1
2
引 言
一,研究对象,
二,力学模型,
研究物体的机械运动与作用力之间的关系
2.质点系,由有限或无限个有着一定联系
的质点组成的系统。
1.质点,具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如,研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体 质点。
自由质点系,质点系中各质点的运动不受约束的限制。
非自由质点系,质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
3
三,动力学分类, 质点动力学
质点系动力学 ???
质点动力学是质点
系动力学的基础。
四,动力学的基本问题,大体上可分为两类,
第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
刚体 是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成。又称为不变质点系。
4
5
§ 10–1 动力学的基本定律
§ 10–2 质点的运动微分方程
第十章 质点动力学的基本方程
6
§ 10-1 动力学的基本方程
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统
的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的
关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在
总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律
第一定律（惯性定律）
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于
静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变,
这种性质称为惯性。
7
式（ 10-2）是该定律的数学表达式，为质点动力学的基本方程,
建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。当质点
受到多个力作用时，该式中的力 F应为汇交力学的合力；
从该式还可以看出，质点质量越大，起运动状态越不容易改变,
也就是质点的惯性越大，因此,质量 是质点惯性的度量；
另外应注意公式中国际单位制（ SI）的表示以及国际单位制和
工程单位制的换算关系。
第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
定律表示,经典表示,
Fv ?)(dd mt
Fa ?m（ 10-1） （ 10-2）
8
第三定律（作用与反作用定律）
表述：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向
相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体,
而且也适用于任何运动的物体。
上述三个定律适用的参考系称为惯性参考系。
今后，如无特别说明，我们取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系；以
牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学，在此范畴，质量、空间和时间
是“绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空
间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体
的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的。
9
将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为
质点的运动微分方程。
)( Fa ?m
§ 10-2 质点的运动微分方程
质点受到 n个力 F1,F2,? Fn时，由质点动力学第二定律，有
d
d
1
2
2
?
?
?
n
it
m Fr?
?
?
n
i
im
1
Fa
（ 10-3） 或 （ 10-3） ?
式（ 10-3） ?是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时,
需应用它的投影形式
1,质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
设矢径 r在直角坐标轴上的投影分别为 x,y,z,力 Fi在轴上的投影
分别 Fxi,Fxi,Fxi,则式（ 10-3） ?在直角坐标轴上的投影形式为
???
???
???
n
i
zi
n
i
yi
n
i
xi Ft
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t
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1
2
2
1
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1
2
2
d
d,
d
d,
d
d （ 10-4）
10
式 (10-4) 和 (10-5)是两种常用的质点运动
微分方程 。
式 (10-3)为一矢量等式,可向任一轴投影
应用质点运动微分方程，可以求解下面
表述的质点动力学的两类问题,
2,质点运动微分方程在自然轴上投影
由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
???
???
???
n
i
i
n
i
i
n
i
i FF
vmF
t
vm
1
b
1
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2
0,,dd ?
（ 10-5）
0,bnt ??? aaa na ?
为）在自然轴系上的投影式（
所示，的单位矢量，如图为沿轨迹切线和主法线和式中
310
110
?
?n?
11
1.第一类, 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
解题步骤和要点,
①正确选择研究对象 （一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图 (应在一般位置上进行分析 )。
③ 正确进行运动分析 （分析质点运动的特征量）。
④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 （建立坐标系）。
⑤求解未知量 。
积分dtdv
再分离变量积分。,dsdvvdtdv ?
积分tdd v
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）
解题步骤如下,
①正确选择研究对象 。
②正确进行受力分析，画出受力图 。判断力是什么性质的力 （应放在一般位置上进
行分析，对变力建立力的表达式）。
③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件） 。
④ 选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤ 求解未知量。 根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点
的运动。
如力是常量或是时间及速度函数时,
可直接分离变量 。
再分离变量积分。,dsdvvdtdv ?
如力是位置的函数，需进行变量置换
12
[例 1] 桥式起重机跑车吊挂一重为 G的重物，沿水平横梁作匀速
运动，速度为,重物中心至悬挂点距离为 L。突然刹车，重物
因惯性绕悬挂点 O向前摆动,求 钢丝绳的最大拉力。
0?
