东南大学远程教育
材 料 力 学
第二十一讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第八章 能量方法
利用功和能的概念来求解可变形固体的
位移、变形和内力等的方法，通称为能
量方法。
2001.07 东南大学远程教育
第一节 虚位移原理及单位力方法
一．虚位移原理
对于一个处于平衡状态下的杆件，其外力和内力对任意给定的
虚位移所作的总虚功等于零，即
0WW ie ??
ie W,W 分别指的是外力和内力对虚位移所做的虚功
外力指的是荷载和支座反力，内力则为截面上各部分间的相
互作用力
以一简支梁为例，来说明推导梁的虚位移原理的表达式
下图所示简支梁上的外力荷载 321 P,P,P 和支座反力
BA R,R 。 在给梁任意一个虚位移时，所有荷载作用点均有沿
其作用方向的相应虚位移 321,,??? （图上未绘出）。两支座
A,B则不可能有虚位移，否则就与支座约束条件不符。因此，
梁上所有外力（包括荷载和支反力）对于虚位移所作的虚功为
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A B
AR 1P 2P 3P BR
dMM?
M
Q
dQQ ?
2
d?
2
d?
2
d?
dx dx dx
第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
i
3
1i iBA
3
1i iie
P0R0RPW ???????? ??
??
再计算梁的内力对于虚位移所作的虚功，从梁中取出任一微段 dx来
研究。作用在该微段左、右两截面上的内力分别为 Q,Q+dQ和弯矩
M,M+dM。总虚功为
? ?
? ? ?
?
?
?
?
? ????
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
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2
d
dQQ
2
d
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2
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2
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M
略去高阶无穷小项 ?
?
??
?
? ??
2
ddM ?
?
??
?
? ??
2
ddQ和,即得
????? dQdM
第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
作用在微段左、右两截面上的 M和 Q，对于该微段而言应看作是
外力，所以,为该微段的外力虚功，而该微段
的内力所作的虚功,则可按该微段的外力虚功，而该微段
的外力虚功与内力虚功之和应等于零的虚位移原理求得，即
????? dQdM
idW
0dQdMdW i ???????
可得
)dQdM(dW i ???????
则整个梁的内力虚功为
? ?? ? ????????
l lii
dQdMdWW
将上两式代入虚位移原理公式，即得
0)dQdM(P li3
1i i
???????? ??
?
第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
亦即
?? ???????? li3 1i i )dQdM(P
若所研究的对象不是仅有弯曲变形的梁，而是发生组合变形的梁，
其任意截面上的内力不仅有弯矩 M和剪力 Q，而且还有轴力 N和扭
矩 T，作用在杆上的荷载为,则此杆件的虚位
移原理表达式为
? ?n,,2,1iP i ???
?? ???????????? lin 1i i )TdNddQdM(P
A B
1P
2P
nP
N
2P1P
dx
第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
dMM?
M
Q
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2
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2
d?
dx dx
dx
T
N dTT?
dNN?
dx
2?d 2?d
2
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dx
2
d?
第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
虚位移原理应用条件
?外力 与内力 满足静力平衡条件
?设想的虚位移 是满足原结构几何约束条件之任意微小位移，
它与原载荷引起之真实变形无关
?上述分析过程中为涉及材料性质（物理性质），对其他非线弹
性问题同样适用
iP ? ?T,N,Q,M
i?
第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
二．单位力方法
对于杆系结构，既然如前所述只要满足 支座约束条件,及各微段
间 变形连续 条件的任何微小位移，均可作杆件的虚位移，那么可
把 实 载作用下之 真实位移 及各微段两端的真实 相对位移 当作虚位
移。若要确定在实荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向或
转向的位移,就可以在该点处施加一个相应的单位力，将之视
为荷载，而由单位力所引起的杆件任一截面上的内力记为
。则杆件的虚位移原理表达式为
?
,M,N
T,Q
? ?? ?????????? dTdQdMdN1
对于线弹性, 在所研究的杆件中, 由实际荷载引起的长为 dx的微段
两端横截面的变形位移分别为
EA
Ndxd ??
