1
2
第二章 平面汇交力学与平面力偶系
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系,
是研究复杂力系的基础 。 本章将分别用几何法与解
析法研究平面汇交力系的合成与平衡和平面力偶系
的合成与平衡问题 。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
若一力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于
一点, 称此力系为平面汇交力系 。
P
C A
B
O
FTA
FTB,,
(c)
O
A
B
P
C
(a)
O
FT
FTA FTB
(b)
4
如图（ b）中所示平面共点力系（是汇交力系中一
种）；如图（ c）中所示是平面汇交力系。前者力 FTA、
FTB及 FT三个力都作用于 O点，后者力 F′TA,F′TB及 P分
别作用于 A,B,C三点上，但它们作用线延长都交于 O
点。设刚体 AB扩延至可以包含 O点，则三力沿其各自作
用线移至 O点。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
P
C A
B
O
FTA
FTB,,
(c)
O
FT
FTA FTB
(b)
5
1.平面汇交力系合成的几何法
设刚体受到平面汇交力系 F1,F2,F3,F4作用，其汇交点 A,
如图 （ a） 所示 。 为了用几何法合成, 根据力的平行四边形
法则, 可逐步两两合成各力 。 由 F1,F2→ FR1,由 FR1,
F3→ FR2；由 FR2,F4→ FR。 如图 （ b）
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
A
F1
F2
F3
F4
(a)
A
F1 F2
F3
F4
FR1 FR2
FR
(b)
6
还可用更简便的方法求此合力 FR的大小和方向。外
任取一点 a将各力的矢量 依次首尾相接，由此组成一个
不封闭的力多边形 abcde其封闭边 ae为合力 FR大小和方
向,如下图。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
7
根据矢量相加的交换律, 任意变换各分力矢的作图次序,
可得形状不同的力多边形, 但其合力矢 ae仍然不变 。 合力的
作用线仍应通过原汇交点 A。
总之, 平面汇交力系可简化为一个合力：其大小和方向等
于各分力的矢量和 （ n个之和 ）, 其作用线通过汇交点 。 即
?
?
?????
n
i
in
1
21R FFFFF ?
力 FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以
称此力为汇交力系的合力 。
如力系中各力作用线均沿同一直线, 则此力系为共线力系,
它是平面汇交力系的特殊情况 。 显然力系的合力大小和方向
取决于各分力的代数和, 即
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
?
?
?
n
i
iFF
1
R
8
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
对于平衡情形下, 显然有力系的合力为零,
其力多边形自行封闭 。 故 平面汇交力系平衡的必
要和充分条件是：该力系的合力等于零 。 即
0
1
21R ?????? ?
?
n
i
in FFFFF ?
其几何条件是力多边形自行封闭 。
2,平面汇交力系平衡的几何条件
9
F
q
24cm
6cm
A
C B
D
O
(a)
E
例题 1-1
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
图 a所示是汽车制动机
构的一部分。司机踩到制
动蹬上的力 F=212 N,方向
与水平面成 q = 45?角。当
平衡时,DA铅 直,BC水平，
试求拉杆 BC所受的力。已
知 EA=24 cm,DE=6 cm?点
E在铅直线 DA上 ?, 又 B,
C, D都是光滑铰链，机构
的 自重不计。
10
A
B
D
(b)
? O q
F
FB F
D
E
J
FD
K
FB
F I
q ?
(c)
1.取制动蹬 ABD作为研究对象，
并画出受力图。
2.作出相应的力三角形 。
几何法 解,
cm 24 ?? EAOE
4
1
24
6 t a n ???
OE
DE? ??? 01.14
4
1a r c t a n?
? ? N 7 5 0
s in
1 8 0s in ????? FF
B ?
?q
3,由图 b几何关系得,
4,由力三角形图 c可得,
例题 1-1
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
11
水平梁 AB中点 C作用着力 F,其大小等于 2 kN,方向
与梁的轴线成 60o角, 支承情况如图 a 所示, 试求固定铰
链支座 A和活动铰链支座 B的约束力 。 梁的自重不计。
A B
30o
a a
C
例题 1-2
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
12
60o
30o
60o
30o
1.取梁 AB作为研究对象。
FA = F cos30?=17.3 kN
FB = F sin30?=10 kN
2.画出受力图。
3.作出相应的力三角形。
解,例题 1-2
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
4.由力多边形解出,
13
R
O
A h
F
B
如图轧路碾子自重 P = 20
kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高
h = 0.08 m碾子中心 O处作用一
水平拉力 F，试求, (1)当水平
拉力 F = 5 kN时，碾子对地面和
障碍物的压力； (2)欲将碾子拉
过障碍物，水平拉力至少应为多
大； (3)力 F 沿什么方向拉动碾
子最省力，此时力 F为多大。
例题 1-3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
q
14
A B
O
P
F
FA
FB
(b)
R
O
A h
F
B
(a)
q P
F
P
q
FA
FB
(c)
1,选碾子为研究对象，受力分析如图 b所示。
?30
8 6 6.0 c o s
?
???
q
q
R
hR
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条
件，力 P, F, FA和 FB组成封闭的力多边形。
由已知条件可求得
再由力多边形图 c 中各矢量的
几何关系可得
PFF
FF
BA
B
??
