1
2
在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都
是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象 —— 碰
撞,两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触、速度发生
突然改变的力学现象称为碰撞。物体发生碰撞时，会在非常
短促的时间内，运动速度突然发生有限的改变。碰撞是工程
中常见而非常复杂的动力学问题，本章在一定的简化条件下，
讨论两个物体间的碰撞过程中的一些基本规律。
3
§ 17–1 碰撞的分类 ? 碰撞问题的简化
§ 17-2 用于碰撞过程的基本定理
§ 17–3 质点对固定面的碰撞 ? 恢复系数
§ 17–4 碰撞问题举例
§ 17–5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 ?
撞击中心
小结
第十七章 碰撞
4
§ 17-1 碰撞的分类 ? 碰撞问题的简化
碰撞,运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或
解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为
碰撞。
1.碰撞的分类
两物体碰撞时，按其相处位置分，可分为对心碰撞、偏心碰撞
与正碰撞、斜碰撞。碰撞时两物体间的相互作用力，成为碰撞
力（或称瞬间力）。若碰撞力的作用线通过两物体的质心，称
为对心碰撞，否则称为偏心碰撞。
5
碰撞现象的特点是时间极短，一般为 10-3~10-4s，速度改变为
有限值，加速度变化巨大，碰撞力极大。
若碰撞时各自质心的速度均沿着公法线，称为正碰撞，否则称
为斜碰撞。按此分类还有对心正碰撞，偏心正碰撞。上图中左
图所示即为对心正碰撞。
两物体碰撞时，按其接触处有无摩擦，可分为光滑碰撞与非光
滑碰撞。两物体相碰撞时，按物体碰撞后的恢复程度（或能量
有无损失），可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。
2.对碰撞问题的两点简化
*设榔头重 10N，以 v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间 t
=1/1000s,碰撞后榔头以 v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头
打击铁块的力的平均值。
以榔头为研究对象，根据动量定理
Ivv ?? 12 mm
投影形式为
sN 65.7 ; )65.1(10 ????? SSg
碰撞力的变化如图，平均打击力,是榔头重的 765
倍。
N7 6 5 0/* ?? ?SF
6
可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的
程度。有关资料介绍，一只重 17.8N的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是
800km/h，（对现代飞机来说，这只是中等速度），碰撞力可高达
3.56?105N，即为鸟重的 2万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。
害的一面,,鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。
利的一面,利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。研究碰撞现象，
就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，而避免其危害。
根据碰撞的上述特点，在研究一般碰撞问题时，通常做下面两
点简化,
1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普通
力远远不能够与之相比，因此这些普通力的冲量忽略不计；
2）由于碰撞过程非常短促，碰撞过程中，速度变化为有限值
，物体在碰撞开始和碰撞结束的位置变化很小，因此在碰撞过
程中，物体的位移忽略不计。
7
1、用于碰撞过程的动量定理 ——冲量定理。
设质点的质量为 m，碰撞开始时的速度 v，结束瞬时的速度 v’,
则质点的动量定理为
§ 17-2 用于碰撞过程的基本定理
由于碰撞力变化复杂，不宜直接用力或者运动微分方程来描述
碰撞过程；由于力的功难以计算碰撞过程机械能的损失，因此
也不宜用动能定理来描述碰撞过程中能量的变化。在理论力学
中，对由于碰撞冲量的作用而使物体运动速度发生的变化我们
可以把握，所以动量定理和动量矩定理就成了研究碰撞问题的
主要工具。
IFvv ???? ? t tmm
0
d
（ 17-1） 其中 I为碰撞冲量，普通力冲量忽略
设 Ii(e)为外碰撞冲量,Ii(i)为内碰撞冲量。对碰撞的质点系，有
)i()e( iiiiii mm IIvv ????
8
对 n个质点，有 n个上述方程，相加后，并考虑 ?Ii(i)=0，得
??? ??? )e(iiiii mm Ivv （ 17-2）
上式即为用于碰撞过程的质点系动量定理，它不计普通力的
冲量，也称冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变
化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。
质点系的动量也可用总质量与质心速度的乘积计算。则
???? )e(iCC mm Ivv （ 17-3） 2、用于碰撞过程的动量矩定理 ——冲量矩定理。
质点系动量矩定理的一般表达式为导数形式，即
??
