2001.07 东南大学远程教育
第七章 压杆稳定
压杆失稳的例子：
2001.07 东南大学远程教育
第一节 压杆稳定的概念
?一,平衡的稳定性
构件在外力作用下处于平衡状态，该平衡状态
是否稳定是至关重要的。如果有某种原因，有干扰
力作用于该构件使其偏离原平衡位置，在干扰力去
除后，构件仍能回到原来位置，构件原来的平衡是
稳定平衡，否则为不稳定平衡。在材料力学中仅研
究压杆的稳定问题。
?二,临界荷载和临界应力
能保持压杆稳定平衡是杆件所能承受的最大外力称临界载荷，
或者也可说成使压杆丧失稳定的最小外力。按前一个定义，临
界应力是临界荷载除以横截面面积；按后一个定义，可推导得
欧拉公式。
东南大学远程教育
材 料 力 学
第十八讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第二节 临界应力的计算
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
y
x
mm
v在图示杆截面 m— m处，
? ? vPxM cr?
由挠曲线的近似微分方程得：
? ? vPxMvEI cr??????
令
2cr k
EI
P ?
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则上式变为：
0vkv 2 ????
其通解为：
kxc o sBkxs inAv ??
由边界条件来确定 A,B和 k三个待定常数
2
kl
s in
A,v,
2
l
x
0B,0v,0x
?
????
???
得
得
第二节 临界应力的计算
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由常数 A,B及 x=l,v=0的边界条件，得到
2
klc o s2kls in
2
kls in0 ??
??
显然
0??
于是
02klc o s ?
则
第二节 临界应力的计算
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? ??,5,3,1n,2n2kl ???
其最小解为 n=1时的解，于是
??? lEIPkl cr
由此即得
2
2
cr l
EIP ??
第二节 临界应力的计算
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crP
?
l7.0
A
C
B
C-挠曲线拐点
? ?2
2
cr l7.0
EIP ??
crP
l5.0
B
D
C
A
C,D-挠
曲线拐点
? ?2
2
cr l5.0
EIP ??
第二节 临界应力的计算
不同约
束下细
长压杆
的临界
力
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l
crP
l2
A
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2
cr l2
EIP ??
?
l21
C
C-挠曲线拐点
2
2
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EIP ??
crP
第二节 临界应力的计算
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材 料 力 学
第十九讲
主讲教师：马军
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第三节 欧拉公式的应用范围
在前面推导中心受压直杆临界力的欧拉公式时，假定
材料使在线弹性范围内工作的，因此，压杆在失稳变弯前
的应力不得超过材料的比例极限
P?
根据公式
A
P??
得
式中,cr? 称为临界应力； AIi? 为压杆横截面对中性轴的惯
性半径,l?
? ? ? ? 2
2
2
2
cr
cr il
E
Al
EI
A
P
?
??
?
????
为压杆的相当长度，两者的比值
???????il
为一无
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量纲参数，称为压杆的长细比或柔度。其值越大，相应的
值就越小，即压杆越容易失稳。cr?
2
2
cr
E
?
???
i
l???令
则
综上可知，应用欧拉公式计算压杆临界力，必须，
Pcr ???
可得，
第三节 欧拉公式的应用范围
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P2
2
cr
E ??
?
???
或写作
p
pp
2 EE
?????????
式中,为能够应用欧拉公式的压杆柔度的界限值。
p?
当
p???
时，才能应用欧拉公式来计算压杆的临界力。
称
p???
的压杆为大柔度压杆，或细长压杆。反之，
称为小柔度压杆。
对于 Q235钢，
第三节 欧拉公式的应用范围
100?p?
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第四节 实际压杆的稳定系数
中心受压直杆的力学模型，不能反映实际压杆受力
的变形情况，原因如下：
１．实际压杆的轴线不可能是理想的直线
２．压力作用线与压杆轴线不重合
３．由于残余应力的存在，降低了压杆的临界力
但有一点必须肯定，压杆所能承受的极限应力随压杆
的柔度 而改变，柔度越大，极限应力值越小
在压杆设计中常用的方法是，将压杆的稳定许用应力
写作材料的强度许用应力 乘以一个随压杆柔度
而改变的稳定系数,即
? ?st? ???
? ?????
? ? ? ?? ? ? ???????????
st
cr
st
cr
st nn
?
