电工基础
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第八章
线性动态网络复频域分析
第八章 线性动态网络复频域分析
? 8.1 拉普拉斯变换及其重要性质
? 8.2 拉普拉斯反变换的部分分式法
? 8.3 两类约束的复频域形式
? 8.4 复频域分析法
? 8.5 网络函数及其应用
线性动态网络 复频域分析法 (也称运算法 )是数
学中的拉普拉斯变换 (简称拉氏变换 )将线性动态网
络的时域微分方程转换为复频域 代数方程的求解
方法,
步骤 ；首先把时域形式的两类约束、激励函
数通过拉氏变换转换为复频域形式，同时引入复
频域阻抗、导纳等概念，建立复频域的电路模型 ;
其次选用分析线性网络的各种方法求出响应的象
函数；最后经拉氏反变换求出响应的时域函数．
本节介绍拉普拉斯变换及其重要性质．
8.1 拉普拉斯变换及其重要性质
一．从傅立叶变换到拉普拉斯变换
对函数 f(t)取积分
)18(d)()( j ?? ? ??? ? tetfF t??
)28(d)(2 1)( j ?? ? ? ?? ??? ? teFtf
称为 傅立叶反变换,
称为 傅立叶正变换,对 取相反的变换)(?F
傅氏变换要求满足狄里赫利条件，而且要求函
数绝对可积，即,虽然实际信号
一般满足 狄里赫利条件，但是最常用到的阶跃信号
1(t)和正弦信号 等都不满足绝对可积
条件．因此，要对它进行改进．
? ??? ? ??tetf t d)( j ?
)(s i nm t1tA ??
考虑 t<0 时,f(t)=0 将 (8-1)式修正为
)38(d)()( 0 j ?? ? ? ? tetfF t??
(8-3)称为 单边傅氏变换,为保证 f(t)绝对可积，将它
乘以,其中 σ为正实数．再将函数 取
单边傅氏变换，有
te ?? tetf ??)(
?? ? ??? ?? ?? ?? 0 )j(0 j d)(d)()( tetfteetfsF ttt ????
令, s 称为复频率,则上式写为?? j??s
)48(d)()( 0 ?? ? ? ?
?
tetfsF ts
式 (8-4)称为拉氏正变换,F(s)称为 f(t)的 象函数,
拉氏变换记为
? ?)()( tfsF L?
? ???? ?? ???? ?? d)j(2 1)( j tt eFetf
因 的傅氏变换是 F(s)，则tetf ??)(
)58(d)j(2 1)( j ??? ? ? ?? ???? ?? tt eeFtf
等式两边同时乘以,得te?
将式 (8-5)进行变量代换，得
)68(d)(j2 1)( j
j
?? ? ?
?
??
???
sesFtf ts
式 (8-6)称为 拉氏反变换, f(t)称为 F(s)的 原函数,
从上面的分析可知，拉氏变换是傅氏变换的推
广，而傅氏变换是拉氏变换的特例．
求, 和 的象函数．)1(t )(t? )(t1e at?
解
? ? ? ? ?
?
? 0 d)1()1( tett tsL
? ? ? ? ?
?
? 0 d)()( tett ts??L
? ? ? ? ???
?
? 0 d)(1 teete tstataL
常见函数的象 函数见表 8-1.
例
ss
e ts 1
0
?
?
?
??
?
1)d(0 ?? ? ?
?
tt?
asas
e tas
?
?
?
?
?
??
?
1
0
)(
表 8-1 常见函数的象 函数
象函数 原函数 象函数 原函数
1
A
s
1
s
A
1
1
?ns
? ? 1
1
?? nas
22 ?
?
?s
s
as?
1
2
1
s
? ? 22 ?
?
?? as
)(1 t
t
t
d
)(d?
? ?为正整数n)(1!1 ttn n
)(1!1 tetn tan ?
)(1s in tt?
)(1s i n tte ta ??
)(t?
)(1 te ta?
)(1 tt
2)(
1
as ? )(1 tet
ta?
2)( as
s
? )(1)1( teta
ta??
22 ??s
s )(1c os tt?
22)(
)(
???
?
as
as )(1co s tte ta ??
若,,a,b是常数,
则
? ? )()( 11 sFtf ?L ? ? )()( 22 sFtf ?L
二．拉氏变换的重要性质
)()()]()([ 2121 sbFsaFtbftaf ???L
(2) 微分性质 (differentiation theorem)
)0()(d )(d ????
?
?
??
? fssF
t
tfL
s
sFttft )(]d)([
0 ?? ?L
(3) 积分性质 (integration theorem)
(1) 线性性质 (linear combination theorem)
若,则? ? )()( sFtf ?L
若,则? ? )()( sFtf ?L
矩形脉冲 f(t) 如图所示，求其象函数。
)()](1)([ 000 sFettttf ts????L
(4) 延迟性质 (time-shift theorem)
若,则? ? )()( sFtf ?L
例
f(t)
t0
1
0 t
解
)(1)(1)( 0ttttf ???
f(t) 可表示为：
将上式两边取拉氏变换，
? ?
)1(
111
)()(
00 stst e
s
e
ss
tfsF
?? ????
? L
8.2 拉普拉斯反变换
( inverse Laplace transform )
拉普拉斯反变换可以根据定义式求解；也可以
查表 8-1，直接写出原函数。但多数情况下，象函
数不能直接从表上查到。
在集总参数电路中，响应的象函数往往是 s 的
有理分式，若将其展开成部分分式的形式，就能比
较容易地求出其象函数了，这种方法叫做 部分分式
法 。
0
1
1
0
1
1
2
1
)(
)()(
bsbsb
asasa
sF
sFsF
n
n
n
n
m
m
m
m
???
?????
?
?
?
?
?
?
1.象函数是真分式
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
????????? ?3
3
2
2
1
1)(
设象函数 F(s) 为,
(1) F2(s) = 0 只含 单根,F(s) 可展开简单部分分式之和,
1)])(([ 11 sssssFk ???
)())(( 1
2
2
11 ssss
k
ss
kksssF
n
n ?
