1
2
前两章中我们研究了点和刚体的运动，都是以地
面为参考系的。然而，实际问题中，为了研究问题的
方便，例如，将一个复杂的运动分解为几个较为简单
的运动或将几个运动合成为一个复杂的运动，都需要
在不同的参考系中来研究物体的运动，分析物体相对
不同参考系运动之间的关系。
本章研究点的合成运动。分析点的速度合成和加
速度合成的规律。
运动学 第八章 点的合成运动
3
§ 8-1 相对运动 ?牵连运动 ?绝对运动
运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。同一物体的运动
在不同的参考系中是不一样的。例如车轮上的点 P的运动，
如果以地面作为参考系，点的轨迹是旋轮线，而如果以小车
作为参考系，点的轨迹则是一个圆。
运动学 第八章 点的合成运动
4
又例如车床上车刀刀尖 P的运动，很显然车刀刀尖相对于
地面是直线运动，但如果相对于旋转的工件而言，轨迹
则是圆柱面上的螺旋线。
运动学 第八章 点的合成运动
5
下面介绍点的合成运动中的基本概念：, 一点两系
三运动,
一点：即 动点,所研究的点。
两系,定参考系和动参考系 。
定参考系 — 固结于地面上的坐标系，简称静系。
动参考系 — 固结于相对于地面运动物体上的坐标系，简
称动系。例如行驶的汽车。
三运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。
绝对运动,动点相对静系的运动。
相对运动,动点相对动系的运动。例如：人在行驶的汽
车里走动。
牵连运动,动系相对于静系的运动。例如：行驶的汽车
相对于地面的运动。
运动学 第八章 点的合成运动
6
动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的 绝对轨迹、绝
对速度 和 绝对加速度 。
动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的 相对轨迹、相
对速度 和 相对加速度 。
aa
rv ra
av
特别需要强调的是，由于动参考系的运动是刚体的运动而不是
一个点的运动，因此定义在任意瞬时，动参考系上与动点重合
的那一点称为 牵连点,该点应该是动系上在该瞬时与动点关系
最紧密的。显然牵连点不是动系上的一个固定点。有了牵连点
的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下,
ev
ea
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为 牵连速度 和
牵连加速度
下面通过例子来说明以上的各个概念
运动学 第八章 点的合成运动
7
运动学 第八章 点的合成运动
8
动点,
动系,
静系,
偏心凸轮 C上 A1点
固结于杆 AB上
固结在地面上
动点,
动系,
静系,
AB杆上 A点
固结于偏心凸轮 C上
固结在地面上
运动学 第八章 点的合成运动
9
运动学 第八章 点的合成运动
10
运动学 第八章 点的合成运动
11
运动学 第八章 点的合成运动
12
从以上例子可以得出，如果动点和动系选择的恰当，
则相对轨迹较为简单，反之则较复杂。因此，动点动
系的选择是分析点的合成运动的关键之一。
运动学 第八章 点的合成运动
13
点的复合运动 — 速度分析例子
思考：如果动点是顶杆上的 A点，动系与凸轮固结，试对
动点进行速度分析，画出速度图。
运动学 第八章 点的合成运动
14
§ 8－２点的速度合成定理
绝对速度和相对速度是在不同参考系中来描述动点的速度，因此
它们之间应该有某种关系，本节研究点的绝对速度，相对速度和
牵连速度之间的关系。
运动学 第八章 点的合成运动
15
O
x
z
y
M M '
O '
i '
x '
j '
y '
k '
z '
r M
r '
r O '
r M '
如图所示,Oxyz为定参考系,O?x? y?z?为动参考系。动
系坐标原点 O? 在定系中的矢径为 rO?, 动系的三个单位
矢量分别为 i?,j?,k? 。 动点 M在定系中的矢径为 rM,
在动系中的矢径为 r?。 牵连点（动系上与动点重合的点）
为 M?,它在定系中的矢径为 rM? 。
显然
kjir
rrr
??????????
??? ?
zyx
OM
动点的绝对速度 va 为
1)-(8 kjikjirrv ???????????????????? ? zyxzyxOMa ????????
运动学 第八章 点的合成运动
16
相对速度是动点相对动参考系的速度,因此与绝对
速度的计算类似，相对速度应是相对矢径 r? 对时间
的相对导数，即将 i?,j?,k? 视为常矢量。从而有
2)-(8
d
d~
r kji
rv ??????????? zyx
t
???
为与绝对导数区别，相对导数用导数符号上加, ?” 表
示。
动点的牵连速度为
3)-(8 dde kjirrv ??????????? ?? ???? zyxt OM
因为牵连点是动系上的点，故它的相对坐标是常数，对
时间的导数为零。由 （ 8-1），（ 8-2）和（ 8-3）得
era vvv ??
运动学 第八章 点的合成运动
17
说明,va— 动点的绝对速度；
vr— 动点的相对速度；
ve— 动点的牵连速度，是动系上一点 (牵连点 )的速度。
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的
矢量和，这就是点的速度合成定理。
era vvv ??
上面的推导过程中，动参考系并未限制作何运动，因此
点的速度合成定理对任意的牵连运动都适用。 点的速度
合成定理是瞬时矢量式，每一速度包括大小 ?方向两个
元素，总共六个元素，已知任意四个元素，就能求出其
余两个。
运动学 第八章 点的合成运动
18
M点相对于动系 Ox'y'沿
半径为 r的圆周以速度 v作匀
速圆周运动 （ 圆心为 O1）,
动系 Ox'y' 相对于定系 Oxy以
匀角速度 ω绕 O轴作定轴转动,
如图所示, 初始时 Ox'y'与 Oxy
重合, M点与 O重合, 试求 M
点的绝对运动方程 。
例 题 8-1
下面通过坐标变换来说明三种运动之间的关系。
运动学 第八章 点的合成运动
19
运 动 演 示
例 题 8-1
运动学 第八章 点的合成运动
20
) c o s1( c o s11 rvtrMOOOx ????? ?
r
vtrMOy s in s in
1 ??? ?
,0??? OO xx,0??? OO yy t???
trvtrtrvtrx ?? s i ns i nc o s)c o s1( ???
解,
M点的相对运动方程为
牵连运动方程为
M 点的绝对运动方程为
??
??
c o ss in
s inc o s
yxyy
yxxx
O
O
?????
?????
?
?
应用坐标变换式
y' y
x O
M
v
r
φ
ψ
ω
O1
r
vt??如图所示，角
例 题 8-1
运动学 第八章 点的合成运动
21
用铣刀切削工件的直
径端面, 刀尖 M 沿水平轴 x
作往复运动, 如图所示 。
设 Oxy为定坐标系, 刀尖的
运动方程为 x =sin ωt。 工件
以匀角速度 ω逆时针转向转
动 。 求车刀在工件圆端面
上切出的痕迹 。
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
22
运 动 演 示
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
23
相 对 运 动 轨 迹
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
24
解,1,选择动点，动系与 定系。
动系－ O′x′ y′,固连于工件上。
2,运动分析。
绝对运动－沿 x 轴的直线运动。
相对运动－平面曲线。
牵连运动－绕 O轴的定轴转动。
动点－刀尖上的 M点。
x
x'
y y'
O
C
M
ωt 定系－ 固连于机座。
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
25
txx ?c o s??
txy ?s in???
tbttbx ??? 2s in2c o ss in ???
)2c o s1(2s in 2 tbtby ?? ??????
4)2()(
2
22 bbyx ?????
3,求刀尖 M 相对于工件的运动轨迹方程。
动点 M 在动坐标系 O?x? y? 和 动坐标系
Ox y 中 的坐标关系为,
将 M 点的绝对运动方程代入上式得,
消去时间 t，得刀尖相对轨迹方程
x
x'
y y'
O
C
M
t
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
26
凸轮顶杆机构中半径为 R
的半圆形凸轮以等速度 v0
沿水平轨道向右运动,
带动顶杆 AB沿铅垂方向
运动, 如图所示, 试求
φ=60o时, 顶杆 AB的速度 。
A
B
v0
n
φ
R
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
27
运 动 演 示
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
28
相 对 运 动 轨 迹
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
29
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox'y',固连于凸轮。
2,运动分析。
绝对运动－直线运动。
牵连运动－水平平 动。
动点－ AB的端点 A 。
相对运动－沿凸轮轮廓曲线运动。
A
B
n
φ
R
O x'
y '
v0
定系－ 固连于水平轨道。
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
30
3,速度分析。
绝对速度 va,大小未知, 方向沿杆 AB向上 。
相对速度 vr, 大小未知，方向沿凸
轮圆周的切线 。
牵连速度 ve, ve= v0,方向 水平向右 。
A
B
n
φ
R
va
ve φ
v0
vr
例 题 8-3
00ea 5 7 7.060 c o t c o t vvvv ????? ??
此瞬时杆 AB的速度方向向上。
rea vvv ??
应用速度合成定理
运动学 第八章 点的合成运动
31
讨论,
若取凸轮
上与顶重合点
A1为动点，动
系固连顶杆 AB，
则相对运动轨
迹是什么曲线？
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
32
讨论,
若取凸轮
圆心 O′点为动
点，动系固连
顶杆 AB，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
33
讨论,
若取凸轮
圆心 O′点为动
点，动系固连
顶杆 AB，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
34
军舰以 20节 （ knot，
1 节 =1.852 km﹒ h-1 ）
的速度前进, 直升飞
机以每小时 18 km的速
度垂直降落 。 求直升
飞机相对于军舰的速
度 。
例 题 8-4
运动学 第八章 点的合成运动
35
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系 － O'x'y',固连于军舰。
2,运动分析。
绝对运动 －垂直向下直线 运动 。
相对运动 －直线运动。
牵连运动 －水平方向平动 。
动点－直升飞机 。
O′
x'
y' M
定系－ 固连于海岸。
例 题 8-4
运动学 第八章 点的合成运动
36
1-2
a
2
er hkm 18.41 ???? vvv
4 8 6.0 t a n
e
a ??
v
v? ?92.25??
rea vvv ??
