n4
2
s i n
2
s i n4
2
222
n
2 t
r
t
r
t
r
a
v ?
?
?
?
?
? ???
可见, 轨迹的最大曲率半
径, 对应于轨迹的
最高点 。
r4max ??
)π( ?tE ?
O H
C
D
M
x
y
φ
2?
2π
v
at
a
an
E
π
例 题 6-8
运动学 第六章 点的运动学
48
运动学 第六章 点的运动学
2
学习运动学的目的 除了为后续课程打基础外，也可以直接用
来解决工程实际问题，例如机构运动分析。
参考系 运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。因此，在
描述物体的运动时都需要指明参考系。一般工程问题中，都取
与地面固连的坐标系为参考系。
主要内容 包括 建立机械运动的描述方法,即选择合适的参量对
物体的机械运动进行数学描述。研究表征运动几何性质的基本
物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究运动分
解与合成的规律。
运动的力学模型 点和刚体
运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学 。
而不考虑运动发生的原因。
引 言
运动学 引言
3
4
1.运动方程
显然矢端曲线就是动点的运动
轨迹。
2.点的速度
3.加速度
r
rr
v ????
? tΔt
Δ
Δt d
d
lim
0
rrvva ??????
? 2
2
0 d
d
d
dlim
ttΔt
Δ
Δt
§ 6-1 矢量法
)( trr ?
运动学 第六章 点的运动学
5
1.运动方程
如果取矢径的原点与直角
坐标系的原点重合，则有
如下关系
kjir zyx ???
§ 6-2 直角坐标
法
直角坐标表示的点的运动方程为
)( )( )( 321 tfztfytfx ???
以上也就是点的轨迹的参数方程
2.点的速度
kjirv
t
z
t
y
t
x
t d
d
d
d
d
d
d
d ????
kjiv zyx vvv ??? 又
运动学 第六章 点的运动学
6
3,加速度
同理
kjikji
kji
v
a
zyx
zyx
aaa
t
z
t
y
t
x
t
v
t
v
t
v
t
??????
????
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
zyx aaaa 222 ???
a
a
a
a
a
a zyx ??? ),c o s ( ),c o s ( ),c o s ( kajaia
t
zv
t
yv
t
xv
zyx d
d
d
d
d
d ???故
2
z
2
y
2
x vvvv ???
v
v x?),c o s ( iv
v
v y
?),c o s ( jv
v
v z?),c o s ( kv
速度大小
方向
大小和方向为
运动学 第六章 点的运动学
7
一人在路灯下由灯柱起以匀速 v 沿直线背离灯柱
行走 。 设人高 AB=l,灯高 OL=h,试求头顶影子 M 的
速度和加速度 。
例 题 6-1
v t x
h
O
L
A
B
l
x
M
运动学 第六章 点的运动学
8
解,取坐标轴 Ox 如图。由三角形相似关
系，有
即
从而求得 M 点的直线运动方程
M 点的速度
而加速度 a = 0,即 M 点作匀速运动。
AB
BM
OL
OM ?
l
vtx
h
x ??
vtlh hx ??
vlh htxv ??? dd
v t x
h
O
L
A
B
l
x
M
例 题 6-1
运动学 第六章 点的运动学
9
椭圆规的曲柄 OA可绕
定轴 O转动, 端点 A以铰链
连接于规尺 BC；规尺上的
点 B和 C可分别沿互相垂直
的滑槽运动, 求规尺上任
一点 M 的轨迹方程 。
A
C
B
y
O
x
M x
y ??
已知,
.
2
bCM
a
ABACOA
?
???
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
10
运 动 演 示
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
11
A
C
B
y
O
x
M x
y ??
?
?
s in
c o s)(
by
bax
??
??
1
)( 2
2
2
2
??
? b
y
ba
x
考虑任意位置,M点的坐标 x，
y可以表示成
消去上式中的角 φ，即得 M点的轨
迹方程,
解,
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
12
轨 迹 演 示
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
13
思考题,M点的轨迹是什么曲线？
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
14
轨 迹 演 示
例 题 6-2
运动学 第六章 点的运动学
15
在上例的椭圆规尺 BC
上固连一个半径是 a/2的圆
盘, 圆心重合于 A。 求圆盘
边缘上任一点 M 的运动方
程和轨迹方程, 已知角
φ=? t,其中 ?是常量 。
y
x A
B
C
O
M
?2
?
