电工基础
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第九章
双口网络和多端元件
第九章 双口网络和多端元件
? 9.1 双口网络及其端口条件
? 9.2 双口网络的 Z参数和 Y参数
? 9.3 双口网络的 A参数和 H参数
? 9.4 双口网络的转移函数
? 9.5 双口网络的特性阻抗
? 9.6 双口网络的等效电路
? 9.7 双口网络的连接
? 9.8 运算放大器和回转器
9.1 双口网络及其端口条件
在许多场合，人们对网络内部的情况并不感兴
趣，而只关心其端子上所发生的情况．例如，所学
过的含源二端网络就是把一个复杂的电路用一个方
框括起来，只伸出一对端子．
有电流从其中一个端子流入，经过网络又从另
一个端子流出，两个端子间有一个电压．这样的一
对端子称为一个 端口,
只有一对端子即一个端口的网络称为 单口网络
或一端口网络,如图 9-1 所示．
单口网络只有一个端口电压和一个端口电流。
不含独立电源的线性电阻单口网络,其端口特性
的 u-i 关系,
u=Roi 或 i =Gou
图 9－ 1 单口网络
如果一个网络有两个端口，通常一个是 输入端
口 —— 供给激励，另一个是 输出端口 —— 产生响应,
研究响应与激励之间的关系，可以将两个端口之间
用一个方框括起来，伸出四个端点．如图 9-2所示,这
样的网络称为 双口网络,
图 9－ 2 双口网络
端口条件：由一个端子流入的电流必须
等于从另一个端子流出的电流．
双口网络对外有四个端子，因此称为四端网
络．对外有四个端子的网络不一定是双口网络．双
口网络每一个端口上由一个端子流入的电流必须等
于从另一个端子流出的电流，只有满足这样的条件
的两个端子才能构成一个端口．
图 9－ 2 双口网络
双口网络的端口特性可用联系 u1,u2 和 i1,i2关
系的两个方程来描述，共有六种不同组合的表达形
式。本章 介绍它的四种表达式。
本章只讨论不含独立电源的线性双口网络．可
以用相量法进行分析，也可以用运算法分析．在用
运算法分析时，只讨论 uC 和 iL 初始值为零的情况．
9.2 双口网络的 Y 参数和 Z 参数
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
ì
2
(a)
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
2
ì
1
ì
2
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
(b) (c)
图 9－ 3 网络导纳参数的测定
用相量法分析图 9-3(a)所示的双口网络．
一,Y 参数
为研究端口电流、电压关系，假设两个端口上
分别接有独立电压源 ù1和 ù2，由于线性网络内不
含独立电源,根据叠加原理，有
)19(
2221212
2121111 ?
?
?
?
??
??
UYUYI
UYUYI
???
???
其中,Y11,Y12,Y21,Y22称为 Y 参数,
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
2
1
2221
1211
2
1
U
U
YY
YY
I
I
?
?
?
?
或
??
?
??
??
2221
1211
YY
YYY
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
ì
2
(1) Y 参数只与网络内部结构和元件参数有关 ;
(2) Y 参数具有导纳性质．
Y参数方程
Y参数矩阵
Y 参数的计算方法,
01
2
21
01
1
11
22
,
??
??
UU U
IY
U
IY
??
?
?
?
?
当 ù1= 0,即 1-1′短路 时
02
2
22
02
1
12
11
,
??
??
UU U
IY
U
IY
??
?
?
?
?
因此,Y 参数又称为短路导纳参数,
当 ù2= 0，即 2-2′短路 时
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
ì
2
(a)
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
(b)
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
2
ì
1
ì
2
(c)
)19(
2221212
2121111 ?
?
?
?
??
??
UYUYI
UYUYI
???
???
由线性电阻,电感,电容组成的网络是 互易网络,
根据互易定理，可以得到
2112 YY ?
如果一个双口网络除 Y12=Y21，还有 Y11=Y22，
此双口网络是 对称的双口网络,对称双口网络的
特性是，从对称双口网络的任一端口看网络，网
络的电气性能是一样的．
二,Z 参数
对于图所示电路，用式
(9-1) 的 Y参数方程描述，也可
以用 Z参数方程描述．
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
ì
2
)29(
2221212
2121111 ?
?
?
?
??
??
IZIZU
IZIZU
???
???
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
2
1
2221
1211
2
1
I
I
ZZ
ZZ
U
U
?
?
?
?或
??
?
??
??
2221
1211
ZZ
ZZZ
其中 称为 Z参数矩阵,
矩阵中的每个参数都是 Z参数,
Z参数方程
Z参数的计算可以采用与 Y参数相类似的方法,
01
2
21
01
1
11
22
,
??
??
II I
UZ
I
UZ
??
?
?
?
?
当 ì1= 0,即 1-1′开路时
02
2
22
02
1
12
11
,
??
??
II I
UZ
I
UZ
??
?
?
?
?
Z参数具有阻抗性质,Z参数又称为 开路阻抗参数,
当 ì2= 0,即 2-2'开路时
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
ì
2
)29(
2221212
2121111 ?
?
?
?
??
??
IZIZU
IZIZU
???
???
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
ì
2
= 0
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
= 0
ù
2
ì
2
Z参数与 Y参数的关系,
UYI ?? ?
IZU ?? ?
1?? YZ
由此可知，若已知 Y参数，可以通过 Y参数方程
变换，推导出 Z参数方程，求出 Z参数；若已知 Z参
数，可以通过 Z参数方程变换，推导出 Y参数方程，
求出 Y参数,
可知,Z参数矩阵与 Y参数矩阵互逆,即
Z参数方程,
Y参数方程,
1?? ZY或
例如,由 Y参数方程求 Z参数方程,
2
12
1
22
2221
1211
222
121
1 I
Y
I
Y
YY
YY
YI
YI
U
YY
??
?
?
?
?
?
?
??
)(
UYUYI
UYUYI
19
2221212
2121111 ?
??
?
?
?
??
??
???
???
得到
2
11
1
21
2221
1211
221
111
1 I
Y
I
Y
YY
YY
IY
IY
U
YY
??
?
?
?
?
?
?
???
其中，
21122211
2221
1211 YYYY
YY
YY
Y ????
Z11 Z12
Z21 Z22
即
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
YY
YY
Y
Z
Y
Z
Y
Z
Y
Z
11
22
21
21
12
12
22
11
对于由线性电阻,电感,电容组成 互易网络,有
2112 ZZ ?
对于对称网络，有
22112112 ZZZZ ?? 和
例 9-1 求图 9-4(a)所示双口网络的 Y参数．
ù
1
ù
2
ì
1
ì
2
C
1
C
2
L
1
R
(a)
ù
1
ì
1
ì
2
C
1
C
2
L
1
R
(b)
图 9－４ 例 9-1图
解, 方法一,将图 (a)输出端短路，得到图 (b)，有
1
1
11 j
1j U
L
CI ?? ??
?
?
???
? ??
?
? ??
?
?
???
?
???
? 1
1
01
1
11 j
1j
2
L
C
U
IY
U ?
?
?
?
?
1
1
2 j
1 U
LI
??
???
101
2
21 j
1
2
LU
IY
U ?
???
??
?
?
同样，将图 (a)输入端短路，得到图 (c),
ù
2
ì
1
ì
2
C
1
C
2
L
1
R
(c)
根据图 (c)有
2
1
1 j
1 U
L
I ??
?
??
102
1
12 j
1
1
LU
I
Y
U
?
???
??
?
?
2
1
22 j
1j1 U
L
C
R
I ?? ??
?
?
???
?
???
?
?
???
?
???
?
????
? 1
2
02
2
22 j
1j1
1
L
C
RU
IY
U ?
?
?
?
?