??
???
n
i
ii
n
i
iOOt
1
)e(
1
)e( )(
d
d FrFML 该式也可写为
??
??
????
n
i
ii
n
i
iiO t
1
)e(
1
)e( ddd IrFrL
对该式积分，有
? ?? ??
??
?????
n
i
t
iiOO
n
i
t
iiO
O
O 1 0
)e(
12
1 0
)e( ddddd2
1
IrLLIrL
L
L
或
9
考虑碰撞过程的第 2点简化，力 F作用点矢径 ri是个恒量，则
)(d )e(
11
)e(
12
1 0
)e(
12 i
n
i
O
n
i
iiOO
n
i
t
iiOO IMIrLLIrLL ??? ?
???
??????? 或
（ 17-4）
上式中 ri? Ii(e)为冲量矩，其中不计普通力的冲量矩。该式是用
于 碰撞过程的动量矩定理，又称冲量定理：质点系在碰撞开始
和结束时对点 O的动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞
冲量对同一点的主矩。
3、刚体平面运动的碰撞方程（ 用于刚体平面运动碰撞过程的基本定理 ）
质点系相对于质心的动量矩定理与对于固定点的动量矩定理
具有相同的形式，如此推证相似，可以得到用于碰撞过程的
质点系相对于质心的动量矩定理
??? )( )e(12 iCCC IMLL （ 17-5）
对平行于其对称面的平面运动刚体，有 ?CC JL ?
（ 17-4）成为,??? )( )e(
12 iCCC JJ IM??
（ 17-6）
10
上式中不计普通力的冲量矩，它与（ 17-3）结合起来，可分析
平面运动刚体的碰撞问题，称为刚体平面运动的碰撞方程。
§ 17-3 质点对固定面的碰撞 ? 恢复系数
设一小球（可视为质点）沿铅直方向落到水平的固定平面上，
如图所示。
请
看
动
画
11
第一阶段,开始接触至变
形达到最大。该阶段中，
小球动能减小,变形增大。
设碰撞冲量为 I1,则应用
冲量定理在 y 轴投影式
1)(0 Imv ???
第二阶段,由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，小球
动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为 I2,则,
20 Ivm ???
1
2
I
I
v
v ???
该碰撞过程分为两个阶段,
（ 17-7）
由于碰撞过程有能量损失（发光、发热、发声等），一般 v’小
于 v，但牛顿发现，其比值对于确定材料的物体几乎不变。即
kvv ??
（ 17-8） 常数 k称为恢复因数，且恒为正值
12
k=1为 理想情况，物体在碰撞结束变形完全恢复，动能没有损
失，称为完全弹性碰撞；
k=0为极限情况，物体在碰撞结束变形丝毫没有恢复，称为非
弹性碰撞或塑性碰撞。
恢复因数 k称一般需实验确定，用待测定恢复因数的材料做成
小球和质量很大的平板，如图操作，测定下落高度 h1和小球
弹起高度 h2,则
21 22 ghvghv ???
1
2
h
h
v
v k ???
则恢复因数为
恢复因数表示物体在碰撞后速度的恢复程度，也表示物
体变形恢复的程度，并且反映出碰撞过程中机械能损失
的程度。一般 0<k<1，各种材料的恢复系数，可查阅书
中表。有这类材料做成的物体发生碰撞，称为弹性碰撞。
物体在弹性碰撞结束时，变形不能够完全恢复，动能有
损失。
13
由（ 17-7）（ 17-8）有,即恢复因素又等于正碰
撞的两个阶段中作用于物体的碰撞冲量大小的比值。 1
2
I
I
v
v k ???
如图谢碰撞，设不计摩擦，两物体只在法线
方向发生碰撞，定义恢复因素为
n
n
v
v k ?? 不计摩擦，则 或
tt vv ??
?? t a nt a n nn vv ??
v
vk
?
?
t a n
t a n
n
n ???所以
对实际材料有 k<1，由上式知，当碰撞物体表面光滑，有 ?>?
，在不考虑摩擦的一般情况下，碰撞前后两个物体都在运动，
此时恢复因素定义为
n
r
n
r
v
v k ??
（ 17-9）
式中 和 分别为碰撞前后两物体接触点沿接触面法线方
向的相对速度。
nr vnrv ?