?
q
q
c o s
s in
k N,10s in ?? qFF B kN 34.11 c o s ??? qBA FPF
解得
解,例题 1-3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
15
2,碾子能越过障碍的力学条
件是 FA=0,得封闭力三角形 abc。
a
F
Fmin P
q
FB
b c
kN 5.11 t a n ?? qPF
kN 09.23c o s ?? qPF B
3,拉动碾子的最小力为
kN 10s inm i n ?? qPF
由此可得
例题 1-3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
A B
O
P
F
FA
FB
F
P
q
FA
FB
16
1,力的分解与力的投影
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
两个汇交力可以合成一个合力,
其结果是唯一的 。 反之, 若将一个力
分解成两个力, 如果没有足够的附加
条件, 则其解答是无穷多的 （ 是不定
的 ） 。 但一般将它分解为两个正交的
分力 FRx,FRy,如图所示：则
jiFFF yxyx FF ???? RRR
而
c o s,c o s RRRR ?q FFFF yx ?????? jFiF
Fx和 Fy称为 力 FR在 x和 y轴上的投影
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
i,j 分别是 x和 y轴方向的单位矢量
17
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
由此可知, 利用力在轴上的投影, 可以表示力沿直角坐标轴
分解时分力的大小和方向 。
不过应注意的是：分力是矢量, 而力的投影是代数量 。 确
定不出力矢作用位置, 它们是两个不同的概念 。 只有对于正
交坐标系它们之间的才有关系,
jiFFF yxyx FF ???? RRR
其中
jFiF yyxx FF ?? RR,
R
R
R
R ),c o s (,),c o s ( F
F
F
F yx ?? jFiF
22
R yx FFF ??
如果已知力 FR在 x和 y轴上的投影，则可求得力 FR的
大小和方向余弦为
上式也称为 力的解析表达形式
18
FR
F1
F2
F3 Fn
y
x
i j O
2,平面汇交力系合成的解析法
设由 n个力组成的平面汇交力系, 如图所示 。 其合力 FR可
表示为分力的矢量和
?
?
?????
n
i
in
1
21R FFFFF ?
由力的解析表达式
jiFFF yxyx FF ???? RRR
jiFFF yixiyixii FF ????
可得
)(
11
R ??
??
?????
n
i
yixi
n
i
iyx FFFF jiFjiF
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
由上式可得 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，
等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
19
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
合力矢 FR的大小和方向余弦为
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?
?
?
?
n
i
yiynyyy
n
i
xixnxxx
FFFFF
FFFFF
1
21
1
21
??
??
2222
R )()( yixiyx FFFFF ??????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
R
yi
R
y
R
xi
R
x
F
F
F
F
F
F
F
F
),c os (
)c os (
R
jF
i,F
R
其数学表达式为
20
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
3,平面汇交力系的平衡方程
0)()( 22R ????? yixi FFF
0,0 ???? yixi FF
由前节知，平面汇交力系平衡条件，该力系合力 FR等于零，
即
欲使上式成立，必须同时满足
于是, 平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：
各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零 。 上式称为
平面汇交力系的平衡方程 。 这是两个独立方程, 可以求解
也只能求解两个求知数 。
21
O q
F
FD
?
x
y
F
B
A
B
D
1.取制动蹬 ABD作为研究对象。
2.画出受力图，并由力的可传
性化为共点力系。
解
3.列出平衡方程,
，
，
0
0
?
?
?
?
y
x
F
F
0 s in s in
0 c o s c o s
??
???
q?
?q
FF
FFF
D
DB
969.0 c o s,243.0 s i n,03.14 ???? ???
联立求解得 N 750?BF
已知,
例题 1-4
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
用解析法再解 例题 1-1
22
求如图所示平面共点力
系的合力。其中,F1 = 200
N,F2 = 300 N,F3 = 100 N，
F4 = 250 N。
N 3.129
45 c o s45 c o s60 c o s30 c o s 4321R
?
???? ???? FFFFF x
N 3.112
45 c o s45 c o s30 c o s60 c o s 4321R
?
???? ???? FFFFF y
解,
根据合力投影定理，得合力在轴
x,y上的投影分别为,
?60
F2
?45
F4
?30
F1
x
y
O
?45
F3
例题 1-5
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
23
N 3.1 7 12R2RR ??? yx FFF
656.0),c os (
754.0),c os (
R
R
R
R
R
R
??
??
F
F
F
F
y
x
jF
iF
01.49),(99.40),( RR ?? ?? jFiF
合力的大小,
合力与轴 x,y夹角的方向余弦为,
所以，合力与轴 x,y的夹角分别为,
?
?60
F2
?45
F4
?30
F1
x
y
O
?45
F3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
例题 1-5
24
利用铰车绕过定滑轮 B
的绳子吊起一货物重 P =
20 kN,滑轮由两端铰
接 的水平刚杆 AB和斜刚
杆 BC支持于点 B 。 不计
铰车的自重，试求杆 AB
和 BC所受的力。
例题 1-6
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
30°
B
P
A
C
30°
?a?
25
y
FBC
F
FAB
P
x
30°
30°
?b?
B
1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。
2.画出受力图 。
3.列出平衡方程,
联立求解得
,0
,0
?
?
?
?
y
x
F
F
030 s in30 c o s ??? ?? FFF ABBC
030 c o s60 c o s ??? ?? FGF BC
kN 45.5??ABF kN 5.47?BCF
解,例题 1-6
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
约束力 FAB为负值，说明该力实际指向
与图上假定指向相反。即杆 AB实际上受拉力。
26
如图所示, 重物 P =20 kN，
用钢丝绳挂在支架的滑轮 B上,
钢丝绳的另一端绕在铰车 D上 。
杆 AB与 BC铰接, 并以铰链 A,C
与墙连接 。 如两杆与滑轮的自重
不计并忽略摩擦和滑轮的大小,
试求平衡时杆 AB和 BC所受的力 。
A
B D
?30
?60
C
P
例题 1-7
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
27
列写平衡方程
060 c os30 c os,0
030 c os60 c os,0
21
21
????