?
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
16
运 动 演 示
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
17
???
???
c o s)c o s (
)2c o s (c o s
??
???
a
AMOAx
???
???
s in)c o s (
)2s in (s in
??
???
a
AMOAy
取固定坐标系 Oxy，令 ∠ MAC =2?,
则 M 点在 Oxy中的坐标为
解,
将 φ=?? t 代入上式即可得到圆盘边缘上任一点 M
的运动方程 。 另外, 由上式可以看出, 两个坐标 x,y成
正比, 即 常量?? ?t a n,xy
故 M点的 轨迹是斜率为 tan?并通过坐标原点的直线，上式即为其
轨迹方程。
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
y
x A
B
C O
M
?
?
2??
18
轨 迹 演 示
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
19
)c o s ( ??? ??? aOM
)c o s ( ??? ?? ta
taxtay CB ?? c o s,s i n ??
对于圆盘边缘上不同的点, 角 ?? 取不
同的值 。 但所有各点均作直线运动, 且轨迹
通过原点 O。
如令轴 Oξ重合于 M点的轨迹直线，则有
代入 φ=? t, 得 M点沿 Oξ的直线运动方程
对于点 B与 C，角 ??=90o与 0o，故有
例 题 6-3
运动学 第六章 点的运动学
y
x A
B
C O
M
?
?
2??
20
x
y
O
A
C
B l
?
曲柄连杆机构中曲柄 OA和连杆 AB的长度分别为
r和 l。 且 l>r,角 ?=?t,其中 ?是常量 。 滑块 B可沿
轴 Ox作往复运动, 试求滑块 B的运动方程, 速度和
加速度 。
例 题 6-4
运动学 第六章 点的运动学
21
运 动 演 示
例 题 6-4
运动学 第六章 点的运动学
22
?? s i n c o s 222 rlrCBOCx ?????
,s i n1 c o s 2
2
t
l
r
ltrx ?? ?
?
?
?
?
????
考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得 滑块 B 的坐标
将 ???t 代入上式得
令 λ= r/l,将上式的根式展
开，有
x
y
O
A
C
B l
?
ttt s i n81 s i n211 s i n1 442222 ?????? ????
解,
例 题 6-4
运动学 第六章 点的运动学
23
?
?
??
?
? ??
???
?
???
? ?? ttrlx ???? 2 c o s
4 c o s41
2
,2s i n
2
s i n
d
d
?
?
?
?
?
? ???? ttr
t
x
v ?
?
??
? ?.2c o sc o s
d
d 2
2
2
ttr
t
xa ???? ????
略去 λ4以及更高阶项, 并利用关系
滑块 B的速度和加速度为
x
y
O
A
C
B l
?
2
t2 c o s1 s i n 2 ?? ??t
t
l
rltrx ?? s i n1 c o s 22
?
?
??
?
????
则
可表示为
例 题 6-4
运动学 第六章 点的运动学
24
§ 6-3 自然法
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的
位置的方法叫 自然法 。该方法适用于动点的 轨迹为已知的
情况。
1.弧坐标
弧坐标表示的运动方程 为
S = f (t)
选定轨迹上的一点 O为参考点，并
设 O点的某一侧为正向，动点 M在
轨迹上的位置由弧长 s确定,s 称为
动点 M在轨迹上的 弧坐标 。
运动学 第六章 点的运动学
25
2.自然轴系
运动学 第六章 点的运动学
26
运动学 第六章 点的运动学
27
3.点的速度
ττ
rr
rr
v
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
v
t
S
St
S
St
S
t
S
St
tt
tt
d
d
d
d
d
d
limlim
)(limlim
00
00
显然
nτb ??
以点 M为原点，以切线、主法
线和副法线为坐标轴组成的正
交坐标系称为曲线在点 M的自
然坐标系。
经过 ? t时间,点沿轨迹由 M到
M‘,矢径有增量,则 rΔ
运动学 第六章 点的运动学
28
t
v
t
S
t
v
t
v)(v
tt d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2 τ
ττττva ??????????
ττa ??? 2
2
t d
d
d
d
t
S
t
v
(1)切向加速度 （表示速度大小的变化）
4.点的加速度
(2)法向加速度 （ 表示速度方向的变化）
S
v
t
S
S
v
t
v
t
v
t
tt
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
??