14
请看动画
§ 17-4 碰撞问题举例（ 两物体的对心正碰撞 ? 动能损失）
15
1、正碰撞结束时两质心的速度
例如,两物体碰撞
碰撞前,
碰撞结束,（沿质心连线）
分析碰撞结束时两质心的速度。
)(,2121 vv ?vv
21,uu
16
研究对象：两物体组成的质点系。
由冲量定理，得,
( 1 ) 0)()( 22112211 ???? vmvmumum
( 2 )
21
12
vv
uuk
?
??
分析,
列出补充方程,
（分别以两物体为研究对象，应用动量定理可得出。具体地
对于第一阶段,
对于第二阶段,222211 122111 )(,)( )(,)( IuumIuum IvumIvum ????? ?????
21
12
1
1
2
2
1
2
vv
uu
vu
uu
vu
uu
I
Ik
?
??
?
??
?
????
17
对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞
结束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。 )
)()1(
)()1(
21
21
1
22
21
21
2
11
vv
mm
m
kvu
vv
mm
m
kvu
?
?
???
?
?
???
联立 (1),(2)式，解得,
对于完全弹性碰撞（ k=1）,
)(2 ; )(2 21
21
1
2221
21
2
11 vvmm
mvuvv
mm
mvu ?
???????
122121,,vuvumm ??? 则若
(碰撞后两物体交换速度 )
18
对于塑性碰撞（ k =0）,
21
2211
21 mm
vmvmuuu
?
????
对于一般情况（ 0<k <1）,2211,vuvu ??
2、正碰撞过程中的动能损失
碰撞开始,
碰撞结束,2
22
2
112
2
22
2
111
2
1
2
1
2
1
2
1
umumT
vmvmT
??
??
则动能损失,
))((
2
1
))((
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2222211111
2
2
2
22
2
1
2
1121
uvuvmuvuvm
uvmuvmTTT
??????
???????
19
由正碰撞结束时两质心的速度公式知,
)()1( ; )()1( 21
21
1
2221
21
2
11 vvmm
mkuvvv
mm
mkuv ?
??????????
代入上式中，得,
)]()) [ (()1(21 221221
21
21 uvuvvv
mm
mmkT ????
????
2
21
2
21
21
21
2121
))(1(
)(2
)(
vvk
mm
mm
TTT
vvkuu
??
?
?????
?????又
20
系统动能没有损失,可以利用机械能守恒定律求碰撞后的速度。
021 ???? TTT
2
212
2
111
2
21
21
21
21
)(
2
1)(
2
1
)(
)(2
uvmuvmT
vv
mm
mm
TTT
?????
?
?
????
或
塑性碰撞时损失的动能等于速度损耗的动能。
1
2
121
22
11
2
1
21
21
1
1
2
1
)(2
T
m
mmm
m
vmv
mm
mm
T
?
?
?
?
?
??
)))(1()(2 ( 2212
21
21
21 vvkmm
mmTTT ??
?????
(1) 对于完全弹性碰撞（ k =1）,
(2) 对于塑性碰撞 （ k =0）,
若 v2=0，则
(3) 对于弹性碰撞 （ 0<k <1 ）,
021 ???? TTT (恒为正值）
21
[例 1] 打桩机。锤,m1，下落高度 h； 桩,m2，下沉 ? 。两
者塑性碰撞。求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力。
解,碰撞开始时,
锤速,
桩速
塑性碰撞后,
ghv 21 ?
02 ?v
gh
mm
m
uuu
2
21
1
21
?
?
??
根据动能定理,计算下沉 ? 过程中,泥土对桩的平均阻力 R。
22
?
?
)(
)()2(
2
0
21
2
1
21
21
2
21
121
mm
ghm
gmgmR
Rgmgmgh
mm
mmm
?
???
???
?
?
?
由于右端前两项远
比第三项小,往往可以
略去,于是上式可写为,
?)( 21
2
1
mm
ghmR
??
23
[例 2] 汽锤锻压金属。汽锤 m
1=1000kg，锤件与砧块总质量
m2=15000kg，恢复系数 k =0.6，求汽锤的效率。
1T
T???
故因,21,0 21112 vmTv ??
1
2
21
2 )1( Tk
mm
mT ?
???
