东南大学远程教育
材 料 力 学
第九讲
主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
第五章 强度理论
第一节概念
长期以来, 人们根据对材料破坏现象的分
析, 提出过各种各样的假说, 认为材料的某一
类型的破坏是由某种因素引起的, 这种假说就
称为强度理论 。
比如铸铁, 其拉伸试样是沿横截面断裂的,
扭转圆试样则沿斜截面断裂, 两者都是在无明
显变形的情况下发生脆性断裂而破坏的 。
又如低碳试样受拉伸和压缩时, 通常会有
显著的塑性变形, 当构件变形过大时, 就失去
了正常工作和承载能力 。
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第一节概念
对于低碳钢这类塑性材料, 其拉伸和压缩试
样都会发生显著的塑性变形, 有时并会发生屈
服现象, 构件也因之而失去正常工作能力, 变
得失效 。
由是观之, 材料破坏按其物理本质而言,
可分为脆断破坏和屈服失效两种类型 。
同一种材料在不同的应力 （ 受力 ） 状态下,
可能发生不同类型的破坏 。 如有槽和无槽低碳
钢圆试样；圆柱形大理石试样有侧压和无侧压
下受压破坏 。
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第二节 四个强度理论及相当应力
构件的破坏因素有：最大正应力，最大线应变，最大
剪应力，最大比能，由此而划分为两大类四种强度理论。
第一类强度理论是以脆断破坏标志，分为最大拉应力
理论和最大伸长线应变理论。
第二类强度理论是以屈服或显著塑性变形为破坏标志，
分为最大剪应力理论和形状改变比能理论。
一．强度理论的分类：
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１．最大拉应力理论
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料
就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏
假说：最大拉应力 是引起材料脆断破坏的因素，也就是
认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一点
处的三个主应力中的最大拉应力 达到材料的极限
值,材料就会发生脆断破坏。
第一节 四个强度理论及相当应力
二．第一类强度理论
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强度条件,? ?
??? t
? ??
u?
???
???
s?
的确定,将材料的极限值 除以安全系数就得到
材料的许用拉应力 。 对于象低碳钢之类的塑
性材料, 其许用拉应力 等于切槽后净面积除
试件拉断时的拉力, 而不是单拉时的屈服极限,
否则过于保守 。
第二节 四个强度理论及相当应力
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２．最大伸长线应变理论
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就
会沿着垂直于最大伸长线应变方向的平面发生脆断破
坏。
假说：最大伸长线应变 是引起材料脆断破坏的因素, 也
就认为不论在什么样的应力状态下, 只要构件内一点
处的最大伸长线应变 达到材料的极限值, 材料
就会发生脆断破坏 。
max?
max? u?
第二节 四个强度理论及相当应力
? ?? ? ? ? EEE u /1 321 ?????? ?????m a x?
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强度条件,? ?? ? ? ?
???????? 321
? ?? 的确定,首先确定材料的最大伸长极限值, 材料
的极限值同样可通过任意一种使试样发生脆断的
实验来确定 。 对于在单轴拉伸试验时试样沿横截
面发生脆断破坏的材料, 就可以用单轴拉伸试样
在拉断时的轴向线应变作为材料的 。 根据虎
克定律得正应力值, 再除以安全系数便得到许
用应力值
u?
u?
u?
???
注意：构件直到发生脆断前都应服从胡克定律
第二节 四个强度理论及相当应力
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３．最大剪应力理论
根据,当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就
会沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。
假说,最大剪应力 是引起材料屈服的因素，也就是
认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一点
处的最大剪应力 达到材料屈服时的极限值,
材料就会发生屈服。
max?
max? u?
第二节 四个强度理论及相当应力
三．第二类强度理论
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强度条件：
? ? ? ?????? 31
的确定,材料的屈服极限 除以安全系数即可 。? ??
s?
第一节 四个强度理论及相当应力
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４．形状改变比能理论
根据：只要构件一点处的形状改变比能达到其形状改变
比能极限值，该点处的材料就屈服。
假说：形状改变比能 是引起材料屈服的因素，也就是
认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一
内的形状改变比能 达到了材料的极限值,
该点处的材料就会屈服。
fu
fuufu
第二节 四个强度理论及相当应力
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强度条件, ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
????????????? 21323222121
的确定, 材料的屈服极限 除以安全系数即可 。? ??
s?