3,速度分析。
绝对速度 va：大小已知，方向 沿
铅垂方向向下。
相对速度 vr,大小方向均未知，为
所要求的量 。
牵连速度 ve：大小已知, 方向水
平向右 。
O′ x'
y' M v
e
va vr
α
应用速度合成定理
例 题 8-4
运动学 第八章 点的合成运动
37
刨床的急回机构如图所示, 曲
柄 OA的一端 A与滑块用铰链连接,
当曲柄 OA以匀角速度 ω绕固定轴 O
转动时, 滑块在摇杆 O1B上滑动,
并带动摇杆 O1B绕固定轴 O1摆动,
设曲柄长 OA=r,两间距离 OO1= l，
求当曲柄在水平位置时摇杆的角速
度 ω1。
例 题 8-5
运动学 第八章 点的合成运动
38
运 动 演 示
例 题 8-5
运动学 第八章 点的合成运动
39
相 对 运 动 轨 迹
例 题 8-5
运动学 第八章 点的合成运动
40
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O1x'y'，固连于摇杆 O1B。
2,运动分析。
绝对运动－以 O为圆心的圆周运动 。
相对运动－沿 O1B的直线运动。
牵连运动－摇杆绕 O1轴的 摆动 。
动点－滑块 A 。
y'
x'
定系－ 固连于机座。
例 题 8-6
运动学 第八章 点的合成运动
41
应用速度合成定理
3,速度分析。
绝对速度 va,va＝ OA · ω ＝ r ω, 方
向垂直于 OA,沿铅垂
方向向上。
相对速度 vr,大小未知，方向沿 摇杆
O1B 。
牵连速度 ve,ve为所要求的未知量,
方向垂直于 O1B 。
例 题 8-6
rea vvv ??
运动学 第八章 点的合成运动
42
? s inae vv ?
22
2
11e rl
rAOv
?
??? ??
,s in
22 rl
r
?
??,a ?rv ?
因为
22
2
e rl
rv
?
? ?所以
设摇杆在此瞬时的角速度为 ω1,则
221 rlAO ??
22
2
1 rl
r
??
??其中 所以可得
例 题 8-6
rea vvv ??
运动学 第八章 点的合成运动
43
讨论,
若取摇杆
O1B上 A点为动
点，动系固连
曲柄 OA，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-6
运动学 第八章 点的合成运动
44
讨论,
若取摇杆
O1B上 A点为动
点，动系固连
曲柄 OA，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-6
运动学 第八章 点的合成运动
45
讨论,
若取摇杆
O1B上 A点为动
点，动系固连
曲柄 OA，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-6
运动学 第八章 点的合成运动
46
如图所示, 半径为 R，
偏心距为 e的凸轮, 以匀角
速度 ω绕 O轴转动, 杆 AB能
在滑槽中上下平动, 杆的端
点 A 始终与凸轮接触, 且
OAB成一直线 。 求在图示位
置时, 杆 AB的速度 。
R
例 题 8-7
运动学 第八章 点的合成运动
47
e
O C θ ω
B 解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox′y′,固连于凸轮。
2,运动分析。
绝对运动－直线运动。
相对运动－以 C为圆心的圆周运动。
牵连运动－绕 O 轴的定轴转动。
动点－ AB的端点 A 。
定系－ 固连于机座。
例 题 8-7
运动学 第八章 点的合成运动
48
e
O C
A
θ ω
B
ve
va
θ
vr
rea vvv ??
应用速度合成定理
3,速度分析。
绝对速度 va,va为所要求的未知量,
方向沿杆 AB。
相对速度 vr,大小未知，方向沿凸轮
圆周的切线 。
牵连速度 ve,ve＝ OA · ω, 方向垂直
于 OA 。
eOA eOAvv ??? ???? c o tea
例 题 8-7
运动学 第八章 点的合成运动
49
如图所示为裁纸板的简图 。
纸板 ABCD放在传送带上, 并
以匀速度 v1=0.05 m·s-1与传送带
一起运动, 裁纸刀固定在刀架
K上, 刀架 K以匀速度 v2=0.13
m·s-1沿固定导杆 EF运动, 试问
导杆 EF的安装角 θ应取何值才
能使切割下的纸板成矩形 。
A B
C D
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 8-8
运动学 第八章 点的合成运动
50
运 动 演 示
例 题 8-8
运动学 第八章 点的合成运动
51
A B
C D
E
F
K
θ
v1 v2
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－垂直于纸板的运动方向
的直线运动。
牵连运动－ 随纸板一起作水平向
左的平动。
绝对运动－ 沿导杆的直线运动。
动系－固连于纸板 ABCD上。
动点－取刀架 K为动点。
2,运动分析。
解,
定系－ 固连于机座。
例 题 8-8
运动学 第八章 点的合成运动
52
E
A B
C D
F
K
θ
v1
rea vvv ??
3 8 5.0 s in
2
1
a
e ???
v
v
v
v?
?6.22??
ve=v1
va=v2
故导杆的安装角
3,速度分析。
绝对速度 va,va=v2,方向沿杆 EF向
左上 。
牵连速度 ve,ve=v1, 方向 水平向左 。
相对速度 vr,大小未知，方向 垂直于
纸板的运动方向。
由几何关系可得
θ vr
应用速度合成定理
例 题 8-8
运动学 第八章 点的合成运动
53
船 A和船 B分别沿
夹角是 φ的两条直线行
驶, 已知船 A的速度是
v1,船 B始终在船 A的左
舷正对方向, 试求船 B
的速度 v2和它对船 A的
相对速度 。
φ
O y
y'
x
x'
A
B
v2 v1
例 题 8-9
运动学 第八章 点的合成运动
54
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－沿 AB的直线运动。
牵连运动－ 随动系 Ax' y'的直线平动。
绝对运动－ 沿 OB的直线运动。
动系－ Ax' y'固连于船 A上。
动点－取船 B上任一点为动点。
2,运动分析。
φ
O y
x
A
B
y'
x'
解,
v2 v1
定系－ 固连于海岸。
例 题 8-9
运动学 第八章 点的合成运动
55
3,速度分析。
4,求速度。
vr
ve=v1 v
a=v2
α
,co s12 ?vv ? ? ta n1r vv ?
φ
O y
x
A
B
y'
x'
v2 v1
rea vvv ??
应用速度合成定理
绝对速度 va,va =v2,大小 待求,方向 沿 OB。
相对速度 vr,大小未知，方向沿 AB 。
牵连速度 ve,ve = v1, 方向 沿轴 Ox正向。
得船 B的绝对速度和对于船 A的相对速度的大小
例 题 8-9
运动学 第八章 点的合成运动
56
图示的离心调速器的 T形架用销
钉与杆 AB和 A1B1连接, 杆端连接两
小球 B和 B1,小球又用两铰连杆 BC
和 B1C与套筒 C相连, 套筒可在 T形
架轴上滑动 。 已知某瞬时 T形架以角
速度 ω=10 rad·s － 1绕铅垂轴转动, 此
瞬时杆 AB与铅垂轴成角, 并
以角速度 ω1=1.2 rad·s － 1绕 A点在平
面 ABC内摆动, 角速度转向如图所
示 。 设杆长 l=500 mm,T 形架上
AA1=2e=100 mm,求此瞬时小球 B的
速度 。
?30??
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
57
运 动 演 示
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
58
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O′ x′y′ z′, 固结在 T
形架上。
2,运动分析。
绝对运动－复杂的空间曲线运动。
相对运动－以 A点为圆心,l为半径的
圆弧。
牵连运动－ T形架定轴转动 。
动点－小球 B。
x'
y'
z'
O′
定系－ 固连于机座。
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
59
牵连速度 ve,
方向垂直于坐标面
O′ y′ z′,指向朝外 。
?? ??? )s in(e lev
3,速度分析。
绝对速度 va,大小方向均未知，为
所要求的量 。
相对速度 vr：,在转动坐标面
O′ y′ z′内，方向垂直与
杆 AB，指向右上方。
1r ?lv ?
x'
y'
z'
O′ v
r
ve
φ va
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
60
1-
2
1
222
2
r
2
ea
skm 060 3
)s in(
??
?????
??
??? lle
vvv
方向可用 va与 vr间的夹角 φ 表示，有
5) s i n( t a n
1r
e ?
?
???
?
???
l
le
v
v
?69.78??
rea vvv ??
应用速度合成定理
x'
y'
z'
O′ v
r
ve
φ va
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
61
§ 8-3 点的加速度合成定理
O
x
z
y
O '
i '
x '
j '
y '
k '
z '
r '
r O '
A
r A
为了便于推导，先分析动系作
定轴转动时，动系上任意矢量 r?
时间的导数 。不失一般性，设
动系 O?x?y?z ?以角速度 ?e绕 z 轴
转动。由刚体定轴转动时刚体
上点的速度 的矢积表示，有
O O O
A A A
? ? ?? ? ?
? ? ?
r ω r v
r ω r v
e
e
?
?
OA ???? rrr 而
rωrrωrrr ????????? ?? ee )( OAOA ???
运动学 第八章 点的合成运动
62
由于 r?为 动系上的任意矢量,分别令 r? 为单位矢量 i?、
j?, k?,则有
4) - (8 e e ek ω k j ω j i ω i? ? ? ? ? ?? ? ?动点的相对加速度为
5)-(8
d
d~
2
2
r kji
ra ??????????? zyx
t
??????
动点的牵连加速度为
6)-(8
d
d
2
2
e kjir
ra ???????????
?
? ???????? zyx
t O
M
动点的绝对加速度为
运动学 第八章 点的合成运动
63
)(2
a
kji
kji
kjirra
??????
??????
??????????
?????????
?????????
???????????
?
zyx
zyx
zyx
OM
（ 8-7）
动点的绝对加速度为
? ?
? ?
re
e
eee
2
2
)()()(2)(2
vω
kjiω
kωjωiωkji
??
