1
2
第五章 摩擦
静力学 第五章 摩擦
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体
之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下
都存在有摩擦。当物体的接触表面确实比较光滑，或有良好的
润滑条件，以致摩擦力与物体所受其它力相比的确很小时，可
以忽略。然而，在很多日常生活和工程实际问题中，摩擦成为
主要因素，摩擦力不仅不能忽略，而且还应作为重点来研究。
由于摩擦是一种十分复杂的物理现象，涉及面广，本章
只限于讨论工程中常用的近似理论，主要介绍滑动摩擦和滚
动摩阻定律，重点研究有摩擦存在时物体的平衡问题。
3 (a)
(b)
静力学 第五章 摩擦
定义,两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑
动趋势时，其接触处产生的阻碍物体相对滑动的力叫滑动摩
擦力。
§ 5-1 滑动摩擦
1,静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力
如图 (a)所示，在粗糙的水平面上放置一重为 P的物
体，当水平方向无拉力时，显然有 P=FN。现在该物体
上作用一大小可变化的水平拉力 F，如图 (b)所示，当拉
力 F由零逐渐增加但又不很大时，物体仍能维持平衡。
4 (a) (b)
由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力 FN外还
有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力 Fs，此力
即 静滑动摩擦力,简称 静摩擦力 。显然有 Fs=F，因此 静
摩擦力 也是约束力，随着 F的增大而增大。然而，它并不
能随 F的增大而无限地增大。而有一个最大值 Fmax，称为
最大静摩擦力,此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力
F大于 Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即
静力学 第五章 摩擦
m a xs0 FF ??
5
静力学 第五章 摩擦
实验表明
Nsm a x FfF ?
上式称为 库仑摩擦定律,是计算最大静摩擦力的近似公式。
式中 fs 称为 静摩擦因数,它是一个无量纲的量。一般由实验
来确定。
2,动滑动摩擦力
当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对
滑动的阻力，这种阻力称为 动滑动摩擦力,简称 动摩擦力,
以 Fd 表示，大小可用下式计算。
Ndd FfF ?
式中 fd 是 动摩擦因数,通常情况下,
sd ff ?
6
静力学 第五章 摩擦
7
静力学 第五章 摩擦
§ 5-2 摩擦角和自锁现象
1,摩擦角
当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力 FN和
切向约束力 Fs，这两个力的合力称为 全约束力 FR。
SNR FFF ??
它的作用线与接触处的
公法线成一偏角 j,如图
所示，当静摩擦力达最
大时,j 也达到最大值
jf,称 jf 为摩擦角。
s
N
m a x
ft a n fF
F
??j
8
静力学 第五章 摩擦
2,自锁现象
由于全约束力的作用线与接触处公法线的夹角 j不能大
于摩擦角，即变化范围为 0? j ? jf,因此可得,
如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线与公
法线的夹角 q ? jf，则无论这个力多么大，物体必保持静
止，这种现象称为 自锁现象 。
利用摩擦角的概念，
可用简单的试验方法测
定摩擦因数。
反之如果 q ? jf, 则
无论这个力多么小，物
体必不能保持平衡。
9
静力学 第五章 摩擦
摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角 q,即
qj t a nt a n fs ??f
下面的螺旋千斤顶就利用了自锁的概念。
10
静力学 第五章 摩擦
§ 5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑有摩擦的平衡问题时，其解法与前几章基本一样。
但需指出的是，在受力分析和 列平衡方程时要将摩擦力考虑
在内，因而除平衡方程外，还需增加补充方程 0? Fs ? fs FN
，因此 有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围。为了避免解
不等式，往往先考虑 临界状态（ Fs = fs FN），求得结果后再
讨论解的平衡范围。应该 强调 的是 摩擦力的方向在临界状态
下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断，只有摩擦力
是待求未知数时，可以假设其方向 。
求解时，根据具体的问题采用解析法或几何法求解，
下面举例说明
11
,0?? xF 0 c o s s ?? FF q
,0?? yF 0 s inN ??? qFPF
取物块 A为研究对象，受
力分析如图。列平衡方程。
解,
例题 5-1
静力学 第五章 摩擦
q A
F
联立求解得
N 46.330 c o s4s ????F
ma xs FF ?