第二节 四个强度理论及相当应力
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第十讲
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按照四个强度理论所建立的强度条件可统一写作,
? ???? r
式中的 是根据不同强度理论所得到的构件危
险点处三个主应力的某些组合，称之为相当应力。
第二节 四个强度理论及相当应力
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强度理论的分类及名 称 相当应力表达式
第一类强度理论
(脆断破坏理论 )
第一强度理论 —
最大拉应力理论
第二强度理论 —
最大伸长线应变理
论
第二类强度理论
(屈服失效理论 )
第三强度理论 —
最大剪应力理论
第四强度理论 —
形状改变比能理论
? ?? ?3212r
11r
????????
???
? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? 2
1
2
13
2
32
2
21
4r
313r
2
1
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?
?
?
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?????
第二节 四个强度理论及相当应力
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不同的材料固然可能产生不同形式的破坏；但就是同
一种材料，当应力状态、温度及变形速度不同时，破坏形
式也可能不同。
一、在三轴拉伸应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材
料都会发生脆性断裂，宜采用最大拉应力理论。并且
强度理论公式右边的 就不能取材料单轴拉伸的许
用应力，而应取材料发生脆断时的最大主应力 除
以安全系数。
二、对于铸铁类脆性材料，在双向均拉时，宜采用最大
拉应力理论或最大伸长线应变理论。
运用强度理论的几点说明
第三节 四个强度理论适用范围及应用
1?
? ??
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三、对于低碳钢类塑材，除三向拉伸外，均属屈服失效破
坏。宜用形状改变比能理论（运用较多）和最大剪应力
理论。其中最大剪应力理论计算结果偏于安全。
四、在三轴压缩应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材
料，通常都会发生屈服失效，故一般采用形状改变比
能理论。
总之，采用何种强度理论要根据材料，应力，工程经验而定。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
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应 用,
1） 常用公式：
第一强度理论相当应力
第二强度理论相当应力
第三强度理论相当应力
第四强度理论相当应力
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ?? ?3212r
11r
????????
???
? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? 2
1
2
13
2
32
2
214
313
2
1
???????
???
?????
?
?
??
??
r
r
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对于下面平面应力状态，第三和第四强度理论进行强度校核，
其相当应力分别为：
第三强度理论相当应力
第四强度理论相当应力
第三节 四个强度理论适用范围及应用
??
??
?
?
22
4
22
3
3
4
??
??
r
r
?
?
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2）解题方法
a,对于处于复杂应力状态下的构件进行强度校核时，首先
对构件危险点进行应力分析，求出其主应力，根据杆件材料的
种类以及所处的应力状态等因素，选用合适的强度理论，再用
相应的强度条件进行校核。
b,当构件的载荷比较复杂时，可利用叠加原理，分别计算
各载荷引起的应力，然后叠加为总应力。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
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第十一讲
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3）题解
例题 1 试根据如图所示单向受拉和纯剪应力状态，探讨纯
剪应力状态下的许用剪应力 与单轴拉伸的许用拉应力
之间的关系。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ?????
?
?
?? ?11?
?? ??3
3?
3?
1?
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按第四强度理论
即：
按第三强度理论
故纯剪应力状态下的许用剪应力 与单轴拉伸时的许用拉应
力 间的关系为
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ???
???????
???? ???????? ???
?????
?
?
?
?
???? 3
2
1
2
1
222
2
1
2
13
2
32
2
214
00
r
? ?
3
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? ??? ?
???
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? ? ? ? ? ???? 577.03 ??
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在, 钢结构设计规范, 中规定 。
同理对铸铁等脆性材料，采用第一、第二强度理论，可得材料
的许用剪应力 与许用拉应力 间的关系为
第三节 四个强度理论适用范围及应用
??? ? ??
? ? ? ??? 5.0?
? ? ? ?? ??? 0.1~8.0?
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例题 2 图示各单元体，分别按第三强度和第四强度理论求
相当应力。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
MP a120
MP a120
MP a140
MP a110
MP a140
MPa70
MPa80
)(a )(b )(c
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解 ( a ):
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ? ? ? ? ? M P a
M P a
r
r
1 2 021
1 2 0
01 2 01 2 01 2 01 2 00 2224
313
??????? ???