???
?
????
?
?
?
???? ?
所以：
2)])(([ 22 sssssFk ???……
)(1)()( 21 21 tekekektf tsntsts n???? ?
待定系统 ki 的另一种求解方法：
n
sF
sFk
ss
?,2,1i
)(
)(
i
2
1
i ??
?
?
?
?
?
?
?
?
则
nsssFk ss ?,2,1i)])(([ iii ??? ?
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
????????? ?3
3
2
2
1
1)(
因为
例
解
求 的原函数 f(t)。
65
32)(
2 ??
??
ss
ssF
0652 ??? ss令,根为,3,2 21 ???? ss
65
32)(
2 ??
??
ss
ssF
则
1)])(([ 11 sssssFk ???
2)])(([ 22 sssssFk ???
所以，
)(1)31()( 32 teetf tt ?? ???
1
3
32
2
??
?
??
??ss
s
3232
3
????
??ss
s
32
21
??? s
k
s
k=
例
解
求 的原函数 f(t)。
52)( 2 ??? ss
ssF
0522 ??? ss令,根为,2j12,1 ???s
)j2(414j 2j1]2j1[ 2j11 ???????? ???ss sk
????? 6.265 5 9.025.0j5.0
?????????? ??? 6.26559.025.0j5.0]2j1[ 2j12 ss sk
2j1
6.26559.0
2j1
6.26559.0)(
??
????
??
???
sssF
tt eetf )2j1()2j1( 6.26559.06.26559.0)( ???? ???????
tt eeee )2j1(6.26j)2j1(6.26j 559.0559.0 ??????? ??
)6.262co s (559.02 ???? ? te t
本题还可先将分母配方，再求原函数：
22
2
2)1(
52
)(
??
?
??
?
s
s
ss
s
sF
由表 8-1，得：
tetetf tt 2s in2c o s)( 21 ?? ??
)6.262co s (559.02 ???? ? te t
)2s in2c o s2(21 tte t ?? ?
)2s i n6.26s i n2c os6.26( c os)1(2 2221 tte t ?????? ?
2222 2)1(
2
2
1
2)1(
1
??
?
??
??
ss
s
结论：
当 F(s)=0 的根有共轭复根 时，
若,对应的待定系数为,
则与共轭复根部分对应原函数是：
?? j2,1 ???s
??? Kk 1?? j1 ???s
)c o s (2)( ??? ??? ? teKtf t
(2) 若 F(s) = 0 包含重根
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
)()()(
)(
2
2
2
2
22
2
21
1
1
?
??
?
????? ?
1)])(([ 11 sssssFk ???
2]))(([ 22 ss
nn sssFk ???
? ?
2
))((
d
d
212
ss
n
n sssFsk
?
?
?
?
?
?
?
?
??
……
? ?
2
))((
d
d
!)1(
1
2)1(
)1(
21
ss
n
n
n
sssF
sn
k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
则
其中：
)(1
!)1(
)( 1222211 1 tet
n
ktkkektf tsnnts n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ??
例
解
求 的原函数 f(t)。
2)2(
8)(
?
??
ss
ssF
把 F(s) 分解为部分分式为：
2
22211
)2()2()( ????? s
k
s
k
s
ksF
01 ])([ ?? sssFk
])2)(([ 222 ?? ssFk
])2)((dd[ 221 ?? ssFsk
)(1])32(2[)( 2 tettf t????
所以
2
)2(
8
0
2 ??
??
?ss
s
38
2
????
??ss
s
2
8
d
d
??
?
?
??
?
? ??
ss
s
s 2
)8(
2
2 ??
???
??ss
ss
2.象函数不是真分式
若 F(s) 不是真分式，则需将 F(s) 分解为整式
加上真分式的形式，再求函数。
例
解
求 的原函数 f(t)。
65
15187)(
2
23
??
????
ss
ssssF
15187 23 ??? sss65
2 ?? ss
s
sss 65 23 ??－ )
15122 2 ?? ss
+ 2
12102 2 ?? ss－ )
2s + 3
65
15187)(
2
23
??
????
ss
ssssF
)(1]3)(2)()( 32 teetttf tt ?? ????? ??故
= s+2 2s+3s2+5s+6 +
8.3 两类约束的复频域形式
(inverse Laplace transform )
一、复频域 (complex frequency)形式的元件电路模型
1,电阻元件
)()( tRitu ?自身约束条件
将上式两边取拉普拉斯变换,则
)()( sRIsU ?
Ri(t)
u(t)
(a)
RI(s)
U(s)
(b)
元件的电路模型如图 (b) 所示,
2,电感元件
t
iLtu L
L d
d)( ?自身约束条件
将上式两边取拉氏变换,根据拉氏变换的微分性质,
有 ? ?
)0()()( ??? LLL issILsU
元件的电路模型如图 (b) 和 (c) 所示,
LiL(t)
uL(t)
(a)
sLIL(s)
UL(s)
(b)
LiL(0-)
)0()()( ???? LLL LisIsLsU
s
i
sL
sUsI LL
L
)0()()( ???或
iL(0-)/s
IL(s)
UL(s)
1/sL
(c)
sL 复频域感抗
(运算感抗 )
3,电容元件
t
uCti C
C d
d)( ?自身约束条件
将上式两边取拉氏变换,根据拉氏变换的微分性质,
有 ? ?
)0()()( ??? CCC ussUCsI
元件的电路模型如图 (b) 和 (c) 所示,
s
u
sC
sIsU CC
C
)0()()( ???
)0()()( ???? CCC CusUsCsI
或 1/sC 复频域容抗 (运算容抗 )
CiC(t)
uC(t)
(a)
IC(s)
UC(s)
sC
CuC(0-)
(c)
sC
1
s
u C )0( ?
IC(s)
UC(s)
(b)
二、复频域形式的基尔霍夫定律
?? ?? 0)(0)( sUsI
三、复频域形式的欧姆定律
R
C
L
t = 0
u ( t )
u
C
( t )
i ( t )
R
s L
U ( s )
I ( s )
1
s C
u
C
( 0 - )
s
L i ( 0 - )
s
usI
sCLiss L IsRIsU
C )0()(1)0()()()( ?
