4-1 图 4-1(a)所示一单元处于平面应力状态。试求,1）主应力及主
平面； 2）最大切应力及其作用平面。
解（一）解析法
由单元体可知
MPa30
MPa20
MPa20
1?
3?
??a
K
1B
D
E
1D
1A
?
?O
??b
图 4－ 1
1）极值正应力
.M P a20;M P a30;M P a20 xyx ????????
典型题精解（ 4－ 1）
M P a)20(
2
3020
2
3020
22
37
27
2
2
2
x
2
yxyx
m a x
m i n
?
?
?
????
?
?
?
?
? ??
?
??
?
????
?
?
?
?
?
? ???
?
???
?
所以，主应力
主平面 ).0(M P a27;M P a37 231 ???????
所以，,主应力单元体如图 4－ 1（ a）所示
8.03020 )20(222 0 ???? ???????
yx
xtg
??
??
o33.190 ???
典型题精解（ 4－ 1）
2）最大切应力
M P a32)20(
2
3020
2
2
2
2
x
2
yx
m a x ?????
??
?
? ?????
???
?
???
? ?????
最大切应力作用平面
25.1)20(2 302022 1 ??? ?????
x
yxtg
?
???
)67.1 1 5(67.25 oo1 ??所以,由 的作用平面也可判定最大切应力作用平面是 。
（二）图解法
按照作应力圆的方法在 坐标系内，按选定的比例尺，由
得到 D点,D点对应于 x截面。由
1?
o0 67.115??
??,
.M P a20;M P a20 xx ??????
典型题精解（ 4－ 1）
东南大学远程教育
材 料 力 学
第八讲
主讲教师：马军
得到 点,点对应于 y截面。再由 点和 两点绘出相应的应力圆，
如图 4－ 1（ b）所示。
应力圆和 轴相交于 两点，即为两个主应力值，由图中量得
应力圆的最高点 相应于最大切应力，由图中量得
1D 1D D
? 11 B,A
M P a27,M P a3.52 31 ?????
E
o1m a x 67.1 1 5,M P a32 ????
典型题精解（ 4－ 2）
.20;30 M P aM P a yy ?? ??
1D
4-2 已知如图 4－ 2所示过一点两个平面上的应力。试求,1）该点
的主应力及主平面； 2）两平面的夹角。
解,1）设平面 1的法线方向为 y方向，平面 1就是 y平面，其上的应力
为
与 y平面正交的 x平面上的切应力为
X平面上的正应力 未知。
平面 2上的应力在 x平面和 y平面所确定
的应力圆上，平面 2的法线和 x方向的夹
角,则
.MP a6.18;MP a3.52 yy ?????
.6.18 MPax ??
M P a10,M P a20 ????? ??
???? o90
x?
由应力圆的方程知
22x22 )
2()2( x
yyx ???????
?? ?
?????
?
MPa20MPa10
M P a6.18
M P a3.52
x
y
?
图 4－ 2
1
2
典型题精解（ 4－ 2）
代入已知数据得
22x22 6.18)
2
3.52(10)
2
3.5220( ?????? ?? x
解方程得 x平面上的正应力
主应力 M P a6.27x ??
M P a6.18
2
3.526.27
2
3.526.27
22
3.62
6.17
2
2
2
x
2
yxyx
1
2
???
?
?
?
?
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
???
?
?
?
主平面方位
506.13.526.27 6.18222tg
yx
x
0 ??
???
???
????
典型题精解（ 4－ 2）
所以，
o0 2.28??
2）由平面应力状态任意截面的应力公式
????
???
??
????
???
?
???
??
?
?
2co s2s i n
2
2s i n2co s
22
x
yx
x
yxyx
代入平面 2及 x平面和 y平面上的应力，得
)]90(2c o s [6.18)]90(2s i n [
2
3.526.27
10
)]90(2s i n [6.18)]90(2c o s [
2
3.526.27
2
3.526.27
20
oo
oo
??????
?
??
???????
?
?
?
?
解得 o5.48??
