1
2
静力学 第四章 空间力系
第四章 空间力系
实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用
线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间
力系是最一般的力系。本章将研究空间力系的简
化和平衡问题。与平面力系一样，先研究空间力
系的特殊情况 — 即空间汇交力系和空间力偶系，
然后研究空间力系的一般情况 — 空间任意力系。
3
静力学 第四章 空间力系
§ 4-1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
4
静力学 第四章 空间力系
若已知力与正交坐标系
Oxyz三轴正向间的夹角
q,b,g 。则由空间力
在轴上的投影定义，可
直接将力 F投影在 正交
坐标系 Oxyz三轴上
gbq c o s,c o s,c o s ?????? FFFFFF zyx
5
静力学 第四章 空间力系
间接投影法
6
静力学 第四章 空间力系
当力与轴 Ox,Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投
影到坐标平面 xy上，然后再投影到 x,y轴上，即
?g? c o ss i nc o s ????? FFF xxy
?g? s i ns i ns i n ????? FFF xyy
gc o s?? FF z
这里要强调指出,空间力在
轴上的投影是代数量，而在
平面上的投影则是矢量 。
7
静力学 第四章 空间力系
与平面力类似，空间力的解析表达式为
kjiF zyx FFF ???
正向的单位矢量分别为坐标轴 OzOyOx,、,,kji
F
F
F
F
F
F zyx ??? ),c o s (,),c o s (,),c o s ( kFjFiF
222
zyx FFFF ???
如果已知力 F在 x,y,z轴上的投影，则可求得力 F
的大小和方向余弦为
8
例题 4-1
静力学 第四章 空间力系
解,力 F 的大小
kN 6.19222 ???? zyx FFFF
力 F 的方向余弦 及与坐标轴的夹角为
,322.0 c o s ?? FF yb
?? 7.76q，220.0 c o s ??
F
F xq
?? 1.71b
,919.0 c o s ?? FF zg ?? 23g
x
y
q β
γ
z
F
Fx
Fy
Fz
A
已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承
受的力 F 的三个正交分量 Fx,Fy,Fz的大小各为
4.5 kN,6.3 kN,18 kN,试求力 F 的大小和方向。
9
力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
已知力沿直角坐标轴的解析式为 kN ) 543( kji ???F
试求这个力的大小和方向，并作图表示。
kN 5,kN 4,kN 3 ???? zyx FFF
kN 25222 ???? zyx FFFF
? ?
? ?
? ? 70 7.0
25
5
c o s
56 6.0
25
4
c o s
42 4.0
25
3
c o s
??
?
?
??
??
kF,
jF,
iF,
? ?
? ?
? ? ???
?
?
13 54518 0
55.55
9.64
????
??
??
g
b
q
kF,
jF,
iF,
解,由已知条件得
所以力 F 的大小为
例题 4-2
静力学 第四章 空间力系
10
三棱柱底面为直角等腰三角形, 在其侧平面
ABED上作用有一力 F,力 F与 OAB平面夹角为 30o,求
力 F在三个坐标轴上的投影 。
例题 4-3
静力学 第四章 空间力系
利用二次
投影法, 先将
力 F投影到 Oxy
平面上, 然后
再分别向 x,y，
z轴投影 。
解,
11
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力 Fn的作用。
已知斜齿轮的啮合角 (螺旋角 ) β 和压力角 q, 试求
力 Fn 沿 x,y 和 z 轴的分力。
例题 4-4
静力学 第四章 空间力系
12
将力 Fn向 z 轴和 Oxy 平面投影
qq c o s,s i n nn FFFF xyz ???
解,例题 4-4
静力学 第四章 空间力系
将力 Fxy向 x,y 轴投影
bqb
bqb
c o sc o s c o s
s i nc o s s i n
n
n
FFF
FFF
xyy
xyx
????
????
13
沿各轴的分力为
kF
jF
iF
)s in(
) c osc os(
)s inc os(
n
n
n
q
bq
bq
F
F
F
z
y
x
??
??
??
例题 4-4
静力学 第四章 空间力系
14
静力学 第四章 空间力系
合力在 x,y,z轴的投影为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
?
n
i
ziznzzz
n
i
yiynyyy
n
i
xixnxxx
FFFFF
FFFFF
FFFFF
1
21
1
21
1
21
??
??
??
2,空间汇交力系的合力
与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力
的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即
?
?
?????
n
i
in
1
21R FFFFF ?
)(
11
R kjiFF zi
n
i
yixi
n
i
i FFF??
??
????
15
静力学 第四章 空间力系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
R
zi
R
z
R
yi
R
y
R
xi
R
x
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
),c os (
),c os (
)c os (
R
R
kF
jF
i,F
R
方向余弦
合力矢 FR的大小和方向余弦为
222
222
R
)()()( ziyixi
zyx
FFF
FFFF
??????
???
大小
16
在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴
上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大
小和方向。
kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3
,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10
,kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1
??????
??????
??????
z
y
x
F
F
F
由上表得 解,
F1 F2 F3 F4 单位
Fx 1 2 0 2 kN
Fy 10 15 － 5 10 kN
Fz 3 4 1 － 2 kN
例题 4-2
静力学 第四章 空间力系
17
kN 31kN 6305 222R ????F
所以合力的大小为
? ? ? ? ? ? 316,c o s,3130,c o s,315,c o s RRR ??? kFjFiF
? ? ? ? ? ? ??? 8.78,,6.14,,7.83,RRR ??? kFjFiF
合力的方向余弦为
合力 FR 与 x,y,z 轴间夹角
kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3
,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10
,kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1
??????
??????
??????
z
y
x
F
F
F
例题 4-2
静力学 第四章 空间力系
18
静力学 第四章 空间力系
3,空间汇交力系的平衡条件和平衡方程
由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力，
因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为,该合力
等于零,即
0
1
21R ?????? ?
?
n
i
in FFFFF ?
由 FR的大小
222
222
R
)()()( ziyixi
zyx
FFF
FFFF
??????
???
可得平衡方程
???
???
???
n
i
zi
n
i
yi
n
i
xi FFF
111
0,0,0
19
例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角 θ。
B,C处是活动球铰链支座,D处是固定球铰链支座。
顶点 A的球铰链承受载荷 F，不计各杆自重，试求各
支座的约束力和各杆的内力。
20
解,例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
为求各力在轴 x,y上
的投影，可先向坐标面
Oxy上投影，然后再向轴
上投影。
1.取球铰链 A为研究
对象,受力分析如图。
q c o sABAB FF ??
q cosACAC FF ??
q c o sADAD FF ??
力 F 在坐标面 Oxy上投影为零
建立如图坐标系 Bxyz，其中 y轴平分 ∠ CBD。由
于 ABCD是正交锥，所以 AB与 y 轴 的夹角为 θ。
21
,30 c o s c o s ?qACA C x FF ? ?30 s in c o s qACA C y FF ?
,30 c o s c o s ?qADA D x FF ?? ?30 s in c o s q
ADA D y FF ?
力 FAC 和 FAD 在轴 x,y上的投影,
例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
俯视图 立体图
22
030 c o s c o s30 c o s c o s ???? qq ADAC FF
2.列平衡方程。
0 c o s30 s i n c o s30 s i n c o s ????? qqq ABADAC FFF
? ? 0 s in ????? FFFF ABADAC q
3.联立求解。
q s in3
FFFF
ADACAB ????
负号表示三杆都受压力。
,0?? xF
,0?? yF
? ?,0zF
例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
23
4.取球铰链 B为研究对象,列平衡方程。
联立求解得
q s in3
FFF
ABBA ???
030 s in30 s in ???? BDBC FF,0?? xF
0s in ?? BBA FF q
0 c o s30 c o s30 c o s ????? qBABDBC FFF,0?? yF
? ?,0zF
3
FF
B ?
qc o t
9
3 FFF
BDBC ??
例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
因
由结构和荷载的对称性可得
3
FFF
DC ?? qc o t 9
3 FF
CD ?
24
桅杆式起重机可简化
为如图所示结构 。 AC为立
柱, BC,CD和 CE均为钢
索, AB为起重杆 。 A端可
简化为球铰链约束 。 设 B点
滑轮上起吊重物的重量
P=20 kN,AD=AE=6 m，
其余尺寸如图 。 起重杆所
在平面 ABC与对称面 ACG
重合 。 不计立柱和起重杆
的自重, 求起重杆 AB,立
柱 AC和钢索 CD,CE所受
的力 。
C
q
?
A
?45
?45
?60
5 m
?30
B
D
E
G
例题 4-6
静力学 第四章 空间力系
25
1,先取滑轮 B为研究对象 。
注意, 起重杆 AB为桁架构件,
两端铰接, 不计自重, 它是一
个二力构件, 把滑轮 B简化为一
点, 它的受力图如图所示 。
x
y
B
?60
?30
P FAB
FBC
,0?? xF
030 c o s60 c o s ?? ?? BCAB FF
,0?? yF
解,
这是一平面汇交力系，列平衡方程
k N,20?? PF BC kN 6.343 ?? PF AB
解得
030 s in60 s in ??? PFF BCAB ??
