1
2
牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与相互作用之
间的关系，前面用矢量形式建立了质点系动力学普遍定理
（动量定理、动量矩定理和动能定理），这种处理动力学
问题的方法和体系称为“矢量力学”，它形式简单，概念
清晰，但由于矢量力学要求事先对系统中个质点的受力情
况进行分析，所以在研究求解具有复杂约束系统和变形体
的动力学问题方面会遇到很大困难。
本章针对矢量力学所遇到的困难，采用分析数学的方法来
求解动力学问题，它利用能量和功来描述物体运动与相互
作用之间的关系，在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，
导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗
日方程）。成为研究动力学问题的有力手段，在解决非自
由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。
3
§ 18–1 自由度和广义坐标
§ 18–2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
§ 18–3 动力学普遍方程
§ 18–4 第一类拉格朗日方程
§ 18–5 第二类拉格朗日方程
§ 18–5 拉格朗日方程的初积分
第十八章 分析力学基础
4
§ 18-1 自由度和广义坐标
一个自由质点在空间的位置由 x,y,z3个坐标可以确定 3个，我们
说该自由质点有 3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则
其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置的独立
参数的数目等于系统的自由度数。
例如：一质点 M限制在球面的上半部运动，则 snk ?? 3
一般讲，一个由 n个质点组成的质点系，若受到 s个完整约束作
用，则其在空间的位置可由 N=3n-s个坐标完全确定下来，我们
把描述质点系在空间中位置的独立参数，称为广义坐标。对完
整系统，广义坐标数目等于系统的自由度树。
)218()()(
)118()()()(
222
2222
???????
???????
byaxRcz
Rczbyax
故该质点在空间的位置由 x,y就可确定，其自由度数为 2。
5
如上面的质点 M的位置由 x,y确定，则,x,y就是其一组广义坐标，
此外，我们可以选取其它的一组独立参量来表达其位置,
222 )
2()2(,2,2 baRczxx ?
??????????? ????????
上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑 n个质点组成的系
统受到 s个完整双侧约束
),,3,2,1(0),,,,( 21 sktf nk ?? ??rrr （ 18-3）
设 为系统的一组广义坐标，我们可以将各
质点的坐标表示为
)3(,,,21 snNqqq n ???
),,3,2,1(0),,,,( 21 nitqqq Nii ?? ??? rr
（ 18-4）
由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到
),,3,2,1(
1
niq
q
N
k k
i
i ????
???
?
?
? rr
（ 18-5）
其中 为广义坐标 qk的变分，称为广义虚位移。 ),,3,2,1( Nkq ???
?
6
上式中 具有功的量纲，所以成 Qk为与广义坐标 qk相对应
的广义力。
§ 18-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
设作用在 I个质点上的主动力的合力 Fi在三个坐标轴上的投影分
别为（ Fxi,Fyi,Fzi ），把（ 18-5）代入虚功方程，得到
0)(
)(
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1 1 111
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i k
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xi
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k
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k k
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zi
N
k k
i
yi
N
k k
i
xiFiF
WW
（ 18-6）
),,3,2,1()(
1
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zF
q
yF
q
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i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xik ???
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?? ?
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Q令
（ 18-7）
则（ 18-6）可以写成
0
1
???? ?
?
k
N
k
kF qQW
（ 18-8）
kk q?Q
7
由于广义坐标的独立性,可以任意选取，则若（ 18-8）成立
，必须有
??q
????? NQQQ ?21
（ 18-9）
上式说明，质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。
这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件。
求广义力的方法有两种：一种方法是直接从（ 18-7）出发进行
计算；另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个 不等
于零，而其他 N-1个广义虚位移都等于零，代入
??q
kkF q??? QW
从而
k
F
k q?
?? WQ （ 18-10）
在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便
下面研究质点系在势力场中的情况，如果作用在质点系上的
主动力都是有势力，则势能应为各质点坐标的函数，为
),,,,,,( 111 nnn zyxzyx ?VV ? （ 18-11）
8 ),,3,2,1(
)()(
Nk
q
V
q
z
z
V
q
y
y
V
q
x
x
V
q
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?
? ??Q
则虚功方程（ 18-6）中各力的投影可以表达为
i
zi
i
yi
i
xi zFyFxF ?
???
?
???
?
??? VVV,,
于是有
V
VVV
W
????
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)(
)(
i
i
i
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i
i
i
i
i
iziiyiixiF
z
z
y
y
x
x
zFyFxF
（ 18-12） 这样，虚位移原理的表达式成为 0??V
上式说明：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件
为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。
如果用广义坐标 q1,q2,…,qN表示质点系的位置，则有
),,,,( 111 Nqqqq ?VV ?
（ 18-13）
由广义力表达式（ 18-7），在势力场中可将广义力 Qk表达为
9
则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式
),,3,2,1(0 NkqV
k
k ????