?????
?
?
??
??
FFFF
FFFF
BCy
BAx
解方程得杆 AB和 BC所受的力,
kN 32.273 6 6.1
kN 3 2 1.73 6 6.0
??
????
PF
PF
BC
BA
解,取滑轮 B为研究对象,忽略滑轮的
大小,画受力图。
x
y
B
?30
?60
FAB
F2
F1
FBC
例题 1-7
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
A
B D
?30
?60
C
P 显然,F
1=F2=P
28
梯长 AB =l, 重 P =100 N,重心假设在中点 C,梯子的上
端 A靠在光滑的端上，下端 B放置在与水平面成 40° 角的光滑
斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以
及梯子和水平面的夹角 θ。
40°
θ
A
C
B
P
例题 1-8
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
29
梯子受三力平衡，由三力汇交定
理可知,它们交于 D点。
1.求约束力。
解,
列平衡方程,
联立求解，考虑到
? ?q ? ??????? = 5??, 得
FA=83.9 N,FB=130.5 N
，
，
0
0
?
?
?
?
y
x
F
F ? ?
? ? 0s in
0c o s
????
???
q?
q?
B
BA
FP
FF
y
x FA
FB P
A
C
E
B
D
40° q
40°
q
?
例题 1-8
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
30
角 θ可由三力汇交的几何关系求出。
ant q?? EBEC
EDEC
2
1 ?
? ? 596.050 ant21ant21 ant ????? ?qq
?? 8.30q
已知 C是 AB中点, DE是平行四边形 ADBE的对角线, 所以
C也是 DE的中点 。
2.求角 θ。
y
由直角三角形 BEC和 BED,有
? ?q? ??? ant EBED
例题 1-8
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
y
x FA
FB P
A
C
E
B
D
40° q
40°
q
?
31
车间用的悬臂式简易起
重机可简化为如图所示的结
构 。 AB是吊车梁, BC是钢索,
A端支承可简化为铰链支座 。
设已知电葫芦和提升重物 P=5
kN,θ=25o, AD=a=2m,
AB=l=2.5m。 如吊车梁的自重
可略去不计, 求钢索 BC和铰
A的约束力 。
A B
C
D
θ
P
例题 1-9
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
32
选择吊车梁为研究对象, 在吊车梁
上总共有三个不平行的力作用, 根据三
不平行力的平衡条件, 可以肯定铰 A的
约束力 FA必通过力 P与 FB 的交点 O。
解,
A B D
P
O a
l
φ θ FA
FB
例题 1-9
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
A B
C
D
P
33
0 s i n s i n,0
0 c o s c o s,0
?????
???
?
?
q?
q?
BAy
BAx
FFPF
FFF
解联立方程求得
FA = 8.63 kN FB = 9.46 kN
把三个力移到点 O，作直角坐
标系，如图 a 所示。列平衡方程,
θa alAD θBDADODφ t a n)( t a n t a n ????
tan ? = 0.117
式中角 φ可由图 b 中的几何关系求得
O
x
P
FA FB
φ
（ a）
y
q
例题 1-9
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
(b)
A B D
P
O a
l
φ FA
FB
34
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
§ 2— 3 平面力对点之矩的概念及计算
力对刚体的运动效应包括移动和转动两种, 其中移动
由力矢来度量, 而转动由力矩 （ 或力偶 ） 来度量 。
力矩, 即力对点之矩, 是使刚体产生转动效应 。 效应
大小 取决于力的大小与力臂的乘积, 平面力对点之矩是一
个代数量 。 它的转向人为规定一般取逆时针转向时为正,
反之为负 。
F对矩心点 O之矩
O A BO AFhFM ????? 2)(
式中为三角形 OAB 的面积,
如图 2-8所示 。 单位为 N?m
或 kN ?m。
1、力矩
O h
r F A
MO(F) B
35
力 F的作用点沿其作用线移动,
不改变这力对 O点的矩 。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
36
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
2,合力矩定理与力矩的解析表达式
合力矩定理, 平面汇交力系的合力对于平面内任一点
之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和 。 即
)()(
1
R i
n
i
OO MM FF ?
?
?
为了便于计算力对点之矩, 将力分解成两个正交分力,
如图所示, 再利用合力矩定理求得 。 即
xy
OxOO
yFxF
MMM
??
??
)()()( yFFF
上式为平面内力矩的 解析形
式 。 注意, 式中各量应以代数
量代入 。 O
y
x
A
y
x
Fy
Fx
F
q
37
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
合力 FR对点 O之矩的解析表达式为
))(
1
R xii
n
i
yiiO FyFxM ?? ?
?
F
如图所示，如果已知,F,q, ?, l,要 求力 F对点 A之矩
)c o s ()90s i n ()( ?q?q ??????? FlFlhFM O ?F
（ 1）按力矩的定义
（ 2）应用合力矩定理
)c o s (
s i ns i nc o sc o s
)()()(
?q
?q?q
??
????
??
