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§ 15–1 约束 ? 虚位移 ? 虚功
§ 15–2 虚位移原理
第十五章 虚位移原理
3
在这本章，将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它
应用功的概念分析系统的平衡问题。从位移和功的概念出发，得出任意质
点系的平衡条件。该原理叫做 虚位移原理 。
它是研究平衡问题的最一般的原理，是解决静力学平衡问题的另一途径；
不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，组成了动力学普遍方程，为求解复
杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。
§ 15-1 约束 ? 虚位移 ? 虚功
平面单摆
222 lyx ??
例如,
曲柄连杆机构
222 ryx AA ??
0,)()( 222 ????? BABAB ylyyxx
4
（ 1）几何约束和运动约束
当约束对质点或质点系的运动情况进行限制
时，这种约束条件称为 运动约束 。如图 4，车
轮作纯滚动。
1．约束及其分类
为研究方便，对静力学中约束概念重新定义，即限制质点或质
点系运动的各种条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程
称为约束方程。下面从不同角度对约束分类。
又如图 3，质点 M在固定曲面上运动，其曲面
方程就是该质点的约束方程，即
o),,( ?zyxf
图 3
图 4
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称
为 几何约束 。如前述的平面单摆和曲柄连杆机
构中的限制条件都是几何约束。
几何约束
运动约束
ry A ?
00 ???? ?? ?? rxrv AA 或
5
当约束条件与时间有关，并随时间变化时，这
类约束称为 非定常约束 。
如图，重物 M由一条穿过固定圆环的细绳系住。
初始时摆长 l0,匀速 v拉动绳子。约束方程为
（ 2）定常约束和非定常约束
约束条件不随时间改变的约束为 定常约束 。定常约束方程中不
显含时间，前面的例子中约束条件都是定常约束。
2022 )( vtlyx ???
该方程中显含时间 t
（ 3）其他约束
若约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束），而且方
程不可能积分为有限形式，即约束方程中含有的坐标导数项不是
某一函数全微分，这类约束称为 非完整约束 。一般非完整约束方
程只能以微分形式表达。反之，若约束方程中不包含坐标对时间
的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约
束称为完整约束。例如上述做纯滚动的车轮的约束就是完整约束。
6
完整约束的一般形式为
),,2,1(0);,,,,,,( 111 sjtzyxzyxf nnnj ?? ??
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完
整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
式中 n为质点系的质点数,s为完整约束的方程数。
如右图，刚性杆限制了质点 M沿杆
拉伸和压缩方向的位移，这类约束
称为 双侧约束（或固执约束） 。若
刚性杆改为绳，则只限制质点或质
点系单一方向运动，该类约束称为
单侧约束（或非固执约束） 。显然
双侧约束方程为等式，单侧约束方
程为不等式。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2? l2
本章只讨论定常的双侧几何约束，其方程一般形式为
),,2,1(0),,,,,,( 111 sjzyxzyxf nnnj ?? ??
式中 n为质点系的质点数,s为完整约束的方程数。
7
某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位
移，称为质点系（在该瞬时）的 虚位移 。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 ? 表
示虚位移。
M
2．虚位移
如图，系统中质
点在平衡时本来
是不动的，但我
们设想在约束允
许条件下，给某个质点一个任意的、极其微小
的位移。
必须注意，虚位移与实际位移（简称实位移）是不同的概念，
实位移是在一定条件下真正实现的位移，它除了与约束条件有
关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；
8
而虚位移仅与约束条件有关，因为虚位移是任意无限小的位移
，所以在定常约束下，实位移只是所有靴位移中的一个，而虚
位移根据约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
而对于非定常约束，如图所示，由于实位
移与时间有关，而虚位移是将时间固定后
，约束允许的位移，此时实位移不再是虚
位移之一。
*质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系,
确定这些关系通常有两种方法,
(一 ) 几何法 。由运动学知，质点的位移与速度成正比，可以用分析速度的
方法分析各点虚位移之间的关系。
tdd ?? vr
(二 ) 解析法 。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（ q1,q2,……,
qk），广义坐标分别有变分,各质点的虚位移 在直角
坐标上的投影可以表示为 kqqq ???,,,21 ?
ir?
9
k
k
iii
i
k
k
iii
i
k
k
iii
i
q
q
z
q
q
z
q
q
z
z
q
q
y
q
q
y
q
q
y
y
q
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x
q
q
x
q
q
x
x
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?
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?
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?
?
?
???
?
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??
?
?
?
?
?
?
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
),2,1( ni ??
力在质点发生的虚位移上所作的功称为 虚功,记为 。 W?
zFyFxFWW zyx ?????? ????? 或rF
3．虚功
虚功有正功和负功，它尽管和实位移中的元功采用了同一符
号 ?W,但它们之间有本质区别，虚功是假象的，不是真实
发生的。在静止质点系或机构中，力没有做任何功，但力可
以有虚功。
10
[例 1] 分析图示机构在图示位置时，
点 C,A与 B的虚位移。
(已知 OC=BC= a,OA=l )
解,此为一个自由度系统，取
OA杆与 x 轴夹角 ?为广义坐标。
1、几何法
???
