1
2
§ 12–1 质点和质点系的动量矩
§ 12–2 动量矩定理
§ 12–3 刚体绕定轴的转动微分方程
§ 12–4 刚体对轴的转动惯量
§ 12–5 质点系相对于质心的动量矩定理
§ 12–6 刚体的平面运动微分方程
*习题课
第十二章 动量矩定理
3
由前一章知,当质心为固定轴上一点时,vC=0，其动量恒为零,
质心无运动，但质点系确受外力的作用。 动量定理揭示了质点和
质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运
动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。
本章要介绍的动量矩定理,动量矩定理建立了质点和质点系相
对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）
之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的
运动规律
§ 12-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
设质点 Q某瞬时动量为 mv，其对 O点的位置为矢径 r，如图 12-1
所示，定义质点 Q的动量对于 O点的矩为质点对点 O的动量矩；
定义指点动量 mv在 Oxy平面的投影（ mv)xy对于点 O的矩，为质
点动量对于 z轴的矩，简称对于 z轴的动量矩。分别表示如下
4
质点系对点 O动量矩等于各质点对同一点 O的动量矩的矢量和，
或者称为质点系对点 O的主矩，即
vrvM mmO ??)(
? ? )()( vMvM mm zzo ?
正负号规定与力对轴矩的规定相同
对着轴看：顺时针为负，逆时针为正
)(
1
ii
n
i
oO m vML ?
?
?
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点 (轴 )转动的强弱。单位,kg·ｍ 2/s。
（ 12-1）
（ 12-2）
从图可以看出，质点对于 O点的
动量矩矢在 z轴上的投影，等于对
z轴的动量矩。即上面的式（ 12-2）
2．质点系的动量矩
（ 12-3）
5
刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量
矩；刚体作定轴转动则如图 12-2所示,
质点系对某轴 z的动量矩等于各质点对同一轴 z动量矩的代数
和，即
)(
1
ii
n
i
zz mML v?
?
?
（ 12-4）
利用式（ 12-2），得 ? ?
zzO L?L
（ 12-5）
上式表明：质点系对某点 O的动量矩矢在通过该点的 z轴上的投影等于质点系对于该
轴的动量矩。
????
????
????
n
i
ii
n
i
iiii
n
i
iiiii
n
i
zz rmrrmrvmmML
1
2
111
)( ??v
令 称为刚体对 z轴的转动惯量，于是有
z
n
i
ii Jrm ??
? 1
2
?zz JL ? （ 12-6）
即绕定轴转动刚体对其转轴的动量
矩等于刚体对转轴的转动惯量与转
动角速度的乘积 图 12-2
6
112223 2
1 ?? RRvv ???
32322
2
2
2
2
1 )( vRmm
R
I
R
IL
O ????
OCOBOAO LLLL ???
2332222211 )( RvmRvmII ???? ??
解,
[例 1] 滑轮 A,m1,R1,R1=2R2,I1
滑轮 B,m2,R2,I2 ；物体 C,m3
求 系统对 O轴的动量矩。
7
)(dddd)(dd)(dd vrvrvrvM mtmtmtmt o ??????
§ 12-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理
式（ 12-7）表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于
作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。其投影式分别为
因为 得
图 12-3
对质点动量矩求一次导数，得
FrvvvM
v
r
Fv
?????
??
mm
t
t
m
t
o )(
d
d
d
d
,)(
d
d
?
)(,0 FMFrvv om ????
)()(dd FMvM oo mt ?
（ 12-8） )()(
d
d),()(
d
d),()(
d
d FMvMFMvMFMvM
zzyyxx mtmtmt ???
（ 12-7）
8
式（ 12-9）表明质点系对于某定点 O的动量矩对时间的导数，等
于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点
O的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为,
2．质点系的动量矩定理
n个方程相加，有
n个质点，由质点动量矩定理有 )()()(
d
d )()( e
io
i
ioiio mt FMFMvM ??
???
???
??
n
i
e
io
n
i
i
io
n
i
iio mt
1
)(
1
)(
1
)()()(
d
d
FMFMvM
由于
0)(,
d
d
)(
d
d
)(
d
d )(
11
??? ???
??
i
ioo
n
i
iio
n
i
iio Mtmtmt FLvMvM
于是
?
?
?
n
i
e
ioot
1
)( )(
d
d
FML
（ 12-9）
???
???
???
n
i
e
izz
n
i
e
iyy
n
i
e
ixx MLtMLtMLt
1
)(
1
)(
1
)( )(
d
d
,)(
d
d
,)(
d
d
FFF
（ 12-10）
9
3．动量矩守恒定理
作用于质点的力对某定点 O的矩恒为零，则质点对该点的动量
矩保持不变，即
恒矢量?)( vM mo
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩
保持不变，即
恒量?)( vmM z
以上结论称为质点动量矩守恒定律
同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点
系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动
量矩守恒定律。
另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
10
运动分析,。 ?? 2)( mllmlvmm
O ?? ?OMlv ??,??
