电工基础
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
内容提要：本章学习均匀传输线的方程及
正弦稳态解；学习波的传输及反射，无损
耗传输线的各种工作状态；介绍无损耗传
输线方程的通解及传输线的波过程。
11 分布参数电路及均匀传输线
本章重点：理解分布参数电路的概念和
分析方法 ;掌握无损耗传输线的正弦稳
态解。
11.1 分布参数电路及均匀传输线的概念
11.2 均匀传输线的微分方程
11.3 均匀传输线的正弦稳态解
11.4 行波
11.5 波的反射与终端匹配的传输线
11.6 无损耗线的正弦稳态解
前面研究的电路都属于,集总参数电
路,。集总参数电路的显著特点是元件
的电路的 尺寸 是,很小,的。这个“很
小”是相对于工作频率所对应的波长 λ
而言的。根据电磁场理论，电磁波是以
有限速度传播的，这个速度就是光速，
在真空中 。当电路尺寸不
是“很小”的时候，用集总参数电路的
分析方法就不能准确地反映实际情况。
smv /103 8??
11.1 分布参数电路及均匀传输线的概念
例如，一对长 的传输线，电磁波
从一端到另一端需要：
svlt 98' 105.2103/75.0/ ??????
ml 75.0?
Hzf 3102 ??如果它工作在 的条件下，对应的波
长为,m
538 105.1102/103 ??????
电磁波从一端传播到另一端的时间 相对于
电磁波的周期 T可以忽略不计。
't
msT 5.0?周期为：
线上各个点的相位可以看作是相同的，在同
一时刻沿线各点的电压电流分布是相同的。
m5.1102/103 88 ?????
?
Hzf 8102 ??如果工作频率是,
对应波长为,
线的长度等于波长的一半，电磁波从一
端传到另一端要用二分之一周期的时间，
线的两端相位相差
可见线上各点相位不但与时间有关，还
与坐标有关，就是说沿线电压和电流的
分布不但是时间的函数也是坐标的函数。
为此引入“分布参数电路”的概念。
均匀传输线 （ uniform transmission
line） 是典型的 分布参数电路,
典型的均匀传输线是由为在均匀媒
质中放置的两根平行直导体构成
（ 两线架空线、同轴电缆、二芯电
缆等 ）
在均匀传输线中，电流在导线的电阻中引
起了 沿线的电压降 。
本章中主要分析两线架空线
为了计算沿线电压、电流的变化，
必须认为导线的每一长度元上
（无限小长度的一段），在线上
具有无限小的电阻、电感 ;在线间
具有电容和电导。
电流在导线周围形成磁场。变动的磁场 沿线产
生感应电动势 。
两线之间构成的电容会有 位移电流 通过
两线间绝缘不够理想会有 漏电流 通过。
分布参
数模型
)/,/(0 kmmR ??
)/,/(0 kmLmLL
)/,/(0 kmFmFC
)/,/(0 kmSmSG
电路的参数则认为是沿线分布的
每单位长度导线之间的电导
均匀传输线的参数是以每单位长度的数值来
表示的。
来回两条线上单位长度电阻
来回两条线上单位长度电感
每单位长度导线之间的电容
均匀传输线源参数?,,,,0000 GCLR
均匀传输线上各处电压 u和电流 i不仅是
时间 的函数，而且也是 空间 的函数。
如果将均匀传输线 始端 （电源端）作
为计算距离的 起点 。这样任意处 A的电
压 u和 i,如图所示，就都是该处离开
传输线始端的距离 x的函数。也就是说，
电压 u和电流 i既是时间 t的函数，也是
距离 x的函数。
11.2 均匀传输线的微分方程
A
B
u
u
1
ix dx
+
u
A B
dx
x
i
i
?
?
?
dxL
0
dxR
0
dxR
0
dxC
0
dxG
0
dxC
0
dxG
0
dxC
0
dxG
0
dx
x
u
u
?
?
?
dxL
0
i
dxx
设在传输线上的 A处沿线增加的方向取极短的一
段距离 AB，其长度为 dx。 由于这一段的长度极
其 微小, 故在这一段电路内可以 忽略 参数的 分
布性 。 于是得到如图所示的集总参数等效电路，
而无限多个这种小段的级联就组成整个传输线。
由于在 dx微段内已经用集总参数电路来
等效代替，就可以根据基尔霍夫两定律
来列写方程了。
因为电压 u是时间 t和距离 x的函数，所
以对一定的时间 t来说, 电压 u沿 x正方
向 （ 图中是由左到右 ） 的增加率为
dx
x
u
u
?