?
?
?
s i n2
1
s i n2
???
?
a
a
PB
PC
r
r
l
a
r
r
B
C
A
C
11
0,s i n2
c o s,s i n
c o s,s i n
,
????
?????
?????
??
BB
AA
CC
AC
yax
lylx
ayax
lrar
?????
????????
????????
??????
将 C,A,B点的坐标表示成
广义坐标 ? 的函数，得
0,c o s2
s i n,c o s
s i n,c o s
??
??
??
BB
AA
CC
yax
lylx
ayax
?
??
??
2、解析法
对广义坐标 ? 求变分，得各点
虚位移在相应坐标轴上的投影,
0,s i n2
c o s,s i n
c o s,s i n
????
?????
?????
BB
AA
CC
yax
lylx
ayax
?????
????????
????????
12
如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所做虚功的和等于
零，称这种约束为为 理想约束。 质点系受有理想约束的条件,
0????? ? ? iNiNiN WW rF ???
4．理想约束
*在动能定理一章中已分析过光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可
伸长的柔索、固定端等约束均为理想约束，现从虚功的角度，这些约束也
为理想约束。
1）光滑支承面 2）光滑铰链
4、无重刚杆。 5、不可伸长的柔索。
0??????? rrW Ni ??? NN
0??? rN ?? NW
0)( ????? CNiW rFN ??
3）刚体的纯滚动
13
一个自由质点在空间的位置：（ x,y,z ) 3个
一个自由质点系在空间的位置,( xi,yi,zi ) (i=1,2……n) 3n个
对一个非自由质点系，受 s个完整约束，（ 3n-s )个独立坐标。 k=3n-s 个 。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的
自由度的数目,简称为 自由度 。 例如,前述 曲柄连杆机构 例子中,确定曲柄连
杆机构位置的四个坐标 xA,yA,xB,yB须满足三个约束方程,因此有 一个自由度 。
*5．自由度、广义坐标
一般地，受到 s个约束的、由 n个质点组成的质点系，其自由度为 snk ?? 3
通常,n 与 s 很大而 k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的 k 个参数
（相互独立），要比用 3n个直角坐标和 s个约束方程方便得多。
用来确定质点系位置的独立参数，称为 广义坐标 。
广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可取线位移（ x,y,z,s 等）也可取角
位移（如 ?,?,等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
一般地，设有由 n个质点组成的质点系，具有 k个自由度，取 q1,q2,……,qk
为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。
),,,(
),,,(),,,,(),,,,(
21
212121
kii
kiikiikii
qqq
qqqzzqqqyyqqqxx
?
???
rr ?
???
),,2,1( ni ??
14
例如,曲柄连杆机构中，可取曲柄 OA的转角 ?为广义坐标，则,
0,s i nc o s
s i n,c o s
222 ????
??
BB
AA
yrlrx
ryrx
??
??
广义坐标选定后，
质点系中每一质点的直
角坐标都可表示为广义
坐标的函数。
15
例如,双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
22
12
2
12
22
1
2
1
2211
)()(
),(,),(
byyxx
ayx
yxyx
????
??
两个自由度
取广义坐标 ?,?
????
??
c o sc o s,s i ns i n
c o s,s i n
22
11
baybax
ayax
????
??
16
§ 15-2 虚位移原理
如图，设一质点系静止平衡，任取一质点，则
该质点也处于静止平衡状态，有
0?? Nii FF
若给质点系某虚位移，则作用与该质点上力的
虚功之和为
0???? iNiii rFrF ??
对质点系所有质点，都可以得到上面同样的等式，把这些等式
相加，得
0???? ?? iNiii rFrF ??
如果质点系具有理想约束，则约束力在虚位移中所作的虚功和
为零，即
00 ?????? ??? iiFiiNi W rFrF ????
（ 15-1）
17
? ??? 0)( iziiyiixi zFyFxF ???
可以证明，上式不仅是质点系平衡的必要条件，也是充分条
件，所以可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡的
充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移
中所作的虚功的和为零。这个结论称为虚位移原理，也称虚
功原理，式（ 15-1）又称虚功方程。该方程也可写成解析式,
（ 15-2）
*上面的推导证明了虚位移原理的必要性，下面给出其充分性,
充分性：即质点系满足,质点系一定平衡。若,
而质点系不平衡，则至少有第 i个质点不平衡。
? ?? 0ii rF ? ? ?? 0ii rF ?
在 方向上产生实位移,取,则
RiF ird ii d rr ?? 0)( ????? iRiiNii rFrFF ??
0)( ???? iNii rFF ?对质点系,
而理想约束下 ? ?? 0iNi rF ?
? ??? 0 ii rF ? 与前题条件矛盾 故 时质点系必处于平衡。 ? ?? 0ii rF ?