ù
1
ù
2
ì
1
ì
2
C
1
C
2
L
1
R
(a)
方法二,根据 KCL，由图 (a)入口电流和出口电流
分别为
? ?21
1
111 j
1j UU
LUCI
???? ???
??
ù
1
ù
2
ì
1
ì
2
C
1
C
2
L
1
R
(a)
2
1
21
1
2 j
1j1
j
1 U
L
C
R
U
L
I ??? ??
?
?
???
? ?????
?
?
?
可得 Y参数,
1
111 j
1j
LCY ?? ?? 112 j
1
LY ???
1
21 j
1
LY ???
1
222 j
1j1
LCRY ?? ???
例 9-2 求图 9-5所示双口的 Z 参数矩阵 。
01
1
11
2 ?
?
ii
uZ
图 9-5 例 9-2图
解,
01
2
21
2 ?
?
ii
uZ
Z 参数为开路阻抗参数,
???? 3)42(21
???
?
??
?
? ???? 12
2
14
2
1
02
1
12
1 ?
?
ii
uZ
得到 Z参数矩阵为
??
?
?
??
??
31
13
Z
????? 3)42(21
????
?
??
?
? ???? 12
2
14
2
1
02
2
22
1 ?
?
ii
uZ
9.3 双口网络的 A 参数和 H 参数
一,A 参数
在许多工程问题中，往往希望找到一个端口的
电压、电流与另一个端口的电压、电流之间直接的
关系．例如，传输线一端的电压和电流与另一端电
压和电流之间的关系．对于双口网络来说，就是将
ù1 和 ì1 作为因变量，以 ù2 和 ì2 作为自变量，或者
反之．这类问题用 Y 参数和 Z 参数都不方便，而用
A 参数来处理要容易得多．
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
ì
2
注意,方程 (9-4)右边第二项前是,-”号．我们
可以这样考虑，将, -”号与, ì2”放在一起，看成
一个整体, -ì2”，表示流出 2端子的电流。
双口网络 A参数方程 形式
)(IAUAI IAUAU 49
2222211
2122111 ?
?
?
?
??
??
???
???
?
?
?
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
?
?
?
2
2
2121
1211
1
1
I
U
AA
AA
I
U
?
?
?
?或写为
-ì2
A参数又称为 传输参数,
由 A参数方程可以得到
02
1
12
02
1
11
22 ??
?
??
UI I
UA
U
UA
??
?
?
?
?
02
1
22
02
1
21
22 ??
?
??
UI I
IA
U
IA
??
?
?
?
?
可见,A11是输入和输出的电压比； A12是转移阻
抗； A21是转移导纳,A22是输入与输出的电流比．在
这种意义上,A参数也称为一般参数．
对于互易网络有, 121122211 ???? AAAAA
对于对称网络有,
和,
121122211 ???? AAAAA
2211 AA ?
二,Ｈ 参数
H参数方程
)(UHIHI UHIHU 59
2221212
2121111 ?
?
?
?
??
??
???
???
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
2
1
2121
1211
2
1
U
I
HH
HH
I
U
?
?
?
?或写为
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
ì
2
H参数的意义可用下式说明
02
1
12
01
1
11
12 ??
??
IU U
UH
I
UH
?? ?
?
?
?
02
2
22
01
2
21
12 ??
??
IU U
IH
I
IH
?? ?
?
?
?
对于互易网络有,
2112 HH ??
对于对称网络有,
2112 HH ??
121122211 ???? HHHHH
例 9-3 求图 9-6所示双口网络的 A参数和 H参数,
图 9－ 6 例 9-3图
2 Ω 5 Ω
4 Ω
ù
2
ù
1
ù
0, 2 5 ù
1 2
2 '
1 '
图 9－ 6 例 9-3图
2 Ω 5 Ω
4 Ω
ù
2
ù
1
ù
0, 2 5 ù
1 2
2 '
1 '
⒈首先计算 A参数,按图
(b)选取 3个独立回路,
?
?
?
?????
?????
221
121
25.05)45(4
25.024)42(
UUII
UUII
????
????
解,
ì1 ì2
0.25ù
又 )(4
21 IIU ??? ??
代入方程组,有
?
?
?
??
??
221
121
149
24
UII
UII
???
???
Z参数方程
所以 A参数方程为,
?
?
?
?
?
??
??
221
221
9
14
9
1
9
38
9
4
IUI
IUU
???
???
⒉ 由 A参数计算 H参数．
?
?
?
?
?
??
??
221
221
9
14
9
1
9
38
9
4
IUI
IUU
???
???
A参数方程
将 A参数方程的第 2式变为
212 14
1
14
9 UII ??? ???
将其代入第 1式中，得
211 7
1
7
19 UIU ??? ??
?
?
?
?
?
???
??
212
211
14
1
14
9
7
1
7
19
UII
UIU
???
???
H参数方程为
用 Z参数表示 用 Y参数表示 用 H参数表示 用 A参数表示
Z参数
Y参数
H参数
A参数
互易双
口网络
对称双
口网络
2221
1211
ZZ
ZZ
2221
1211
YY
YY
2221
1211
HH
HH
2221
1211
AA
AA
YY
YY
YY
YY
???
???
1121
1222
zZ
ZZ
ZZ
ZZ
???
???
1121
1222
2222
21
22
12
22
1
HH
H
H
H
H
H
?
?
2222
21
22
12
22
1
ZZ
Z
Z
Z
Z
Z
?
?
21
22
21
2121
11
1
A
A
A
AA
A A?
21
22
21
2121
11
1
Z
Z
Z
ZZ
Z Z?
1111
21
11
12
11
1
HH
H
H
H
H
H?
?
1111
21
11
12
11
1
YY
Y
Y
Y
Y
Y?
?
12
11
12
1212
22
1
A
A
A
AA
A A
?
??
22
21
22
2222
12
1
A
A
A
AA
A A
?
?
21
11
21
2121
22 1
Y
Y
Y
YY
Y
Y ???
??
2121
22
21
11
21
1
HH
H
H
H
H
H
??
???
2112 ZZ ? 2112 YY ? 2112 HH ?? 1??A
2112 ZZ ?
2211 ZZ ?
2112 YY ?
2211 YY ?
2112 HH ??
1??H
1??A
2211 AA ?
双 口 网 络 的 参 数 变 换
9.4 双口网络的转移函数
如果用运算法分析双口网络，则双口网络的
参数是复频率 s 的函数．双口网络的转移函数或
传递函数，就是用拉普拉斯变换形式表示的输出
电压或电流与输入电压或电流之比．
下面以输入端口和输出端口不同状态下的电
压转移比为例进行说明．
一、开路电压比
图 9-7 输出端开路的双口网络
研究输出端开路，输入端接 电压源 ù1时的电压
转移比．
双口网络的 Z参数方程：
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sIsZsIsZsU
sIsZsIsZsU
当 ì2=0 时,
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
I
1
( s ) I
2
( s ) = 0
U
1
( s )
U
2
( s )
?
?
?
?
?
)()()(
)()()(
1212
1111
sIsZsU
sIsZsU
?
?
?
?
?
)()()(
)()()(
1212
1111
sIsZsU
sIsZsU
于是，有电压转移比
)(
)(
)(
)(
11
21
1
2
sZ
sZ
sU
sU ?
还可以用其它参数来描述电压转移比，例
如用 Y参数来描述,
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sUsYsUsYsI
sUsYsUsYsI
当 ì2=0 时，由第 2式有
)(
)(
)(
)(
22
21
1
2
sY
sY
sU
sU ??
