应力应变分析习题解答
习题解答
1、试从图示各构件中 A点处取出单元体，并表明单元
体各面上的应力
1m mN3.39m 1 ??
mN6.78m 2 ??
2mA
解：该构件在 A点处受弯矩和扭矩作用产生拉应力和剪应力，
分别计算如下：
在 A处受到的拉应力最大，即
M P a50
32
)02.0(
3.39
32
D
m
W
m
33
11 ?
???????
在 A处受到的剪应力为：
M P a50
16
)02.0(
6.78
16
D
m
W2
m
33
12 ?
???????
所以在 A处单元体的应力图为：
MPa50
MPa50
MPa50
MPa50
MPa50
MPa50
习题解答
2、试根据相应的的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面 mn
上正应力及剪应力的计算公式。设 mn面的法线与 x轴成 角如图示
（作图时可设 ）。
?
xy ???
?
y
x
nx?
y?
x?
y?
m
n
习题解答
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o
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A B
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2c o s2s in
2
2s in2c o s
22
x
yx
x
yxyx
习题解答
3、各单元体各面上的应力如图所示（应力单位 MPa）。试利用应力圆：
1）求指定截面上的应力；
2）求主应力的数值；
3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
o60
30
30
30
30
解,1）由以下应力公式
可得
????
???
??
????
???
?
???
??
?
?
2c o s2s in
2
2s in2c o s
22
x
yx
x
yxyx
习题解答
15)602c o s (30
98.25)602s in (30
o
o
60 o
?????
???????
?
2）主应力，由以下公式可得：
M P a
22
30
30
2
x
2
yxyxm a x
m i n
?
?
?
????
????
?
?
??
?
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?
???
?
显然，主应力方向沿着对角线方向。
3）绘出主平面位置及主应力方向
如右图所示：
max?
max?
min?
min?
习题解答
4、单元体各面上的应力如图（应力单位为 MPa）。试用应力圆求主应力
及最大剪应力。
1） 30
40
70
50
40 x
y
z
由图中可知 为该单元体的
一主应力，于是可只计算与 z轴相
垂直平面上的主应力。由平面应力
公式可得：
50z ??
M P a40
2
3070
2
3070
22
72.94
28.5
2
2
2
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yxyx
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习题解答
根据大小来确定主应力的次序如下：
M P a28.5,M P a50,M P a72.94 321 ??????
2） y
x
z
50
80
由图中可知 为该单元体的
一主应力，于是可只计算与 x轴相
垂直平面上的主应力。由平面应力
公式可得：
80x ???
MP a50
22
2
x
2
yxyxm a x
m i n
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?
???
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习题解答
M P a65,M P a80,M P a50,M P a50 m a x321 ??????????
根据大小来确定主应力的次序如下：
5、用 应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为
69064560 105 0 0,103 5 0,107 0 0 ooo ??? ??????????
o45
试作应力圆，求该点处的主应变数值和方向。
解,选比例尺如图 b所示。绘出纵坐标轴，并根据已知的,
和 值分别作出平行于该轴的直线, 和 。过 线上的
任一点 B，作与 线成 角（顺时针转向）的 BA线，交 线于
A点；作与 线成 角（逆时针转向）的 BC线，交 线于 C点。
作 BA与 BC两线的垂直等分线，相交于 点。过 点作横坐标轴
即 轴，并以 为半径作圆，按上述比例尺量取应变圆与 轴
的交点, 的横坐标，即得
习题解答
o0?
o45?
o90? aL bL cL bL
bL
o45
aL
bL o45 cL
1O 1O
? AO1 ?
1D 2D
习题解答
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o45?
o90?
x
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2D 1D
B
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2
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o45?
o90?
o45 o45
02?
??a
??b
6261 105 5 0,107 5 0 ?? ???????
再从应力圆上量得,故,主应变 的方向
如图中（ a）所示。
O0 6.222 ?? O0 3.11?? 1?
6、已知图示单元体材料的弹性常数
试求该单元体的形状改变比能
解：要想求单元体的形状改变比能，必须先求出
该单元体的三个主应力，由右图可知
为该单元体的一主应力，于是可只计算垂直于 z轴的
平面上的主应力。由平面应力公式可得
3.0,G P a200E ???
MPa30
MPa70
MPa40
MPa50
z
y
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2
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习题解答
M P a28.5,M P a50,M P a72.94 321 ??????
根据大小来确定主应力的次序如下：
于是该单元体的形状改变比能为：
? ?
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33
222
3
6
2
13
2
32
2
21f
m/mN1099.12
])72.9428.5()28.550()5072.94[(
102 0 06
103.01
)()()(
E6
1
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习题解答
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1、试从图示各构件中 A点处取出单元体，并表明单元
体各面上的应力
1m mN3.39m 1 ??
mN6.78m 2 ??
2mA
解：该构件在 A点处受弯矩和扭矩作用产生拉应力和剪应力，
分别计算如下：
在 A处受到的拉应力最大，即
M P a50
32
)02.0(
3.39
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所以在 A处单元体的应力图为：
MPa50
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习题解答
2、试根据相应的的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面 mn
上正应力及剪应力的计算公式。设 mn面的法线与 x轴成 角如图示
（作图时可设 ）。
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习题解答
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习题解答
3、各单元体各面上的应力如图所示（应力单位 MPa）。试利用应力圆：
1）求指定截面上的应力；
2）求主应力的数值；
3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
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解,1）由以下应力公式
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习题解答
15)602c o s (30
98.25)602s in (30
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2）主应力，由以下公式可得：
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显然，主应力方向沿着对角线方向。
3）绘出主平面位置及主应力方向
如右图所示：
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习题解答
4、单元体各面上的应力如图（应力单位为 MPa）。试用应力圆求主应力
及最大剪应力。
1） 30
40
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由图中可知 为该单元体的
一主应力，于是可只计算与 z轴相
垂直平面上的主应力。由平面应力
公式可得：
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习题解答
根据大小来确定主应力的次序如下：
M P a28.5,M P a50,M P a72.94 321 ??????
2） y
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由图中可知 为该单元体的
一主应力，于是可只计算与 x轴相
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习题解答
M P a65,M P a80,M P a50,M P a50 m a x321 ??????????
根据大小来确定主应力的次序如下：
5、用 应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为
69064560 105 0 0,103 5 0,107 0 0 ooo ??? ??????????
o45
试作应力圆，求该点处的主应变数值和方向。
解,选比例尺如图 b所示。绘出纵坐标轴，并根据已知的,
和 值分别作出平行于该轴的直线, 和 。过 线上的
任一点 B，作与 线成 角（顺时针转向）的 BA线，交 线于
A点；作与 线成 角（逆时针转向）的 BC线，交 线于 C点。
作 BA与 BC两线的垂直等分线，相交于 点。过 点作横坐标轴
即 轴，并以 为半径作圆，按上述比例尺量取应变圆与 轴
的交点, 的横坐标，即得
习题解答
o0?
o45?
o90? aL bL cL bL
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再从应力圆上量得,故,主应变 的方向
如图中（ a）所示。
O0 6.222 ?? O0 3.11?? 1?
6、已知图示单元体材料的弹性常数
试求该单元体的形状改变比能
解：要想求单元体的形状改变比能，必须先求出
该单元体的三个主应力，由右图可知
为该单元体的一主应力，于是可只计算垂直于 z轴的
平面上的主应力。由平面应力公式可得
3.0,G P a200E ???
MPa30
MPa70
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习题解答
M P a28.5,M P a50,M P a72.94 321 ??????
根据大小来确定主应力的次序如下：
于是该单元体的形状改变比能为：
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