0 ??? RiNii FFF
18
*虚位移原理的应用
1,系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；
2,求系统在已知主动力作用下的平衡位置；
3,求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；
4,求平衡构架内二力杆的内力。
虽然虚位移原理的条件是质点系应具有理想约束，但也可以用
于有摩擦的情况，只要把摩擦力当作主动力，在虚功方程中计
入摩擦力所作的功即可。
19
例 1 图示椭圆规机构，连杆 AB长 l，杆重和滑道摩擦不计，
铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小 P和 Q之间
的关系。
解,研究整个机构。
系统的所有约束都是
完整、定常、理想的。
20
1、几何法,使 A发生虚位移,
B的虚位移,则由虚位移原理，
得虚功方程,
Ar?
Br?
0)tg ???? ArQ(P ??
由 的任意性，得
Ar? ? tgQP ?
0 ?? BA rQrP ??
tg
c o ss i n
???
????
??
????
AB
BA
rr
rr而
21
2、解析法 由于系统为单自由度,
可取 ?为广义坐标。
? ? ??? ? ??
??
c o s,s i n
s i n,c o s
lylx
lylx
AB
AB
???
??
由于 任意，故
?? ? tgQP ?
,0??? BA xQyP ??
0)s i nc o s( ??? ???? lQP
22
解,这是一个具有两个自由度的系
统，取角 ?及 ?为广义坐标，现用两
种方法求解。
例 2 均质杆 OA及 AB在 A点用铰连接，并在 O点用铰支承，
如图所示。两杆各长 2a和 2b，各重 P1及 P2，设在 B点加水平
力 F 以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角 ?及 ? 。
y
23
应用虚位移原理,
)( 021 axFyPyP BDC ??? ???
代入 (a)式，得,
0)co s2s i n()co s2s i n2s i n( 221 ??????? ????????? bFbPaFaPaP
解法一,
? ? ?? ? ????
? ? ?? ? ??
??
? ? ???
c o s2c o s2,s i n2s i n2
s i ns i n2
,c o sc o s2
s i n,c o s
baxbax
bay
bay
ayay
BB
D
D
CC
????
???
??
???而
24
由于 是彼此独立的，所以,????,
0c o s2s i n
0c o s2s i n2s i n
2
21
?????
???????
??
???
bFbP
aFaPaP
221
2 t g,
2
2tg
P
F
PP
F ?
?? ??
由此解得,
0)c o s2s i n()c o s2s i n2s i n( 221 ??????? ????????? bFbPaFaPaP
25
0s i nc o s 2 ?? ???? DB rPrF
而 ?????? brbr
DB ??,2
代入上式，得
22
22tg
P
F
bP
bF ?
?
??
??
???
解法二,
先使 ? 保持不变，而使 ? 获得变分,得到系统的一
组虚位移，如图所示。
??
26
再使 ? 保持不变，而使 ? 获得变分,得到系统的另
一组虚位移，如图所示。
??
BDA rrr ??? ??
0s i ns i nc o s 21 ??? ?????? DCB rPrPrF
而
?????
???
arrr
ar
ADB
C
2
,
???
?
代入上式后，得,
22tg
21 PP
F
???
0)s i n2s i n2co s( 21 ?????? ????? aPaPaF
图示中,
27
例 3 多跨静定梁，
求支座 B处反力。
解,将支座 B 除
去，代入相应的
约束反力 。
BR
0211 ????? ????? mrPrRrP CBB
BB
C
B
B rmr
rP
r
rPR
?
??
?
?
?
? ????
2
1
1
28
96
11
8
11
12
11
12
1
6
1
4
,
8
11
,
2
1
1
?????????
??
B
C
B
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B
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B
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C
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r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
?
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?
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?
?
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??
?
?
?
?
而
mPPR B 961181121 21 ????
BB
C
B
B rmr
rP
r
rPR
?
??
?
?
?
? ????
2
1
1
29
例 4 滑套 D套在光滑直杆 AB上，并带动
杆 CD在铅直滑道上滑动。已知 ?=0o时，
弹簧等于原长，弹簧刚度系数为
5(kN/m)，求在任意位置（ ? 角）平衡
时，加在 AB杆上的力偶矩 M？
解,这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系
的问题。将弹簧力计入主动力，系统简化为理想约束系统，故
可以用虚位移原理求解。
30
选择 AB杆,CD杆和滑套 D的系统为研究对象。
? ? ???
?
?
?
?
?
?
g
s
llkFF
ll
l
l
D
ts e c3.0s
s e c3.0
)kN( |s e c1|5.1||
)m( |s e c1|3.0||
c o s
300
600,
)mm(300300600,0
0
0
0
?
?
??????
???
??
????
角时
时
?
由虚位移原理，得,
)mkN( c o s )c o s1(s i n45.0 3 ??? ? ??M
0?? sFM ??? 0] t gs ec3.0|s ec1|5.1[ ???? ?????M
31
以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有
一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，
可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研
究对象。
若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反
力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解
除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。
应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点,
1、正确选取研究对象,
32
2、正确进行受力分析,
画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦
力和待求的约束反力。
3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系 。
4、应用虚位移原理建立方程。
5、解虚功方程求出未知数。
33