N 46.3s ?F
? ? N 6.3 s insNsm a x ???? qFPfFfF
最大静摩擦力
所以作用在物体上的摩擦力为
因为
小物体 A重 P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它
与固定面之间的静摩擦因数 fs=0.3。今在小物体 A上施
加 F=4 N的力,q =30°,试求作用在物体上的摩擦力。
y
A x q
P F
FN Fs
12
(a)
构件 A及 B用楔块 C联结，如图 (a)所示，已知楔块与构
件间的摩擦系数 fs= 0.1,求能自锁的倾斜角 q 。
解, (1) 解析法
研究楔块 C，受力如
图 (b)，考虑临界平衡
0s i nc o s,0 N2s1N1 ????? FFF qqxF
例题 5-2
静力学 第五章 摩擦
0c o ss i n,0 s2s1N1 ????? FFF qqyF
再考虑补充方程
,N2ss2N1ss1 FfFFfF ??
联立解之得
?1 1, 4 2,2t a n
1
2t a n
f2
s
s ??
?
? qjq
f
f(b)
13
(c)
静力学 第五章 摩擦
fff 2,jqjjq ???
(2) 几何法
仍考虑临界平衡状态,在此情
况下,楔块 C 两端所受的全约束力
必大小相等,方向相反且作用线在
一条直线上 ;与作用点处的法线的
夹角均等于摩擦角 jf 如图 (c) 所示。
由几何关系不难得
42.112
71.51.0tg,1.0 t g
f
1
fsf
?
?
??
???? ?
jq
jj f
以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得
时能自锁当 42.1120 f ???? jq
例题 5-2
14
静力学 第五章 摩擦
例题 5-3
FA
FNB
FB
FNA A
B
C
F
x
x
y
h
O
FB
h
d
B
A
F
x
,0?? xF 0NN ??? BA FF
,0?? yF 0??? FFF BA
平衡方程为
,0)( ?? FOM
0)(2N ???? xFFFdhF BAA
取支架为研究对象,受力分析如图。
（ 1） 解析法 解,
一活动支架套在固定圆柱的外表面，且 h =
20 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因
数 fs = 0.25。问作用于支架的主动力 F 的
作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架
不致下滑（支架自重不计）。
15
联立求解得
,2NN FFF BA ?? cm 40?x
BBAA FfFFfF NsNs,????
补充方程
静力学 第五章 摩擦
例题 5-3
支架受力分析如图所示。
21 hhh ??
ff t a n)2( t a n)2( jj
dxdx ????
解得
cm 40
t a n2 f
??
j
hx
（ 2）几何法
F
D
FRB
FRA
A
B
C
x
jf
h1
h2
jf
由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全
约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交
定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。
由几何关系得
16
h
C
a
b
F
P
宽 a，高 b的矩形柜放
置在水平面上，柜重 P，重
心 C 在其几何中心，柜与
地面间的静摩擦因数是 fs，
在柜的侧面施加水平向右
的力 F，求柜发生运动时
所需推力 F 的最小值。
静力学 第五章 摩擦
例题 5-4
17
y
A B
C
x
F
P
FB
FA
FNB FNA
1,假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡 。
解, 取矩形柜为研究对象,受力分析如图。
联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力
s1m i n PfFF ??
BBAA FfFFfF NsNs,????
补充方程
0??? BA FFF
0NN ??? PFF BA
,0?? xF
,0?? yF
列平衡方程
静力学 第五章 摩擦
例题 5-4
18
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。
柜绕 B 翻倒条件,FNA=0
b
PaFF
2
m i n 2 ??
使柜翻倒的最小推力为
,0?? BM 0
2 N
??? aFFhaP A
列平衡方程
A B
C
x
F
P
FB
FA
FNB FNA
解得
h
PaF
2
?
