1
2
实际上的问题是,1、联立求解微分方程 (尤其是积分问题 )非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需
要研究质点系整体的运动情况。
概述 -动力学普遍定理
对 质点 动力学问题,可由前一章内容建立运动微分方程求解。
对 质点系 动力学问题,可以逐个质点列出其动力学微分 方程
联立求解，但求解过程很复杂。
从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,即 动力学普遍
定理 (包括动量定理, 动量矩定理, 动能定理及由此推导出来的其它
一些定理 )，它们从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变
化与其受力之间的关系，可以求解质点系动力学问题。
3
它们以简明的数学形式,表明两种量,
1、一种是同运动特征相关的量 (动量、动量矩、动能等 )；
2、另一种是同力相关的量 (冲量、力 矩、功等 ) —— 之间的关
系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。
在一定条件下，上述特征量用这些定理来解答动力学问题非常
方便简捷 。
本章中研究 质点和质点系的动量定理,建立了 动量的改变
与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另一重要形
式 —— 质心运动定理 。
4
§ 11–2 动量与冲量
§ 11–3 动量定理
§ 11–4 质心运动定理
第十一章 动量定理
5
§ 11-1 动量与冲量
一、动量
在日常生活和工程实践中可看出，质点的速度和质量的乘积
表征了质点机械运动的强弱,例,枪弹：速度大，质量小； 船：
速度小，质量大。
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。
是瞬时矢量，方向与 v 相同。单位是 kg?m/s。
2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和 。
?
?
?
n
i
iim
1
vp （ 11-1）
式中 n为质点数,mi为 I质点的质量,vi为质点速度矢量。
6
刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，质心是刚体内某
一确定的点。对于质量均匀的规则刚体，质心就是几何中心，由
式（ 11-3）可以方便的计算刚体或者刚体系统的动量。
图 11-1
如 I质点的矢径为 ri，其速度为,
代入式（ 11-1），因 mi不变，则有,t
i
i d
drv ?
? ?? ??? iiiiii mttmm rrvp dddd
令 为质点系总质量，与重心坐
标类似，定义质点系质量中心（质心） ?? imm
代入上式，得 ? ???
ccii mmtmt vrrp )(d
d
d
d （ 11-3）
m
m ii
c
?? rr （ 11-2）
上式表明，质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
7
解, 曲柄 OA,
滑块 B,
连杆 AB,（ P为速度瞬心,）
?? ?? ABlPC ;2 52
〔 例１ 〕 曲柄连杆机构的曲柄 OA以匀
? 转动，设 OA=AB=l,曲柄 OA及连杆
AB都是匀质杆,质量各为 m,滑块 B的质
量也为 m。 求 当 ? = 45o时系统的动量。
])
10
1
2
5
2
2
2
1
()2
10
3
2
5
2
2
2
1
[(
])s in
2
5
45c o s
2
1
()2c o s
2
5
45s in
2
1
[(
ji
ji
??????????
??????
?
???????
ml
lllllm ??
i
vvvp
)c o ss i n[( 321
321
CCC
CCC
vvvm
mmm
????
???
?? ])s i nc o s( 21 j?? CC vv ??
]212[2 ji ??? ?ml
?lvm C 21,1 ?
?? llvm ABC 2 52 5,2 ??
?lvm C 2,3 ?
8
如力 F 是变矢量（包括大小和方向的变化）：在微小时间间隔内，
力 F的冲量称为元冲量。
如力 F是常矢量,（ 11-4） tFI ?
而力 F在时间 t内的冲量为矢量积分,（ 11-5）
?? t t0 dFI
二．冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作
用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，
较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得
到同样的总效应。
tdd FI ?元冲量为,
冲量的单位,
m / skg sm / skg sN 2 ?????? 与动量单位同,
9
§ 11-2 动量定理
1．质点的动量定理
式（ 11-6）是质点动量定理的微分形式，即质点的动量对时间
的导数等于作用于质点的力，或质点动量的增量等于作用在质
点上的元冲量。
式（ 11-7）是质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔内，
质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
由（ 10-1）有,或 （ 11-6）
Fv ?)(dd mt tm d)(d Fv ?
对上式积分，时间由 0到 t，速度由 v0变为 v，得
? ??? t tmm 00 d IFvv
（ 11-7）
10
2．质点系的动量定理
tttm iieieiiiii ddd)()(d )()()()( FFFFv ????