%606.0)6.01(150001000 15000)1( 22
21
2 ????
????? kmm
m?于是
若将锻件加热，可使 k 减小。当达到一定温度时，可使
锤不回跳，此时可近似认为 k =0，于是汽锤效率
%9494.0
21
2 ??
?? mm
m?
解,汽锤效率定义为
24
§ 17-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 ? 撞击中心
如图绕定轴转动刚体受到外碰撞冲量作用，由冲量
矩定理在 z轴上的投影，有
??
??
????
n
i
izzz
n
i
izzz mJJmLL
1
)e(
12
1
)e(
12 )()( II ??或
1.定轴转动刚体受到碰撞时角速度的变化
角速度的变化为
z
iz
J
m?
??
)( )e(
12
I
??
（ 17-10）
2.支座的反碰撞冲量 ? 撞击中心
绕定轴转动刚体受到外碰撞冲量 I作用，轴
承与轴之间将发生碰撞，设如图是刚体的
对称平面，轴承 O的反碰撞冲量 I Ox 和 I Oy，
取 Oy过质心 C，应用冲量定理，有
25
OyyCyCyOxxCxCx IImvvmIImvvm ????????
在图示位置，如轴承没有损坏，则有 于是
0??? CyCy vv
yOyxCxCxOx IIIvvmI ??????,)(
由此，一般情况下，在轴承处将引起碰撞冲量。若
（ 17-11）
0,0)()2(0)1( ?????? OyOxCxCxxy IIvvmII 则有
如果外碰撞冲量 I作用在物体质量对称平面内，且满足上面两个条件，则轴
承反碰撞冲量等于零，即轴承处不发生碰撞。
由（ 1）,Iy=0，即要求外碰撞冲量与 y轴垂直
，即 I必须垂直于支点 O与质心 C的连线。
由（ 2），如图示，有,则
)( 12 ?? ?? maI x
I
J
Ilma
z
?
式中 l=OK，得
ma
Jl z? （ 17-12）
满足上式的点 K称为撞击中心。当外碰撞冲量作用于物体质量对称面内的撞
击中心，且垂直于轴承中心与质心的连线时，在轴承处不引起碰撞冲量。
26
[例 3] 均质杆质量 M，长 2a，可绕通过 O点且垂直于图面
的轴转动，如图所示，杆由水平无初速落下，撞到一质量为 m
的固定物块。设恢复系数为 k，求碰撞后杆的角速度，碰撞时
轴承的碰撞冲量及撞击中心的位置。
解,碰撞开始时，由动能定理,
2
1
22
1 )2(3
1
2
10
2
1 ?? ????? aMIM g a
O
a
g
2
3
1 ??
碰撞结束时,
a
gkk
2
3
12 ?? ??
求得,
27
得由 )( 12
OI
Sl??? ??
a
g
l
kMa
l
IS O
2
3
3
)1(4)( 2
21
???? ??
根据冲量定理，得,
0
)( 12
?
????
Oy
Ox
S
SSaaM ??
0,)34)((
2
21 ???? OyOx Sal
aaMS ??则
撞击中心的位置,
),0 ( 34 得出令 ?? OxSal
28
2、研究碰撞问题的两个基本假设,
(1) 在碰撞过程中，普通力远远小于碰撞力，可以忽略不计；
(2) 物体在碰撞过程中不发生位移。
小结
1、碰撞现象的主要特征,
碰撞过程时间极短，碰撞力非常大，它使物体的速度在极
短的时间内发生有限的变化。
3、研究碰撞问题的两个基本定理是冲量定理和冲量矩定理。
4、两物体碰撞的恢复系数 k 等于碰撞结束和开始时，两物体
接触点沿公法线方向相对速度大小的比值。
29
当外碰撞冲量作用在刚体的垂直于转轴的对称面内的撞
击中心，且垂直于质心与轴心的连线时，可使轴承的反碰撞
冲量等于零。
0<k <1 为弹性碰撞,k =1为完全弹性碰撞,k =0为非弹性
碰撞或塑性碰撞。
5、在碰撞过程中有动能损失,动能损失的多少取决于恢复系
数 k 值的大小。
6、作用于绕定轴转动刚体上的外碰撞冲量将引起刚体角速度
的突变，并引起轴承的反碰撞冲量。
30
2
在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都
是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象 —— 碰
撞,两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触、速度发生
突然改变的力学现象称为碰撞。物体发生碰撞时，会在非常
短促的时间内，运动速度突然发生有限的改变。碰撞是工程
中常见而非常复杂的动力学问题，本章在一定的简化条件下，
讨论两个物体间的碰撞过程中的一些基本规律。
3
§ 17–1 碰撞的分类 ? 碰撞问题的简化
§ 17-2 用于碰撞过程的基本定理
§ 17–3 质点对固定面的碰撞 ? 恢复系数
§ 17–4 碰撞问题举例
§ 17–5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 ?