?
?
如果图中 A处的线间电压为 u,由于 A距 的距
离为 dx,故 B处的线间电压应为
x
u
?
?
由于电流 i流过 dx长度内的电阻 和电
感 时产生电压降，故根据基尔霍
夫电压定律有
dxR 0 xL0
t
idxLidxRdx
x
uuu
?
???
?
??? )()()(
00
t
i
LiR
x
u
?
?
??
?
?
? 00
t
i
dxLidxRdx
x
u
?
?
??
?
?
? )()( 00
x
i
?
?
dxxii ???
0)()()( 00 ???????????????? dxxuutdxCdxGdxxuudxxiii
2
2
00
2
00 )()( dxtx
uC
t
udxCdx
x
uGu d xGdx
x
i
??
??
?
??
?
???
?
??
2)(dx
同样地，对一定时间 t来说，电流 i沿 x正方向增
加率为
经过 dx后，电流就由 i变为
dxG0 dxC0由于 dx长度内线间漏电导 和线间电容 的存在：
略去上式中二阶无限小
t
uCuG
x
i
?
???
?
??
00
t
iLiR
x
u
?
???
?
??
00
（ 11-1）
（ 11-2）
均匀传输线
的微分方程
UYUCjUG
dx
Id
IZILjIR
dx
Ud
???
?
???
?
0
00
0
00
????
????
?
?
))(( 002
2
dx
IdLjR
dx
Ud ?? ??? ?
U
UCjGLjR
?
?
2
0000 ))((
?
??
?
???
11.3 均匀传输线的正弦稳态解
在均匀传输线正弦稳态情况下，式 (11-1)与 (11-2)
写成相量形式：
022
2
?? U
dx
Ud ??
?
rxrx eAeAU
21 ??
??
dx
Ud
LjR
I
??
00
1
??
??
x
C
x
C
xx
e
Z
A
e
Z
A
eAeA
LjR
??
??
?
?
21
21
00
)(
??
?
?
?
?
?
二阶常系
数线性微
分方程
通解
)711(21 ??? ?
? x
C
x
C
eZAeZAI ??
00
0000
0000
))((
CjG
LjRLjR
Z
CjGLjR
C
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
? 是一个无量纲的复数，叫做传输线的传播常数（ propagation coefficient）。
ZC具有电阻的量纲，叫做传输线的波阻抗或特
性复阻抗 (wave impedance)。
)611(21 ??? ? rxrx eAeAU ?
均匀传输线
正弦稳态解
121
121
IZAA
UAA
C
?
?
??
??
)(
2
1
)(
2
1
112
111
IZUA
IZUA
C
C
??
??
??
??
1U? 1I
?
11,IIUU ???? ??
如果始端的电压相量 和电流相量 是已知
的，即当 x=0 时，有，
将其代入式 （ 11-6） 和 （ 11-7），
U?
I?
得到传输线上任何处的线间电压相量
及线路电流相量 为,
x
C
C
x
C
C
x
C
x
C
eIZU
Z
eIZU
Z
I
eIZUeIZUU
??
??
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
1111
111
1
?????
?????
????
????
?
?
)(
2
1)(
2
1 xxxx eexsheexch ???? ?? ?? ????
xchIxsh
Z
U
I
xshZIxchUU
C
C
??
??
1
1
11
?
?
?
???
???
?? 双曲线函
数形式
因为
lchIlsh
Z
U
I
lshZIlchUU
C
C
??
??
1
1
2
112
?
?
?
???
???
??
,'xlx ??
2U? 2I?
如果传输线的长度为 l,则传输线终端的电压相
量 和电流相量 为：
2U?
2I?
如果已知的是传输线终端的电压相量 和电流
相量 则从传输线的终端起算较为方便。
令
)(
2
)(
1
'' xlxl eAeAU ??? ?? ???
x′是从传输线终端到所讨论的那一处的距离
图1 1 - 2 从开始端算起变为从终端算起的图示
.
1U
.
U
.
2U
x 'x
l
.
1I
.
2I
.
I
''
''
43
21
xx
xlxl
eAeA
eeAeeA
??
????
?
??
??
??