第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
EI
Mdxd ??
GA
Q dxd s???
PGI
Tdxd ??
则上式变为
??
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0
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0
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T dx
T
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Q d x
Q
EI
M dx
M
EA
N d x
N1
说明：①上式中右端一般只有几项，并不定全部包括
②单位力是一个广义力
③符号方面的规定
④对平面行架只有轴力
第一节 虚位移原理及单位力方法
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材 料 力 学
第二十二讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
P P
l
o
P
?1?
1P
?d
P令拉杆的截面积为 A，则拉杆的应变能U在数值上等于作用在杆端的力 P在加
载过程中所作的功 W（外力功），其
表达式为
?? ??? 10 PdWU
为了介绍应变能和余能的概念，以拉伸杆为例
第二节 应变能 ·余能
EA
Pl
l ??
又
则
l
EA
EA
lNWU
22
212 ????
一．应变能
2001.07 东南大学远程教育
o
?
?1?
1?
?d
?
再从另一角度来推导，外力功和应变能，从拉杆中取一各边为单位
长的单元体，则在拉杆的加载过程中，该单元体上外力所做的功为：
?? ??? 10 dw根据功能原理
? ? ???? 10 dwu
设单元体各边长分别为 dx,dy,dz，则在加载
过程中，该单元体内所积蓄的应变能为
u d x d y d zdU ?
令 dxdydz=dV，则整个拉杆内所积蓄的应变能为
E2E2
1 212
1
????
第二节 应变能 ·余能
2001.07 东南大学远程教育
? ??? Vu d VdUU
再根据虎克定律，得同样的结果
EA2
lNWU 2??
同理可得圆轴在扭转时及梁在纯弯曲时的应变能表达式
P
2
GI2
lTWU ?? ? ???? l
0
2
EI2
dxxMWU和
梁在横力弯曲时与剪切变形相应的应变能
? ?
GA2
dxxQWU 2l
0 s? ???
第二节 应变能 ·余能
2001.07 东南大学远程教育
再进一步考虑, 设拉杆的材料是非
线性的, 以拉杆为例, 杆端位移与
施加在杆端的外力 P之间的关系如
图所示
P
1P
O ?
1??d
P
l
?
? ? ??? 10 PdWU
同样可从应力应变关系来推导外力
功和应变能，从拉杆中取一单元体，
在加载过程中，单元体上外力作的
功及相应的应变能为
?
?1??dO
1?
?? ???? 10 dwu
第二节 应变能 ·余能
2001.07 东南大学远程教育
设单元体各边长分别为 dx,dy,dz，则在加载
过程中，该单元体内所积蓄的应变能为
u d x d y d zdU ?
令 dxdydz=dV，则整个拉杆内所积蓄的应变能为
? ??? Vu d VdUU
同理可得，梁和圆轴的单位应变能
第二节 应变能 ·余能
2001.07 东南大学远程教育
当外力从 0增加到 P时，由于材料为非线性，则拉杆的 P－ P曲线
如图所示，仿外力功的表达式计算另一个积分
P
l
?
P
1P
O ?
1?
dP ?
? ?1P0 dP
此积分从量纲上来看, 和外
力功是相同的, 亦可视之为
一种功 。 从右图可以看出,
此积分是 － 曲线与纵坐标
轴间的面积, 与 时的
外力功 之和正好等
于矩形面积, 所以, 习
惯上将此积分称为, 余功,, 用
表示, 即
1P
P
1PP?
? ?1P0 dP
11P?
cW
第二节 应变能 ·余能
二．余能
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?
?1??dO
1?
? ?? 1P0c dPW
由于材料为弹性，仿照功与应变能相等的关系，
将余功相应的能称为余能，并用 表示。余功
和余能 在数值上是相等的，即 cUcUcW
? ??? 1p0cc dPWU
在几何线性问题中，同样可以仿照前面单位体积
应变能来计算应变能的方式，得到从单位体积余
能 来计算余能的表达式cu
?? ??? 10c du
dVuU V cc ??