二、输出端接负载时的电压转移比
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
I
1
( s ) I
2
( s )
U
1
( s )
U
2
( s )
R
2
图 9-8 输出端接负载的双口网络
研究输出端接负载 R2，输入端接 电压源 ù1时的
电压转移比．
双口网络的 Y参数
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sUsYsUsYsI
sUsYsUsYsI
2
2
2
)()(
R
sUsI ??又 代入 第 2 式有
)()()()()()( 222121
2
2
2 sUsYsUsYR
sUsI ????
将上式整理为电压转移比的形式为
)(
1
)(
)(
)(
22
2
21
1
2
sY
R
sY
sU
sU
?
??
如果用 Z参数描述，则
)(
)(
)(
)(
11
2
21
1
2
sZ
R
sZ
sU
sU
Z ??
?
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sIsZsIsZsU
sIsZsIsZsU
三、输入端接含内阻的电源、输出端接负载时的
电压转移比
研究输出端接负载 R2，输入端接含内阻 R1
的 电压源 ùS 情况下的电压转移比,双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
I
1
( s ) I
2
( s )
U
S
( s )
U
2
( s )
R
2
R
1
U
1
( s )
图 9-9 双口网络
双口网络的 Z参数方程,
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sIsZsIsZsU
sIsZsIsZsU
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
I
1
( s ) I
2
( s )
U
S
( s )
U
2
( s )
R
2
R
1
U
1
( s )
输入和输出端口的约束条件为,)()()(
11S1 sIRsUsU ???
联立求解上面四个式子组成的方程组，可得
电压转移比为：
)69())(( )()( )(
2112222111
221
S
2 ?
???? ZZZRZR
RsZ
sU
sU
)()( 222 sIRsU ???
例 9-4 图示双口网络的开路
阻抗参数为
输入端口接内阻为 RS=1Ω 的
电压源，输出端口接电阻
RL=10Ω.
?????? ?
??
4
6
ss
ss)s(Z
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
i
1
i
2
u
S
u
2
u
1
1 Ω
1 0 Ω
图 9-10 例 9-4图
)(
)(
S
2
sU
sU(1) 计算转移电压比 ;
(2) 若 uS(t)= 10 e -2t1(t) V,试计算 u2(t) ;
(3) 若 uS(t)= 10 sin2t V,试计算 u2(t) 的正弦稳态
响应,
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
i
1
i
2
u
S
u
2
u
1
1 Ω
1 0 Ω
⑴ 双口网络的 Z参数方程为
?
?
?
???
???
)()4()()(
)()()6()(
212
211
sIsssIsU
ssIsIssU
将端口电流和电压的约束条件
L
2
2
S
1S
1
)(
)(
)()(
)(
R
sU
sI
R
sUsU
sI
??
?
?
解,
联立求解,得
? ?? ?
9821
10
)4(10)6(1
10
))((
)(
)(
)(
2
2112222111
221
S
2
?
?
?????
?
???
?
s
s
sss
s
ZZZRZR
RsZ
sU
sU
2
10
9821
10)(
2 ???? ss
ssU
取拉普拉斯变换反变换，得
V)(1)325725()( 3
14
2
2 teetu
tt ??
???
2
10)(
S ?? ssU
(2) 若 uS(t)= 10 e -2t1(t) V,则
9821
10
)(
)(
S
2
?? s
s
sU
sU由
则
3
14
3
25
2
7
25
?
?
?
?
?
s
s
⑶若 uS(t)=10sin2t V电压源的电动势的角频率
ω=2，相量形式 为,将 Z参数矩阵及电
压转移比中的 s 换为 jω，得
V025 oS ??U?
??
?
??
?
?
??
2j42j
2j2j6
由此得出
o
S
2 80.661876.0
982j21
2j10 ??
??
??
U
U
?
?
ooo
2 80.662
8 7 6.102580.661 8 7 6.0 ??????U ?
于是正弦稳态响应为：
V)80.662(s i n8 7 6.1)( o2 ?? ttu
9821
10
)(
)(
S
2
?? s
s
sU
sU
??
?
??
?
?
??
ss
ssZ
4
6
9.5 双口网络的特性阻抗
一、双口网络的输入阻抗和输出阻抗
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
L
Z
i n
图 9-11 双口网络的输入阻抗
输入阻抗,双口网络的 2-2'端
接负载 ZL,则由 1-1'端口向右看
的等效阻抗,称为 输入阻抗,
由双口网络 A参数方程
??
?
?
?
??
??
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
???
???
2L2 IZU ?? ???
和
得
1
1
in I
UZ
?
?
?
222221
212211
IAUA
IAUA
??
??
?
??
22L21
12L11
AZA
AZA
?
??
)79(
22L21
12L11
in ??
??
AZA
AZAZ即
上式表明，输入阻抗不仅与网络有关，而且与负载
有关．对同一个负载，经过不同的网络得到的输入
阻抗不同，也就是说，双口网络具有阻抗变换作用,
输出阻抗,双口网络的 1-1‘端接有源激励 US 和 RS,
则由 2-2’端口向左看去的等效阻抗,称为 输出阻抗,
图 9-12 双口网络的输出阻抗
2
2 '
Z
o u t
ù
o c
(b)(a)
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S
(c)
Z
o u t
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
由双口网络 A参数方程
??
?
?
?
??
??
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
???
???
1S1 IZU ?? ???
和
??
?
?
?
??
??
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
???
???
和
得
11S21
12S22
AZA
AZA
?
??
2
2 '
Z
o u t
ù
o c
(a) (c)(b)
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S
Z
o u t
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
2
2
o u t I
UZ
?
?
?
)89(
11S21
12S22
o u t ??
??
AZA
AZAZ即
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
1
)(
1
1111212
1121222
IAUAI
IAUAU
A
A
???
???
1S1 IZU ?? ???
如果 ZS=Zin，称为 输入端匹配 ；
二、双口网络的特性阻抗
如果 Zout=ZL，称为 输出端匹配 ；
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S Z
L
图 9-13 具有端接的双口网络
对于一个双口网络，可以找到特定的 ZC1 和 ZC2,
使得在 ZC1=ZS,且 ZL=ZC2 的情况下做到 完全匹配,
则 ZC1 和 ZC2 称为这个双口网络的 特性阻抗,
?
称为 完全匹配,
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S Z
L
由双口网络完全匹配
和特性阻抗的定义，可知
o u tC2LinC1S ZZZZZZ ????
根据 Zin 和 Zout 的表达式,有
)99(
222C21
122C11
1C ??
??
AZA
AZAZ
)109(
111C21
121C22
2C ??
??
AZA
AZAZ
联立求解,得
)119(
1121
1222
2C
2221
1211
1C ??? AA
AAZ
AA
AAZ
特性阻抗与 A参数的关系,
(1) 双口网络 对称 时，由于 A11=A22，则
)129(
21
12
C2C1C ???? A
AZZZ
(2) 双口网络对称时，如果终端接 ZL=ZC，则输入
阻抗 Zin 恰好等于 ZL，因此，对称双口网络的特性
阻抗又称为 重复阻抗,
特例,
)119(
1121
1222
2C
2221
1211
1C ??? AA
AAZ
AA
AAZ
)79(
22L21
12L11
in ??
??
AZA
AZAZ
(2) 用开路阻抗和短路阻抗来表示特性阻抗．
特性阻抗的求解,
(1) 用 A参数求。
1121
1222
2C
2221
1211
1C AA
AAZ
AA
AAZ ??
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S Z
L
终端开路时 ZL→ ∞,
21
11
A
A?
22L21
12L11
io AZA
AZAZ
?
??
终端短路时 ZL→ 0，
22
12
A
A?
22L21
12L11
is AZA
AZAZ
?
??
于是
isioC1 ZZZ ?
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S Z
L
同理,ZS→∞ 时，
21
22
A
A?
ZS→ 0时，
11
12
A
A?
于是
osooC2 ZZZ ?