Fl
lFlF
MMM
yOxOO
FFF
38
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
§ 2— 4 平面力偶
1．力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系,
称为 力偶 。如图所示，记作（ F,F'）。力偶的两力之间
的垂直距离 d称为 力偶臂,力偶所在的平面称为 力偶作用
面。
F' F
d
A
B
C
D
39
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
如司机用双手转动驾驶盘, 钳工用丝锥
攻螺纹, 人们用手指转动钥匙或水龙头等
等都是力偶作用的例子 。
40
力偶不能合成为一个力，但又不平衡，故力偶也不能
用一个力来平衡。力偶和力一样为一个基本力学量。
力偶的作用只改变物体的转动状态，其效应用 力偶矩
来度量,其值为力与力偶臂的乘积,即 Fd与矩心位置
无关。平面力偶对物体的作用效应，由两个因素决定,
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
因此, 平面力偶矩是一个代数量, 以 M表示, 即
M=± Fd=± 2A△ ABC
转向用正负号表示, 用力矩规定 。 力偶矩的单位 N?m，
与力矩相同 。
（ 1）力偶矩的大小
（ 2）力偶在作用面的转向。
41
2．同平面内力偶的等效定理
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
定理,在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相
等，则两力偶彼此等效 。
42
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
这样，力偶中的力的大小和力臂长短都不是力偶的
特征量，故常用下图所示的符号表示。
（ 1）力偶可以在其作用面内任意移转，而不影响
它对于 刚体 的效应 。因此,力偶对刚体的作用与力
偶在其作用面的位置无关 。
由此可得两个推论,
（ 2）只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以 同
时改变 力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变
力偶对 刚体 的作用。
== == ==
F
F'
d
F1
F'1
d1
F2
F‘2
d2 M
43
3．平面力偶系的合成与平衡
(1) 平面力偶系的合成
M1=F1d1 M2=-F2d2
根据力偶的性质，将它们转移并化为相同臂长 d的
力偶，如图（ a)分别为
M1=F1d1=F3d M2= -F2d2= -F4 d
F=F3-F4 F'=F3'-F4'
将作用在点 A,B的力分别合成得
设在刚体同一平面内有两个力偶，所示
F1
F'1
d1
F2
F'2
d2
(a)
F3'
A
F4'
B d
F4
F3
(b)
F '
A B d
F
(c)
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
44
同理, 可以推得几个力偶的合成 。 即 作用于 刚体 同平
面内的任意个力偶可以合成一个合力偶, 合力偶矩等
于各个分力偶矩的代数和 。 可表示为
?
?
?
n
i
iMM
1
F,F‘组成一新力偶即为 合力偶, 合力偶 的矩为
M=Fd=（ F3-F4） d=F3d-F4d=M1+M2
F '
A B d
F
(c)
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
45
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
（ 2）平面力偶系的平衡
若力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。即
上式是平面力偶系平衡的必要与充分条件，即 平面力偶系的
平衡方程 。 只有一个独立方程，只能求解一个求知数 。
0
1
??
?
n
i
iM
46
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 M1=M2=M3=M4=15N?m。
求工件的总切削力偶矩和 A, B端约束力。
mN60154
4321
????
???? MMMMM
02.0 0,4321N ???????? MMMMFM B
N300 N300
2.0
60
NNN ???? BAB FFF
解, 总切削力偶矩为
因力偶只能与力偶平衡，故力
FNA与力 FNB必组成一力偶。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
例题 1-10
47
一简支梁作用一矩为 M 的力偶，不
计梁重，求二支座约束力。
梁上除作用有力偶 M 外，还
有反力 FA,FB 。
解,以梁为研究对象。
因为 力偶只能与力偶平衡，所
以 FA=FB。
又 ∑M = 0 即 M - FAl = 0
所以 FA =FB = M / l
B A l
M FA
FB
l
M
B A
例题 1-11
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
48
横梁 AB长 l,A端用铰链杆支撑, B端为铰支
座 。 梁上受到一力偶的作用, 其力偶矩为 M,如
图所示 。 不计梁和支杆的自重, 求 A和 B端的约
束力 。
A B
D
M
?45
l
A B
M
FB
FA
例题 1-12
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
选梁 AB为研究对象 。 梁所受的主动
力为一力偶, AD是二力杆, 因此 A端的
约束力必沿 AD杆 。 根据力偶只能与力偶
平衡的性质, 可以判断 A与 B 端的约束力
FA 和 FB 构成一力偶, 因此有,
FA = ? FB 。 梁 AB受力如图 。
l
M
l
MFF
BA
2
45 c o s
??? ?
解得
解
045 c o s ?? ?lFM A,0? ?M
列平衡方程,
49
如图所示的铰接四连杆机构 OABD,在杆 OA和 BD
上 分别作用着矩为 M1和 M2的力偶，而使机构在图示位
置处于平衡。已知 OA=r,DB=2r,q =30°, 不计杆重，
试求 M1和 M2间的关系。
B
O D
q
M1 M2
A
例题 1-13
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
50
写出杆 OA和 DB的平衡方程,∑ M = 0
因为杆 AB为二力杆，故其反力 FAB和 FBA只
能沿 A,B的连线方向。
B
D
M2
FD
FBA
O
M1
FO
FAB A
解,
分别取杆 OA和 DB为研究对象 。 因为力偶只
能与力偶平衡, 所以支座 O和 D的约束力 FO 和 FD
只能分别平行于 FAB 和 FBA, 且与其方向相反 。
0 c o s2
0 c o s
2
1
???
??
?
?
rFM
rFM
BA
AB
BAAB FF ?
12 2
1 MM ?
?