其中
应当指出：余功、余能、单位体积余能都没有具体的物理概念，
它们只不过是具有功和能的量纲而已。
第二节 应变能 ·余能
东南大学远程教育
材 料 力 学
第二十三讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第三节 卡氏定理
A B
1P 2P 3P nP
1? 2? 3? n
?
如右图梁所示，梁上有
个集中荷载作用，相
应的最后位移分别为
n
n21,,,??? ?
为了计算方便，假定这些荷载都是同时作用在梁上，并按同一比例
逐渐从零加到其最后值 （通常称之为简单加
载），则外力作的功就等于每个集中荷载在加载过程中所作功的总
和
n21 P,P,P ??
i
n
i
i dPWU
i ??? ?
?
??
1 0
可见，梁内应变能 U是其上所有荷载相应的最后位移 的函数。
假设 与第 个荷载相应的位移有一微小增量,则梁内应变能
的变化 应写作
i?
i id?
dU
一．卡氏第一定理
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i
i
dUdU ??????
因只有与荷载 相应的位移有一微小增量,则外力功的
变化为 id?iP
iidPdW ??
由
dWdU ?
并消去两边的共同项,即得
id?
i
i
UP
??
??
此即为 卡氏第一定理 。表明，弹性杆件的应变能 U对于杆件上与某一
荷载相应的位移之变化率。
第三节 卡氏定理
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A B
1P 2P 3P nP
1? 2? 3? n
?
如右图梁所示，梁上有
个集中荷载作用，相
应的最后位移分别为
n
n21,,,??? ?
仍将这些荷载按简单加载的方式施加在梁上。外力的余功则等于
每个集中荷载的余功之和。于是，梁内的余能可表示为
i
n
1i
P
0 icc dPWU
i? ?
?
???
可见，梁内余能 是其上一系列荷载 的函数。
假设 第 个荷载有一微小增量,则外力总余功的相应
改变量为
i
iic dPdW ??
cU iP
idP
二．卡氏第二定理
第三节 卡氏定理
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梁内的余能的相应的改变量为
i
i
c
c dPP
UdU
?
??
外力余功在数值上应等于弹性杆件的余能，两者的改变量相等
cc dWdU ?
消去两端的 后，得idP
i
c
i P
U
?
???
此即为余能定理，可用来计算非线性弹性杆或杆系与某一荷载
相应的位移iP i?
对于线弹性杆件或杆系,于是得cUU?
i
i P
U
?
???
第三节 卡氏定理
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材 料 力 学
第二十四讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
此即为卡氏第二定理。表明，线弹性杆件或杆系的应变能 U对于
作用在该杆件或杆系上的某一荷载之变化率，就等于该载荷相应
的位移。显然，卡氏第二定理是余能定理在线弹性情况下的特例。
注意：卡氏第一定理既适用于线弹性体，也适用于非线性弹性体，
但卡氏第二定理则仅适用于线弹性体。
第三节 卡氏定理
i
i P
U
?
???
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第二十一讲
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第八章 能量方法
利用功和能的概念来求解可变形固体的
位移、变形和内力等的方法，通称为能
量方法。
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第一节 虚位移原理及单位力方法
一．虚位移原理
对于一个处于平衡状态下的杆件，其外力和内力对任意给定的
虚位移所作的总虚功等于零，即
0WW ie ??
