1
2
静力学 第三章 平面任意力系
第三章 平面任意力系
若所有力的作用线都在同一平面内，
且它们既不相交于一点，又不平行，此
力系称为 平面任意力系,简称 平面力系 。
本章将研究该力系的简化与平衡问题，
这是静力学的重点之一。本章还介绍平
面简单桁架的内力计算。
3
静力学 第三章 平面任意力系
§ 3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
要研究一个力系的平衡, 首先要研究它的简化 。
力系简化的理论基础是力线平移定理 。
1．力线平移定理
作用在刚体上点 A的力 F 可以平行移动（简称
平移）到任一点 O上，但必须同时附加一个力偶，
此附加力偶的矩等于原来力 F 对新作用点 B的矩。
4
静力学 第三章 平面任意力系
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静力学 第三章 平面任意力系
6
静力学 第三章 平面任意力系
2,平面任意力系向作用面内一点简化 ? 主矢与主矩
设刚体上有一平面任意力系 F1,F2,…, Fn，如图（ a）。应
用力线平移定理，得一作用在点 O的汇交力系 F1′, F2′, …,
Fn′ 以及相应的附加平面力偶系 M1,M2,…, Mn,如图 （ b）。 再
将平面汇交力系进一步合成过点 O的一个力 FRˊ, 如图 （ c）,即
??
??
????
n
i
i
n
i
i
11
R FFF
(a) (b) (c)
7
静力学 第三章 平面任意力系
平面力偶系进一步合成为对点 O的一个力偶 MO，即
??
??
??
n
i
iO
n
i
iO MMM
11
)( F
FRˊ 是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的
主矢 。 MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的 主矩 。 主
矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指
明力系是对于哪一点的主矩。
结论：平面任意力系向作用面内任一点 O简化。
可得一个作用线通过简化中心的与主矢相等的力和
一个相对于简化中心的主矩。该主矩等于原力系对
简化中心的矩。它们的解析表达式为
8
静力学 第三章 平面任意力系
?? ??????? jiFFF yxyx FFRRR
大小
? ???? 22R )()( yx FFF
方向余弦
R
R
R
R ),c o s (,),c o s (
F
F
F
F yx
?
??
?
?? ?? jFiF
主矩
??
??
???
n
i
xiiyii
n
i
iOO FyFxMM
11
)()( F
9
静力学 第三章 平面任意力系
3．固定端约束及其约束力
在工程实际中，有一种约束称为固定端（或插入端）
支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物
体既不能移动也不能转动。其力学模型如下图所示。
10
静力学 第三章 平面任意力系
约束给约束物体的约束力实际上是一个分布力, 在平面
问题中, 它是一个平面任意力系, 如图 （ a） 所示 。
无论它们是如何分布，根据
力系简化理论，可将它们向
A点简化得一力 FA及一力 MA，
如图（ b）所示，也可表示
成两个分力 FAx,Fay的 形式，
如图（ c），共有三个未知
数。
11
静力学 第三章 平面任意力系
4.平面任意力系的简化结果 分析
简化结果 可 有四种情况：（ 1） FRˊ = 0,MO≠ 0；
（ 2） FRˊ ≠ 0,MO= 0；（ 3） FRˊ ≠ 0,MO≠ 0；（ 4）
FRˊ =0,MO=0。对以上进一步分析有以下三种情形。
（ 1） 简化为一个力偶
当 FR= 0,MO≠ 0
则原力系合成为合力偶，其矩为
?
?
?
n
i
iOO MM
1
)( F
此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即
?
?
??
n
i
iOO MMM
1
)( F
12
静力学 第三章 平面任意力系
⑵ 简化为一个合力
当 FRˊ ≠ 0,MO = 0
则原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心 O，即
FR = FRˊ
当 FRˊ ≠ 0,MO≠ 0
则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即
FR = FRˊ
但合力作用线不通过简化中心 O，而到点 O的距离 d为
RF
M
d O?
13
静力学 第三章 平面任意力系
至于作用线在点 O 哪一侧，需根据主矢方向和主矩转
向确定。如下图所示
由此很容易证得平面任意力系的 合力矩定理, 平面任意力
系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点
的矩的代数和 。即
?? )()( R iOO MM FF
⑶ 平衡
当 FRˊ = 0,MO = 0
则原力系平衡。
14
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-1
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
在长方形平板的 O,A,B,C点上分别作用着有四个
力,F1=1 kN,F2=2 kN,F3=F4=3 kN（如图），试求以
上四个力构成的力系对 O点的简化结果，以及该力系的
最后合成结果。
15
求向 O点简化结果
??? xx FF R
?????? 30 c o s60 c o s 432 FFF
kN 598.0?
解,
建立如图坐标系 Oxy。
??? yy FF R
????? 30 s in60 s in 421 FFF
kN 768.0?
kN 7 9 4.0 2R2RR ?????? yx FFF
所以，主矢的大小
1.求主矢 。
RF?
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-1
16
2,求主矩 MO
? ??? FOO MM
mkN 5.030 s i n3260 c o s2 432 ??????? FFF
m 51.0
R
?
?
?
F
Md O
由于主矢和主矩都不为零，所以 最后合
成结果是一个合力 FR。如右图所示。
? ?,6 1 4.0c o s
R
R
R ??
?
??
F
F xi,F
? ?,789.0,c o s
R
R
R ??
?
??
F
F y
jF
? ? ??? 1.52R i,F
? ? ??? 9.37R j,F
主矢的方向,
合力 FR到 O点的距离
RR FF ??
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-1
FR O
A B
C
x
y
MO
RF?
17
水平梁 AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为 q,梁长 l。试求合力作用线的位置。
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-2
A B
q
x
l
qlxqF
l
? ???
0 2
1
d
q
l
xq ??
在梁上距 A端为 x的微段 dx
上, 作用力的大小为 q'dx,其
中 q'为该处的载荷集度, 由相
似三角形关系可知
因此分布载荷的合力大小
解,
x A B
q
x
dx
h
l
q?
F
18
x A B
q
x dx
h
l
q?
F
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-2
? ??
l
xxqFh
0
d
lh
3
2?
设合力 F 的作用线距 A端的
距离为 h，根据合力矩定理，有
将 q' 和 F 的值代入上式，得
19
重力坝受力情况如图所示 。 设 P1=450kN,P2=200kN,
F1=300 kN,F2=70 kN。 求力系的合力 FR的大小和方向余弦,
合力与基线 OA的交点到 O点的距离 x,以及合力作用线方程 。
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-3
将力系向 O点简化，得 主矢和主矩,如右图所示。
?7.16 a r c t a n ????
CB
ABA C B?
解,
A O
C
MO
xRF?
RF?yRF?
9m
3m
1.5m
3.9m
5.7
m
3m
x
y
A B
C
O
?
?90
F1 P
1
P2
F2
20
kN 1.670 s i n
kN 9.232 c o s
221R
21R
????????
?????
?
?
?
?
FPPFF
FFFF
yy
xx
主矢的投影
9m
3m
1.5m
3.9m
5.7
m
3m
x
y
A B
C
O
?
?90
F1 P
1
P2
F2
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-3
kN 4.709)()( 22RR ??????? yx FFFF
所以力系合力 FR的大小
A O
C
MO
xRF?
RF?yRF?
x
y
21
? ?
? ? 945.0,c o s
328.0,c o s
R
R
R
R
??
?
??
?
?
??
?
?
F
F
F
F
y
x
jF
iF
? ?
? ? ?
?
84.160,
84.70,
R
R
????
????
jF
iF
方向余弦
则有
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-3
因为力系对 O点的主矩为
? ?
mkN 355 29.35.13 211 ???????
? ?
PPF
MM OO F
A O
C
MO
xRF?
RF?yRF?
x
y
22
? ? 0R ?xOM F其中
? ? xFMM yyOO ??? RRF故
m5 1 4.3
R
??
y
O
F
Mx解得
? ? ? ? ? ?yOxOOO MMMM RRR FFF ???
所以由合力矩定理得
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-3
设合力作用线上任一点的坐标为（ x,y)，
将合力作用线过此点，则
? ? ?? ????? yxxyROO FyFxyFxFMM RRF
yx 9.2 3 21.6 7 0 3 5 5 2 ????