由动量矩定理
即
)()( Fmvmmdtd OO ?
0s i n,s i n)( 2 ???? ???? lgm g lmldtd ???
微幅摆动时,并令,则,s in ?? ?
l
g
n ?
2? 02 ?? ??? n??
解微分方程,并代入初始条件 则运动方程 )0,,0(
00 ??? ??? ?t
tlgc o s0?? ?,摆动周期
l
gT ?2?
?s i n)()()( m g lgmmTmFm OOO ????
解,将小球视为质点。
受力分析；受力图如图示。
[例 2] 单摆 已知 m,l,t =0时 ?= ?0，从静止
开始释放。 求 单摆的运动规律。
11
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时
针转向为正）
质点动量矩定理的应用,
?在质点受有心力的作用时。
?质点绕某心（轴）转动的问题。
12
解, 取整个系统为研究对象,
受力分析如图示。
运动分析,v =ｒ ?
rPPrPrPM BABAeO )()( ????
?OBAO IrvgPrvgPL ?????
)2(,21 22 PPPgrLrgPI BAOO ???? ?得代入将
由动量矩定理,
rPPPPPgrdtd BABA )()]2([
2
?????
2/PPP
PP
r
g
dt
d
BA
BA
??
????? ??
[例 3] 已知, 。求。 ; ; ?rPPP
BA ?
13
解, 系统的动量矩守恒。 ? ??,0)( )( e
O Fm
rvvmrvm ABAA )(0 ???
2
vv
A ?
猴 A与猴 B向上的绝对速度是一样的,
均为 。
2
v
[例 4] 已知：猴子 A重 =猴子 B重，猴 B以相对绳速度
上爬，猴 A不动，问当猴 B向上爬时，猴 A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
v
14
*刚体绕定轴转动主要解决两类问题, ?知作用在刚体的外力矩，求刚体的
转动规律； ?知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出
轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
）（或）（（
也可为
或
???????
???
??
??
?
??
1112)(
d
d
1112)
)1112()(
d
d
)()(
d
d
1
2
2
11
FF
FF
n
i
zzzz
i
n
i
zzi
n
i
zz
M
t
JMJ
M
t
JMJ
t
?
?
?
?
§ 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
如图示一 定轴转动刚体，由质点系对 z轴动量矩定理
以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程 图 12-4
*特殊情况, ? 若外力矩恒为零，则刚体作匀速转动或保持静止； ? 若外力
矩为常量，则刚体作匀变速转动。
*将 比较，刚体的转动惯量的大小体现了刚体转
动状态改变的难易程度，是刚体转动惯性的度量。 ?? ?? FF ?? mMJ zz 与（ )
15
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量
定义,刚体对任意轴 z的转动惯量定义为,（ 12-12）
若刚体的质量是连续分布，则,
?
?
?
n
i
iiz mJ
1
2r
)1212(d2 ??? ? mrJ mz
转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg·m2 。
（ 1） 匀质细直杆长为 l,质量为 m,其分别 对 z和 z'轴的转动惯量
1．简单形状物体的转动惯量计算
222
2
12
1
d mlx
l
m
xJ
l
lz ? ??
2
0
2
' 3
1d mlx
l
mxJ l
z ? ???
图 12-5
（ 12-13）
16
（ 2） 匀质圆环半径 R，质量为 m,其对中心轴
z的转动惯量为
图 12-7
图 12-6
222 mRmRRmJ iiz ??? ??
（ 3） 匀质圆板半径 R，质量为 m,其对中心轴
z的转动惯量
任取一圆环，则
（ 12-14）
（ 12-15）
22 R
mdrrm
AAiii ???? ???
2
2
2
2
1
4
2d2 mRJRrrJ oA
R
o Ao
????? ? 或????
2,回转半径
定义,
m
J z
z ??
2zz mJ ??
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径的乘积； 对于均质物体，仅与几何
形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚
体，其回转半径是相同的。
（ 12-16） 则 （ 12-17）
17
3,平行移轴定理
刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平
行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
2mdJJ zCz ??
（ 12-18）
? ? ??? )( 222 iiiiizC yxmrmI
? ? ??? )''(' 222' iiiiiz yxmrmI
? ????
???
])([
','
22
' dyxmI
dyyxx
iiiz
iiii?
?? ? ???? iiiiii ymddmyxm 2)()( 222
证明,设质量为 m的刚体，质心为 C,CzzO //''
? ? ?????? 2' 0,mdIImyymmm zCzCiii?
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值 。
图 12-8
18
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一
部分 (物体 )的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
4．计算转动惯量的组合法
盘杆 OOO III ?? 222221 )(2
1
3
1 RlmRmlm ????
)423(2131 22221 lRlRmlm ????