? ?????
s
uLisI
sCsLRsU
C )0()0()()1()( ?
? ?????
)(
)0(
)0()(
1
)0(
)0()(
)(
sZ
s
u
LisU
sC
sLR
s
u
LisU
sI
CC ?
?
?
? ??
?
??
??
?
此时
令,Z(s) 称为电路的 复频域阻抗
(complex frequency-domain impedance)，或称
为 运算阻抗。 Y(s) 称做 复频域导纳 (complex
frequency-domain admittance,也叫做 运算导纳,
sCsLRsZ
1)( ???
若是零状态电路，则
)()()()1()( sIsZsIsCsLRsU ????
或
)()()( )()( sYsUsZ sUsI ??
Z(s) 复频域阻
抗 (运算阻抗 )
8.4 复频域分析法
复频域分析法的求解步骤,
(1) 计算 uC(0-) 和 iL(0-)；
(2) 画运算电路图；
(3) 基于运算电路图，选用适当的方法求响应的象
函数。
(4) 对响应的象函数取拉氏反变换求响应的原函数,
已知,R=1Ω,L=0.2H,C=0.5F,US=10V，换
路前电路稳态,t=0 时开关闭合，求 t≥0 时的 i1(t).
例
解
R C
L
t = 0
u
S
( t )
i
1
( t )
1,求初值,
A10)0( S ??? RUi L 0)0( ??Cu
2,运算电路图上图所示,
1 Ω
0, 2 s
2
I
L
( s )
s
10
2
s
3,选择适当的方法求解,
2
)102(2.0
2
1
2
1
2.0)(
2
?
??
?
?
?
??
s
ss
s
sssZ
1 Ω
0, 2 s
2
I
L
( s )
s
10
2
s
)(
2
10
)(
sZ
ssI
L
?
?
)102(
)107(10
2
2
??
???
sss
ss
3
3
2
21
ss
K
ss
K
s
K
?????
令 s(s2+2s+10)=0
则, s1=0
s2,3=－ 1± j3
3j13j1)102(
)107(10)( 321
2
2
??
?
??
??
??
???
s
K
s
K
s
K
sss
sssI
L
0
2
2
1 )102(
)107(10
???
???
sss
ssK 10?
3j1
2
2 )3j1(
)107(10
???
??
??
?
s
ss
ss
K
???? 9033.8
3K
??? 9033.8
3j1
9033.8
3j1
9033.810)(
??
???
??
?????
ssssI L
所以
4,对上式取拉氏反变换,
)0(A)903c o s (33.8210()( ?????? ? tteti tL
)0(A)3s i n66.1610( ??? ? tte t
已知,U=120V,R1=15Ω, L=1H,R=25Ω，
C=1000μF，换路前电路稳态,t=0 时开关闭合，求
t≥0 时的 iL(t).
例
解
U U
C
R
1
R C
L
K
i
L
1,求初值,
A3)0( S ??? RUi L V752515 251 2 0)0( ?????Cu
2 5 Ω
s
3
1 0 0 0
s
1 2 0
s
7 5
s
IL(s)
U
C
(s)
2,运算电路图上图所示,
2 5 Ω
s
3
1 0 0 0
s
1 2 0
s
7 5
s
IL(s)
U
C
(s)
I2(s)
3,选择适当的方法求解,
?
?
?
??
?
?
?????
????
s
sI
s
sI
s
sIsIs
75
)()
1 0 0 0
25()(25
3
120
)(25)()25(
21
21
sss
ssI
L 1 0 0 040
4 8 0 01 6 53)(
23
2
??
???
3
3
2
21
ss
K
ss
K
s
K
?????
令 s3+40s2+1000s=0 则, s1=0,s2,3=－ 20± j24.5
解得
I1(s)
4, 52j204, 52j201 0 0 040
4 8 0 01653)( 321
23
2
??
?
??
??
??
???
s
K
s
K
s
K
sss
ssI
L
0
2
2
1 1 0 0 040
4 8 0 01 6 53
???
???
sss
sK
4, 52j20
2
2 )4, 52j20(
48001653
???
??
??
?
s
ss
s
K
???? 168918.0
3K ??? 1 6 89 1 8.0
8.4?
4, 52j20
168918.0
4, 52j20
168918.08.4)(
??
???
??
?????
ssssI L
所以
4,对上式取拉氏反变换,
)0()1685.24c o s (918.028.4()( 20 ?????? ? tteti tL
)0(A)1 6 85.24c o s (8 3 6.18.4( 20 ????? ? tte t
在电路中，已知 R1=1Ω,L1=1H,R2=1Ω,L2=4H,
开关 K 原是闭合的,电路已经稳定,t=0 时把开关打
开, 求 t≥0 时的 i(t),uL1(t) 和 uL2(t).
例
解
R
1
L
1
R
2
L
2
1 0 0 V
i
L
u
L 1
u
L 2
K
s
I
L
( s )
1 0 0
s
1 Ω
1 Ω
4 s
4 0 0
U
L 1
( s )
U
L 2
( s )
1,求初值,
0)0(1 ??Li A1 0 0)0(2 ??Li
2,运算电路图上图所示,
U
L 1
(s)
U
L2
(s)
s
I
L
( s )
1 0 0
s
1 Ω
1 Ω
4 s
4 0 0
3,选择适当的方法求解,
s
ssI
L 52
4 0 0
1 0 0
)(
?
?
?
)4.0(
2080
?
??
ss
s
4.0
21
??? s
K
s
K
0
1 4.0
2080
??
??
ss
sK 50? 30?
4.0
2
2080
??
??
ss
sK,
)0(A)3050()( 4.0 ??? ? teti tL
U
L 1
(s)
U
L2
(s)
s
I
L
( s )
1 0 0
s
1 Ω
1 Ω
4 s
4 0 0
)0(A)3050()( 4.0 ??? ? teti tL
)4.0(
2080)(
?