??????????
????????????????????
zyx
zyxzyx
???
?????????
考虑到（ 8-2）和（ 8-4）式，有
为科氏加速度令 2 rec vωa ??,由此可得
crea aaaa ???
以上即为动系作转动时点的加速度合成定理。实际上当牵
连运动为任意运动时上式也成立。
运动学 第八章 点的合成运动
64
下面讨论科氏加速度 ac，由矢积的运算规则,ac的大小为
?? s i n2 rec va ?
方向垂直于 ?e 和 vr所构成的平面，
指向由右手法则确定。显然在下
面几种情况下,即
?e = 0,vr= 0,? = 0 和 ? = 180o时
ac= 0
因此，当牵连运动为平动时 (?e = 0)，有
rea aaa ??
以上即为动系作平动时点的加速度合成定理。
n
r
t
r
n
e
t
e
n
a
t
a aaaaaa ?????
一般式可写为,
运动学 第八章 点的合成运动
65
牵连速度
相对速度
绝对速度
t 瞬时在位置Ｉ t+Dt 瞬时在位置 II
可以看出，经过 Dt 时间间隔，牵连速度和相对速度的大
小和方向都变化了。
设有已知杆 OA在图示平面内 绕
轴 O匀速转动，套筒 M（可视为点
M）沿直杆 OA运动。 取套筒 M为动
点，动系固结于杆 OA上。
下面通过一实例来说明科氏加速度
是怎样由牵连运动与相对运动的相
互影响而产生的。
ev
rv
rea vvv ??
ev?
rv?
rea vvv ?????
运动学 第八章 点的合成运动
66
rv
其中 -- 在 Dt内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。
-- 在 Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变
量，与牵连转动的 ? e的大小有关 。
Dt 时间间隔内的速度变化分析
相对速度,由 作速度矢量三角形,
在 矢量上截取 长度后,分解为 和
rrr,,vvv D?
rv rvD rv?D rv??D
rrr vvv ??D??D?D即
rv?D
rv??D
牵连速度,
由 作速度矢量三角形,
在 矢量上截取等于 长后,
将 分解为 和,
eee,,vvv D?
ev ev
evD ev?D ev??D
eee vvv ??D??D?D即
运动学 第八章 点的合成运动
67
其中,
— 表示 Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改
变量，与相对运动无关。
— 表示 Dt内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的
大小改变量，与相对速度 有关。
ev?D
ev??D
rv
加速度分析, 根据加速度定义
tt tt D
??????
D
???
?D?D
)()(limlim rere
0
aa
0a
vvvvvva
ttt ttt D
D?
D
D?
D
??????
?D?D?D
r
0
e
0
rree
0
limlim)()(lim vvvvvv
tttt tttt D
??D?
D
?D?
D
??D?
D
?D?
?D?D?D?D
r
0
r
0
e
0
e
0
limlimlimlim vvvv
运动学 第八章 点的合成运动
68
第二项大小,
t
OMOM
t
vv
t ttt D
????
D
???
D
??D
?D?D?D
ee
0
ee
0
e
0
'limlimlim ??v
rre
1
0e
,'lim v???D??
?D
方向vtMM
t
??
该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度 。
方向,Dt ?0时,D? ? 0,其方向沿着直杆指向 O点。
因此，第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。
ea
上式中各项的物理意义如下,
第一项大小,
e
2
ee0
e
0
limlim av ???
D
D??
D
?D
?D?D
?? OM
t
v
t tt
运动学 第八章 点的合成运动
69
第三项大小,为对应于 大小改变 rrr0 ddlim avv ??D ?D?D ttt rv
方向：总是沿直杆 OA。
因此,该项恰是 ｔ 瞬时动点的相对加速度 。 ra
第四项大小,
。方向,lim''lim e
00 rrrt
r
t
v
t
v
t
vv ??
D
D??
D
D
?D?D
??
这一项表明由于牵连转动而引起
相对速度方向改变的加速度。
运动学 第八章 点的合成运动
70
所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为
crea aaaa ???
当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速
度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
一般式
一般情况下 科氏加速度 的计算可以用矢积表示 ) (
re 不垂直时与 vω ca
rec 2 vωa ??
转动的一边指向顺方向,,2 errec ωva ?? v?
c
t
r
n
r
t
e
n
e
t
a
n
a aaaaaaa ??????
由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都
相同，可以合并为一项，用 表示，称为科里奥利加速度，简
称科氏加速度。是由牵连运动为转动时,牵连运动与相对运动的
相互影响而产生的。
ca
运动学 第八章 点的合成运动
71
M点沿直管运动, 同
时这直管又在图示固定平
面内绕定轴 O转动 。 已知
r =OM 和转角 φ的变化规
律
求 M点绝对速度和加速度
的表达式 。
? ? ? ?tftfr 21,?? ?O
x
x' y' y
φ
M
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
72
1,选择动点，动系与 定系 。
动点－点 M。
动系－ Ox′ y′固连于直管。
2,运动分析。
绝对运动－ 平面曲线运动。
牵连运动－直管绕 O作定轴转动。
相对运动－沿动直管的直线运动。
x'
y'
O x
y
φ
M
解,
定系－ 固连于机座。
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
73
3,速度分析。
绝对速度 va,大小和 方向未知。
O x
x'
y'
y
φ
M
α
va
vr=var
ve=vaφ
牵连速度 ve：大小,
方向 垂直于向直管向左上 。 t
rv dde ??
相对速度 vr,大小,
方向 沿直管向右上。 t
rv
d
d
r ?
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
74
rea vvv ??
由点的速度合成定理
O x
x'
y'
y
φ
M t
rvv
d
d
rar ?? trvv d
d
ea
?
? ??
M点的绝对速度 va的大小
2
2
2
a
2
ara )d
d(
d
d
t
r
t
rvvv ?
? ???
??
?
????
角度 α可由下式确定
?
?
? ?
?
r
r
v
vtg ??
a
ar
α
va
vr=var
ve=vaφ
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
75
O x
x'
y'
y
φ
M
ar
T
aC
tea
nea
2
2
r d
d
t
ra ?相对加速度 ar：,方向沿管向上。
4,加速度分析。
Cre
net
a aaaaa ????
由加速度合成定理
绝对加速度 aa：待求 。
牵连加速度切向分量 ate：, 垂直于管向上。
2
2
t
e d
d
tra
??
牵连加速度法向分量 ane, 2n
e )d
d(
tra
??,方向沿 MO。
t
r
tva d
d
d
d22
rC
?? ??科氏加速度 aC：,垂直于管向上。
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
76
2
2
2
r
a d
d
d
d ?
?
??
?
???
t
r
t
ra ?
????????? trtrtrttra dddd1dddd2)dd( 22
2
a
????
2
2
2
2
2
2
2
a
2r
aa )d
d(
d
d1)
d
d(
d
d
??
?
??
??
?
?
?
?
?
? ????
t
r
trt
r
t
raaa ???
把上式投影到径向 Ox '和横向 MT，得
绝对加速度的径向投影和横向投影
故 M点绝对加速度 aa的大小
Cre
net
a aaaaa ????
O x
x'
y'
y
φ
M
ar
T
aC
tea
nea
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
77
图示一往复式送料机,
曲柄 OA长 l,它带动导杆 BC
和送料槽 D作往复运动, 借
以运送物料 。 设某瞬时曲柄
与铅垂线成 θ角 。 曲柄的角速
度为 ω0,角加速度为 α0,方
向如图所示, 试求此瞬时送
料槽 D的速度和加速度 。
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
78
运 动 演 示
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
79
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O′ x′y′,固连于导杆 BC。
2,运动分析。
绝对运动－以 O为圆心的圆周运动 。
相对运动－沿导杆滑槽的铅垂直线运动。
牵连运动－导杆 BC 沿水平直线的平动 。
动点－滑块 A 。
O'
x'
y'
定系－ 固连于机座。
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
80
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
O'
x'
y'
3,速度分析。
绝对速度 va,va= l ω0,方向 与 OA垂直 。
相对速度 vr,大小未知，方向沿 导杆滑槽向上。
牵连速度 ve：所求的送料槽的速度,方向 水
平向右 。
ve
va
θ
vr
rea vvv ??
应用速度合成定理
??? c o sc o s 0ae lvvv D ???求得,
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
81
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
O'
x'
y' 4,加速度分析。
绝对加速度法向分量 aan,aan = l ω02, 沿着 AO。
相对加速度 ar,大小 未知, 方向沿 O′ y′ 轴
牵连加速度 ae：大小未知,为所要求的量,
方向水平，假设向右 。
绝对加速度切向分量 aat,aa t= lα0,方向与 OA 垂直,
指向左下方 。 a
e
aat
aan θ
ar
θ
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
82
应用加速度合成定理
re
t
a
n
a aaaa ???
投影到 O′ x′轴，得到
enata s inc o s aaa ??? ??
于是，求得
)s inc o s( 200e ???? ??? la
即为导杆和送料槽 D的加速度 aD，其中负号表示在此瞬时 ae的指向与图中所
假设的相反。
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
O'
x'
y'
θ
ae
aat
ar
aan
θ
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
83
在滑块导杆机构中, 由一
绕固定轴 O作顺时针转动的导杆
OB带动滑块 A沿水平直线轨道
运动, O到导轨的距离是 h,已
知在图示瞬时导杆的倾角是 φ，
角速度大小是 ω, 角加速度 α
=0,试求该瞬时滑块 A的绝对加
速度 。
φ ω O
A
B
y
x y'
x'
h
例 题 8-13
运动学 第八章 点的合成运动
84
运 动 演 示
例 题 8-13
运动学 第八章 点的合成运动
85
φ ω O
A
B
y
x
h
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－沿导杆 OB的直线运动。
牵连运动－ 导杆 OB绕轴 O的匀速转动。
绝对运动－ 沿导轨的水平直线运动。
动系－ Ax'y'固连于导杆。
动点－取滑块 A为动点。
2,运动分析。
?