解,
[例 2] 钟摆,均质直杆 m1,l ；
均质圆盘,m2,R 。 求 IO 。
19
[例 3] 提升装置中，轮 A,B的重量分别为 P1, P2,半径分别为
r1, r2,可视为均质圆盘 ; 物体 C 的重
量为 P3 ; 轮 A上作用常力矩 M1 。
求 物体 C上升的加速度。
取轮 B连同物体 C为研究对象
( 2 ) ')21( 232232222 rPrTvrgPrgPdtd ?????
补充运动学条件
112222,??? rarvr ???
化简 (1) 得,
化简 (2) 得,
3
32 '
2
2 PTa
g
PP ???
TrMagP ??
1
11
2
gPPP PrMa 22/
321
311 ?
??
???
( 1 ) 21 111211 TrMrgP ????
解, 取轮 A为研究对象
20
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
不同于惯性系，对于动点或动轴，动量
矩定理具有复杂形式，但相对与质心和
过质心的动轴，其形式仍然简单。
如图平移动系 Cx’y’x’，质点系对质心 C
的动量矩为,
iriiiricc mm vrvML ???? ?? )(
图 12-9
（ 12-21）
由于
iiiiriic mm vrvrL ?????? ??
（该式课后自行推证）
质点系对定点 O的动量矩为 iiiiioo mm vrvML ??? ?? )(
iiciiciiicoici mmm vrvrvrrLrrr ????????????? ??? )(?
iriiciicco
ciiirci
mmm
mm
vrvrvrL
vvvvv
?????????
???
??
??又
上式最后一项即 Lc,由质心定义有 ? ??? cii mm rr
21
因 C为动系质心，显然有 即 0??cr ? ?? 0iim r
则质点系对定点的动量矩为 ccco m LvrL ??? （ 12-22）
上式表明质点系对任一点 O的动量矩等于集中于系统质心的动量
mvc对点 O的动量矩加上此系统对于质心 C的动量矩 Lc （矢量和）
式（ 12-22）也可写成 )(
1
)(
d
d
d
d e
i
n
i
iccc
o m
tt
FrLvr
L
????? ?
?注意到
ici rrr ???
)(
1
)(
1d
d
d
d
d
d e
i
n
i
i
e
i
n
i
c
c
ccc
c
t
m
t
m
t
FrFr
L
vrv
r
????????? ??
??
上式写成,
)(
d
d )(
1
)(
1
e
i
n
i
c
e
i
n
i
i
c M
t
FFr
L ??
??
????
（ 12-23）
即质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外
力对质心的主矩，称为质点系对质心的动量矩定理。
质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对
于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系
22
图 12-10，有一平面运动刚体具有质量对称平面,D为刚体上任
一点,C为质心,Cx’y’为固连于质心的平移参考系，刚体的运
动分解为随质心的平移和绕质心的转动两个部分。该刚体上外
力简化为质心运动平面内的 力系 F1,F2,F3,…F n，则应用质心
运动定理和相对于质心的动量矩定理，得
nFFF,,,21 ???
?? ??? )()(dd,)()( eCccec mJJtm FFa ??
§ 12-6 刚体的平面运动微分方程
图 12-10
?CC J?L （ 12-24）
—— （ 12-25） 也可写成
?? ??? )(dd,dd )(2
2
)(
2
2
e
Ccc
ec mJ
t
J
t
m FFr ??
—— （ 12-26）
以上两式称为刚体的平面运动微分方程。应用时，前一
式取投影式。
23
[例 4] 质量为 m半径为 R的均质圆轮置放于倾角为 ? 的斜面上，
在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动
摩擦系数为 f,f′，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。
解,取轮为研究对象。
受力分析如图示。
运动分析：取直角坐标系 Oxy
aC y =0,aC x =aC,
一般情况下轮作平面运动。
根据平面运动微分方程，有
Fmgma C ?? ?s in
Nmg ??? ?co s 0
FRI C ??
由 ?式得
?co smgN ?
?
?
?
?
?, ?两式中含有三个
未知数 aC, F,?,需
补充附加条件。
24
1．设接触面绝对光滑。
因为轮由静止开始运动，故 ?＝ 0，轮沿斜面平动下滑。
常量。???? ???,0,s i n,0 gaF C
???? s i n31 ; s i n3 2,s i n32 mgFgRga C ???
2．设接触面足够粗糙。轮作纯滚动,所以可解得,?ra
C ?
3．设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。 F=f′N,可解得
????? c o s,c o s'2,)c o s'( s i n mgfFR gfgfa C ?????
轮作纯滚动的条件,
?? c o ss i n31 m a x f m gfNFmgF ????
?tg31?f
表明：当 时，解答 3适用；
当 时，解答 2适用； f =0 时解答 1适用。
?tg31?f
?tg31?f
25
一．基本概念
1．动量矩,物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。
2．质点的动量矩,
3．质点系的动量矩,
4．转动惯量,物体转动时惯性的度量。
vmrvmm O ??)(
? ?? iiiO vmrL
对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于
质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。
*动量矩定理习题课
26
5．刚体动量矩计算
平动,
定轴转动,
平面运动,
)(,CzzCCO vmmLvmrL ???
