东南大学远程教育
材 料 力 学
第十三讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第六章 组合变形
第一节 组合变形概述
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
第五节 扭转与弯曲
2001.07 东南大学远程教育
第一节 组合变形概述
Pz1
Py1 Pz2
Py2
e
P
2001.07 东南大学远程教育
第一节 组合变形概述
一．概念：所谓 组合变形 是指构件在荷载作用下会同时产生几
种基本的受力情况变形。
二．常见类型：二个平面弯曲的组合，拉伸 (压缩 )与弯曲的组
合，偏心拉伸 (压缩 )的组合,扭转与弯曲的组合。
三．组合
分析方法
将组合变形分解成几种基本变形，然后将每种
基本变形在横截面上所产生的应力进行叠加，
叠加结果就是组合变形下横截面上的应力。
四．组合
分析条件
必须满足小变形、线弹性和杆件在一种作用下，
所产生的变形不影响另一种力对杆的作用这样
三个条件时可以进行叠加。
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第二节 两相互垂直平面内的弯曲
具有双对称截面的梁，在垂直和水平两个纵向对称平面内同时承受横
向外力作用，则分别在梁的水平纵对称面和垂直纵对称面内发生对称弯
曲。故也叫双向弯曲。
其横截面上一点的正应力可首先分别计算两个方向的弯矩及其对应正
应力，再根据叠加原理求出。
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
1P
2P z
在梁的 m-m 截面上，
引起的弯矩分别为：
m
21,PP
a
zM
yM
? ?axPM Z ?? 2
xPM y 1?
''' ??? ??
x
在 X=x截面上任一点的应力为：
Y
m
yIMzIM
z
z
y
y ??
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
1P
2P z
具体求解时可先不考虑
和坐标的正负号，仅求绝对值，再
根据横向外力 判定应力的
正负号。
m
zy MM,
a
zM
yM
x
Y
m
21,PP
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
中性轴位置：
? ? 00
0
yy
zz ??
?
?
???? tgIIIIMMyztg
z
y
z
y
y
z
0
0?
z
y
?
?
? ?00 z,y
o
为横截面上合力矩矢量与 Y轴的夹角（或等效力矢量 P与 Y轴夹角）。
中性轴特点：①通过形心②与 Y轴夹角 。
?
即 0
00 ?? yI
Mz
I
M
z
z
y
y
故中性轴是通过横截面形心的直线。
中性轴与 Y轴的夹角 为：?
P
M
?
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第十四讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
由于
?? tgIItg
z
y?
z
y
?
?
? ?00 z,y
o
与 通常不相等，截面的挠度垂直与中性轴，
所以挠曲线将不在合成弯矩所在平面内。这种弯曲
也称 斜弯曲 。
?
P
M
?
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
例一 20a工字型悬臂梁，
受均布荷载 q和集中力 P 作用。
2
qa?
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
例二 圆形截面铸铁悬臂梁，受均布荷载 q=15KN/m作用。
许用拉应力为,许用压应力为 。梁
的截面尺寸为 d=160mm,b=70mm,h=110mm。试校核梁的
强度，并绘出危险截面上的正应力变化图。
? ? M Pat 40?? ? ? M P ac 160??
2001.07 东南大学远程教育
第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
作用在杆上的外力除了横向力外，还有轴向拉（压）力，
则杆将发生弯曲与拉伸（压缩）组合变形。
如烟囱受风力作用等。
抗弯刚度 EI较小时，挠度相对截面尺寸很大,Pf— 附加
弯矩不可忽略。
抗弯刚度 EI较大时，挠度相对截面尺寸较小,Pf— 附加
弯矩可忽略。
2001.07 东南大学远程教育
第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
例一 如图简支梁，在其纵对称面内有横向力 P和轴向拉
力 S共同作用。试求拉弯组合变形的强度。
S
ASANt ???
2l
轴力对应的拉伸正应力
最大弯曲正应力
P
S
2l
WPlWMb 4m a x ???