C
q
?
A
?45
?45
?60
5 m
?30
B
D
E
G
例题 4-6
静力学 第四章 空间力系
26
2,再选取 C点为研究对象，它的受力图如图所示。
此力系在 Axy平面上投影为一平面汇交力系，其中,
,0?? zF
0c o sc o s60c o s ????? ?? CECDACBC FFFF ?
先列出对 Az轴的投影方程
这是一空间汇交力系，作直角坐标系 Axy，
把力系中各力投影到 Axy平面和 Az轴上。
?60 s inBCBC FF ????
?2.50 s inCDCD FF ??
?2.50 s inCECE FF ??
???? 2.5056a r c t a n a r c t a n ACADq
例题 4-6
静力学 第四章 空间力系
x
z
A y ?45
?45
BCF?
CEF?
CDF?
C
q
q
FAC FCE
FCD BCF??60
27
列平衡方程
,0?? xF 045 s in45 s in ???? ?? CDCE FF
,0?? xF 045 c o s45 c o s ?????? ??
CECDBC FFF
kN 9.15
45 c o s2.50 s i n2
60 s i n ???
??
?
BC
CECD
FFF
kN 4.1060c o s2.50 c o s2 ???? ?? BCCDAC FFF
由此解得
kN 6.34?ABF
kN 4.10?ACF
kN9.15?? CECD FF
所求结果如下,
x
z
A y ?45
?45
BCF?
CEF?
CDF?
C
q
q
FAC FCE
FCD BCF??60
例题 4-6
静力学 第四章 空间力系
28
例题 4-7
静力学 第四章 空间力系
如 图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个
悬挂节点 O，其上作用有铅直载荷 F。钢丝 OA和 OB
所构成 的平面垂直于铅直平面 Oyz,并与该平面相交于
OD，而钢丝 OC则沿水平轴 y。已知 OD与轴 z间的夹角为
β，又 ∠ AOD = ∠ BOD = q，试求各钢丝中的拉力。
29
取 O点 为研究对象，受力分析如图所示，
这些力构成了空间共点力系。
解,例题 4-7
静力学 第四章 空间力系
力 F2, F3的方向通过 q 角和 β角来表示,q 是这两力各自对
坐标平面 Oyz 的倾角,β 是这两力在坐标平面 Oyz上的投影对 z
轴的偏角。
故求这两力在 y 轴
和 z 轴上的投影时, 须
先将它们投影到 Oyz 平
面上 。
30
qs in 22 FF x ?
例题 4-7
静力学 第四章 空间力系
q c o s2FF yz ?
力 F2 在平面 Oyz上的投影为,
并与 z 轴成 β角。
故力 F2在 y,z轴上的投影
分别为,
力 F3的投影可用同样方法求出。
bq
bq
c o sc o s
s inc o s
22
22
FF
FF
z
y
?
??
力 F2与 x轴之间的夹角为 90o－ q,故它在该轴
上的投影为,
31
联立求解可得
bq c o s c o s232
FFF ??
b ta n1 FF ?
0 c o s c o s c o s c o s 32 ??? FFF bqbq
0 s in s in 32 ?? qq FF
,0?? yF 0 s i n c o s s i n c o s 321 ??? bqbq FFF
，0?? xF
? ?,0zF
列平衡方程 例题 4-7
静力学 第四章 空间力系
32
静力学 第四章 空间力系
§ 4-2 力对点的矩与力对轴的矩
1,力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
对平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，因
此用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要素。但
对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩
作用面）的方位不同，用代数量就不足以概括其全部要素。
为此引入 力矩矢 MO(F)来描述空间力对点的矩。
33
x
O
i
k
h
j
M O ( F )
z
A ( x,y,z )
y
B
F
r
静力学 第四章 空间力系
如图所示,以 r 表示力作用点
的矢径，则力 F对点 O的矩可以定
义为
FrFM ??)(O
即,力对点的矩等于矩心到该力
作用点的矢径与该力的矢量积。
显然，上式的模等于三角形 OAB面积的两倍，正好是力对点
矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右手螺旋法则来
确定。这样空间力对点的矩的作用效果完全可以用上面定义
的力矩矢 MO（ F）来表示。力矩矢 MO（ F）是 定位矢,矢端
必须位于矩心 O。不可随意挪动。
O A BO AhF ?????? 2)( FrFM
34
静力学 第四章 空间力系
由矢径和力的解析表达式
kjiF
kjir
zyx FFF
zyx
???
???
可得力矩矢的解析形式
kji
kji
FrFM
)()()(
)(
xyzxyz
zyx
O
yFxFxFzFzFyF
FFF
zyx
??????
???
上式在 x,y,z轴
上的投影分别为
? ?
? ?
? ?
xyzO
zxyO
yzxO
yFxF
xFzF
zFyF
??
??
??
)(
)(
)(
FM
FM
FM
x
O
i
k
h
j
M O ( F )
z
A ( x,y,z )
y
B
F
r
35
静力学 第四章 空间力系
2,力对轴的矩
工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力
使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。
36
静力学 第四章 空间力系
O
F
A
x
y
z
F z
F xy
h
现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上，如下图
所示。将力 F 分解为 Fxy 和 Fz,由于 Fz与转轴 z 平行,
不能使圆盘绕 z 轴转动,故它
对 z 轴的矩为零；只有垂直 z
轴的分力 Fxy 对 z 轴有矩，且
等于分力 Fxy 对 z 轴与 xy 平面
的交点 O的矩。这样，空间力
F 对 z 轴的矩为
BAOxyxyOz AhFMM ???????? 2)()( FF
37
O
F
A
x
y
z
F xy
h
A '
B
B '
静力学 第四章 空间力系
力对轴的矩等于力在垂直于该
轴平面上的投影对于这个平面与该
轴的交点的矩。 这样,空间力对轴
的矩就转化成了平面问题中力对点
的矩 。因而它是一个代数量，其正
负号可按右手螺旋法则确定，如图
所示。
空间力对轴的矩与平面力对点的矩
类似，也可以用解析式表示如下
xy
yOxO
xyOz
yFxF
MM
MM
??
??
?
)()(
)()(
FF
FF z
38
静力学 第四章 空间力系
xyz yFxFM ??)( F
上式正是平面问题中力对点的矩的解析表达式。于是，平面
问题中力对点的矩即是力对垂直于力与矩心所构成的平面且
通过矩心的轴的矩。同理可得其余二式。合在一起有
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
??
??
??
)(
)(
)(
F
F
F
以上即是计算力对轴之
矩的解析表达式。
39
3,力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
静力学 第四章 空间力系
比较力对点的矩的解析表达式和力对通过该点的轴的矩
的解析表达式
? ?
? ?
? ? )()(
)()(
)()(
FFM
FFM
FFM
zzO
yyO
xxO
M
M
M
?
?
?
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
??
??
??
)(
)(
)(
F
F
F
kjiFM )()()()( xyzxyzO yFxFxFzFzFyF ??????
可得
40
静力学 第四章 空间力系
即力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这
力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩
的关系。
? ?
? ?
? ? )()(
)()(
)()(
FFM
FFM
FFM
zzO
yyO
xxO
M
M
M
?
?
?
利用这个关系来计算力对点的矩和力对轴的矩往往
较为方便。
41
例题 4-8
静力学 第四章 空间力系
手柄 ABCE在平面 Axy内,在 D处作用一个力 F,如图所
示, 它在垂直于 y轴的平面内, 偏离铅直线的角度为 q。 如
果 CD=b,杆 BC平行于 x轴,杆 CE平行于 y轴, AB和 BC的长
度都等于 l。 试求力 F 对 x,y和 z三轴的矩 。
42
应用合力矩定理求解。 力 F 沿坐标轴的投影分别为,
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? q
q
q
s i n
c o s
c o s
blFCDABFMM
FlBCFMM
blFCDABFMM
xxzz
zZyy
zZxx
???????
?????
???????
FF
FF
FF
qq c o s,0,s i n FFFFF zyx ???? 由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有
解,例题 4-8
静力学 第四章 空间力系
43
在直角弯杆的
C端作用着力 F，试
求这力对坐标轴以
及坐标原点 O的矩。
已知 OA =a = 6 m,
AB=b=4 m，
BC=c=3 m,q =30o,
β=60o。
例题 4-9
静力学 第四章 空间力系
44
由图示可以求出力 F 在各坐标轴上的
投影和力 F 作用点 C 的坐标分别为,
解,
x= a = 4 m
y= b = 6 m
z= c =－ 3 m
bq c o s c o sFF x ?
bq s in c o sFF y ?
q s inFF z ?
例题 4-9
静力学 第四章 空间力系
45
则可求得力 F 对坐标轴之矩以及对原点 O之矩的
大小和方向 。
mN 1 0 5
s in c o s s in
??