可得合力作用线方程
或
0 3 5 5 2 9.2 3 21.6 7 0 ??? yx
A
O
C
?84.70
FR FRy
FRx
x
y
x
23
静力学 第三章 平面任意力系
§ 3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1,平面任意力系平衡的平衡条件和平衡方程
对于 平面任意力系平衡的情形, 显然有
0,0R ??? OMF
于是，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢
和对于任一点的主矩都等于零。
它的解析式为
? ? 0,0,0 ??? ??? iOyixi FMFF
于是，平面任意力系平衡的解析条件是,所有各力在两个任
选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意
一点的矩的代数和也等于零 。上式称为平面任意力系的平衡
方程。有三个独立方程，可以求解三个未知数。
24
支架的横梁 AB与斜杆 DC彼此以铰链 C连接,
并各以铰链 A,D连接于铅直墙上 。 如图所示 。 已
知杆 AC=CB；杆 DC与水平线成 45o角；载荷 F=10
kN,作用于 B处 。 设梁和杆的重量忽略不计, 求铰
链 A的约束力和杆 DC所受的力 。
A B
D
C
F
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-4
25
取 AB 杆为研究对象，受力分析如图。
A B
D
C
F
F F
C
FAy
FAx
l l
?45A
B C
? ? 0245 c os,0
045 s i n,0
045 c os,0
?????
????
???
?
?
?
lFlFM
FFFF
FFF
CA
CAyy
CAxx
?
?
?
F
解,
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-4
解平衡方程可得
kN 36.2222R ??? AyAxA FFF
kN 1045 s i n
kN 20245 c o s
kN 28.28
45 c o s
2
???????
???????
??
FFFF
FFF
FF
CAy
CAx
C
?
?
?
若将力 FAx和 FAy合成，得
26
外伸梁的尺寸及载荷如图所示, F1=2 kN，
F2=1.5 kN,M =1.2 kN·m,l1=1.5 m,l2=2.5 m,试求
铰支座 A及支座 B的约束力 。
F1
A B
l2 l1
ll
?60
F2
M
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-5
27
取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程
k N,75.0?AxF k N,56.3?ByF kN 2 6 1.0??AyF
解方程。
解,
,0?? xF 060 c o s2 ?? ?FF Ax
,0)( ?? FM A 060 s in)( 212112 ????? ?llFlFMlF By
,0?? yF 060 s in21 ???? ?FFFF ByAy
F1
A B
l2 l1
ll
?60
F2
M
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-5
FAx
A B x
y
FAy
F1
FBy
F2
?60
M
28
如图所示为一悬臂梁, A为固定端, 设梁上受强度
为 q的均布载荷作用, 在自由端 B受一集中力 F和一力偶
M作用, 梁的跨度为 l,求固定端的约束力 。
A B l
q
F M
?45
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-6
29
由平衡方程
045 c o s,0 ???? ?FFF Axx
045 s in,0 ????? ?FqlFF Ayy
? ? 045 c o s
2
,0
2
?????? MFlqlMM AA ?F
7 0 7.045 c o s FFF Ax ?? ?
707.0 FqlF Ay ??
7 0 7.021 2 MFlqlM A ???
解方程得
取梁为研究对象，受力分析如图 解,
A B l
q
F M
?45
q
A B x
y
?45
M F
FAy
MA l
FAx
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-6
30
静力学 第三章 平面任意力系
2,平面任意力系平衡方程的其它形式
前面导出的是平面任意力系平衡方程的基本形式，
它是两个投影式和一个力矩式,共有三个独立的方程，可
以求出三个未知数。
应该指出，投影轴和矩心都可以任意选取的。两坐标
轴不一定是正交，只要不相平行即可（原因何在？请读者
自行考虑）。矩心不一定是坐标轴原点。为了求解方便，
应尽量使每个方程式中的未知数含量越少越好。一般投影
轴尽可能选取该力系中多数力（尤其是未知力）的作用线
平行或垂直，矩心选在未知力的交点上。
除此以外，有时还不能避免要解联立方程。因此
为了简化计算，还可选择适当的平衡方程形式，除了
式（ 3-7）所表示的基本形式外，还有其它两种形式。
31
静力学 第三章 平面任意力系
（ 1） 二力矩形式的平衡方程
,0)( ?? iAM F 0)( ?? iB FM,0? ?xF
即两个力矩式和一个投影式，但必须注意,x轴不得垂
直于 A,B的连线。
这是因为平面任意力系向已知点简化只可能有三种结果：合
力、合力偶或平衡。若力系已满足了,则表明
力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过 A点的一个合
力，或者是平衡。如果该力系又同时满足,
则该力系合成结果或者是作用线通过 A,B两点的一个合力，
或者是平衡。但当该力系又同时满足,而 x轴不
得垂直于 AB连线时，显然力系不可能有合力。这就表明，只
要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡
0)( ?? iAM F
0)( ?? iB FM
,0? ?xF
32
静力学 第三章 平面任意力系
(2) 三力矩形式的平衡方程
,0)( ?? iAM F,0)( ?? iB FM,0)( ?? iC FM
即三个力矩式。但必须注意,A,B,C三点不得共线。
其证明从略。无论是二矩式还是三矩式，都是一组独
立的平衡方程。
思考：平面任意力系的平衡方程能否用三个投影方程
而不用矩方程。
33
静力学 第三章 平面任意力系
3,平面平行力系的平衡方程
,0? ?yF,0)( ?? iOM F
只有两个独立平衡方程，只能求
解两个未知数。
上式是平面平行力系平衡方程
的 基本形式,它的 二矩式 是
,0)( ?? iAM F,0)( ?? iB FM
但 A,B两点的两线不得与力作用线平行。请自证。
若力系中所有力的作用线都在同一平面内且平行, 称
为平面平行力系, 它是平面任意力系的特殊情况,如图所
示 。 当取 x 轴与力系中各力垂直, 则 自然满
足 。 则平面平引力系平衡方程为,0? ?xF
34
P2
FA
P1
P3
P
FB
A B
3.0 m 2.5 m 1.8 m 2.0 m
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-7 一种车载式起重机，车重 P
1= 26 kN，起重机伸臂
重 P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重 P3 = 31
kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放
在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量 Pmax。
35
取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。
,0?? F 0321 ?????? PPPPFF BA
? ?? ?,0FBM
0)m 2m 8.1(m 5.2)m 3m 5.2(m 2 21 ???????? AFPPP
由 平衡方程。
解,
P
P2
FA
P1
P3
FB
A B
3.0 m 2.5 m 1.8 m 2.0 m
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-7
不翻倒的条件是,FA≥0,
故 最大起吊重量为 Pmax= 7.5 kN
? ?PPPF A 5.55.22
8.3
1
21 ???
联立求解
? ? kN 7, 52, 525.5 1 21 ??? PPP
所以由上式可得
36
静力学 第三章 平面任意力系
§ 3-3 物体系的平衡 ·静定和超静定问题
前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。对应
于每一种力系，其独立的平衡方程数目都是一定的，平
面任意力系有三个，平面汇定力系和平面平行力系各有
两个，平面力偶系只有一个。因此，对于每一种力系，
能求解的未知数的数目也是一定的。如果所考察的物体
的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，那些
未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为 静定问
题 。若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅
仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这
类问题称为 超静定 （或 静不定 ）问题。
37
静力学 第三章 平面任意力系
上图中，图（ a） （汇交力系），图（ c）（平行力系），
图（ e）（任意力系）均为静定问题。图（ b）（汇交力系），
图（ d）（平行力系），图（ f）（任意力系）均为超静定问题。
P
图（ a）
P
图（ b）
P
图（ c）
P
图（ d）
M
F
图（ e）
M
F
图（ f）
38
静力学 第三章 平面任意力系
图 （ a） 是静定的；图 （ b）
是一次超静定；图 （ c） 又是
静定的；图 （ d)是二 次超静定 。
图（ a）
图（ b） 图（ c）
在下面各图中，并没有给出结构的主动载荷的形式，试
问主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗？指出哪些是静
定，哪些是超静定，并给出超静定的次数。
图（ d）
39
静力学 第三章 平面任意力系
需要指出的是, 超静定问题并不是不能求解的问题, 而
只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题 。 如果考虑
到物体受力后的变形, 在平衡方程外, 加上足够的补充方
程也可求出全部未知约束力 。 这将在材料力学, 结构力学
等课程中加以研究 。
工程上很多结构都是超静定的 。 由于结构增加了多余约
束后, 使结构更大的刚度和坚定性, 更经济地利用材料,
使安全更可靠 。
40
静力学 第三章 平面任意力系
在工程中，无论在机械还是结构工程中，由几个物体
通过某种约束的联系组成的系统称为 物体系统 。简称 物系 。
研究物系的平衡问题，根据问题要求，可以取整体，也可
取其中某单个物体，或某几个物体作为分离体。因为整体
系统是平衡的，则每一个单个物体也是平衡的。对于由 n
个物体组成的系统，每个物体在平面任意力系作用下，整
个系统可以也只能列出 3n 个独立平衡方程，可以也只能求
解 3n 个求知数。为未此时未知数数目超过它的独立方程数，
系统就成为超静定结构了。超出数目个数就是超静定的次
数。当系统中的物体有受平面汇交力系或平行力系等作用
时，则其独立方程的总数目之相应地减少。
41
A B
C D E
P
F 3 m
P
1 m
6 m 6 m
6 m
三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链 C连接起来，
又用铰链 A,B与基础相连接。已知每段重 P = 40 kN，
重心分别在 D,E处，且桥面受一集中载荷 F =10 kN。
设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。
尺寸如图所示。
静力学 第三章 平面任意 力系
题例 3-8
42
A
C
取 AC段为研究对象。受力分析如图。 解,
D F
Cx
P
FAx
FAy
FCy
A B
C D E
P
F 3 m
P
1 m
6 m 6 m
6 m
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-8
,0?? xF
,0?? yF
? ?? ?,0FCM 0m 5m 6m 6 ?????? PFF AyAx
由 平衡方程。 0??