解, ① 选重物 (抽象为质点 )为研究对象
② 受力分析如图所示
③ 运动分析，沿以 O为圆心,
L为半径的圆弧摆动。
13
????? ? 1 s i ndd,tt ?GtvgGm Fa
????? ? 2 c o s,
2
nn ?GTl
v
g
Gm Fa
④ 列出自然形式的质点运动微方程
.,
,)( c o s 2
2
为变量其中
式得由
v
gl
vGT
?
? ????
m a x,0,1 TT ???? 时因此重物作减速运动式知由 ?
)1(
2
0
m a x gl
vGT ??
⑤ 求解未知量
[注 ]① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
② 拉力 Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力
一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
14
[例 2] 煤矿用填充机进行填充,为保证充
填材料抛到距离为 S=5米,H=1.5米的顶
板 A处。 求 (1)充填材料需有多大的初速
度 v0? (2)初速 与水平的夹角 ?0？
0?
待求0000000000,,s i n,c o s;0,0,0 ??? vvvvvyxt yx ?????
yx vvHySxAMt,,,,,???瞬时
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
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ctcgty
ctcx
cgt
t
y
c
t
x
mg
t
v
m
t
v
m
y
x
微分方程 积分一次 再积分一次
解, 属于已知力为常量的第二类问题。
选择填充材料 M为研究对象，受力如图所示,M作斜抛运动。
15
0,s i n,co s, 43002001 ???? ccvcvc ??代入初始条件得
2
0000 2
1s i n,co s, gttvytvx ??? ??则运动方程为
0
22
0
2
0
0 c o s2
1tg,
?
?
v
xgxy ??则轨迹方程为
代入最高点 A处值，得,即
将到达 A点时的时间 t,x=S,y=H 代入运动方程，得
,0s i ndd 00 ??? gtvty ? gvt 00 sin ??
gH
sgv
2
c o s 00 ?? gHv 2s i n 00 ??
发射初速度大小与初发射角 为 0?
m / s 5.102
2
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2
000 ????? gHgH
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00
001
0 s
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v
v
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16
[例 3] 发射火箭,求 脱离地球引力的最小速度。
解, 属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭 (质点 )为研究对象,建立坐标如图示。
火箭在任意位置 x 处受地球引力 F 的作用。
2
2
22 x
m g RF
R
mMfmg
x
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v
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即,
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x
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x ??????
17
可见,v 随着 x 的增加而减小。若 则在某一位置
x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 时，无论 x
多大（甚至为 ∞）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一
去不返 时（ ）的最小初速度
gRv 220 ?
gRv 220 ?
??x
k m / s )( 2.116 3 7 0108.922 30 ?????? ?gRv （第二宇宙速度）
x
gRgRvv 2
0
2 2)2( ???
18
[例 4] 质量 m=5kg的小球，用长 L=2m的绳子一端系于固定点 O
,小球以均匀速度 v0在水平面内作圆周运动，（ 1） 已知绳与
铅垂线间的夹角 q?40,求绳中的拉力和球的速度 v0；（ 2）若
绳中最大允许拉力为 100N，求小球的最大容许速度 v0和此时绳
与铅垂线间的夹角 q。
解,以小球为研究的质点，作用于质点的力有
重力 mg和绳的拉力 F。选取在自然轴上投影的
运动微分方程，得
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引 言
一,研究对象,
二,力学模型,
研究物体的机械运动与作用力之间的关系
2.质点系,由有限或无限个有着一定联系
的质点组成的系统。
1.质点,具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如,研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体 质点。
自由质点系,质点系中各质点的运动不受约束的限制。
非自由质点系,质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
3
三,动力学分类, 质点动力学
质点系动力学 ???