)(
2
)(
1
'' xlxl eAeAU ??? ?? ???
式中,
l
t
eAA
eAA
?
?
24
13
?
?
?
)(2)(1 '' xl
C
xl
C
e
Z
A
e
Z
A
I ??? ?? ???
''
''
43
21
x
C
x
C
xl
C
xl
C
e
Z
A
e
Z
A
ee
Z
A
ee
Z
A
??
????
?
??
??
??
0' ?x
2UU ?? ?
2II ?? ?
243
243
IZAA
UAA
C
?
?
??
??
)(
2
1
)(
2
1
224
223
IZUA
IZUA
C
C
??
??
??
??
)1611(
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
'
2222
2222
'
''
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?
?
x
C
C
x
C
C
x
C
x
C
eIZU
Z
eIZU
Z
I
eIZUeIZUU
??
??
?????
????
解得
?
?
?
?
?
??
??
'
2
'2
'
2
'
2
xchIxsh
Z
U
I
xshZIxchUU
C
C
??
??
?
?
??
双曲线函
数形式
kmR /09.00 ??
,/1048.8,/1033.1 9030 kmFCkmHL ?? ????
kmSG /101.0 60 ???
例 某三相超高压传输线的单相等效参数如下：
传输线的长度为 200km,传输线的终端线电压
为 220kV，负载功率为 160MW，功率因数为 0.9
（感性），
工作频率为 50HZ。求始端电压和电流及传输效
率。
?
CZ
解, 先计算传输线的传播常数 和波阻抗,
km
jj
/19.821007.1
85.87106 6 6.284.774 2 7 4.0
)106 8 4.2101.0)(4 1 7 8.009.0(
3
6
66
?
??
???
?????
?????
?
?
??
?
?
?
85.87106 6 6.2
84.774 2 7 4.0
6
00
00
??
?
?
?
?
? ?
CjG
LjR
Z C
?
?
???? ?0 05.54 00
?9.821007.1200 3 ???? ?l?
2 1 1 7.00 2 6 6.0 j??
ll eelch ??? ???
2
1
2
1
?
3 2 8.09 7 8.0
0 0 5 6.09 7 8.0
1 0 2 3.04 7 6.01 0 7 9.05 0 2.0
2
1
2
1
)21 17.002 65 6.0()21 17.002 65 6.0(
??
??
????
??
???
j
jj
ee
jj
ll eelsh ??? ???
2
1
2
1
?
??
0.832 1 2.0
2 1 0.00 2 6.0
4 8 6 9.05 1 3 5.0 13.1213.12
??
??
?? ?
j
ee jj
kVUUU l 1 2 7
3
2 2 0
3
0 222 ????? ???
22
2
2 c os3 ?
lU
PI ?
kA4 6 6 5.0
9.02203
160 ?
??
?
?8.259.0a r cc o s2 ???
??? 84.254 6 6 5.0222 ?????? ?II
lshZIlchUU C ?? 221 ??? ??
以终端相电压为参考相量,
kV
j
jj
?1.12152
93.315.148
22.313.24711.02.124
??
??
????
lchIlsh
Z
UI
C
?? 221 ?
??
??
kA
j
jj
?4.1743 4.0
12 94.041 41.0
19 65.041 17.006 71 4.000 23 91.0
???
??
????
kVUU l 2 6 39.1 5 133 11 ????
??? 48.2935.1713.121 ????
始端的线电压为
始端功率因数角为
1111 c o s3 ?IUP l?
MW1 7 2
48.29co s4 3 3 8.01.2 6 33
?
??? ?
%93930.0
1.172
160
1
2 ????
P
P?
输入功率为
传输效率为
kmSY /105.6 60 ???
例 某高压传输线的单相等效参数如下：
Z0=1 80oΩ/km
传输线的长度为 300km,传输线的终端接负载
线电压为 220kV，负载功率为 30MW，功率因
数为 0.9（感性），
求距始端 200km处 电压和电流及。
kVU 1152 ??
1 8 b )-( 1 1
1 8 a )-( 1 1
..
21
.
..
21
.
??
??
??
??
IIe
Z
A
e
Z
A
I
UUeAeAU
x
C
x
C
xx
????
????
?
?
电压相量的第一个分量 。因为
A1和 γ都是复数，故令,
电压向量 的瞬时值可以写为
eAU x?? ?? 1?
eA j?? 111 ? ??? j??