11S21
12S22
oo AZA
AZAZ
?
??
11S21
12S22
os AZA
AZAZ
?
??
结论, 特性阻抗可以分别用终端开路和短路、始
端开路和短路时的输入和输出阻抗来求。
例 9-5 求图所示双口网络的特性阻抗 ZC1和
ZC2．
1
1 ' 2 '
2
1 0 Ω
3 0 Ω
图 9-14 例 9-5图
解 将 2-2‘端口开路和短路,分别有
?ioZ
?isZ
将 1-1‘端口开路和短路,分别有
?ooZ
?osZ
所以
isioC1 ZZZ ?
osooC2 ZZZ ?
1040 ?? ?? 20
5.730 ?? ??15
??? 403010
?10
3010
3010
?
? ?? 5.7
?30
三、固有传播常数
用于表明双口网络在匹配条件下的传输特性,
)(-
ln
22
11
IU
IUγ
??
??
?
22
11ln
2
1
IU
IUβ ?
一般说来，固有传播常数 是复数，它可以表
示为, 若 ù2落后于 ù1的相位为,(-ì2)落
后于 ì1的相位为,则
γ
??? jβγ uφ
iφ
)(21 iu φφα ??
衰减常数
相移常数
表示匹配下信
号视在功率减
少的程度
电压和电流相
移的平均值
)(-
ln
2
1
22
11
IU
IU
??
??
?
dBlg10
22
11
IU
IUβ ?
衰减常数 β的单位为奈培 (Np)，实用中常用分贝
(dB)来表示，即
于是，
对于对称双口网络，由于
,
2
1
2
1
I
I
U
U ?
相移常数 α 的单位为弧度．
Npln21
22
11
IU
IUβ ?
1 Np = 8.686 dB,1 dB = 0.115 Np
iu φφ ?
所以，
2
1ln
U
U?
iu φφα ??
或
dBlg20lg20
2
1
2
1
I
I
U
Uβ ??
22
11ln
2
1
IU
IUβ ?
Npln
2
1
I
I?
例 9-6 试求图 9-15所示电路的特性阻抗和传播常数,
4 0 0 Ω
4 0 0 Ω
6 0 0 Ω
1
1 '
2
2 '
图 9-15 例 9-6图
(1)图示电路为对称双口网络，有
?ioZ
?isZ
所以
isioC ZZZ ?
解,
??? 1 0 0 06 0 04 0 0
6 0 04 0 0
6 0 04 0 04 0 0
?
?? ?? 640
???? 8006401000
4 0 0 Ω
4 0 0 Ω
6 0 0 Ω
1
1 '
2
2 '
(2) 固有传播常数是在匹配条件下的参数，因此,
在 2-2‘端接负载 ZL= 800Ω，见图：
4 0 0 Ω 4 0 0 Ω
6 0 0 Ω
1
1 '
2
2 '
8 0 0 Ωù
2
ù
1
ì
1
ì
2
ì
1
+ ì
2
211 600)600400( IIU ??? ???
又
,8001 1
L
1
1 UZ
UI ??? ??
2
L
2
2 800
1 U
Z
UI ??? ????
所以
211 4
3
4
5 UUU ??? ?? o
2
1 03??
U
U
?
?
衰减常数
2
1ln
U
Uβ ?
相移常数 0
21 ??? uu φφα
传播常数 0j0991j ????,γ ??
o
2
1 03??
U
U
?
?
3ln? Np1,099?
9.6 双口网络的等效电路
对于一个给定的双口网络，如果找到一个简单
的双口网络与它的参数相同，它们的外部特性也相
同，就说这两个双口网络是 等效 的．
一个互易的双口网络，可以用一个由三个无源
元件组成的简单双口网络与其等效．可以是 Ｔ形,
也可以是 π形,
本节只讨论互易双口网络的等效电路,
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
Z
1
Z
3
Z
2
1
1 '
2
2 '
Y
b
Y
c
Y
a
1
1 '
2
2 '
图 9-16 双口网络及其等效电路
T形
等效电
路
π形
等效电
路
因此，若已知双口网络的 Z参数，可以求出该双口
网络对应的Ｔ形等效电路．
一、Ｔ形等效电路与 Z参数
Z
1
Z
3
Z
2
1
1 '
2
2 '
Ｔ形等效电路的参数可以
用Ｚ参数求出．
T型等效电路的 Z参数为,
Z11=
Z1 = Z3对于对称双口网络，有
Z1=Z11-Z12
Z22=Z12=Z21Z1+Z2 =Z2 Z2+Z3
Z1 Z3
Z2
=Z11-Z12 =Z22-Z12
=Z12
Z3=Z22-Z12
Z2=Z12=Z21
二,π形等效电路与 Y参数
π形等效电路的参数可以
用 Y参数求出．
π型等效电路的 Y参数为：
Y11=
因此，若已知双口网络的 Y参数，可以求出该双口
网络对应的 π形等效电路．
Ya = Yc对于对称双口网络，有
Yc=Y22+Y12
Y
b
Y
c
Y
a
1
1'
2
2'
Y22=Y12=Y21Ya+Yb = -Yb Yb+Yc
Ya=Y11+Z12
Yb= -Y12= -Y21
Yb=-Y12
YaY11+Y12= Yc =Y22+Y12
从前面的分析可以看出,
(1) 若已知双口网络的 Y 参数，用 π形电路来等
效最直接；
(2) 若已知双口网络的 Z 参数，用Ｔ形电路等
效最直接；
(3) 若已知双口网络的其他参数，求双口网络
的等效电路，则可以先把这些参数转换为 Z 参数或
Y 参数，再画出其对应的Ｔ形或 π形等效电路．
1
1 '
2
2 '
1 2 Ω
6 Ω2 Ω
1 8 Ω3 Ω3 0 Ω
例 9-7 试求图 9-17所示双口网络的Ｔ形等效电路
和 π形等效电路,
图 9-17 例 9-7图
先计算出双口网络的 Z参数和 Y参数，再求出
双口网络的Ｔ形和 π形等效电路．
解,
1
1 '
2
2 '
1 2 Ω
6 Ω2 Ω
1 8 Ω
3 Ω
3 0 Ω
ù
1
ù
2
ù
3
ì
1
ì
2
重画电路如上图所示．取 1′端子为参考点，列节
点电位方程为：
06131216121 321 ??
?
??
?
? ????? UUU ?????
?
?
?
1321 2
1
12
1
12
1
2
1
30
1 IUUU ???? ????
?
??
?
? ??
2321 6
1
18
1
6
1
12
1
12
1 IUUU ???? ???
?
??
?
? ????
① ②③
213 6
1
2
1 UUU ??? ??
?
?
?
?
?
???
??
212
211
18
5
6
1
6
1
30
11
UUI
UUI
???
???
S
18
5
6
1
6
1
30
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?Y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
???
?
?
?
?
?
????
????
?
?
?
?
?
??
0
6
1
3
1
2
1
6
1
2
1
6
1
18
1
6
1
12
1
12
1
2
1
12
1
12
1
2
1
30
1
321
2321
1321
UUU
IUUU
IUUU
???
????
????
由第 3式,有
代入第 1,2式，得
1211a YYY ??
12b YY ??
1222c YYY ??
所以,π型等效电路及其参数为：
S
18
5
6
1
6
1
30
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?Y
S51?
S61?
S91?
6Ω
5Ω 9ΩYaY11+Y12= Yc =Y22+Y12
Yb=-Y12
由 Y参数求 Z参数,
1?? YZ
27
2
36
1
1 0 8
11
18
5
6
1
6
1
30
11
???
?
?
?? Y
其中
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30
11
6
1
6
1
18
5
Z
S
18
5
6
1
6
1
30
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?Y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30
11
6
1
6
1
18
5
1
Y
???????? 95.425.2 25.275.3
Z2=Z12
Z1 Z3=Z11-Z12 =Z22-Z12
??