???
?
??
2er s i n
c o sc o t
s i nc o t
hhvv ???
ve
vr
va
y'
x'
解,
定系－ 固连于机座。
rea vvv ??
应用速度合成定理 速度合成图如图所示。
求得,
例 题 8-13
运动学 第八章 点的合成运动
86
3,加速度分析。
Ca aa ??? ?s in
?
??
? 3
2
s in
c o s2
s in
haa C
a ??
crea aaaa ???
投影到 Oy'轴上，得
绝对加速度 aa,大小 待求, 方向水平。
牵连加速度 ae：,方向沿 BO
指向 O。
?? s inhe ?a
相对加速度 ar,大小 未知，方向沿 BO。
科氏加速度 aC：,方向 ⊥ OB
偏上方 。
r0C 2 va ?? ?
根据加速度合成定理
求得滑块 A的加速度
φ ω O
A
B
y
x
h
y'
x'
ae
ar
ac
aa
vr
例 题 8-13
运动学 第八章 点的合成运动
87
刨床的急回机构如图所示 。 曲
柄 OA的一端 A与滑块用铰链连接,
当曲柄 OA以匀角速度 ω绕固定轴 O
转动时, 滑块在摇杆 O1B上滑动,
并带动摇杆 O1B绕固定轴 O1摆动,
设曲柄长 OA=r,OO1=l,求当曲柄
在水平位置时摇杆的角加速度 α1。
例 题 8-14
运动学 第八章 点的合成运动
88
由例题 5速度分析得
22
22
1 rl
r
?
? ??
22
1 rlAO ??
22ar
c o s
rl
rlvv
?
?? ??
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O1x′y′,固连于摇杆 O1B。
动点－滑块 A 。
y ?
x ?
定系－ 固连于机座。
例 题 8-14
运动学 第八章 点的合成运动
89
x'
y'
O1
O
φ
ω
ω1
A
B
aa
ar aC
nea
2,加速度分析。
绝对加速度 aa,ae = ω2 r, 沿着 OA,指向 O 。
相对加速度 ar,大小 未知, 假设沿 O1B向 上 。
牵连加速度切向分量 aet,大小 未知, 垂直于
O1B,假设指 向 右下。
tea
牵连加速度法向分量 aen,
121ne AOa ?? ?
沿着 O1A,指向 O1。
? ? 2322
24
rl
r
?
? ?
科氏加速度 aC,
r1c 2 va ??
2322
32
)(
2
rl
lr
?
? ?
垂直 O1B 指向 如图。
例 题 8-14
运动学 第八章 点的合成运动
90
上式向 O1x ' 轴投影
2
2322
22
t
e )(
)( ?
rl
rlrla
?
???
2
2322
22t
e
1 )(
)( ??
rl
rlrl
OA
a
?
????
C
t
ea
Crea
c o s aaa
aaaa xxxx
???
??? ????
?或
解得
故摇杆 O1A的角加速度
转向为逆时针
Crnetea aaaaa ????
根据加速度合成定理
α1
x'
y'
O1
O
φ
ω
ω1
A
B
aa
ar aC
nea
tea
例 题 8-14
运动学 第八章 点的合成运动
91
火车 M以等速 v0沿子
午线自南往北行驶, 如图
所示, 为了考虑地球的自
转, 设定坐标系以地心为
原点, 坐标轴分别指向恒
星, 地球的平均半径为 R。
求火车 M在北纬 φ度处的
绝对加速度 。
v0
M
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
92
运 动 演 示
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
93
v0
M
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O′ x′y′ z′, 固连于地球上，原点
O′与地心重合，并使坐标面 O′ y′ z′
与铁轨所在的子午面重合,O′ z′轴
与地轴重合。
2,运动分析。
绝对运动－ 空间曲线 运动 。
相对运动－ M点在子午面内以 O′为圆心,R为半径和速度为 v0的匀速圆弧
运动。
牵连运动－地球绕 O′ z′轴的匀角速转动 。
动点－火车 M 。
x'
y'
z'
定系－ 固连于机座。
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
94
因地球自西向东旋转, 所以
动坐标系即地球的角速度 ω的方
向是沿 O′z′轴的正向, 其大小为
15 sr a d 1027.7
606024
π2 ?? ???
????
v0
x'
y'
z'
M
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
95
v0
M
x'
y'
z'
3,加速度分析。
绝对加速度 aa,大小 方向均未知 。
牵连加速度 ae,方向
垂直于 O′z′轴，并指向此轴 。
,)c o s( 2e ??Ra ?
相对加速度 ar,方向指
向地心 O。;
2
0
2
r
r R
v
R
va ??
科氏加速度 aC,
方向沿 M点纬度线的切线，并且向西 。
???? s i n2s i n2 0rC ?????? vva
ae
ar aC
运动学 第八章 点的合成运动
96
v0
M
x′
y'
z'
ae
ar aC
据此，可进一步求得 M点的加速度 aa的大小和方向。
根据加速度合成定理
Crea aaaa ???
Crea aaaa ???
i
kjj
s i n2
) s i n c o s( c o s
0
2
0
2
02
v
R
v
R
v
R
??
?????
?
????
kji s i n c o s)( s i n2
2
0
2
02
0
2 ?????
R
v
R
vRv ????
如以 i,j 和 k 分别表示沿坐标轴 O′x′,O′y′和
O′z′的单位矢量, 则 M点的加速度 aa可表示为
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
97
空气压缩机的工作以角
速度 ω 绕垂直于图面的 O轴匀
速运动, 空气以相对速度 vr沿
弯曲的叶片匀速流动, 如图
所示, 如曲线 AB在 C点的曲
率半径为 ρ,通过点 C的法线
与半径间夹的角为 φ,CO=r,
求气体微团在 C点的绝对加速
度 aa。
v r
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
98
运 动 演 示
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
99
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox′y′,固连于 工作轮 。
2,运动分析。
绝对运动－平面曲线运动。
牵连运动－绕轴 O定轴转动。
动点－取气体微团 。
相对运动－沿曲线 AB运动。
定系－ 固连于机座。
v r
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
100
ar
ae aC
3,加速度分析。
绝对加速度 aa,大小方向均 未知 。
牵连加速度 ae,ae = ω2 r, 沿 OC 指向 O
相对加速度 ar,ae = vr 2 / ρ, 方向 如图。
科氏加速度 aC,
垂直于 vr, 指向 如图。
rr 290s in2 vva C ?? ?? ?
v r
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
101
分别投影到 x′, y′轴上
绝对加速度的大小
?
?
????
?
s i n)2(s i n2s i n0
2
r
rr
2
r
Crea
v
vv
v
aaaa xxxx
?????
??? ????
rv
v
v
v
r
aaaa
yyyy
2
r
2
r
r
2
r2
Crea
c os)2(
c os2c os
???
?
???
?
?
???
????
???
????
2
a
2
aa yx aaa ?? ??
方向可由其方向余弦确定。
根据加速度合成定理
ar
ae aC
v r
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
102
图示一台电动转盘, 电动机
安装在基座 S上, 电动机转子的轴
线与水平线成 30o 角, 基座绕铅垂
轴 Oz以匀角速度 ω=10 rad·s－ 1旋转,
设安装在转子上的圆盘半径
r = 130 mm,转子的匀角速度
ω1=20 rad·s－ 1, 其它尺寸如图,
试求圆盘边缘上 P点在最高位置时
的瞬时速度和加速度 。
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
103
运 动 演 示
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
104
1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O′ x′y′,固连于电机机座。
2,运动分析。
绝对运动－空间曲线运动。
相对运动－以 C为圆心,r为半径在圆盘
平面内的圆周运动。
牵连运动－绕 Oz轴的定轴转动 。
动点－圆盘边缘上 P点 。
x' y'
z'
O′
C
解,
定系－ 固连于机座。
P
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
105
3,速度分析。
绝对速度 va,大小方向均未知。
牵连速度 ve,ve= AP ·ω,方向垂 直图
面向里。
相对速度 vr,vr= r ω1, 方向垂 直图面
向外，即平行于 y′ 轴 。
C
P A v
r
ve
mm 2.58
60c o s13030s i n10030c o s200
?
?????? ???AP
x' y'
z'
O′
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
106
rea vvv ??
应用速度合成定理
如果用坐标系 O′ x′y′的单位矢量 i1,j1
和 k1来表示速度 v 则有
1
1
1e1r
smm )2 0 1 8( －??
??
j
jj vvv
C
P A v
r
ve
x' y'
z'
O′
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
107
科氏加速度 aC：,方向
沿直线 AP与 ae的指向相反 。
1C 22 ??? rva t ??
4,加速度分析。
绝对加速度 aa,大小 方向均未知, 为所求的
加速度 。
x' y'
z'
O′
C
P A
ar
ae
牵连加速度 ae,方向沿直
线 AP，指向 O′ z′轴 。
,2nee ?APaa ??
相对加速度 ar,方向在圆
盘平面内指向圆盘的中心 C。
,21nrr ???? raa
aC
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
108
用单位矢量 i1,j1,k1表示，得到
crea aaaa ???
1
2
11
1
2
11
2
1
2
)60 s in60 c o s(
ii
ki
???
??
?????
??????
APr
rr ??
1
2
1
1
2
1
2
1
60s i n
)60 c o s2(
k
i
?
?
?
????
r
rAPr
?
????