??? zz IL
???? CCzz IvmmL )(
二．质点的动量矩定理及守恒
1．质点的动量矩定理
)()( )()]([ FmvmmdtdFmvmmdtd zzOO ?? 或
2．质点的动量矩守恒
? 若,则 常矢量。
? 若,则 常量。
0)( ?Fm O
0)( ?Fm z
?)( vmm O
?)( vmm z
27
三．质点系的动量矩定理及守恒
1．质点系的动量矩定理
?? ???? )()()()( )( )( ezezzeOeOO MFmdtdLMFmdtLd 或
2．质点系的动量矩守恒
? 若,则 常矢量
? 若,则 常量
0)( ?eOm
0)( ?ezm
?OL
?zL
)(
)( e
zC
zCe
C
C M
dt
dLM
dt
Ld ?? 或
四．质点系相对质心的动量矩定理
28
???? )( )( z FmIFmI zzz ?? ??或
五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程
1．刚体定轴转动微分方程
2．刚体平面运动微分方程
或
?? Xma Cx
?? Yma Cy
)(?? FmI CC ?
?? Xxm C??
?? Yym C??
?? )( FmI CC ???
29
六．动量矩定理的应用
应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴
传动系统尤为方便）
1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。
2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体
的角加速度或角速度的改变。
3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数
和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。
30
七．应用举例
[例 1] 均质圆柱，半径为 r，重量为 Q，置圆柱于墙角。初始角
速度 ?0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f '，
滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。
解,选取圆柱为研究对象。 (注意只是一个刚
体 )受力分析如图示。
运动分析：质心 C不动，刚体绕质心转动。
根据刚体平面运动微分方程
)0,0( ?? CyCx aa
BA FN ??0
QNF BA ???0
rFrFdtdrgQ BA 21 2 ????
?
?
?
补充方程,
BBAA NfFNfF ',' ?? ?
31
将 ?式代入 ?,?两式，有 0)1'( 2 ??? QNf B
1'
',
1'
',
1'
',
1' 2
2
222 ????????? f
QfF
f
QfN
f
QfF
f
QN
AABB
将上述结果代入 ?式，有
dtf frgfdr gff fdtd t?? ?????????? 0202 '1 '1'2,2''1 '1
0?
??
解得,
)'1('2
)'1( 02
fgf
rft
?
?? ?
BA FN ??0
QNF BA ???0
rFrFdtdrgQ BA 21 2 ????
?
?
?
补充方程,
BBAA NfFNfF ',' ?? ?
32
[例 2] 两根质量各为 8 kg的均质细杆固连成 T 字型，可绕通过 O
点的水平轴转动，当 OA处于水平位置时,T 形杆具有角速度 ?
=4rad/s 。求该瞬时轴承 O的反力。
解,选 T 字型杆为研究对象。
受力分析如图示。
r a d /s 2 0,7 5
5.08.9825.08.98 5.08
12
17
2
2
?
?????????
?
?
5.025.0 ???? mgmgI O ?
2222 121712131 mlmlmlmlI O ????
由定轴转动微分方程
33
根据质心运动微分方程，得
OxCxC Xmama ??? 21
mgmgYmama OyCyC ????? 21
N 96) 5.04 25.04( 8)( 2221 ??????????? xCxCO aamX
N 3.32 ) 5.075.20 25.075.20 ( 88.982 ????????OY
34
[例 3] 均质圆柱体 A和 B的重量均为 P，半径均为 r，一绳缠在
绕固定轴 O转动的圆柱 A上，绳的另一端绕在圆柱 B上，绳重
不计且不可伸长，不计轴 O处 摩擦。
求, ? 圆柱 B下落时质心的加速度。
? 若在圆柱体 A上作用一逆时针转向的转矩 M，试问在什么
条件下圆柱 B的质心将上升。
35
选圆柱 B为研究对象
rTrgP B '21 2 ??
'TPagP C ??
?
?
运动学关系,
BAC rra ?? ??
?
TrrgP A ??221
?
解：选圆柱 A为研究对象
由 ?,?式得,
BA ?? ?
,52 rgBA ?? ?? ga C 54 ?
代入 ?,?式得,
36
由动量矩定理,
rPMMrgPrvgPrgPdtd eOBCA ???????? 2)222( )(22 ??
rPMrgPragPrgP BcA ??????? 2222 22 ??
?
补充运动学关系式,
BAC rra ?? ??
代入 ?式，得
grP rPMarPMargPargP CCC ? ?????????? 5 )2(2 ; 222
当 M >2Pr 时，,圆柱 B的质心将上升。 0?
Ca
再取系统为研究对象
BCAO rg
Prv
g
Pr
g
PL ?? 22
222 ?????
rPMM eO 2)( ???