??
ss
ssI
L
)4.0(
2080)(
1 ?
??
s
ssU
L
故
4.0
1280
??? s
4 00)(4)(2 ?? ssIsU LL
4.0
4880
???? s
? ? )0(V12)(80)( 4.01 ??? ? tettu tL ?
? ? )0(V48)(80)( 4.02 ???? ? tettu tL ?
R
1
L
1
R
2
L
2
1 0 0 V
i
L
u
L 1
u
L 2
K
U
L 1
(s)
U
L2
(s)
s
I
L
( s )
1 0 0
s
1 Ω
1 Ω
4 s
4 0 0
)0(A)3050()( 4.0 ??? ? teti tL
? ? )0(V12)(80)( 4.01 ??? ? tettu tL ?
? ? )0(V48)(80)( 4.02 ???? ? tettu tL ?
分析, 1,从结构上看此电路为跃变电路,从所得结果
中看有 δ(t),
2,在计算之初,并未考虑电路是否跃变, 用复频
域法计算跃变电路,只计算 0- 时刻值即可, 方便,
8.5 网络函数及其应用
一、网络函数
网络零状态响应的象函数 R(s) 与激励对象函
数 E(s) 之比，用 H(s) 表示，叫 网络函数,
)(
)()(
sE
sRsH ?
网络函数的 六种类型,
US(s)
I1(s)
N U1(s)IS(s) N
输入导纳
)(
)()(
S
1
sU
sIsH ?
输入阻抗
)(
)()(
S
1
sI
sUsH ?
策动点
函数
转移电压比
)(
)()(
S
2
sU
sUsH ?
转移电流比
)(
)()(
S
2
sI
sIsH ?
US(s) N U2(s) IS(s) N I2(s)
)(
)()(
S
2
sU
sIsH ?
转移阻抗
)(
)()(
S
2
sI
sUsH ?
IS(s) N U2(s)
转移导纳
US(s) N I2(s)
图求为低通滤波器电路。若激励是 e(t)，响应是
i1(t),u2(t)，试求网络函数,
例
解
L
u
2
( t )
R
1
e ( t )
R
2
C
i
1
( t )
s L
U
2
( s )
R
1
E ( s )
R
2
1
s C
I
1
( s )
运算电路图如图所示。
整理后得：
)()(
1)(
21212
2
2
RRLCRRsLCRs
CsRsH
????
??
s L
U
2
( s )
R
1
E ( s )
R
2
1
s C
I
1
( s )
1
2
2
1 1
1
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
sC
R
sC
R
sLRsY
)(
)()( 1
sE
sIsH ?
s L
U
2
( s )
R
1
E ( s )
R
2
1
s C
I
1
( s )
)(
)()( 2
sE
sUsH ?
)()( 212122
2
RRLCRRsLCRs
R
????
?
又
sC
R
sC
R
sLR
sC
R
sC
R
1
1
1
1
2
2
1
2
2
?
?
??
?
?
?
二、网络函数与冲击响应
若网络的激励是 δ(t)，其零状态响应是冲激
响应 h(t) 。此时，网络函数为：
)(
)()(
sE
sRsH ?
)]([
)]([
t
th
?L
L? )]([ thL?
即 )]([)( thsH L? 或 )]([)( -1 sHth L?
三、从网络函数看电路的动态特性
以二阶电路为例说明，进而可以推广到一般情况。
)(
d
d
d
d
212
2
0 teuat
ua
t
ua
C
CC ???
)(
d
d
d
d
212
2
0 teuat
ua
t
ua
C
CC ???
(1) 其对应的特征方程为：
02120 ??? asasa
(2) 将微分方程两边取拉氏变换，有
)()()()( 2120 sEsUassUasUsa CCC ???
则，网络函数为：
21
2
0
1
)(
)()(
asasasE
sUsH C
??
??
比较特征方程和网络函数可以看出,网络
函数的分母为零，即为特征方程 。
四、网络函数的零极度点及其分布
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
bsbsbsb
asasasa
sD
sNsH
n
n
n
n
m
m
m
m
????
??????
?
?
?
?
?
?
)())((
)())((
21
210
n
m
ssssss
ZsZsZsH
???
????
?
?
其中
n
m
b
aH ?
0
分子为零得到的根 Z1,Z2,…,Zm 为网络函数的 零点,
分母为零得到的根 s1,s2,…,sm 为网络函数的 极点 。
下面讨论极点分布对动态过程的影响。
?
?j
0
t
h(t)
s=0 s =σ1> 0
0
t
h(t)
s =σ2< 0
0
t
h(t)
0
t
h(t)
s = j ω3
s = -j ω3
σ4
s = σ4+ jω4
s = σ4 - jω4
jω4
-jω4
0
t
h(t)
s =σ5+ jω5
s =σ5+ jω5
σ5
jω5
-jω5
0
t
h(t)
五、卷积定理在复频域分析中的应用
时域分析时的卷积定理：
)()(d)()()( 0 thtethetr t ???? ? ???
复频域中的卷积定理：
)()()( sHsEsR ?
图求电路中，激励 e(t) = e - at 1(t)，应用卷积定
理求零状态响应 uC(t)。
例
R
Ce(t) uC(t)
解
R
Ce(t) uC(t)
R
E(s) UC(s)1 sC
电源 e(t) = e –at 1(t) 的象函数为：
assE ??
1)(
运算电路如图所示。
网络函数为：
)(
)()(
sE
sUsH C?
sCR
sC
1
1
?
?
RCs
RC
1
1
?
?
由卷积定理得：
)1)((
1
)()()(
RCsas
RCsHsEsU
C
??
??
)1)((
1
)(
RCsas
RCsU
C
??
?
RCs
k
as
k
1
21
?
?
?
?
RC
s
as
RCk
1
2
1
??
?
?
asRC
s
RCk
??
?
?
1
1
1 R C a?? 1
1
R C a?
??
1
1
所以，
)(1)(
1
1)( tee
RCa
tu RC
t
ta
C
??
?
?
?