静力学 第五章 摩擦
例题 5-4
综上所述使柜发生运动所需的最小推力为
),m in ( 2m i n1m i n FF
19
长为 l的梯子 AB一端靠在墙壁上,
另一端搁在地板上, 如图所示 。 假设
梯子与墙壁的接触是完全光滑的, 梯
子与地板之间有摩擦, 其静摩擦 因 数
为 fs。 梯子的重量略去不计 。 今有一
重为 P的人沿梯子向上爬, 如果保证
人爬到顶端而梯子不致下滑, 求梯子
与墙壁的夹角 q 。
q l
a
A
B
P
静力学 第五章 摩擦
例题 5-5
20
以梯子 AB为研究对象，人的位置用距
离 a 表示，梯子的受力如图。
解,
使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程,
,0?? xF 0sN ?? FF B
,0?? yF 0N ?? PF A
? ?,0?? FAM 0 c o s s in N ?? qq lFPa B
y
q l
a
A
B
x Fs
FNA
P
FNB
AFfF Nss ?
同时满足物理条件
s ta n fl
a ?q
静力学 第五章 摩擦
例题 5-5
联立解之得
因 0≤a≤l,当 a = l 时，上式左边达到最大值。
所以
fs t a n t a n jq ?? f
或
f jq ?
即为所求
21
重为 P =100 N的匀质滚轮
夹在无重杆 AB和水平面之间,
在杆端 B作用一垂直于 AB的力
FB, 其大小为 FB = 50 N。 A为光
滑铰链, 轮与杆间的摩擦 因 数
为 fs1=0.4。 轮半径为 r,杆长为 l，
当 q = 60° 时, AC = CB = 0.5l,
如图所示 。 如要维持系统平衡,
（ 1） 若 D处静摩擦 因 数 fs2 = 0.3，
求此时作用于轮心 O处水平推力
F 的最小值 ;（ 2） 若 fs2=0.15,此
时 F 的最小值又为多少？
A
B
C
D
O
r
q P
F
FB
静力学 第五章 摩擦
例题 5-6
22
解,此题在 C,D两处都有摩擦, 两个摩
擦力之中只要有一个达到最大值, 系统
即处于临界状态 。
假设 C处的摩擦先达到最大值, 轮有水平向右滚动的趋势 。
静力学 第五章 摩擦
例题 5-6
A
B
C
FAx
FAy
FC
FNC F
B
q
1.以杆 AB为研究对象，受力分析如图。
N 40,N 1 0 0N ?? CC FF解得
? ? 02,0 N ???? lFlFM BCA F
列平衡方程
N1sm a x CCC FfFF ??补充方程
23
静力学 第五章 摩擦
例题 5-6 2.以轮为研究对象，列平衡方程。
? ? 0,0
060 s i n60 c o s,0
060 c o s60 s i n,0
NN
N
????
???????
???????
?
?
?
rFrFM
FFPFF
FFFFF
DCO
DCCy
DCCx
F
??
??
D
O
C
FND
FD
P
F
CF?
CFN?
q
N 39.55N2sm a x ?? DD FfF
当 fs2= 0.3时,D处最大摩擦力为
代入上面各式解得 F =26.6 N,FND=184.6 N
N 40,N 1 0 0NN ?????? CCCC FFFF将
,m a xDD FF ?由于 故 D处无滑动
所以维持系统平衡的最小水平推力为
F =26.6 N。
N 40?DF
24
解方程得
DDC FfFF N2s???
? ? N 86.25
60 s i n1
60 c o s
2s
N2s ?
?
?????
?
?
f
GFfFF C
CD
最小水平推力为 ? ? N 81.4760 c o s160 s i n
N ????? ?? DC FFF
DDD FfFF N2sm a x ??受力图不变，补充方程应改为
N 40N1sm a x ?? CC FfF此时 C处最大摩擦力为
所以 C处无滑动。,m a xCC FF ??
因此当 fs2= 0.15 时，维持系统平衡的最小水平推力改为
N 81.47?F
由于
说明前面假定不成立,D处应先达到临界状态。
m a xDD FF ?