37
研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找
出质心运动与刚体转动之间的联系。
应用动量矩定理列方程时,要特别注意正负号的规定的一致
性。
38
2
§ 12–1 质点和质点系的动量矩
§ 12–2 动量矩定理
§ 12–3 刚体绕定轴的转动微分方程
§ 12–4 刚体对轴的转动惯量
§ 12–5 质点系相对于质心的动量矩定理
§ 12–6 刚体的平面运动微分方程
*习题课
第十二章 动量矩定理
3
由前一章知,当质心为固定轴上一点时,vC=0，其动量恒为零,
质心无运动，但质点系确受外力的作用。 动量定理揭示了质点和
质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运
动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。
本章要介绍的动量矩定理,动量矩定理建立了质点和质点系相
对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）
之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的
运动规律
§ 12-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
设质点 Q某瞬时动量为 mv，其对 O点的位置为矢径 r，如图 12-1
所示，定义质点 Q的动量对于 O点的矩为质点对点 O的动量矩；
定义指点动量 mv在 Oxy平面的投影（ mv)xy对于点 O的矩，为质
点动量对于 z轴的矩，简称对于 z轴的动量矩。分别表示如下
4
质点系对点 O动量矩等于各质点对同一点 O的动量矩的矢量和，
或者称为质点系对点 O的主矩，即
vrvM mmO ??)(
? ? )()( vMvM mm zzo ?
正负号规定与力对轴矩的规定相同
对着轴看：顺时针为负，逆时针为正
)(
1
ii
n
i
oO m vML ?
?
?
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点 (轴 )转动的强弱。单位,kg·ｍ 2/s。
（ 12-1）
（ 12-2）
从图可以看出，质点对于 O点的
动量矩矢在 z轴上的投影，等于对
z轴的动量矩。即上面的式（ 12-2）
2．质点系的动量矩
（ 12-3）
5
刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量
矩；刚体作定轴转动则如图 12-2所示,
质点系对某轴 z的动量矩等于各质点对同一轴 z动量矩的代数
和，即
)(
1
ii
n
i
zz mML v?
?
?
（ 12-4）
利用式（ 12-2），得 ? ?
zzO L?L
（ 12-5）
上式表明：质点系对某点 O的动量矩矢在通过该点的 z轴上的投影等于质点系对于该
轴的动量矩。
????
????
????
n
i
ii
n
i
iiii
n
i
iiiii
n
i
zz rmrrmrvmmML
1
2
111
)( ??v
令 称为刚体对 z轴的转动惯量，于是有
z
n
i
ii Jrm ??
? 1
2
?zz JL ? （ 12-6）
即绕定轴转动刚体对其转轴的动量
矩等于刚体对转轴的转动惯量与转
动角速度的乘积 图 12-2
6
112223 2
1 ?? RRvv ???
32322
2
2
2
2
1 )( vRmm
R
I
R
IL
O ????
OCOBOAO LLLL ???
2332222211 )( RvmRvmII ???? ??
解,
[例 1] 滑轮 A,m1,R1,R1=2R2,I1
滑轮 B,m2,R2,I2 ；物体 C,m3
求 系统对 O轴的动量矩。
7
)(dddd)(dd)(dd vrvrvrvM mtmtmtmt o ??????
§ 12-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理
式（ 12-7）表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于
作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。其投影式分别为
因为 得
图 12-3
对质点动量矩求一次导数，得
FrvvvM
v
r
Fv
?????
??
mm
t
t
m
t
o )(
d
d
d
d
,)(
d
d
?
)(,0 FMFrvv om ????
)()(dd FMvM oo mt ?
（ 12-8） )()(
d
d),()(
d
d),()(
d
d FMvMFMvMFMvM
zzyyxx mtmtmt ???
（ 12-7）
8
式（ 12-9）表明质点系对于某定点 O的动量矩对时间的导数，等
于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点
O的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为,
2．质点系的动量矩定理
n个方程相加，有
n个质点，由质点动量矩定理有 )()()(
d
d )()( e
io
i
ioiio mt FMFMvM ??
???
???
??
n
i
e
io
n
i
i
io
n
i
iio mt
1
)(
1
)(
1
)()()(
d
d
FMFMvM
由于
0)(,
d
d
)(
d
d
)(
d
d )(
11
??? ???
??
i
ioo
n
i
iio
n
i
iio Mtmtmt FLvMvM
于是
?
?
?
n
i
e
ioot
1
)( )(
d
d
FML
（ 12-9）
???
???
???
n
i
e
izz
n
i
e
iyy
n
i
e
ixx MLtMLtMLt
1
)(
1
)(
1
)( )(
d
d
,)(
d
d
,)(
d
d
FFF
（ 12-10）
9
3．动量矩守恒定理
作用于质点的力对某定点 O的矩恒为零，则质点对该点的动量
矩保持不变，即
恒矢量?)( vM mo
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩
保持不变，即
恒量?)( vmM z
以上结论称为质点动量矩守恒定律
同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点
系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动
量矩守恒定律。
另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
10
运动分析,。 ?? 2)( mllmlvmm
O ?? ?OMlv ??,??