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第八章
线性动态网络复频域分析
第八章 线性动态网络复频域分析
? 8.1 拉普拉斯变换及其重要性质
? 8.2 拉普拉斯反变换的部分分式法
? 8.3 两类约束的复频域形式
? 8.4 复频域分析法
? 8.5 网络函数及其应用
线性动态网络 复频域分析法 (也称运算法 )是数
学中的拉普拉斯变换 (简称拉氏变换 )将线性动态网
络的时域微分方程转换为复频域 代数方程的求解
方法,
步骤 ；首先把时域形式的两类约束、激励函
数通过拉氏变换转换为复频域形式，同时引入复
频域阻抗、导纳等概念，建立复频域的电路模型 ;
其次选用分析线性网络的各种方法求出响应的象
函数；最后经拉氏反变换求出响应的时域函数．
本节介绍拉普拉斯变换及其重要性质．
8.1 拉普拉斯变换及其重要性质
一．从傅立叶变换到拉普拉斯变换
对函数 f(t)取积分
)18(d)()( j ?? ? ??? ? tetfF t??
)28(d)(2 1)( j ?? ? ? ?? ??? ? teFtf
称为 傅立叶反变换,
称为 傅立叶正变换,对 取相反的变换)(?F
傅氏变换要求满足狄里赫利条件，而且要求函
数绝对可积，即,虽然实际信号
一般满足 狄里赫利条件，但是最常用到的阶跃信号
1(t)和正弦信号 等都不满足绝对可积
条件．因此，要对它进行改进．
? ??? ? ??tetf t d)( j ?
)(s i nm t1tA ??
考虑 t<0 时,f(t)=0 将 (8-1)式修正为
)38(d)()( 0 j ?? ? ? ? tetfF t??
(8-3)称为 单边傅氏变换,为保证 f(t)绝对可积，将它
乘以,其中 σ为正实数．再将函数 取
单边傅氏变换，有
te ?? tetf ??)(
?? ? ??? ?? ?? ?? 0 )j(0 j d)(d)()( tetfteetfsF ttt ????
令, s 称为复频率,则上式写为?? j??s
)48(d)()( 0 ?? ? ? ?
?
tetfsF ts
式 (8-4)称为拉氏正变换,F(s)称为 f(t)的 象函数,
拉氏变换记为
? ?)()( tfsF L?
? ???? ?? ???? ?? d)j(2 1)( j tt eFetf
因 的傅氏变换是 F(s)，则tetf ??)(
)58(d)j(2 1)( j ??? ? ? ?? ???? ?? tt eeFtf
等式两边同时乘以,得te?
将式 (8-5)进行变量代换，得
)68(d)(j2 1)( j
j
?? ? ?
?
??
???
sesFtf ts
式 (8-6)称为 拉氏反变换, f(t)称为 F(s)的 原函数,
从上面的分析可知，拉氏变换是傅氏变换的推
广，而傅氏变换是拉氏变换的特例．
求, 和 的象函数．)1(t )(t? )(t1e at?
解
? ? ? ? ?
?
? 0 d)1()1( tett tsL
? ? ? ? ?
?
? 0 d)()( tett ts??L
? ? ? ? ???
?
? 0 d)(1 teete tstataL
常见函数的象 函数见表 8-1.
例
ss
e ts 1
0
?
?
?
??
?
1)d(0 ?? ? ?
?
tt?
asas
e tas
?
?
?
?
?
??
?
1
0
)(
表 8-1 常见函数的象 函数
象函数 原函数 象函数 原函数
1
A
s
1
s
A
1
1
?ns
? ? 1
1
?? nas
22 ?
?
?s
s
as?
1
2
1
s
? ? 22 ?
?
?? as
)(1 t
t
t
d
)(d?
? ?为正整数n)(1!1 ttn n
)(1!1 tetn tan ?
)(1s in tt?
)(1s i n tte ta ??
)(t?
)(1 te ta?
)(1 tt
2)(
1
as ? )(1 tet
ta?
2)( as
s
? )(1)1( teta
ta??
22 ??s
s )(1c os tt?
22)(
)(
???
?
as
as )(1co s tte ta ??
若,,a,b是常数,
则
? ? )()( 11 sFtf ?L ? ? )()( 22 sFtf ?L
二．拉氏变换的重要性质
)()()]()([ 2121 sbFsaFtbftaf ???L
(2) 微分性质 (differentiation theorem)
)0()(d )(d ????
?
?
??
? fssF
t
tfL
s
sFttft )(]d)([
0 ?? ?L
(3) 积分性质 (integration theorem)
(1) 线性性质 (linear combination theorem)
若,则? ? )()( sFtf ?L
若,则? ? )()( sFtf ?L
矩形脉冲 f(t) 如图所示，求其象函数。
)()](1)([ 000 sFettttf ts????L
(4) 延迟性质 (time-shift theorem)
若,则? ? )()( sFtf ?L
例
f(t)
t0
1
0 t
解
)(1)(1)( 0ttttf ???
f(t) 可表示为：
将上式两边取拉氏变换，
? ?
)1(
111
)()(
00 stst e
s
e
ss
tfsF
?? ????
? L
8.2 拉普拉斯反变换
( inverse Laplace transform )
拉普拉斯反变换可以根据定义式求解；也可以
查表 8-1，直接写出原函数。但多数情况下，象函
数不能直接从表上查到。
在集总参数电路中，响应的象函数往往是 s 的
有理分式，若将其展开成部分分式的形式，就能比
较容易地求出其象函数了，这种方法叫做 部分分式
法 。
0
1
1
0
1
1
2
1
)(
)()(
bsbsb
asasa
sF
sFsF
n
n
n
n
m
m
m
m
???
?????
?
?
?
?
?
?
1.象函数是真分式
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
????????? ?3
3
2
2
1
1)(
设象函数 F(s) 为,
(1) F2(s) = 0 只含 单根,F(s) 可展开简单部分分式之和,
1)])(([ 11 sssssFk ???
)())(( 1
2
2
11 ssss
k
ss
kksssF
n
n ?
???