????
τ
τττ
a
0
2
00
n
lim
)(limlim
d
d
)
d
dlim(
0
v
t
S
t
S
t
??
?
?
??
运动学 第六章 点的运动学
29
由图可知
?
??
?
??
1
d
d
)
2
2
s i n
(lim2
s i n2
lim||lim
000
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????? SSSS ttt
τ
2
s i n2
2
s i n||2|||| ?? ??????? τττ'τ
22s i n,0,0
?? ??????? St 时当
????? ττ 1|| 于是
nτaaana
??
2
nt
2
n d
d
,
v
t
vv
?????即
n
t2
n
2
t
||a r c t g,
a
aaaa ??? ?全加速度的大小方向为
?为轨迹曲线在点 M 处的曲率半径
运动学 第六章 点的运动学
30
飞机在铅直面内从位置 M0处以 s=250t+5t2规律沿半径
r=1500 m的圆弧作机动飞行 （ 如图 ）, 其中 s以 m计, t以 s
计, 当 t=5s时, 试求飞机在轨迹上的位置 M及其速度和加
速度 。
O M0
M
r
例 题 6-5
运动学 第六章 点的运动学
31
O M0
M
r
(-)
s
(+)
v0
v
at
an
a
解,因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用
自然法求解。取 M0为弧坐标 s 的原点,s 的正
负方向如图所示。
当 t = 5 s时，飞机的位置 M 可由弧坐标确定
3 7 5 152 5 0 2 ??? tts
先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度
,102 5 0
d
d t
t
sv ???
,10
d
d
t ?? t
va 22
n )102 5 0(1 5 0 0
1
t
v
a ???
?
例 题 6-5
运动学 第六章 点的运动学
32
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
sm 8.60 2n2t2 －???? aaa
1 66.0 t a n
n
t ??
a
a
?
?5.9??
O M0
M
r
(-)
s
(+)
v0
v
at
an
a ??
代入 t = 5s
2sm 300 －??v
,sm 10 2t －??a
2n sm 60 －??a
得
例 题 6-5
运动学 第六章 点的运动学
33
销钉 B可沿半径等于 R的
固定圆弧滑道 DE和摆杆的直
槽中滑动,OA=R=0.1 m。已
知摆杆的转角
（时间以 s计,φ以 rad计），
试求销钉在 t1=1/4 s和 t2=1 s时
的加速度。
tπ2s in8π??
R
O
ω
φ
R
E
D B C
s
O' A
θ
-s
+s
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
34
运 动 演 示
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
35
已知销钉 B的轨迹是圆弧 DE,中心
在 A点, 半径是 R。 选滑道上 O'点作为
弧坐标的原点, 并以 O'D为正向 。 则 B
点在任一瞬时的弧坐标
?Rs ?
但是, 由几何关系知,
且, 将其代入上式,
得
tπ2s in8π??
?? 2?
π2s in40π2 tRs ?? ?
这就是 B点的自然形式的运动方程。
解,
R
O
ω
φ
R
E
D B C
s
O' A
θ
-s
+s
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
36
R
O
ω
φ
R
E
D B C
s
O' A
θ
-s
+s
B点的速度在切向上的投影
2
t π2c o s20
π
d
d t
t
sv ??
vt
B点的加速度 a 在切向的投影
π2s i n
10
π
d
d 3t
t tt
va ???
而在法向的投影
π2co s
40
π
1.0
π2co s
20
π
2
4
2
2
2
n t
t
v
a ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
at
an
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
37
当 时,,,
又,。
可见,这时 B点的加速度大小
2
3
t11 m / s 10
π?? aa
且 a1沿切线的负向。
s 411 ?t
2
3
t1 m / s 10
π??a
rad 8π1 ?? 0t1 ?v
0n1 ?a
当 t1= 1 s 时,
又 可见，这
时点 B的加速度大小
m / s 20π
2
t2 ?v
,0 1 ??