撞击中心
小结
第十七章 碰撞
4
§ 17-1 碰撞的分类 ? 碰撞问题的简化
碰撞,运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或
解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为
碰撞。
1.碰撞的分类
两物体碰撞时，按其相处位置分，可分为对心碰撞、偏心碰撞
与正碰撞、斜碰撞。碰撞时两物体间的相互作用力，成为碰撞
力（或称瞬间力）。若碰撞力的作用线通过两物体的质心，称
为对心碰撞，否则称为偏心碰撞。
5
碰撞现象的特点是时间极短，一般为 10-3~10-4s，速度改变为
有限值，加速度变化巨大，碰撞力极大。
若碰撞时各自质心的速度均沿着公法线，称为正碰撞，否则称
为斜碰撞。按此分类还有对心正碰撞，偏心正碰撞。上图中左
图所示即为对心正碰撞。
两物体碰撞时，按其接触处有无摩擦，可分为光滑碰撞与非光
滑碰撞。两物体相碰撞时，按物体碰撞后的恢复程度（或能量
有无损失），可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。
2.对碰撞问题的两点简化
*设榔头重 10N，以 v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间 t
=1/1000s,碰撞后榔头以 v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头
打击铁块的力的平均值。
以榔头为研究对象，根据动量定理
Ivv ?? 12 mm
投影形式为
sN 65.7 ; )65.1(10 ????? SSg
碰撞力的变化如图，平均打击力,是榔头重的 765
倍。
N7 6 5 0/* ?? ?SF
6
可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的
程度。有关资料介绍，一只重 17.8N的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是
800km/h，（对现代飞机来说，这只是中等速度），碰撞力可高达
3.56?105N，即为鸟重的 2万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。
害的一面,,鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。
利的一面,利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。研究碰撞现象，
就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，而避免其危害。
根据碰撞的上述特点，在研究一般碰撞问题时，通常做下面两
点简化,
1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普通
力远远不能够与之相比，因此这些普通力的冲量忽略不计；
2）由于碰撞过程非常短促，碰撞过程中，速度变化为有限值
，物体在碰撞开始和碰撞结束的位置变化很小，因此在碰撞过
程中，物体的位移忽略不计。
7
1、用于碰撞过程的动量定理 ——冲量定理。
设质点的质量为 m，碰撞开始时的速度 v，结束瞬时的速度 v’,
则质点的动量定理为
§ 17-2 用于碰撞过程的基本定理
由于碰撞力变化复杂，不宜直接用力或者运动微分方程来描述
碰撞过程；由于力的功难以计算碰撞过程机械能的损失，因此
也不宜用动能定理来描述碰撞过程中能量的变化。在理论力学
中，对由于碰撞冲量的作用而使物体运动速度发生的变化我们
可以把握，所以动量定理和动量矩定理就成了研究碰撞问题的
主要工具。
IFvv ???? ? t tmm
0
d
（ 17-1） 其中 I为碰撞冲量，普通力冲量忽略
设 Ii(e)为外碰撞冲量,Ii(i)为内碰撞冲量。对碰撞的质点系，有
)i()e( iiiiii mm IIvv ????
8
对 n个质点，有 n个上述方程，相加后，并考虑 ?Ii(i)=0，得
??? ??? )e(iiiii mm Ivv （ 17-2）
上式即为用于碰撞过程的质点系动量定理，它不计普通力的
冲量，也称冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变
化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。
质点系的动量也可用总质量与质心速度的乘积计算。则
???? )e(iCC mm Ivv （ 17-3） 2、用于碰撞过程的动量矩定理 ——冲量矩定理。
质点系动量矩定理的一般表达式为导数形式，即
??