由动量矩定理
即
)()( Fmvmmdtd OO ?
0s i n,s i n)( 2 ???? ???? lgm g lmldtd ???
微幅摆动时,并令,则,s in ?? ?
l
g
n ?
2? 02 ?? ??? n??
解微分方程,并代入初始条件 则运动方程 )0,,0(
00 ??? ??? ?t
tlgc o s0?? ?,摆动周期
l
gT ?2?
?s i n)()()( m g lgmmTmFm OOO ????
解,将小球视为质点。
受力分析；受力图如图示。
[例 2] 单摆 已知 m,l,t =0时 ?= ?0，从静止
开始释放。 求 单摆的运动规律。
11
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时
针转向为正）
质点动量矩定理的应用,
?在质点受有心力的作用时。
?质点绕某心（轴）转动的问题。
12
解, 取整个系统为研究对象,
受力分析如图示。
运动分析,v =ｒ ?
rPPrPrPM BABAeO )()( ????
?OBAO IrvgPrvgPL ?????
)2(,21 22 PPPgrLrgPI BAOO ???? ?得代入将
由动量矩定理,
rPPPPPgrdtd BABA )()]2([
2
?????
2/PPP
PP
r
g
dt
d
BA
BA
??
????? ??
[例 3] 已知, 。求。 ; ; ?rPPP
BA ?
13
解, 系统的动量矩守恒。 ? ??,0)( )( e
O Fm
rvvmrvm ABAA )(0 ???
2
vv
A ?
猴 A与猴 B向上的绝对速度是一样的,
均为 。
2
v
[例 4] 已知：猴子 A重 =猴子 B重，猴 B以相对绳速度
上爬，猴 A不动，问当猴 B向上爬时，猴 A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
v
14
*刚体绕定轴转动主要解决两类问题, ?知作用在刚体的外力矩，求刚体的
转动规律； ?知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出
轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
）（或）（（
也可为
或
???????
???
??
??
?
??
1112)(
d
d
1112)
)1112()(
d
d
)()(
d
d
1
2
2
11
FF
FF
n
i
zzzz
i
n
i
zzi
n
i
zz
M
t
JMJ
M
t
JMJ
t
?
?
?
?
§ 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
如图示一 定轴转动刚体，由质点系对 z轴动量矩定理
以上各式称为刚体绕定轴转动微分方程 图 12-4
*特殊情况, ? 若外力矩恒为零，则刚体作匀速转动或保持静止； ? 若外力
矩为常量，则刚体作匀变速转动。
*将 比较，刚体的转动惯量的大小体现了刚体转
动状态改变的难易程度，是刚体转动惯性的度量。 ?? ?? FF ?? mMJ zz 与（ )
15
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量
定义,刚体对任意轴 z的转动惯量定义为,（ 12-12）
若刚体的质量是连续分布，则,
?
?
?
n
i
iiz mJ
1
2r
)1212(d2 ??? ? mrJ mz
转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg·m2 。
（ 1） 匀质细直杆长为 l,质量为 m,其分别 对 z和 z'轴的转动惯量
1．简单形状物体的转动惯量计算
222
2
12
1
d mlx
l
m
xJ
l
lz ? ??
2
0
2
' 3
1d mlx
l
mxJ l
z ? ???
图 12-5
（ 12-13）
16
（ 2） 匀质圆环半径 R，质量为 m,其对中心轴
z的转动惯量为
图 12-7
图 12-6
222 mRmRRmJ iiz ??? ??
（ 3） 匀质圆板半径 R，质量为 m,其对中心轴
z的转动惯量
任取一圆环，则
（ 12-14）
（ 12-15）
22 R
mdrrm
AAiii ???? ???
2
2
2
2
1
4
2d2 mRJRrrJ oA
R
o Ao
????? ? 或????
2,回转半径
定义,
m
J z
z ??
2zz mJ ??
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径的乘积； 对于均质物体，仅与几何
形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚
体，其回转半径是相同的。
（ 12-16） 则 （ 12-17）
17
3,平行移轴定理
刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平
行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
2mdJJ zCz ??
（ 12-18）
? ? ??? )( 222 iiiiizC yxmrmI
? ? ??? )''(' 222' iiiiiz yxmrmI
? ????
???
])([
','
22
' dyxmI
dyyxx
iiiz
iiii?
?? ? ???? iiiiii ymddmyxm 2)()( 222
证明,设质量为 m的刚体，质心为 C,CzzO //''
? ? ?????? 2' 0,mdIImyymmm zCzCiii?
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值 。
图 12-8
18
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一
部分 (物体 )的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
4．计算转动惯量的组合法
盘杆 OOO III ?? 222221 )(2
1
3
1 RlmRmlm ????
)423(2131 22221 lRlRmlm ????