.
U?
均匀传输线方程解的一般形式（ 11-6）和（ 11-
7）都包含有两项，因此，传输线上任何处的
电压相量 U和电流相量 I都可以看成是由两个分
量所组成，即,
11.4 行波
? ? ? ?
? ?? ?
? ?? ?
? ?
19)-( 11
s i n2
2
2
2,
11
1
1
1
1
????
?
?
?
????
????
?
?
?
???
?
?
?
?
???
??
?
xte
eeI
eeeI
eUItxu
x
xtjx
m
tjxjj
m
tj
m
＝１－e x?? 0?当 时，,式（ 11-9）就变成,
? ? ? ? 20)-( 1 1 s i n2,11 ????? ??? xttxu
在传输线上某一固定点处 x=x1，电压 将随时间 t作正
弦变化，其振幅为 ；而在线上所有各点处，电压也
随时间作正弦变化，振幅都是,只是它们的初相不
同。对于某一固定时刻 t=t1，电压 将沿线长 x 作正弦
分布 (即随空间作正弦变化 )，其振幅为,如图 (11-3)
中实线所示。
12?
?U?
12?
12?
?U?
? ?
? ?? ?tx
xtu
111
111
s i n2
s i n2
????
?????
????
???
因
为
? ?
? ?? ?tx
tx
111
111
s i n2
s i n2
????
????
????
????
x
?
l
终端始端
tt 1?
v
u ?
x
ttt ???
1
0
图 ( 11 - 3 ) 时的 沿线分布曲线0?? u ?
?
?
?? t
1
1
?
? ? 的曲线图 s in2 4-11
11
tx ???? ??
? ? s i n2
11
tx ???? ??
x
?
?? )(
11
tt ???
0
当时间由 t1增长了 之后，电压 沿线长 x的分布
将如图 11-3中的虚线所示。这个分布曲线的振幅仍然
是,只是它的位置向 x增加的方向移动了 的距
离。
t? u?
12? x?
这样，在不同的时刻,就有不同位置的分布曲
线，形成一个向 x增加的方向移动的行波。下面来求一
下这个行波的速度。
u?
设传输线上某一点,在 时这点电压的
相位角为 11 tt ?? xx
111 ???? ??? xt
由于 决定着 沿传输线相位的变化情况，所以叫做
相位常数。当经过时间 后，这点的相位已不再是
而相位角仍旧是 的点为,于是有
u?
?
?
t?
? xx ??1
1111111 )()( ??????? ???????? xxttxt ??
由此得 0?? xt ?? ??
即 tx ??
???
由于 的幅角只能在 0～ 90o之间，因此，实部 和虚
部 都是正值。即 总是正的，故知传输线上相位角
永远保持为 的点的位置随着时间的增长而向 增加
的方向移动。
? ?
?
? x
x?
移动速度是
2 1 )-( 1 1 ???v
这个速度叫做行波的相位速度，简称相速。式 (11-21)
也可求出如下：
因为
)( 1 常数c o n s txt ??? ???
故
? ? 01 ??? ??? xt
dt
d
而
0??
dt
dx
??
即
?
?
??
dt
dx
v
行波的波长用 表示，它是行波相位差２
的两点间的距离 (图 11-3及图 11-4)。即,?
?
? ? ? ? ???????? 211 ??????? txtx
故 ??? 2?
22)-( 1 1
2
?
?
? ?
而
T
f
f
v
?
?
?
?
?
?
????
2
即在一个周期的时间内，行波所行进的距离 vt正好是一
个波长。
一般电力架空线的相位速度大致等于光速，故波长
kmm
f
v 6000106000
50
103 38 ???????
现在再来考虑波的衰减问题，当 时，有0??
? ? ? ?11 s i n2,???? ?? ??? ? xtetxu x
这是一个向 x增加方向、以速度 行进的正弦
波，它的振幅 随着波的前进而逐渐减小，
如图 (11-5)所示
???v
xe ?? ?12
0
1
2 ?
? ?txu,
?
x
l
?
?
utt
1
时的?
uΔttt ?的
1
??
沿线分布曲线图
?
u 5-11
v
x?
终端
上述电压行波 的行进方向是由传输线的始端指
向负载，所以叫做正向行波。
u?
同理，电压相量的另一个分量
的瞬时值
eeeAU xjjx )(2 2 2
.
????? ? ???