???Q （ 18-14）
即：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对
于每个广义坐标的偏导数分别等于零。上面（ 18-12）（ 18-14
）对于求解弹性系统的平衡问题具有重要意思。
引用势能，还可分析保守系统的平衡稳定性问题，满足平衡条
件的保守系统可能处于不同的稳定状态。
如图示，给图 a,b,c所示的
球体一个小扰动，图 a中球会
回到原来位置，该平衡状态
该平衡状态称为稳定平衡；图 b中小球会在周遍任何位置平衡，
该平衡称为随遇平衡；图 c中小球会滚下去，不会回到原来的平
衡位置，该平衡状态称为不稳平衡。
10
上述 3种平衡状态都满足势能在平衡位置处 ?V=0的平衡条件，但在稳定平
衡位置处，系统受到扰动后，新的位置系统的势能高于平衡位置处的势能
，因此，在稳定平衡位置处，系统的势能具有最小值，因而系统可以回到
低势能位置处；相反在不稳定平衡位置上，系统势能具有最大值，在没有
外力作用下，系统不能从低势能处回到高势能处；对随遇平衡，系统在某
位置附近的势能是不变的，所以其附近任何位置都是平衡位置。
对于一个自由度系统，只有一个广义坐标 q，则系统势能为 q的
一元函数，即 V=V(q)，当系统平衡时，在平衡位置处有
0dd ?qV
如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处，系统势能具
有最小值，即系统对广义坐标的二阶导数大于零
0
d
d
2
2
?
q
V
该式是一个自由度系统平衡的稳定性判据。
11
n个质点组成的系统，第 i个质点各参数为,。若
系统只受理想约束，由达郎贝尔原理和虚位移原理，有
Niiiiim FFrr,,,,??
写成解析式，有
上式表明，在理想约束条件下，质点系在任一瞬时所受的主
动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所做的功的和等于零。
该式称为动力学普遍方程。
0))()()((
1
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iiiziiiiyiiiixi
n
i
zzmFyymFxxmF ??????
§ 18-3 动力学普遍方程
0)()(
1
I
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ii
n
i
iiiNi
n
i
i m rrFrFFF ??
（ 18-15）
—— （ 18-15a）
12
例 1 三棱柱 B沿三棱柱 A的光滑斜面滑动，三棱柱 A置于光
滑水平面上,A和 B的质量分别为 M和 m，斜面倾角为 ? 。试求三
棱柱 A的加速度。
解,研究两三棱柱组
成的系统。该系统受理想
约束，具有两个自由度。
r
r
B
e
B
r
B
e
BB
A
maQmaQ
QQQ
MaQ
??
??
?
,
动力学普遍方程将达朗贝尔原理与虚位移原理结合，可以求解
质点系的动力学问题，特别适合求解非自由质点系的动力学问
题。
13
由动力学普遍方程,
0)s i nc o s()c o s( ??????? BrBeBArBeBA sQQQxQQQ ?????
系统为二自由度，取互不相关的 为独立虚位移，
且,所以
BA sx ??,
mgQ ?
0s i nc o s
0c o s
???
???
r
r
mamgma
mamaMa
??
?
解得,
gmMma )s in(2 2s in 2 ????
14
§ 18-4 第一类拉格朗日方程
把约束方程（ 18-3）代入动力学普遍方程 (18-15)，并引入符号
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r i
k
i
k
i
k
i
k
z
f
y
f
x
ff
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（ 18-16）
对式（ 18-3）取变分
),3,2,1(0
1
skf
n
i
i
i
k ????
?
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?
r
r
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（ 18-17）
引入拉格朗日乘子 ?k(k=1,2,3?,s)，将上式两端乘 ?k并对 k求和
0)()(
111 1
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s
k
k
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s
k
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r
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（ 18-18）
把（ 18-15）式与（ 18-18）式相减，得
0)(
11
???
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??
s
k
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i
k
k
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i
iii
fm r
r
rF ???
15
在 3n个质点坐标中，独立坐标有 3n-s个，对于 s个不独立的坐标
变分，可以选取适当的 ?k,使得变分前的系数为零，而此时独
立坐标变分前的系数也等于零，有
),,2,1(0
1
nifm
s
k i
k
kiii ??? ???
??? ?
? r
rF ?
（ 18-19）
上式就是带拉格朗日乘子的质点系动力学方程，又称为第一类
拉格朗日方程。方程有 3n+s个未知量，故须与方程（ 18-3）联
立求解。对式（ 18-19）与质点系的达郎贝尔原理进行比较，
可以看出含拉格朗日乘子相 对应与 s个约束作用于
系统内各质点上的约束力。
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1
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?? s
k i
k
k
f
r
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16
§ 18-5 第二类拉格朗日方程
设质点系有 n个质点，受 s个完整约束且系统所受的约束是
理想约束，自由度 k=3n- s 。
下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。
质点 。若取系统的一组广义坐标为,则
iii rmM,,k
qqq ?,,21
)( )2,1(
)( ),2,1( ),,,(
1
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称 为 广义速度 。
dt
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j ??
17
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k
j
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j
i
i cniqq
r
r
1
)( ),2,1( ???
代入质点系动力学普遍方程，得,
? ??