因为
所以求得
B
O D
q
M1 M2
A
例题 1-13
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
51
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
2
第二章 平面汇交力学与平面力偶系
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系,
是研究复杂力系的基础 。 本章将分别用几何法与解
析法研究平面汇交力系的合成与平衡和平面力偶系
的合成与平衡问题 。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
若一力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于
一点, 称此力系为平面汇交力系 。
P
C A
B
O
FTA
FTB,,
(c)
O
A
B
P
C
(a)
O
FT
FTA FTB
(b)
4
如图（ b）中所示平面共点力系（是汇交力系中一
种）；如图（ c）中所示是平面汇交力系。前者力 FTA、
FTB及 FT三个力都作用于 O点，后者力 F′TA,F′TB及 P分
别作用于 A,B,C三点上，但它们作用线延长都交于 O
点。设刚体 AB扩延至可以包含 O点，则三力沿其各自作
用线移至 O点。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
P
C A
B
O
FTA
FTB,,
(c)
O
FT
FTA FTB
(b)
5
1.平面汇交力系合成的几何法
设刚体受到平面汇交力系 F1,F2,F3,F4作用，其汇交点 A,
如图 （ a） 所示 。 为了用几何法合成, 根据力的平行四边形
法则, 可逐步两两合成各力 。 由 F1,F2→ FR1,由 FR1,
F3→ FR2；由 FR2,F4→ FR。 如图 （ b）
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
A
F1
F2
F3
F4
(a)
A
F1 F2
F3
F4
FR1 FR2
FR
(b)
6
还可用更简便的方法求此合力 FR的大小和方向。外
任取一点 a将各力的矢量 依次首尾相接，由此组成一个
不封闭的力多边形 abcde其封闭边 ae为合力 FR大小和方
向,如下图。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
7
根据矢量相加的交换律, 任意变换各分力矢的作图次序,
可得形状不同的力多边形, 但其合力矢 ae仍然不变 。 合力的
作用线仍应通过原汇交点 A。
总之, 平面汇交力系可简化为一个合力：其大小和方向等
于各分力的矢量和 （ n个之和 ）, 其作用线通过汇交点 。 即
?
?
?????
n
i
in
1
21R FFFFF ?
力 FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以
称此力为汇交力系的合力 。
如力系中各力作用线均沿同一直线, 则此力系为共线力系,
它是平面汇交力系的特殊情况 。 显然力系的合力大小和方向
取决于各分力的代数和, 即
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
?
?
?
n
i
iFF
1
R
8
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
对于平衡情形下, 显然有力系的合力为零,
其力多边形自行封闭 。 故 平面汇交力系平衡的必
要和充分条件是：该力系的合力等于零 。 即
0
1
21R ?????? ?
?
n
i
in FFFFF ?
其几何条件是力多边形自行封闭 。
2,平面汇交力系平衡的几何条件
9
F
q
24cm
6cm
A
C B
D
O
(a)
E
例题 1-1
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
图 a所示是汽车制动机
构的一部分。司机踩到制
动蹬上的力 F=212 N,方向
与水平面成 q = 45?角。当
平衡时,DA铅 直,BC水平，
试求拉杆 BC所受的力。已
知 EA=24 cm,DE=6 cm?点
E在铅直线 DA上 ?, 又 B,
C, D都是光滑铰链，机构
的 自重不计。
10
A
B
D
(b)
? O q
F
FB F
D
E
J
FD
K
FB
F I
q ?
(c)
1.取制动蹬 ABD作为研究对象，
并画出受力图。
2.作出相应的力三角形 。
几何法 解,
cm 24 ?? EAOE
4
1
24
6 t a n ???
OE
DE? ??? 01.14
4
1a r c t a n?
? ? N 7 5 0
s in
1 8 0s in ????? FF
B ?
?q
3,由图 b几何关系得,
4,由力三角形图 c可得,
例题 1-1
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
11
水平梁 AB中点 C作用着力 F,其大小等于 2 kN,方向
与梁的轴线成 60o角, 支承情况如图 a 所示, 试求固定铰
链支座 A和活动铰链支座 B的约束力 。 梁的自重不计。
A B
30o
a a
C
例题 1-2
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
12
60o
30o
60o
30o
1.取梁 AB作为研究对象。
FA = F cos30?=17.3 kN
FB = F sin30?=10 kN
2.画出受力图。
3.作出相应的力三角形。
解,例题 1-2
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
4.由力多边形解出,
13
R
O
A h
F
B
如图轧路碾子自重 P = 20
kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高
h = 0.08 m碾子中心 O处作用一
水平拉力 F，试求, (1)当水平
拉力 F = 5 kN时，碾子对地面和
障碍物的压力； (2)欲将碾子拉
过障碍物，水平拉力至少应为多
大； (3)力 F 沿什么方向拉动碾
子最省力，此时力 F为多大。
例题 1-3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
q
14
A B
O
P
F
FA
FB
(b)
R
O
A h
F
B
(a)
q P
F
P
q
FA
FB
(c)
1,选碾子为研究对象，受力分析如图 b所示。
?30
8 6 6.0 c o s
?
???
q
q
R
hR
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条
件，力 P, F, FA和 FB组成封闭的力多边形。
由已知条件可求得
再由力多边形图 c 中各矢量的
几何关系可得
PFF
FF
BA
B
??