典型题精解（ 4－ 2）
4-3 一单元体应力状态如图 4－ 3所示。已知材料的 E=20Mpa,u=0.3
试求,1）单元体的主应力及最大切应力； 2)单元体的主应变和体积应变；
3）单元体的弹性比能、体积改变比能和形状改变比能。
解,1）由单元体图可以看出 z截面的切应力为零，
因而 z截面的正应力,即是一个
主应力。
两个主应力分别为
M P a40z ???
M P a
x
yxyx
7.87
3.2
2
2
2
2
)40(
2
6030
2
6030
22
?
???
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
??
?
????
?
?
图 4－ 3
MPa40
MPa40
MPa60
MPa30
x
y
z
典型题精解（ 4－ 3）
所以三个主应力为
.M P a40;M P a3.2;M P a7.87 321 ???????
最大切应力为
M P a85.632 )40(7.872 31m a x ?????????
由广义虎克定律求得主应变
3
32133
3
31322
3
33211
10335.0)]3.27.87(3.040[
10200
1
)]([
E
1
1006.0)]7.8740(3.03.2[
10200
1
)]([
E
1
10495.0)]403.2(3.07.87[
10200
1
)]([
E
1
?
?
?
???????
?
?????????
???????
?
?????????
?????
?
?????????
典型题精解（ 4－ 3）
单元体的体积应变
3
333
321
101.0
1033 5.01006.01049 5.0
?
???
??
?????????????
3）单元体的弹性比能
33
222
3
133221
2
3
2
2
2
1
m/mN1034.28
)]7.8740403.23.27.87(
3.02)40(3.27.87[
102 0 02
1
)](2[
E2
1
u
???
?????
??????
??
?
????????????????
典型题精解（ 4－ 3）
体积改变比能
332
3
2
321V
m/mN1083.0)403.27.87(
102 0 06
3.021
)(
E6
21
u
?????
??
??
?
?????
??
?
形状改变比能
? ?
33
222
3
2
13
2
32
2
21
m/mN1051.27
)7.8740()403.2()3.27.87[(
102006
3.01
)()()(
E6
1
u
???
??????
??
?
?
???????????
??
?
?
典型题精解（ 4－ 3）
4－ 4 图 4－ 4所示边长为 a的正方形薄板，两侧面受面分布集度为 q的均
布拉力作用，已知材料的 E和 。试求对角线 AB的伸长。
q
K
B
q K
2
?
2
?
2
?
?
?
)a(
)b(
)c(
图 4－ 4
解：对角线 AB的伸长
oo 4545ABAB a2ll ?????
为此，必须先求出对角线 AB线应变 。在对角线任一点 K处，截取
一个两对截面分别和板边平行的单元体，显然该单元体处于单向应力
?
o45?
典型题精解（ 4－ 4）
状态，,如图 4－ 4（ b）所示。相应的应力圆如图 4－ 4（ c）所示。
相应的应力圆如图 4－ 4（ c）所示。由应力圆可求出单元体 和 截面上
的正应力，即
2oo 4545
?????
?
由广义虎克定律得
)1(E2 q)22(E1)(E1 OOo 454545 ?????????????? ?
对角线 AB的伸长
)1(E2 aq2a2l o45AB ??????
还可以由平面应变分析直接求出对角线 AB线应变,
K点处的应变为
o45?
0,Eq,EqE xyxyx ??????????????
q??
o45 o45?
典型题精解（ 4－ 4）
方向的线应变
)1(
E2
q
2
)452s i n (
2
)452c o s (
22
yxoxyoyxyx
45 o
???
???
??
?
??
???
?
???
??
对角线 AB的伸长
)1(E2 aq2a2l o45AB ??????
o45
典型题精解（ 4－ 4）
4－ 5 用直角应变花测得受力构件表面某点处的应变值
69064560 1079,10570,10267 ooo ??? ???????????
如图 4－ 5所示。构件材料的
试求,1）该点的主应变； 2）该点处的主应力及方向
3.0,G P a210E ???
x
y
o0?
o90?
o45?