? ??
?????
n
i
n
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iiiii
n
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iiii dramrFramF
1 11
)( 0)( ???
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18
称 为 广义力
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j
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i
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i
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1
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j
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n
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广义惯性力
19
广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,因此
)()(
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i
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???
为简化计算,需要用到以下两个关系式,
j
i
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j
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q
v
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q
v
q
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? ;
?
下面来推导这两个关系式,
第一式只须将 (b)式两边对 求偏导数即可得到。
jq?
20
第二式可比较 (a)式先对 ql求偏导数 再对 t求导数与 (b)式对
ql求偏导数的结论得出。
:,)(
)
2
1
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2
1
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1
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111
得式代入 f
q
T
q
T
dt
d
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q
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d
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v
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q
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dt
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),1,2,( kjQqTqTdtd j
jj
?? ???????
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
21
如果作用于质点系的力是有势力，则广义力 可用质点系的势
能来表达。
jQ
),1,2,(
)(
),1,2,( )(
1
1
kj
q
U
Q
q
z
z
U
q
y
y
U
q
x
x
U
kj
q
z
Z
q
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而拉氏方程为,
),1,2,( kjqUqTqTdtd
jjj
?? ??????????
引入拉格朗日函数,L=T-U 则,
),1,2,( 0 )( kjqLqLdtd
jj
?? ???????
保守系统的拉格朗日方程。
22
应用拉氏方程解题的步骤,
1,判定质点系的自由度 k，选取适宜的广义坐标。必须注意：
不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2,计算质点系的动能 T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3,计算广义力,计算公式为,),1,2,( kjQ
j ??
)(
1 j
i
i
j
i
i
j
i
i
n
i
j q
zZ
q
yY
q
xXQ
?
??
?
??
?
?? ?
?
或
j
j
j q
WQ
?
? )(?
若主动力为有势力，须将势能 U表示为广义坐标的函数。
4,建立拉氏方程并加以整理，得出 k个二阶常微分方程。
5,求出上述一组微分方程的积分。
23
[例 1] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆 OA：重 P，
可绕 O点转动；均质小齿轮：重 Q，半径 r,沿半径为 R的固
定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆 OA位于图示 OA0位置。
系杆 OA受大小不变力偶 M作用后，求系杆 OA的运动方程。
所受约束皆为完整、理想、定常的，
可取 OA杆转角 ? 为广义坐标。
??
?
?
?
r
rR
r
v
rRv
A
A
A
???
?? )(
解,图示机构只有一个自由度
24
22
2
2
2
22222
222
)(
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2
1
2
1
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2
1
)(
3
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1
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rR
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P
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g
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??????
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92
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T
rR
g
QPT
dt
d
rR
g
QPT
M
W
Q
MW
??
?
?
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25
代入拉氏方程,
g
))(92(
6
0 )(
92
6
1
2
2
rRQP
M
M rR
g
QP
??
?
???
?
?
?
?
??
??
积分，得,
21
2
2))(92(
3 CtCgt
rRQP
M ??
????
2
2))(92(
3 gt
rRQP
M
????
故,
代入初始条件,t =0 时,得
0 0,0 2100 ?????? C C???? ??
26
[例 2] 与刚度为 k 的弹簧相连的滑块 A，质量为 m1,可在光
滑水平面上滑动。滑块 A上又连一单摆，摆长 l, 摆锤质量为
m2,试列出该系统的运动微分方程。
解,将弹簧力计入主
动力，则系统成为具
有完整、理想约束的
二自由度系统。保守
系统。取 x,?为广义
坐标,x 轴 原点位于
弹簧自然长度位置,
? 逆时针转向为正。
27
??
?
??
??
c o s2
)s i n(
)c o s(
222
2
22
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lx
lx
l
lxv
B
???
?
??
系统动能,
???
???
c o s
2
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2
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2
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2
1
2
1
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1
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2
21
222
2
2
1
2
2
2
1
????
??????
lxmlmxmm
lxlxmxmvmxmT B
????
??????
28
系统势能,（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块 A所在平面为
重力势能零点）
?co s21 22 glmkxU ??
拉格朗日函数,
kx
x
L
lmxmm
x
L
glmkxlxmlmxmm
UTL
??
?
?
???
?
?
??????
??
,c o s)(
c o s
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29
????
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s i ns i n,c os
s i nc os)(
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glmlxm
L
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L
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x
L
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代入,
0s i n c o s
0s i nc o s)(
),1,2,( 0)(
2
2221
???
?????
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?
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???
????
glx
kxlmlmxmm
kj
q
L
q
L
dt
d
jj
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?????
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并适当化简得,
kx
x
L
lmxmm
x
L
glmkxlxmlmxmm
UTL
??
?
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???
?
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??????
??
,c o s)(
c o s
2
1
c o s
2
1
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2
1
221
2
2
2
22
2
2
21
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????
30
0s i n c o s
0s i nc o s)( 22221
???
?????
???
????
glx
kxlmlmxmm
????
?????