WPlASt 4m a x ???最大正应力
2001.07 东南大学远程教育
第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
例二
或 〔 〕
P
q
W
2ql
A
P 2
m a x ???
抗弯刚度 EI较小时，挠度相对截面尺寸很大,Pf— 附加
弯矩不可忽略。
q
?????? ????? WPfW8qlAP 2
?????? ????? WPfW8qlAP 2
轴压 (不利 )
轴拉 (有利 )
P
例三
抗弯刚度 EI较大时，挠度相对截面尺寸较小,Pf— 附加
弯矩可忽略。
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第十五讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
例三
m2,1
?
如图，已知两根钢管的外径均为 140mm，壁厚为 10mm。
试求危险截面上最大拉应力和压应力。
m6,1m6,1
RA
HA B
RB
KN10
A
C 解,1）由平衡方程得：
0?HA
kN
kN
kNA
RY
RX
RR
AA
AA
B
4c o s
3s in
5
??
??
??
?
?
2001.07 东南大学远程教育
第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
m2,1
?
m6,1m6,1
RA
HA B
RB
KN10
A
C AC杆的危险截面在 g, f 点
相应截面轴力和弯矩为：
mkNM
kN
Y
XN
A
A
????
????
82
3
g
f
XA
YA
RA
?
最大拉应力 在 f 点,
最大压应力 在 g 点。
其值为：
? maxt
? maxc
M P a
W
M
A
N
c
t
2.65
8.63
m a x
m a x
?
?
?????
2001.07 东南大学远程教育
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
作用在直杆上的外力 P，当其作用线与杆的轴线平行但
不重合时（偏心矩为 e)，将引起偏心拉伸或偏心压缩。
当杆横截面具有两对称轴时，可将外力 P 移置到截面
形心 O1 点，得到轴向力 P和力矩 Pe 。
将力矩 Pe 分解为 和 。zmym
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第四节 偏心拉伸 (压缩 )
P
? ?PP z,y
y y
z
e e
zm
ym
?
pz
Py
Pyc o sPem
Pzs inPem
???
???
z
2001.07 东南大学远程教育
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
由叠加原理，可求得任一横截面上的正应力，
Z
P
y
P
I
yPy
I
zPz
A
P ??????
2zz2yy iAI,iAI ????
???
?
???
? ????
2
z
P
2
y
P
i
yy
i
zz1
A
P
由惯性矩与惯性半径的关系可得：
于是横截面上的正应力变为：
2001.07 东南大学远程教育
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
中性轴位置：
? ? 00
0
yy
zz ??
?
?
0yiyziz1 02
z
P
02
y
P ???即中性轴位置：
如右图所示，可得,y
z
o
za
ya
P
2
y
z
P
2
z
y z
ia,
y
ia ????
中性轴特点：①不通过形心
②中性轴与外力作用点 P为与形心两侧
③外力偏心距越远离形心，中性轴越靠近形心，
反之，中性轴会远离形心。
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第四节 偏心拉伸 (压缩 )
最大拉、压应力点
D1,D2。
y
z
o
za
ya
),( 111 zyD
),( 222 zyD
对于有棱角截面最
大拉、压应力点
D1,D2必定在棱角
处，计算时可不用求
中性轴。
当偏心较小时，整个截面均处于受拉（受压）状态，中性轴
在截面以外。附加弯矩的影响同前节。
材料处于单向受力状态：强度校核公式 ? ??? ?
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第十六讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
例四,夹具强度核算。
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第四节 偏心拉伸 (压缩 )
例五,偏心受拉不等边角钢的最大拉应力。
2001.07 东南大学远程教育
所谓 截面核心,是指当中性轴不穿过横截面时，外力作用
点所在的区域。
确定截面核心边界：
将与截面相切的直线看作中性轴，其在 y,z两个形心惯性
轴上的截距分别为 和 。从而可得截面核心边界上的
坐标 。
ya za
? ?2y,1y ??