解,1）解法 1：由直角应变花主应变的公式得
6
6
oooo
oo
1
3
104 1 2
106 0 0
622
2
9045
2
450
900
10)795 7 0()5 7 02 6 7(
2
2
2
792 6 7
)()(
2
2
2
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??????
??
?
????????
???
?
主应变方向
75.2792 67 79)2 67()5 70(222t a n
oo
ooo
900
90045
0 ???
??????
???
???????
典型题精解（ 4－ 5）
所以,o
0 35??
构件表面为平面应力状态，,由广义虎克定律得
M P a1 1 010)4 1 23.06 0 0(
3.01
102 1 0
)(
1
E
M P a6.5310)6 0 03.04 1 2(
3.01
102 1 0
)(
1
E
6
2
9
1323
6
2
9
2121
???????
?
?
?????
??
??
?????
?
?
?????
??
??
?
?
02 ??
主应力方向和主应变方向相同，即
2）解法 2：先由应变分量求出应力分量，再由应力分量求得主应力。
应变分量
o0 35??
66
90450xy
6
90y
6
0x
109 5 210)795 7 022 6 7(2
1079,102 6 7
ooo
oo
??
??
???????????????
???????????
应力分量
典型题精解（ 4－ 5）
M P a89.76109 5 2
)3.01(2
102 1 0
)1(2
E
M P a25.010)2 6 73.079(
3.01
102 1 0
)(
1
E
M P a15.5610)793.02 6 7(
3.01
102 1 0
)(
1
E
6
9
xyxy
6
2
9
xy2y
6
2
9
yx2x
???
??
?
??
??
??
??????
?
?
?????
??
??
???????
?
?
?????
??
??
?
?
?
主应力
M P a6.5389.76
2
25.015.56
2
25.015.56
22
2
2
2
x
2
yxyx
1
???
?
?
?
?
? ??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
???
??
典型题精解（ 4－ 5）
M P a1 1 089.76
2
25.015.56
2
25.015.56
22
2
2
2
x
2
yxyx
3
????
?
?
?
?
? ??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
???
??
主平面
751.225.015.56 89.76222tg
yx
x
0 ???
???
???
????
o0 35??
计算结果和解法 1相同
典型题精解（ 4－ 5）
平面； 2）最大切应力及其作用平面。
解（一）解析法
由单元体可知
MPa30
MPa20
MPa20
1?
3?
??a
K
1B
D
E
1D
1A
?
?O
??b
图 4－ 1
1）极值正应力
.M P a20;M P a30;M P a20 xyx ????????
典型题精解（ 4－ 1）
M P a)20(
2
3020
2
3020
22
37
27
2
2
2
x
2
yxyx
m a x
m i n
?
?
?
????
?
?
?
?
? ??
?
??
?
????
?
?
?
?
?
? ???
?
???
?
所以，主应力
主平面 ).0(M P a27;M P a37 231 ???????
所以，,主应力单元体如图 4－ 1（ a）所示
8.03020 )20(222 0 ???? ???????
yx
xtg
??
??
o33.190 ???
典型题精解（ 4－ 1）
2）最大切应力
M P a32)20(
2
3020
2
2
2
2
x
2
yx
m a x ?????
??
?
? ?????
???
?
???
? ?????
最大切应力作用平面
25.1)20(2 302022 1 ??? ?????
x
yxtg
?
???
)67.1 1 5(67.25 oo1 ??所以,由 的作用平面也可判定最大切应力作用平面是 。
（二）图解法
按照作应力圆的方法在 坐标系内，按选定的比例尺，由
得到 D点,D点对应于 x截面。由
1?
o0 67.115??
??,
.M P a20;M P a20 xx ??????
典型题精解（ 4－ 1）
东南大学远程教育
材 料 力 学
第八讲
主讲教师：马军
得到 点,点对应于 y截面。再由 点和 两点绘出相应的应力圆，
如图 4－ 1（ b）所示。
应力圆和 轴相交于 两点，即为两个主应力值，由图中量得
应力圆的最高点 相应于最大切应力，由图中量得
1D 1D D
? 11 B,A
M P a27,M P a3.52 31 ?????
E
o1m a x 67.1 1 5,M P a32 ????
