1
2
牛顿第一定律和牛顿第二定律只适用
于惯性参考系，对于非惯性参考系是不适
用的。本章将建立非惯性系中的质点动力
学基本方程及动能定理。但这里的时间、
质量及空间尺度的度量都是绝对的，速度
也远小于光速，研究对象仍为宏观物体的
机械运动，因此仍属于古典力学（或称经
典力学）范畴。
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
3
§ 16–1 非惯性系中质点动力学的基本方程
§ 16–2 非惯性系中质点动力学的动能定理
第十六章 非惯性系中的质点动力学
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
4
在非惯性系中,质点动力的基本方程不同于惯性系
如图,设质点 M相对 O’x’y’z’运动,选取一惯
性参考系 Oxyz作为定参考系,则有
§ 16-1 非惯性系中质点动力学的基本方程
Fa ?a m
为科氏加速度
考虑
C
Cera
a
aaaa ???
C
C
mmm
mmm
aaFa
Faaa
???
???
er
er
或
则
Cmm aFaF ???? ICeIe,令
ICIer FFFa ???m
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
5
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
ICIer FFFa ???m
上式称为非惯性系中的质点动力学基本方程,或称为质点相对
运动动力学基本方程, 其中 FIe 称为牵连惯性力,FIC 称为科氏惯
性力,可以理解为非惯性参考系中对于牛顿第二定律的修正项,
它们具有力的量纲,且与质量有关,因而称之为惯性力,
在动参考系中,上式可以写成微分方程形式,即
ICIe2
2
d
d
~
FFF
r
???
?
t
m
上式称为非惯性系中的质点运动微分方程，或称为质点相对
运动微分方程。应用该方程时，一般取适当的投影形式。
6
*几种特殊情况
（ 1）当动参考系相对定参考系做平动,aC=0,FIC=0,则
Ier FFa ??m
（ 2）当动参考系相对定参考系做匀速直线运动,FIe=FIC=0,则
Fa ?rm
上式表明，对这样的参考系，牛顿定律也适用。故所有相对于
惯性参考系作匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。另外可
以看出，参考系作惯性运动时，质点的相对运动不受牵连运动
的影响。也即发生在惯性参考系中的任何力学现象，都无助于
发觉该参考系本身的运动情况，以上称为相对性原理。
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
7
（ 3）当质点相对动参考系静止时，有 ar=0,vr=0,又 FIC=0,则
0I ?? eFF
（ 4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有 ar=0，则
上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考
系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性
力相互平衡。
0ICIe ??? FFF
上式称为质点的相对平衡方程。可见在非惯性参考系中，质
点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不同的。
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
8
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
9
[例 ] 图示一测振仪。
仪器的机架内有一质量为 m的
振子，当机架随着外界运动时
，振子相对与机架产生相对运
动，振子上的笔将在机架的滚
筒上记录下振子的相对运动。
令振子上的弹簧刚度为 k，粘
性阻尼系数为 c。
当机架在作简谐振动 时，
建立振子的相对运动方程。
tb ?sin
tb ?sin
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
10
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
[解 ]
EXIT
Cx
0x
?
O
y?
0O0y?
C
惯性基
00 e??O
e??O非惯性基：机架
位形 0)( ?t?
C牵连加速度
xRR OO ?? ?
机架在作简谐振动
OR
)s in( 0 tbbR O ???
xtba O ?? )s i n( 2 ????
xtmbF ?? )s i n( 2e ???
0C ?? ?F
C牵连惯性力
C科氏加速度
ee
CamF
?? ??
CC
CamF
?? ??
COCOOC rraa
????? 2e ?? ????
rC 2
COC va
??? ?? ?
C科氏惯性力
基点 O为振子的平衡位置
0?Cx 振子的重力与弹簧力平衡
x?
eF?
tb ?sin
11
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
EXIT
Cx
0O
O
x?
y?
0y?