211 smm )0 3 0 451 8 0 72( －??? ki
故 P点的绝对加速度的大小为
222 sm 1.85)03.45()18.72( －????a
根据加速度合成定理
Crea aaaa ???
x' y'
z'
O′
C
P A
ar
ae aC
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
109
运动学 第八章 点的合成运动
2
前两章中我们研究了点和刚体的运动，都是以地
面为参考系的。然而，实际问题中，为了研究问题的
方便，例如，将一个复杂的运动分解为几个较为简单
的运动或将几个运动合成为一个复杂的运动，都需要
在不同的参考系中来研究物体的运动，分析物体相对
不同参考系运动之间的关系。
本章研究点的合成运动。分析点的速度合成和加
速度合成的规律。
运动学 第八章 点的合成运动
3
§ 8-1 相对运动 ?牵连运动 ?绝对运动
运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。同一物体的运动
在不同的参考系中是不一样的。例如车轮上的点 P的运动，
如果以地面作为参考系，点的轨迹是旋轮线，而如果以小车
作为参考系，点的轨迹则是一个圆。
运动学 第八章 点的合成运动
4
又例如车床上车刀刀尖 P的运动，很显然车刀刀尖相对于
地面是直线运动，但如果相对于旋转的工件而言，轨迹
则是圆柱面上的螺旋线。
运动学 第八章 点的合成运动
5
下面介绍点的合成运动中的基本概念：, 一点两系
三运动,
一点：即 动点,所研究的点。
两系,定参考系和动参考系 。
定参考系 — 固结于地面上的坐标系，简称静系。
动参考系 — 固结于相对于地面运动物体上的坐标系，简
称动系。例如行驶的汽车。
三运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。
绝对运动,动点相对静系的运动。
相对运动,动点相对动系的运动。例如：人在行驶的汽
车里走动。
牵连运动,动系相对于静系的运动。例如：行驶的汽车
相对于地面的运动。
运动学 第八章 点的合成运动
6
动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的 绝对轨迹、绝
对速度 和 绝对加速度 。
动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的 相对轨迹、相
对速度 和 相对加速度 。
aa
rv ra
av
特别需要强调的是，由于动参考系的运动是刚体的运动而不是
一个点的运动，因此定义在任意瞬时，动参考系上与动点重合
的那一点称为 牵连点,该点应该是动系上在该瞬时与动点关系
最紧密的。显然牵连点不是动系上的一个固定点。有了牵连点
的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下,
ev
ea
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为 牵连速度 和
牵连加速度
下面通过例子来说明以上的各个概念
运动学 第八章 点的合成运动
7
运动学 第八章 点的合成运动
8
动点,
动系,
静系,
偏心凸轮 C上 A1点
固结于杆 AB上
固结在地面上
动点,
动系,
静系,
AB杆上 A点
固结于偏心凸轮 C上
固结在地面上
运动学 第八章 点的合成运动
9
运动学 第八章 点的合成运动
10
运动学 第八章 点的合成运动
11
运动学 第八章 点的合成运动
12
从以上例子可以得出，如果动点和动系选择的恰当，
则相对轨迹较为简单，反之则较复杂。因此，动点动
系的选择是分析点的合成运动的关键之一。
运动学 第八章 点的合成运动
13
点的复合运动 — 速度分析例子
思考：如果动点是顶杆上的 A点，动系与凸轮固结，试对
动点进行速度分析，画出速度图。
运动学 第八章 点的合成运动
14
§ 8－２点的速度合成定理
绝对速度和相对速度是在不同参考系中来描述动点的速度，因此
它们之间应该有某种关系，本节研究点的绝对速度，相对速度和
牵连速度之间的关系。
运动学 第八章 点的合成运动
15
O
x
z
y
M M '
O '
i '
x '
j '
y '
k '
z '
r M
r '
r O '
r M '
如图所示,Oxyz为定参考系,O?x? y?z?为动参考系。动
系坐标原点 O? 在定系中的矢径为 rO?, 动系的三个单位
矢量分别为 i?,j?,k? 。 动点 M在定系中的矢径为 rM,
在动系中的矢径为 r?。 牵连点（动系上与动点重合的点）
为 M?,它在定系中的矢径为 rM? 。
显然
kjir
rrr
??????????
??? ?
zyx
OM
动点的绝对速度 va 为
1)-(8 kjikjirrv ???????????????????? ? zyxzyxOMa ????????
运动学 第八章 点的合成运动
16
相对速度是动点相对动参考系的速度,因此与绝对
速度的计算类似，相对速度应是相对矢径 r? 对时间
的相对导数，即将 i?,j?,k? 视为常矢量。从而有
2)-(8
d
d~
r kji
rv ??????????? zyx
t
???
为与绝对导数区别，相对导数用导数符号上加, ?” 表
示。
动点的牵连速度为
3)-(8 dde kjirrv ??????????? ?? ???? zyxt OM
因为牵连点是动系上的点，故它的相对坐标是常数，对
时间的导数为零。由 （ 8-1），（ 8-2）和（ 8-3）得
era vvv ??
运动学 第八章 点的合成运动
17
说明,va— 动点的绝对速度；
vr— 动点的相对速度；
ve— 动点的牵连速度，是动系上一点 (牵连点 )的速度。
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的
矢量和，这就是点的速度合成定理。
era vvv ??
上面的推导过程中，动参考系并未限制作何运动，因此
点的速度合成定理对任意的牵连运动都适用。 点的速度
合成定理是瞬时矢量式，每一速度包括大小 ?方向两个
元素，总共六个元素，已知任意四个元素，就能求出其
余两个。
运动学 第八章 点的合成运动
18
M点相对于动系 Ox'y'沿
半径为 r的圆周以速度 v作匀
速圆周运动 （ 圆心为 O1）,
动系 Ox'y' 相对于定系 Oxy以
匀角速度 ω绕 O轴作定轴转动,
如图所示, 初始时 Ox'y'与 Oxy
重合, M点与 O重合, 试求 M
点的绝对运动方程 。
例 题 8-1
下面通过坐标变换来说明三种运动之间的关系。
运动学 第八章 点的合成运动
19
运 动 演 示
例 题 8-1
运动学 第八章 点的合成运动
20
) c o s1( c o s11 rvtrMOOOx ????? ?
r
vtrMOy s in s in
1 ??? ?
,0??? OO xx,0??? OO yy t???
trvtrtrvtrx ?? s i ns i nc o s)c o s1( ???
解,
M点的相对运动方程为
牵连运动方程为
M 点的绝对运动方程为
??
??
c o ss in
s inc o s
yxyy
yxxx
O
O
?????
?????
?
?
应用坐标变换式
y' y
x O
M
v
r
φ
ψ
ω
O1
r
vt??如图所示，角
例 题 8-1
运动学 第八章 点的合成运动
21
用铣刀切削工件的直
径端面, 刀尖 M 沿水平轴 x
作往复运动, 如图所示 。
设 Oxy为定坐标系, 刀尖的
运动方程为 x =sin ωt。 工件
以匀角速度 ω逆时针转向转
动 。 求车刀在工件圆端面
上切出的痕迹 。
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
22
运 动 演 示
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
23
相 对 运 动 轨 迹
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
24
解,1,选择动点，动系与 定系。
动系－ O′x′ y′,固连于工件上。
2,运动分析。
绝对运动－沿 x 轴的直线运动。
相对运动－平面曲线。
牵连运动－绕 O轴的定轴转动。
动点－刀尖上的 M点。
x
x'
y y'
O
C
M
ωt 定系－ 固连于机座。
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
25
txx ?c o s??
txy ?s in???
tbttbx ??? 2s in2c o ss in ???
)2c o s1(2s in 2 tbtby ?? ??????
4)2()(
2
22 bbyx ?????
3,求刀尖 M 相对于工件的运动轨迹方程。
动点 M 在动坐标系 O?x? y? 和 动坐标系
Ox y 中 的坐标关系为,
将 M 点的绝对运动方程代入上式得,
消去时间 t，得刀尖相对轨迹方程
x
x'
y y'
O
C
M
t
例 题 8-2
运动学 第八章 点的合成运动
26
凸轮顶杆机构中半径为 R
的半圆形凸轮以等速度 v0
沿水平轨道向右运动,
带动顶杆 AB沿铅垂方向
运动, 如图所示, 试求
φ=60o时, 顶杆 AB的速度 。
A
B
v0
n
φ
R
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
27
运 动 演 示
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
28
相 对 运 动 轨 迹
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
29
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox'y',固连于凸轮。
2,运动分析。
绝对运动－直线运动。
牵连运动－水平平 动。
动点－ AB的端点 A 。
相对运动－沿凸轮轮廓曲线运动。
A
B
n
φ
R
O x'
y '
v0
定系－ 固连于水平轨道。
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
30
3,速度分析。
绝对速度 va,大小未知, 方向沿杆 AB向上 。
相对速度 vr, 大小未知，方向沿凸
轮圆周的切线 。
牵连速度 ve, ve= v0,方向 水平向右 。
A
B
n
φ
R
va
ve φ
v0
vr
例 题 8-3
00ea 5 7 7.060 c o t c o t vvvv ????? ??
此瞬时杆 AB的速度方向向上。
rea vvv ??
应用速度合成定理
运动学 第八章 点的合成运动
31
讨论,
若取凸轮
上与顶重合点
A1为动点，动
系固连顶杆 AB，
则相对运动轨
迹是什么曲线？
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
32
讨论,
若取凸轮
圆心 O′点为动
点，动系固连
顶杆 AB，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
33
讨论,
若取凸轮
圆心 O′点为动
点，动系固连
顶杆 AB，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-3
运动学 第八章 点的合成运动
34
军舰以 20节 （ knot，
1 节 =1.852 km﹒ h-1 ）
的速度前进, 直升飞
机以每小时 18 km的速
度垂直降落 。 求直升
飞机相对于军舰的速
度 。
例 题 8-4
运动学 第八章 点的合成运动
35
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系 － O'x'y',固连于军舰。
2,运动分析。
绝对运动 －垂直向下直线 运动 。
相对运动 －直线运动。
牵连运动 －水平方向平动 。
动点－直升飞机 。
O′
x'
y' M
定系－ 固连于海岸。
例 题 8-4
运动学 第八章 点的合成运动
36
1-2
a
2
er hkm 18.41 ???? vvv
4 8 6.0 t a n
e
a ??
v
v? ?92.25??
rea vvv ??