质点动力学是质点
系动力学的基础。
四,动力学的基本问题,大体上可分为两类,
第一类：已知物体的运动情况，求作用力；
第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
刚体 是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成。又称为不变质点系。
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§ 10–1 动力学的基本定律
§ 10–2 质点的运动微分方程
第十章 质点动力学的基本方程
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§ 10-1 动力学的基本方程
质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统
的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的
关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在
总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律
第一定律（惯性定律）
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于
静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变,
这种性质称为惯性。
7
式（ 10-2）是该定律的数学表达式，为质点动力学的基本方程,
建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。当质点
受到多个力作用时，该式中的力 F应为汇交力学的合力；
从该式还可以看出，质点质量越大，起运动状态越不容易改变,
也就是质点的惯性越大，因此,质量 是质点惯性的度量；
另外应注意公式中国际单位制（ SI）的表示以及国际单位制和
工程单位制的换算关系。
第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
定律表示,经典表示,
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Fa ?m（ 10-1） （ 10-2）
8
第三定律（作用与反作用定律）
表述：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向
相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。
这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体,
而且也适用于任何运动的物体。
上述三个定律适用的参考系称为惯性参考系。
今后，如无特别说明，我们取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系；以
牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学，在此范畴，质量、空间和时间
是“绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空
间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体
的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的。
9
将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为
质点的运动微分方程。
)( Fa ?m
§ 10-2 质点的运动微分方程
质点受到 n个力 F1,F2,? Fn时，由质点动力学第二定律，有
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式（ 10-3） ?是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时,
需应用它的投影形式
1,质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
设矢径 r在直角坐标轴上的投影分别为 x,y,z,力 Fi在轴上的投影
分别 Fxi,Fxi,Fxi,则式（ 10-3） ?在直角坐标轴上的投影形式为
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式 (10-4) 和 (10-5)是两种常用的质点运动
微分方程 。
式 (10-3)为一矢量等式,可向任一轴投影
应用质点运动微分方程，可以求解下面
表述的质点动力学的两类问题,
2,质点运动微分方程在自然轴上投影
由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为
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310
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1.第一类, 已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
解题步骤和要点,
①正确选择研究对象 （一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图 (应在一般位置上进行分析 )。
③ 正确进行运动分析 （分析质点运动的特征量）。
④ 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 （建立坐标系）。
⑤求解未知量 。
积分dtdv
再分离变量积分。,dsdvvdtdv ?
积分tdd v
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）
解题步骤如下,
①正确选择研究对象 。
②正确进行受力分析，画出受力图 。判断力是什么性质的力 （应放在一般位置上进
行分析，对变力建立力的表达式）。
③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件） 。
④ 选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤ 求解未知量。 根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点
的运动。
如力是常量或是时间及速度函数时,
可直接分离变量 。
再分离变量积分。,dsdvvdtdv ?
如力是位置的函数，需进行变量置换
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[例 1] 桥式起重机跑车吊挂一重为 G的重物，沿水平横梁作匀速
运动，速度为,重物中心至悬挂点距离为 L。突然刹车，重物
因惯性绕悬挂点 O向前摆动,求 钢丝绳的最大拉力。
0?
解, ① 选重物 (抽象为质点 )为研究对象
② 受力分析如图所示
③ 运动分析，沿以 O为圆心,
L为半径的圆弧摆动。
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④ 列出自然形式的质点运动微方程
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⑤ 求解未知量
[注 ]① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
② 拉力 Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力
一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
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[例 2] 煤矿用填充机进行填充,为保证充
填材料抛到距离为 S=5米,H=1.5米的顶
板 A处。 求 (1)充填材料需有多大的初速
度 v0? (2)初速 与水平的夹角 ?0？
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微分方程 积分一次 再积分一次
解, 属于已知力为常量的第二类问题。
选择填充材料 M为研究对象，受力如图所示,M作斜抛运动。
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代入最高点 A处值，得,即
将到达 A点时的时间 t,x=S,y=H 代入运动方程，得
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[例 3] 发射火箭,求 脱离地球引力的最小速度。
解, 属于已知力是位置的函数的第二类问题。
取火箭 (质点 )为研究对象,建立坐标如图示。
火箭在任意位置 x 处受地球引力 F 的作用。
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22 x
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可见,v 随着 x 的增加而减小。若 则在某一位置
x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 时，无论 x
多大（甚至为 ∞）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一
去不返 时（ ）的最小初速度
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[例 4] 质量 m=5kg的小球，用长 L=2m的绳子一端系于固定点 O
,小球以均匀速度 v0在水平面内作圆周运动，（ 1） 已知绳与
铅垂线间的夹角 q?40,求绳中的拉力和球的速度 v0；（ 2）若
绳中最大允许拉力为 100N，求小球的最大容许速度 v0和此时绳
与铅垂线间的夹角 q。
解,以小球为研究的质点，作用于质点的力有
重力 mg和绳的拉力 F。选取在自然轴上投影的
运动微分方程，得
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