CxAx FF
0??? PFF CyAy
43
再取 BC段为研究对象，受力分析如图。
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-8
P
F’Cx
FBx F
By
C E
B
P F’Cy F
联立求解 。
FAx= -FBx = FCx = 9.2 kN
FAy= 42.5 kN,FBy= 47.5 kN, FCy= 2.5 kN
,0?? xF 0??? BxCx FF
,0?? yF 0????? GFFF ByCy
0m 6m 6m 5m 3 ????????? BxBy FFGF
由 平衡方程。
? ?? ?,0FCM
44
l/8
q
B A D
M F
C H E
l/4 l/8 l/4 l/4
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-9 组合梁 AC和 CE用铰链 C相连,A端为固定端，
E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知,l
=8 m,F=5 kN，均布载荷集度 q=2.5 kN/m，力偶
矩的大小 M= 5 kN?m，试求固端 A，铰链 C和支座
E的约束力。
45
C E
1.取 CE段为研究对象。受力分析如图。 解,
,0?? yF
0
4
???? EC FlqF
? ?? ?,0FM C
0284 ??????? lFMllq E
联立求解。
FE=2.5 kN,FC=2.5 kN
l/8
q
B A D
M F
C H E
l/4 l/8 l/4 l/4
F1 M
3l/8
H
l/8 FC FE
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-9
由 平衡方程
46
由 列平衡方程。
联立解之。
FA= 15 kN,MA= － 2.5 kN
MA
F2
l/4
I A
F
C H
l/8 l/8 FA CF
?
再 取 AC段为研究对象，受力分析如图。
028348 ????????? lFllqlFM CA
? ?? ?,0FAM
0
4
?????? lqFFF CA
,0?? yF
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-8
47
A,B,C,D处均为光滑铰链，物块重为 P，通过绳
子绕过滑轮水平地连接于杆 AB的 E点，各构件自重不计，
试求 B处的约束力。
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-9
P
48
025 ???? AxFrPr? ?? ?,0FCM
FAy
FAx
FCx
FCy
P
FBx
FAy
FAx
FBy
FE
解, 取整体为研究对象。受力分析如图，由平衡方程。
再 取杆 AB为研究对象，受力分析如图。
022 ????? EByBx rFFrFr
? ?? ?,0FAM
0??? EBxAx FFF,0?? xF
由平衡方程
,5.1 PF Bx ?? PF By 2??
联立求解可得
PF Ax 5.2?解得
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-9
49
(1)保证起重机在满载和空载
时都不翻倒, 求平衡荷重 P3应为
多少?
(2)当平衡荷重 P3=180 kN时,
求满载时轨道 A,B给起重机轮子
的约束力？
A B
2 m 2 m
6 m 12 m
AF BF
P1
P2
P3
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-10 塔式起重机如图所示。机架重 P
1=700 kN，作用
线通过塔架的中心。最大起重量 P2=200 kN，最大悬
臂长为 12 m，轨道 AB的间距为 4 m。平衡荷重 P3到
机身中心线距离为 6 m。试问,
50
(1) 满载时不绕 B点翻倒，临界情况下 FA=0,可得
空载时,P2 = 0，不绕 A点翻
倒，临界情况下 FB = 0，可得
? ?
? ? ? ?
kN 75
0m 2m 12m 2m 2m 6
0
m i n3
21m i n3
?
??????
??
P
PPP
M
B
F
? ?
? ?
kN 3 50
0m 2m 2m 6
0
m a x3
1m a x3
?
????
??
P
PP
M A F
取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。
则有 75 kN＜ P3＜ 350 kN
解,
A B
2 m 2 m
6 m 12 m
AF BF
P1
P2
P3
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-10
51
(2),取 P3=180 kN，求满载时轨道 A, B给
起重机轮子的约束力。
? ?
0
0
0m 414m 2m4
0
213
213
??????
?
????????
?
?
?
BA
y
B
A
FFPPP
F
FPPP
M F
kN 210
kN 870
?
?
A
B
F
F
列平衡方程
解方程得
A B
2 m 2 m
6 m 12 m
AF BF
P1
P2
P3
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-10
52
齿轮传动机构如图所示 。 齿
轮 Ⅰ 的半径为 r,自重 P1。 齿轮 Ⅱ
的半径为 R=2r,其上固定一半径
为 r的塔轮 Ⅲ, 轮 Ⅱ 与 Ⅲ 共重为
P2 = 2P1。 齿轮压力角为 ? =20°
被提升的物体 C重为 P = 20P1。
求, （ 1） 保持物 C匀速上升时,
作用于轮上力偶的矩 M；
（ 2） 光滑轴承 A,B的约束力 。
A B
r r
R M
C
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
P
P1 P2
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-11
53
(1),取 Ⅱ, Ⅲ 轮及重物为研究对象，
受力分析如图所示。
?20,t a n r ?? ??
F
F
解方程得
121r
1r1
32,64.3
64.3 t a n,10
PFPPFPFF
PFFP
R
Pr
F
ByBx
??????
???? ?
? ? 0,0
0,0
0,0
2
r
???
?????
???
?
?
?
FRrPFM
PFPFF
FFF
B
Byy
Bxx列平衡方程
解,
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-11
C
B K
P
FBx
FBy
rF
F ?
Fn
P2
A B r r
R M
C
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
P
P1 P2
54
rPrFM
PFPF
PFF
Ay
Ax
1
11
1r
10
9
64.3
???
?????
?????
? ? 0,0
0,0
0,0
1
r
????
??????
????
?
?
?
rFMFM
PFPFF
FFF
A
Ayy
Axx
2,再取 Ⅰ 轮为研究对象，受力
分析如图所示。
解方程得
由平衡方程
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-11
A K
M F?
rF?
P1
FAx
FAy
A B r r
R M
C
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
P
P1 P2
55
如图所示, 已知重力 P，
DC=CE=AC=CB=2l ；定滑轮
半径为 R,动滑轮半径为 r,且
R=2r=l,θ=45° 。 试求,A,E
支座的约束力及 BD杆所受的力 。
D
Ⅱ
K
C
A
B
E
?
Ⅰ
P
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-12
56
D
Ⅱ
K
C
A
B
E
?
Ⅰ
1,选取 整体 研究对象，受力分析如
图所示。由平衡方程
解平衡方程
8
13
45 s in
8
25
P
FPF
PF
AEy
A
???
?
?
?
? ?
045s i n,0
045 c os,0
0
2
5
22,0
????
???
??????
?
?
?
PFFF
FFF
lPlFFM
EyAy
ExAx
AE
?
?
FA
P
FEx
FEy
解,
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-12
57
2,选取 DEC研究对象，受力
分析如图所示。列平衡方程
? ?
02245 c o s
,0
??????
??
lFlFlF
FM
EyKDB
C
?
8
23
8
5
2
P
F
P
F
P
F
DB
Ex
K
?
?
?
E
C
K
D
解平衡方程
FK
FEy FEx
DBF
CyFCxF
D
Ⅱ
K
C
A
B
E
?
Ⅰ
P
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-12
58
刚架结构如图所示, 其
中 A,B和 C都是铰链 。 结构
的尺寸和载荷如图所示 。 试
求 A,B,C三铰链处的约束
力 。
P
q
A B
C
b
a a/2 a/2 M
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-13
59
A B
C
x
y
qb
P M
FAx F
Ay
FBx F
By
1,取整体为研究对象，受力如图所示。由平
衡方程
),2121(21 2qbPaMaF Ay ??? )
2
1
2
3(
2
1 2qbMPa
aFPF AyBy ?????
解方程得
解,
,0)( ?? FM B
0222 ??????? bqbaFaPM Ay
,0?? yF 0??? PFF ByAy
,0?? xF 0??? qbFF BxAx
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-13
60
2,再取 AC为研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程
A
C
x
y
qb
FAx
FAy
FCy
FCx )2321(21 2qbPaMbF Ax ???
)2121(21 2qbPaMbF Cx ????
)2121(21 2 PaMqbaF Cy ???
)2121(21 2qbPaMbF Bx ????
解方程得
,0)( ?? FM C 0
2
?????? aFbqbbF AyAx
,0?? xF 0??? qbFF CxAx
,0?? yF 0??