ie W,W 分别指的是外力和内力对虚位移所做的虚功
外力指的是荷载和支座反力，内力则为截面上各部分间的相
互作用力
以一简支梁为例，来说明推导梁的虚位移原理的表达式
下图所示简支梁上的外力荷载 321 P,P,P 和支座反力
BA R,R 。 在给梁任意一个虚位移时，所有荷载作用点均有沿
其作用方向的相应虚位移 321,,??? （图上未绘出）。两支座
A,B则不可能有虚位移，否则就与支座约束条件不符。因此，
梁上所有外力（包括荷载和支反力）对于虚位移所作的虚功为
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A B
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第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
i
3
1i iBA
3
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再计算梁的内力对于虚位移所作的虚功，从梁中取出任一微段 dx来
研究。作用在该微段左、右两截面上的内力分别为 Q,Q+dQ和弯矩
M,M+dM。总虚功为
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第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
作用在微段左、右两截面上的 M和 Q，对于该微段而言应看作是
外力，所以,为该微段的外力虚功，而该微段
的内力所作的虚功,则可按该微段的外力虚功，而该微段
的外力虚功与内力虚功之和应等于零的虚位移原理求得，即
????? dQdM
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则整个梁的内力虚功为
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将上两式代入虚位移原理公式，即得
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第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
亦即
?? ???????? li3 1i i )dQdM(P
若所研究的对象不是仅有弯曲变形的梁，而是发生组合变形的梁，
其任意截面上的内力不仅有弯矩 M和剪力 Q，而且还有轴力 N和扭
矩 T，作用在杆上的荷载为,则此杆件的虚位
移原理表达式为
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A B
1P
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第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
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T
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2001.07 东南大学远程教育
虚位移原理应用条件
?外力 与内力 满足静力平衡条件
?设想的虚位移 是满足原结构几何约束条件之任意微小位移，
它与原载荷引起之真实变形无关
?上述分析过程中为涉及材料性质（物理性质），对其他非线弹
性问题同样适用
iP ? ?T,N,Q,M
i?
第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
二．单位力方法
对于杆系结构，既然如前所述只要满足 支座约束条件,及各微段
间 变形连续 条件的任何微小位移，均可作杆件的虚位移，那么可
把 实 载作用下之 真实位移 及各微段两端的真实 相对位移 当作虚位
移。若要确定在实荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向或
转向的位移,就可以在该点处施加一个相应的单位力，将之视
为荷载，而由单位力所引起的杆件任一截面上的内力记为
。则杆件的虚位移原理表达式为
?
,M,N
T,Q
? ?? ?????????? dTdQdMdN1
对于线弹性, 在所研究的杆件中, 由实际荷载引起的长为 dx的微段
两端横截面的变形位移分别为
EA
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第一节 虚位移原理及单位力方法
2001.07 东南大学远程教育
EI
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说明：①上式中右端一般只有几项，并不定全部包括
②单位力是一个广义力
③符号方面的规定
④对平面行架只有轴力
第一节 虚位移原理及单位力方法
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第二十二讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
P P
l
o
P
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1P
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P令拉杆的截面积为 A，则拉杆的应变能U在数值上等于作用在杆端的力 P在加
载过程中所作的功 W（外力功），其
表达式为
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为了介绍应变能和余能的概念，以拉伸杆为例
第二节 应变能 ·余能
EA
Pl
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又
则
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EA
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22
212 ????
一．应变能
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o
?
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1?
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?
再从另一角度来推导，外力功和应变能，从拉杆中取一各边为单位
长的单元体，则在拉杆的加载过程中，该单元体上外力所做的功为：
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设单元体各边长分别为 dx,dy,dz，则在加载
过程中，该单元体内所积蓄的应变能为
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令 dxdydz=dV，则整个拉杆内所积蓄的应变能为
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1 212
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第二节 应变能 ·余能
2001.07 东南大学远程教育
? ??? Vu d VdUU
再根据虎克定律，得同样的结果
EA2
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同理可得圆轴在扭转时及梁在纯弯曲时的应变能表达式
P
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梁在横力弯曲时与剪切变形相应的应变能
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第二节 应变能 ·余能
2001.07 东南大学远程教育
再进一步考虑, 设拉杆的材料是非
线性的, 以拉杆为例, 杆端位移与
施加在杆端的外力 P之间的关系如
图所示
P
1P
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P
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同样可从应力应变关系来推导外力
功和应变能，从拉杆中取一单元体，
在加载过程中，单元体上外力作的
功及相应的应变能为
?
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第二节 应变能 ·余能
2001.07 东南大学远程教育
设单元体各边长分别为 dx,dy,dz，则在加载
过程中，该单元体内所积蓄的应变能为
u d x d y d zdU ?