?
?
??
??
954252
252753
..
..Z由 Z参数 可以求出Ｔ形等效
电路及其参数为：
12111 ZZZ ??
122 ZZ ?
12223 ZZZ ??
?? 5.1
?? 25.2
?? 7.2
2.25Ω
1.5Ω 2.7Ω
9.7 双口网络的连接
双口网络有多种不同的连接方式．如串联、并
联、级联、串并联和并串联等连接方式,见图 9-18
所示．
P
2
P
1
P
2
P
1
图 9-18 双口网络的连接
(a) (b)
串联
并联
P
2
P
1
P
2
P
1
P
1
P
2
图 9-18 双口网络的连接
(c)
(d) (e)
本节主要研究串联、关联和级联的连接方式，
即图 9-18(a),(b)和 (c)三种情况。
级联
串并联
并串联
一、串联
P
2
P
1
1U?? 2U??
1U?? 2U??
1U? 2U?
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三、级联
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例 求图示双口网络的 A参数。
解 将图示双口网络看成三个双口网络的级联。
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1
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第九章
双口网络和多端元件
第九章 双口网络和多端元件
? 9.1 双口网络及其端口条件
? 9.2 双口网络的 Z参数和 Y参数
? 9.3 双口网络的 A参数和 H参数
? 9.4 双口网络的转移函数
? 9.5 双口网络的特性阻抗
? 9.6 双口网络的等效电路
? 9.7 双口网络的连接
? 9.8 运算放大器和回转器
9.1 双口网络及其端口条件
在许多场合，人们对网络内部的情况并不感兴
趣，而只关心其端子上所发生的情况．例如，所学
过的含源二端网络就是把一个复杂的电路用一个方
框括起来，只伸出一对端子．
有电流从其中一个端子流入，经过网络又从另
一个端子流出，两个端子间有一个电压．这样的一
对端子称为一个 端口,
只有一对端子即一个端口的网络称为 单口网络
或一端口网络,如图 9-1 所示．
单口网络只有一个端口电压和一个端口电流。
不含独立电源的线性电阻单口网络,其端口特性
的 u-i 关系,
u=Roi 或 i =Gou
图 9－ 1 单口网络
如果一个网络有两个端口，通常一个是 输入端
口 —— 供给激励，另一个是 输出端口 —— 产生响应,
研究响应与激励之间的关系，可以将两个端口之间
用一个方框括起来，伸出四个端点．如图 9-2所示,这
样的网络称为 双口网络,
图 9－ 2 双口网络
端口条件：由一个端子流入的电流必须
等于从另一个端子流出的电流．
双口网络对外有四个端子，因此称为四端网
络．对外有四个端子的网络不一定是双口网络．双
口网络每一个端口上由一个端子流入的电流必须等
于从另一个端子流出的电流，只有满足这样的条件
的两个端子才能构成一个端口．
图 9－ 2 双口网络
双口网络的端口特性可用联系 u1,u2 和 i1,i2关
系的两个方程来描述，共有六种不同组合的表达形
式。本章 介绍它的四种表达式。
本章只讨论不含独立电源的线性双口网络．可
以用相量法进行分析，也可以用运算法分析．在用
运算法分析时，只讨论 uC 和 iL 初始值为零的情况．
9.2 双口网络的 Y 参数和 Z 参数
双 口
网 络
1
1 '
2
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1
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(a)
双 口
网 络
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双 口
网 络
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1
ì
2
(b) (c)
图 9－ 3 网络导纳参数的测定
用相量法分析图 9-3(a)所示的双口网络．
一,Y 参数
为研究端口电流、电压关系，假设两个端口上
分别接有独立电压源 ù1和 ù2，由于线性网络内不
含独立电源,根据叠加原理，有
)19(
2221212
2121111 ?
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UYUYI
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其中,Y11,Y12,Y21,Y22称为 Y 参数,
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网 络
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2
(1) Y 参数只与网络内部结构和元件参数有关 ;
(2) Y 参数具有导纳性质．
Y参数方程
Y参数矩阵
Y 参数的计算方法,
01
2
21
01
1
11
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U
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当 ù1= 0,即 1-1′短路 时
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02
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UU U
IY
U
IY
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?
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因此,Y 参数又称为短路导纳参数,
当 ù2= 0，即 2-2′短路 时
双 口
网 络
1
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1
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网 络
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网 络
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UYUYI
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???
由线性电阻,电感,电容组成的网络是 互易网络,
根据互易定理，可以得到
2112 YY ?
如果一个双口网络除 Y12=Y21，还有 Y11=Y22，
此双口网络是 对称的双口网络,对称双口网络的
特性是，从对称双口网络的任一端口看网络，网
络的电气性能是一样的．
二,Z 参数
对于图所示电路，用式
(9-1) 的 Y参数方程描述，也可
以用 Z参数方程描述．
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
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1
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1
ù
2
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2
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2221
1211
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其中 称为 Z参数矩阵,
矩阵中的每个参数都是 Z参数,
Z参数方程
Z参数的计算可以采用与 Y参数相类似的方法,
01
2
21
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1
11
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,
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12
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I
UZ
??
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?
?
?
Z参数具有阻抗性质,Z参数又称为 开路阻抗参数,
当 ì2= 0,即 2-2'开路时
双 口
网 络
1
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2 '
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2
Z参数与 Y参数的关系,
UYI ?? ?
IZU ?? ?
1?? YZ
由此可知，若已知 Y参数，可以通过 Y参数方程
变换，推导出 Z参数方程，求出 Z参数；若已知 Z参
数，可以通过 Z参数方程变换，推导出 Y参数方程，
求出 Y参数,
可知,Z参数矩阵与 Y参数矩阵互逆,即
Z参数方程,
Y参数方程,
1?? ZY或
例如,由 Y参数方程求 Z参数方程,
2
12
1
22
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I
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YY
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1
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Y
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IY
IY
U
YY
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其中，
21122211
2221
1211 YYYY
YY
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Z11 Z12
Z21 Z22
即
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Y
Z
Y
Z
Y
Z
Y
Z
11
22
21
21
12
12
22
11
对于由线性电阻,电感,电容组成 互易网络,有
2112 ZZ ?
对于对称网络，有
22112112 ZZZZ ?? 和
例 9-1 求图 9-4(a)所示双口网络的 Y参数．
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1
ù
2
ì
1
ì
2
C
1
C
2
L
1
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1
C
2
L
1
R
(b)
图 9－４ 例 9-1图
解, 方法一,将图 (a)输出端短路，得到图 (b)，有
1
1
11 j
1j U
L
CI ?? ??
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1 U
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101
2
21 j
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2
LU
IY
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???
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?
同样，将图 (a)输入端短路，得到图 (c),
ù
2
ì
1
ì
2
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1
C
2
L
1
R
(c)
根据图 (c)有
2
1
1 j
1 U
L
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102
1
12 j
1
1
LU
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1j1 U
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C
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I ?? ??
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1
ì
2
C
1
C
2
L
1
R
(a)
方法二,根据 KCL，由图 (a)入口电流和出口电流
分别为
? ?21
1
111 j
1j UU
LUCI
???? ???
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1
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2
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j
1 U
L
C
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U
L
I ??? ??
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???
? ?????
?
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可得 Y参数,
1
111 j
1j
LCY ?? ?? 112 j
1
LY ???
1
21 j
1
LY ???
1
222 j
1j1
LCRY ?? ???
例 9-2 求图 9-5所示双口的 Z 参数矩阵 。
01
1
11
2 ?
?
ii
uZ
图 9-5 例 9-2图
解,
01
2
21
2 ?