???
??????
???
M P a120,0 321 ???? ???
( b ):
? ? ? ? ? ? M P a
M P a
r
r
1 2 821
1 4 0
1 4 01 1 030 2224
313
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???
??
???
0,1 1 0,1 4 0 321 ??? ??? M P aM P a
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第三节 四个强度理论适用范围及应用
( c ):
? ? ? ? ? ? M P a
M P a
r
r
1 9 5
2
1
2 2 0
2 2 0701 5 0 2224
313
??????? ???
???
??
???
M P aM P aM P a 140,70,80 321 ????? ???
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例题 3 图示简支工字钢梁，材料许用应力为
。试按强度选择工字钢型号。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ? M P a100??
? ? M P a1 7 0??
66.142.0 42.0
B
KN200KN200 DCA
图Q
图M
KN200
KN200?
MKN ?84
?max
?max
?
?
?
?
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解,1）绘制 Q,M图，选择危险截面 C,D
2）按第一强度理论初步选定截面型号：
由
得
选用 28a号工字钢,W=508
3）按其它强度理论进行校核：
I）第三强度理论：
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ?
? ? 1010
10 6
6
3
m a x
m a x
m a x
494
170
84 ?
??
?
?
??
??
?
??
M
M
W
W
cm3
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I）第三强度理论：
满足。
II）腹板与翼缘交界处的强度校核：
正应力
剪应力
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ??? ??
?
? M P a
d
S
I
Q
5.95m a x
m a x
M P a
Id
S
M P a
I
y
Q
M
8.73
1.149
m a x
m a x
??
??
?
?
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求得 分别为,179.5,0,-68.0 Mpa。
按第三强度理论：
按第四强度理论：
均远大于许用应力。应加大截面选 28b号工字钢。仿造上述方
法计算后可知，满足强度要求。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
??? 321,,
M P a
M P a
8.2 0 94
4.1 9 63
22
22
???
???
??
??
?
?
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例题 4 图示承受内压两端开口的简支圆管，材料许用应力
为 。管道外径 D=1m，壁厚 t=30mm,内压
p=4MPa,线分布自重 q=60KN/m。试按第三强度理论进行强
度校核。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ? M P a1 0 0??
66.142.0
p
M0
KN200
KN200
DC M0
图Q
图M
KN200 q
MKN ?84
12000?
max
?
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?
?
M0M0
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第五章 强度理论
第一节概念
长期以来, 人们根据对材料破坏现象的分
析, 提出过各种各样的假说, 认为材料的某一
类型的破坏是由某种因素引起的, 这种假说就
称为强度理论 。
比如铸铁, 其拉伸试样是沿横截面断裂的,
扭转圆试样则沿斜截面断裂, 两者都是在无明
显变形的情况下发生脆性断裂而破坏的 。
又如低碳试样受拉伸和压缩时, 通常会有
显著的塑性变形, 当构件变形过大时, 就失去
了正常工作和承载能力 。
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第一节概念
对于低碳钢这类塑性材料, 其拉伸和压缩试
样都会发生显著的塑性变形, 有时并会发生屈
服现象, 构件也因之而失去正常工作能力, 变
得失效 。
由是观之, 材料破坏按其物理本质而言,
可分为脆断破坏和屈服失效两种类型 。
同一种材料在不同的应力 （ 受力 ） 状态下,
可能发生不同类型的破坏 。 如有槽和无槽低碳
钢圆试样；圆柱形大理石试样有侧压和无侧压
下受压破坏 。
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第二节 四个强度理论及相当应力
构件的破坏因素有：最大正应力，最大线应变，最大
剪应力，最大比能，由此而划分为两大类四种强度理论。
第一类强度理论是以脆断破坏标志，分为最大拉应力
理论和最大伸长线应变理论。
第二类强度理论是以屈服或显著塑性变形为破坏标志，
分为最大剪应力理论和形状改变比能理论。
一．强度理论的分类：
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１．最大拉应力理论
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料
就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏
假说：最大拉应力 是引起材料脆断破坏的因素，也就是
认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一点
处的三个主应力中的最大拉应力 达到材料的极限
值,材料就会发生脆断破坏。
第一节 四个强度理论及相当应力
二．第一类强度理论
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强度条件,? ?