令 dxdydz=dV，则整个拉杆内所积蓄的应变能为
? ??? Vu d VdUU
同理可得，梁和圆轴的单位应变能
第二节 应变能 ·余能
2001.07 东南大学远程教育
当外力从 0增加到 P时，由于材料为非线性，则拉杆的 P－ P曲线
如图所示，仿外力功的表达式计算另一个积分
P
l
?
P
1P
O ?
1?
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? ?1P0 dP
此积分从量纲上来看, 和外
力功是相同的, 亦可视之为
一种功 。 从右图可以看出,
此积分是 － 曲线与纵坐标
轴间的面积, 与 时的
外力功 之和正好等
于矩形面积, 所以, 习
惯上将此积分称为, 余功,, 用
表示, 即
1P
P
1PP?
? ?1P0 dP
11P?
cW
第二节 应变能 ·余能
二．余能
2001.07 东南大学远程教育
?
?1??dO
1?
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由于材料为弹性，仿照功与应变能相等的关系，
将余功相应的能称为余能，并用 表示。余功
和余能 在数值上是相等的，即 cUcUcW
? ??? 1p0cc dPWU
在几何线性问题中，同样可以仿照前面单位体积
应变能来计算应变能的方式，得到从单位体积余
能 来计算余能的表达式cu
?? ??? 10c du
dVuU V cc ??
其中
应当指出：余功、余能、单位体积余能都没有具体的物理概念，
它们只不过是具有功和能的量纲而已。
第二节 应变能 ·余能
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第二十三讲
主讲教师：马军
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第三节 卡氏定理
A B
1P 2P 3P nP
1? 2? 3? n
?
如右图梁所示，梁上有
个集中荷载作用，相
应的最后位移分别为
n
n21,,,??? ?
为了计算方便，假定这些荷载都是同时作用在梁上，并按同一比例
逐渐从零加到其最后值 （通常称之为简单加
载），则外力作的功就等于每个集中荷载在加载过程中所作功的总
和
n21 P,P,P ??
i
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可见，梁内应变能 U是其上所有荷载相应的最后位移 的函数。
假设 与第 个荷载相应的位移有一微小增量,则梁内应变能
的变化 应写作
i?
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一．卡氏第一定理
2001.07 东南大学远程教育
i
i
dUdU ??????
因只有与荷载 相应的位移有一微小增量,则外力功的
变化为 id?iP
iidPdW ??
由
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并消去两边的共同项,即得
id?
i
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此即为 卡氏第一定理 。表明，弹性杆件的应变能 U对于杆件上与某一
荷载相应的位移之变化率。
第三节 卡氏定理
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A B
1P 2P 3P nP
1? 2? 3? n
?
如右图梁所示，梁上有
个集中荷载作用，相
应的最后位移分别为
n
n21,,,??? ?
仍将这些荷载按简单加载的方式施加在梁上。外力的余功则等于
每个集中荷载的余功之和。于是，梁内的余能可表示为
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0 icc dPWU
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可见，梁内余能 是其上一系列荷载 的函数。
假设 第 个荷载有一微小增量,则外力总余功的相应
改变量为
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二．卡氏第二定理
第三节 卡氏定理
2001.07 东南大学远程教育
梁内的余能的相应的改变量为
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外力余功在数值上应等于弹性杆件的余能，两者的改变量相等
cc dWdU ?
消去两端的 后，得idP
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此即为余能定理，可用来计算非线性弹性杆或杆系与某一荷载
相应的位移iP i?
对于线弹性杆件或杆系,于是得cUU?
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第三节 卡氏定理
东南大学远程教育
材 料 力 学
第二十四讲
主讲教师：马军
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此即为卡氏第二定理。表明，线弹性杆件或杆系的应变能 U对于
作用在该杆件或杆系上的某一荷载之变化率，就等于该载荷相应
的位移。显然，卡氏第二定理是余能定理在线弹性情况下的特例。
注意：卡氏第一定理既适用于线弹性体，也适用于非线性弹性体，
但卡氏第二定理则仅适用于线弹性体。
第三节 卡氏定理
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