3,当 fs2= 0.15时,N 7.27
Ns2m a x ?? DD FfF
静力学 第五章 摩擦
例题 5-6
25
静力学 第五章 摩擦
由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，如果仍用下图的
力学模型来分析就存在问题。即无论水平力 F 多么小，此物体均
不能平衡，因对点 A的矩的平衡方程不满足，即
? ? 0)( FAM
§ 5-4 滚动摩阻的概念
出现这种现象的原因是，实际接触面
并不是刚体，它们在力的作用下都会发生
一些变形，有一个接触面，如图所示。
这是与实际情况不符的，说明此
力学模型有缺陷，需要修正。
26
此力系向
A点简化
与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩 Mf 随主动力 F的增
大而增大；但有一个最大值 Mmax,即
或
静力学 第五章 摩擦
m a xf0 MM ??
Nm a x FM ?? ?
且最大滑动摩 阻力偶矩
上式即是 滚动摩阻定律, ? 称为 滚动摩阻系数,具有长度
的量纲,单位一般用 mm。 与滚子和支承面的材料的硬度
和湿度等有关。与滚子的半径无关。
27
静力学 第五章 摩擦
滚动摩阻动画
28
静力学 第五章 摩擦
滚阻系数的物理意义如下
由力的平移定理
,NN
N
m a x FF ??
?
?
F
M
d
与
Nm a x FM ?? ?
比较得 d??
一般情况下，相对滑动摩擦而言，由于滚阻阻力偶矩很
小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶矩忽略不计。
29
取轮子为研究对象,受力分析如图。由平衡方程 解,
静力学 第五章 摩擦
例题 5-7 匀质轮子的重量 P = 3 kN，半径 r = 0.3 m；今在轮中
心施加平行于斜面的拉力 FH，使轮子沿与水平面成 q
=30° 的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的
滚阻系数 δ= 0.05 cm，试求力 FH的大小。
,0?? yF 0 c o sN ?? qPF
,0?? AM 0s in Hm a x ??? rFrPM q
联立求解
?
?
??
?
? ?? q?q c o s s in
H rPF
kN 5 0 4 1H ?F
Nm a x FM ??补充方程
30
如图所示, 总重为 P的拖车在牵引力 F作用下要
爬上倾角为 θ 的斜坡 。 设车轮半径为 r,轮胎与路面
的滚动摩阻系数为 δ,其它尺寸如图所示 。 求拖车所
需的牵引力 。
静力学 第五章 摩擦
例题 5-8
a
x b
θ
h2
h1
F
θ
P A
O
31
拖车的两对轮子都是从动轮，因此滑动摩擦力的方向都
朝后。设拖车处于开始向上滚动的临界状态，因此前后轮的
滚动摩阻力偶的力偶矩 M1,max 和 M2 max 都达到最大值。
解,
,0)( ?? FAM
0
)( s i n c o s
m a x2m a x11
1N2
????
????
MMFh
baFPhbP qq
,0?? xF
0 s in21 ???? qPFFF
,0?? yF
0 c o s2N1N ??? qPFF
由平衡方程
首先取整个拖车为研究对象,受力分析如图。
静力学 第五章 摩擦
例题 5-8
a
x
b
θ
h2
h1
F
θ
P A F2
F1
FN2
FN1 M
1max O
M2,max
32
再取前轮为研究对象，受力分析如图。
同样由后轮得 0
2m a x2 ?? rFM
2Nm a x21Nm a x1,FMFM ?? ??
轮子滚动临界时的补充方程
kN 6.10 c o s s i n ??
?
??
?