1z
2
y
1z
1y
2
z
1y a
i,
a
i ??????
然后，将各坐标连接起来，围成的区域就是截面核心。
截面核心
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
2001.07 东南大学远程教育
y
z
1z
2
y
1z
1y
2
z
1y a
i,
a
i ??????
截面核心
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
1
3
4 2
5
1
2 3 4
5
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材 料 力 学
第十七讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第五节 扭转与弯曲
研究如何对等直圆杆，在扭转与弯曲组合变形时的应力及强度进
行计算。
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第五节 扭转与弯曲
l
P
a
P
Pam ?
等直圆杆直径为 d，杆的
危险截面在 A端，其内力
分量为：
M=Pl,T=m=Pa
根据强度理论可知：
A
A
W
T75.0M
W
T
3
W
M
W
TM
W
T
4
W
M
22
2
t
2
4r
22
2
t
2
3r
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
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第五节 扭转与弯曲
例七。 图 a 一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C上作用有铅垂切向力 5kN，
径向力 1.82KN; 齿轮 D上作用有水平切向力 10KN，径向力 3.64KN。齿
轮 C的节圆直径 dc=400mm，齿轮 D的节圆直径 dD=200mm。许用应力
为 =100 MPa，按第四强度理论求轴的直径。???
解,1）寻找最危险截面。
分别求出
截面合力矩
最大 M的位置在 B 点，
相应扭矩 TB=-1000N-m
TMM yz,,
zy MMM 22 ??
mNMMM zByBB ???? 1 0 6 422
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第五节 扭转与弯曲
2) 强度校核
32
3dW ??
3） 求的圆轴直径 d
? ??? ???? WW TM BBBr 13 7275.0 224
mmd 90.51101 0 01 3 7 2323 6 ??? ?? ?
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第十三讲
主讲教师：马军
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第六章 组合变形
第一节 组合变形概述
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
第五节 扭转与弯曲
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第一节 组合变形概述
Pz1
Py1 Pz2
Py2
e
P
2001.07 东南大学远程教育
第一节 组合变形概述
一．概念：所谓 组合变形 是指构件在荷载作用下会同时产生几
种基本的受力情况变形。
二．常见类型：二个平面弯曲的组合，拉伸 (压缩 )与弯曲的组
合，偏心拉伸 (压缩 )的组合,扭转与弯曲的组合。
三．组合
分析方法
将组合变形分解成几种基本变形，然后将每种
基本变形在横截面上所产生的应力进行叠加，
叠加结果就是组合变形下横截面上的应力。
四．组合
分析条件
必须满足小变形、线弹性和杆件在一种作用下，
所产生的变形不影响另一种力对杆的作用这样
三个条件时可以进行叠加。
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
具有双对称截面的梁，在垂直和水平两个纵向对称平面内同时承受横
向外力作用，则分别在梁的水平纵对称面和垂直纵对称面内发生对称弯
曲。故也叫双向弯曲。
其横截面上一点的正应力可首先分别计算两个方向的弯矩及其对应正
应力，再根据叠加原理求出。
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第二节 两相互垂直平面内的弯曲
1P
2P z
在梁的 m-m 截面上，
引起的弯矩分别为：
m
21,PP
a
zM
yM
? ?axPM Z ?? 2
xPM y 1?
''' ??? ??
x
在 X=x截面上任一点的应力为：
Y
m
yIMzIM
z
z
y
y ??
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第二节 两相互垂直平面内的弯曲
1P
2P z
具体求解时可先不考虑
和坐标的正负号，仅求绝对值，再
根据横向外力 判定应力的
正负号。
m
zy MM,
a
zM
yM
x
Y
m
21,PP
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第二节 两相互垂直平面内的弯曲
中性轴位置：
? ? 00
0
yy
zz ??
?
?
???? tgIIIIMMyztg
z
y
z
y
y
z
0
0?
z
y
?