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ii
uZ
Z 参数为开路阻抗参数,
???? 3)42(21
???
?
??
?
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2
1
02
1
12
1 ?
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ii
uZ
得到 Z参数矩阵为
??
?
?
??
??
31
13
Z
????? 3)42(21
????
?
??
?
? ???? 12
2
14
2
1
02
2
22
1 ?
?
ii
uZ
9.3 双口网络的 A 参数和 H 参数
一,A 参数
在许多工程问题中，往往希望找到一个端口的
电压、电流与另一个端口的电压、电流之间直接的
关系．例如，传输线一端的电压和电流与另一端电
压和电流之间的关系．对于双口网络来说，就是将
ù1 和 ì1 作为因变量，以 ù2 和 ì2 作为自变量，或者
反之．这类问题用 Y 参数和 Z 参数都不方便，而用
A 参数来处理要容易得多．
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
ì
2
注意,方程 (9-4)右边第二项前是,-”号．我们
可以这样考虑，将, -”号与, ì2”放在一起，看成
一个整体, -ì2”，表示流出 2端子的电流。
双口网络 A参数方程 形式
)(IAUAI IAUAU 49
2222211
2122111 ?
?
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??
??
???
???
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??
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2
2
2121
1211
1
1
I
U
AA
AA
I
U
?
?
?
?或写为
-ì2
A参数又称为 传输参数,
由 A参数方程可以得到
02
1
12
02
1
11
22 ??
?
??
UI I
UA
U
UA
??
?
?
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?
02
1
22
02
1
21
22 ??
?
??
UI I
IA
U
IA
??
?
?
?
?
可见,A11是输入和输出的电压比； A12是转移阻
抗； A21是转移导纳,A22是输入与输出的电流比．在
这种意义上,A参数也称为一般参数．
对于互易网络有, 121122211 ???? AAAAA
对于对称网络有,
和,
121122211 ???? AAAAA
2211 AA ?
二,Ｈ 参数
H参数方程
)(UHIHI UHIHU 59
2221212
2121111 ?
?
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??
??
???
???
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?
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?
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2
1
2121
1211
2
1
U
I
HH
HH
I
U
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?
?
?或写为
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ù
2
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2
H参数的意义可用下式说明
02
1
12
01
1
11
12 ??
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IU U
UH
I
UH
?? ?
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02
2
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IH
?? ?
?
?
?
对于互易网络有,
2112 HH ??
对于对称网络有,
2112 HH ??
121122211 ???? HHHHH
例 9-3 求图 9-6所示双口网络的 A参数和 H参数,
图 9－ 6 例 9-3图
2 Ω 5 Ω
4 Ω
ù
2
ù
1
ù
0, 2 5 ù
1 2
2 '
1 '
图 9－ 6 例 9-3图
2 Ω 5 Ω
4 Ω
ù
2
ù
1
ù
0, 2 5 ù
1 2
2 '
1 '
⒈首先计算 A参数,按图
(b)选取 3个独立回路,
?
?
?
?????
?????
221
121
25.05)45(4
25.024)42(
UUII
UUII
????
????
解,
ì1 ì2
0.25ù
又 )(4
21 IIU ??? ??
代入方程组,有
?
?
?
??
??
221
121
149
24
UII
UII
???
???
Z参数方程
所以 A参数方程为,
?
?
?
?
?
??
??
221
221
9
14
9
1
9
38
9
4
IUI
IUU
???
???
⒉ 由 A参数计算 H参数．
?
?
?
?
?
??
??
221
221
9
14
9
1
9
38
9
4
IUI
IUU
???
???
A参数方程
将 A参数方程的第 2式变为
212 14
1
14
9 UII ??? ???
将其代入第 1式中，得
211 7
1
7
19 UIU ??? ??
?
?
?
?
?
???
??
212
211
14
1
14
9
7
1
7
19
UII
UIU
???
???
H参数方程为
用 Z参数表示 用 Y参数表示 用 H参数表示 用 A参数表示
Z参数
Y参数
H参数
A参数
互易双
口网络
对称双
口网络
2221
1211
ZZ
ZZ
2221
1211
YY
YY
2221
1211
HH
HH
2221
1211
AA
AA
YY
YY
YY
YY
???
???
1121
1222
zZ
ZZ
ZZ
ZZ
???
???
1121
1222
2222
21
22
12
22
1
HH
H
H
H
H
H
?
?
2222
21
22
12
22
1
ZZ
Z
Z
Z
Z
Z
?
?
21
22
21
2121
11
1
A
A
A
AA
A A?
21
22
21
2121
11
1
Z
Z
Z
ZZ
Z Z?
1111
21
11
12
11
1
HH
H
H
H
H
H?
?
1111
21
11
12
11
1
YY
Y
Y
Y
Y
Y?
?
12
11
12
1212
22
1
A
A
A
AA
A A
?
??
22
21
22
2222
12
1
A
A
A
AA
A A
?
?
21
11
21
2121
22 1
Y
Y
Y
YY
Y
Y ???
??
2121
22
21
11
21
1
HH
H
H
H
H
H
??
???
2112 ZZ ? 2112 YY ? 2112 HH ?? 1??A
2112 ZZ ?
2211 ZZ ?
2112 YY ?
2211 YY ?
2112 HH ??
1??H
1??A
2211 AA ?
双 口 网 络 的 参 数 变 换
9.4 双口网络的转移函数
如果用运算法分析双口网络，则双口网络的
参数是复频率 s 的函数．双口网络的转移函数或
传递函数，就是用拉普拉斯变换形式表示的输出
电压或电流与输入电压或电流之比．
下面以输入端口和输出端口不同状态下的电
压转移比为例进行说明．
一、开路电压比
图 9-7 输出端开路的双口网络
研究输出端开路，输入端接 电压源 ù1时的电压
转移比．
双口网络的 Z参数方程：
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sIsZsIsZsU
sIsZsIsZsU
当 ì2=0 时,
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
I
1
( s ) I
2
( s ) = 0
U
1
( s )
U
2
( s )
?
?
?
?
?
)()()(
)()()(
1212
1111
sIsZsU
sIsZsU
?
?
?
?
?
)()()(
)()()(
1212
1111
sIsZsU
sIsZsU
于是，有电压转移比
)(
)(
)(
)(
11
21
1
2
sZ
sZ
sU
sU ?
还可以用其它参数来描述电压转移比，例
如用 Y参数来描述,
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sUsYsUsYsI
sUsYsUsYsI
当 ì2=0 时，由第 2式有
)(
)(
)(
)(
22
21
1
2
sY
sY
sU
sU ??
二、输出端接负载时的电压转移比
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
I
1
( s ) I
2
( s )
U
1
( s )
U
2
( s )
R
2
图 9-8 输出端接负载的双口网络
研究输出端接负载 R2，输入端接 电压源 ù1时的
电压转移比．
双口网络的 Y参数
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sUsYsUsYsI
sUsYsUsYsI
2
2
2
)()(
R
sUsI ??又 代入 第 2 式有
)()()()()()( 222121
2
2
2 sUsYsUsYR
sUsI ????
将上式整理为电压转移比的形式为
)(
1
)(
)(
)(
22
2
21
1
2
sY
R
sY
sU
sU
?
??
如果用 Z参数描述，则
)(
)(
)(
)(
11
2
21
1
2
sZ
R
sZ
sU
sU
Z ??
?
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sIsZsIsZsU
sIsZsIsZsU
三、输入端接含内阻的电源、输出端接负载时的
电压转移比
研究输出端接负载 R2，输入端接含内阻 R1
的 电压源 ùS 情况下的电压转移比,双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
I
1
( s ) I
2
( s )
U
S
( s )
U
2
( s )
R
2
R
1
U
1
( s )
图 9-9 双口网络
双口网络的 Z参数方程,
?