?
????
?
?
?
???? ?
所以：
2)])(([ 22 sssssFk ???……
)(1)()( 21 21 tekekektf tsntsts n???? ?
待定系统 ki 的另一种求解方法：
n
sF
sFk
ss
?,2,1i
)(
)(
i
2
1
i ??
?
?
?
?
?
?
?
?
则
nsssFk ss ?,2,1i)])(([ iii ??? ?
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
????????? ?3
3
2
2
1
1)(
因为
例
解
求 的原函数 f(t)。
65
32)(
2 ??
??
ss
ssF
0652 ??? ss令,根为,3,2 21 ???? ss
65
32)(
2 ??
??
ss
ssF
则
1)])(([ 11 sssssFk ???
2)])(([ 22 sssssFk ???
所以，
)(1)31()( 32 teetf tt ?? ???
1
3
32
2
??
?
??
??ss
s
3232
3
????
??ss
s
32
21
??? s
k
s
k=
例
解
求 的原函数 f(t)。
52)( 2 ??? ss
ssF
0522 ??? ss令,根为,2j12,1 ???s
)j2(414j 2j1]2j1[ 2j11 ???????? ???ss sk
????? 6.265 5 9.025.0j5.0
?????????? ??? 6.26559.025.0j5.0]2j1[ 2j12 ss sk
2j1
6.26559.0
2j1
6.26559.0)(
??
????
??
???
sssF
tt eetf )2j1()2j1( 6.26559.06.26559.0)( ???? ???????
tt eeee )2j1(6.26j)2j1(6.26j 559.0559.0 ??????? ??
)6.262co s (559.02 ???? ? te t
本题还可先将分母配方，再求原函数：
22
2
2)1(
52
)(
??
?
??
?
s
s
ss
s
sF
由表 8-1，得：
tetetf tt 2s in2c o s)( 21 ?? ??
)6.262co s (559.02 ???? ? te t
)2s in2c o s2(21 tte t ?? ?
)2s i n6.26s i n2c os6.26( c os)1(2 2221 tte t ?????? ?
2222 2)1(
2
2
1
2)1(
1
??
?
??
??
ss
s
结论：
当 F(s)=0 的根有共轭复根 时，
若,对应的待定系数为,
则与共轭复根部分对应原函数是：
?? j2,1 ???s
??? Kk 1?? j1 ???s
)c o s (2)( ??? ??? ? teKtf t
(2) 若 F(s) = 0 包含重根
n
n
ss
k
ss
k
ss
k
ss
ksF
)()()(
)(
2
2
2
2
22
2
21
1
1
?
??
?
????? ?
1)])(([ 11 sssssFk ???
2]))(([ 22 ss
nn sssFk ???
? ?
2
))((
d
d
212
ss
n
n sssFsk
?
?
?
?
?
?
?
?
??
……
? ?
2
))((
d
d
!)1(
1
2)1(
)1(
21
ss
n
n
n
sssF
sn
k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
则
其中：
)(1
!)1(
)( 1222211 1 tet
n
ktkkektf tsnnts n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ??
例
解
求 的原函数 f(t)。
2)2(
8)(
?
??
ss
ssF
把 F(s) 分解为部分分式为：
2
22211
)2()2()( ????? s
k
s
k
s
ksF
01 ])([ ?? sssFk
])2)(([ 222 ?? ssFk
])2)((dd[ 221 ?? ssFsk
)(1])32(2[)( 2 tettf t????
所以
2
)2(
8
0
2 ??
??
?ss
s
38
2
????
??ss
s
2
8
d
d
??
?
?
??
?
? ??
ss
s
s 2
)8(
2
2 ??
???
??ss
ss
2.象函数不是真分式
若 F(s) 不是真分式，则需将 F(s) 分解为整式
加上真分式的形式，再求函数。
例
解
求 的原函数 f(t)。
65
15187)(
2
23
??
????
ss
ssssF
15187 23 ??? sss65
2 ?? ss
s
sss 65 23 ??－ )
15122 2 ?? ss
+ 2
12102 2 ?? ss－ )
2s + 3
65
15187)(
2
23
??
????
ss
ssssF
)(1]3)(2)()( 32 teetttf tt ?? ????? ??故
= s+2 2s+3s2+5s+6 +
8.3 两类约束的复频域形式
(inverse Laplace transform )
一、复频域 (complex frequency)形式的元件电路模型
1,电阻元件
)()( tRitu ?自身约束条件
将上式两边取拉普拉斯变换,则
)()( sRIsU ?
Ri(t)
u(t)
(a)
RI(s)
U(s)
(b)
元件的电路模型如图 (b) 所示,
2,电感元件
t
iLtu L
L d
d)( ?自身约束条件
将上式两边取拉氏变换,根据拉氏变换的微分性质,
有 ? ?
)0()()( ??? LLL issILsU
元件的电路模型如图 (b) 和 (c) 所示,
LiL(t)
uL(t)
(a)
sLIL(s)
UL(s)
(b)
LiL(0-)
)0()()( ???? LLL LisIsLsU
s
i
sL
sUsI LL
L
)0()()( ???或
iL(0-)/s
IL(s)
UL(s)
1/sL
(c)
sL 复频域感抗
(运算感抗 )
3,电容元件
t
uCti C
C d
d)( ?自身约束条件
将上式两边取拉氏变换,根据拉氏变换的微分性质,
有 ? ?
)0()()( ??? CCC ussUCsI
元件的电路模型如图 (b) 和 (c) 所示,
s
u
sC
sIsU CC
C
)0()()( ???
)0()()( ???? CCC CusUsCsI
或 1/sC 复频域容抗 (运算容抗 )
CiC(t)
uC(t)
(a)
IC(s)
UC(s)
sC
CuC(0-)
(c)
sC
1
s
u C )0( ?
IC(s)
UC(s)
(b)
二、复频域形式的基尔霍夫定律
?? ?? 0)(0)( sUsI
三、复频域形式的欧姆定律
R
C
L
t = 0
u ( t )
u
C
( t )
i ( t )
R
s L
U ( s )
I ( s )
1
s C
u
C
( 0 - )
s
L i ( 0 - )
s
usI
sCLiss L IsRIsU
C )0()(1)0()()()( ?