系统的运动微分方程。
0
0)( 221
???
????
??
?
glx
kxlmxmm
????
????
上式为系统在平衡位置 (x =0,? =0)附近微幅运动的微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 ? <<1o,
cos? 1,sin? ?，略去二阶以上无穷小量，则 ??
31
§ 17-3 拉格朗日第二类方程的积分
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式
的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一
步简化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循
环积分。
一、能量积分
设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数 L = T - U
中不显含 t,则
32
j
j
k
j j
j
k
j j
j
k
j j
j
k
j j
q
q
L
q
L
dt
d
q
q
L
dt
d
q
q
L
q
q
L
dt
dL
?
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??
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)()(
11
11
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??
??
0)(
1
??? ???
?
LqqLdtd j
k
j j
??
)(
1
常数CLqqL j
k
j j
??? ??
?
??
广义能量积分。
保守系统的拉格朗日函数不显含时间 t 时，保守系统的 广
义能量守恒 。可以证明，当系统约束为定常时，上式为
0
33
系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。
)( )(2
1
常数CUTUTTLqq L j
k
j j
???????? ??
?
??
二、循环积分
如果拉格朗日函数 L中不显含某一广义坐标 qr,则该坐标
称为保守系统的 循环坐标或可遗坐标 。
当 为系统的循环坐标时，必有 )( krq r ?
0???
rq
L
于是拉氏方程成为
0)( ??????
rr q
L
q
L
dt
d
?
34
)( )( krCqL
r
???? 常数?
积分得,循环积分
因 L = T - U，而 U中不显含,故上式可写成
)( )( 常数CPqTUTqq L r
rrr
??????? ???? ???
rq?
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。
保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止
一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一
次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
35
[例 3] 楔形体重 P，斜面倾角 ?，置于光滑水平面上。均
质圆柱体重 Q，半径为 r,在楔形体的斜面上只滚不滑。初始
系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求,(1)系统的运动
微分方程； (2)楔形体的加速度； (3)系统的能量积分与循环积
分。 解,研究楔形体与圆柱体组成
的系统。系统受理想、完整、
定常约束，具有两个自由度。
取广义坐标为 x,s ；各坐标原
点均在初始位置。
36
系统的动能,
)( c o s
4
3
2
1
)(
2
1
2
1
)c o s2(
2
1
2
1
22
22222
asx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
r
s
r
g
Q
sxsx
g
Q
x
g
P
T
?
?
????
?
?????
??
?
??
??????
系统的势能,
取水平面为重力势能零点。
)( )c o ss i n(31 brshQPhU ?? ?????
拉格朗日函数,
)( )c o ss i n
3
1 c o s
4
3
2
1 22 crsQ ( hPhsx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
UTL
??? ???????
?
?
??
????
37
代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分
方程。
??
?
s i n2c o s23
0c o s)(
gxs
sQxQP
??
????
????
???? （ d）
解得楔形体的加速度为
g
QQP
Qx ?
??
?
?
?
2s in23
2s in??
拉格朗日函数 L中不显含 t,故系统存在能量积分。
38
1
22 )c o ss i n(
3
1
c o s
4
3
2
1
CrshQPhsx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
Lq
q
L
j
j
????????
?
?
?
?
?
?
???????
?
?
当 t =0时，, x = s = 0,代入上式中，得
0?? sx ??
)co s(311 ?rhQPhC ???
)( 0s i nc o s4321 22 f sQ sxgQs gQxg QP ????????? ??????
39
由于拉格朗日函数 L中不显含广义坐标 x，故 x 为系统循环坐
标，故有循环积分,
2c o s Csg
Qx
g
QP
x
T
x
LP
x ??
??
?
??
?
?? ???
??
t = 0时,故上式中 C2 = 0,可得 0?? sx ??
)( 0c o s)( gsQxQP ??? ???
（ f ),( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分。 ( f ) 式
实际上是系统的机械能守恒方程。 ( g )式实质上是系统的动
量在 x方向守恒。
40
2
牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与相互作用之
间的关系，前面用矢量形式建立了质点系动力学普遍定理
（动量定理、动量矩定理和动能定理），这种处理动力学
问题的方法和体系称为“矢量力学”，它形式简单，概念
清晰，但由于矢量力学要求事先对系统中个质点的受力情
况进行分析，所以在研究求解具有复杂约束系统和变形体
的动力学问题方面会遇到很大困难。
本章针对矢量力学所遇到的困难，采用分析数学的方法来
求解动力学问题，它利用能量和功来描述物体运动与相互
作用之间的关系，在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，
导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗
日方程）。成为研究动力学问题的有力手段，在解决非自
由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。
3
§ 18–1 自由度和广义坐标
§ 18–2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
§ 18–3 动力学普遍方程
§ 18–4 第一类拉格朗日方程
§ 18–5 第二类拉格朗日方程
§ 18–5 拉格朗日方程的初积分
第十八章 分析力学基础
4
§ 18-1 自由度和广义坐标
一个自由质点在空间的位置由 x,y,z3个坐标可以确定 3个，我们
说该自由质点有 3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则
其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置的独立
参数的数目等于系统的自由度数。
例如：一质点 M限制在球面的上半部运动，则 snk ?? 3
一般讲，一个由 n个质点组成的质点系，若受到 s个完整约束作
用，则其在空间的位置可由 N=3n-s个坐标完全确定下来，我们
把描述质点系在空间中位置的独立参数，称为广义坐标。对完
整系统，广义坐标数目等于系统的自由度树。
)218()()(
)118()()()(
222
2222
???????