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的确定,将材料的极限值 除以安全系数就得到
材料的许用拉应力 。 对于象低碳钢之类的塑
性材料, 其许用拉应力 等于切槽后净面积除
试件拉断时的拉力, 而不是单拉时的屈服极限,
否则过于保守 。
第二节 四个强度理论及相当应力
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２．最大伸长线应变理论
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就
会沿着垂直于最大伸长线应变方向的平面发生脆断破
坏。
假说：最大伸长线应变 是引起材料脆断破坏的因素, 也
就认为不论在什么样的应力状态下, 只要构件内一点
处的最大伸长线应变 达到材料的极限值, 材料
就会发生脆断破坏 。
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第二节 四个强度理论及相当应力
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强度条件,? ?? ? ? ?
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的极限值同样可通过任意一种使试样发生脆断的
实验来确定 。 对于在单轴拉伸试验时试样沿横截
面发生脆断破坏的材料, 就可以用单轴拉伸试样
在拉断时的轴向线应变作为材料的 。 根据虎
克定律得正应力值, 再除以安全系数便得到许
用应力值
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注意：构件直到发生脆断前都应服从胡克定律
第二节 四个强度理论及相当应力
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３．最大剪应力理论
根据,当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就
会沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。
假说,最大剪应力 是引起材料屈服的因素，也就是
认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一点
处的最大剪应力 达到材料屈服时的极限值,
材料就会发生屈服。
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第二节 四个强度理论及相当应力
三．第二类强度理论
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强度条件：
? ? ? ?????? 31
的确定,材料的屈服极限 除以安全系数即可 。? ??
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第一节 四个强度理论及相当应力
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４．形状改变比能理论
根据：只要构件一点处的形状改变比能达到其形状改变
比能极限值，该点处的材料就屈服。
假说：形状改变比能 是引起材料屈服的因素，也就是
认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一
内的形状改变比能 达到了材料的极限值,
该点处的材料就会屈服。
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第二节 四个强度理论及相当应力
2001.07 东南大学远程教育
强度条件, ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
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第二节 四个强度理论及相当应力
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材 料 力 学
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主讲教师：马军
2001.07 东南大学远程教育
按照四个强度理论所建立的强度条件可统一写作,
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式中的 是根据不同强度理论所得到的构件危
险点处三个主应力的某些组合，称之为相当应力。
第二节 四个强度理论及相当应力
2001.07 东南大学远程教育
强度理论的分类及名 称 相当应力表达式
第一类强度理论
(脆断破坏理论 )
第一强度理论 —
最大拉应力理论
第二强度理论 —
最大伸长线应变理
论
第二类强度理论
(屈服失效理论 )
第三强度理论 —
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第四强度理论 —
形状改变比能理论
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第二节 四个强度理论及相当应力
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不同的材料固然可能产生不同形式的破坏；但就是同
一种材料，当应力状态、温度及变形速度不同时，破坏形
式也可能不同。
一、在三轴拉伸应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材
料都会发生脆性断裂，宜采用最大拉应力理论。并且
强度理论公式右边的 就不能取材料单轴拉伸的许
用应力，而应取材料发生脆断时的最大主应力 除
以安全系数。
二、对于铸铁类脆性材料，在双向均拉时，宜采用最大
拉应力理论或最大伸长线应变理论。
运用强度理论的几点说明
第三节 四个强度理论适用范围及应用
1?