? ?????
s
uLisI
sCsLRsU
C )0()0()()1()( ?
? ?????
)(
)0(
)0()(
1
)0(
)0()(
)(
sZ
s
u
LisU
sC
sLR
s
u
LisU
sI
CC ?
?
?
? ??
?
??
??
?
此时
令,Z(s) 称为电路的 复频域阻抗
(complex frequency-domain impedance)，或称
为 运算阻抗。 Y(s) 称做 复频域导纳 (complex
frequency-domain admittance,也叫做 运算导纳,
sCsLRsZ
1)( ???
若是零状态电路，则
)()()()1()( sIsZsIsCsLRsU ????
或
)()()( )()( sYsUsZ sUsI ??
Z(s) 复频域阻
抗 (运算阻抗 )
8.4 复频域分析法
复频域分析法的求解步骤,
(1) 计算 uC(0-) 和 iL(0-)；
(2) 画运算电路图；
(3) 基于运算电路图，选用适当的方法求响应的象
函数。
(4) 对响应的象函数取拉氏反变换求响应的原函数,
已知,R=1Ω,L=0.2H,C=0.5F,US=10V，换
路前电路稳态,t=0 时开关闭合，求 t≥0 时的 i1(t).
例
解
R C
L
t = 0
u
S
( t )
i
1
( t )
1,求初值,
A10)0( S ??? RUi L 0)0( ??Cu
2,运算电路图上图所示,
1 Ω
0, 2 s
2
I
L
( s )
s
10
2
s
3,选择适当的方法求解,
2
)102(2.0
2
1
2
1
2.0)(
2
?
??
?
?
?
??
s
ss
s
sssZ
1 Ω
0, 2 s
2
I
L
( s )
s
10
2
s
)(
2
10
)(
sZ
ssI
L
?
?
)102(
)107(10
2
2
??
???
sss
ss
3
3
2
21
ss
K
ss
K
s
K
?????
令 s(s2+2s+10)=0
则, s1=0
s2,3=－ 1± j3
3j13j1)102(
)107(10)( 321
2
2
??
?
??
??
??
???
s
K
s
K
s
K
sss
sssI
L
0
2
2
1 )102(
)107(10
???
???
sss
ssK 10?
3j1
2
2 )3j1(
)107(10
???
??
??
?
s
ss
ss
K
???? 9033.8
3K
??? 9033.8
3j1
9033.8
3j1
9033.810)(
??
???
??
?????
ssssI L
所以
4,对上式取拉氏反变换,
)0(A)903c o s (33.8210()( ?????? ? tteti tL
)0(A)3s i n66.1610( ??? ? tte t
已知,U=120V,R1=15Ω, L=1H,R=25Ω，
C=1000μF，换路前电路稳态,t=0 时开关闭合，求
t≥0 时的 iL(t).
例
解
U U
C
R
1
R C
L
K
i
L
1,求初值,
A3)0( S ??? RUi L V752515 251 2 0)0( ?????Cu
2 5 Ω
s
3
1 0 0 0
s
1 2 0
s
7 5
s
IL(s)
U
C
(s)
2,运算电路图上图所示,
2 5 Ω
s
3
1 0 0 0
s
1 2 0
s
7 5
s
IL(s)
U
C
(s)
I2(s)
3,选择适当的方法求解,
?
?
?
??
?
?
?????
????
s
sI
s
sI
s
sIsIs
75
)()
1 0 0 0
25()(25
3
120
)(25)()25(
21
21
sss
ssI
L 1 0 0 040
4 8 0 01 6 53)(
23
2
??
???
3
3
2
21
ss
K
ss
K
s
K
?????
令 s3+40s2+1000s=0 则, s1=0,s2,3=－ 20± j24.5
解得
I1(s)
4, 52j204, 52j201 0 0 040
4 8 0 01653)( 321
23
2
??
?
??
??
??
???
s
K
s
K
s
K
sss
ssI
L
0
2
2
1 1 0 0 040
4 8 0 01 6 53
???
???
sss
sK
4, 52j20
2
2 )4, 52j20(
48001653
???
??
??
?
s
ss
s
K
???? 168918.0
3K ??? 1 6 89 1 8.0
8.4?
4, 52j20
168918.0
4, 52j20
168918.08.4)(
??
???
??
?????
ssssI L
所以
4,对上式取拉氏反变换,
)0()1685.24c o s (918.028.4()( 20 ?????? ? tteti tL
)0(A)1 6 85.24c o s (8 3 6.18.4( 20 ????? ? tte t
在电路中，已知 R1=1Ω,L1=1H,R2=1Ω,L2=4H,
开关 K 原是闭合的,电路已经稳定,t=0 时把开关打
开, 求 t≥0 时的 i(t),uL1(t) 和 uL2(t).
例
解
R
1
L
1
R
2
L
2
1 0 0 V
i
L
u
L 1
u
L 2
K
s
I
L
( s )
1 0 0
s
1 Ω
1 Ω
4 s
4 0 0
U
L 1
( s )
U
L 2
( s )
1,求初值,
0)0(1 ??Li A1 0 0)0(2 ??Li
2,运算电路图上图所示,
U
L 1
(s)
U
L2
(s)
s
I
L
( s )
1 0 0
s
1 Ω
1 Ω
4 s
4 0 0
3,选择适当的方法求解,
s
ssI
L 52
4 0 0
1 0 0
)(
?
?
?
)4.0(
2080
?
??
ss
s
4.0
21
??? s
K
s
K
0
1 4.0
2080
??
??
ss
sK 50? 30?
4.0
2
2080
??
??
ss
sK,
)0(A)3050()( 4.0 ??? ? teti tL
U
L 1
(s)
U
L2
(s)
s
I
L
( s )
1 0 0
s
1 Ω
1 Ω
4 s
4 0 0
)0(A)3050()( 4.0 ??? ? teti tL
)4.0(
2080)(
?