?
?
??
??
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
sIsZsIsZsU
sIsZsIsZsU
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
I
1
( s ) I
2
( s )
U
S
( s )
U
2
( s )
R
2
R
1
U
1
( s )
输入和输出端口的约束条件为,)()()(
11S1 sIRsUsU ???
联立求解上面四个式子组成的方程组，可得
电压转移比为：
)69())(( )()( )(
2112222111
221
S
2 ?
???? ZZZRZR
RsZ
sU
sU
)()( 222 sIRsU ???
例 9-4 图示双口网络的开路
阻抗参数为
输入端口接内阻为 RS=1Ω 的
电压源，输出端口接电阻
RL=10Ω.
?????? ?
??
4
6
ss
ss)s(Z
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
i
1
i
2
u
S
u
2
u
1
1 Ω
1 0 Ω
图 9-10 例 9-4图
)(
)(
S
2
sU
sU(1) 计算转移电压比 ;
(2) 若 uS(t)= 10 e -2t1(t) V,试计算 u2(t) ;
(3) 若 uS(t)= 10 sin2t V,试计算 u2(t) 的正弦稳态
响应,
双 口
网 络
1
1 '
2
2 '
i
1
i
2
u
S
u
2
u
1
1 Ω
1 0 Ω
⑴ 双口网络的 Z参数方程为
?
?
?
???
???
)()4()()(
)()()6()(
212
211
sIsssIsU
ssIsIssU
将端口电流和电压的约束条件
L
2
2
S
1S
1
)(
)(
)()(
)(
R
sU
sI
R
sUsU
sI
??
?
?
解,
联立求解,得
? ?? ?
9821
10
)4(10)6(1
10
))((
)(
)(
)(
2
2112222111
221
S
2
?
?
?????
?
???
?
s
s
sss
s
ZZZRZR
RsZ
sU
sU
2
10
9821
10)(
2 ???? ss
ssU
取拉普拉斯变换反变换，得
V)(1)325725()( 3
14
2
2 teetu
tt ??
???
2
10)(
S ?? ssU
(2) 若 uS(t)= 10 e -2t1(t) V,则
9821
10
)(
)(
S
2
?? s
s
sU
sU由
则
3
14
3
25
2
7
25
?
?
?
?
?
s
s
⑶若 uS(t)=10sin2t V电压源的电动势的角频率
ω=2，相量形式 为,将 Z参数矩阵及电
压转移比中的 s 换为 jω，得
V025 oS ??U?
??
?
??
?
?
??
2j42j
2j2j6
由此得出
o
S
2 80.661876.0
982j21
2j10 ??
??
??
U
U
?
?
ooo
2 80.662
8 7 6.102580.661 8 7 6.0 ??????U ?
于是正弦稳态响应为：
V)80.662(s i n8 7 6.1)( o2 ?? ttu
9821
10
)(
)(
S
2
?? s
s
sU
sU
??
?
??
?
?
??
ss
ssZ
4
6
9.5 双口网络的特性阻抗
一、双口网络的输入阻抗和输出阻抗
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
L
Z
i n
图 9-11 双口网络的输入阻抗
输入阻抗,双口网络的 2-2'端
接负载 ZL,则由 1-1'端口向右看
的等效阻抗,称为 输入阻抗,
由双口网络 A参数方程
??
?
?
?
??
??
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
???
???
2L2 IZU ?? ???
和
得
1
1
in I
UZ
?
?
?
222221
212211
IAUA
IAUA
??
??
?
??
22L21
12L11
AZA
AZA
?
??
)79(
22L21
12L11
in ??
??
AZA
AZAZ即
上式表明，输入阻抗不仅与网络有关，而且与负载
有关．对同一个负载，经过不同的网络得到的输入
阻抗不同，也就是说，双口网络具有阻抗变换作用,
输出阻抗,双口网络的 1-1‘端接有源激励 US 和 RS,
则由 2-2’端口向左看去的等效阻抗,称为 输出阻抗,
图 9-12 双口网络的输出阻抗
2
2 '
Z
o u t
ù
o c
(b)(a)
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S
(c)
Z
o u t
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
由双口网络 A参数方程
??
?
?
?
??
??
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
???
???
1S1 IZU ?? ???
和
??
?
?
?
??
??
2222211
2122111
IAUAI
IAUAU
???
???
和
得
11S21
12S22
AZA
AZA
?
??
2
2 '
Z
o u t
ù
o c
(a) (c)(b)
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S
Z
o u t
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
2
2
o u t I
UZ
?
?
?
)89(
11S21
12S22
o u t ??
??
AZA
AZAZ即
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
1
)(
1
1111212
1121222
IAUAI
IAUAU
A
A
???
???
1S1 IZU ?? ???
如果 ZS=Zin，称为 输入端匹配 ；
二、双口网络的特性阻抗
如果 Zout=ZL，称为 输出端匹配 ；
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S Z
L
图 9-13 具有端接的双口网络
对于一个双口网络，可以找到特定的 ZC1 和 ZC2,
使得在 ZC1=ZS,且 ZL=ZC2 的情况下做到 完全匹配,
则 ZC1 和 ZC2 称为这个双口网络的 特性阻抗,
?
称为 完全匹配,
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S Z
L
由双口网络完全匹配
和特性阻抗的定义，可知
o u tC2LinC1S ZZZZZZ ????
根据 Zin 和 Zout 的表达式,有
)99(
222C21
122C11
1C ??
??
AZA
AZAZ
)109(
111C21
121C22
2C ??
??
AZA
AZAZ
联立求解,得
)119(
1121
1222
2C
2221
1211
1C ??? AA
AAZ
AA
AAZ
特性阻抗与 A参数的关系,
(1) 双口网络 对称 时，由于 A11=A22，则
)129(
21
12
C2C1C ???? A
AZZZ
(2) 双口网络对称时，如果终端接 ZL=ZC，则输入
阻抗 Zin 恰好等于 ZL，因此，对称双口网络的特性
阻抗又称为 重复阻抗,
特例,
)119(
1121
1222
2C
2221
1211
1C ??? AA
AAZ
AA
AAZ
)79(
22L21
12L11
in ??
??
AZA
AZAZ
(2) 用开路阻抗和短路阻抗来表示特性阻抗．
特性阻抗的求解,
(1) 用 A参数求。
1121
1222
2C
2221
1211
1C AA
AAZ
AA
AAZ ??
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S Z
L
终端开路时 ZL→ ∞,
21
11
A
A?
22L21
12L11
io AZA
AZAZ
?
??
终端短路时 ZL→ 0，
22
12
A
A?
22L21
12L11
is AZA
AZAZ
?
??
于是
isioC1 ZZZ ?
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
ù
1
ì
1
ì
2
ù
2
Z
S
ù
S Z
L
同理,ZS→∞ 时，
21
22
A
A?
ZS→ 0时，
11
12
A
A?
于是
osooC2 ZZZ ?
11S21
12S22
oo AZA
AZAZ
?
??
11S21
12S22
os AZA
AZAZ
?
??
结论, 特性阻抗可以分别用终端开路和短路、始
端开路和短路时的输入和输出阻抗来求。
例 9-5 求图所示双口网络的特性阻抗 ZC1和
ZC2．
1
1 ' 2 '
2
1 0 Ω
3 0 Ω
图 9-14 例 9-5图
解 将 2-2‘端口开路和短路,分别有
?ioZ
?isZ
将 1-1‘端口开路和短路,分别有
?ooZ
?osZ
所以
isioC1 ZZZ ?
osooC2 ZZZ ?
1040 ?? ?? 20
5.730 ?? ??15
??? 403010
?10
3010
3010
?