解,
[例 2] 钟摆,均质直杆 m1,l ；
均质圆盘,m2,R 。 求 IO 。
19
[例 3] 提升装置中，轮 A,B的重量分别为 P1, P2,半径分别为
r1, r2,可视为均质圆盘 ; 物体 C 的重
量为 P3 ; 轮 A上作用常力矩 M1 。
求 物体 C上升的加速度。
取轮 B连同物体 C为研究对象
( 2 ) ')21( 232232222 rPrTvrgPrgPdtd ?????
补充运动学条件
112222,??? rarvr ???
化简 (1) 得,
化简 (2) 得,
3
32 '
2
2 PTa
g
PP ???
TrMagP ??
1
11
2
gPPP PrMa 22/
321
311 ?
??
???
( 1 ) 21 111211 TrMrgP ????
解, 取轮 A为研究对象
20
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
不同于惯性系，对于动点或动轴，动量
矩定理具有复杂形式，但相对与质心和
过质心的动轴，其形式仍然简单。
如图平移动系 Cx’y’x’，质点系对质心 C
的动量矩为,
iriiiricc mm vrvML ???? ?? )(
图 12-9
（ 12-21）
由于
iiiiriic mm vrvrL ?????? ??
（该式课后自行推证）
质点系对定点 O的动量矩为 iiiiioo mm vrvML ??? ?? )(
iiciiciiicoici mmm vrvrvrrLrrr ????????????? ??? )(?
iriiciicco
ciiirci
mmm
mm
vrvrvrL
vvvvv
?????????
???
??
??又
上式最后一项即 Lc,由质心定义有 ? ??? cii mm rr
21
因 C为动系质心，显然有 即 0??cr ? ?? 0iim r
则质点系对定点的动量矩为 ccco m LvrL ??? （ 12-22）
上式表明质点系对任一点 O的动量矩等于集中于系统质心的动量
mvc对点 O的动量矩加上此系统对于质心 C的动量矩 Lc （矢量和）
式（ 12-22）也可写成 )(
1
)(
d
d
d
d e
i
n
i
iccc
o m
tt
FrLvr
L
????? ?
?注意到
ici rrr ???
)(
1
)(
1d
d
d
d
d
d e
i
n
i
i
e
i
n
i
c
c
ccc
c
t
m
t
m
t
FrFr
L
vrv
r
????????? ??
??
上式写成,
)(
d
d )(
1
)(
1
e
i
n
i
c
e
i
n
i
i
c M
t
FFr
L ??
??
????
（ 12-23）
即质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外
力对质心的主矩，称为质点系对质心的动量矩定理。
质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对
于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系
22
图 12-10，有一平面运动刚体具有质量对称平面,D为刚体上任
一点,C为质心,Cx’y’为固连于质心的平移参考系，刚体的运
动分解为随质心的平移和绕质心的转动两个部分。该刚体上外
力简化为质心运动平面内的 力系 F1,F2,F3,…F n，则应用质心
运动定理和相对于质心的动量矩定理，得
nFFF,,,21 ???
?? ??? )()(dd,)()( eCccec mJJtm FFa ??
§ 12-6 刚体的平面运动微分方程
图 12-10
?CC J?L （ 12-24）
—— （ 12-25） 也可写成
?? ??? )(dd,dd )(2
2
)(
2
2
e
Ccc
ec mJ
t
J
t
m FFr ??
—— （ 12-26）
以上两式称为刚体的平面运动微分方程。应用时，前一
式取投影式。
23
[例 4] 质量为 m半径为 R的均质圆轮置放于倾角为 ? 的斜面上，
在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动
摩擦系数为 f,f′，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。
解,取轮为研究对象。
受力分析如图示。
运动分析：取直角坐标系 Oxy
aC y =0,aC x =aC,
一般情况下轮作平面运动。
根据平面运动微分方程，有
Fmgma C ?? ?s in
Nmg ??? ?co s 0
FRI C ??
由 ?式得
?co smgN ?
?
?
?
?
?, ?两式中含有三个
未知数 aC, F,?,需
补充附加条件。
24
1．设接触面绝对光滑。
因为轮由静止开始运动，故 ?＝ 0，轮沿斜面平动下滑。
常量。???? ???,0,s i n,0 gaF C
???? s i n31 ; s i n3 2,s i n32 mgFgRga C ???
2．设接触面足够粗糙。轮作纯滚动,所以可解得,?ra
C ?
3．设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。 F=f′N,可解得
????? c o s,c o s'2,)c o s'( s i n mgfFR gfgfa C ?????
轮作纯滚动的条件,
?? c o ss i n31 m a x f m gfNFmgF ????
?tg31?f
表明：当 时，解答 3适用；
当 时，解答 2适用； f =0 时解答 1适用。
?tg31?f
?tg31?f
25
一．基本概念
1．动量矩,物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。
2．质点的动量矩,
3．质点系的动量矩,
4．转动惯量,物体转动时惯性的度量。
vmrvmm O ??)(
? ?? iiiO vmrL
对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于
质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。
*动量矩定理习题课
26
5．刚体动量矩计算
平动,
定轴转动,
平面运动,
)(,CzzCCO vmmLvmrL ???