?
q
q
c o s
s in
k N,10s in ?? qFF B kN 34.11 c o s ??? qBA FPF
解得
解,例题 1-3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
15
2,碾子能越过障碍的力学条
件是 FA=0,得封闭力三角形 abc。
a
F
Fmin P
q
FB
b c
kN 5.11 t a n ?? qPF
kN 09.23c o s ?? qPF B
3,拉动碾子的最小力为
kN 10s inm i n ?? qPF
由此可得
例题 1-3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
A B
O
P
F
FA
FB
F
P
q
FA
FB
16
1,力的分解与力的投影
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
两个汇交力可以合成一个合力,
其结果是唯一的 。 反之, 若将一个力
分解成两个力, 如果没有足够的附加
条件, 则其解答是无穷多的 （ 是不定
的 ） 。 但一般将它分解为两个正交的
分力 FRx,FRy,如图所示：则
jiFFF yxyx FF ???? RRR
而
c o s,c o s RRRR ?q FFFF yx ?????? jFiF
Fx和 Fy称为 力 FR在 x和 y轴上的投影
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
i,j 分别是 x和 y轴方向的单位矢量
17
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
由此可知, 利用力在轴上的投影, 可以表示力沿直角坐标轴
分解时分力的大小和方向 。
不过应注意的是：分力是矢量, 而力的投影是代数量 。 确
定不出力矢作用位置, 它们是两个不同的概念 。 只有对于正
交坐标系它们之间的才有关系,
jiFFF yxyx FF ???? RRR
其中
jFiF yyxx FF ?? RR,
R
R
R
R ),c o s (,),c o s ( F
F
F
F yx ?? jFiF
22
R yx FFF ??
如果已知力 FR在 x和 y轴上的投影，则可求得力 FR的
大小和方向余弦为
上式也称为 力的解析表达形式
18
FR
F1
F2
F3 Fn
y
x
i j O
2,平面汇交力系合成的解析法
设由 n个力组成的平面汇交力系, 如图所示 。 其合力 FR可
表示为分力的矢量和
?
?
?????
n
i
in
1
21R FFFFF ?
由力的解析表达式
jiFFF yxyx FF ???? RRR
jiFFF yixiyixii FF ????
可得
)(
11
R ??
??
?????
n
i
yixi
n
i
iyx FFFF jiFjiF
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
由上式可得 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，
等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
19
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
合力矢 FR的大小和方向余弦为
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?
?
?
?
n
i
yiynyyy
n
i
xixnxxx
FFFFF
FFFFF
1
21
1
21
??
??
2222
R )()( yixiyx FFFFF ??????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
R
yi
R
y
R
xi
R
x
F
F
F
F
F
F
F
F
),c os (
)c os (
R
jF
i,F
R
其数学表达式为
20
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
3,平面汇交力系的平衡方程
0)()( 22R ????? yixi FFF
0,0 ???? yixi FF
由前节知，平面汇交力系平衡条件，该力系合力 FR等于零，
即
欲使上式成立，必须同时满足
于是, 平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：
各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零 。 上式称为
平面汇交力系的平衡方程 。 这是两个独立方程, 可以求解
也只能求解两个求知数 。
21
O q
F
FD
?
x
y
F
B
A
B
D
1.取制动蹬 ABD作为研究对象。
2.画出受力图，并由力的可传
性化为共点力系。
解
3.列出平衡方程,
，
，
0
0
?
?
?
?
y
x
F
F
0 s in s in
0 c o s c o s
??
???
q?
?q
FF
FFF
D
DB
969.0 c o s,243.0 s i n,03.14 ???? ???
联立求解得 N 750?BF
已知,
例题 1-4
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
用解析法再解 例题 1-1
22
求如图所示平面共点力
系的合力。其中,F1 = 200
N,F2 = 300 N,F3 = 100 N，
F4 = 250 N。
N 3.129
45 c o s45 c o s60 c o s30 c o s 4321R
?
???? ???? FFFFF x
N 3.112
45 c o s45 c o s30 c o s60 c o s 4321R
?
???? ???? FFFFF y
解,
根据合力投影定理，得合力在轴
x,y上的投影分别为,
?60
F2
?45
F4
?30
F1
x
y
O
?45
F3
例题 1-5
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
23
N 3.1 7 12R2RR ??? yx FFF
656.0),c os (
754.0),c os (
R
R
R
R
R
R
??
??
F
F
F
F
y
x
jF
iF
01.49),(99.40),( RR ?? ?? jFiF
合力的大小,
合力与轴 x,y夹角的方向余弦为,
所以，合力与轴 x,y的夹角分别为,
?
?60
F2
?45
F4
?30
F1
x
y
O
?45
F3
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
例题 1-5
24
利用铰车绕过定滑轮 B
的绳子吊起一货物重 P =
20 kN,滑轮由两端铰
接 的水平刚杆 AB和斜刚
杆 BC支持于点 B 。 不计
铰车的自重，试求杆 AB
和 BC所受的力。
例题 1-6
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
30°
B
P
A
C
30°
?a?
25
y
FBC
F
FAB
P
x
30°
30°
?b?
B
1.取滑轮 B 轴销作为研究对象。
2.画出受力图 。
3.列出平衡方程,
联立求解得
,0
,0
?
?
?
?
y
x
F
F
030 s in30 c o s ??? ?? FFF ABBC
030 c o s60 c o s ??? ?? FGF BC
kN 45.5??ABF kN 5.47?BCF
解,例题 1-6
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
约束力 FAB为负值，说明该力实际指向
与图上假定指向相反。即杆 AB实际上受拉力。
26
如图所示, 重物 P =20 kN，
用钢丝绳挂在支架的滑轮 B上,
钢丝绳的另一端绕在铰车 D上 。
杆 AB与 BC铰接, 并以铰链 A,C
与墙连接 。 如两杆与滑轮的自重
不计并忽略摩擦和滑轮的大小,
试求平衡时杆 AB和 BC所受的力 。
A
B D
?30
?60
C
P
例题 1-7
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
27
列写平衡方程
060 c os30 c os,0
030 c os60 c os,0
21
21
????