CyAy FF
P
q
A B
C
b
a a/2 a/2 M
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-13
61
重为 P = 980 N的重物悬挂
在滑轮支架系统上, 如图所示 。
设滑轮的中心 B与支架 ABC相连
接, AB为直杆, BC为曲杆, B
为销钉 。 若不计滑轮与支架的
自重, 求销钉 B作用在与它相连
接的每一构件上的约束力 。
A B
C
D E
F
I
H
0.6 m
0.8 m
?45
P
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-14
62
取滑轮 B为研究对象，受力分析如图。由平
衡方程
,0?? xF 045 c o s2 ?? ?PF Bx
,0?? yF 0245 s in2 ??? PPF By ?
解得
N 3 4 745 c o s2 ?? ?PF Bx
N 847245 s in2 ??? PPF By ?
解,
B
2
P
H F
2
P
FBx
FBy
?45
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-14
P
A B
C
D E
F
I
H
0.6m
0.8m
?45
63
P
A B
C
D E
F
I
H
0.6m
0.8m
?45
再取销钉 B为研究对象，受力分析如图所示。
0
5
4
2
?????? CBBy FPF,0?? yF
,0?? xF 0
5
3 ??????
CBABBx FFF
由平衡方程
N 340 1?ABF
N 660 1?CBF
解得
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-14
B
2
P
BAF?
BCF?
ByF?
BxF?
64
静力学 第三章 平面任意力系
§ 3-4 平面简单桁架的内力计算
工程中, 屋架, 桥架, 电视塔, 起重机, 输电线塔等结构物
常用桁架结构 。
65
静力学 第三章 平面任意力系
66
静力学 第三章 平面任意力系
67
静力学 第三章 平面任意力系
68
静力学 第三章 平面任意力系
桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接几何形状不
变的结构 。桁架中杆件铰链接头称为 节点 。所有杆件的轴
线都在同一平面内的桁架称为 平面桁架 。
桁架的优点是：每根杆件只承受拉力或压力，可以
充分发挥材料的作用，节省材料，减轻结构的自重。
为简化桁架的计算，工程实际中采用以下 几个假设,
（ 1） 桁架中各杆件部是直杆；
（ 2） 杆件用光滑铰链连接或可以简化的铰链连接；
（ 3） 所受外力都作用在桁架平面内, 而且都作用在节点上；
（ 4）杆件自重不计，或平均分配在杆件两端的节点上。
据此假设，桁架中每根杆件都可以视为二力杆
69
静力学 第三章 平面任意力系
本节只研究平面静定桁架，如图所示。以基本三角形
ABC为基础，每增加一个节点，需要增加两根杆件，依次
类推可得桁架称为 平面简单桁架 。如果两支承点是简支的，
很容易证明此桁架是 静定的 。
节点 杆件
70
静力学 第三章 平面任意力系
桁架的计算就是二力杆内力的计算。如果桁架是平衡
的，则假想地截取桁架的一部分为分离体也是平衡的。若
分离体只包含一个节点，称为节点法，为平面汇交力的系
的平衡；若分离体包含两个以上的节点，称为截面法，为
平面任意力系的平衡。
应注意：（ 1）首先判断桁架是否静定；（ 2）除了悬臂桁架
外一般要先求支座反力；（ 3）所有杆件的内力先设为拉力，
计算结果为负，说明该杆为压力；（ 4）用节点法时，节点
上的未知力一般不能多于两个，用截面法时，节点上的总未
知力一般不能多于三个，否则不能全部解出。（ 5）若只要
求桁架中某几个杆件的内力时，可以适当地选取一截面截取
某一部分为分离体，选择适当的力矩方程，可较快地求得某
些杆的内力。
71
解,节点法
先取整体为研究对象,受力
如图所示。由平衡方程
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-15 如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力
FC=4 kN，水平力 FE=2 kN。
a a a a
FC
A
C D
B
E F FE
0?? EAx FF，0?? xF
0??? CAyB FFF,0??
yF
03 ??????? aFaFaF BEC? ?? ?,0FAM
联立求解得
FAx= － 2 kN
FAy= 2 kN
FB = 2 kN
a a a a
FC
A B
D C
E F FE F
Ay FB
FAx
72
取节点 A，受力分析如图。由平衡方程
解得,kN 22??
AFF kN 4?ACF
FAx
FAy
A
FAC
FAF
FFE
FFA
FFC
F
解得,kN 2??
FEF kN 2?FCF
045 c o s ???? AFACAx FFF，0?? xF
045 c o s ??? AFAy FF,0?? yF
,0?? xF 045 c o s ??? FAFE FF
,0?? yF 045 c o s ???? FAFC FF
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-15
取节点 F，受力分析如图。由平衡方程
FCF
FCA
FC
C
FCD
FCE
045 c o s ????? CECDCA FFF,0?? xF
045 c o s ????? CECFC FFF,0?? yF
取节点 C，受力分析如图。由平衡方程
73
解得,k N 22?
CEF kN 2?CDF
FDE
FDC
D
FDB
0?? DCDB FF,0?? xF
0?DEF,0?? yF
解得,k N 3?
DBF 0?DEF
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-15
取节点 D，受力分析如图。由平衡方程
FB
B
FBD
FBE
kN 22??BDF
kN 22??BEF
解得
045 c o s ???? BEBD FF,0?? xF
,0?? yF 045 c o s ??? BEB FF
取节点 B，受力分析如图。由平衡方程
74
截面法 解,
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-16
a a a a
FC
A
C D
B
E F FE
a a a a
FC
A B
D C
E F FE F
Ay FB
FAx
先取整体为研究对象,受力
如图所示。由平衡方程
0?? EAx FF，0?? xF
0??? CAyB FFF,0??
yF
03 ??????? aFaFaF BEC? ?? ?,0FAM
联立求解得
FAx= － 2 kN
FAy= 2 kN
FB = 2 kN
如图平面桁架，求 FE,CE,CD杆内力。已
知铅垂力 FC = 4 kN,水平力 FE = 2 kN。
75
由平衡方程
作一截面 m-m将三杆截
断，取左部分为分离体，受
力分析如图。
联立求解得
k N,22??CEF k N,2?CDF kN 2??FEF
045 c o s ????? CEFEAxCD FFFF
045 c o s ???? CECAy FFF
0????? aFaF AyFE
,0?? xF
,0?? yF
? ?? ?,0FCM
FFE
FCD
a
FC
A
C
F
FAy
FAx D
E
FCE
m
a a a a
FC
A B D C
E F FE
FAy FB
FAx
m
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-16
76
静力学 第三章 平面任意力系
值得注意的是有些杆，不需进行计算就可确定它的内
力，应尽可能先把它找出来，特别是所谓 零杆,即不受力
的杆，当然这仅是理论上的。当桁架稍有变形或受力稍有
变动，此杆内力就不为零，不过受力很小而已。判别零杆
的方法有以下几种，如图所示。图（ a）中节点上不受力，
杆 1,2均为零杆。图（ b）中节点上不受力，杆 3为零杆。
图（ c）中，在节点上沿杆 1方向作用力 F，则杆 2为零杆。
1
2
(a)
1 2
3
(b)
F
1
2
(c)
F2= 0 F3= 0 F1= F2= 0
77
悬臂式桁架如图所示 。 a=2 m,b=1.5 m，试求
杆件 GH,HJ,HK的内力 。
a a a a
b
b
F
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-17
解,先 用截面 m-m 将杆
HK,HJ, GI, FI 截断，
取右半桁架为研究对象，
受力分析如图。
A
B
C
D
F
G
H
I
m
m
F
FHK
FGI
FHJ
FFI
m
m
由平衡方程
,0)( ?? FIM
023 ????? bFaF HK
解得 FF
HK 2?
78
用截面 n-n 将杆 EH,EG, DF, CF截断。
由平衡方程
,0)( ?? FFM
022 ????? bFaF EH
解得
FF EH 34?
A
B
C
D
E
F
n
n F
FEH
FDF FEG
FCF
n
n
取右半桁架为研究对象，受
力分析如图。
a a a a
b
b
F
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-17
79
最后 取节点 H为研究对象，受力分析如图。
由平衡方程
,0?? xF
0
22
??
?
?? HKGHEH F
ba
aFF
,0?? yF
0
22
??
?
?? HJGH F
ba
bF
H
FHK
FHJ
FEH
FGH
解得
Fa baFFF EHHKGH 65)(
22
?????