? ?? q?q
r
PF
解方程可得
,0)( ?? FM O 01m a x1 ?? rFM
列平衡方程
FN1
Fx Fy
F1 M1max O
y x
静力学 第五章 摩擦
例题 5-8
33
静力学 第五章 摩擦
2
第五章 摩擦
静力学 第五章 摩擦
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体
之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下
都存在有摩擦。当物体的接触表面确实比较光滑，或有良好的
润滑条件，以致摩擦力与物体所受其它力相比的确很小时，可
以忽略。然而，在很多日常生活和工程实际问题中，摩擦成为
主要因素，摩擦力不仅不能忽略，而且还应作为重点来研究。
由于摩擦是一种十分复杂的物理现象，涉及面广，本章
只限于讨论工程中常用的近似理论，主要介绍滑动摩擦和滚
动摩阻定律，重点研究有摩擦存在时物体的平衡问题。
3 (a)
(b)
静力学 第五章 摩擦
定义,两个相接触物体，当其接触处产生相对滑动或相对滑
动趋势时，其接触处产生的阻碍物体相对滑动的力叫滑动摩
擦力。
§ 5-1 滑动摩擦
1,静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力
如图 (a)所示，在粗糙的水平面上放置一重为 P的物
体，当水平方向无拉力时，显然有 P=FN。现在该物体
上作用一大小可变化的水平拉力 F，如图 (b)所示，当拉
力 F由零逐渐增加但又不很大时，物体仍能维持平衡。
4 (a) (b)
由此可见，支承面对物体的约束力除了法向约束力 FN外还
有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向约束力 Fs，此力
即 静滑动摩擦力,简称 静摩擦力 。显然有 Fs=F，因此 静
摩擦力 也是约束力，随着 F的增大而增大。然而，它并不
能随 F的增大而无限地增大。而有一个最大值 Fmax，称为
最大静摩擦力,此时物体 处于平衡的临界状态。当主动力
F大于 Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即
静力学 第五章 摩擦
m a xs0 FF ??
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静力学 第五章 摩擦
实验表明
Nsm a x FfF ?
上式称为 库仑摩擦定律,是计算最大静摩擦力的近似公式。
式中 fs 称为 静摩擦因数,它是一个无量纲的量。一般由实验
来确定。
2,动滑动摩擦力
当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对
滑动的阻力，这种阻力称为 动滑动摩擦力,简称 动摩擦力,
以 Fd 表示，大小可用下式计算。
Ndd FfF ?
式中 fd 是 动摩擦因数,通常情况下,
sd ff ?
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静力学 第五章 摩擦
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静力学 第五章 摩擦
§ 5-2 摩擦角和自锁现象
1,摩擦角
当有摩擦时，支承面对物体的约束力有法向约束力 FN和
切向约束力 Fs，这两个力的合力称为 全约束力 FR。
SNR FFF ??
它的作用线与接触处的
公法线成一偏角 j,如图
所示，当静摩擦力达最
大时,j 也达到最大值
jf,称 jf 为摩擦角。
s
N
m a x
ft a n fF
F
??j
8
静力学 第五章 摩擦
2,自锁现象
由于全约束力的作用线与接触处公法线的夹角 j不能大
于摩擦角，即变化范围为 0? j ? jf,因此可得,
如果作用于物体的全部主动力的合力的作用线与公
法线的夹角 q ? jf，则无论这个力多么大，物体必保持静
止，这种现象称为 自锁现象 。
利用摩擦角的概念，
可用简单的试验方法测
定摩擦因数。
反之如果 q ? jf, 则
无论这个力多么小，物
体必不能保持平衡。
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静力学 第五章 摩擦
摩擦角就是物块处于临界状态时斜面的倾角 q,即
qj t a nt a n fs ??f
下面的螺旋千斤顶就利用了自锁的概念。
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静力学 第五章 摩擦
§ 5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑有摩擦的平衡问题时，其解法与前几章基本一样。
但需指出的是，在受力分析和 列平衡方程时要将摩擦力考虑
在内，因而除平衡方程外，还需增加补充方程 0? Fs ? fs FN
，因此 有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围。为了避免解
不等式，往往先考虑 临界状态（ Fs = fs FN），求得结果后再
讨论解的平衡范围。应该 强调 的是 摩擦力的方向在临界状态
下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断，只有摩擦力
是待求未知数时，可以假设其方向 。
求解时，根据具体的问题采用解析法或几何法求解，
下面举例说明
11
,0?? xF 0 c o s s ?? FF q
,0?? yF 0 s inN ??? qFPF
取物块 A为研究对象，受
力分析如图。列平衡方程。
解,
例题 5-1
静力学 第五章 摩擦
q A
F
联立求解得
N 46.330 c o s4s ????F
ma xs FF ?