典型题精解（ 4－ 2）
.20;30 M P aM P a yy ?? ??
1D
4-2 已知如图 4－ 2所示过一点两个平面上的应力。试求,1）该点
的主应力及主平面； 2）两平面的夹角。
解,1）设平面 1的法线方向为 y方向，平面 1就是 y平面，其上的应力
为
与 y平面正交的 x平面上的切应力为
X平面上的正应力 未知。
平面 2上的应力在 x平面和 y平面所确定
的应力圆上，平面 2的法线和 x方向的夹
角,则
.MP a6.18;MP a3.52 yy ?????
.6.18 MPax ??
M P a10,M P a20 ????? ??
???? o90
x?
由应力圆的方程知
22x22 )
2()2( x
yyx ???????
?? ?
?????
?
MPa20MPa10
M P a6.18
M P a3.52
x
y
?
图 4－ 2
1
2
典型题精解（ 4－ 2）
代入已知数据得
22x22 6.18)
2
3.52(10)
2
3.5220( ?????? ?? x
解方程得 x平面上的正应力
主应力 M P a6.27x ??
M P a6.18
2
3.526.27
2
3.526.27
22
3.62
6.17
2
2
2
x
2
yxyx
1
2
???
?
?
?
?
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
???
?
?
?
主平面方位
506.13.526.27 6.18222tg
yx
x
0 ??
???
???
????
典型题精解（ 4－ 2）
所以，
o0 2.28??
2）由平面应力状态任意截面的应力公式
????
???
??
????
???
?
???
??
?
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2co s2s i n
2
2s i n2co s
22
x
yx
x
yxyx
代入平面 2及 x平面和 y平面上的应力，得
)]90(2c o s [6.18)]90(2s i n [
2
3.526.27
10
)]90(2s i n [6.18)]90(2c o s [
2
3.526.27
2
3.526.27
20
oo
oo
??????
?
??
???????
?
?
?
?
解得 o5.48??
典型题精解（ 4－ 2）
4-3 一单元体应力状态如图 4－ 3所示。已知材料的 E=20Mpa,u=0.3
试求,1）单元体的主应力及最大切应力； 2)单元体的主应变和体积应变；
3）单元体的弹性比能、体积改变比能和形状改变比能。
解,1）由单元体图可以看出 z截面的切应力为零，
因而 z截面的正应力,即是一个
主应力。
两个主应力分别为
M P a40z ???
M P a
x
yxyx
7.87
3.2
2
2
2
2
)40(
2
6030
2
6030
22
?
???
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
??
?
????
?
?
图 4－ 3
MPa40
MPa40
MPa60
MPa30
x
y
z
典型题精解（ 4－ 3）
所以三个主应力为
.M P a40;M P a3.2;M P a7.87 321 ???????
最大切应力为
M P a85.632 )40(7.872 31m a x ?????????
由广义虎克定律求得主应变
3
32133
3
31322
3
33211
10335.0)]3.27.87(3.040[
10200
1
)]([
E
1
1006.0)]7.8740(3.03.2[
10200
1
)]([
E
1
10495.0)]403.2(3.07.87[
10200
1
)]([
E
1
?
?
?
???????
?
?????????
???????
?
?????????
?????
?
?????????
典型题精解（ 4－ 3）
单元体的体积应变
3
333
321
101.0
1033 5.01006.01049 5.0
?
???
??
?????????????
3）单元体的弹性比能
33
222
3
133221
2
3
2
2
2
1
m/mN1034.28
)]7.8740403.23.27.87(
3.02)40(3.27.87[
102 0 02
1
)](2[
E2
1
u
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?????
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?
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典型题精解（ 4－ 3）
体积改变比能
332
3
2
321V
m/mN1083.0)403.27.87(
102 0 06
3.021
)(
E6
21
u
?????
??
??
?
?????
??
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形状改变比能
? ?
33
222
3
2
13
2
32
2
21
m/mN1051.27
)7.8740()403.2()3.27.87[(
102006
3.01
)()()(
E6
1
u
???
??????
??
?
?
???????????
??
?
?