222
F
ba
bFF
GHHJ ??????
a a a a
b
b
F
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-17
80
静力学 第三章 平面任意力系
2
静力学 第三章 平面任意力系
第三章 平面任意力系
若所有力的作用线都在同一平面内，
且它们既不相交于一点，又不平行，此
力系称为 平面任意力系,简称 平面力系 。
本章将研究该力系的简化与平衡问题，
这是静力学的重点之一。本章还介绍平
面简单桁架的内力计算。
3
静力学 第三章 平面任意力系
§ 3-1 平面任意力系向作用面内一点简化
要研究一个力系的平衡, 首先要研究它的简化 。
力系简化的理论基础是力线平移定理 。
1．力线平移定理
作用在刚体上点 A的力 F 可以平行移动（简称
平移）到任一点 O上，但必须同时附加一个力偶，
此附加力偶的矩等于原来力 F 对新作用点 B的矩。
4
静力学 第三章 平面任意力系
请看动画
5
静力学 第三章 平面任意力系
6
静力学 第三章 平面任意力系
2,平面任意力系向作用面内一点简化 ? 主矢与主矩
设刚体上有一平面任意力系 F1,F2,…, Fn，如图（ a）。应
用力线平移定理，得一作用在点 O的汇交力系 F1′, F2′, …,
Fn′ 以及相应的附加平面力偶系 M1,M2,…, Mn,如图 （ b）。 再
将平面汇交力系进一步合成过点 O的一个力 FRˊ, 如图 （ c）,即
??
??
????
n
i
i
n
i
i
11
R FFF
(a) (b) (c)
7
静力学 第三章 平面任意力系
平面力偶系进一步合成为对点 O的一个力偶 MO，即
??
??
??
n
i
iO
n
i
iO MMM
11
)( F
FRˊ 是平面汇交力系的合力，它的大小和方向称为原力系的
主矢 。 MO为平面力偶系的合力偶，但它是原力系的 主矩 。 主
矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关，故必须指
明力系是对于哪一点的主矩。
结论：平面任意力系向作用面内任一点 O简化。
可得一个作用线通过简化中心的与主矢相等的力和
一个相对于简化中心的主矩。该主矩等于原力系对
简化中心的矩。它们的解析表达式为
8
静力学 第三章 平面任意力系
?? ??????? jiFFF yxyx FFRRR
大小
? ???? 22R )()( yx FFF
方向余弦
R
R
R
R ),c o s (,),c o s (
F
F
F
F yx
?
??
?
?? ?? jFiF
主矩
??
??
???
n
i
xiiyii
n
i
iOO FyFxMM
11
)()( F
9
静力学 第三章 平面任意力系
3．固定端约束及其约束力
在工程实际中，有一种约束称为固定端（或插入端）
支座，如电线杆的支座，阳台的支座等约束，使被约束物
体既不能移动也不能转动。其力学模型如下图所示。
10
静力学 第三章 平面任意力系
约束给约束物体的约束力实际上是一个分布力, 在平面
问题中, 它是一个平面任意力系, 如图 （ a） 所示 。
无论它们是如何分布，根据
力系简化理论，可将它们向
A点简化得一力 FA及一力 MA，
如图（ b）所示，也可表示
成两个分力 FAx,Fay的 形式，
如图（ c），共有三个未知
数。
11
静力学 第三章 平面任意力系
4.平面任意力系的简化结果 分析
简化结果 可 有四种情况：（ 1） FRˊ = 0,MO≠ 0；
（ 2） FRˊ ≠ 0,MO= 0；（ 3） FRˊ ≠ 0,MO≠ 0；（ 4）
FRˊ =0,MO=0。对以上进一步分析有以下三种情形。
（ 1） 简化为一个力偶
当 FR= 0,MO≠ 0
则原力系合成为合力偶，其矩为
?
?
?
n
i
iOO MM
1
)( F
此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即
?
?
??
n
i
iOO MMM
1
)( F
12
静力学 第三章 平面任意力系
⑵ 简化为一个合力
当 FRˊ ≠ 0,MO = 0
则原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心 O，即
FR = FRˊ
当 FRˊ ≠ 0,MO≠ 0
则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即
FR = FRˊ
但合力作用线不通过简化中心 O，而到点 O的距离 d为
RF
M
d O?
13
静力学 第三章 平面任意力系
至于作用线在点 O 哪一侧，需根据主矢方向和主矩转
向确定。如下图所示
由此很容易证得平面任意力系的 合力矩定理, 平面任意力
系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点
的矩的代数和 。即
?? )()( R iOO MM FF
⑶ 平衡
当 FRˊ = 0,MO = 0
则原力系平衡。
14
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-1
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
在长方形平板的 O,A,B,C点上分别作用着有四个
力,F1=1 kN,F2=2 kN,F3=F4=3 kN（如图），试求以
上四个力构成的力系对 O点的简化结果，以及该力系的
最后合成结果。
15
求向 O点简化结果
??? xx FF R
?????? 30 c o s60 c o s 432 FFF
kN 598.0?
解,
建立如图坐标系 Oxy。
??? yy FF R
????? 30 s in60 s in 421 FFF
kN 768.0?
kN 7 9 4.0 2R2RR ?????? yx FFF
所以，主矢的大小
1.求主矢 。
RF?
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-1
16
2,求主矩 MO
? ??? FOO MM
mkN 5.030 s i n3260 c o s2 432 ??????? FFF
m 51.0
R
?
?
?
F
Md O
由于主矢和主矩都不为零，所以 最后合
成结果是一个合力 FR。如右图所示。
? ?,6 1 4.0c o s
R
R
R ??
?
??
F
F xi,F
? ?,789.0,c o s
R
R
R ??
?
??
F
F y
jF
? ? ??? 1.52R i,F
? ? ??? 9.37R j,F
主矢的方向,
合力 FR到 O点的距离
RR FF ??
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-1
FR O
A B
C
x
y
MO
RF?
17
水平梁 AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为 q,梁长 l。试求合力作用线的位置。
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-2
A B
q
x
l
qlxqF
l
? ???
0 2
1
d
q
l
xq ??
在梁上距 A端为 x的微段 dx
上, 作用力的大小为 q'dx,其
中 q'为该处的载荷集度, 由相
似三角形关系可知
因此分布载荷的合力大小
解,
x A B
q
x
dx
h
l
q?
F
18
x A B
q
x dx
h
l
q?
F
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-2
? ??
l
xxqFh
0
d
lh
3
2?
设合力 F 的作用线距 A端的
距离为 h，根据合力矩定理，有
将 q' 和 F 的值代入上式，得
19
重力坝受力情况如图所示 。 设 P1=450kN,P2=200kN,
F1=300 kN,F2=70 kN。 求力系的合力 FR的大小和方向余弦,
合力与基线 OA的交点到 O点的距离 x,以及合力作用线方程 。
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-3
将力系向 O点简化，得 主矢和主矩,如右图所示。
?7.16 a r c t a n ????
CB
ABA C B?
解,
A O
C
MO
xRF?
RF?yRF?
9m
3m
1.5m
3.9m
5.7
m
3m
x
y
A B
C
O
?
?90
F1 P
1
P2
F2
20
kN 1.670 s i n
kN 9.232 c o s
221R
21R
????????
?????
?
?
?
?
FPPFF
FFFF
yy
xx
主矢的投影
9m
3m
1.5m
3.9m
5.7
m
3m
x
y
A B
C
O
?
?90
F1 P
1
P2
F2
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-3
kN 4.709)()( 22RR ??????? yx FFFF
所以力系合力 FR的大小
A O
C
MO
xRF?
RF?yRF?
x
y
21
? ?
? ? 945.0,c o s
328.0,c o s
R
R
R
R
??
?
??
?
?
??
?
?
F
F
F
F
y
x
jF
iF
? ?
? ? ?
?
84.160,
84.70,
R
R
????
????
jF
iF
方向余弦
则有
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-3
因为力系对 O点的主矩为
? ?
mkN 355 29.35.13 211 ???????
? ?
PPF
MM OO F
A O
C
MO
xRF?
RF?yRF?
x
y
22
? ? 0R ?xOM F其中
? ? xFMM yyOO ??? RRF故
m5 1 4.3
R
??
y
O
F
Mx解得
? ? ? ? ? ?yOxOOO MMMM RRR FFF ???
所以由合力矩定理得
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-3
设合力作用线上任一点的坐标为（ x,y)，
将合力作用线过此点，则
? ? ?? ????? yxxyROO FyFxyFxFMM RRF
yx 9.2 3 21.6 7 0 3 5 5 2 ????