N 46.3s ?F
? ? N 6.3 s insNsm a x ???? qFPfFfF
最大静摩擦力
所以作用在物体上的摩擦力为
因为
小物体 A重 P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它
与固定面之间的静摩擦因数 fs=0.3。今在小物体 A上施
加 F=4 N的力,q =30°,试求作用在物体上的摩擦力。
y
A x q
P F
FN Fs
12
(a)
构件 A及 B用楔块 C联结，如图 (a)所示，已知楔块与构
件间的摩擦系数 fs= 0.1,求能自锁的倾斜角 q 。
解, (1) 解析法
研究楔块 C，受力如
图 (b)，考虑临界平衡
0s i nc o s,0 N2s1N1 ????? FFF qqxF
例题 5-2
静力学 第五章 摩擦
0c o ss i n,0 s2s1N1 ????? FFF qqyF
再考虑补充方程
,N2ss2N1ss1 FfFFfF ??
联立解之得
?1 1, 4 2,2t a n
1
2t a n
f2
s
s ??
?
? qjq
f
f(b)
13
(c)
静力学 第五章 摩擦
fff 2,jqjjq ???
(2) 几何法
仍考虑临界平衡状态,在此情
况下,楔块 C 两端所受的全约束力
必大小相等,方向相反且作用线在
一条直线上 ;与作用点处的法线的
夹角均等于摩擦角 jf 如图 (c) 所示。
由几何关系不难得
42.112
71.51.0tg,1.0 t g
f
1
fsf
?
?
??
???? ?
jq
jj f
以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得
时能自锁当 42.1120 f ???? jq
例题 5-2
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静力学 第五章 摩擦
例题 5-3
FA
FNB
FB
FNA A
B
C
F
x
x
y
h
O
FB
h
d
B
A
F
x
,0?? xF 0NN ??? BA FF
,0?? yF 0??? FFF BA
平衡方程为
,0)( ?? FOM
0)(2N ???? xFFFdhF BAA
取支架为研究对象,受力分析如图。
（ 1） 解析法 解,
一活动支架套在固定圆柱的外表面，且 h =
20 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因
数 fs = 0.25。问作用于支架的主动力 F 的
作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架
不致下滑（支架自重不计）。
15
联立求解得
,2NN FFF BA ?? cm 40?x
BBAA FfFFfF NsNs,????
补充方程
静力学 第五章 摩擦
例题 5-3
支架受力分析如图所示。
21 hhh ??
ff t a n)2( t a n)2( jj
dxdx ????
解得
cm 40
t a n2 f
??
j
hx
（ 2）几何法
F
D
FRB
FRA
A
B
C
x
jf
h1
h2
jf
由以上二个例子可以看出，当有摩擦处的约束力以全
约束力形式给出，如能利用二力平衡条件和三力平衡汇交
定理且几何关系又较简单，用几何法往往较方便。
由几何关系得
16
h
C
a
b
F
P
宽 a，高 b的矩形柜放
置在水平面上，柜重 P，重
心 C 在其几何中心，柜与
地面间的静摩擦因数是 fs，
在柜的侧面施加水平向右
的力 F，求柜发生运动时
所需推力 F 的最小值。
静力学 第五章 摩擦
例题 5-4
17
y
A B
C
x
F
P
FB
FA
FNB FNA
1,假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡 。
解, 取矩形柜为研究对象,受力分析如图。
联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力
s1m i n PfFF ??
BBAA FfFFfF NsNs,????
补充方程
0??? BA FFF
0NN ??? PFF BA
,0?? xF
,0?? yF
列平衡方程
静力学 第五章 摩擦
例题 5-4
18
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。
柜绕 B 翻倒条件,FNA=0
b
PaFF
2
m i n 2 ??