?? bqq cFaFM x
mN 66
s i n c o s c o s
???
??? qbq bFcFM y
mN 8
c o s c o s s in c o s
??
?? bqbq FbFM z
力 F 对坐标轴之矩为,
例题 4-9
静力学 第四章 空间力系
46
力 F 对原点 O之矩方向余弦,
5 3 1.0),c o s ( ???
O
y
O M
M
jM
8 4 5.0),c o s ( ??
O
x
O M
MiM
064.0),c o s ( ??
O
z
O M
MkM
例题 4-9
静力学 第四章 空间力系
mN 3.124222 ????? zyxO MMMM
力 F 对原点 O之矩大小,
47 O
F '
Fd
r BA
A
B
r B
r A
静力学 第四章 空间力系
§ 4-3 空间力偶
由于空间力偶的作用面的方位不同，因此除力偶的大小、
转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必
须用矢量表示。因力偶是由一对大小相等，方向相反作用线平
行的力组成，故力偶矩可以用力偶中的两个力对点之矩的矢量
和来表示。
1,力偶矩用矢量表示，力偶矩矢
FrFr
FMFMFF,M
?????
????
BA
OOO )()()(
由于
因而,FF ??
Fr
FrrFF,M
??
????
AB
BAO )()(
48
由上式可以得出，力偶对空间任意点的矩矢相同，与矩
心无关。 因此 空间力偶是一个 自由矢量,以 M（ F,F′) 或 M
表示。 力偶的转向为 右手螺旋法则 。从力偶矢末端看去，逆
时针转动为正。决定空间力偶对刚体的作用效果的三要素为
力偶矩大小，作用面方位和转向。
静力学 第四章 空间力系
F '
F
A
C
d
M
B
A B CAFdM ??? 2
49
静力学 第四章 空间力系
2,空间力偶的等效定理
作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两
个力偶等效。
证明,先证明空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平
面上，然后再由平面力偶的等效性即可证得。
50
静力学 第四章 空间力系
3,空间力偶系的合成与平衡条件
任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力
偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。
51
静力学 第四章 空间力系
?
?
?????
n
i
in
1
21 MMMMM ?
即
其合力偶矢的大小和方向的计算与空间汇交力系的
合力的大小和方向的计算完全相同。
合力偶矢的大小
? ? ????
???
222
222
)()()( ziyixi
zyx
MMM
MMMM
方向余弦为
),c o s (,),c o s (,),c o s (
M
M
M
M
M
M zyx ??? kMjMiM
52
静力学 第四章 空间力系
平衡方程是
显然 空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢
为零,即
0
)()()(
222
222
?
???
???
? ? ? ziyixi
zyx
MMM
MMMM
? ? ? ??? 0,0,0 ziyixi MMM
53
工件如图所示,
它的四个面上同时钻
五个孔, 每个孔所受
的切削力偶矩均为 80
N·m 。 求工件所受合
力偶的矩在 x,y,z
轴上的投影 Mx,My，
Mz,并求合力偶矩矢
的大小和方向 。
例题 4-10
静力学 第四章 空间力系
54
将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移
到 A点 。 可得
mN 1.19345 c os45 c os
mN 80
mN 1.19345 c os45 c os
541
2
543
???????
?????
???????
??
??
MMMM
MM
MMMM
z
y
x
mN 6.2 8 4222 ????? zyx MMMM
所以合力偶矩矢的大小
? ?
? ?
? ? 6 7 8 6.0c o s
2 8 1 1.0,c o s
6 7 8 6.0,c o s
??
??
??
kM
jM
iM
,
合力偶矩矢的方向余弦
解,
A
例题 4-10
静力学 第四章 空间力系
55
x
z
y O
F1
F2
F3
1F?
3F?
2F?
图示的三角柱刚体是正方体的
一半。在其中三个侧面各自作
用着一个力偶。已知力偶
（ F1, F ?1）的矩 M1=20 N·m；
力偶（ F2,F ?2 ）的矩 M2=20
N·m； 力偶（ F3, F ?3）的矩
M3=20 N·m。试求合力偶矩矢
M。又问使这个刚体平衡，还
需要施加怎样一个力偶。
例题 4-11
静力学 第四章 空间力系
56
0321 ???? xxxx MMMM
mN 2.11
321
??
??? yyyy MMMM
mN 2.41
321
??
??? zzzz MMMM
1.画出各力偶矩矢。
2.合力偶矩矢 M 的投影。
解：例题 4-11
静力学 第四章 空间力系
57
3.合力偶矩矢 M 的大小和方向。
mN 7.42222 ????? zyx MMMM
? ? ? ? ???? 90,,0,c o s iMiM MM x
? ? ? ? ???? 8.74,,262.0,c o s jMjM MM y
? ? ? ? ???? 2.15,,965.0,c o s kMkM MM z
4,为使这个刚体平衡,需加一力
偶，其力偶矩矢为 M4= － M 。
x
z
y
45°
O
M1
45°
M2
M3
例题 4-11
静力学 第四章 空间力系
58
静力学 第四章 空间力系
§ 4-4 空间任意力系向一点的简化 ?主矢和主矩
1.空间任意力系向一点的简化
与平面任意力系向一点的简化相同，空间任意力
系向一点的简化的理论根据也是 力线平移定理。
59
静力学 第四章 空间力系
刚体上作用空间任意力系 F1,F2,…, Fn.。用力线平移定
理，将所有力向任意选定的简化中心 O平移，同时附加一
个力偶 。这样，原空间任意力系就被空间汇交力系和空间
力偶系等效代替。
60
静力学 第四章 空间力系
),,2,1( )(,niiOiii ????? FMMFF
并有关系
然后，再分别将汇交力系和力偶系合成，得到一力 FR‘和
一力偶 MO 。该力的大小和方向称为原力系的 主矢,作用
线过简化中心 O；该力偶称为原力系对简化中心 O的 主矩 。
主矢和主矩的计算与空间汇交力系的合力和空间力偶系
的合力偶相同。
61
静力学 第四章 空间力系
)(,
111
R ???
???
??????
n
i
iO
n
i
iOi
n
i
i FMMMFFF
从上可得主矢与简化中心 O的选择无关，主矩与简化中
心 O的选择有关。 关于主矢与主矩的大小和方向的计算
同前的空间汇交力系和力偶系。
62
静力学 第四章 空间力系
1,空间任意力系的简化结果表明分析
0,0 ( 1 ) R ??? OMF
力系可合成一个 合力偶,其矩等于原力系对于简化中心
的主矩 MO 。 此时主矩与简化中心 O的位置无关 。
0,0 ( 2 ) R ??? OMF
力系可合成为一个 合力,合力的作用线过简化中心 O，大小
和方向与主矢相同。
0,0 ( 3 ) R ??? OMF
此时分三种情况讨论。
OMF ??R )a(
可进一步简化成一合力
63
静力学 第四章 空间力系
合力的大小和方向与主矢相等,
RR FF ??
作用线距简化中心 O的距离
R
F
M O
d ?
O
MO
FR'
（ a)
RF
O
O'
d
(c)
RF?RF??
RF
O
O'
d
(b)
64
静力学 第四章 空间力系
OMF // )b( R?
原力系简化成 力螺旋,即力与力偶作用面垂直。例如
力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。
65
静力学 第四章 空间力系
OMF ??R )c(
这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此,在
一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋 。
0,0 ( 4 ) R ??? OMF
这就是下节要讨论的空间任意力系的平衡
66
静力学 第四章 空间力系
§ 4–5 空间任意力系的平衡方程
1, 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢
和对任意点的主矩都为零。即
0,0 R ??? OMF平衡方程是
???
???
???
n
i
zi
n
i
yi
n
i
xi FFF
111
0,0,0
? ? ? ??? 0)(,0)(,0)( iziyix MMM FFF
与平面任意力系类似，空间任意力系的平衡方程除了上
面的一般形式外，还有四矩式，五矩式和六矩式。
67
静力学 第四章 空间力系
例如对空间平行力系，不
失一般性，假定取 z 轴与各力平
行，如右图所示，则空间任意
力系的 6个平衡方程中有 3个衡
为零，即
???
???
???
n
i
iz
n
i
yi
n
i
xi MFF
111
0)(,0,0 F
? ?? ??? 0)(,0)(,0 iyixzi MMF FF
因而 空间平行力系的平衡方程 只有下面的 3个
x
y
z
O
F1
F2
F3
Fn 由空间任意力系的平衡方程还
可导出其它特殊类型的力系的
平衡方程。
68
静力学 第四章 空间力系
2,空间约束的类型举例
69
静力学 第四章 空间力系
止推轴承
70
静力学 第四章 空间力系
空间固定端约束
71
静力学 第四章 空间力系
3,空间力系平衡问题举例
例题 4-12 铅直桅杆 AB受彼此互
相垂直的两个水平力
F1和 F2的作用，并由
张索 CD维持平衡。已
知尺寸 l，力 F1和 F2，
向 D点简化的结果是力
螺旋，试求 D点的位置。
72
令 BD=s,将力 F1和 F2向 D
点简化得主矢 F'R和主矩 MD 在
坐标轴 x1,y1上的投影,
2R1R 11 ',' FFFF yx ????