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三、对于低碳钢类塑材，除三向拉伸外，均属屈服失效破
坏。宜用形状改变比能理论（运用较多）和最大剪应力
理论。其中最大剪应力理论计算结果偏于安全。
四、在三轴压缩应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材
料，通常都会发生屈服失效，故一般采用形状改变比
能理论。
总之，采用何种强度理论要根据材料，应力，工程经验而定。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
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应 用,
1） 常用公式：
第一强度理论相当应力
第二强度理论相当应力
第三强度理论相当应力
第四强度理论相当应力
第三节 四个强度理论适用范围及应用
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对于下面平面应力状态，第三和第四强度理论进行强度校核，
其相当应力分别为：
第三强度理论相当应力
第四强度理论相当应力
第三节 四个强度理论适用范围及应用
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22
4
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2）解题方法
a,对于处于复杂应力状态下的构件进行强度校核时，首先
对构件危险点进行应力分析，求出其主应力，根据杆件材料的
种类以及所处的应力状态等因素，选用合适的强度理论，再用
相应的强度条件进行校核。
b,当构件的载荷比较复杂时，可利用叠加原理，分别计算
各载荷引起的应力，然后叠加为总应力。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
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3）题解
例题 1 试根据如图所示单向受拉和纯剪应力状态，探讨纯
剪应力状态下的许用剪应力 与单轴拉伸的许用拉应力
之间的关系。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ?????
?
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?? ?11?
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3?
3?
1?
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按第四强度理论
即：
按第三强度理论
故纯剪应力状态下的许用剪应力 与单轴拉伸时的许用拉应
力 间的关系为
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ? ? ? ? ?? ? ?
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在, 钢结构设计规范, 中规定 。
同理对铸铁等脆性材料，采用第一、第二强度理论，可得材料
的许用剪应力 与许用拉应力 间的关系为
第三节 四个强度理论适用范围及应用
??? ? ??
? ? ? ??? 5.0?
? ? ? ?? ??? 0.1~8.0?
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例题 2 图示各单元体，分别按第三强度和第四强度理论求
相当应力。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
MP a120
MP a120
MP a140
MP a110
MP a140
MPa70
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)(a )(b )(c
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解 ( a ):
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ? ? ? ? ? M P a
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1 2 021
1 2 0
01 2 01 2 01 2 01 2 00 2224
313
??????? ???
???
??????
???
M P a120,0 321 ???? ???
( b ):
? ? ? ? ? ? M P a
M P a
r
r
1 2 821
1 4 0
1 4 01 1 030 2224
313
??????? ???
???
??
???
0,1 1 0,1 4 0 321 ??? ??? M P aM P a
2001.07 东南大学远程教育
第三节 四个强度理论适用范围及应用
( c ):
? ? ? ? ? ? M P a
M P a
r
r
1 9 5
2
1
2 2 0
2 2 0701 5 0 2224
313
??????? ???
???
??
???
M P aM P aM P a 140,70,80 321 ????? ???
2001.07 东南大学远程教育
例题 3 图示简支工字钢梁，材料许用应力为
。试按强度选择工字钢型号。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ? M P a100??
? ? M P a1 7 0??
66.142.0 42.0
B
KN200KN200 DCA
图Q
图M
KN200
KN200?
MKN ?84
?max
?max
?
?
?
?
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解,1）绘制 Q,M图，选择危险截面 C,D
2）按第一强度理论初步选定截面型号：
由
得
选用 28a号工字钢,W=508
3）按其它强度理论进行校核：
I）第三强度理论：
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ?
? ? 1010
10 6
6
3
m a x
m a x
m a x
494
170
84 ?
??
?
?
??
??
?
??
M
M
W
W
cm3
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I）第三强度理论：
满足。
II）腹板与翼缘交界处的强度校核：
正应力
剪应力
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ??? ??
?
? M P a
d
S
I
Q
5.95m a x
m a x
M P a
Id
S
M P a
I
y
Q
M
8.73
1.149
m a x
m a x
??
??
?
?
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求得 分别为,179.5,0,-68.0 Mpa。
按第三强度理论：
按第四强度理论：
均远大于许用应力。应加大截面选 28b号工字钢。仿造上述方
法计算后可知，满足强度要求。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
??? 321,,
M P a
M P a
8.2 0 94
4.1 9 63
22
22
???
???
??
??
?
?
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例题 4 图示承受内压两端开口的简支圆管，材料许用应力
为 。管道外径 D=1m，壁厚 t=30mm,内压
p=4MPa,线分布自重 q=60KN/m。试按第三强度理论进行强
度校核。
第三节 四个强度理论适用范围及应用
? ? M P a1 0 0??
66.142.0
p
M0
KN200
KN200
DC M0
图Q
图M
KN200 q
MKN ?84
12000?
max
?
?
?
?
M0M0
