第四章 应力与应力分析
第一节 应力状态的概念
第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
第四节 空间应力状态的研究
第五节 平面应力状态下的应变研究
第六节 应力与应变的关系
第七节 空间应力状态下的比能
第一节 应力状态的概念
2）受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合，
称为一点处的应力状态
1） 一般来说，受力构件内各点处的应力是不同的。
并且同一点不同方位截面上应力也不相同。
3）研究一点的应力状态，通常围绕该点截取一个微小
的正六面体（即单元体）来考虑。单元体各面上的应力
假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，
其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过
该点互相垂直的三个截面上的应力。
第一节 应力状态的概念
5） 一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据
三个主应力的情况可分为三类：
（ A） 只有一个主应力不等于零，称为单向应力状态
（ B） 有两个主应力不等于零，称为二向应力状态或平面
应力状态
（ C） 三个主应力都不等于零，称为三向应力状态
其中二向和三向应力状态也称为复杂应力状态，单向应力
状态称为简单应力状态。
4）单元体上剪切等于零的截面称为主平面。过受力构件内
任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单
元体，称为主单元体。它的三个主应力通常用,,
来表示。按代数值大小顺序排列，即 。
2?1? 3?
?1? ?2? 3?
第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
单元体上有一对平面上的应力等于零，
则称为 平面应力状态
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斜截面的外法线与 X轴之间的夹角
规定从 X轴 逆时针 转到截面外法线 n方向时为正。
斜截面上的应力：
第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
应力圆 以 为圆心，以 为半径
反映应力变化的圆。
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
应力圆 以 为圆心，以 为半径
反映应力变化的圆。
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
用图解法分析平面应力状态
举例：
按下列步骤作出应力圆
（ 1）在 坐标系内，
按选定的比例尺量取
得到 D点,D点对应
于 X截面。
（ 2）量取
得到 点,点对应于 y截
面。
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K
（ 3）连接 D,两点，交
轴于 C点。以 C点为圆心，
CD为半径作圆，即得所求
应力圆。
（ 4）若要确定 截面上
的应力，可以从 D点开始，
按照单元体上 角的转向，
沿着圆周转过 圆心角得
到 K点,K点的横坐标和纵
坐标分别就是 截面上的
正应力 和切应力
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
东南大学远程教育
第五讲
主讲教师：马军
材 料 力 学
第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
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1?
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02?
A B
由右应力圆图可知：在截面
A和 B处, 剪应力均为零 。
这种剪应力为零的截面称为
主平面 。 主平面上的正应力
称为 主应力 。
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第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
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第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
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东南大学远程教育
材 料 力 学
第六讲
主讲教师：马军
第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
在梁的 xy平面内可以绘制
两组正交的曲线，在一组
曲线上每一点处切线的方
向是该点处主应力 （拉
应力）的方向，而在另一
组曲线上每一点处切线的
方向则为主应力 (压应
力 )的方向。这样的曲线就
称为梁的主应力迹线。
1?
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梁的主应力迹线
第四节 空间应力状态的研究
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第四节 空间应力状态的研究
第五节 平面应力状态下的应变研究
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东南大学远程教育
材 料 力 学
第七讲
主讲教师：马军
第六节 应力与应变的关系
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也可用主应力和主应变表示广义胡克定律
假定,就成为平面应力状态0
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各向同性材料的广义胡克定律
第七节 空间应力状态下的比能
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2
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2
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其中 u代表总比能,代表体积改变比能，
代表形状改变比能。
Vu
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第一节 应力状态的概念
第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
第四节 空间应力状态的研究
第五节 平面应力状态下的应变研究
第六节 应力与应变的关系
第七节 空间应力状态下的比能
第一节 应力状态的概念
2）受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合，
称为一点处的应力状态
1） 一般来说，受力构件内各点处的应力是不同的。
并且同一点不同方位截面上应力也不相同。
3）研究一点的应力状态，通常围绕该点截取一个微小
的正六面体（即单元体）来考虑。单元体各面上的应力
假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力，
其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过
该点互相垂直的三个截面上的应力。
第一节 应力状态的概念
5） 一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据
三个主应力的情况可分为三类：
（ A） 只有一个主应力不等于零，称为单向应力状态
（ B） 有两个主应力不等于零，称为二向应力状态或平面
应力状态
（ C） 三个主应力都不等于零，称为三向应力状态
其中二向和三向应力状态也称为复杂应力状态，单向应力
状态称为简单应力状态。
4）单元体上剪切等于零的截面称为主平面。过受力构件内
任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单
元体，称为主单元体。它的三个主应力通常用,,
来表示。按代数值大小顺序排列，即 。
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
单元体上有一对平面上的应力等于零，
则称为 平面应力状态
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规定从 X轴 逆时针 转到截面外法线 n方向时为正。
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
应力圆 以 为圆心，以 为半径
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
应力圆 以 为圆心，以 为半径
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
用图解法分析平面应力状态
举例：
按下列步骤作出应力圆
（ 1）在 坐标系内，
按选定的比例尺量取
得到 D点,D点对应
于 X截面。
（ 2）量取
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K
（ 3）连接 D,两点，交
轴于 C点。以 C点为圆心，
CD为半径作圆，即得所求
应力圆。
（ 4）若要确定 截面上
的应力，可以从 D点开始，
按照单元体上 角的转向，
沿着圆周转过 圆心角得
到 K点,K点的横坐标和纵
坐标分别就是 截面上的
正应力 和切应力
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第二节 平面应力状态下的
应力研究 ·应力圆
东南大学远程教育
第五讲
主讲教师：马军
材 料 力 学
第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
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02?
A B
由右应力圆图可知：在截面
A和 B处, 剪应力均为零 。
这种剪应力为零的截面称为
主平面 。 主平面上的正应力
称为 主应力 。
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第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
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第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
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东南大学远程教育
材 料 力 学
第六讲
主讲教师：马军
第三节 平面应力状态下的应
力研究 ·主应力与主平面
在梁的 xy平面内可以绘制
两组正交的曲线，在一组
曲线上每一点处切线的方
向是该点处主应力 （拉
应力）的方向，而在另一
组曲线上每一点处切线的
方向则为主应力 (压应
力 )的方向。这样的曲线就
称为梁的主应力迹线。
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第四节 空间应力状态的研究
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第七讲
主讲教师：马军
第六节 应力与应变的关系
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也可用主应力和主应变表示广义胡克定律
假定,就成为平面应力状态0
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各向同性材料的广义胡克定律
第七节 空间应力状态下的比能
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其中 u代表总比能,代表体积改变比能，
代表形状改变比能。
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