C
惯性基 0
0 e
??O
e??O非惯性基：机架 机架在作简谐振动
OR
xtmbF ?? )s i n( 2e ???
0C ?? ?F
C牵连惯性力
C科氏惯性力
xlxkF C ?? )( 01 ???
受力分析
重力 xmgG ?? ??
xxcF C ??? ??2
弹簧力
粘性阻尼力
G?1F
? 2F?
eF?
tmbxclxkmgxm CCC ?? s i n)( 20 ?????? ???
mg kl? 0
tmakxxcxm CCC ?? s i n2??? ???
质心相对运动定理
0?Cx
振子的重
力与弹簧
力平衡
质心相对运动方程
单自由度强迫振动方程
12
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /例
[例 ]
变摆长的摆套在环上，摆绳原长
为 l0，以匀速 v向下拉
小球视为质点，质量为 m
建立此摆的的动力学方程
O
v?
0l
13
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
[解 ]
?
O
v?
0x?
0y?
惯性基 0e??O
以小球为对象
y?
e??O非惯性基 x轴与摆绳重合
位形
)(t?
0?? ?OR
ztO ??? )(?? ?
ztO ???? )(?? ?
设定正向
x?
摆长 vtll ??
0
C
14
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
?
O
v?
0x?
0y?
x?
y?
e??O非惯性基
)(t?0?? ?
OR
小球 C牵连加速度
e
ω
e
α
e
t
e
CCCC aaaa
???? ???
ztO ??? )(?? ? ztO ???? )(?? ?
COC ra
??? ?? ?e
α
e
αCa
?
e
ωCa
?
COC ra
?? 2e
ω ???
? ??)( 0eα vtla C ??
2
0
e
ω )( ? ?vtla C ??
ee
CamF
?? ??
e
?F
?
e
ωF
?2e
ω ??mlF ?
? ??)( 0eα vtlmF ??
Cr
?
方向已知
方向已知
e
ω
e
α
d e f
FF ?? ??
方向已知
方向已知
转动切向牵连加速度
转动向心牵连加速度
小球 C牵连惯性力
切向牵连惯性力
e
α
e
α CamF
?? ??
法向牵连惯性力 e
ω
e
ω CamF
?? ??
摆长 vtll ??
0
C
15
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
?
O
v?
0x?
0y?
x?
y?
e??O非惯性基
)(t?0?? ?
OR
ztO ??? )(?? ? ztO ???? )(?? ?
e
?F
?
e
ωF
?
2e
ω ??mlF ?
? ??)( 0eα vtlmF ??
Cr
?
切向牵连惯性力
法向牵连惯性力
摆长 vtll ??
0
C
r2
CO
C
C va
??? ?? ? va C
C ??2?
??mvF C 2?
小球 C科氏加速度
r
Cv
?
C
Ca
?
科氏惯性力
CC
CamF
?? ??
方向已知
CF
方向已知
16
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
?
O
v?
0x?
0y?
x?
y?
e??O非惯性基
)(t?0?? ?
OR
ztO ??? )(?? ? ztO ???? )(?? ?
e
?F
?
e
ωF
?
2e
ω ??mlF ?
? ??)( 0eα vtlmF ??
Cr
?
切向牵连惯性力
法向牵连惯性力
摆长 vtll ??
0
C??mvF C 2?科氏惯性力
CF
方向已知
TF
?
受力分析
重力 gmG ?? ? 约束力
TF
?
G?
小球相对非惯性基的运动已知
vtlx C ?? 0 0?Cy 0?? CC yx ????
)(c o s0,02T vtlmFmgx ???? ?? ?
Cena FFFFrm
C
??????? ????质心相对运动定理
vmvtlmmgy ??? ??? 2)(s i n0,0 ?????
17
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
?
O
v?
0x?
0y?
x?
y?
C
)(c o s0,02T vtlmFmgx ???? ?? ?
vmvtlmmgy ??? ??? 2)(s i n0,0 ?????