??
ss
ssI
L
)4.0(
2080)(
1 ?
??
s
ssU
L
故
4.0
1280
??? s
4 00)(4)(2 ?? ssIsU LL
4.0
4880
???? s
? ? )0(V12)(80)( 4.01 ??? ? tettu tL ?
? ? )0(V48)(80)( 4.02 ???? ? tettu tL ?
R
1
L
1
R
2
L
2
1 0 0 V
i
L
u
L 1
u
L 2
K
U
L 1
(s)
U
L2
(s)
s
I
L
( s )
1 0 0
s
1 Ω
1 Ω
4 s
4 0 0
)0(A)3050()( 4.0 ??? ? teti tL
? ? )0(V12)(80)( 4.01 ??? ? tettu tL ?
? ? )0(V48)(80)( 4.02 ???? ? tettu tL ?
分析, 1,从结构上看此电路为跃变电路,从所得结果
中看有 δ(t),
2,在计算之初,并未考虑电路是否跃变, 用复频
域法计算跃变电路,只计算 0- 时刻值即可, 方便,
8.5 网络函数及其应用
一、网络函数
网络零状态响应的象函数 R(s) 与激励对象函
数 E(s) 之比，用 H(s) 表示，叫 网络函数,
)(
)()(
sE
sRsH ?
网络函数的 六种类型,
US(s)
I1(s)
N U1(s)IS(s) N
输入导纳
)(
)()(
S
1
sU
sIsH ?
输入阻抗
)(
)()(
S
1
sI
sUsH ?
策动点
函数
转移电压比
)(
)()(
S
2
sU
sUsH ?
转移电流比
)(
)()(
S
2
sI
sIsH ?
US(s) N U2(s) IS(s) N I2(s)
)(
)()(
S
2
sU
sIsH ?
转移阻抗
)(
)()(
S
2
sI
sUsH ?
IS(s) N U2(s)
转移导纳
US(s) N I2(s)
图求为低通滤波器电路。若激励是 e(t)，响应是
i1(t),u2(t)，试求网络函数,
例
解
L
u
2
( t )
R
1
e ( t )
R
2
C
i
1
( t )
s L
U
2
( s )
R
1
E ( s )
R
2
1
s C
I
1
( s )
运算电路图如图所示。
整理后得：
)()(
1)(
21212
2
2
RRLCRRsLCRs
CsRsH
????
??
s L
U
2
( s )
R
1
E ( s )
R
2
1
s C
I
1
( s )
1
2
2
1 1
1
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
sC
R
sC
R
sLRsY
)(
)()( 1
sE
sIsH ?
s L
U
2
( s )
R
1
E ( s )
R
2
1
s C
I
1
( s )
)(
)()( 2
sE
sUsH ?
)()( 212122
2
RRLCRRsLCRs
R
????
?
又
sC
R
sC
R
sLR
sC
R
sC
R
1
1
1
1
2
2
1
2
2
?
?
??
?
?
?
二、网络函数与冲击响应
若网络的激励是 δ(t)，其零状态响应是冲激
响应 h(t) 。此时，网络函数为：
)(
)()(
sE
sRsH ?
)]([
)]([
t
th
?L
L? )]([ thL?
即 )]([)( thsH L? 或 )]([)( -1 sHth L?
三、从网络函数看电路的动态特性
以二阶电路为例说明，进而可以推广到一般情况。
)(
d
d
d
d
212
2
0 teuat
ua
t
ua
C
CC ???
)(
d
d
d
d
212
2
0 teuat
ua
t
ua
C
CC ???
(1) 其对应的特征方程为：
02120 ??? asasa
(2) 将微分方程两边取拉氏变换，有
)()()()( 2120 sEsUassUasUsa CCC ???
则，网络函数为：
21
2
0
1
)(
)()(
asasasE
sUsH C
??
??
比较特征方程和网络函数可以看出,网络
函数的分母为零，即为特征方程 。
四、网络函数的零极度点及其分布
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
bsbsbsb
asasasa
sD
sNsH
n
n
n
n
m
m
m
m
????
??????
?
?
?
?
?
?
)())((
)())((
21
210
n
m
ssssss
ZsZsZsH
???
????
?
?
其中
n
m
b
aH ?
0
分子为零得到的根 Z1,Z2,…,Zm 为网络函数的 零点,
分母为零得到的根 s1,s2,…,sm 为网络函数的 极点 。
下面讨论极点分布对动态过程的影响。
?
?j
0
t
h(t)
s=0 s =σ1> 0
0
t
h(t)
s =σ2< 0
0
t
h(t)
0
t
h(t)
s = j ω3
s = -j ω3
σ4
s = σ4+ jω4
s = σ4 - jω4
jω4
-jω4
0
t
h(t)
s =σ5+ jω5
s =σ5+ jω5
σ5
jω5
-jω5
0
t
h(t)
五、卷积定理在复频域分析中的应用
时域分析时的卷积定理：
)()(d)()()( 0 thtethetr t ???? ? ???
复频域中的卷积定理：
)()()( sHsEsR ?
图求电路中，激励 e(t) = e - at 1(t)，应用卷积定
理求零状态响应 uC(t)。
例
R
Ce(t) uC(t)
解
R
Ce(t) uC(t)
R
E(s) UC(s)1 sC
电源 e(t) = e –at 1(t) 的象函数为：
assE ??
1)(
运算电路如图所示。
网络函数为：
)(
)()(
sE
sUsH C?
sCR
sC
1
1
?
?
RCs
RC
1
1
?
?
由卷积定理得：
)1)((
1
)()()(
RCsas
RCsHsEsU
C
??
??
)1)((
1
)(
RCsas
RCsU
C
??
?
RCs
k
as
k
1
21
?
?
?
?
RC
s
as
RCk
1
2
1
??
?
?
asRC
s
RCk
??
?
?
1
1
1 R C a?? 1
1
R C a?
??
1
1
所以，
)(1)(
1
1)( tee
RCa
tu RC
t
ta
C
??
?
?
?