??
???
n
i
ii
n
i
iOOt
1
)e(
1
)e( )(
d
d FrFML 该式也可写为
??
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n
i
ii
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1
)e(
1
)e( ddd IrFrL
对该式积分，有
? ?? ??
??
?????
n
i
t
iiOO
n
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t
iiO
O
O 1 0
)e(
12
1 0
)e( ddddd2
1
IrLLIrL
L
L
或
9
考虑碰撞过程的第 2点简化，力 F作用点矢径 ri是个恒量，则
)(d )e(
11
)e(
12
1 0
)e(
12 i
n
i
O
n
i
iiOO
n
i
t
iiOO IMIrLLIrLL ??? ?
???
??????? 或
（ 17-4）
上式中 ri? Ii(e)为冲量矩，其中不计普通力的冲量矩。该式是用
于 碰撞过程的动量矩定理，又称冲量定理：质点系在碰撞开始
和结束时对点 O的动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞
冲量对同一点的主矩。
3、刚体平面运动的碰撞方程（ 用于刚体平面运动碰撞过程的基本定理 ）
质点系相对于质心的动量矩定理与对于固定点的动量矩定理
具有相同的形式，如此推证相似，可以得到用于碰撞过程的
质点系相对于质心的动量矩定理
??? )( )e(12 iCCC IMLL （ 17-5）
对平行于其对称面的平面运动刚体，有 ?CC JL ?
（ 17-4）成为,??? )( )e(
12 iCCC JJ IM??
（ 17-6）
10
上式中不计普通力的冲量矩，它与（ 17-3）结合起来，可分析
平面运动刚体的碰撞问题，称为刚体平面运动的碰撞方程。
§ 17-3 质点对固定面的碰撞 ? 恢复系数
设一小球（可视为质点）沿铅直方向落到水平的固定平面上，
如图所示。
请
看
动
画
11
第一阶段,开始接触至变
形达到最大。该阶段中，
小球动能减小,变形增大。
设碰撞冲量为 I1,则应用
冲量定理在 y 轴投影式
1)(0 Imv ???
第二阶段,由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，小球
动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为 I2,则,
20 Ivm ???
1
2
I
I
v
v ???
该碰撞过程分为两个阶段,
（ 17-7）
由于碰撞过程有能量损失（发光、发热、发声等），一般 v’小
于 v，但牛顿发现，其比值对于确定材料的物体几乎不变。即
kvv ??
（ 17-8） 常数 k称为恢复因数，且恒为正值
12
k=1为 理想情况，物体在碰撞结束变形完全恢复，动能没有损
失，称为完全弹性碰撞；
k=0为极限情况，物体在碰撞结束变形丝毫没有恢复，称为非
弹性碰撞或塑性碰撞。
恢复因数 k称一般需实验确定，用待测定恢复因数的材料做成
小球和质量很大的平板，如图操作，测定下落高度 h1和小球
弹起高度 h2,则
21 22 ghvghv ???
1
2
h
h
v
v k ???
则恢复因数为
恢复因数表示物体在碰撞后速度的恢复程度，也表示物
体变形恢复的程度，并且反映出碰撞过程中机械能损失
的程度。一般 0<k<1，各种材料的恢复系数，可查阅书
中表。有这类材料做成的物体发生碰撞，称为弹性碰撞。
物体在弹性碰撞结束时，变形不能够完全恢复，动能有
损失。
13
由（ 17-7）（ 17-8）有,即恢复因素又等于正碰
撞的两个阶段中作用于物体的碰撞冲量大小的比值。 1
2
I
I
v
v k ???
如图谢碰撞，设不计摩擦，两物体只在法线
方向发生碰撞，定义恢复因素为
n
n
v
v k ?? 不计摩擦，则 或
tt vv ??
?? t a nt a n nn vv ??
v
vk
?
?
t a n
t a n
n
n ???所以
对实际材料有 k<1，由上式知，当碰撞物体表面光滑，有 ?>?
，在不考虑摩擦的一般情况下，碰撞前后两个物体都在运动，
此时恢复因素定义为
n
r
n
r
v
v k ??
（ 17-9）
式中 和 分别为碰撞前后两物体接触点沿接触面法线方
向的相对速度。
nr vnrv ?