?
? ?00 z,y
o
为横截面上合力矩矢量与 Y轴的夹角（或等效力矢量 P与 Y轴夹角）。
中性轴特点：①通过形心②与 Y轴夹角 。
?
即 0
00 ?? yI
Mz
I
M
z
z
y
y
故中性轴是通过横截面形心的直线。
中性轴与 Y轴的夹角 为：?
P
M
?
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第十四讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
由于
?? tgIItg
z
y?
z
y
?
?
? ?00 z,y
o
与 通常不相等，截面的挠度垂直与中性轴，
所以挠曲线将不在合成弯矩所在平面内。这种弯曲
也称 斜弯曲 。
?
P
M
?
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
例一 20a工字型悬臂梁，
受均布荷载 q和集中力 P 作用。
2
qa?
2001.07 东南大学远程教育
第二节 两相互垂直平面内的弯曲
例二 圆形截面铸铁悬臂梁，受均布荷载 q=15KN/m作用。
许用拉应力为,许用压应力为 。梁
的截面尺寸为 d=160mm,b=70mm,h=110mm。试校核梁的
强度，并绘出危险截面上的正应力变化图。
? ? M Pat 40?? ? ? M P ac 160??
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第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
作用在杆上的外力除了横向力外，还有轴向拉（压）力，
则杆将发生弯曲与拉伸（压缩）组合变形。
如烟囱受风力作用等。
抗弯刚度 EI较小时，挠度相对截面尺寸很大,Pf— 附加
弯矩不可忽略。
抗弯刚度 EI较大时，挠度相对截面尺寸较小,Pf— 附加
弯矩可忽略。
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第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
例一 如图简支梁，在其纵对称面内有横向力 P和轴向拉
力 S共同作用。试求拉弯组合变形的强度。
S
ASANt ???
2l
轴力对应的拉伸正应力
最大弯曲正应力
P
S
2l
WPlWMb 4m a x ???
WPlASt 4m a x ???最大正应力
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第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
例二
或 〔 〕
P
q
W
2ql
A
P 2
m a x ???
抗弯刚度 EI较小时，挠度相对截面尺寸很大,Pf— 附加
弯矩不可忽略。
q
?????? ????? WPfW8qlAP 2
?????? ????? WPfW8qlAP 2
轴压 (不利 )
轴拉 (有利 )
P
例三
抗弯刚度 EI较大时，挠度相对截面尺寸较小,Pf— 附加
弯矩可忽略。
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第十五讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
例三
m2,1
?
如图，已知两根钢管的外径均为 140mm，壁厚为 10mm。
试求危险截面上最大拉应力和压应力。
m6,1m6,1
RA
HA B
RB
KN10
A
C 解,1）由平衡方程得：
0?HA
kN
kN
kNA
RY
RX
RR
AA
AA
B
4c o s
3s in
5
??
??
??
?
?
2001.07 东南大学远程教育
第三节 拉伸 (压缩 )与弯曲
m2,1
?
m6,1m6,1
RA
HA B
RB
KN10
A
C AC杆的危险截面在 g, f 点
相应截面轴力和弯矩为：
mkNM
kN
Y
XN
A
A
????
????
82
3
g
f
XA
YA
RA
?
最大拉应力 在 f 点,
最大压应力 在 g 点。
其值为：
? maxt
? maxc
M P a
W
M
A
N
c
t
2.65
8.63
m a x
m a x
?
?
?????
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第四节 偏心拉伸 (压缩 )
作用在直杆上的外力 P，当其作用线与杆的轴线平行但
不重合时（偏心矩为 e)，将引起偏心拉伸或偏心压缩。
当杆横截面具有两对称轴时，可将外力 P 移置到截面
形心 O1 点，得到轴向力 P和力矩 Pe 。
将力矩 Pe 分解为 和 。zmym
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第四节 偏心拉伸 (压缩 )
P
? ?PP z,y
y y
z
e e
zm
ym
?
pz
Py
Pyc o sPem
Pzs inPem
???