可得合力作用线方程
或
0 3 5 5 2 9.2 3 21.6 7 0 ??? yx
A
O
C
?84.70
FR FRy
FRx
x
y
x
23
静力学 第三章 平面任意力系
§ 3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
1,平面任意力系平衡的平衡条件和平衡方程
对于 平面任意力系平衡的情形, 显然有
0,0R ??? OMF
于是，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢
和对于任一点的主矩都等于零。
它的解析式为
? ? 0,0,0 ??? ??? iOyixi FMFF
于是，平面任意力系平衡的解析条件是,所有各力在两个任
选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任意
一点的矩的代数和也等于零 。上式称为平面任意力系的平衡
方程。有三个独立方程，可以求解三个未知数。
24
支架的横梁 AB与斜杆 DC彼此以铰链 C连接,
并各以铰链 A,D连接于铅直墙上 。 如图所示 。 已
知杆 AC=CB；杆 DC与水平线成 45o角；载荷 F=10
kN,作用于 B处 。 设梁和杆的重量忽略不计, 求铰
链 A的约束力和杆 DC所受的力 。
A B
D
C
F
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-4
25
取 AB 杆为研究对象，受力分析如图。
A B
D
C
F
F F
C
FAy
FAx
l l
?45A
B C
? ? 0245 c os,0
045 s i n,0
045 c os,0
?????
????
???
?
?
?
lFlFM
FFFF
FFF
CA
CAyy
CAxx
?
?
?
F
解,
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-4
解平衡方程可得
kN 36.2222R ??? AyAxA FFF
kN 1045 s i n
kN 20245 c o s
kN 28.28
45 c o s
2
???????
???????
??
FFFF
FFF
FF
CAy
CAx
C
?
?
?
若将力 FAx和 FAy合成，得
26
外伸梁的尺寸及载荷如图所示, F1=2 kN，
F2=1.5 kN,M =1.2 kN·m,l1=1.5 m,l2=2.5 m,试求
铰支座 A及支座 B的约束力 。
F1
A B
l2 l1
ll
?60
F2
M
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-5
27
取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程
k N,75.0?AxF k N,56.3?ByF kN 2 6 1.0??AyF
解方程。
解,
,0?? xF 060 c o s2 ?? ?FF Ax
,0)( ?? FM A 060 s in)( 212112 ????? ?llFlFMlF By
,0?? yF 060 s in21 ???? ?FFFF ByAy
F1
A B
l2 l1
ll
?60
F2
M
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-5
FAx
A B x
y
FAy
F1
FBy
F2
?60
M
28
如图所示为一悬臂梁, A为固定端, 设梁上受强度
为 q的均布载荷作用, 在自由端 B受一集中力 F和一力偶
M作用, 梁的跨度为 l,求固定端的约束力 。
A B l
q
F M
?45
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-6
29
由平衡方程
045 c o s,0 ???? ?FFF Axx
045 s in,0 ????? ?FqlFF Ayy
? ? 045 c o s
2
,0
2
?????? MFlqlMM AA ?F
7 0 7.045 c o s FFF Ax ?? ?
707.0 FqlF Ay ??
7 0 7.021 2 MFlqlM A ???
解方程得
取梁为研究对象，受力分析如图 解,
A B l
q
F M
?45
q
A B x
y
?45
M F
FAy
MA l
FAx
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-6
30
静力学 第三章 平面任意力系
2,平面任意力系平衡方程的其它形式
前面导出的是平面任意力系平衡方程的基本形式，
它是两个投影式和一个力矩式,共有三个独立的方程，可
以求出三个未知数。
应该指出，投影轴和矩心都可以任意选取的。两坐标
轴不一定是正交，只要不相平行即可（原因何在？请读者
自行考虑）。矩心不一定是坐标轴原点。为了求解方便，
应尽量使每个方程式中的未知数含量越少越好。一般投影
轴尽可能选取该力系中多数力（尤其是未知力）的作用线
平行或垂直，矩心选在未知力的交点上。
除此以外，有时还不能避免要解联立方程。因此
为了简化计算，还可选择适当的平衡方程形式，除了
式（ 3-7）所表示的基本形式外，还有其它两种形式。
31
静力学 第三章 平面任意力系
（ 1） 二力矩形式的平衡方程
,0)( ?? iAM F 0)( ?? iB FM,0? ?xF
即两个力矩式和一个投影式，但必须注意,x轴不得垂
直于 A,B的连线。
这是因为平面任意力系向已知点简化只可能有三种结果：合
力、合力偶或平衡。若力系已满足了,则表明
力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过 A点的一个合
力，或者是平衡。如果该力系又同时满足,
则该力系合成结果或者是作用线通过 A,B两点的一个合力，
或者是平衡。但当该力系又同时满足,而 x轴不
得垂直于 AB连线时，显然力系不可能有合力。这就表明，只
要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡
0)( ?? iAM F
0)( ?? iB FM
,0? ?xF
32
静力学 第三章 平面任意力系
(2) 三力矩形式的平衡方程
,0)( ?? iAM F,0)( ?? iB FM,0)( ?? iC FM
即三个力矩式。但必须注意,A,B,C三点不得共线。
其证明从略。无论是二矩式还是三矩式，都是一组独
立的平衡方程。
思考：平面任意力系的平衡方程能否用三个投影方程
而不用矩方程。
33
静力学 第三章 平面任意力系
3,平面平行力系的平衡方程
,0? ?yF,0)( ?? iOM F
只有两个独立平衡方程，只能求
解两个未知数。
上式是平面平行力系平衡方程
的 基本形式,它的 二矩式 是
,0)( ?? iAM F,0)( ?? iB FM
但 A,B两点的两线不得与力作用线平行。请自证。
若力系中所有力的作用线都在同一平面内且平行, 称
为平面平行力系, 它是平面任意力系的特殊情况,如图所
示 。 当取 x 轴与力系中各力垂直, 则 自然满
足 。 则平面平引力系平衡方程为,0? ?xF
34
P2
FA
P1
P3
P
FB
A B
3.0 m 2.5 m 1.8 m 2.0 m
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-7 一种车载式起重机，车重 P
1= 26 kN，起重机伸臂
重 P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重 P3 = 31
kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放
在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量 Pmax。
35
取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。
,0?? F 0321 ?????? PPPPFF BA
? ?? ?,0FBM
0)m 2m 8.1(m 5.2)m 3m 5.2(m 2 21 ???????? AFPPP
由 平衡方程。
解,
P
P2
FA
P1
P3
FB
A B
3.0 m 2.5 m 1.8 m 2.0 m
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-7
不翻倒的条件是,FA≥0,
故 最大起吊重量为 Pmax= 7.5 kN
? ?PPPF A 5.55.22
8.3
1
21 ???
联立求解
? ? kN 7, 52, 525.5 1 21 ??? PPP
所以由上式可得
36
静力学 第三章 平面任意力系
§ 3-3 物体系的平衡 ·静定和超静定问题
前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。对应
于每一种力系，其独立的平衡方程数目都是一定的，平
面任意力系有三个，平面汇定力系和平面平行力系各有
两个，平面力偶系只有一个。因此，对于每一种力系，
能求解的未知数的数目也是一定的。如果所考察的物体
的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，那些
未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为 静定问
题 。若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅
仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这
类问题称为 超静定 （或 静不定 ）问题。
37
静力学 第三章 平面任意力系
上图中，图（ a） （汇交力系），图（ c）（平行力系），
图（ e）（任意力系）均为静定问题。图（ b）（汇交力系），
图（ d）（平行力系），图（ f）（任意力系）均为超静定问题。
P
图（ a）
P
图（ b）
P
图（ c）
P
图（ d）
M
F
图（ e）
M
F
图（ f）
38
静力学 第三章 平面任意力系
图 （ a） 是静定的；图 （ b）
是一次超静定；图 （ c） 又是
静定的；图 （ d)是二 次超静定 。
图（ a）
图（ b） 图（ c）
在下面各图中，并没有给出结构的主动载荷的形式，试
问主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗？指出哪些是静
定，哪些是超静定，并给出超静定的次数。
图（ d）
39
静力学 第三章 平面任意力系
需要指出的是, 超静定问题并不是不能求解的问题, 而
只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题 。 如果考虑
到物体受力后的变形, 在平衡方程外, 加上足够的补充方
程也可求出全部未知约束力 。 这将在材料力学, 结构力学
等课程中加以研究 。
工程上很多结构都是超静定的 。 由于结构增加了多余约
束后, 使结构更大的刚度和坚定性, 更经济地利用材料,
使安全更可靠 。
40
静力学 第三章 平面任意力系
在工程中，无论在机械还是结构工程中，由几个物体
通过某种约束的联系组成的系统称为 物体系统 。简称 物系 。
研究物系的平衡问题，根据问题要求，可以取整体，也可
取其中某单个物体，或某几个物体作为分离体。因为整体
系统是平衡的，则每一个单个物体也是平衡的。对于由 n
个物体组成的系统，每个物体在平面任意力系作用下，整
个系统可以也只能列出 3n 个独立平衡方程，可以也只能求
解 3n 个求知数。为未此时未知数数目超过它的独立方程数，
系统就成为超静定结构了。超出数目个数就是超静定的次
数。当系统中的物体有受平面汇交力系或平行力系等作用
时，则其独立方程的总数目之相应地减少。
41
A B
C D E
P
F 3 m
P
1 m
6 m 6 m
6 m
三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链 C连接起来，
又用铰链 A,B与基础相连接。已知每段重 P = 40 kN，
重心分别在 D,E处，且桥面受一集中载荷 F =10 kN。
设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。
尺寸如图所示。
静力学 第三章 平面任意 力系
题例 3-8
42
A
C
取 AC段为研究对象。受力分析如图。 解,
D F
Cx
P
FAx
FAy
FCy
A B
C D E
P
F 3 m
P
1 m
6 m 6 m
6 m
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-8
,0?? xF
,0?? yF
? ?? ?,0FCM 0m 5m 6m 6 ?????? PFF AyAx
由 平衡方程。 0??