）（其中 0 dd)(d
1
)(
1
)(
1
)(
1
??? ????
????
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
e
i
n
i
ii ttm FFFv
对整个质点系，有 n个方程，相加得
设质点系有 n个质点，由质点动量定理，对质点系内任一质点 i,
*质点系的内力与外力
外力,所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力,所考
察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒
等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即,
??? ??? 。或 0)( 0)( ;0 )()(o)( iixiiii mm FFF
因质点系动量增量为,上式可变为 pvv d)(d)(d ?? ??
iiii mm
ddd
1
)(
1
)( ??
??
??
n
i
e
i
n
i
e
i t IFp
（ 11-8） 或 （ 11-9）
dd
1
)(?
?
?
n
i
e
it Fp
11
式（ 11-8）是质点系动量定理的微分形式，表明质点系动量的
增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和；式（ 11-9）表
明质点系动量对时间的导数等于作用于该系外力的矢量和。
式（ 11-10）为质点系动量定理的积分形式，表明在某一时间间
隔内，质点系动量的改变梁等于在这段时间内作用于质点系外力
的冲量矢和。
对（ 11-8）式积分，得
dd
1 0
)(
0
? ??
?
?
n
i
t e
i tFp
p
p
或 （ 11-10）
1
(e )
i0 ?
?
??
n
i
Ipp
另外，从上述定理可看出，质点系的内力不能改变质点系的动量,
但可以可以引起系统内各质点动量的传递。
12
由式（ 11-11）和式（ 11-12），如果质点系受到外力之主矢
等于零，质点系的动量将保持不变，即
动量定理是矢量式，在应用时应采用投影式，如式（ 11-9）和
式（ 11-10）在直角坐标系的投影式分别为,
??? ??? )()()( dd,dd,dd ezzeyyexx FtpFtpFtp
??? ?????? ( e )0( e )0( e )0,,zzzyyyxxx IppIppIpp
（ 11-11）
（ 11-12）
3．质点系动量守恒定律
0 恒矢量?? pp
恒量?? xx pp 0
同样，如果质点系受到外力之主矢在某一坐标轴上的投影等
于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影也保持不变，即
以上结论称为质点系动量守恒定律。
13
,
[例 2] 质量为 M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另
放一质量为 m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角
形柱体的位移。
0)( ??? axmvvM
解, 选 两物体组成的系统为 研究对象。
受力分析, ? ?,0)( e
xF ?xp
水平方向 常量。
由水平方向动量守恒及初始静止 ；则
0)()( ????? vvmvM rx
)( bamM mSmM mS rx ??????
rea vvv ??
v设大三角块速度
小三角块相对大三角块速度为,
则小三角块
rv
运动分析,
m mMSSm mMvv rxrx ??????
14
运动分析，设经过 ?ｔ 时间后，流体 AB
运动到位置 ab,
[例 3] 流体流过弯管时,在截面 A和 B处的平均流速分别为
求流体对弯管产生的动压力 (附加动压力 )。 设流体
不可压缩，流量 Q(m3/s)为常量,密度为 ? (kg/m3）。
),m /s(,21 vv
])([])[( 12 aBAaBbaBABab KKKKKKK ???????
12
12
)()(
vtQvtQKKK
KK
AaBb
aBaB
???????
?
?????
?
解,取截面 A与 B之间的流体作为研究的质点系。 受力分析如图示。
由质点系动量定理；得
RPPWvvQtKdt Kd
t
???????
? 21120
)( lim ???
?
15
静反力, 动反力
)(' 21 PPWR ???? )('' 12 vvQR ?? ?
计算 时，常采用投影形式 ''R
)( '' 12 xxx vvQR ?? ?
)( '' 12 yyy vvQR ?? ?
与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力,''R
RPPWvvQtKdtKd
t
???????
? 21120
)(lim ???
?
)()( 1221 vvQPPWR ?????? ?
即
16
m
zm
m
zm
z
m
ym
m
ym
y
m
xm
m
xm
x ii
i
ii
c
ii
i
ii
c
ii
i
ii
c
?
?
??
?
??
?
? ??????,,
质点系在力作用下其运动状态跟跟质点系质量分布状态有关，
前面式（ 11-2）定义了质心的位置，即
§ 11-3 质心运动定理
1,质量中心
?