???????
byaxRcz
Rczbyax
故该质点在空间的位置由 x,y就可确定，其自由度数为 2。
5
如上面的质点 M的位置由 x,y确定，则,x,y就是其一组广义坐标，
此外，我们可以选取其它的一组独立参量来表达其位置,
222 )
2()2(,2,2 baRczxx ?
??????????? ????????
上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑 n个质点组成的系
统受到 s个完整双侧约束
),,3,2,1(0),,,,( 21 sktf nk ?? ??rrr （ 18-3）
设 为系统的一组广义坐标，我们可以将各
质点的坐标表示为
)3(,,,21 snNqqq n ???
),,3,2,1(0),,,,( 21 nitqqq Nii ?? ??? rr
（ 18-4）
由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到
),,3,2,1(
1
niq
q
N
k k
i
i ????
???
?
?
? rr
（ 18-5）
其中 为广义坐标 qk的变分，称为广义虚位移。 ),,3,2,1( Nkq ???
?
6
上式中 具有功的量纲，所以成 Qk为与广义坐标 qk相对应
的广义力。
§ 18-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
设作用在 I个质点上的主动力的合力 Fi在三个坐标轴上的投影分
别为（ Fxi,Fyi,Fzi ），把（ 18-5）代入虚功方程，得到
0)(
)(
1 1
1 1 111
??
?
?
?
?
?
?
?
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q
y
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q
x
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k
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k
i
xi
n
k
n
i
N
k k
i
zi
N
k k
i
yi
N
k k
i
xiFiF
WW
（ 18-6）
),,3,2,1()(
1
Nk
q
zF
q
yF
q
xFn
i k
i
zi
k
i
yi
k
i
xik ???
??
?
??
?
?? ?
?
Q令
（ 18-7）
则（ 18-6）可以写成
0
1
???? ?
?
k
N
k
kF qQW
（ 18-8）
kk q?Q
7
由于广义坐标的独立性,可以任意选取，则若（ 18-8）成立
，必须有
??q
????? NQQQ ?21
（ 18-9）
上式说明，质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。
这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件。
求广义力的方法有两种：一种方法是直接从（ 18-7）出发进行
计算；另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个 不等
于零，而其他 N-1个广义虚位移都等于零，代入
??q
kkF q??? QW
从而
k
F
k q?
?? WQ （ 18-10）
在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便
下面研究质点系在势力场中的情况，如果作用在质点系上的
主动力都是有势力，则势能应为各质点坐标的函数，为
),,,,,,( 111 nnn zyxzyx ?VV ? （ 18-11）
8 ),,3,2,1(
)()(
Nk
q
V
q
z
z
V
q
y
y
V
q
x
x
V
q
z
F
q
y
F
q
x
F
k
k
i
ik
i
ik
i
ik
i
zi
k
i
yi
k
i
xik
??
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??Q
则虚功方程（ 18-6）中各力的投影可以表达为
i
zi
i
yi
i
xi zFyFxF ?
???
?
???
?
??? VVV,,
于是有
V
VVV
W
????
?
?
??
?
?
??
?
?
??
???????
?
?
)(
)(
i
i
i
i
i
i
i
i
i
iziiyiixiF
z
z
y
y
x
x
zFyFxF
（ 18-12） 这样，虚位移原理的表达式成为 0??V
上式说明：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件
为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。
如果用广义坐标 q1,q2,…,qN表示质点系的位置，则有
),,,,( 111 Nqqqq ?VV ?
（ 18-13）
由广义力表达式（ 18-7），在势力场中可将广义力 Qk表达为
9
则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式
),,3,2,1(0 NkqV
k
k ????
???Q （ 18-14）
即：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对
于每个广义坐标的偏导数分别等于零。上面（ 18-12）（ 18-14
）对于求解弹性系统的平衡问题具有重要意思。
引用势能，还可分析保守系统的平衡稳定性问题，满足平衡条
件的保守系统可能处于不同的稳定状态。
如图示，给图 a,b,c所示的
球体一个小扰动，图 a中球会
回到原来位置，该平衡状态
该平衡状态称为稳定平衡；图 b中小球会在周遍任何位置平衡，
该平衡称为随遇平衡；图 c中小球会滚下去，不会回到原来的平
衡位置，该平衡状态称为不稳平衡。
10
上述 3种平衡状态都满足势能在平衡位置处 ?V=0的平衡条件，但在稳定平
衡位置处，系统受到扰动后，新的位置系统的势能高于平衡位置处的势能
，因此，在稳定平衡位置处，系统的势能具有最小值，因而系统可以回到
低势能位置处；相反在不稳定平衡位置上，系统势能具有最大值，在没有
外力作用下，系统不能从低势能处回到高势能处；对随遇平衡，系统在某
位置附近的势能是不变的，所以其附近任何位置都是平衡位置。
对于一个自由度系统，只有一个广义坐标 q，则系统势能为 q的
一元函数，即 V=V(q)，当系统平衡时，在平衡位置处有
0dd ?qV
如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处，系统势能具
有最小值，即系统对广义坐标的二阶导数大于零
0
d
d
2
2
?