?? ? ? 23)-( 1 1 s i n22,22, ??????? ????
?
?
??
?? xteUItxu tj
m
。
dt
dx
v
x
??
?
?
２是一负值。波长则仍为
波速减小的方向移动，即其沿随着时间的增长
，其相位保持常数的点图也是一个行波
)611(
???
?
此行波 行进方向是与 行进方向相反，所以叫做反向
行波。
u?
? ?t,xu
?
0
x
终端
l
v
沿线分布曲线图 u
?
6-11
传输线上各处的电流也可以看成是由正向电流行
波与反向电流行波相叠加而成。其中电流的正向行波
分量的瞬时值为
??
?
??
?? tj
m eIIi
.
2 ???
? ? 24)-( 1 1 s i n21 1 1 ????? ? ???? ? xte
z
x
c
电流的反向行波分量的瞬时值为
? ?tjm eIIi 2 ??? ??
? ? 25)-( 1 1 s i n21 22 ????? ? ???? xte
z
x
c式中
?j
cc ezZ ?
，因而有电流的反行波分量
，波分量由式看出，电流正向行
Ｃ
．
．
Ｃ
．
．
Ｚ
Ｕ
＝Ｉ
Ｚ
Ｕ
＝Ｉ
?
?
?
?
2 6 )-( 1 1
.
.
.
.
eZ
I
U
I
U
j θ
cC z
???
?
?
?
?
所以 ZC为波阻抗。
.U
?
.
U?
.U
电压正向行波 与电压反向行波 的参考极性都和传
输线上的电压 的参考极性一致；而电流正向行波 的
参考方向和传输线上的电流的 参考方向一致，电流反
向行波 的参考方向和传输线上的电流 的参考方向相
反 (图 11-7)。
.I
?
.I
?
.I
.I 图 11 - 7 电压行波的参考极性和
电流行波的参考方向
?I
?
?I
?
I
?
?U
?
U
?
?U
?
11-5 波的反射与终端匹配的传输线
均匀传输线上任何一点的电压可以看作是相反方向
进行的两个电压行波之和，即
2 7 )-( 1 1
...
...
?
?
?
?
?
??
??
??
??
III
UUU
16)-( 1 1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
.
2
.
2
.
2
.
2
.
.
2
.
2
.
2
.
2
.
?
?
?
??
?
?
????
????
???
???
x
C
C
x
C
C
x
C
x
C
eIZU
Z
eIZU
Z
I
eIZUeIZUU
??
??
2 8 )-( 1 1 '2
2
2
.
.
.
.
e
ZZ
ZZ
I
I
U
U
N x
C
C ?
?
?
?
? ?
?
?
???
为终端负载。令,.,IUZ 222 ?
得终端反射系数
代入式处，将称为反射系数。在终端
)2811(
0
?
??xN
29)-( 1 1
2
2
2
C
C
ZZ
ZZ
N
?
?
?
从式 (11-28)可知，当终端短路 (即 Z2=0)时，终
端反射系数 N2=-1，这时行波发生全反射，且带
有符号变化。
当终端开路 (Z2=∞)时，终端反射系数 1
2 ?N
行波发生全反射，没有符号变化。
当传输线终端所接负载复阻抗正好等于传输线的
波阻抗 (即 Z2=ZC)时，终端反射系数 N2=0；这时在传输
线的终端就没有反射波存在，从而在传输线上任何处
也都没有反射波存在。工作在这种情况下的传输线叫
做无反射线。无反射条件得到满足时，叫做负载与传
输线匹配，简称匹配。
在无反射线上，由于有入射波而没有反射波存在，
则根据式 (11-16)，线上任何处的电压和电流为
?
?
?
?
?
?
?
???
??
????
???
eeIeIe
Z
U
.
I
ee
U
.
e
U
.
U
xjxβxx
C
xjxβx
.
???
??
22
2
22
...
而电压和电流的有效值为
3 0 )-( 1 1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
eII
eUU
x
x
?
?
代入，得在上式中，以 xlx ???
31)-( 1 1
1
2
)(
2
1
-
2
)(
2
??
?
?
?
???
???
???
??
xxlxl
xxlxl
eIeeIeII
eUeeUeUU
????
????
即：线上各处电压和电流的有效值都是按照指数规律从
始端之值逐渐衰减到终端值的，如图 11-8所示。
IU
0
x
l
图 11 - 8 沿线反射线电压,
电流有效值的
U 1
I 1
）有根据式（
时，在无反射线上，当
3011 ?