14
请看动画
§ 17-4 碰撞问题举例（ 两物体的对心正碰撞 ? 动能损失）
15
1、正碰撞结束时两质心的速度
例如,两物体碰撞
碰撞前,
碰撞结束,（沿质心连线）
分析碰撞结束时两质心的速度。
)(,2121 vv ?vv
21,uu
16
研究对象：两物体组成的质点系。
由冲量定理，得,
( 1 ) 0)()( 22112211 ???? vmvmumum
( 2 )
21
12
vv
uuk
?
??
分析,
列出补充方程,
（分别以两物体为研究对象，应用动量定理可得出。具体地
对于第一阶段,
对于第二阶段,222211 122111 )(,)( )(,)( IuumIuum IvumIvum ????? ?????
21
12
1
1
2
2
1
2
vv
uu
vu
uu
vu
uu
I
Ik
?
??
?
??
?
????
17
对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞
结束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。 )
)()1(
)()1(
21
21
1
22
21
21
2
11
vv
mm
m
kvu
vv
mm
m
kvu
?
?
???
?
?
???
联立 (1),(2)式，解得,
对于完全弹性碰撞（ k=1）,
)(2 ; )(2 21
21
1
2221
21
2
11 vvmm
mvuvv
mm
mvu ?
???????
122121,,vuvumm ??? 则若
(碰撞后两物体交换速度 )
18
对于塑性碰撞（ k =0）,
21
2211
21 mm
vmvmuuu
?
????
对于一般情况（ 0<k <1）,2211,vuvu ??
2、正碰撞过程中的动能损失
碰撞开始,
碰撞结束,2
22
2
112
2
22
2
111
2
1
2
1
2
1
2
1
umumT
vmvmT
??
??
则动能损失,
))((
2
1
))((
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2222211111
2
2
2
22
2
1
2
1121
uvuvmuvuvm
uvmuvmTTT
??????
???????
19
由正碰撞结束时两质心的速度公式知,
)()1( ; )()1( 21
21
1
2221
21
2
11 vvmm
mkuvvv
mm
mkuv ?
??????????
代入上式中，得,
)]()) [ (()1(21 221221
21
21 uvuvvv
mm
mmkT ????
????
2
21
2
21
21
21
2121
))(1(
)(2
)(
vvk
mm
mm
TTT
vvkuu
??
?
?????
?????又
20
系统动能没有损失,可以利用机械能守恒定律求碰撞后的速度。
021 ???? TTT
2
212
2
111
2
21
21
21
21
)(
2
1)(
2
1
)(
)(2
uvmuvmT
vv
mm
mm
TTT
?????
?
?
????
或
塑性碰撞时损失的动能等于速度损耗的动能。
1
2
121
22
11
2
1
21
21
1
1
2
1
)(2
T
m
mmm
m
vmv
mm
mm
T
?
?
?
?
?
??
)))(1()(2 ( 2212
21
21
21 vvkmm
mmTTT ??
?????
(1) 对于完全弹性碰撞（ k =1）,
(2) 对于塑性碰撞 （ k =0）,
若 v2=0，则
(3) 对于弹性碰撞 （ 0<k <1 ）,
021 ???? TTT (恒为正值）
21
[例 1] 打桩机。锤,m1，下落高度 h； 桩,m2，下沉 ? 。两
者塑性碰撞。求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力。
解,碰撞开始时,
锤速,
桩速
塑性碰撞后,
ghv 21 ?
02 ?v
gh
mm
m
uuu
2
21
1
21
?
?
??
根据动能定理,计算下沉 ? 过程中,泥土对桩的平均阻力 R。
22
?
?
)(
)()2(
2
0
21
2
1
21
21
2
21
121
mm
ghm
gmgmR
Rgmgmgh
mm
mmm
?
???
???
?
?
?
由于右端前两项远
比第三项小,往往可以
略去,于是上式可写为,
?)( 21
2
1
mm
ghmR
??
23
[例 2] 汽锤锻压金属。汽锤 m
1=1000kg，锤件与砧块总质量
m2=15000kg，恢复系数 k =0.6，求汽锤的效率。
1T
T???
故因,21,0 21112 vmTv ??
1
2
21
2 )1( Tk
mm
mT ?
???