3,速度分析。
绝对速度 va：大小已知，方向 沿
铅垂方向向下。
相对速度 vr,大小方向均未知，为
所要求的量 。
牵连速度 ve：大小已知, 方向水
平向右 。
O′ x'
y' M v
e
va vr
α
应用速度合成定理
例 题 8-4
运动学 第八章 点的合成运动
37
刨床的急回机构如图所示, 曲
柄 OA的一端 A与滑块用铰链连接,
当曲柄 OA以匀角速度 ω绕固定轴 O
转动时, 滑块在摇杆 O1B上滑动,
并带动摇杆 O1B绕固定轴 O1摆动,
设曲柄长 OA=r,两间距离 OO1= l，
求当曲柄在水平位置时摇杆的角速
度 ω1。
例 题 8-5
运动学 第八章 点的合成运动
38
运 动 演 示
例 题 8-5
运动学 第八章 点的合成运动
39
相 对 运 动 轨 迹
例 题 8-5
运动学 第八章 点的合成运动
40
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O1x'y'，固连于摇杆 O1B。
2,运动分析。
绝对运动－以 O为圆心的圆周运动 。
相对运动－沿 O1B的直线运动。
牵连运动－摇杆绕 O1轴的 摆动 。
动点－滑块 A 。
y'
x'
定系－ 固连于机座。
例 题 8-6
运动学 第八章 点的合成运动
41
应用速度合成定理
3,速度分析。
绝对速度 va,va＝ OA · ω ＝ r ω, 方
向垂直于 OA,沿铅垂
方向向上。
相对速度 vr,大小未知，方向沿 摇杆
O1B 。
牵连速度 ve,ve为所要求的未知量,
方向垂直于 O1B 。
例 题 8-6
rea vvv ??
运动学 第八章 点的合成运动
42
? s inae vv ?
22
2
11e rl
rAOv
?
??? ??
,s in
22 rl
r
?
??,a ?rv ?
因为
22
2
e rl
rv
?
? ?所以
设摇杆在此瞬时的角速度为 ω1,则
221 rlAO ??
22
2
1 rl
r
??
??其中 所以可得
例 题 8-6
rea vvv ??
运动学 第八章 点的合成运动
43
讨论,
若取摇杆
O1B上 A点为动
点，动系固连
曲柄 OA，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-6
运动学 第八章 点的合成运动
44
讨论,
若取摇杆
O1B上 A点为动
点，动系固连
曲柄 OA，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-6
运动学 第八章 点的合成运动
45
讨论,
若取摇杆
O1B上 A点为动
点，动系固连
曲柄 OA，则相
对运动轨迹是
什么曲线？
例 题 8-6
运动学 第八章 点的合成运动
46
如图所示, 半径为 R，
偏心距为 e的凸轮, 以匀角
速度 ω绕 O轴转动, 杆 AB能
在滑槽中上下平动, 杆的端
点 A 始终与凸轮接触, 且
OAB成一直线 。 求在图示位
置时, 杆 AB的速度 。
R
例 题 8-7
运动学 第八章 点的合成运动
47
e
O C θ ω
B 解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox′y′,固连于凸轮。
2,运动分析。
绝对运动－直线运动。
相对运动－以 C为圆心的圆周运动。
牵连运动－绕 O 轴的定轴转动。
动点－ AB的端点 A 。
定系－ 固连于机座。
例 题 8-7
运动学 第八章 点的合成运动
48
e
O C
A
θ ω
B
ve
va
θ
vr
rea vvv ??
应用速度合成定理
3,速度分析。
绝对速度 va,va为所要求的未知量,
方向沿杆 AB。
相对速度 vr,大小未知，方向沿凸轮
圆周的切线 。
牵连速度 ve,ve＝ OA · ω, 方向垂直
于 OA 。
eOA eOAvv ??? ???? c o tea
例 题 8-7
运动学 第八章 点的合成运动
49
如图所示为裁纸板的简图 。
纸板 ABCD放在传送带上, 并
以匀速度 v1=0.05 m·s-1与传送带
一起运动, 裁纸刀固定在刀架
K上, 刀架 K以匀速度 v2=0.13
m·s-1沿固定导杆 EF运动, 试问
导杆 EF的安装角 θ应取何值才
能使切割下的纸板成矩形 。
A B
C D
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 8-8
运动学 第八章 点的合成运动
50
运 动 演 示
例 题 8-8
运动学 第八章 点的合成运动
51
A B
C D
E
F
K
θ
v1 v2
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－垂直于纸板的运动方向
的直线运动。
牵连运动－ 随纸板一起作水平向
左的平动。
绝对运动－ 沿导杆的直线运动。
动系－固连于纸板 ABCD上。
动点－取刀架 K为动点。
2,运动分析。
解,
定系－ 固连于机座。
例 题 8-8
运动学 第八章 点的合成运动
52
E
A B
C D
F
K
θ
v1
rea vvv ??
3 8 5.0 s in
2
1
a
e ???
v
v
v
v?
?6.22??
ve=v1
va=v2
故导杆的安装角
3,速度分析。
绝对速度 va,va=v2,方向沿杆 EF向
左上 。
牵连速度 ve,ve=v1, 方向 水平向左 。
相对速度 vr,大小未知，方向 垂直于
纸板的运动方向。
由几何关系可得
θ vr
应用速度合成定理
例 题 8-8
运动学 第八章 点的合成运动
53
船 A和船 B分别沿
夹角是 φ的两条直线行
驶, 已知船 A的速度是
v1,船 B始终在船 A的左
舷正对方向, 试求船 B
的速度 v2和它对船 A的
相对速度 。
φ
O y
y'
x
x'
A
B
v2 v1
例 题 8-9
运动学 第八章 点的合成运动
54
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－沿 AB的直线运动。
牵连运动－ 随动系 Ax' y'的直线平动。
绝对运动－ 沿 OB的直线运动。
动系－ Ax' y'固连于船 A上。
动点－取船 B上任一点为动点。
2,运动分析。
φ
O y
x
A
B
y'
x'
解,
v2 v1
定系－ 固连于海岸。
例 题 8-9
运动学 第八章 点的合成运动
55
3,速度分析。
4,求速度。
vr
ve=v1 v
a=v2
α
,co s12 ?vv ? ? ta n1r vv ?
φ
O y
x
A
B
y'
x'
v2 v1
rea vvv ??
应用速度合成定理
绝对速度 va,va =v2,大小 待求,方向 沿 OB。
相对速度 vr,大小未知，方向沿 AB 。
牵连速度 ve,ve = v1, 方向 沿轴 Ox正向。
得船 B的绝对速度和对于船 A的相对速度的大小
例 题 8-9
运动学 第八章 点的合成运动
56
图示的离心调速器的 T形架用销
钉与杆 AB和 A1B1连接, 杆端连接两
小球 B和 B1,小球又用两铰连杆 BC
和 B1C与套筒 C相连, 套筒可在 T形
架轴上滑动 。 已知某瞬时 T形架以角
速度 ω=10 rad·s － 1绕铅垂轴转动, 此
瞬时杆 AB与铅垂轴成角, 并
以角速度 ω1=1.2 rad·s － 1绕 A点在平
面 ABC内摆动, 角速度转向如图所
示 。 设杆长 l=500 mm,T 形架上
AA1=2e=100 mm,求此瞬时小球 B的
速度 。
?30??
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
57
运 动 演 示
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
58
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O′ x′y′ z′, 固结在 T
形架上。
2,运动分析。
绝对运动－复杂的空间曲线运动。
相对运动－以 A点为圆心,l为半径的
圆弧。
牵连运动－ T形架定轴转动 。
动点－小球 B。
x'
y'
z'
O′
定系－ 固连于机座。
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
59
牵连速度 ve,
方向垂直于坐标面
O′ y′ z′,指向朝外 。
?? ??? )s in(e lev
3,速度分析。
绝对速度 va,大小方向均未知，为
所要求的量 。
相对速度 vr：,在转动坐标面
O′ y′ z′内，方向垂直与
杆 AB，指向右上方。
1r ?lv ?
x'
y'
z'
O′ v
r
ve
φ va
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
60
1-
2
1
222
2
r
2
ea
skm 060 3
)s in(
??
?????
??
??? lle
vvv
方向可用 va与 vr间的夹角 φ 表示，有
5) s i n( t a n
1r
e ?
?
???
?
???
l
le
v
v
?69.78??
rea vvv ??
应用速度合成定理
x'
y'
z'
O′ v
r
ve
φ va
例 题 8-10
运动学 第八章 点的合成运动
61
§ 8-3 点的加速度合成定理
O
x
z
y
O '
i '
x '
j '
y '
k '
z '
r '
r O '
A
r A
为了便于推导，先分析动系作
定轴转动时，动系上任意矢量 r?
时间的导数 。不失一般性，设
动系 O?x?y?z ?以角速度 ?e绕 z 轴
转动。由刚体定轴转动时刚体
上点的速度 的矢积表示，有
O O O
A A A
? ? ?? ? ?
? ? ?
r ω r v
r ω r v
e
e
?
?
OA ???? rrr 而
rωrrωrrr ????????? ?? ee )( OAOA ???
运动学 第八章 点的合成运动
62
由于 r?为 动系上的任意矢量,分别令 r? 为单位矢量 i?、
j?, k?,则有
4) - (8 e e ek ω k j ω j i ω i? ? ? ? ? ?? ? ?动点的相对加速度为
5)-(8
d
d~
2
2
r kji
ra ??????????? zyx
t
??????
动点的牵连加速度为
6)-(8
d
d
2
2
e kjir
ra ???????????
?
? ???????? zyx
t O
M
动点的绝对加速度为
运动学 第八章 点的合成运动
63
)(2
a
kji
kji
kjirra
??????
??????
??????????
?????????
?????????
???????????
?
zyx
zyx
zyx
OM
（ 8-7）
动点的绝对加速度为
? ?
? ?
re
e
eee
2
2
)()()(2)(2
vω
kjiω
kωjωiωkji
??
??????????