解,
? ?slFMsFM yx ??? 12 11,
静力学 第四章 空间力系
例题 4-12
因为向 D点简化是力螺旋，即
有 F'R//MD,故
1
1
1
1
R
R
'
'
y
x
y
x
M
M
F
F
?
l
FF
F
s 2
2
2
1
2
1
?
?
? ?slF
sF
F
F
?
?
1
2
2
1
从而解得所求距离
73
涡轮发动机的涡轮叶片上受到的燃气压力可简化成
作用在涡轮盘上的一个轴向力和一个力偶 。 图示中 FO, MO,
斜齿轮的压力角为 q,螺旋角为 β,节圆半径 r及 l1,l2尺寸均已
知 。 发动机的自重不计, 试求输出端斜齿轮上所受的反作用
力 F 以及径向推力轴承 O1和径向轴承 O2 处的约束力 。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-13
74
取整个系统为研究对象, 建立如图坐标
系 O1xyz,画出系统的受力图 。
其中在径向推力轴承 O1处的约束力有三个分量。在径
向轴承 O2处的约束力只有两个分量。
在斜齿轮上所受的压力 F 可分解成三个分力 。 周向力
Fy, 径向力 Fx 和轴向力 Fz 。 其中,
解,
,c o s c o s bqFF y ? bq s in c o sFF z ??,s in qFF x ??
静力学 第四章 空间力系
例题 4-13
75
由以上方
程可以求
出所有未
知量 。
系统受空间任意力系的作用, 可写出六个平衡方程 。
,0?? xF
,0?? yF
,0?? zF
021 ??? xxx FFF
021 ??? yyy FFF
01 ??? Ozz FFF
,0?? xM
,0?? yM
,0?? zM
0)( 2122 ???? llFlF yy
0)( 2122 ???? llFrFlF xzx
0?? Oy MrF
静力学 第四章 空间力系
例题 4-13
76
水平传动轴上装有两个胶带轮 C和 D，半径分别是
r1=0.4 m, r2=0.2 m, 套在 C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉
力 F1=3 400 N,F2=2 000 N，套在 D轮上的胶带与铅垂线成夹
角 q =30o，其拉力 F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，拉力 F3和
F4以及两个径向轴承处约束力的大小。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-15
77
以整个系统为研究对象, 建立如图坐标
系 Oxyz,画出系统的受力图 。 解,
为了看清胶带轮 C和 D的受力情况, 作出右视图 。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-14
下面以对 x 轴之矩分析为例说明力系中各力对轴之矩的求法。
力 FAx和 FBx平行于轴 x, 力 F2和 F1通过轴 x 。 它们对轴 x 的
矩均等于零 。
78
力 FAz和 FBz对轴 x 的矩分别为 － 0.25 Faz和 1.25 FBz 。
力 F3和 F4可分解为沿轴 x 和沿轴 z 的两个分量，其中沿轴
x 的分量对轴 x 的矩为零。所以力 F3和 F4对轴 x 的矩为
静力学 第四章 空间力系
例题 4-14
－ 0.75（ F3+F4） cos 30o
系统受空间力系的作用，可写出五个平衡方程。
79
,0?? xF 030s in)( 43 ???? ?FFFF BxAx
,0?? zF 0)(30 c o s)( 2143 ?????? FFFFFF BzAz ?
,0?? xM 0m 75.030 c o s)(m 25.1m 25.0 43 ???????? ?FFFF BZAZ
,0?? yM 0m 2.0)(m 4.0)( 4321 ??????? FFFF
,0?? zM 0m 75.030 s i n)(m 25.1m 25.0 43 ??????? ?FFFF BxAx
又已知 F3 =2F4，
故利用以上方程
可以解出所有未
知量。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-14
80
如图所示三轮小车, 自重 Ｐ = 8 kN,作
用于 E点, 载荷 F1 = 10 kN,作用于 C点 。 求
小车静止时地面对车轮的约束力 。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-15
81
以小车为研究对象，主动力和约束反力
组成空间平行力系，受力分析 如图。
? ?
? ? 0m 2.1m 6.0m 6.0m 8.0,0
0m 2m 2.1m 2.0,0
0,0
1
1
1
?????????
????????
???????
?
?
?
BDy
Dx
DBAz
FFPFM
FPFM
FFFPFF
F
F
列平衡方程
kN 423.4
kN 777.7
kN 8.5
?
?
?
A
B
D
F
F
F
解方程得
解,
静力学 第四章 空间力系
例题 4-15
82
在图中胶带的拉力 F2 =
2F1,曲柄上作用有铅垂力 F
= 2 000 N。 已知胶带轮的直
径 D=400 mm,曲柄长 R=300
mm,胶带 1和胶带 2与铅垂
线间夹角分别为 q和 β,q
=30o,β =60o, 其它尺寸如
图所示, 求胶带拉力和轴承
约束力 。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-16
83
以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成
空间任意力系。
060 c os30 c os,0
00,0
060 s i n30 s i n,0
21
21
???????
??
?????
?
?
?
BxAxz
y
BxAxx
FFFFFF
F
FFFFF
??
??
列平衡方程
解,
静力学 第四章 空间力系
例题 4-16
84 N 7 99 1
N 3 48 3
N 3 97 9
N 0 04 1
N 0 00 6
N 0 00 3
2
1
??
?
?
??
?
?
Bz
Bx
Az
Ax
F
F
F
F
F
F
解方程得
又有 F2=2F1
? ?
? ? ? ?
? ? 0m 4.0m 2.060 s i nm 2.030 s i n,0
0
2
,0
0m 4.0m 2.0
m 2.060 c o sm 2.030 c o s,0
21
12
21
???????
????
?????
????
?
?
?
Bxz
y
Bx
x
FFFM
FF
D
FRM
FF
FFM
??
??
F
F
F
静力学 第四章 空间力系
例题 4-16
85
静力学 第四章 空间力系
如图所示空间平行力系，当
它有合力 FR时，合力的作用点 C
就称为 空间平行力系的中心 。
§ 4-6 重心
1,平行力系中心
如果让各力绕其作用点转过同一角度时，并仍然保
持平行，那么合力 FR也同样绕作用点 C转过相同的角度
且与各力仍然保持平行。即合力的作用点的位置只与各
平行力的大小和作用点的位置有关，而与方向无关。
86
静力学 第四章 空间力系
00RR,FFFF ii FF ??
?
??????
i
iinn
C F
F
F
FFF rrrr
r
R
2211 ?
R
zFz
R
yFy
R
xFx ii
C
ii
C
ii
C
??? ???,,:投影式
由合力矩定理,
?? )()( R iOO FMFM
nnC FrFrFrFr ???????? ?2211R
如果令 F0是力作用线方向的单
位矢量,
则将上式代入（ 1）式得
（ 1）
87
静力学 第四章 空间力系
如果把物体的重力看成为平行力系,物体重心问题可以看
成是空间平行力系中心的一个特例。 则求重心问题就是求
平行力系的中心问题。物体的重心位置为
?
?
?
?
?
? ???
i
ii
C
i
ii
C
i
ii
C P
zP
z
P
yP
y
P
xP
x,,
2,重心
若物体是均质的，上式可改写成
V
Vz
z
V
Vy
y
V
Vx
x VCVCVC
???
???
d
,
d
,
d
这时重心与几何中心重合
88
静力学 第四章 空间力系
3,确定物体重心的方法
（ 1）积分法
适用于几何形状规则的均质物体
解, 由于对称关系，该圆弧重心必在 Ox轴，即 yC=0。取微段
qdRdL ??
q co s ?? Rx
R
dR
L
dLx
x LC
?
qq
?
?
2
c os
2
?? ? ???
?
?
?
?
?s inRx
C ?
求半径为 R，顶角为 2? 的均质圆弧的重心。
例题 4-17
89
静力学 第四章 空间力系
(2) 组合法
cm4.6
21
2211
?
?
?
?
?
?
?
AA
yAyA
A
yA
y
ii
C
由
解,
cm
π2
48 cm4 π
2
1,8 0 c m
21
2
2
2
1 )
R(y,y,RAA ?????
求：该组合体的重心？
如图所示组合体由一半圆和一长方形所构成，已知
如果一个物体由几个重心位置是已知的物体组合而成，
则可用组合法求该物体的重心。
例题 4-17
90
静力学 第四章 空间力系
0)( ?? FBM由 0
1N ????? CA xPlF
P
lFx A
C
1N ??