? ?? 5.7
?30
三、固有传播常数
用于表明双口网络在匹配条件下的传输特性,
)(-
ln
22
11
IU
IUγ
??
??
?
22
11ln
2
1
IU
IUβ ?
一般说来，固有传播常数 是复数，它可以表
示为, 若 ù2落后于 ù1的相位为,(-ì2)落
后于 ì1的相位为,则
γ
??? jβγ uφ
iφ
)(21 iu φφα ??
衰减常数
相移常数
表示匹配下信
号视在功率减
少的程度
电压和电流相
移的平均值
)(-
ln
2
1
22
11
IU
IU
??
??
?
dBlg10
22
11
IU
IUβ ?
衰减常数 β的单位为奈培 (Np)，实用中常用分贝
(dB)来表示，即
于是，
对于对称双口网络，由于
,
2
1
2
1
I
I
U
U ?
相移常数 α 的单位为弧度．
Npln21
22
11
IU
IUβ ?
1 Np = 8.686 dB,1 dB = 0.115 Np
iu φφ ?
所以，
2
1ln
U
U?
iu φφα ??
或
dBlg20lg20
2
1
2
1
I
I
U
Uβ ??
22
11ln
2
1
IU
IUβ ?
Npln
2
1
I
I?
例 9-6 试求图 9-15所示电路的特性阻抗和传播常数,
4 0 0 Ω
4 0 0 Ω
6 0 0 Ω
1
1 '
2
2 '
图 9-15 例 9-6图
(1)图示电路为对称双口网络，有
?ioZ
?isZ
所以
isioC ZZZ ?
解,
??? 1 0 0 06 0 04 0 0
6 0 04 0 0
6 0 04 0 04 0 0
?
?? ?? 640
???? 8006401000
4 0 0 Ω
4 0 0 Ω
6 0 0 Ω
1
1 '
2
2 '
(2) 固有传播常数是在匹配条件下的参数，因此,
在 2-2‘端接负载 ZL= 800Ω，见图：
4 0 0 Ω 4 0 0 Ω
6 0 0 Ω
1
1 '
2
2 '
8 0 0 Ωù
2
ù
1
ì
1
ì
2
ì
1
+ ì
2
211 600)600400( IIU ??? ???
又
,8001 1
L
1
1 UZ
UI ??? ??
2
L
2
2 800
1 U
Z
UI ??? ????
所以
211 4
3
4
5 UUU ??? ?? o
2
1 03??
U
U
?
?
衰减常数
2
1ln
U
Uβ ?
相移常数 0
21 ??? uu φφα
传播常数 0j0991j ????,γ ??
o
2
1 03??
U
U
?
?
3ln? Np1,099?
9.6 双口网络的等效电路
对于一个给定的双口网络，如果找到一个简单
的双口网络与它的参数相同，它们的外部特性也相
同，就说这两个双口网络是 等效 的．
一个互易的双口网络，可以用一个由三个无源
元件组成的简单双口网络与其等效．可以是 Ｔ形,
也可以是 π形,
本节只讨论互易双口网络的等效电路,
双 口
网 络
c
1
1 '
2
2 '
Z
1
Z
3
Z
2
1
1 '
2
2 '
Y
b
Y
c
Y
a
1
1 '
2
2 '
图 9-16 双口网络及其等效电路
T形
等效电
路
π形
等效电
路
因此，若已知双口网络的 Z参数，可以求出该双口
网络对应的Ｔ形等效电路．
一、Ｔ形等效电路与 Z参数
Z
1
Z
3
Z
2
1
1 '
2
2 '
Ｔ形等效电路的参数可以
用Ｚ参数求出．
T型等效电路的 Z参数为,
Z11=
Z1 = Z3对于对称双口网络，有
Z1=Z11-Z12
Z22=Z12=Z21Z1+Z2 =Z2 Z2+Z3
Z1 Z3
Z2
=Z11-Z12 =Z22-Z12
=Z12
Z3=Z22-Z12
Z2=Z12=Z21
二,π形等效电路与 Y参数
π形等效电路的参数可以
用 Y参数求出．
π型等效电路的 Y参数为：
Y11=
因此，若已知双口网络的 Y参数，可以求出该双口
网络对应的 π形等效电路．
Ya = Yc对于对称双口网络，有
Yc=Y22+Y12
Y
b
Y
c
Y
a
1
1'
2
2'
Y22=Y12=Y21Ya+Yb = -Yb Yb+Yc
Ya=Y11+Z12
Yb= -Y12= -Y21
Yb=-Y12
YaY11+Y12= Yc =Y22+Y12
从前面的分析可以看出,
(1) 若已知双口网络的 Y 参数，用 π形电路来等
效最直接；
(2) 若已知双口网络的 Z 参数，用Ｔ形电路等
效最直接；
(3) 若已知双口网络的其他参数，求双口网络
的等效电路，则可以先把这些参数转换为 Z 参数或
Y 参数，再画出其对应的Ｔ形或 π形等效电路．
1
1 '
2
2 '
1 2 Ω
6 Ω2 Ω
1 8 Ω3 Ω3 0 Ω
例 9-7 试求图 9-17所示双口网络的Ｔ形等效电路
和 π形等效电路,
图 9-17 例 9-7图
先计算出双口网络的 Z参数和 Y参数，再求出
双口网络的Ｔ形和 π形等效电路．
解,
1
1 '
2
2 '
1 2 Ω
6 Ω2 Ω
1 8 Ω
3 Ω
3 0 Ω
ù
1
ù
2
ù
3
ì
1
ì
2
重画电路如上图所示．取 1′端子为参考点，列节
点电位方程为：
06131216121 321 ??
?
??
?
? ????? UUU ?????
?
?
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1
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1
12
1
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① ②③
213 6
1
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211
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UUI
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2
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6
1
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6
1
12
1
12
1
2
1
12
1
12
1
2
1
30
1
321
2321
1321
UUU
IUUU
IUUU
???
????
????
由第 3式,有
代入第 1,2式，得
1211a YYY ??
12b YY ??
1222c YYY ??
所以,π型等效电路及其参数为：
S
18
5
6
1
6
1
30
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?Y
S51?
S61?
S91?
6Ω
5Ω 9ΩYaY11+Y12= Yc =Y22+Y12
Yb=-Y12
由 Y参数求 Z参数,
1?? YZ
27
2
36
1
1 0 8
11
18
5
6
1
6
1
30
11
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其中
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1
6
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5
1
Y
???????? 95.425.2 25.275.3
Z2=Z12
Z1 Z3=Z11-Z12 =Z22-Z12
??
?
?
??
??
954252
252753
..
..Z由 Z参数 可以求出Ｔ形等效
电路及其参数为：
12111 ZZZ ??
122 ZZ ?
12223 ZZZ ??
?? 5.1
?? 25.2
?? 7.2
2.25Ω
1.5Ω 2.7Ω
9.7 双口网络的连接
双口网络有多种不同的连接方式．如串联、并
联、级联、串并联和并串联等连接方式,见图 9-18
所示．
P
2
P
1
P
2
P
1
图 9-18 双口网络的连接
(a) (b)
串联
并联
P
2
P
1
P
2
P
1
P
1
P
2
图 9-18 双口网络的连接
(c)
(d) (e)
本节主要研究串联、关联和级联的连接方式，
即图 9-18(a),(b)和 (c)三种情况。
级联
串并联
并串联
一、串联
P
2
P
1
1U?? 2U??
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U
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二、并联
P
2
P
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1U?? 2U??
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21 YYY ??
三、级联
P
1
P
2
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UAA
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1
Z
2
1
1 '
2
2 '
例 求图示双口网络的 A参数。
解 将图示双口网络看成三个双口网络的级联。
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?
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21
21
1
I
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11
2
1
2
1