?????
?
?
??
??
FFFF
FFFF
BCy
BAx
解方程得杆 AB和 BC所受的力,
kN 32.273 6 6.1
kN 3 2 1.73 6 6.0
??
????
PF
PF
BC
BA
解,取滑轮 B为研究对象,忽略滑轮的
大小,画受力图。
x
y
B
?30
?60
FAB
F2
F1
FBC
例题 1-7
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
A
B D
?30
?60
C
P 显然,F
1=F2=P
28
梯长 AB =l, 重 P =100 N,重心假设在中点 C,梯子的上
端 A靠在光滑的端上，下端 B放置在与水平面成 40° 角的光滑
斜坡上，求梯子在自身重力作用下平衡时，两端的约束力以
及梯子和水平面的夹角 θ。
40°
θ
A
C
B
P
例题 1-8
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
29
梯子受三力平衡，由三力汇交定
理可知,它们交于 D点。
1.求约束力。
解,
列平衡方程,
联立求解，考虑到
? ?q ? ??????? = 5??, 得
FA=83.9 N,FB=130.5 N
，
，
0
0
?
?
?
?
y
x
F
F ? ?
? ? 0s in
0c o s
????
???
q?
q?
B
BA
FP
FF
y
x FA
FB P
A
C
E
B
D
40° q
40°
q
?
例题 1-8
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
30
角 θ可由三力汇交的几何关系求出。
ant q?? EBEC
EDEC
2
1 ?
? ? 596.050 ant21ant21 ant ????? ?qq
?? 8.30q
已知 C是 AB中点, DE是平行四边形 ADBE的对角线, 所以
C也是 DE的中点 。
2.求角 θ。
y
由直角三角形 BEC和 BED,有
? ?q? ??? ant EBED
例题 1-8
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
y
x FA
FB P
A
C
E
B
D
40° q
40°
q
?
31
车间用的悬臂式简易起
重机可简化为如图所示的结
构 。 AB是吊车梁, BC是钢索,
A端支承可简化为铰链支座 。
设已知电葫芦和提升重物 P=5
kN,θ=25o, AD=a=2m,
AB=l=2.5m。 如吊车梁的自重
可略去不计, 求钢索 BC和铰
A的约束力 。
A B
C
D
θ
P
例题 1-9
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
32
选择吊车梁为研究对象, 在吊车梁
上总共有三个不平行的力作用, 根据三
不平行力的平衡条件, 可以肯定铰 A的
约束力 FA必通过力 P与 FB 的交点 O。
解,
A B D
P
O a
l
φ θ FA
FB
例题 1-9
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
A B
C
D
P
33
0 s i n s i n,0
0 c o s c o s,0
?????
???
?
?
q?
q?
BAy
BAx
FFPF
FFF
解联立方程求得
FA = 8.63 kN FB = 9.46 kN
把三个力移到点 O，作直角坐
标系，如图 a 所示。列平衡方程,
θa alAD θBDADODφ t a n)( t a n t a n ????
tan ? = 0.117
式中角 φ可由图 b 中的几何关系求得
O
x
P
FA FB
φ
（ a）
y
q
例题 1-9
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
(b)
A B D
P
O a
l
φ FA
FB
34
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
§ 2— 3 平面力对点之矩的概念及计算
力对刚体的运动效应包括移动和转动两种, 其中移动
由力矢来度量, 而转动由力矩 （ 或力偶 ） 来度量 。
力矩, 即力对点之矩, 是使刚体产生转动效应 。 效应
大小 取决于力的大小与力臂的乘积, 平面力对点之矩是一
个代数量 。 它的转向人为规定一般取逆时针转向时为正,
反之为负 。
F对矩心点 O之矩
O A BO AFhFM ????? 2)(
式中为三角形 OAB 的面积,
如图 2-8所示 。 单位为 N?m
或 kN ?m。
1、力矩
O h
r F A
MO(F) B
35
力 F的作用点沿其作用线移动,
不改变这力对 O点的矩 。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
36
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
2,合力矩定理与力矩的解析表达式
合力矩定理, 平面汇交力系的合力对于平面内任一点
之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和 。 即
)()(
1
R i
n
i
OO MM FF ?
?
?
为了便于计算力对点之矩, 将力分解成两个正交分力,
如图所示, 再利用合力矩定理求得 。 即
xy
OxOO
yFxF
MMM
??
??
)()()( yFFF
上式为平面内力矩的 解析形
式 。 注意, 式中各量应以代数
量代入 。 O
y
x
A
y
x
Fy
Fx
F
q
37
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
合力 FR对点 O之矩的解析表达式为
))(
1
R xii
n
i
yiiO FyFxM ?? ?
?
F
如图所示，如果已知,F,q, ?, l,要 求力 F对点 A之矩
)c o s ()90s i n ()( ?q?q ??????? FlFlhFM O ?F
（ 1）按力矩的定义
（ 2）应用合力矩定理
)c o s (
s i ns i nc o sc o s
)()()(
?q
?q?q
??
????
??