q
V
该式是一个自由度系统平衡的稳定性判据。
11
n个质点组成的系统，第 i个质点各参数为,。若
系统只受理想约束，由达郎贝尔原理和虚位移原理，有
Niiiiim FFrr,,,,??
写成解析式，有
上式表明，在理想约束条件下，质点系在任一瞬时所受的主
动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所做的功的和等于零。
该式称为动力学普遍方程。
0))()()((
1
?????????????
?
iiiziiiiyiiiixi
n
i
zzmFyymFxxmF ??????
§ 18-3 动力学普遍方程
0)()(
1
I
1
????????? ??
??
ii
n
i
iiiNi
n
i
i m rrFrFFF ??
（ 18-15）
—— （ 18-15a）
12
例 1 三棱柱 B沿三棱柱 A的光滑斜面滑动，三棱柱 A置于光
滑水平面上,A和 B的质量分别为 M和 m，斜面倾角为 ? 。试求三
棱柱 A的加速度。
解,研究两三棱柱组
成的系统。该系统受理想
约束，具有两个自由度。
r
r
B
e
B
r
B
e
BB
A
maQmaQ
QQQ
MaQ
??
??
?
,
动力学普遍方程将达朗贝尔原理与虚位移原理结合，可以求解
质点系的动力学问题，特别适合求解非自由质点系的动力学问
题。
13
由动力学普遍方程,
0)s i nc o s()c o s( ??????? BrBeBArBeBA sQQQxQQQ ?????
系统为二自由度，取互不相关的 为独立虚位移，
且,所以
BA sx ??,
mgQ ?
0s i nc o s
0c o s
???
???
r
r
mamgma
mamaMa
??
?
解得,
gmMma )s in(2 2s in 2 ????
14
§ 18-4 第一类拉格朗日方程
把约束方程（ 18-3）代入动力学普遍方程 (18-15)，并引入符号
kji
r i
k
i
k
i
k
i
k
z
f
y
f
x
ff
?
??
?
??
?
??
?
?
（ 18-16）
对式（ 18-3）取变分
),3,2,1(0
1
skf
n
i
i
i
k ????
?
??
?
r
r
?
（ 18-17）
引入拉格朗日乘子 ?k(k=1,2,3?,s)，将上式两端乘 ?k并对 k求和
0)()(
111 1
???
?
????
?
? ??? ?
??? ?
i
i
k
s
k
k
n
i
s
k
i
n
i i
k
k
ff r
r
r
r
??
（ 18-18）
把（ 18-15）式与（ 18-18）式相减，得
0)(
11
???
?
??? ??
??
s
k
i
i
k
k
n
i
iii
fm r
r
rF ???
15
在 3n个质点坐标中，独立坐标有 3n-s个，对于 s个不独立的坐标
变分，可以选取适当的 ?k,使得变分前的系数为零，而此时独
立坐标变分前的系数也等于零，有
),,2,1(0
1
nifm
s
k i
k
kiii ??? ???
??? ?
? r
rF ?
（ 18-19）
上式就是带拉格朗日乘子的质点系动力学方程，又称为第一类
拉格朗日方程。方程有 3n+s个未知量，故须与方程（ 18-3）联
立求解。对式（ 18-19）与质点系的达郎贝尔原理进行比较，
可以看出含拉格朗日乘子相 对应与 s个约束作用于
系统内各质点上的约束力。
)(
1
?
? ?
?? s
k i
k
k
f
r
?
16
§ 18-5 第二类拉格朗日方程
设质点系有 n个质点，受 s个完整约束且系统所受的约束是
理想约束，自由度 k=3n- s 。
下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。
质点 。若取系统的一组广义坐标为,则
iii rmM,,k
qqq ?,,21
)( )2,1(
)( ),2,1( ),,,(
1
21
bni
t
r
q
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dt
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v
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k
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kii
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称 为 广义速度 。
dt
dqq j
j ??
17
?
?
??
?
?
?
k
j
j
j
i
i cniqq
r
r
1
)( ),2,1( ???
代入质点系动力学普遍方程，得,
? ??
? ??
?????
n
i
n
i
iiiii
n
i
iiii dramrFramF
1 11
)( 0)( ???
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1
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)]([
)()(
?
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???
18
称 为 广义力
)( )(
1
eqzZqyYqxXQ
j
i
i
j
i
i
j
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mQ
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)( ),2,1( 0
1
fkjqrdt vdmQ
j
i
n
i
i
ij ????