??
i
ii
c m
m r
r
质心位置反映出质点系质量分布的一种特征，在动力学中该
概念具有重要地位，计算中常用直角坐标下的投影式，即
（ 11-13） 2,质心运动定理
由式（ 11-3），质点系动量等于质点系质量与质心速度乘积，
则动量定理的微分形式可写成
17
)(dd
1
)(?
?
?
n
i
e
icmt Fv
对质量不变质点系，该式改写为
为质心加速度）或 c
n
i
e
ic
n
i
e
i
c m
tm aFaF
v (
d
d
1
)(
1
)( ??
??
?? （ 11-14）
上式表明质点系质量与质心加速度乘积等于质点系外力食量和，
该规律称为质心运动定理；
它同质点动力学基本方程 相似，可以把质点系质心运
动看作一个质点的运动，此质点集中了质点系的质量和外力。
?? Fa cm
3,质心运动守恒定律
从质心运动定理知，如果作用于质点系外力主矢为零，则质心
作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变。如果作用于
质点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速
度在该轴上投影不变；若开始速度为零，则质心在该轴坐标不
变。 —— 该结论称为质心运动守恒定律。
只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改
变系统内各质点的运动。
18
解, 取整个电动机作为质点系研究,
分析受力,受力图如图示
运动分析：定子质心加速度 a1=0,
转子质心 O2的加速度 a2=e?2,
方向指向 O1。
[例 4] 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为 m1,转子质
量为 m2,转子的轴通过定子的质心 O1,但由于制造误差,转子的质
心 O2到 O1的距离为 e 。 求转子以角速度 ? 作匀速转动时，基础作
用在电动机底座上的约束反力。
19
teatea yx s i n,c o s 22 22 ???? ????
根据质心运动定理，有
? ? ???? xxeixCixi NtemamFam ?? c o s,2222)(
? ? ?????? gmgmNtemamFam yyeiyC i yi 212222)( s i n,??
temgmgmNtemN yx ???? s i n,c o s 222122 ??????
可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。
a1=0,a2=e?2
20
321
332211
321
332211 '''
mmm
xmxmxm
mmm
xmxmxm
??
???
??
??
解,取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。
0 ??? ii xP ?
[例 5] 浮动起重船,船的重量为 P1=200kN,起重杆的重量为
P2=10kN,长 l=8m，起吊物体的重量为 P3=20kN 。 设开始起吊
时整个系统处于静止，起重杆 OA与铅直位置的夹角为 ?1=60o,
水的阻力不计,求起重杆 OA与铅直位置成角 ?2 =30o时船的位移。
受力分析如图示，,且初始
时系统静止，所以系统质心的位置坐标
XC保持不变。
? ? 0)( exF
? ??? 0ii xm ?
21
船的位移 ?x１,杆的位移
,2/)s i n( s i n 2112 lxx ???? ???
重物的位移
lxx )s i n( s i n 2113 ???? ???
0]/)s i n( s i n[]2/)s i n( s i n[ 2113211211 ?????????? lxPlxPxP ???????
)s i n( s i n)(2 2 21
321
32
1 ??? ???
??? l
PPP
PPx
)30s i n60( s i n8)20102 0 0(2 20210 ?????? ????
m 318.0??
计算结果为负值，表明
船的位移水平向左。
0 ??? ii xP ?? ??? 0ii xm ?
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2
实际上的问题是,1、联立求解微分方程 (尤其是积分问题 )非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动,仅需
要研究质点系整体的运动情况。
概述 -动力学普遍定理
对 质点 动力学问题,可由前一章内容建立运动微分方程求解。
对 质点系 动力学问题,可以逐个质点列出其动力学微分 方程
联立求解，但求解过程很复杂。
从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,即 动力学普遍
定理 (包括动量定理, 动量矩定理, 动能定理及由此推导出来的其它
一些定理 )，它们从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变
化与其受力之间的关系，可以求解质点系动力学问题。
3
它们以简明的数学形式,表明两种量,
1、一种是同运动特征相关的量 (动量、动量矩、动能等 )；
2、另一种是同力相关的量 (冲量、力 矩、功等 ) —— 之间的关
系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。
在一定条件下，上述特征量用这些定理来解答动力学问题非常
方便简捷 。
本章中研究 质点和质点系的动量定理,建立了 动量的改变
与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另一重要形
式 —— 质心运动定理 。
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§ 11–2 动量与冲量
§ 11–3 动量定理
§ 11–4 质心运动定理
第十一章 动量定理
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§ 11-1 动量与冲量
一、动量
在日常生活和工程实践中可看出，质点的速度和质量的乘积
表征了质点机械运动的强弱,例,枪弹：速度大，质量小； 船：
速度小，质量大。
1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。
是瞬时矢量，方向与 v 相同。单位是 kg?m/s。
2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和 。
?