CxAx FF
0??? PFF CyAy
43
再取 BC段为研究对象，受力分析如图。
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-8
P
F’Cx
FBx F
By
C E
B
P F’Cy F
联立求解 。
FAx= -FBx = FCx = 9.2 kN
FAy= 42.5 kN,FBy= 47.5 kN, FCy= 2.5 kN
,0?? xF 0??? BxCx FF
,0?? yF 0????? GFFF ByCy
0m 6m 6m 5m 3 ????????? BxBy FFGF
由 平衡方程。
? ?? ?,0FCM
44
l/8
q
B A D
M F
C H E
l/4 l/8 l/4 l/4
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-9 组合梁 AC和 CE用铰链 C相连,A端为固定端，
E端为活动铰链支座。受力如图所示。已知,l
=8 m,F=5 kN，均布载荷集度 q=2.5 kN/m，力偶
矩的大小 M= 5 kN?m，试求固端 A，铰链 C和支座
E的约束力。
45
C E
1.取 CE段为研究对象。受力分析如图。 解,
,0?? yF
0
4
???? EC FlqF
? ?? ?,0FM C
0284 ??????? lFMllq E
联立求解。
FE=2.5 kN,FC=2.5 kN
l/8
q
B A D
M F
C H E
l/4 l/8 l/4 l/4
F1 M
3l/8
H
l/8 FC FE
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-9
由 平衡方程
46
由 列平衡方程。
联立解之。
FA= 15 kN,MA= － 2.5 kN
MA
F2
l/4
I A
F
C H
l/8 l/8 FA CF
?
再 取 AC段为研究对象，受力分析如图。
028348 ????????? lFllqlFM CA
? ?? ?,0FAM
0
4
?????? lqFFF CA
,0?? yF
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-8
47
A,B,C,D处均为光滑铰链，物块重为 P，通过绳
子绕过滑轮水平地连接于杆 AB的 E点，各构件自重不计，
试求 B处的约束力。
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-9
P
48
025 ???? AxFrPr? ?? ?,0FCM
FAy
FAx
FCx
FCy
P
FBx
FAy
FAx
FBy
FE
解, 取整体为研究对象。受力分析如图，由平衡方程。
再 取杆 AB为研究对象，受力分析如图。
022 ????? EByBx rFFrFr
? ?? ?,0FAM
0??? EBxAx FFF,0?? xF
由平衡方程
,5.1 PF Bx ?? PF By 2??
联立求解可得
PF Ax 5.2?解得
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-9
49
(1)保证起重机在满载和空载
时都不翻倒, 求平衡荷重 P3应为
多少?
(2)当平衡荷重 P3=180 kN时,
求满载时轨道 A,B给起重机轮子
的约束力？
A B
2 m 2 m
6 m 12 m
AF BF
P1
P2
P3
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-10 塔式起重机如图所示。机架重 P
1=700 kN，作用
线通过塔架的中心。最大起重量 P2=200 kN，最大悬
臂长为 12 m，轨道 AB的间距为 4 m。平衡荷重 P3到
机身中心线距离为 6 m。试问,
50
(1) 满载时不绕 B点翻倒，临界情况下 FA=0,可得
空载时,P2 = 0，不绕 A点翻
倒，临界情况下 FB = 0，可得
? ?
? ? ? ?
kN 75
0m 2m 12m 2m 2m 6
0
m i n3
21m i n3
?
??????
??
P
PPP
M
B
F
? ?
? ?
kN 3 50
0m 2m 2m 6
0
m a x3
1m a x3
?
????
??
P
PP
M A F
取塔式起重机为研究对象，受力分析如图所示。
则有 75 kN＜ P3＜ 350 kN
解,
A B
2 m 2 m
6 m 12 m
AF BF
P1
P2
P3
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-10
51
(2),取 P3=180 kN，求满载时轨道 A, B给
起重机轮子的约束力。
? ?
0
0
0m 414m 2m4
0
213
213
??????
?
????????
?
?
?
BA
y
B
A
FFPPP
F
FPPP
M F
kN 210
kN 870
?
?
A
B
F
F
列平衡方程
解方程得
A B
2 m 2 m
6 m 12 m
AF BF
P1
P2
P3
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-10
52
齿轮传动机构如图所示 。 齿
轮 Ⅰ 的半径为 r,自重 P1。 齿轮 Ⅱ
的半径为 R=2r,其上固定一半径
为 r的塔轮 Ⅲ, 轮 Ⅱ 与 Ⅲ 共重为
P2 = 2P1。 齿轮压力角为 ? =20°
被提升的物体 C重为 P = 20P1。
求, （ 1） 保持物 C匀速上升时,
作用于轮上力偶的矩 M；
（ 2） 光滑轴承 A,B的约束力 。
A B
r r
R M
C
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
P
P1 P2
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-11
53
(1),取 Ⅱ, Ⅲ 轮及重物为研究对象，
受力分析如图所示。
?20,t a n r ?? ??
F
F
解方程得
121r
1r1
32,64.3
64.3 t a n,10
PFPPFPFF
PFFP
R
Pr
F
ByBx
??????
???? ?
? ? 0,0
0,0
0,0
2
r
???
?????
???
?
?
?
FRrPFM
PFPFF
FFF
B
Byy
Bxx列平衡方程
解,
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-11
C
B K
P
FBx
FBy
rF
F ?
Fn
P2
A B r r
R M
C
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
P
P1 P2
54
rPrFM
PFPF
PFF
Ay
Ax
1
11
1r
10
9
64.3
???
?????
?????
? ? 0,0
0,0
0,0
1
r
????
??????
????
?
?
?
rFMFM
PFPFF
FFF
A
Ayy
Axx
2,再取 Ⅰ 轮为研究对象，受力
分析如图所示。
解方程得
由平衡方程
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-11
A K
M F?
rF?
P1
FAx
FAy
A B r r
R M
C
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
P
P1 P2
55
如图所示, 已知重力 P，
DC=CE=AC=CB=2l ；定滑轮
半径为 R,动滑轮半径为 r,且
R=2r=l,θ=45° 。 试求,A,E
支座的约束力及 BD杆所受的力 。
D
Ⅱ
K
C
A
B
E
?
Ⅰ
P
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-12
56
D
Ⅱ
K
C
A
B
E
?
Ⅰ
1,选取 整体 研究对象，受力分析如
图所示。由平衡方程
解平衡方程
8
13
45 s in
8
25
P
FPF
PF
AEy
A
???
?
?
?
? ?
045s i n,0
045 c os,0
0
2
5
22,0
????
???
??????
?
?
?
PFFF
FFF
lPlFFM
EyAy
ExAx
AE
?
?
FA
P
FEx
FEy
解,
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-12
57
2,选取 DEC研究对象，受力
分析如图所示。列平衡方程
? ?
02245 c o s
,0
??????
??
lFlFlF
FM
EyKDB
C
?
8
23
8
5
2
P
F
P
F
P
F
DB
Ex
K
?
?
?
E
C
K
D
解平衡方程
FK
FEy FEx
DBF
CyFCxF
D
Ⅱ
K
C
A
B
E
?
Ⅰ
P
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-12
58
刚架结构如图所示, 其
中 A,B和 C都是铰链 。 结构
的尺寸和载荷如图所示 。 试
求 A,B,C三铰链处的约束
力 。
P
q
A B
C
b
a a/2 a/2 M
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-13
59
A B
C
x
y
qb
P M
FAx F
Ay
FBx F
By
1,取整体为研究对象，受力如图所示。由平
衡方程
),2121(21 2qbPaMaF Ay ??? )
2
1
2
3(
2
1 2qbMPa
aFPF AyBy ?????
解方程得
解,
,0)( ?? FM B
0222 ??????? bqbaFaPM Ay
,0?? yF 0??? PFF ByAy
,0?? xF 0??? qbFF BxAx
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-13
60
2,再取 AC为研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程
A
C
x
y
qb
FAx
FAy
FCy
FCx )2321(21 2qbPaMbF Ax ???
)2121(21 2qbPaMbF Cx ????
)2121(21 2 PaMqbaF Cy ???
)2121(21 2qbPaMbF Bx ????