Fl
lFlF
MMM
yOxOO
FFF
38
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
§ 2— 4 平面力偶
1．力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系,
称为 力偶 。如图所示，记作（ F,F'）。力偶的两力之间
的垂直距离 d称为 力偶臂,力偶所在的平面称为 力偶作用
面。
F' F
d
A
B
C
D
39
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
如司机用双手转动驾驶盘, 钳工用丝锥
攻螺纹, 人们用手指转动钥匙或水龙头等
等都是力偶作用的例子 。
40
力偶不能合成为一个力，但又不平衡，故力偶也不能
用一个力来平衡。力偶和力一样为一个基本力学量。
力偶的作用只改变物体的转动状态，其效应用 力偶矩
来度量,其值为力与力偶臂的乘积,即 Fd与矩心位置
无关。平面力偶对物体的作用效应，由两个因素决定,
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
因此, 平面力偶矩是一个代数量, 以 M表示, 即
M=± Fd=± 2A△ ABC
转向用正负号表示, 用力矩规定 。 力偶矩的单位 N?m，
与力矩相同 。
（ 1）力偶矩的大小
（ 2）力偶在作用面的转向。
41
2．同平面内力偶的等效定理
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
定理,在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相
等，则两力偶彼此等效 。
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静力学 平面汇交力系与平面力偶系
这样，力偶中的力的大小和力臂长短都不是力偶的
特征量，故常用下图所示的符号表示。
（ 1）力偶可以在其作用面内任意移转，而不影响
它对于 刚体 的效应 。因此,力偶对刚体的作用与力
偶在其作用面的位置无关 。
由此可得两个推论,
（ 2）只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以 同
时改变 力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变
力偶对 刚体 的作用。
== == ==
F
F'
d
F1
F'1
d1
F2
F‘2
d2 M
43
3．平面力偶系的合成与平衡
(1) 平面力偶系的合成
M1=F1d1 M2=-F2d2
根据力偶的性质，将它们转移并化为相同臂长 d的
力偶，如图（ a)分别为
M1=F1d1=F3d M2= -F2d2= -F4 d
F=F3-F4 F'=F3'-F4'
将作用在点 A,B的力分别合成得
设在刚体同一平面内有两个力偶，所示
F1
F'1
d1
F2
F'2
d2
(a)
F3'
A
F4'
B d
F4
F3
(b)
F '
A B d
F
(c)
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
44
同理, 可以推得几个力偶的合成 。 即 作用于 刚体 同平
面内的任意个力偶可以合成一个合力偶, 合力偶矩等
于各个分力偶矩的代数和 。 可表示为
?
?
?
n
i
iMM
1
F,F‘组成一新力偶即为 合力偶, 合力偶 的矩为
M=Fd=（ F3-F4） d=F3d-F4d=M1+M2
F '
A B d
F
(c)
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
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静力学 平面汇交力系与平面力偶系
（ 2）平面力偶系的平衡
若力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。即
上式是平面力偶系平衡的必要与充分条件，即 平面力偶系的
平衡方程 。 只有一个独立方程，只能求解一个求知数 。
0
1
??
?
n
i
iM
46
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 M1=M2=M3=M4=15N?m。
求工件的总切削力偶矩和 A, B端约束力。
mN60154
4321
????
???? MMMMM
02.0 0,4321N ???????? MMMMFM B
N300 N300
2.0
60
NNN ???? BAB FFF
解, 总切削力偶矩为
因力偶只能与力偶平衡，故力
FNA与力 FNB必组成一力偶。
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
例题 1-10
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一简支梁作用一矩为 M 的力偶，不
计梁重，求二支座约束力。
梁上除作用有力偶 M 外，还
有反力 FA,FB 。
解,以梁为研究对象。
因为 力偶只能与力偶平衡，所
以 FA=FB。
又 ∑M = 0 即 M - FAl = 0
所以 FA =FB = M / l
B A l
M FA
FB
l
M
B A
例题 1-11
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
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横梁 AB长 l,A端用铰链杆支撑, B端为铰支
座 。 梁上受到一力偶的作用, 其力偶矩为 M,如
图所示 。 不计梁和支杆的自重, 求 A和 B端的约
束力 。
A B
D
M
?45
l
A B
M
FB
FA
例题 1-12
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
选梁 AB为研究对象 。 梁所受的主动
力为一力偶, AD是二力杆, 因此 A端的
约束力必沿 AD杆 。 根据力偶只能与力偶
平衡的性质, 可以判断 A与 B 端的约束力
FA 和 FB 构成一力偶, 因此有,
FA = ? FB 。 梁 AB受力如图 。
l
M
l
MFF
BA
2
45 c o s
??? ?
解得
解
045 c o s ?? ?lFM A,0? ?M
列平衡方程,
49
如图所示的铰接四连杆机构 OABD,在杆 OA和 BD
上 分别作用着矩为 M1和 M2的力偶，而使机构在图示位
置处于平衡。已知 OA=r,DB=2r,q =30°, 不计杆重，
试求 M1和 M2间的关系。
B
O D
q
M1 M2
A
例题 1-13
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
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写出杆 OA和 DB的平衡方程,∑ M = 0
因为杆 AB为二力杆，故其反力 FAB和 FBA只
能沿 A,B的连线方向。
B
D
M2
FD
FBA
O
M1
FO
FAB A
解,
分别取杆 OA和 DB为研究对象 。 因为力偶只
能与力偶平衡, 所以支座 O和 D的约束力 FO 和 FD
只能分别平行于 FAB 和 FBA, 且与其方向相反 。
0 c o s2
0 c o s
2
1
???
??
?
?
rFM
rFM
BA
AB
BAAB FF ?
12 2
1 MM ?
?
因为
所以求得
B
O D
q
M1 M2
A
例题 1-13
静力学 平面汇交力系与平面力偶系
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静力学 平面汇交力系与平面力偶系