?? ?
?
广义惯性力
19
广义惯性力可改变为用质点系的动能表示,因此
)()(
111 j
i
n
i
ii
j
i
i
n
i
i
j
i
n
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q
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q
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vdm
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???
?
???
?
?? ???
???
为简化计算,需要用到以下两个关系式,
j
i
j
i
j
i
j
i
q
v
q
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dt
d
q
v
q
r
?
??
?
?
?
??
?
? ;
?
下面来推导这两个关系式,
第一式只须将 (b)式两边对 求偏导数即可得到。
jq?
20
第二式可比较 (a)式先对 ql求偏导数 再对 t求导数与 (b)式对
ql求偏导数的结论得出。
:,)(
)
2
1
()]
2
1
([
)(
1
2
1
2
111
得式代入 f
q
T
q
T
dt
d
vm
q
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qdt
d
q
v
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q
r
v
dt
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???
??
???
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?
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),1,2,( kjQqTqTdtd j
jj
?? ???????
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
21
如果作用于质点系的力是有势力，则广义力 可用质点系的势
能来表达。
jQ
),1,2,(
)(
),1,2,( )(
1
1
kj
q
U
Q
q
z
z
U
q
y
y
U
q
x
x
U
kj
q
z
Z
q
y
Y
q
x
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j
j
j
i
ij
i
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i
i
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i
j
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j
i
i
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i
j
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?
?
而拉氏方程为,
),1,2,( kjqUqTqTdtd
jjj
?? ??????????
引入拉格朗日函数,L=T-U 则,
),1,2,( 0 )( kjqLqLdtd
jj
?? ???????
保守系统的拉格朗日方程。
22
应用拉氏方程解题的步骤,
1,判定质点系的自由度 k，选取适宜的广义坐标。必须注意：
不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2,计算质点系的动能 T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3,计算广义力,计算公式为,),1,2,( kjQ
j ??
)(
1 j
i
i
j
i
i
j
i
i
n
i
j q
zZ
q
yY
q
xXQ
?
??
?
??
?
?? ?
?
或
j
j
j q
WQ
?
? )(?
若主动力为有势力，须将势能 U表示为广义坐标的函数。
4,建立拉氏方程并加以整理，得出 k个二阶常微分方程。
5,求出上述一组微分方程的积分。
23
[例 1] 水平面内运动的行星齿轮机构。均质杆 OA：重 P，
可绕 O点转动；均质小齿轮：重 Q，半径 r,沿半径为 R的固
定大齿轮滚动。系统初始静止，系杆 OA位于图示 OA0位置。
系杆 OA受大小不变力偶 M作用后，求系杆 OA的运动方程。
所受约束皆为完整、理想、定常的，
可取 OA杆转角 ? 为广义坐标。
??
?
?
?
r
rR
r
v
rRv
A
A
A
???
?? )(
解,图示机构只有一个自由度
24
22
2
2
2
22222
222
)(
92
12
1
)(
2
1
2
1
)(
2
1
)(
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
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rR
g
QP
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rR
r
g
Q
rR
g
Q
rR
g
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Iv
g
Q
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AAAO
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92
6
1; )(
92
6
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2
2
)(
)(
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rR
g
QPT
dt
d
rR
g
QPT
M
W
Q
MW
??
?
?
?
25
代入拉氏方程,
g
))(92(
6
0 )(
92
6
1
2
2
rRQP
M
M rR
g
QP
??
?
???
?
?
?
?
??
??
积分，得,
21
2
2))(92(
3 CtCgt
rRQP
M ??
????
2
2))(92(
3 gt
rRQP
M
????
故,
代入初始条件,t =0 时,得
0 0,0 2100 ?????? C C???? ??
26
[例 2] 与刚度为 k 的弹簧相连的滑块 A，质量为 m1,可在光
滑水平面上滑动。滑块 A上又连一单摆，摆长 l, 摆锤质量为
m2,试列出该系统的运动微分方程。
解,将弹簧力计入主
动力，则系统成为具
有完整、理想约束的
二自由度系统。保守
系统。取 x,?为广义
坐标,x 轴 原点位于
弹簧自然长度位置,
? 逆时针转向为正。
27
??
?
??
??
c o s2
)s i n(
)c o s(
222
2
22
??
??
?
??
lx
lx
l
lxv
B
???
?
??
系统动能,
???
???
c o s
2
1)(
2
1
)c o s2(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
22
2
2
21
222
2
2
1
2
2
2
1
????
??????
lxmlmxmm
lxlxmxmvmxmT B
????
??????
28
系统势能,（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块 A所在平面为
重力势能零点）
?co s21 22 glmkxU ??
拉格朗日函数,
kx
x
L
lmxmm
x
L
glmkxlxmlmxmm
UTL
??
?
?
???
?
?
??????
??
,c o s)(
c o s
2
1
c o s
2
1
)(
2
1
221
2
2
2
22
2
2
21
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????
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?
????
29
????
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???
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??
?