,0t2 ?a 。 m / s
40
π 24
n2 ?a
2
4
n22 sm 40
π －??? aa 且 a2 沿半径 B2A。
a2=a1n A
D
B1
B2
R
θ1
E
a1=a1t
例 题 6-6
运动学 第六章 点的运动学
38
半径是 r 的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动 （ 如图 ） 。
轮缘上一点 M,在初瞬时与轨道上的 O点叠合；在瞬时 t半径 MC
与轨道的垂线 HC组成交角 φ=ωt,其中 ω是常量 。 试求在车轮滚
一转的过程中该 M点的运动方程, 瞬时速度和加速度 。
O H
C
D
M
x
y
φ
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
39 O A H
B
C
D
M
x
y
φ
在 M点的运动平面内取直角坐标系 Oxy如图所示：轴 x 沿直线轨道,
并指向轮子滚动的前进方向, 轴 y 铅直向上 。 考虑车轮在任意瞬时位置,
因车轮滚动而不滑动, 故有 OH=弧 MH 。 于是, 在图示瞬时动点 M 的坐标
为
?? s i nrr
MBMHAHOHOAx
??
????? 弧
? co srr
BCHCHBAMy
??
????
解,1.求 M点的运动方程。
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
40
) s in( ttrx ?? ??
) c o s1( try ???
这方程说明 M点的轨迹是滚轮线 （ 即摆线 ） 。 车轮滚一转的时间
T=2π/ω, 在此过程中, M点的轨迹只占滚轮线的一环 OEP,其两端 O和 P
是尖点 。
O A H
B
C
D
M
x
y
φ
P
以 代入,
得 M点的运动方程
t?? ?
?? s inrrx ??
? c osrry ??
对
E
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
41
求坐标 x,y 对时间的一阶导数，
得
) c o s1( trv x ?? ??
trv y ?? s in?
故得 M点速度 v 的大小和方向
2s i n2s i n)c o s1(
2222 trttrvvv yx ????? ??????
MD
MBt
v
v x ????
2s i n2s i n),c o s (
??iv
MD
BDt
v
v y ????
2 c o s2 c o s),c o s (
??jv
M点的速度矢恒通过轮子的最高点 D。
O A H
B
C
D
M
P x
y
φ
2.求 M点的瞬时速度。
v 2
?
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
42
求 vx,vy对时间的一阶导数，得
tra x ?? s in2?
tra y ?? c o s2?
故得 M点加速度 a 的大小
和方向，有
,222 ?raaa yx ???
MC
MB
a
a x ??? ? s i n),c o s ( ia,co s),co s (
MC
BC
a
a y ??? ?ja
,0?xv ;0?yv,0?xa 2?ra y ?x=0,y=0; 当 t = 0时，有
这表示，当 M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。
这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
O A H
B
C
D
M
P
E
x
y
φ
2?
a
3.求 M点的瞬时加速度。 例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
43
轨 迹 演 示
例 题 6-7
运动学 第六章 点的运动学
44
试求例 7 中轮缘上 M点的切向加速度和法向
加速度，并求轨迹的最大曲率半径。
φ
O H
C
D
M
x
y
2?
P
a
v
例 题 6-8
运动学 第六章 点的运动学
45
解,2 s i n2 trv ???由
因而它的切向加速度
2 c o sd
d 2
t
tr
t
va ????
注意, 当 时, 而
当 时, ；两者相差一个
负号 。 在 以后, M点进入另一个滚
轮环, 这里出现尖点, 运动方向发生
突然逆转, 由 突变为 。
00 ?t ;20t ?ra ?
?
π2
1 ?t
21t ?ra ??
1t
ta
2?r?2?r
O H
C
D
M
E
x
y
φ
2?
2π
v
at
a
例 题 6-8
运动学 第六章 点的运动学
46
矢量 at 和 an 的方向分别沿 MD 和 MH。
2
s i n22t2n traaa ?????
M点的法向加速度大小
O H
C
D
M
E
x
y
φ
2?
2π
v
at
a
an
例 题 6-8
运动学 第六章 点的运动学
47
另一方面，,故轨迹的曲
率半径为
?
2
n
va ?
2
s i n4
2
s i n
2
s i n4
2
222
n
2 t
r
t
r
t
r
a
v ?
?
?
?
?
? ???
可见, 轨迹的最大曲率半
径, 对应于轨迹的
最高点 。
r4max ??
)π( ?tE ?
O H
C
D
M
x
y
φ
2?
2π
v
at
a
an
E
π
例 题 6-8
运动学 第六章 点的运动学
48
运动学 第六章 点的运动学