??? zz IL
???? CCzz IvmmL )(
二．质点的动量矩定理及守恒
1．质点的动量矩定理
)()( )()]([ FmvmmdtdFmvmmdtd zzOO ?? 或
2．质点的动量矩守恒
? 若,则 常矢量。
? 若,则 常量。
0)( ?Fm O
0)( ?Fm z
?)( vmm O
?)( vmm z
27
三．质点系的动量矩定理及守恒
1．质点系的动量矩定理
?? ???? )()()()( )( )( ezezzeOeOO MFmdtdLMFmdtLd 或
2．质点系的动量矩守恒
? 若,则 常矢量
? 若,则 常量
0)( ?eOm
0)( ?ezm
?OL
?zL
)(
)( e
zC
zCe
C
C M
dt
dLM
dt
Ld ?? 或
四．质点系相对质心的动量矩定理
28
???? )( )( z FmIFmI zzz ?? ??或
五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程
1．刚体定轴转动微分方程
2．刚体平面运动微分方程
或
?? Xma Cx
?? Yma Cy
)(?? FmI CC ?
?? Xxm C??
?? Yym C??
?? )( FmI CC ???
29
六．动量矩定理的应用
应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴
传动系统尤为方便）
1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。
2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体
的角加速度或角速度的改变。
3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数
和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。
30
七．应用举例
[例 1] 均质圆柱，半径为 r，重量为 Q，置圆柱于墙角。初始角
速度 ?0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f '，
滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。
解,选取圆柱为研究对象。 (注意只是一个刚
体 )受力分析如图示。
运动分析：质心 C不动，刚体绕质心转动。
根据刚体平面运动微分方程
)0,0( ?? CyCx aa
BA FN ??0
QNF BA ???0
rFrFdtdrgQ BA 21 2 ????
?
?
?
补充方程,
BBAA NfFNfF ',' ?? ?
31
将 ?式代入 ?,?两式，有 0)1'( 2 ??? QNf B
1'
',
1'
',
1'
',
1' 2
2
222 ????????? f
QfF
f
QfN
f
QfF
f
QN
AABB
将上述结果代入 ?式，有
dtf frgfdr gff fdtd t?? ?????????? 0202 '1 '1'2,2''1 '1
0?
??
解得,
)'1('2
)'1( 02
fgf
rft
?
?? ?
BA FN ??0
QNF BA ???0
rFrFdtdrgQ BA 21 2 ????
?
?
?
补充方程,
BBAA NfFNfF ',' ?? ?
32
[例 2] 两根质量各为 8 kg的均质细杆固连成 T 字型，可绕通过 O
点的水平轴转动，当 OA处于水平位置时,T 形杆具有角速度 ?
=4rad/s 。求该瞬时轴承 O的反力。
解,选 T 字型杆为研究对象。
受力分析如图示。
r a d /s 2 0,7 5
5.08.9825.08.98 5.08
12
17
2
2
?
?????????
?
?
5.025.0 ???? mgmgI O ?
2222 121712131 mlmlmlmlI O ????
由定轴转动微分方程
33
根据质心运动微分方程，得
OxCxC Xmama ??? 21
mgmgYmama OyCyC ????? 21
N 96) 5.04 25.04( 8)( 2221 ??????????? xCxCO aamX
N 3.32 ) 5.075.20 25.075.20 ( 88.982 ????????OY
34
[例 3] 均质圆柱体 A和 B的重量均为 P，半径均为 r，一绳缠在
绕固定轴 O转动的圆柱 A上，绳的另一端绕在圆柱 B上，绳重
不计且不可伸长，不计轴 O处 摩擦。
求, ? 圆柱 B下落时质心的加速度。
? 若在圆柱体 A上作用一逆时针转向的转矩 M，试问在什么
条件下圆柱 B的质心将上升。
35
选圆柱 B为研究对象
rTrgP B '21 2 ??
'TPagP C ??
?
?
运动学关系,
BAC rra ?? ??
?
TrrgP A ??221
?
解：选圆柱 A为研究对象
由 ?,?式得,
BA ?? ?
,52 rgBA ?? ?? ga C 54 ?
代入 ?,?式得,
36
由动量矩定理,
rPMMrgPrvgPrgPdtd eOBCA ???????? 2)222( )(22 ??
rPMrgPragPrgP BcA ??????? 2222 22 ??
?
补充运动学关系式,
BAC rra ?? ??
代入 ?式，得
grP rPMarPMargPargP CCC ? ?????????? 5 )2(2 ; 222
当 M >2Pr 时，,圆柱 B的质心将上升。 0?
Ca
再取系统为研究对象
BCAO rg
Prv
g
Pr
g
PL ?? 22
222 ?????
rPMM eO 2)( ???
37
研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找
出质心运动与刚体转动之间的联系。
应用动量矩定理列方程时,要特别注意正负号的规定的一致
性。
38