使柜翻倒的最小推力为
,0?? BM 0
2 N
??? aFFhaP A
列平衡方程
A B
C
x
F
P
FB
FA
FNB FNA
解得
h
PaF
2
?
静力学 第五章 摩擦
例题 5-4
综上所述使柜发生运动所需的最小推力为
),m in ( 2m i n1m i n FF
19
长为 l的梯子 AB一端靠在墙壁上,
另一端搁在地板上, 如图所示 。 假设
梯子与墙壁的接触是完全光滑的, 梯
子与地板之间有摩擦, 其静摩擦 因 数
为 fs。 梯子的重量略去不计 。 今有一
重为 P的人沿梯子向上爬, 如果保证
人爬到顶端而梯子不致下滑, 求梯子
与墙壁的夹角 q 。
q l
a
A
B
P
静力学 第五章 摩擦
例题 5-5
20
以梯子 AB为研究对象，人的位置用距
离 a 表示，梯子的受力如图。
解,
使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程,
,0?? xF 0sN ?? FF B
,0?? yF 0N ?? PF A
? ?,0?? FAM 0 c o s s in N ?? qq lFPa B
y
q l
a
A
B
x Fs
FNA
P
FNB
AFfF Nss ?
同时满足物理条件
s ta n fl
a ?q
静力学 第五章 摩擦
例题 5-5
联立解之得
因 0≤a≤l,当 a = l 时，上式左边达到最大值。
所以
fs t a n t a n jq ?? f
或
f jq ?
即为所求
21
重为 P =100 N的匀质滚轮
夹在无重杆 AB和水平面之间,
在杆端 B作用一垂直于 AB的力
FB, 其大小为 FB = 50 N。 A为光
滑铰链, 轮与杆间的摩擦 因 数
为 fs1=0.4。 轮半径为 r,杆长为 l，
当 q = 60° 时, AC = CB = 0.5l,
如图所示 。 如要维持系统平衡,
（ 1） 若 D处静摩擦 因 数 fs2 = 0.3，
求此时作用于轮心 O处水平推力
F 的最小值 ;（ 2） 若 fs2=0.15,此
时 F 的最小值又为多少？
A
B
C
D
O
r
q P
F
FB
静力学 第五章 摩擦
例题 5-6
22
解,此题在 C,D两处都有摩擦, 两个摩
擦力之中只要有一个达到最大值, 系统
即处于临界状态 。
假设 C处的摩擦先达到最大值, 轮有水平向右滚动的趋势 。
静力学 第五章 摩擦
例题 5-6
A
B
C
FAx
FAy
FC
FNC F
B
q
1.以杆 AB为研究对象，受力分析如图。
N 40,N 1 0 0N ?? CC FF解得
? ? 02,0 N ???? lFlFM BCA F
列平衡方程
N1sm a x CCC FfFF ??补充方程
23
静力学 第五章 摩擦
例题 5-6 2.以轮为研究对象，列平衡方程。
? ? 0,0
060 s i n60 c o s,0
060 c o s60 s i n,0
NN
N
????
???????
???????
?
?
?
rFrFM
FFPFF
FFFFF
DCO
DCCy
DCCx
F
??
??
D
O
C
FND
FD
P
F
CF?
CFN?
q
N 39.55N2sm a x ?? DD FfF
当 fs2= 0.3时,D处最大摩擦力为
代入上面各式解得 F =26.6 N,FND=184.6 N
N 40,N 1 0 0NN ?????? CCCC FFFF将
,m a xDD FF ?由于 故 D处无滑动
所以维持系统平衡的最小水平推力为
F =26.6 N。
N 40?DF
24
解方程得
DDC FfFF N2s???
? ? N 86.25
60 s i n1
60 c o s
2s
N2s ?
?
?????
?
?
f
GFfFF C
CD
最小水平推力为 ? ? N 81.4760 c o s160 s i n
N ????? ?? DC FFF
DDD FfFF N2sm a x ??受力图不变，补充方程应改为
N 40N1sm a x ?? CC FfF此时 C处最大摩擦力为
所以 C处无滑动。,m a xCC FF ??