( ) ?? ? s i nl vt v g0 2 0? ? ? ?? ? ?
?? c o s)( 02T mgvtlmF ??? ?
TF
?
G?
摆的的动力学方程
约束力
18
§ 16-2 非惯性系中质点的动能定理
与惯性参考系中推导动能定理不同，在非惯性系中，由于质点
的运动微分方程中含有惯性力，因此需重新推导该定理
质点的相对运动动力学基本方程为
ICIerd
d FFF ???
t
vm
有上式两端乘对时间的相对导数为 rv ?d,:dd trtv
科氏加速度；牵连加速度,,Ce aa
式中,
eIe aF m??
为牵连惯性力
rIC 2 vaF ????? ?mm C
为科氏惯性力
质点相对动参考系速度非惯性参考系角速度,:,rv?
rFrFrFr ??????????? dddddd ICIertvm
则有且科氏惯性力垂直于注意到,0d,,dd ICrr ????? rFvrv t
rFrF ??????? ddd Ierr vmv
19
功，则有在质点相对位移上的元和牵连惯性力表示力和若以
IeIe FFWW F ?? ??
Ie
2
r )2
1(d WWm
F ???? ??v
(1-3)
上式称为质点相对运动动能定理的微分形式，即：质点在非惯
性系中相对动能的增量，等于作用于质点上的力与牵连惯性力
在相对运动中所作的元功之和。积分上式，有
Ie
2
r0
2
r 2
1
2
1 WWvv ?????
Fmm
(1-4)
上式表明：质点在非惯性参考系中相对动能的变化，等于作用
在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。这一
规律称为质点相对运动动能定理的积分形式。值得注意的是科
氏惯性力始终垂直与相对速度，所以在相对运动中不作功。
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
2
牛顿第一定律和牛顿第二定律只适用
于惯性参考系，对于非惯性参考系是不适
用的。本章将建立非惯性系中的质点动力
学基本方程及动能定理。但这里的时间、
质量及空间尺度的度量都是绝对的，速度
也远小于光速，研究对象仍为宏观物体的
机械运动，因此仍属于古典力学（或称经
典力学）范畴。
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
3
§ 16–1 非惯性系中质点动力学的基本方程
§ 16–2 非惯性系中质点动力学的动能定理
第十六章 非惯性系中的质点动力学
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
4
在非惯性系中,质点动力的基本方程不同于惯性系
如图,设质点 M相对 O’x’y’z’运动,选取一惯
性参考系 Oxyz作为定参考系,则有
§ 16-1 非惯性系中质点动力学的基本方程
Fa ?a m
为科氏加速度
考虑
C
Cera
a
aaaa ???
C
C
mmm
mmm
aaFa
Faaa
???
???
er
er
或
则
Cmm aFaF ???? ICeIe,令
ICIer FFFa ???m
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
5
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
ICIer FFFa ???m
上式称为非惯性系中的质点动力学基本方程,或称为质点相对
运动动力学基本方程, 其中 FIe 称为牵连惯性力,FIC 称为科氏惯
性力,可以理解为非惯性参考系中对于牛顿第二定律的修正项,
它们具有力的量纲,且与质量有关,因而称之为惯性力,
在动参考系中,上式可以写成微分方程形式,即
ICIe2
2
d
d
~
FFF
r
???