解方程得
,0)( ?? FM C 0
2
?????? aFbqbbF AyAx
,0?? xF 0??? qbFF CxAx
,0?? yF 0??
CyAy FF
P
q
A B
C
b
a a/2 a/2 M
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-13
61
重为 P = 980 N的重物悬挂
在滑轮支架系统上, 如图所示 。
设滑轮的中心 B与支架 ABC相连
接, AB为直杆, BC为曲杆, B
为销钉 。 若不计滑轮与支架的
自重, 求销钉 B作用在与它相连
接的每一构件上的约束力 。
A B
C
D E
F
I
H
0.6 m
0.8 m
?45
P
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-14
62
取滑轮 B为研究对象，受力分析如图。由平
衡方程
,0?? xF 045 c o s2 ?? ?PF Bx
,0?? yF 0245 s in2 ??? PPF By ?
解得
N 3 4 745 c o s2 ?? ?PF Bx
N 847245 s in2 ??? PPF By ?
解,
B
2
P
H F
2
P
FBx
FBy
?45
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-14
P
A B
C
D E
F
I
H
0.6m
0.8m
?45
63
P
A B
C
D E
F
I
H
0.6m
0.8m
?45
再取销钉 B为研究对象，受力分析如图所示。
0
5
4
2
?????? CBBy FPF,0?? yF
,0?? xF 0
5
3 ??????
CBABBx FFF
由平衡方程
N 340 1?ABF
N 660 1?CBF
解得
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-14
B
2
P
BAF?
BCF?
ByF?
BxF?
64
静力学 第三章 平面任意力系
§ 3-4 平面简单桁架的内力计算
工程中, 屋架, 桥架, 电视塔, 起重机, 输电线塔等结构物
常用桁架结构 。
65
静力学 第三章 平面任意力系
66
静力学 第三章 平面任意力系
67
静力学 第三章 平面任意力系
68
静力学 第三章 平面任意力系
桁架是由一些杆件彼此在两端用铰链连接几何形状不
变的结构 。桁架中杆件铰链接头称为 节点 。所有杆件的轴
线都在同一平面内的桁架称为 平面桁架 。
桁架的优点是：每根杆件只承受拉力或压力，可以
充分发挥材料的作用，节省材料，减轻结构的自重。
为简化桁架的计算，工程实际中采用以下 几个假设,
（ 1） 桁架中各杆件部是直杆；
（ 2） 杆件用光滑铰链连接或可以简化的铰链连接；
（ 3） 所受外力都作用在桁架平面内, 而且都作用在节点上；
（ 4）杆件自重不计，或平均分配在杆件两端的节点上。
据此假设，桁架中每根杆件都可以视为二力杆
69
静力学 第三章 平面任意力系
本节只研究平面静定桁架，如图所示。以基本三角形
ABC为基础，每增加一个节点，需要增加两根杆件，依次
类推可得桁架称为 平面简单桁架 。如果两支承点是简支的，
很容易证明此桁架是 静定的 。
节点 杆件
70
静力学 第三章 平面任意力系
桁架的计算就是二力杆内力的计算。如果桁架是平衡
的，则假想地截取桁架的一部分为分离体也是平衡的。若
分离体只包含一个节点，称为节点法，为平面汇交力的系
的平衡；若分离体包含两个以上的节点，称为截面法，为
平面任意力系的平衡。
应注意：（ 1）首先判断桁架是否静定；（ 2）除了悬臂桁架
外一般要先求支座反力；（ 3）所有杆件的内力先设为拉力，
计算结果为负，说明该杆为压力；（ 4）用节点法时，节点
上的未知力一般不能多于两个，用截面法时，节点上的总未
知力一般不能多于三个，否则不能全部解出。（ 5）若只要
求桁架中某几个杆件的内力时，可以适当地选取一截面截取
某一部分为分离体，选择适当的力矩方程，可较快地求得某
些杆的内力。
71
解,节点法
先取整体为研究对象,受力
如图所示。由平衡方程
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-15 如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力
FC=4 kN，水平力 FE=2 kN。
a a a a
FC
A
C D
B
E F FE
0?? EAx FF，0?? xF
0??? CAyB FFF,0??
yF
03 ??????? aFaFaF BEC? ?? ?,0FAM
联立求解得
FAx= － 2 kN
FAy= 2 kN
FB = 2 kN
a a a a
FC
A B
D C
E F FE F
Ay FB
FAx
72
取节点 A，受力分析如图。由平衡方程
解得,kN 22??
AFF kN 4?ACF
FAx
FAy
A
FAC
FAF
FFE
FFA
FFC
F
解得,kN 2??
FEF kN 2?FCF
045 c o s ???? AFACAx FFF，0?? xF
045 c o s ??? AFAy FF,0?? yF
,0?? xF 045 c o s ??? FAFE FF
,0?? yF 045 c o s ???? FAFC FF
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-15
取节点 F，受力分析如图。由平衡方程
FCF
FCA
FC
C
FCD
FCE
045 c o s ????? CECDCA FFF,0?? xF
045 c o s ????? CECFC FFF,0?? yF
取节点 C，受力分析如图。由平衡方程
73
解得,k N 22?
CEF kN 2?CDF
FDE
FDC
D
FDB
0?? DCDB FF,0?? xF
0?DEF,0?? yF
解得,k N 3?
DBF 0?DEF
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-15
取节点 D，受力分析如图。由平衡方程
FB
B
FBD
FBE
kN 22??BDF
kN 22??BEF
解得
045 c o s ???? BEBD FF,0?? xF
,0?? yF 045 c o s ??? BEB FF
取节点 B，受力分析如图。由平衡方程
74
截面法 解,
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-16
a a a a
FC
A
C D
B
E F FE
a a a a
FC
A B
D C
E F FE F
Ay FB
FAx
先取整体为研究对象,受力
如图所示。由平衡方程
0?? EAx FF，0?? xF
0??? CAyB FFF,0??
yF
03 ??????? aFaFaF BEC? ?? ?,0FAM
联立求解得
FAx= － 2 kN
FAy= 2 kN
FB = 2 kN
如图平面桁架，求 FE,CE,CD杆内力。已
知铅垂力 FC = 4 kN,水平力 FE = 2 kN。
75
由平衡方程
作一截面 m-m将三杆截
断，取左部分为分离体，受
力分析如图。
联立求解得
k N,22??CEF k N,2?CDF kN 2??FEF
045 c o s ????? CEFEAxCD FFFF
045 c o s ???? CECAy FFF
0????? aFaF AyFE
,0?? xF
,0?? yF
? ?? ?,0FCM
FFE
FCD
a
FC
A
C
F
FAy
FAx D
E
FCE
m
a a a a
FC
A B D C
E F FE
FAy FB
FAx
m
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-16
76
静力学 第三章 平面任意力系
值得注意的是有些杆，不需进行计算就可确定它的内
力，应尽可能先把它找出来，特别是所谓 零杆,即不受力
的杆，当然这仅是理论上的。当桁架稍有变形或受力稍有
变动，此杆内力就不为零，不过受力很小而已。判别零杆
的方法有以下几种，如图所示。图（ a）中节点上不受力，
杆 1,2均为零杆。图（ b）中节点上不受力，杆 3为零杆。
图（ c）中，在节点上沿杆 1方向作用力 F，则杆 2为零杆。
1
2
(a)
1 2
3
(b)
F
1
2
(c)
F2= 0 F3= 0 F1= F2= 0
77
悬臂式桁架如图所示 。 a=2 m,b=1.5 m，试求
杆件 GH,HJ,HK的内力 。
a a a a
b
b
F
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-17
解,先 用截面 m-m 将杆
HK,HJ, GI, FI 截断，
取右半桁架为研究对象，
受力分析如图。
A
B
C
D
F
G
H
I
m
m
F
FHK
FGI
FHJ
FFI
m
m
由平衡方程
,0)( ?? FIM
023 ????? bFaF HK
解得 FF
HK 2?
78
用截面 n-n 将杆 EH,EG, DF, CF截断。
由平衡方程
,0)( ?? FFM
022 ????? bFaF EH
解得
FF EH 34?
A
B
C
D
E
F
n
n F
FEH
FDF FEG
FCF
n
n
取右半桁架为研究对象，受
力分析如图。
a a a a
b
b
F
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-17
79
最后 取节点 H为研究对象，受力分析如图。
由平衡方程
,0?? xF
0
22
??
?
?? HKGHEH F
ba
aFF
,0?? yF
0
22
??
?
?? HJGH F
ba
bF
H
FHK
FHJ
FEH
FGH
解得
Fa baFFF EHHKGH 65)(
22
?????
222
F
ba
bFF
GHHJ ??????
a a a a
b
b
F
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
静力学 第三章 平面任意力系
题例 3-17
80
静力学 第三章 平面任意力系