?
?
n
i
iim
1
vp （ 11-1）
式中 n为质点数,mi为 I质点的质量,vi为质点速度矢量。
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刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，质心是刚体内某
一确定的点。对于质量均匀的规则刚体，质心就是几何中心，由
式（ 11-3）可以方便的计算刚体或者刚体系统的动量。
图 11-1
如 I质点的矢径为 ri，其速度为,
代入式（ 11-1），因 mi不变，则有,t
i
i d
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令 为质点系总质量，与重心坐
标类似，定义质点系质量中心（质心） ?? imm
代入上式，得 ? ???
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?? rr （ 11-2）
上式表明，质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
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解, 曲柄 OA,
滑块 B,
连杆 AB,（ P为速度瞬心,）
?? ?? ABlPC ;2 52
〔 例１ 〕 曲柄连杆机构的曲柄 OA以匀
? 转动，设 OA=AB=l,曲柄 OA及连杆
AB都是匀质杆,质量各为 m,滑块 B的质
量也为 m。 求 当 ? = 45o时系统的动量。
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如力 F 是变矢量（包括大小和方向的变化）：在微小时间间隔内，
力 F的冲量称为元冲量。
如力 F是常矢量,（ 11-4） tFI ?
而力 F在时间 t内的冲量为矢量积分,（ 11-5）
?? t t0 dFI
二．冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作
用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，
较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得
到同样的总效应。
tdd FI ?元冲量为,
冲量的单位,
m / skg sm / skg sN 2 ?????? 与动量单位同,
9
§ 11-2 动量定理
1．质点的动量定理
式（ 11-6）是质点动量定理的微分形式，即质点的动量对时间
的导数等于作用于质点的力，或质点动量的增量等于作用在质
点上的元冲量。
式（ 11-7）是质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔内，
质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
由（ 10-1）有,或 （ 11-6）
Fv ?)(dd mt tm d)(d Fv ?
对上式积分，时间由 0到 t，速度由 v0变为 v，得
? ??? t tmm 00 d IFvv
（ 11-7）
10
2．质点系的动量定理
tttm iieieiiiii ddd)()(d )()()()( FFFFv ????
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对整个质点系，有 n个方程，相加得
设质点系有 n个质点，由质点动量定理，对质点系内任一质点 i,
*质点系的内力与外力
外力,所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力,所考
察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒
等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即,
??? ??? 。或 0)( 0)( ;0 )()(o)( iixiiii mm FFF
因质点系动量增量为,上式可变为 pvv d)(d)(d ?? ??
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（ 11-8） 或 （ 11-9）
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式（ 11-8）是质点系动量定理的微分形式，表明质点系动量的
增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和；式（ 11-9）表
明质点系动量对时间的导数等于作用于该系外力的矢量和。
式（ 11-10）为质点系动量定理的积分形式，表明在某一时间间
隔内，质点系动量的改变梁等于在这段时间内作用于质点系外力
的冲量矢和。
对（ 11-8）式积分，得
dd
1 0
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i tFp
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或 （ 11-10）
1
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另外，从上述定理可看出，质点系的内力不能改变质点系的动量,
但可以可以引起系统内各质点动量的传递。
12
由式（ 11-11）和式（ 11-12），如果质点系受到外力之主矢
等于零，质点系的动量将保持不变，即
动量定理是矢量式，在应用时应采用投影式，如式（ 11-9）和
式（ 11-10）在直角坐标系的投影式分别为,
??? ??? )()()( dd,dd,dd ezzeyyexx FtpFtpFtp
??? ?????? ( e )0( e )0( e )0,,zzzyyyxxx IppIppIpp
（ 11-11）
（ 11-12）
3．质点系动量守恒定律
0 恒矢量?? pp
恒量?? xx pp 0
同样，如果质点系受到外力之主矢在某一坐标轴上的投影等
于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影也保持不变，即
以上结论称为质点系动量守恒定律。
13
,
[例 2] 质量为 M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另
放一质量为 m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角
形柱体的位移。
0)( ??? axmvvM
解, 选 两物体组成的系统为 研究对象。
受力分析, ? ?,0)( e
xF ?xp
水平方向 常量。
由水平方向动量守恒及初始静止 ；则
0)()( ????? vvmvM rx
)( bamM mSmM mS rx ??????
rea vvv ??
v设大三角块速度
小三角块相对大三角块速度为,
则小三角块
rv
运动分析,
m mMSSm mMvv rxrx ??????