典型题精解（ 4－ 3）
4－ 4 图 4－ 4所示边长为 a的正方形薄板，两侧面受面分布集度为 q的均
布拉力作用，已知材料的 E和 。试求对角线 AB的伸长。
q
K
B
q K
2
?
2
?
2
?
?
?
)a(
)b(
)c(
图 4－ 4
解：对角线 AB的伸长
oo 4545ABAB a2ll ?????
为此，必须先求出对角线 AB线应变 。在对角线任一点 K处，截取
一个两对截面分别和板边平行的单元体，显然该单元体处于单向应力
?
o45?
典型题精解（ 4－ 4）
状态，,如图 4－ 4（ b）所示。相应的应力圆如图 4－ 4（ c）所示。
相应的应力圆如图 4－ 4（ c）所示。由应力圆可求出单元体 和 截面上
的正应力，即
2oo 4545
?????
?
由广义虎克定律得
)1(E2 q)22(E1)(E1 OOo 454545 ?????????????? ?
对角线 AB的伸长
)1(E2 aq2a2l o45AB ??????
还可以由平面应变分析直接求出对角线 AB线应变,
K点处的应变为
o45?
0,Eq,EqE xyxyx ??????????????
q??
o45 o45?
典型题精解（ 4－ 4）
方向的线应变
)1(
E2
q
2
)452s i n (
2
)452c o s (
22
yxoxyoyxyx
45 o
???
???
??
?
??
???
?
???
??
对角线 AB的伸长
)1(E2 aq2a2l o45AB ??????
o45
典型题精解（ 4－ 4）
4－ 5 用直角应变花测得受力构件表面某点处的应变值
69064560 1079,10570,10267 ooo ??? ???????????
如图 4－ 5所示。构件材料的
试求,1）该点的主应变； 2）该点处的主应力及方向
3.0,G P a210E ???
x
y
o0?
o90?
o45?
解,1）解法 1：由直角应变花主应变的公式得
6
6
oooo
oo
1
3
104 1 2
106 0 0
622
2
9045
2
450
900
10)795 7 0()5 7 02 6 7(
2
2
2
792 6 7
)()(
2
2
2
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??????
??
?
????????
???
?
主应变方向
75.2792 67 79)2 67()5 70(222t a n
oo
ooo
900
90045
0 ???
??????
???
???????
典型题精解（ 4－ 5）
所以,o
0 35??
构件表面为平面应力状态，,由广义虎克定律得
M P a1 1 010)4 1 23.06 0 0(
3.01
102 1 0
)(
1
E
M P a6.5310)6 0 03.04 1 2(
3.01
102 1 0
)(
1
E
6
2
9
1323
6
2
9
2121
???????
?
?
?????
??
??
?????
?
?
?????
??
??
?
?
02 ??
主应力方向和主应变方向相同，即
2）解法 2：先由应变分量求出应力分量，再由应力分量求得主应力。
应变分量
o0 35??
66
90450xy
6
90y
6
0x
109 5 210)795 7 022 6 7(2
1079,102 6 7
ooo
oo
??
??
???????????????
???????????
应力分量
典型题精解（ 4－ 5）
M P a89.76109 5 2
)3.01(2
102 1 0
)1(2
E
M P a25.010)2 6 73.079(
3.01
102 1 0
)(
1
E
M P a15.5610)793.02 6 7(
3.01
102 1 0
)(
1
E
6
9
xyxy
6
2
9
xy2y
6
2
9
yx2x
???
??
?
??
??
??
??????
?
?
?????
??
??
???????
?
?
?????
??
??
?
?
?
主应力
M P a6.5389.76
2
25.015.56
2
25.015.56
22
2
2
2
x
2
yxyx
1
???
?
?
?
?
? ??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
???
??
典型题精解（ 4－ 5）
M P a1 1 089.76
2
25.015.56
2
25.015.56
22
2
2
2
x
2
yxyx
3
????
?
?
?
?
? ??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
???
??
主平面
751.225.015.56 89.76222tg
yx
x
0 ???
???
???
????
o0 35??
计算结果和解法 1相同
典型题精解（ 4－ 5）