???
z
2001.07 东南大学远程教育
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
由叠加原理，可求得任一横截面上的正应力，
Z
P
y
P
I
yPy
I
zPz
A
P ??????
2zz2yy iAI,iAI ????
???
?
???
? ????
2
z
P
2
y
P
i
yy
i
zz1
A
P
由惯性矩与惯性半径的关系可得：
于是横截面上的正应力变为：
2001.07 东南大学远程教育
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
中性轴位置：
? ? 00
0
yy
zz ??
?
?
0yiyziz1 02
z
P
02
y
P ???即中性轴位置：
如右图所示，可得,y
z
o
za
ya
P
2
y
z
P
2
z
y z
ia,
y
ia ????
中性轴特点：①不通过形心
②中性轴与外力作用点 P为与形心两侧
③外力偏心距越远离形心，中性轴越靠近形心，
反之，中性轴会远离形心。
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第四节 偏心拉伸 (压缩 )
最大拉、压应力点
D1,D2。
y
z
o
za
ya
),( 111 zyD
),( 222 zyD
对于有棱角截面最
大拉、压应力点
D1,D2必定在棱角
处，计算时可不用求
中性轴。
当偏心较小时，整个截面均处于受拉（受压）状态，中性轴
在截面以外。附加弯矩的影响同前节。
材料处于单向受力状态：强度校核公式 ? ??? ?
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第十六讲
主讲教师：马军
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第四节 偏心拉伸 (压缩 )
例四,夹具强度核算。
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第四节 偏心拉伸 (压缩 )
例五,偏心受拉不等边角钢的最大拉应力。
2001.07 东南大学远程教育
所谓 截面核心,是指当中性轴不穿过横截面时，外力作用
点所在的区域。
确定截面核心边界：
将与截面相切的直线看作中性轴，其在 y,z两个形心惯性
轴上的截距分别为 和 。从而可得截面核心边界上的
坐标 。
ya za
? ?2y,1y ??
1z
2
y
1z
1y
2
z
1y a
i,
a
i ??????
然后，将各坐标连接起来，围成的区域就是截面核心。
截面核心
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
2001.07 东南大学远程教育
y
z
1z
2
y
1z
1y
2
z
1y a
i,
a
i ??????
截面核心
第四节 偏心拉伸 (压缩 )
1
3
4 2
5
1
2 3 4
5
2001.07 东南大学远程教育
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第十七讲
主讲教师：马军
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第五节 扭转与弯曲
研究如何对等直圆杆，在扭转与弯曲组合变形时的应力及强度进
行计算。
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第五节 扭转与弯曲
l
P
a
P
Pam ?
等直圆杆直径为 d，杆的
危险截面在 A端，其内力
分量为：
M=Pl,T=m=Pa
根据强度理论可知：
A
A
W
T75.0M
W
T
3
W
M
W
TM
W
T
4
W
M
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第五节 扭转与弯曲
例七。 图 a 一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C上作用有铅垂切向力 5kN，
径向力 1.82KN; 齿轮 D上作用有水平切向力 10KN，径向力 3.64KN。齿
轮 C的节圆直径 dc=400mm，齿轮 D的节圆直径 dD=200mm。许用应力
为 =100 MPa，按第四强度理论求轴的直径。???
解,1）寻找最危险截面。
分别求出
截面合力矩
最大 M的位置在 B 点，
相应扭矩 TB=-1000N-m
TMM yz,,
zy MMM 22 ??
mNMMM zByBB ???? 1 0 6 422
2001.07 东南大学远程教育
第五节 扭转与弯曲
2) 强度校核
32
3dW ??
3） 求的圆轴直径 d
? ??? ???? WW TM BBBr 13 7275.0 224
mmd 90.51101 0 01 3 7 2323 6 ??? ?? ?