14
运动分析，设经过 ?ｔ 时间后，流体 AB
运动到位置 ab,
[例 3] 流体流过弯管时,在截面 A和 B处的平均流速分别为
求流体对弯管产生的动压力 (附加动压力 )。 设流体
不可压缩，流量 Q(m3/s)为常量,密度为 ? (kg/m3）。
),m /s(,21 vv
])([])[( 12 aBAaBbaBABab KKKKKKK ???????
12
12
)()(
vtQvtQKKK
KK
AaBb
aBaB
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解,取截面 A与 B之间的流体作为研究的质点系。 受力分析如图示。
由质点系动量定理；得
RPPWvvQtKdt Kd
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15
静反力, 动反力
)(' 21 PPWR ???? )('' 12 vvQR ?? ?
计算 时，常采用投影形式 ''R
)( '' 12 xxx vvQR ?? ?
)( '' 12 yyy vvQR ?? ?
与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力,''R
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即
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质点系在力作用下其运动状态跟跟质点系质量分布状态有关，
前面式（ 11-2）定义了质心的位置，即
§ 11-3 质心运动定理
1,质量中心
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ii
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m r
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质心位置反映出质点系质量分布的一种特征，在动力学中该
概念具有重要地位，计算中常用直角坐标下的投影式，即
（ 11-13） 2,质心运动定理
由式（ 11-3），质点系动量等于质点系质量与质心速度乘积，
则动量定理的微分形式可写成
17
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对质量不变质点系，该式改写为
为质心加速度）或 c
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?? （ 11-14）
上式表明质点系质量与质心加速度乘积等于质点系外力食量和，
该规律称为质心运动定理；
它同质点动力学基本方程 相似，可以把质点系质心运
动看作一个质点的运动，此质点集中了质点系的质量和外力。
?? Fa cm
3,质心运动守恒定律
从质心运动定理知，如果作用于质点系外力主矢为零，则质心
作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置不变。如果作用于
质点系的所有外力在某个轴上投影的代数和恒为零，则质心速
度在该轴上投影不变；若开始速度为零，则质心在该轴坐标不
变。 —— 该结论称为质心运动守恒定律。
只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改
变系统内各质点的运动。
18
解, 取整个电动机作为质点系研究,
分析受力,受力图如图示
运动分析：定子质心加速度 a1=0,
转子质心 O2的加速度 a2=e?2,
方向指向 O1。
[例 4] 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为 m1,转子质
量为 m2,转子的轴通过定子的质心 O1,但由于制造误差,转子的质
心 O2到 O1的距离为 e 。 求转子以角速度 ? 作匀速转动时，基础作
用在电动机底座上的约束反力。
19
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根据质心运动定理，有
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? ? ?????? gmgmNtemamFam yyeiyC i yi 212222)( s i n,??
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可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。
a1=0,a2=e?2
20
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332211
321
332211 '''
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xmxmxm
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解,取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。
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[例 5] 浮动起重船,船的重量为 P1=200kN,起重杆的重量为
P2=10kN,长 l=8m，起吊物体的重量为 P3=20kN 。 设开始起吊
时整个系统处于静止，起重杆 OA与铅直位置的夹角为 ?1=60o,
水的阻力不计,求起重杆 OA与铅直位置成角 ?2 =30o时船的位移。
受力分析如图示，,且初始
时系统静止，所以系统质心的位置坐标
XC保持不变。
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? ??? 0ii xm ?
21
船的位移 ?x１,杆的位移
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重物的位移
lxx )s i n( s i n 2113 ???? ???
0]/)s i n( s i n[]2/)s i n( s i n[ 2113211211 ?????????? lxPlxPxP ???????
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321
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PPP
PPx
)30s i n60( s i n8)20102 0 0(2 20210 ?????? ????
m 318.0??
计算结果为负值，表明
船的位移水平向左。
0 ??? ii xP ?? ??? 0ii xm ?
22