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以反映压杆的稳定许用应力随压杆柔度改变的这
一特点。
钢结构的稳定系数，可查钢结构设计规范
木结构的稳定系数，可按木结构设计规范提供的
两组公式进行计算
规范根据截面的不同将承载能力相近的截面归为
a,b,c 三类，见表 12-2,3,4
第四节 实际压杆的稳定系数
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例 12-4 两端铰支杆的稳定许用应力。书 P149
解,1）计算截面的惯性矩：
2）确定压杆柔度
第四节 实际压杆的稳定系数
444 103 0 6101 5 32 mmI z ?????
444 103 0 6101 5 32 mmI z ?????
?
mmAIi yy 9.30??
mmAIi zz 3.35??
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例 12-4 两端铰支杆的稳定许用应力。书 P150
解,3）计算稳定许用应力
由 表 12-4,查得
则压杆的稳定许用应力为：
第四节 实际压杆的稳定系数
97?? 575.0??
? ? ? ? M P ast 8.97170575.0 ???? ???
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第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
压杆的稳定条件为：
? ????AP
或者改写为
? ????AP
具体验算时，采用试算法。举一例以说明
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例 12-5 有一根强度等级为 TC13的圆松木，长 ６ m，中径
为 300mm，其强度为 10MPa。现将圆木用来当作起
重用的扒杆，试计算该圆木所能承受的许可压力值。
解：因扒杆两端铰支，长度系数取 1??
80
300
4
1
60001
i
l ?
?
?????
2
65
1
1
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?
?
?
?
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??根据公式 得
3 9 8.0
65
801
1
2 ?
?
?
?
?
?
??
??
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
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WA
A
dA— A
例题示意图
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
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从而可求得圆木所能承受的许可压力为
? ? ? ? ? ? kN3.2813.041010398.0AP 26 ?????????
如果扒杆的上端在垂直于纸面的方向无任何约
束，则杆在垂直于纸面的平面内失稳时，只能视为
下端固定而上端自由，即,则2??
160
300
4
1
6 0 0 02
i
l ?
?
?????
2
2800
???
由公式 得
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
2001.07 东南大学远程教育
109.016028002800 22 ?????
? ? ? ? ? ? kN773.0410101 0 9.0AP 26 ?????????
显然，该圆木作为扒杆使用时，所能承受的许可
应力应为 77kN
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
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材 料 力 学
第二十讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
例 12-6 厂房钢柱长 7m，长度系数 。钢柱由两根
3号钢的槽钢组成，属实腹式 b类截面。同一横截面上最多
有四个 30mm的螺栓孔。钢柱的轴向压力为 270kN,材料
的强度许用应力为 。试选择槽钢号码。
解：
3.1??
先根据稳定条件选择槽钢号码，再按强度条件校核。
1）初步试选 14a槽钢，不够
2）再选 16槽钢
3）核算 xz平面稳定，定 h
4）强度核算
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
? ? M P a170??
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例 12-7 有 3号钢工字型压杆，两端为柱形铰，
,P=35KN,a类截面。
试校核稳定性。
0.1?z?
解,1）计算截面几何性质
2）确定杆件柔度
3）求稳定许用应力及稳定校核
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
6.0?y? ? ? M P a206??
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本章总结
1）压杆失稳的概念
2）欧拉临界力的计算
3）工程应用
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
第七章 压杆稳定
压杆失稳的例子：
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第一节 压杆稳定的概念
?一,平衡的稳定性
构件在外力作用下处于平衡状态，该平衡状态
是否稳定是至关重要的。如果有某种原因，有干扰
力作用于该构件使其偏离原平衡位置，在干扰力去
除后，构件仍能回到原来位置，构件原来的平衡是
稳定平衡，否则为不稳定平衡。在材料力学中仅研
究压杆的稳定问题。
?二,临界荷载和临界应力
能保持压杆稳定平衡是杆件所能承受的最大外力称临界载荷，
或者也可说成使压杆丧失稳定的最小外力。按前一个定义，临
界应力是临界荷载除以横截面面积；按后一个定义，可推导得
欧拉公式。
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第十八讲
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第二节 临界应力的计算
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
y
x
mm
v在图示杆截面 m— m处，
? ? vPxM cr?
由挠曲线的近似微分方程得：
? ? vPxMvEI cr??????
令
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则上式变为：
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其通解为：
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由边界条件来确定 A,B和 k三个待定常数
2
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第二节 临界应力的计算
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由常数 A,B及 x=l,v=0的边界条件，得到
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2
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显然
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于是
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第二节 临界应力的计算
2001.07 东南大学远程教育
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其最小解为 n=1时的解，于是
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由此即得
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第二节 临界应力的计算
2001.07 东南大学远程教育
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曲线拐点
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第二节 临界应力的计算
不同约
束下细
长压杆
的临界
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2001.07 东南大学远程教育
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EIP ??