简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。
(3) 实验法,
(a) 悬挂法 (b) 称重法
求得
91
静力学 第四章 空间力系
2
静力学 第四章 空间力系
第四章 空间力系
实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用
线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间
力系是最一般的力系。本章将研究空间力系的简
化和平衡问题。与平面力系一样，先研究空间力
系的特殊情况 — 即空间汇交力系和空间力偶系，
然后研究空间力系的一般情况 — 空间任意力系。
3
静力学 第四章 空间力系
§ 4-1 空间汇交力系
1.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
4
静力学 第四章 空间力系
若已知力与正交坐标系
Oxyz三轴正向间的夹角
q,b,g 。则由空间力
在轴上的投影定义，可
直接将力 F投影在 正交
坐标系 Oxyz三轴上
gbq c o s,c o s,c o s ?????? FFFFFF zyx
5
静力学 第四章 空间力系
间接投影法
6
静力学 第四章 空间力系
当力与轴 Ox,Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投
影到坐标平面 xy上，然后再投影到 x,y轴上，即
?g? c o ss i nc o s ????? FFF xxy
?g? s i ns i ns i n ????? FFF xyy
gc o s?? FF z
这里要强调指出,空间力在
轴上的投影是代数量，而在
平面上的投影则是矢量 。
7
静力学 第四章 空间力系
与平面力类似，空间力的解析表达式为
kjiF zyx FFF ???
正向的单位矢量分别为坐标轴 OzOyOx,、,,kji
F
F
F
F
F
F zyx ??? ),c o s (,),c o s (,),c o s ( kFjFiF
222
zyx FFFF ???
如果已知力 F在 x,y,z轴上的投影，则可求得力 F
的大小和方向余弦为
8
例题 4-1
静力学 第四章 空间力系
解,力 F 的大小
kN 6.19222 ???? zyx FFFF
力 F 的方向余弦 及与坐标轴的夹角为
,322.0 c o s ?? FF yb
?? 7.76q，220.0 c o s ??
F
F xq
?? 1.71b
,919.0 c o s ?? FF zg ?? 23g
x
y
q β
γ
z
F
Fx
Fy
Fz
A
已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承
受的力 F 的三个正交分量 Fx,Fy,Fz的大小各为
4.5 kN,6.3 kN,18 kN,试求力 F 的大小和方向。
9
力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
已知力沿直角坐标轴的解析式为 kN ) 543( kji ???F
试求这个力的大小和方向，并作图表示。
kN 5,kN 4,kN 3 ???? zyx FFF
kN 25222 ???? zyx FFFF
? ?
? ?
? ? 70 7.0
25
5
c o s
56 6.0
25
4
c o s
42 4.0
25
3
c o s
??
?
?
??
??
kF,
jF,
iF,
? ?
? ?
? ? ???
?
?
13 54518 0
55.55
9.64
????
??
??
g
b
q
kF,
jF,
iF,
解,由已知条件得
所以力 F 的大小为
例题 4-2
静力学 第四章 空间力系
10
三棱柱底面为直角等腰三角形, 在其侧平面
ABED上作用有一力 F,力 F与 OAB平面夹角为 30o,求
力 F在三个坐标轴上的投影 。
例题 4-3
静力学 第四章 空间力系
利用二次
投影法, 先将
力 F投影到 Oxy
平面上, 然后
再分别向 x,y，
z轴投影 。
解,
11
如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力 Fn的作用。
已知斜齿轮的啮合角 (螺旋角 ) β 和压力角 q, 试求
力 Fn 沿 x,y 和 z 轴的分力。
例题 4-4
静力学 第四章 空间力系
12
将力 Fn向 z 轴和 Oxy 平面投影
qq c o s,s i n nn FFFF xyz ???
解,例题 4-4
静力学 第四章 空间力系
将力 Fxy向 x,y 轴投影
bqb
bqb
c o sc o s c o s
s i nc o s s i n
n
n
FFF
FFF
xyy
xyx
????
????
13
沿各轴的分力为
kF
jF
iF
)s in(
) c osc os(
)s inc os(
n
n
n
q
bq
bq
F
F
F
z
y
x
??
??
??
例题 4-4
静力学 第四章 空间力系
14
静力学 第四章 空间力系
合力在 x,y,z轴的投影为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
?
?
?
?
?
?
n
i
ziznzzz
n
i
yiynyyy
n
i
xixnxxx
FFFFF
FFFFF
FFFFF
1
21
1
21
1
21
??
??
??
2,空间汇交力系的合力
与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合力等于各分力
的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即
?
?
?????
n
i
in
1
21R FFFFF ?
)(
11
R kjiFF zi
n
i
yixi
n
i
i FFF??
??
????
15
静力学 第四章 空间力系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
R
zi
R
z
R
yi
R
y
R
xi
R
x
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
),c os (
),c os (
)c os (
R
R
kF
jF
i,F
R
方向余弦
合力矢 FR的大小和方向余弦为
222
222
R
)()()( ziyixi
zyx
FFF
FFFF
??????
???
大小
16
在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴
上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大
小和方向。
kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3
,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10
,kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1
??????
??????
??????
z
y
x
F
F
F
由上表得 解,
F1 F2 F3 F4 单位
Fx 1 2 0 2 kN
Fy 10 15 － 5 10 kN
Fz 3 4 1 － 2 kN
例题 4-2
静力学 第四章 空间力系
17
kN 31kN 6305 222R ????F
所以合力的大小为
? ? ? ? ? ? 316,c o s,3130,c o s,315,c o s RRR ??? kFjFiF
? ? ? ? ? ? ??? 8.78,,6.14,,7.83,RRR ??? kFjFiF
合力的方向余弦为
合力 FR 与 x,y,z 轴间夹角
kN 6kN 2kN 1kN 4kN 3
,kN 30kN 10kN 5kN 15kN 10
,kN 5kN 2kN 0kN 2kN 1
??????
??????
??????
z
y
x
F
F
F
例题 4-2
静力学 第四章 空间力系
18
静力学 第四章 空间力系
3,空间汇交力系的平衡条件和平衡方程
由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力，
因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为,该合力
等于零,即
0
1
21R ?????? ?
?
n
i
in FFFFF ?
由 FR的大小
222
222
R
)()()( ziyixi
zyx
FFF
FFFF
??????
???
可得平衡方程
???
???
???
n
i
zi
n
i
yi
n
i
xi FFF
111
0,0,0
19
例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角 θ。
B,C处是活动球铰链支座,D处是固定球铰链支座。
顶点 A的球铰链承受载荷 F，不计各杆自重，试求各
支座的约束力和各杆的内力。
20
解,例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
为求各力在轴 x,y上
的投影，可先向坐标面
Oxy上投影，然后再向轴
上投影。
1.取球铰链 A为研究
对象,受力分析如图。
q c o sABAB FF ??
q cosACAC FF ??
q c o sADAD FF ??
力 F 在坐标面 Oxy上投影为零
建立如图坐标系 Bxyz，其中 y轴平分 ∠ CBD。由
于 ABCD是正交锥，所以 AB与 y 轴 的夹角为 θ。
21
,30 c o s c o s ?qACA C x FF ? ?30 s in c o s qACA C y FF ?
,30 c o s c o s ?qADA D x FF ?? ?30 s in c o s q
ADA D y FF ?
力 FAC 和 FAD 在轴 x,y上的投影,
例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
俯视图 立体图
22
030 c o s c o s30 c o s c o s ???? qq ADAC FF
2.列平衡方程。
0 c o s30 s i n c o s30 s i n c o s ????? qqq ABADAC FFF
? ? 0 s in ????? FFFF ABADAC q
3.联立求解。
q s in3
FFFF
ADACAB ????
负号表示三杆都受压力。
,0?? xF
,0?? yF
? ?,0zF
例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
23
4.取球铰链 B为研究对象,列平衡方程。
联立求解得
q s in3
FFF
ABBA ???
030 s in30 s in ???? BDBC FF,0?? xF
0s in ?? BBA FF q
0 c o s30 c o s30 c o s ????? qBABDBC FFF,0?? yF
? ?,0zF
3
FF
B ?
qc o t
9
3 FFF
BDBC ??
例题 4-5
静力学 第四章 空间力系
因
由结构和荷载的对称性可得
3
FFF
DC ?? qc o t 9
3 FF
CD ?
24
桅杆式起重机可简化
为如图所示结构 。 AC为立
柱, BC,CD和 CE均为钢
索, AB为起重杆 。 A端可
简化为球铰链约束 。 设 B点
滑轮上起吊重物的重量
P=20 kN,AD=AE=6 m，
其余尺寸如图 。 起重杆所
在平面 ABC与对称面 ACG
重合 。 不计立柱和起重杆
的自重, 求起重杆 AB,立
柱 AC和钢索 CD,CE所受
的力 。
C
q
?
A
?45
?45
?60
5 m
?30
B
D
E
G
例题 4-6
静力学 第四章 空间力系
25
1,先取滑轮 B为研究对象 。
注意, 起重杆 AB为桁架构件,
两端铰接, 不计自重, 它是一
个二力构件, 把滑轮 B简化为一
点, 它的受力图如图所示 。
x
y
B
?60
?30
P FAB
FBC
,0?? xF
030 c o s60 c o s ?? ?? BCAB FF
,0?? yF
解,
这是一平面汇交力系，列平衡方程
k N,20?? PF BC kN 6.343 ?? PF AB
解得
030 s in60 s in ??? PFF BCAB ??