????
s i nc os)(
s i ns i n,c os
s i nc os)(
22
2
2
222
2
2
2
2221
??????
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lxmlxmlm
L
dt
d
glmlxm
L
lxmlm
L
lmlmxmm
x
L
dt
d
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?
?
??
?
?
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?
?
代入,
0s i n c o s
0s i nc o s)(
),1,2,( 0)(
2
2221
???
?????
??
?
?
?
?
?
???
????
glx
kxlmlmxmm
kj
q
L
q
L
dt
d
jj
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?????
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并适当化简得,
kx
x
L
lmxmm
x
L
glmkxlxmlmxmm
UTL
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?
?
???
?
?
??????
??
,c o s)(
c o s
2
1
c o s
2
1
)(
2
1
221
2
2
2
22
2
2
21
??
????
??
?
????
30
0s i n c o s
0s i nc o s)( 22221
???
?????
???
????
glx
kxlmlmxmm
????
?????
系统的运动微分方程。
0
0)( 221
???
????
??
?
glx
kxlmxmm
????
????
上式为系统在平衡位置 (x =0,? =0)附近微幅运动的微分方程。
若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时 ? <<1o,
cos? 1,sin? ?，略去二阶以上无穷小量，则 ??
31
§ 17-3 拉格朗日第二类方程的积分
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式
的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一
步简化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循
环积分。
一、能量积分
设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数 L = T - U
中不显含 t,则
32
j
j
k
j j
j
k
j j
j
k
j j
j
k
j j
q
q
L
q
L
dt
d
q
q
L
dt
d
q
q
L
q
q
L
dt
dL
?
?
?
?
??
?
?
)()(
11
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
0)(
1
??? ???
?
LqqLdtd j
k
j j
??
)(
1
常数CLqqL j
k
j j
??? ??
?
??
广义能量积分。
保守系统的拉格朗日函数不显含时间 t 时，保守系统的 广
义能量守恒 。可以证明，当系统约束为定常时，上式为
0
33
系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。
)( )(2
1
常数CUTUTTLqq L j
k
j j
???????? ??
?
??
二、循环积分
如果拉格朗日函数 L中不显含某一广义坐标 qr,则该坐标
称为保守系统的 循环坐标或可遗坐标 。
当 为系统的循环坐标时，必有 )( krq r ?
0???
rq
L
于是拉氏方程成为
0)( ??????
rr q
L
q
L
dt
d
?
34
)( )( krCqL
r
???? 常数?
积分得,循环积分
因 L = T - U，而 U中不显含,故上式可写成
)( )( 常数CPqTUTqq L r
rrr
??????? ???? ???
rq?
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。
保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止
一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一
次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
35
[例 3] 楔形体重 P，斜面倾角 ?，置于光滑水平面上。均
质圆柱体重 Q，半径为 r,在楔形体的斜面上只滚不滑。初始
系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求,(1)系统的运动
微分方程； (2)楔形体的加速度； (3)系统的能量积分与循环积
分。 解,研究楔形体与圆柱体组成
的系统。系统受理想、完整、
定常约束，具有两个自由度。
取广义坐标为 x,s ；各坐标原
点均在初始位置。
36
系统的动能,
)( c o s
4
3
2
1
)(
2
1
2
1
)c o s2(
2
1
2
1
22
22222
asx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
r
s
r
g
Q
sxsx
g
Q
x
g
P
T
?
?
????
?
?????
??
?
??
??????
系统的势能,
取水平面为重力势能零点。
)( )c o ss i n(31 brshQPhU ?? ?????
拉格朗日函数,
)( )c o ss i n
3
1 c o s
4
3
2
1 22 crsQ ( hPhsx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
UTL
??? ???????
?
?
??
????
37
代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分
方程。
??
?
s i n2c o s23
0c o s)(
gxs
sQxQP
??
????
????
???? （ d）
解得楔形体的加速度为
g
QQP
Qx ?
??
?
?
?
2s in23
2s in??
拉格朗日函数 L中不显含 t,故系统存在能量积分。
38
1
22 )c o ss i n(
3
1
c o s
4
3
2
1
CrshQPhsx
g
Q
s
g
Q
x
g
QP
Lq
q
L
j
j
????????
?
?
?
?
?
?
???????
?
?
当 t =0时，, x = s = 0,代入上式中，得
0?? sx ??
)co s(311 ?rhQPhC ???
)( 0s i nc o s4321 22 f sQ sxgQs gQxg QP ????????? ??????
39
由于拉格朗日函数 L中不显含广义坐标 x，故 x 为系统循环坐
标，故有循环积分,
2c o s Csg
Qx
g
QP
x
T
x
LP
x ??
??
?
??
?
?? ???
??
t = 0时,故上式中 C2 = 0,可得 0?? sx ??
)( 0c o s)( gsQxQP ??? ???
（ f ),( g ) 式即为系统的能量积分和循环积分。 ( f ) 式
实际上是系统的机械能守恒方程。 ( g )式实质上是系统的动
量在 x方向守恒。
40