?? lx
.
2
.
1
.
2
.
1
l
l
eII
eUU
?
?
?
?
由
此
得
.
2
.
1
.
2
.
1 lnln
I
I
U
U
l ???
即
32)-( 1 1 ln
1
ln
1
.
2
.
1
.
2
.
1
I
I
lU
U
l
???
传输线在匹配状态 (Z2=ZC)下工作时，所能够传输
到终端的有功功率叫做传输线的自然功率。即
33)-( 1 1 c o sc o s
2
2
222 ??
c
n z
UIUPP ???
为阻抗角。式中,?
β ll eI IeUU ?? ?? 12 12 ?由式
(11-
31)有代入式 (11-33)，得
c o sc o s 211222 ?? ? leIUIUP ???
而始端的输入功率为
c o s111 ?IUP ?
故传输线在匹配状态下工作时，传输效率为
35)-( 1 1 2
1
2 le
P
P ?
? ??
例 11-2 对于例题 11-1的超高压传输线，试计算
在给定终端电压值下的自然功率。当这个传输线输送自
然功率时，传输线始端的电压和电流应是多少？传输效
率又是多少？
11.6 无损耗线的正弦稳态解
无损耗线就是 R0=0和 G0=0的均匀传输线。
因为无损耗线的 R0=0和 G0=0，所以它的传播常数为
36)-( 1 1 ))(( 000000 CLj ωCjGLjR ???? ???
即
000 0 CL??? ??
也就是，传输线上的行波是不衰减的，其传播速度为
3 7 )-( 1 1 1
00 CL
v ??
?
?
波阻抗为
38)-( 1 1
0
0
00
00 z
C
L
CjG
LjRZ
CC ???
??
?
?
.2U
设
已
知
无
损
耗
线
终
端
的
电
I
xjxs hj
xxhj
???
???
??
??
s i n
c o sc
1 7)-( 1 1
''
.
2
.
2
.
.
2
.
2
.
?
?
?
??
?
?
????
??
xchIxsh
Z
U
I
xshZIxchUU
C
C
??
??
则得无损耗线上任意处的电压和电流为
xshZIxchUU C ???? ??, 2,2.
xs h jZIxc h jU C ???? ??
.
2
.
2
39)-( 1 1 s i nc o s
.
2
.
2 xZjIxU C ???? ??
40)-( 1 1 s i nc o s
.
2
.
2 x
Z
U
jxI
c
???? ??
xsh
Z
U
xchII
C
???? ??
.
2
.
2
.
xs hj
Z
U
xc hjI
C
???? ??
.
2
.
2
式
中
，
是
终
x?
从传输线上这一处向终端看进去的输入复阻抗为
s i nc o s
s i nc o s
2
2
22
xα
z
U
jxαI
xαzIjxαU
I
U
Z
C
.
.
C
.
.
.
in
???
???
??
xα
z
Z
jxα
xαjzxαZ
C
C
???
???
?
s i nc o s
s i nc o s
2
2
41)-( 1 1
2
2
xtg αjZz
xtg αjzZ
z
C
.
C
C ?
?
??
?
式中,Z2是终端负载复阻抗
.
2
.
2
2
I
U
Z ?
得、则由式
，且设终端接有纯电阻负载
40)-( 1 139)-( 1 1
0
0
22
C
L
zRR C ??
? ?xjxUU ???? ?? s i nc o s,2.
4 2 )-( 1 1
2.
2
.
2
xjxj
eUeU
??
?? ?
?
?
(1)无损耗线终端匹配时
? ?xjxII ???? ?? s i nc o s,2.
4 3 )-( 1 1
2.
2
.
2
xjxj
eIeI
??
?? ?
?
?
写成瞬时值形式，因为
)
2
s i n (22Im 2
.
?
?
?
?? ?????
?
?
??
?? xtUeUu tj
)
2
s i n (22Im 2
.
?
?
?
?? ?????
?
?
??
?? xtIeIi tj
式中
iu j
.j.
eII eUU ?? 2222 ??