C
q
?
A
?45
?45
?60
5 m
?30
B
D
E
G
例题 4-6
静力学 第四章 空间力系
26
2,再选取 C点为研究对象，它的受力图如图所示。
此力系在 Axy平面上投影为一平面汇交力系，其中,
,0?? zF
0c o sc o s60c o s ????? ?? CECDACBC FFFF ?
先列出对 Az轴的投影方程
这是一空间汇交力系，作直角坐标系 Axy，
把力系中各力投影到 Axy平面和 Az轴上。
?60 s inBCBC FF ????
?2.50 s inCDCD FF ??
?2.50 s inCECE FF ??
???? 2.5056a r c t a n a r c t a n ACADq
例题 4-6
静力学 第四章 空间力系
x
z
A y ?45
?45
BCF?
CEF?
CDF?
C
q
q
FAC FCE
FCD BCF??60
27
列平衡方程
,0?? xF 045 s in45 s in ???? ?? CDCE FF
,0?? xF 045 c o s45 c o s ?????? ??
CECDBC FFF
kN 9.15
45 c o s2.50 s i n2
60 s i n ???
??
?
BC
CECD
FFF
kN 4.1060c o s2.50 c o s2 ???? ?? BCCDAC FFF
由此解得
kN 6.34?ABF
kN 4.10?ACF
kN9.15?? CECD FF
所求结果如下,
x
z
A y ?45
?45
BCF?
CEF?
CDF?
C
q
q
FAC FCE
FCD BCF??60
例题 4-6
静力学 第四章 空间力系
28
例题 4-7
静力学 第四章 空间力系
如 图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个
悬挂节点 O，其上作用有铅直载荷 F。钢丝 OA和 OB
所构成 的平面垂直于铅直平面 Oyz,并与该平面相交于
OD，而钢丝 OC则沿水平轴 y。已知 OD与轴 z间的夹角为
β，又 ∠ AOD = ∠ BOD = q，试求各钢丝中的拉力。
29
取 O点 为研究对象，受力分析如图所示，
这些力构成了空间共点力系。
解,例题 4-7
静力学 第四章 空间力系
力 F2, F3的方向通过 q 角和 β角来表示,q 是这两力各自对
坐标平面 Oyz 的倾角,β 是这两力在坐标平面 Oyz上的投影对 z
轴的偏角。
故求这两力在 y 轴
和 z 轴上的投影时, 须
先将它们投影到 Oyz 平
面上 。
30
qs in 22 FF x ?
例题 4-7
静力学 第四章 空间力系
q c o s2FF yz ?
力 F2 在平面 Oyz上的投影为,
并与 z 轴成 β角。
故力 F2在 y,z轴上的投影
分别为,
力 F3的投影可用同样方法求出。
bq
bq
c o sc o s
s inc o s
22
22
FF
FF
z
y
?
??
力 F2与 x轴之间的夹角为 90o－ q,故它在该轴
上的投影为,
31
联立求解可得
bq c o s c o s232
FFF ??
b ta n1 FF ?
0 c o s c o s c o s c o s 32 ??? FFF bqbq
0 s in s in 32 ?? qq FF
,0?? yF 0 s i n c o s s i n c o s 321 ??? bqbq FFF
，0?? xF
? ?,0zF
列平衡方程 例题 4-7
静力学 第四章 空间力系
32
静力学 第四章 空间力系
§ 4-2 力对点的矩与力对轴的矩
1,力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
对平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，因
此用代数量表示力对点的矩就可以包含它的全部要素。但
对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩
作用面）的方位不同，用代数量就不足以概括其全部要素。
为此引入 力矩矢 MO(F)来描述空间力对点的矩。
33
x
O
i
k
h
j
M O ( F )
z
A ( x,y,z )
y
B
F
r
静力学 第四章 空间力系
如图所示,以 r 表示力作用点
的矢径，则力 F对点 O的矩可以定
义为
FrFM ??)(O
即,力对点的矩等于矩心到该力
作用点的矢径与该力的矢量积。
显然，上式的模等于三角形 OAB面积的两倍，正好是力对点
矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右手螺旋法则来
确定。这样空间力对点的矩的作用效果完全可以用上面定义
的力矩矢 MO（ F）来表示。力矩矢 MO（ F）是 定位矢,矢端
必须位于矩心 O。不可随意挪动。
O A BO AhF ?????? 2)( FrFM
34
静力学 第四章 空间力系
由矢径和力的解析表达式
kjiF
kjir
zyx FFF
zyx
???
???
可得力矩矢的解析形式
kji
kji
FrFM
)()()(
)(
xyzxyz
zyx
O
yFxFxFzFzFyF
FFF
zyx
??????
???
上式在 x,y,z轴
上的投影分别为
? ?
? ?
? ?
xyzO
zxyO
yzxO
yFxF
xFzF
zFyF
??
??
??
)(
)(
)(
FM
FM
FM
x
O
i
k
h
j
M O ( F )
z
A ( x,y,z )
y
B
F
r
35
静力学 第四章 空间力系
2,力对轴的矩
工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力
使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。
36
静力学 第四章 空间力系
O
F
A
x
y
z
F z
F xy
h
现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上，如下图
所示。将力 F 分解为 Fxy 和 Fz,由于 Fz与转轴 z 平行,
不能使圆盘绕 z 轴转动,故它
对 z 轴的矩为零；只有垂直 z
轴的分力 Fxy 对 z 轴有矩，且
等于分力 Fxy 对 z 轴与 xy 平面
的交点 O的矩。这样，空间力
F 对 z 轴的矩为
BAOxyxyOz AhFMM ???????? 2)()( FF
37
O
F
A
x
y
z
F xy
h
A '
B
B '
静力学 第四章 空间力系
力对轴的矩等于力在垂直于该
轴平面上的投影对于这个平面与该
轴的交点的矩。 这样,空间力对轴
的矩就转化成了平面问题中力对点
的矩 。因而它是一个代数量，其正
负号可按右手螺旋法则确定，如图
所示。
空间力对轴的矩与平面力对点的矩
类似，也可以用解析式表示如下
xy
yOxO
xyOz
yFxF
MM
MM
??
??
?
)()(
)()(
FF
FF z
38
静力学 第四章 空间力系
xyz yFxFM ??)( F
上式正是平面问题中力对点的矩的解析表达式。于是，平面
问题中力对点的矩即是力对垂直于力与矩心所构成的平面且
通过矩心的轴的矩。同理可得其余二式。合在一起有
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
??
??
??
)(
)(
)(
F
F
F
以上即是计算力对轴之
矩的解析表达式。
39
3,力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
静力学 第四章 空间力系
比较力对点的矩的解析表达式和力对通过该点的轴的矩
的解析表达式
? ?
? ?
? ? )()(
)()(
)()(
FFM
FFM
FFM
zzO
yyO
xxO
M
M
M
?
?
?
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
??
??
??
)(
)(
)(
F
F
F
kjiFM )()()()( xyzxyzO yFxFxFzFzFyF ??????
可得
40
静力学 第四章 空间力系
即力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这
力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩
的关系。
? ?
? ?
? ? )()(
)()(
)()(
FFM
FFM
FFM
zzO
yyO
xxO
M
M
M
?
?
?
利用这个关系来计算力对点的矩和力对轴的矩往往
较为方便。
41
例题 4-8
静力学 第四章 空间力系
手柄 ABCE在平面 Axy内,在 D处作用一个力 F,如图所
示, 它在垂直于 y轴的平面内, 偏离铅直线的角度为 q。 如
果 CD=b,杆 BC平行于 x轴,杆 CE平行于 y轴, AB和 BC的长
度都等于 l。 试求力 F 对 x,y和 z三轴的矩 。
42
应用合力矩定理求解。 力 F 沿坐标轴的投影分别为,
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? q
q
q
s i n
c o s
c o s
blFCDABFMM
FlBCFMM
blFCDABFMM
xxzz
zZyy
zZxx
???????
?????
???????
FF
FF
FF
qq c o s,0,s i n FFFFF zyx ???? 由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有
解,例题 4-8
静力学 第四章 空间力系
43
在直角弯杆的
C端作用着力 F，试
求这力对坐标轴以
及坐标原点 O的矩。
已知 OA =a = 6 m,
AB=b=4 m，
BC=c=3 m,q =30o,
β=60o。
例题 4-9
静力学 第四章 空间力系
44
由图示可以求出力 F 在各坐标轴上的
投影和力 F 作用点 C 的坐标分别为,
解,
x= a = 4 m
y= b = 6 m
z= c =－ 3 m
bq c o s c o sFF x ?
bq s in c o sFF y ?
q s inFF z ?