因此当 fs2= 0.15 时，维持系统平衡的最小水平推力改为
N 81.47?F
由于
说明前面假定不成立,D处应先达到临界状态。
m a xDD FF ?
3,当 fs2= 0.15时,N 7.27
Ns2m a x ?? DD FfF
静力学 第五章 摩擦
例题 5-6
25
静力学 第五章 摩擦
由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力，如果仍用下图的
力学模型来分析就存在问题。即无论水平力 F 多么小，此物体均
不能平衡，因对点 A的矩的平衡方程不满足，即
? ? 0)( FAM
§ 5-4 滚动摩阻的概念
出现这种现象的原因是，实际接触面
并不是刚体，它们在力的作用下都会发生
一些变形，有一个接触面，如图所示。
这是与实际情况不符的，说明此
力学模型有缺陷，需要修正。
26
此力系向
A点简化
与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩 Mf 随主动力 F的增
大而增大；但有一个最大值 Mmax,即
或
静力学 第五章 摩擦
m a xf0 MM ??
Nm a x FM ?? ?
且最大滑动摩 阻力偶矩
上式即是 滚动摩阻定律, ? 称为 滚动摩阻系数,具有长度
的量纲,单位一般用 mm。 与滚子和支承面的材料的硬度
和湿度等有关。与滚子的半径无关。
27
静力学 第五章 摩擦
滚动摩阻动画
28
静力学 第五章 摩擦
滚阻系数的物理意义如下
由力的平移定理
,NN
N
m a x FF ??
?
?
F
M
d
与
Nm a x FM ?? ?
比较得 d??
一般情况下，相对滑动摩擦而言，由于滚阻阻力偶矩很
小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶矩忽略不计。
29
取轮子为研究对象,受力分析如图。由平衡方程 解,
静力学 第五章 摩擦
例题 5-7 匀质轮子的重量 P = 3 kN，半径 r = 0.3 m；今在轮中
心施加平行于斜面的拉力 FH，使轮子沿与水平面成 q
=30° 的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的
滚阻系数 δ= 0.05 cm，试求力 FH的大小。
,0?? yF 0 c o sN ?? qPF
,0?? AM 0s in Hm a x ??? rFrPM q
联立求解
?
?
??
?
? ?? q?q c o s s in
H rPF
kN 5 0 4 1H ?F
Nm a x FM ??补充方程
30
如图所示, 总重为 P的拖车在牵引力 F作用下要
爬上倾角为 θ 的斜坡 。 设车轮半径为 r,轮胎与路面
的滚动摩阻系数为 δ,其它尺寸如图所示 。 求拖车所
需的牵引力 。
静力学 第五章 摩擦
例题 5-8
a
x b
θ
h2
h1
F
θ
P A
O
31
拖车的两对轮子都是从动轮，因此滑动摩擦力的方向都
朝后。设拖车处于开始向上滚动的临界状态，因此前后轮的
滚动摩阻力偶的力偶矩 M1,max 和 M2 max 都达到最大值。
解,
,0)( ?? FAM
0
)( s i n c o s
m a x2m a x11
1N2
????
????
MMFh
baFPhbP qq
,0?? xF
0 s in21 ???? qPFFF
,0?? yF
0 c o s2N1N ??? qPFF
由平衡方程
首先取整个拖车为研究对象,受力分析如图。
静力学 第五章 摩擦
例题 5-8
a
x
b
θ
h2
h1
F
θ
P A F2
F1
FN2
FN1 M
1max O
M2,max
32
再取前轮为研究对象，受力分析如图。
同样由后轮得 0
2m a x2 ?? rFM
2Nm a x21Nm a x1,FMFM ?? ??
轮子滚动临界时的补充方程
kN 6.10 c o s s i n ??
?
??
?
? ?? q?q
r
PF
解方程可得
,0)( ?? FM O 01m a x1 ?? rFM
列平衡方程
FN1
Fx Fy
F1 M1max O
y x
静力学 第五章 摩擦
例题 5-8
33
静力学 第五章 摩擦