%606.0)6.01(150001000 15000)1( 22
21
2 ????
????? kmm
m?于是
若将锻件加热，可使 k 减小。当达到一定温度时，可使
锤不回跳，此时可近似认为 k =0，于是汽锤效率
%9494.0
21
2 ??
?? mm
m?
解,汽锤效率定义为
24
§ 17-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 ? 撞击中心
如图绕定轴转动刚体受到外碰撞冲量作用，由冲量
矩定理在 z轴上的投影，有
??
??
????
n
i
izzz
n
i
izzz mJJmLL
1
)e(
12
1
)e(
12 )()( II ??或
1.定轴转动刚体受到碰撞时角速度的变化
角速度的变化为
z
iz
J
m?
??
)( )e(
12
I
??
（ 17-10）
2.支座的反碰撞冲量 ? 撞击中心
绕定轴转动刚体受到外碰撞冲量 I作用，轴
承与轴之间将发生碰撞，设如图是刚体的
对称平面，轴承 O的反碰撞冲量 I Ox 和 I Oy，
取 Oy过质心 C，应用冲量定理，有
25
OyyCyCyOxxCxCx IImvvmIImvvm ????????
在图示位置，如轴承没有损坏，则有 于是
0??? CyCy vv
yOyxCxCxOx IIIvvmI ??????,)(
由此，一般情况下，在轴承处将引起碰撞冲量。若
（ 17-11）
0,0)()2(0)1( ?????? OyOxCxCxxy IIvvmII 则有
如果外碰撞冲量 I作用在物体质量对称平面内，且满足上面两个条件，则轴
承反碰撞冲量等于零，即轴承处不发生碰撞。
由（ 1）,Iy=0，即要求外碰撞冲量与 y轴垂直
，即 I必须垂直于支点 O与质心 C的连线。
由（ 2），如图示，有,则
)( 12 ?? ?? maI x
I
J
Ilma
z
?
式中 l=OK，得
ma
Jl z? （ 17-12）
满足上式的点 K称为撞击中心。当外碰撞冲量作用于物体质量对称面内的撞
击中心，且垂直于轴承中心与质心的连线时，在轴承处不引起碰撞冲量。
26
[例 3] 均质杆质量 M，长 2a，可绕通过 O点且垂直于图面
的轴转动，如图所示，杆由水平无初速落下，撞到一质量为 m
的固定物块。设恢复系数为 k，求碰撞后杆的角速度，碰撞时
轴承的碰撞冲量及撞击中心的位置。
解,碰撞开始时，由动能定理,
2
1
22
1 )2(3
1
2
10
2
1 ?? ????? aMIM g a
O
a
g
2
3
1 ??
碰撞结束时,
a
gkk
2
3
12 ?? ??
求得,
27
得由 )( 12
OI
Sl??? ??
a
g
l
kMa
l
IS O
2
3
3
)1(4)( 2
21
???? ??
根据冲量定理，得,
0
)( 12
?
????
Oy
Ox
S
SSaaM ??
0,)34)((
2
21 ???? OyOx Sal
aaMS ??则
撞击中心的位置,
),0 ( 34 得出令 ?? OxSal
28
2、研究碰撞问题的两个基本假设,
(1) 在碰撞过程中，普通力远远小于碰撞力，可以忽略不计；
(2) 物体在碰撞过程中不发生位移。
小结
1、碰撞现象的主要特征,
碰撞过程时间极短，碰撞力非常大，它使物体的速度在极
短的时间内发生有限的变化。
3、研究碰撞问题的两个基本定理是冲量定理和冲量矩定理。
4、两物体碰撞的恢复系数 k 等于碰撞结束和开始时，两物体
接触点沿公法线方向相对速度大小的比值。
29
当外碰撞冲量作用在刚体的垂直于转轴的对称面内的撞
击中心，且垂直于质心与轴心的连线时，可使轴承的反碰撞
冲量等于零。
0<k <1 为弹性碰撞,k =1为完全弹性碰撞,k =0为非弹性
碰撞或塑性碰撞。
5、在碰撞过程中有动能损失,动能损失的多少取决于恢复系
数 k 值的大小。
6、作用于绕定轴转动刚体上的外碰撞冲量将引起刚体角速度
的突变，并引起轴承的反碰撞冲量。
30