例题 4-9
静力学 第四章 空间力系
45
则可求得力 F 对坐标轴之矩以及对原点 O之矩的
大小和方向 。
mN 1 0 5
s in c o s s in
??
?? bqq cFaFM x
mN 66
s i n c o s c o s
???
??? qbq bFcFM y
mN 8
c o s c o s s in c o s
??
?? bqbq FbFM z
力 F 对坐标轴之矩为,
例题 4-9
静力学 第四章 空间力系
46
力 F 对原点 O之矩方向余弦,
5 3 1.0),c o s ( ???
O
y
O M
M
jM
8 4 5.0),c o s ( ??
O
x
O M
MiM
064.0),c o s ( ??
O
z
O M
MkM
例题 4-9
静力学 第四章 空间力系
mN 3.124222 ????? zyxO MMMM
力 F 对原点 O之矩大小,
47 O
F '
Fd
r BA
A
B
r B
r A
静力学 第四章 空间力系
§ 4-3 空间力偶
由于空间力偶的作用面的方位不同，因此除力偶的大小、
转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必
须用矢量表示。因力偶是由一对大小相等，方向相反作用线平
行的力组成，故力偶矩可以用力偶中的两个力对点之矩的矢量
和来表示。
1,力偶矩用矢量表示，力偶矩矢
FrFr
FMFMFF,M
?????
????
BA
OOO )()()(
由于
因而,FF ??
Fr
FrrFF,M
??
????
AB
BAO )()(
48
由上式可以得出，力偶对空间任意点的矩矢相同，与矩
心无关。 因此 空间力偶是一个 自由矢量,以 M（ F,F′) 或 M
表示。 力偶的转向为 右手螺旋法则 。从力偶矢末端看去，逆
时针转动为正。决定空间力偶对刚体的作用效果的三要素为
力偶矩大小，作用面方位和转向。
静力学 第四章 空间力系
F '
F
A
C
d
M
B
A B CAFdM ??? 2
49
静力学 第四章 空间力系
2,空间力偶的等效定理
作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两
个力偶等效。
证明,先证明空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平
面上，然后再由平面力偶的等效性即可证得。
50
静力学 第四章 空间力系
3,空间力偶系的合成与平衡条件
任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力
偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。
51
静力学 第四章 空间力系
?
?
?????
n
i
in
1
21 MMMMM ?
即
其合力偶矢的大小和方向的计算与空间汇交力系的
合力的大小和方向的计算完全相同。
合力偶矢的大小
? ? ????
???
222
222
)()()( ziyixi
zyx
MMM
MMMM
方向余弦为
),c o s (,),c o s (,),c o s (
M
M
M
M
M
M zyx ??? kMjMiM
52
静力学 第四章 空间力系
平衡方程是
显然 空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢
为零,即
0
)()()(
222
222
?
???
???
? ? ? ziyixi
zyx
MMM
MMMM
? ? ? ??? 0,0,0 ziyixi MMM
53
工件如图所示,
它的四个面上同时钻
五个孔, 每个孔所受
的切削力偶矩均为 80
N·m 。 求工件所受合
力偶的矩在 x,y,z
轴上的投影 Mx,My，
Mz,并求合力偶矩矢
的大小和方向 。
例题 4-10
静力学 第四章 空间力系
54
将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移
到 A点 。 可得
mN 1.19345 c os45 c os
mN 80
mN 1.19345 c os45 c os
541
2
543
???????
?????
???????
??
??
MMMM
MM
MMMM
z
y
x
mN 6.2 8 4222 ????? zyx MMMM
所以合力偶矩矢的大小
? ?
? ?
? ? 6 7 8 6.0c o s
2 8 1 1.0,c o s
6 7 8 6.0,c o s
??
??
??
kM
jM
iM
,
合力偶矩矢的方向余弦
解,
A
例题 4-10
静力学 第四章 空间力系
55
x
z
y O
F1
F2
F3
1F?
3F?
2F?
图示的三角柱刚体是正方体的
一半。在其中三个侧面各自作
用着一个力偶。已知力偶
（ F1, F ?1）的矩 M1=20 N·m；
力偶（ F2,F ?2 ）的矩 M2=20
N·m； 力偶（ F3, F ?3）的矩
M3=20 N·m。试求合力偶矩矢
M。又问使这个刚体平衡，还
需要施加怎样一个力偶。
例题 4-11
静力学 第四章 空间力系
56
0321 ???? xxxx MMMM
mN 2.11
321
??
??? yyyy MMMM
mN 2.41
321
??
??? zzzz MMMM
1.画出各力偶矩矢。
2.合力偶矩矢 M 的投影。
解：例题 4-11
静力学 第四章 空间力系
57
3.合力偶矩矢 M 的大小和方向。
mN 7.42222 ????? zyx MMMM
? ? ? ? ???? 90,,0,c o s iMiM MM x
? ? ? ? ???? 8.74,,262.0,c o s jMjM MM y
? ? ? ? ???? 2.15,,965.0,c o s kMkM MM z
4,为使这个刚体平衡,需加一力
偶，其力偶矩矢为 M4= － M 。
x
z
y
45°
O
M1
45°
M2
M3
例题 4-11
静力学 第四章 空间力系
58
静力学 第四章 空间力系
§ 4-4 空间任意力系向一点的简化 ?主矢和主矩
1.空间任意力系向一点的简化
与平面任意力系向一点的简化相同，空间任意力
系向一点的简化的理论根据也是 力线平移定理。
59
静力学 第四章 空间力系
刚体上作用空间任意力系 F1,F2,…, Fn.。用力线平移定
理，将所有力向任意选定的简化中心 O平移，同时附加一
个力偶 。这样，原空间任意力系就被空间汇交力系和空间
力偶系等效代替。
60
静力学 第四章 空间力系
),,2,1( )(,niiOiii ????? FMMFF
并有关系
然后，再分别将汇交力系和力偶系合成，得到一力 FR‘和
一力偶 MO 。该力的大小和方向称为原力系的 主矢,作用
线过简化中心 O；该力偶称为原力系对简化中心 O的 主矩 。
主矢和主矩的计算与空间汇交力系的合力和空间力偶系
的合力偶相同。
61
静力学 第四章 空间力系
)(,
111
R ???
???
??????
n
i
iO
n
i
iOi
n
i
i FMMMFFF
从上可得主矢与简化中心 O的选择无关，主矩与简化中
心 O的选择有关。 关于主矢与主矩的大小和方向的计算
同前的空间汇交力系和力偶系。
62
静力学 第四章 空间力系
1,空间任意力系的简化结果表明分析
0,0 ( 1 ) R ??? OMF
力系可合成一个 合力偶,其矩等于原力系对于简化中心
的主矩 MO 。 此时主矩与简化中心 O的位置无关 。
0,0 ( 2 ) R ??? OMF
力系可合成为一个 合力,合力的作用线过简化中心 O，大小
和方向与主矢相同。
0,0 ( 3 ) R ??? OMF
此时分三种情况讨论。
OMF ??R )a(
可进一步简化成一合力
63
静力学 第四章 空间力系
合力的大小和方向与主矢相等,
RR FF ??
作用线距简化中心 O的距离
R
F
M O
d ?
O
MO
FR'
（ a)
RF
O
O'
d
(c)
RF?RF??
RF
O
O'
d
(b)
64
静力学 第四章 空间力系
OMF // )b( R?
原力系简化成 力螺旋,即力与力偶作用面垂直。例如
力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。
65
静力学 第四章 空间力系
OMF ??R )c(
这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此,在
一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋 。
0,0 ( 4 ) R ??? OMF
这就是下节要讨论的空间任意力系的平衡
66
静力学 第四章 空间力系
§ 4–5 空间任意力系的平衡方程
1, 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢
和对任意点的主矩都为零。即
0,0 R ??? OMF平衡方程是
???
???
???
n
i
zi
n
i
yi
n
i
xi FFF
111
0,0,0
? ? ? ??? 0)(,0)(,0)( iziyix MMM FFF
与平面任意力系类似，空间任意力系的平衡方程除了上
面的一般形式外，还有四矩式，五矩式和六矩式。
67
静力学 第四章 空间力系
例如对空间平行力系，不
失一般性，假定取 z 轴与各力平
行，如右图所示，则空间任意
力系的 6个平衡方程中有 3个衡
为零，即
???
???
???
n
i
iz
n
i
yi
n
i
xi MFF
111
0)(,0,0 F
? ?? ??? 0)(,0)(,0 iyixzi MMF FF
因而 空间平行力系的平衡方程 只有下面的 3个
x
y
z
O
F1
F2
F3
Fn 由空间任意力系的平衡方程还
可导出其它特殊类型的力系的
平衡方程。
68
静力学 第四章 空间力系
2,空间约束的类型举例
69
静力学 第四章 空间力系
止推轴承
70
静力学 第四章 空间力系
空间固定端约束
71
静力学 第四章 空间力系
3,空间力系平衡问题举例
例题 4-12 铅直桅杆 AB受彼此互
相垂直的两个水平力
F1和 F2的作用，并由
张索 CD维持平衡。已
知尺寸 l，力 F1和 F2，
向 D点简化的结果是力
螺旋，试求 D点的位置。
72
令 BD=s,将力 F1和 F2向 D
点简化得主矢 F'R和主矩 MD 在
坐标轴 x1,y1上的投影,
2R1R 11 ',' FFFF yx ????