?
t
m
上式称为非惯性系中的质点运动微分方程，或称为质点相对
运动微分方程。应用该方程时，一般取适当的投影形式。
6
*几种特殊情况
（ 1）当动参考系相对定参考系做平动,aC=0,FIC=0,则
Ier FFa ??m
（ 2）当动参考系相对定参考系做匀速直线运动,FIe=FIC=0,则
Fa ?rm
上式表明，对这样的参考系，牛顿定律也适用。故所有相对于
惯性参考系作匀速直线平移的参考系都是惯性参考系。另外可
以看出，参考系作惯性运动时，质点的相对运动不受牵连运动
的影响。也即发生在惯性参考系中的任何力学现象，都无助于
发觉该参考系本身的运动情况，以上称为相对性原理。
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
7
（ 3）当质点相对动参考系静止时，有 ar=0,vr=0,又 FIC=0,则
0I ?? eFF
（ 4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有 ar=0，则
上式称为质点相对静止的平衡方程，即当质点在非惯性参考
系中保持相对静止时，作用在质点上的力与质点的牵连惯性
力相互平衡。
0ICIe ??? FFF
上式称为质点的相对平衡方程。可见在非惯性参考系中，质
点相对静止和作等速直线运动时，其平衡条件是不同的。
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
8
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
9
[例 ] 图示一测振仪。
仪器的机架内有一质量为 m的
振子，当机架随着外界运动时
，振子相对与机架产生相对运
动，振子上的笔将在机架的滚
筒上记录下振子的相对运动。
令振子上的弹簧刚度为 k，粘
性阻尼系数为 c。
当机架在作简谐振动 时，
建立振子的相对运动方程。
tb ?sin
tb ?sin
动力学 第十六章 非惯性力系中的质点动力学
10
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
[解 ]
EXIT
Cx
0x
?
O
y?
0O0y?
C
惯性基
00 e??O
e??O非惯性基：机架
位形 0)( ?t?
C牵连加速度
xRR OO ?? ?
机架在作简谐振动
OR
)s in( 0 tbbR O ???
xtba O ?? )s i n( 2 ????
xtmbF ?? )s i n( 2e ???
0C ?? ?F
C牵连惯性力
C科氏加速度
ee
CamF
?? ??
CC
CamF
?? ??
COCOOC rraa
????? 2e ?? ????
rC 2
COC va
??? ?? ?
C科氏惯性力
基点 O为振子的平衡位置
0?Cx 振子的重力与弹簧力平衡
x?
eF?
tb ?sin
11
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
EXIT
Cx
0O
O
x?
y?
0y?
C
惯性基 0
0 e
??O
e??O非惯性基：机架 机架在作简谐振动
OR
xtmbF ?? )s i n( 2e ???
0C ?? ?F
C牵连惯性力
C科氏惯性力
xlxkF C ?? )( 01 ???
受力分析
重力 xmgG ?? ??
xxcF C ??? ??2
弹簧力
粘性阻尼力
G?1F
? 2F?
eF?
tmbxclxkmgxm CCC ?? s i n)( 20 ?????? ???
mg kl? 0
tmakxxcxm CCC ?? s i n2??? ???
质心相对运动定理
0?Cx
振子的重
力与弹簧
力平衡
质心相对运动方程
单自由度强迫振动方程
12
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /例
[例 ]
变摆长的摆套在环上，摆绳原长
为 l0，以匀速 v向下拉
小球视为质点，质量为 m
建立此摆的的动力学方程
O
v?
0l
13
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
[解 ]
?
O
v?
0x?
0y?
惯性基 0e??O
以小球为对象
y?
e??O非惯性基 x轴与摆绳重合
位形
)(t?
0?? ?OR
ztO ??? )(?? ?
ztO ???? )(?? ?
设定正向
x?
摆长 vtll ??
0
C
14
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
?
O
v?
0x?
0y?
x?
y?
e??O非惯性基
)(t?0?? ?
OR
小球 C牵连加速度
e
ω
e
α
e
t
e
CCCC aaaa
???? ???
ztO ??? )(?? ? ztO ???? )(?? ?
COC ra
??? ?? ?e
α
e
αCa
?
e
ωCa
?
COC ra
?? 2e
ω ???
? ??)( 0eα vtla C ??
2
0
e
ω )( ? ?vtla C ??
ee
CamF
?? ??
e
?F
?
e
ωF
?2e
ω ??mlF ?
? ??)( 0eα vtlmF ??