由于负载是纯电阻，故 ??? ??
iu
由上式看出，传输线上的电压和电流只有一个不衰减的正
向行波，即入射波，而无反射波存在；且电压与电流是同
相的。传输线上各处电压的有效值相等，各处电流的有效
值也相等，这时，传输线上各处的输入复阻抗都等于波阻
抗，即
44)-( 1 1
0
0
C
L
z
I
U
I
U
Z c.
.
in ????
（ 2）无损耗线终端开路时
:)4011(
)3911(0 22
为
和时，式，当终端开路，即
?
????
?
ZI
45)-( 1 1
2
c o sc o s 22 x
λ
π
UxαUU
...
????
??
?
??
?? tjeUu ?.2Im
46)-( 11
2
s i ns i n
22
x
λ
π
z
U
jxα
z
U
jI
CC
.
.
????
?
写成瞬时值形式为
47)-( 1 1 )s i n (
2
c o s2 2 utxU ??
?
?
???
??
?
??
?? tjeIi ?.2Im
48)-( 1 1 )90s i n (2s i n2 2 ????? i
C
tx
z
U ??
?
?
式 (11-47)和 (11-48)表明，电压和电流在时间相位上
相差 90°,在空间相位上也相差 90° 。图 11-9(a)画出了
几个不同时间电压 u与电流 i沿线分布的情况 (实线代表电
压，虚线代表电流 )。由图看出，在线的终端 (x’=0)和离开
终端的距离为
)(k
2
为整数 λkx ??
的各点处，总出现电压的极大值和电流的零值
?
x ?
iu
0
图1 1 - 9 终端开路时的无损耗线( a )
把总出现电压极大值的点叫做电压的波腹，而把总出
现电流零值的点叫做电流的波节。即在离开线终端的
距离为
)(k
2
为整数?kx ??
而在离开线终端的距离为
)(k 4)12( 为整数???? kx
的各点处，总出现电压的波腹和电流的波节。
的各点处，总出现电压的波节和电流的波腹。
无损耗线的输入复阻抗
，就得到终端开路的）中，令在式（ ??? 24111 Z
49)-( 1 1 2CC xc t gjzxc t gjzZ in ?????? ???
所示。
的回路来代表，如图等时，则可用串联谐振、
、的回路来代表；而当传输线可以用并联谐振
等时，、、。当，电抗性质就改变一次每隔
等等，则是一感抗。即到和从到
个容抗；而从等等，输入复阻抗是一到
和从到从它是一个纯电抗。而且
)b(911
4
5
4
3
4
2
0
4
4
3
2
44
3
24
0
?
?
?
???
??
????
??
?
?
??
??
?
?
?
??
x
x'
x'x'x'
x'x'
x'x'x
49)-( 1 1 2CC xc t gjzxc t gjzZ in ?????? ???
0
4
1
2
1
4
3
' ???????? λ x 'xλ xλ x x ?
in
Z
in
Z
x ?
(b)
图11-9 终端开路时的无损耗线
(3)终端短路
00 22 ???,ZU
50)-( 1 1 2s i ns i n
.
2
.
2
.
xIjzxIjzU CC ????
?
??
51)-( 1 1 2c o sc o s
.
2
.
2 xIxII
.
????
?
??
它的瞬时值为
53)-( 1 1 )s i n (2c o s2 2 itxIi ??
?
? ???
52)-( 1 1 )90s i n (2s i n2 2 ????? iC txIzU ??
?
?
时，式 (11-39)和 (11-40)变为
从
上
式
可
以
看
出
，
沿
传
输
线
电
4?
?
x ?
iu
0
图1 1 - 1 0 终端短路时的无损耗线( a )
所示。代表，如图则可用并联谐振回路来
等时，、、表；而当以用串联谐振回路来代
等时，传输线可、、抗性质就改变一次。当
，电则是一容抗。即每隔时感抗；而从
时输入复阻抗是一个它是一个纯电抗。而且
)b(1011
4
5
4
3
4
2
0
4
,
24
4
?
?
?
??
?
??
?
?
?
???
?
x
x'
x'
x'
为无损耗线的输入复阻抗
，就得到终端短路的）中，令在式（ 04111 2 ?? Z
54)-( 1 1 2CC xtgjzxtgjzZ in ????
?
??
0
4
1
2
1
4
3
??????? λ x 'λ x 'λ x 'x x ?
in
Z
in
Z
0
x ?