????????????????????
zyx
zyxzyx
???
?????????
考虑到（ 8-2）和（ 8-4）式，有
为科氏加速度令 2 rec vωa ??,由此可得
crea aaaa ???
以上即为动系作转动时点的加速度合成定理。实际上当牵
连运动为任意运动时上式也成立。
运动学 第八章 点的合成运动
64
下面讨论科氏加速度 ac，由矢积的运算规则,ac的大小为
?? s i n2 rec va ?
方向垂直于 ?e 和 vr所构成的平面，
指向由右手法则确定。显然在下
面几种情况下,即
?e = 0,vr= 0,? = 0 和 ? = 180o时
ac= 0
因此，当牵连运动为平动时 (?e = 0)，有
rea aaa ??
以上即为动系作平动时点的加速度合成定理。
n
r
t
r
n
e
t
e
n
a
t
a aaaaaa ?????
一般式可写为,
运动学 第八章 点的合成运动
65
牵连速度
相对速度
绝对速度
t 瞬时在位置Ｉ t+Dt 瞬时在位置 II
可以看出，经过 Dt 时间间隔，牵连速度和相对速度的大
小和方向都变化了。
设有已知杆 OA在图示平面内 绕
轴 O匀速转动，套筒 M（可视为点
M）沿直杆 OA运动。 取套筒 M为动
点，动系固结于杆 OA上。
下面通过一实例来说明科氏加速度
是怎样由牵连运动与相对运动的相
互影响而产生的。
ev
rv
rea vvv ??
ev?
rv?
rea vvv ?????
运动学 第八章 点的合成运动
66
rv
其中 -- 在 Dt内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。
-- 在 Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变
量，与牵连转动的 ? e的大小有关 。
Dt 时间间隔内的速度变化分析
相对速度,由 作速度矢量三角形,
在 矢量上截取 长度后,分解为 和
rrr,,vvv D?
rv rvD rv?D rv??D
rrr vvv ??D??D?D即
rv?D
rv??D
牵连速度,
由 作速度矢量三角形,
在 矢量上截取等于 长后,
将 分解为 和,
eee,,vvv D?
ev ev
evD ev?D ev??D
eee vvv ??D??D?D即
运动学 第八章 点的合成运动
67
其中,
— 表示 Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改
变量，与相对运动无关。
— 表示 Dt内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的
大小改变量，与相对速度 有关。
ev?D
ev??D
rv
加速度分析, 根据加速度定义
tt tt D
??????
D
???
?D?D
)()(limlim rere
0
aa
0a
vvvvvva
ttt ttt D
D?
D
D?
D
??????
?D?D?D
r
0
e
0
rree
0
limlim)()(lim vvvvvv
tttt tttt D
??D?
D
?D?
D
??D?
D
?D?
?D?D?D?D
r
0
r
0
e
0
e
0
limlimlimlim vvvv
运动学 第八章 点的合成运动
68
第二项大小,
t
OMOM
t
vv
t ttt D
????
D
???
D
??D
?D?D?D
ee
0
ee
0
e
0
'limlimlim ??v
rre
1
0e
,'lim v???D??
?D
方向vtMM
t
??
该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度 。
方向,Dt ?0时,D? ? 0,其方向沿着直杆指向 O点。
因此，第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。
ea
上式中各项的物理意义如下,
第一项大小,
e
2
ee0
e
0
limlim av ???
D
D??
D
?D
?D?D
?? OM
t
v
t tt
运动学 第八章 点的合成运动
69
第三项大小,为对应于 大小改变 rrr0 ddlim avv ??D ?D?D ttt rv
方向：总是沿直杆 OA。
因此,该项恰是 ｔ 瞬时动点的相对加速度 。 ra
第四项大小,
。方向,lim''lim e
00 rrrt
r
t
v
t
v
t
vv ??
D
D??
D
D
?D?D
??
这一项表明由于牵连转动而引起
相对速度方向改变的加速度。
运动学 第八章 点的合成运动
70
所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为
crea aaaa ???
当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速
度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。
一般式
一般情况下 科氏加速度 的计算可以用矢积表示 ) (
re 不垂直时与 vω ca
rec 2 vωa ??
转动的一边指向顺方向,,2 errec ωva ?? v?
c
t
r
n
r
t
e
n
e
t
a
n
a aaaaaaa ??????
由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都
相同，可以合并为一项，用 表示，称为科里奥利加速度，简
称科氏加速度。是由牵连运动为转动时,牵连运动与相对运动的
相互影响而产生的。
ca
运动学 第八章 点的合成运动
71
M点沿直管运动, 同
时这直管又在图示固定平
面内绕定轴 O转动 。 已知
r =OM 和转角 φ的变化规
律
求 M点绝对速度和加速度
的表达式 。
? ? ? ?tftfr 21,?? ?O
x
x' y' y
φ
M
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
72
1,选择动点，动系与 定系 。
动点－点 M。
动系－ Ox′ y′固连于直管。
2,运动分析。
绝对运动－ 平面曲线运动。
牵连运动－直管绕 O作定轴转动。
相对运动－沿动直管的直线运动。
x'
y'
O x
y
φ
M
解,
定系－ 固连于机座。
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
73
3,速度分析。
绝对速度 va,大小和 方向未知。
O x
x'
y'
y
φ
M
α
va
vr=var
ve=vaφ
牵连速度 ve：大小,
方向 垂直于向直管向左上 。 t
rv dde ??
相对速度 vr,大小,
方向 沿直管向右上。 t
rv
d
d
r ?
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
74
rea vvv ??
由点的速度合成定理
O x
x'
y'
y
φ
M t
rvv
d
d
rar ?? trvv d
d
ea
?
? ??
M点的绝对速度 va的大小
2
2
2
a
2
ara )d
d(
d
d
t
r
t
rvvv ?
? ???
??
?
????
角度 α可由下式确定
?
?
? ?
?
r
r
v
vtg ??
a
ar
α
va
vr=var
ve=vaφ
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
75
O x
x'
y'
y
φ
M
ar
T
aC
tea
nea
2
2
r d
d
t
ra ?相对加速度 ar：,方向沿管向上。
4,加速度分析。
Cre
net
a aaaaa ????
由加速度合成定理
绝对加速度 aa：待求 。
牵连加速度切向分量 ate：, 垂直于管向上。
2
2
t
e d
d
tra
??
牵连加速度法向分量 ane, 2n
e )d
d(
tra
??,方向沿 MO。
t
r
tva d
d
d
d22
rC
?? ??科氏加速度 aC：,垂直于管向上。
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
76
2
2
2
r
a d
d
d
d ?
?
??
?
???
t
r
t
ra ?
????????? trtrtrttra dddd1dddd2)dd( 22
2
a
????
2
2
2
2
2
2
2
a
2r
aa )d
d(
d
d1)
d
d(
d
d
??
?
??
??
?
?
?
?
?
? ????
t
r
trt
r
t
raaa ???
把上式投影到径向 Ox '和横向 MT，得
绝对加速度的径向投影和横向投影
故 M点绝对加速度 aa的大小
Cre
net
a aaaaa ????
O x
x'
y'
y
φ
M
ar
T
aC
tea
nea
例 题 8-11
运动学 第八章 点的合成运动
77
图示一往复式送料机,
曲柄 OA长 l,它带动导杆 BC
和送料槽 D作往复运动, 借
以运送物料 。 设某瞬时曲柄
与铅垂线成 θ角 。 曲柄的角速
度为 ω0,角加速度为 α0,方
向如图所示, 试求此瞬时送
料槽 D的速度和加速度 。
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
78
运 动 演 示
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
79
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O′ x′y′,固连于导杆 BC。
2,运动分析。
绝对运动－以 O为圆心的圆周运动 。
相对运动－沿导杆滑槽的铅垂直线运动。
牵连运动－导杆 BC 沿水平直线的平动 。
动点－滑块 A 。
O'
x'
y'
定系－ 固连于机座。
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
80
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
O'
x'
y'
3,速度分析。
绝对速度 va,va= l ω0,方向 与 OA垂直 。
相对速度 vr,大小未知，方向沿 导杆滑槽向上。
牵连速度 ve：所求的送料槽的速度,方向 水
平向右 。
ve
va
θ
vr
rea vvv ??
应用速度合成定理
??? c o sc o s 0ae lvvv D ???求得,
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
81
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
O'
x'
y' 4,加速度分析。
绝对加速度法向分量 aan,aan = l ω02, 沿着 AO。
相对加速度 ar,大小 未知, 方向沿 O′ y′ 轴
牵连加速度 ae：大小未知,为所要求的量,
方向水平，假设向右 。
绝对加速度切向分量 aat,aa t= lα0,方向与 OA 垂直,
指向左下方 。 a
e
aat
aan θ
ar
θ
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
82
应用加速度合成定理
re
t
a
n
a aaaa ???
投影到 O′ x′轴，得到
enata s inc o s aaa ??? ??
于是，求得
)s inc o s( 200e ???? ??? la
即为导杆和送料槽 D的加速度 aD，其中负号表示在此瞬时 ae的指向与图中所
假设的相反。
D
B C
A
O
θ
ω0
α0
O'
x'
y'
θ
ae
aat
ar
aan
θ
例 题 8-12
运动学 第八章 点的合成运动
83
在滑块导杆机构中, 由一
绕固定轴 O作顺时针转动的导杆
OB带动滑块 A沿水平直线轨道
运动, O到导轨的距离是 h,已
知在图示瞬时导杆的倾角是 φ，
角速度大小是 ω, 角加速度 α
=0,试求该瞬时滑块 A的绝对加
速度 。
φ ω O
A
B
y
x y'
x'
h
例 题 8-13
运动学 第八章 点的合成运动
84
运 动 演 示
例 题 8-13
运动学 第八章 点的合成运动
85
φ ω O
A
B
y
x
h
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－沿导杆 OB的直线运动。
牵连运动－ 导杆 OB绕轴 O的匀速转动。
绝对运动－ 沿导轨的水平直线运动。
动系－ Ax'y'固连于导杆。
动点－取滑块 A为动点。
2,运动分析。
?