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第二节 临界应力的计算
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第十九讲
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第三节 欧拉公式的应用范围
在前面推导中心受压直杆临界力的欧拉公式时，假定
材料使在线弹性范围内工作的，因此，压杆在失稳变弯前
的应力不得超过材料的比例极限
P?
根据公式
A
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式中,cr? 称为临界应力； AIi? 为压杆横截面对中性轴的惯
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为压杆的相当长度，两者的比值
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量纲参数，称为压杆的长细比或柔度。其值越大，相应的
值就越小，即压杆越容易失稳。cr?
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综上可知，应用欧拉公式计算压杆临界力，必须，
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第三节 欧拉公式的应用范围
2001.07 东南大学远程教育
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式中,为能够应用欧拉公式的压杆柔度的界限值。
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称为小柔度压杆。
对于 Q235钢，
第三节 欧拉公式的应用范围
100?p?
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第四节 实际压杆的稳定系数
中心受压直杆的力学模型，不能反映实际压杆受力
的变形情况，原因如下：
１．实际压杆的轴线不可能是理想的直线
２．压力作用线与压杆轴线不重合
３．由于残余应力的存在，降低了压杆的临界力
但有一点必须肯定，压杆所能承受的极限应力随压杆
的柔度 而改变，柔度越大，极限应力值越小
在压杆设计中常用的方法是，将压杆的稳定许用应力
写作材料的强度许用应力 乘以一个随压杆柔度
而改变的稳定系数,即
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以反映压杆的稳定许用应力随压杆柔度改变的这
一特点。
钢结构的稳定系数，可查钢结构设计规范
木结构的稳定系数，可按木结构设计规范提供的
两组公式进行计算
规范根据截面的不同将承载能力相近的截面归为
a,b,c 三类，见表 12-2,3,4
第四节 实际压杆的稳定系数
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例 12-4 两端铰支杆的稳定许用应力。书 P149
解,1）计算截面的惯性矩：
2）确定压杆柔度
第四节 实际压杆的稳定系数
444 103 0 6101 5 32 mmI z ?????
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mmAIi yy 9.30??
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例 12-4 两端铰支杆的稳定许用应力。书 P150
解,3）计算稳定许用应力
由 表 12-4,查得
则压杆的稳定许用应力为：
第四节 实际压杆的稳定系数
97?? 575.0??
? ? ? ? M P ast 8.97170575.0 ???? ???
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第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
压杆的稳定条件为：
? ????AP
或者改写为
? ????AP
具体验算时，采用试算法。举一例以说明
2001.07 东南大学远程教育
例 12-5 有一根强度等级为 TC13的圆松木，长 ６ m，中径
为 300mm，其强度为 10MPa。现将圆木用来当作起
重用的扒杆，试计算该圆木所能承受的许可压力值。
解：因扒杆两端铰支，长度系数取 1??
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300
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第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
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WA
A
dA— A
例题示意图
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
2001.07 东南大学远程教育
从而可求得圆木所能承受的许可压力为
? ? ? ? ? ? kN3.2813.041010398.0AP 26 ?????????
如果扒杆的上端在垂直于纸面的方向无任何约
束，则杆在垂直于纸面的平面内失稳时，只能视为
下端固定而上端自由，即,则2??
160
300
4
1
6 0 0 02
i
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2
2800
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由公式 得
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
2001.07 东南大学远程教育
109.016028002800 22 ?????
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显然，该圆木作为扒杆使用时，所能承受的许可
应力应为 77kN
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
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材 料 力 学
第二十讲
主讲教师：马军
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例 12-6 厂房钢柱长 7m，长度系数 。钢柱由两根
3号钢的槽钢组成，属实腹式 b类截面。同一横截面上最多
有四个 30mm的螺栓孔。钢柱的轴向压力为 270kN,材料
的强度许用应力为 。试选择槽钢号码。
解：
3.1??
先根据稳定条件选择槽钢号码，再按强度条件校核。
1）初步试选 14a槽钢，不够
2）再选 16槽钢
3）核算 xz平面稳定，定 h
4）强度核算
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
? ? M P a170??
2001.07 东南大学远程教育
例 12-7 有 3号钢工字型压杆，两端为柱形铰，
,P=35KN,a类截面。
试校核稳定性。
0.1?z?
解,1）计算截面几何性质
2）确定杆件柔度
3）求稳定许用应力及稳定校核
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
6.0?y? ? ? M P a206??
2001.07 东南大学远程教育
本章总结
1）压杆失稳的概念
2）欧拉临界力的计算
3）工程应用
第五节 压杆的稳定计算 ·压杆的合理截面