Cr
?
方向已知
方向已知
e
ω
e
α
d e f
FF ?? ??
方向已知
方向已知
转动切向牵连加速度
转动向心牵连加速度
小球 C牵连惯性力
切向牵连惯性力
e
α
e
α CamF
?? ??
法向牵连惯性力 e
ω
e
ω CamF
?? ??
摆长 vtll ??
0
C
15
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
?
O
v?
0x?
0y?
x?
y?
e??O非惯性基
)(t?0?? ?
OR
ztO ??? )(?? ? ztO ???? )(?? ?
e
?F
?
e
ωF
?
2e
ω ??mlF ?
? ??)( 0eα vtlmF ??
Cr
?
切向牵连惯性力
法向牵连惯性力
摆长 vtll ??
0
C
r2
CO
C
C va
??? ?? ? va C
C ??2?
??mvF C 2?
小球 C科氏加速度
r
Cv
?
C
Ca
?
科氏惯性力
CC
CamF
?? ??
方向已知
CF
方向已知
16
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
?
O
v?
0x?
0y?
x?
y?
e??O非惯性基
)(t?0?? ?
OR
ztO ??? )(?? ? ztO ???? )(?? ?
e
?F
?
e
ωF
?
2e
ω ??mlF ?
? ??)( 0eα vtlmF ??
Cr
?
切向牵连惯性力
法向牵连惯性力
摆长 vtll ??
0
C??mvF C 2?科氏惯性力
CF
方向已知
TF
?
受力分析
重力 gmG ?? ? 约束力
TF
?
G?
小球相对非惯性基的运动已知
vtlx C ?? 0 0?Cy 0?? CC yx ????
)(c o s0,02T vtlmFmgx ???? ?? ?
Cena FFFFrm
C
??????? ????质心相对运动定理
vmvtlmmgy ??? ??? 2)(s i n0,0 ?????
17
刚体动力学 /非惯性基下刚体动力学 /平面平动 /解
?
O
v?
0x?
0y?
x?
y?
C
)(c o s0,02T vtlmFmgx ???? ?? ?
vmvtlmmgy ??? ??? 2)(s i n0,0 ?????
( ) ?? ? s i nl vt v g0 2 0? ? ? ?? ? ?
?? c o s)( 02T mgvtlmF ??? ?
TF
?
G?
摆的的动力学方程
约束力
18
§ 16-2 非惯性系中质点的动能定理
与惯性参考系中推导动能定理不同，在非惯性系中，由于质点
的运动微分方程中含有惯性力，因此需重新推导该定理
质点的相对运动动力学基本方程为
ICIerd
d FFF ???
t
vm
有上式两端乘对时间的相对导数为 rv ?d,:dd trtv
科氏加速度；牵连加速度,,Ce aa
式中,
eIe aF m??
为牵连惯性力
rIC 2 vaF ????? ?mm C
为科氏惯性力
质点相对动参考系速度非惯性参考系角速度,:,rv?
rFrFrFr ??????????? dddddd ICIertvm
则有且科氏惯性力垂直于注意到,0d,,dd ICrr ????? rFvrv t
rFrF ??????? ddd Ierr vmv
19
功，则有在质点相对位移上的元和牵连惯性力表示力和若以
IeIe FFWW F ?? ??
Ie
2
r )2
1(d WWm
F ???? ??v
(1-3)
上式称为质点相对运动动能定理的微分形式，即：质点在非惯
性系中相对动能的增量，等于作用于质点上的力与牵连惯性力
在相对运动中所作的元功之和。积分上式，有
Ie
2
r0
2
r 2
1
2
1 WWvv ?????
Fmm
(1-4)
上式表明：质点在非惯性参考系中相对动能的变化，等于作用
在质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作的功之和。这一
规律称为质点相对运动动能定理的积分形式。值得注意的是科
氏惯性力始终垂直与相对速度，所以在相对运动中不作功。
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