解,
? ?slFMsFM yx ??? 12 11,
静力学 第四章 空间力系
例题 4-12
因为向 D点简化是力螺旋，即
有 F'R//MD,故
1
1
1
1
R
R
'
'
y
x
y
x
M
M
F
F
?
l
FF
F
s 2
2
2
1
2
1
?
?
? ?slF
sF
F
F
?
?
1
2
2
1
从而解得所求距离
73
涡轮发动机的涡轮叶片上受到的燃气压力可简化成
作用在涡轮盘上的一个轴向力和一个力偶 。 图示中 FO, MO,
斜齿轮的压力角为 q,螺旋角为 β,节圆半径 r及 l1,l2尺寸均已
知 。 发动机的自重不计, 试求输出端斜齿轮上所受的反作用
力 F 以及径向推力轴承 O1和径向轴承 O2 处的约束力 。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-13
74
取整个系统为研究对象, 建立如图坐标
系 O1xyz,画出系统的受力图 。
其中在径向推力轴承 O1处的约束力有三个分量。在径
向轴承 O2处的约束力只有两个分量。
在斜齿轮上所受的压力 F 可分解成三个分力 。 周向力
Fy, 径向力 Fx 和轴向力 Fz 。 其中,
解,
,c o s c o s bqFF y ? bq s in c o sFF z ??,s in qFF x ??
静力学 第四章 空间力系
例题 4-13
75
由以上方
程可以求
出所有未
知量 。
系统受空间任意力系的作用, 可写出六个平衡方程 。
,0?? xF
,0?? yF
,0?? zF
021 ??? xxx FFF
021 ??? yyy FFF
01 ??? Ozz FFF
,0?? xM
,0?? yM
,0?? zM
0)( 2122 ???? llFlF yy
0)( 2122 ???? llFrFlF xzx
0?? Oy MrF
静力学 第四章 空间力系
例题 4-13
76
水平传动轴上装有两个胶带轮 C和 D，半径分别是
r1=0.4 m, r2=0.2 m, 套在 C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉
力 F1=3 400 N,F2=2 000 N，套在 D轮上的胶带与铅垂线成夹
角 q =30o，其拉力 F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，拉力 F3和
F4以及两个径向轴承处约束力的大小。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-15
77
以整个系统为研究对象, 建立如图坐标
系 Oxyz,画出系统的受力图 。 解,
为了看清胶带轮 C和 D的受力情况, 作出右视图 。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-14
下面以对 x 轴之矩分析为例说明力系中各力对轴之矩的求法。
力 FAx和 FBx平行于轴 x, 力 F2和 F1通过轴 x 。 它们对轴 x 的
矩均等于零 。
78
力 FAz和 FBz对轴 x 的矩分别为 － 0.25 Faz和 1.25 FBz 。
力 F3和 F4可分解为沿轴 x 和沿轴 z 的两个分量，其中沿轴
x 的分量对轴 x 的矩为零。所以力 F3和 F4对轴 x 的矩为
静力学 第四章 空间力系
例题 4-14
－ 0.75（ F3+F4） cos 30o
系统受空间力系的作用，可写出五个平衡方程。
79
,0?? xF 030s in)( 43 ???? ?FFFF BxAx
,0?? zF 0)(30 c o s)( 2143 ?????? FFFFFF BzAz ?
,0?? xM 0m 75.030 c o s)(m 25.1m 25.0 43 ???????? ?FFFF BZAZ
,0?? yM 0m 2.0)(m 4.0)( 4321 ??????? FFFF
,0?? zM 0m 75.030 s i n)(m 25.1m 25.0 43 ??????? ?FFFF BxAx
又已知 F3 =2F4，
故利用以上方程
可以解出所有未
知量。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-14
80
如图所示三轮小车, 自重 Ｐ = 8 kN,作
用于 E点, 载荷 F1 = 10 kN,作用于 C点 。 求
小车静止时地面对车轮的约束力 。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-15
81
以小车为研究对象，主动力和约束反力
组成空间平行力系，受力分析 如图。
? ?
? ? 0m 2.1m 6.0m 6.0m 8.0,0
0m 2m 2.1m 2.0,0
0,0
1
1
1
?????????
????????
???????
?
?
?
BDy
Dx
DBAz
FFPFM
FPFM
FFFPFF
F
F
列平衡方程
kN 423.4
kN 777.7
kN 8.5
?
?
?
A
B
D
F
F
F
解方程得
解,
静力学 第四章 空间力系
例题 4-15
82
在图中胶带的拉力 F2 =
2F1,曲柄上作用有铅垂力 F
= 2 000 N。 已知胶带轮的直
径 D=400 mm,曲柄长 R=300
mm,胶带 1和胶带 2与铅垂
线间夹角分别为 q和 β,q
=30o,β =60o, 其它尺寸如
图所示, 求胶带拉力和轴承
约束力 。
静力学 第四章 空间力系
例题 4-16
83
以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成
空间任意力系。
060 c os30 c os,0
00,0
060 s i n30 s i n,0
21
21
???????
??
?????
?
?
?
BxAxz
y
BxAxx
FFFFFF
F
FFFFF
??
??
列平衡方程
解,
静力学 第四章 空间力系
例题 4-16
84 N 7 99 1
N 3 48 3
N 3 97 9
N 0 04 1
N 0 00 6
N 0 00 3
2
1
??
?
?
??
?
?
Bz
Bx
Az
Ax
F
F
F
F
F
F
解方程得
又有 F2=2F1
? ?
? ? ? ?
? ? 0m 4.0m 2.060 s i nm 2.030 s i n,0
0
2
,0
0m 4.0m 2.0
m 2.060 c o sm 2.030 c o s,0
21
12
21
???????
????
?????
????
?
?
?
Bxz
y
Bx
x
FFFM
FF
D
FRM
FF
FFM
??
??
F
F
F
静力学 第四章 空间力系
例题 4-16
85
静力学 第四章 空间力系
如图所示空间平行力系，当
它有合力 FR时，合力的作用点 C
就称为 空间平行力系的中心 。
§ 4-6 重心
1,平行力系中心
如果让各力绕其作用点转过同一角度时，并仍然保
持平行，那么合力 FR也同样绕作用点 C转过相同的角度
且与各力仍然保持平行。即合力的作用点的位置只与各
平行力的大小和作用点的位置有关，而与方向无关。
86
静力学 第四章 空间力系
00RR,FFFF ii FF ??
?
??????
i
iinn
C F
F
F
FFF rrrr
r
R
2211 ?
R
zFz
R
yFy
R
xFx ii
C
ii
C
ii
C
??? ???,,:投影式
由合力矩定理,
?? )()( R iOO FMFM
nnC FrFrFrFr ???????? ?2211R
如果令 F0是力作用线方向的单
位矢量,
则将上式代入（ 1）式得
（ 1）
87
静力学 第四章 空间力系
如果把物体的重力看成为平行力系,物体重心问题可以看
成是空间平行力系中心的一个特例。 则求重心问题就是求
平行力系的中心问题。物体的重心位置为
?
?
?
?
?
? ???
i
ii
C
i
ii
C
i
ii
C P
zP
z
P
yP
y
P
xP
x,,
2,重心
若物体是均质的，上式可改写成
V
Vz
z
V
Vy
y
V
Vx
x VCVCVC
???
???
d
,
d
,
d
这时重心与几何中心重合
88
静力学 第四章 空间力系
3,确定物体重心的方法
（ 1）积分法
适用于几何形状规则的均质物体
解, 由于对称关系，该圆弧重心必在 Ox轴，即 yC=0。取微段
qdRdL ??
q co s ?? Rx
R
dR
L
dLx
x LC
?
?
?
2
c os
2
?? ? ???
?
?
?
?
?s inRx
C ?
求半径为 R，顶角为 2? 的均质圆弧的重心。
例题 4-17
89
静力学 第四章 空间力系
(2) 组合法
cm4.6
21
2211
?
?
?
?
?
?
?
AA
yAyA
A
yA
y
ii
C
由
解,
cm
π2
48 cm4 π
2
1,8 0 c m
21
2
2
2
1 )
R(y,y,RAA ?????
求：该组合体的重心？
如图所示组合体由一半圆和一长方形所构成，已知
如果一个物体由几个重心位置是已知的物体组合而成，
则可用组合法求该物体的重心。
例题 4-17
90
静力学 第四章 空间力系
0)( ?? FBM由 0
1N ????? CA xPlF
P
lFx A
C
1N ??
简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。
(3) 实验法,
(a) 悬挂法 (b) 称重法
求得
91
静力学 第四章 空间力系