???
?
??
2er s i n
c o sc o t
s i nc o t
hhvv ???
ve
vr
va
y'
x'
解,
定系－ 固连于机座。
rea vvv ??
应用速度合成定理 速度合成图如图所示。
求得,
例 题 8-13
运动学 第八章 点的合成运动
86
3,加速度分析。
Ca aa ??? ?s in
?
??
? 3
2
s in
c o s2
s in
haa C
a ??
crea aaaa ???
投影到 Oy'轴上，得
绝对加速度 aa,大小 待求, 方向水平。
牵连加速度 ae：,方向沿 BO
指向 O。
?? s inhe ?a
相对加速度 ar,大小 未知，方向沿 BO。
科氏加速度 aC：,方向 ⊥ OB
偏上方 。
r0C 2 va ?? ?
根据加速度合成定理
求得滑块 A的加速度
φ ω O
A
B
y
x
h
y'
x'
ae
ar
ac
aa
vr
例 题 8-13
运动学 第八章 点的合成运动
87
刨床的急回机构如图所示 。 曲
柄 OA的一端 A与滑块用铰链连接,
当曲柄 OA以匀角速度 ω绕固定轴 O
转动时, 滑块在摇杆 O1B上滑动,
并带动摇杆 O1B绕固定轴 O1摆动,
设曲柄长 OA=r,OO1=l,求当曲柄
在水平位置时摇杆的角加速度 α1。
例 题 8-14
运动学 第八章 点的合成运动
88
由例题 5速度分析得
22
22
1 rl
r
?
? ??
22
1 rlAO ??
22ar
c o s
rl
rlvv
?
?? ??
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O1x′y′,固连于摇杆 O1B。
动点－滑块 A 。
y ?
x ?
定系－ 固连于机座。
例 题 8-14
运动学 第八章 点的合成运动
89
x'
y'
O1
O
φ
ω
ω1
A
B
aa
ar aC
nea
2,加速度分析。
绝对加速度 aa,ae = ω2 r, 沿着 OA,指向 O 。
相对加速度 ar,大小 未知, 假设沿 O1B向 上 。
牵连加速度切向分量 aet,大小 未知, 垂直于
O1B,假设指 向 右下。
tea
牵连加速度法向分量 aen,
121ne AOa ?? ?
沿着 O1A,指向 O1。
? ? 2322
24
rl
r
?
? ?
科氏加速度 aC,
r1c 2 va ??
2322
32
)(
2
rl
lr
?
? ?
垂直 O1B 指向 如图。
例 题 8-14
运动学 第八章 点的合成运动
90
上式向 O1x ' 轴投影
2
2322
22
t
e )(
)( ?
rl
rlrla
?
???
2
2322
22t
e
1 )(
)( ??
rl
rlrl
OA
a
?
????
C
t
ea
Crea
c o s aaa
aaaa xxxx
???
??? ????
?或
解得
故摇杆 O1A的角加速度
转向为逆时针
Crnetea aaaaa ????
根据加速度合成定理
α1
x'
y'
O1
O
φ
ω
ω1
A
B
aa
ar aC
nea
tea
例 题 8-14
运动学 第八章 点的合成运动
91
火车 M以等速 v0沿子
午线自南往北行驶, 如图
所示, 为了考虑地球的自
转, 设定坐标系以地心为
原点, 坐标轴分别指向恒
星, 地球的平均半径为 R。
求火车 M在北纬 φ度处的
绝对加速度 。
v0
M
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
92
运 动 演 示
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
93
v0
M
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O′ x′y′ z′, 固连于地球上，原点
O′与地心重合，并使坐标面 O′ y′ z′
与铁轨所在的子午面重合,O′ z′轴
与地轴重合。
2,运动分析。
绝对运动－ 空间曲线 运动 。
相对运动－ M点在子午面内以 O′为圆心,R为半径和速度为 v0的匀速圆弧
运动。
牵连运动－地球绕 O′ z′轴的匀角速转动 。
动点－火车 M 。
x'
y'
z'
定系－ 固连于机座。
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
94
因地球自西向东旋转, 所以
动坐标系即地球的角速度 ω的方
向是沿 O′z′轴的正向, 其大小为
15 sr a d 1027.7
606024
π2 ?? ???
????
v0
x'
y'
z'
M
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
95
v0
M
x'
y'
z'
3,加速度分析。
绝对加速度 aa,大小 方向均未知 。
牵连加速度 ae,方向
垂直于 O′z′轴，并指向此轴 。
,)c o s( 2e ??Ra ?
相对加速度 ar,方向指
向地心 O。;
2
0
2
r
r R
v
R
va ??
科氏加速度 aC,
方向沿 M点纬度线的切线，并且向西 。
???? s i n2s i n2 0rC ?????? vva
ae
ar aC
运动学 第八章 点的合成运动
96
v0
M
x′
y'
z'
ae
ar aC
据此，可进一步求得 M点的加速度 aa的大小和方向。
根据加速度合成定理
Crea aaaa ???
Crea aaaa ???
i
kjj
s i n2
) s i n c o s( c o s
0
2
0
2
02
v
R
v
R
v
R
??
?????
?
????
kji s i n c o s)( s i n2
2
0
2
02
0
2 ?????
R
v
R
vRv ????
如以 i,j 和 k 分别表示沿坐标轴 O′x′,O′y′和
O′z′的单位矢量, 则 M点的加速度 aa可表示为
例 题 8-15
运动学 第八章 点的合成运动
97
空气压缩机的工作以角
速度 ω 绕垂直于图面的 O轴匀
速运动, 空气以相对速度 vr沿
弯曲的叶片匀速流动, 如图
所示, 如曲线 AB在 C点的曲
率半径为 ρ,通过点 C的法线
与半径间夹的角为 φ,CO=r,
求气体微团在 C点的绝对加速
度 aa。
v r
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
98
运 动 演 示
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
99
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox′y′,固连于 工作轮 。
2,运动分析。
绝对运动－平面曲线运动。
牵连运动－绕轴 O定轴转动。
动点－取气体微团 。
相对运动－沿曲线 AB运动。
定系－ 固连于机座。
v r
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
100
ar
ae aC
3,加速度分析。
绝对加速度 aa,大小方向均 未知 。
牵连加速度 ae,ae = ω2 r, 沿 OC 指向 O
相对加速度 ar,ae = vr 2 / ρ, 方向 如图。
科氏加速度 aC,
垂直于 vr, 指向 如图。
rr 290s in2 vva C ?? ?? ?
v r
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
101
分别投影到 x′, y′轴上
绝对加速度的大小
?
?
????
?
s i n)2(s i n2s i n0
2
r
rr
2
r
Crea
v
vv
v
aaaa xxxx
?????
??? ????
rv
v
v
v
r
aaaa
yyyy
2
r
2
r
r
2
r2
Crea
c os)2(
c os2c os
???
?
???
?
?
???
????
???
????
2
a
2
aa yx aaa ?? ??
方向可由其方向余弦确定。
根据加速度合成定理
ar
ae aC
v r
例 题 8-16
运动学 第八章 点的合成运动
102
图示一台电动转盘, 电动机
安装在基座 S上, 电动机转子的轴
线与水平线成 30o 角, 基座绕铅垂
轴 Oz以匀角速度 ω=10 rad·s－ 1旋转,
设安装在转子上的圆盘半径
r = 130 mm,转子的匀角速度
ω1=20 rad·s－ 1, 其它尺寸如图,
试求圆盘边缘上 P点在最高位置时
的瞬时速度和加速度 。
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
103
运 动 演 示
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
104
1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ O′ x′y′,固连于电机机座。
2,运动分析。
绝对运动－空间曲线运动。
相对运动－以 C为圆心,r为半径在圆盘
平面内的圆周运动。
牵连运动－绕 Oz轴的定轴转动 。
动点－圆盘边缘上 P点 。
x' y'
z'
O′
C
解,
定系－ 固连于机座。
P
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
105
3,速度分析。
绝对速度 va,大小方向均未知。
牵连速度 ve,ve= AP ·ω,方向垂 直图
面向里。
相对速度 vr,vr= r ω1, 方向垂 直图面
向外，即平行于 y′ 轴 。
C
P A v
r
ve
mm 2.58
60c o s13030s i n10030c o s200
?
?????? ???AP
x' y'
z'
O′
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
106
rea vvv ??
应用速度合成定理
如果用坐标系 O′ x′y′的单位矢量 i1,j1
和 k1来表示速度 v 则有
1
1
1e1r
smm )2 0 1 8( －??
??
j
jj vvv
C
P A v
r
ve
x' y'
z'
O′
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
107
科氏加速度 aC：,方向
沿直线 AP与 ae的指向相反 。
1C 22 ??? rva t ??
4,加速度分析。
绝对加速度 aa,大小 方向均未知, 为所求的
加速度 。
x' y'
z'
O′
C
P A
ar
ae
牵连加速度 ae,方向沿直
线 AP，指向 O′ z′轴 。
,2nee ?APaa ??
相对加速度 ar,方向在圆
盘平面内指向圆盘的中心 C。
,21nrr ???? raa
aC
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
108
用单位矢量 i1,j1,k1表示，得到
crea aaaa ???
1
2
11
1
2
11
2
1
2
)60 s in60 c o s(
ii
ki
???
??
?????
??????
APr
rr ??
1
2
1
1
2
1
2
1
60s i n
)60 c o s2(
k
i
?
?
?
????
r
rAPr
?
????
211 smm )0 3 0 451 8 0 72( －??? ki
故 P点的绝对加速度的大小为
222 sm 1.85)03.45()18.72( －????a
根据加速度合成定理
Crea aaaa ???
x' y'
z'
O′
C
P A
ar
ae aC
例 题 8-17
运动学 第八章 点的合成运动
109
运动学 第八章 点的合成运动