图 11 - 10 终端短路时的无损耗线 ( b )
in
Z
长度为则可求出终端开路线的容抗
的时，如已知所需的电容元件。当用作电容元件
这时它可作为电感是一纯电感时，当；容抗故可作为电容元件它的输入复阻抗为一纯
时，当的无损耗线为对于终端开路的一段长
C
X
Zl
ll
,
24
4
,
in
??
?
??
?
55)-( 1 1
2
1
C
C
z
Xc tgl ??
?
?
1 的单位是弧度。上式中
C
C
z
Xc t g ?
? ? ? ? 4111Z 2 得时，根据式因为当终端开路 ???
49)-( 1 1 2CC xc t gjzxc t gjzZ in ??????
?
??
xc t gjz
xj t g
z
Z CC ???
?
? ?
?in
xc t gjz C ???
?
?2
lc t gjzjX CC
?
?2???
C
C
z
X
c tgl 1
2
??
?
?
故
为短路的无损耗线的长度
，则可求出终端的感抗件。如已知所需的电感
电感元为一纯电感，故可作为它的输入复阻抗
时，当的无损耗线为对于终端短路的一段长
L
X
Z
ll
in
4
,
?
?
5 6 )-( 1 1
2
1
C
L
z
X
tgl ??
?
?
1 的单位是弧度。上式中
C
L
z
Xtg ?
? ? ? ? 41110Z 2 得时，根据式因为当终端短路 ??
xtgjzxtgjzZ CC ????
?
?? 2
in
ltgjzjX CL
?
?2
?
C
L
z
X
tgl 1
2
??
?
?
故
由于长度为 的终端短路的无损耗线的输入复阻抗
为无限大，故可用它作为支持绝缘子。
4?◆
如
在
4?◆
因为毫安计可以看成短路，因而对这个测量装置来说，
根据式 (11-50)有
.
2
.
2
.
1 2s i n IjzIjzU CC ??
?
4
2
4
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
tgjZz
tgjzZ
z
xt g ajZz
xt g ajzZ
zZ
C
C
C
C
C
Cin
?
?
?
??
??
?
长
的
无
损
耗
线
还
可
以
4?4?
◆
57)-( 1 1
2
2
2
2
2
2
Z
Z
tgjZz
tgjzZ
zZ
C
C
C
Cin ?
?
?
?
?
?
由
上
式
可
见
，
输
入
复
阻
4?
例 11-3 某超高频信号发生器的并联谐振电路由
电子管的极间电容 C和一段终端短路的无损耗线（介质
为空气）所组成，已知电子管的极间电容 C=2pF，无损
耗线的波阻抗 ZC=300?，信号发生器的工作波长 λ =3m
，试求无损耗线的长度 l 应是多少？
例 11-4 为了使 zc1=550?和 zc2=250?的两个传输线达到
匹配，采用一段长度为的无损耗线（图 11-13），求这
段线的波阻抗 zC。
C
A
B
D
4
?
图 11 - 13 例 11 - 4
z
c 1
z
c 2z
c
例 11-5 一个长度为 100m的无损耗线，它的参数为
L0=2.2×10-6H/m,C0=5.05×10-12F/m，波长 λ =20m，
试求：（ 1）无损耗线的波阻抗 ZC、相位常数及波速。
（ 2）当终端接一个 100pF的电容时，电压波和电
流波最靠近终端的波腹的位置。
§ 11-7 无损耗线方程的通解
对于无损耗线，式 (11-1)和 (11-2)变为
5 8 )-( 1 1 0
x
u
t
i
L
?
?
??
?
?
59)-( 1 1 0
x
i
t
u
C
?
?
??
?
?
此两式的通解具有下列形式,
? ? ?? ? ? 60)-( 11,21 txFtxFtxu ?? ????
?? ? ? ? ? 61)-( 1 1 11,22 txF
Z
txF
Z
txi
CC
?? ????
的函数。
是两个任意和线的波速和波阻抗。
分别为无损耗，式中，
21
0
0
0
00
1
FF
C
L
Z
CL
υ ??
式 (11-60)和 (11-61)是偏微分方程式 (11-58)和 (11-59)
的一般解。解答的形式说明了传输线上的电压和电流都
由两个分量所构成，先来看电压的第一个分量
? ? 6 2 )-( 1 1 1 txFu ?? ??
时的值为在假定传输线上某点 1,' ttxx ??
?? ? ?,1111 txFtxu ?? ??
ttt ??? 1
xxx ??? 1
1x
则在 时，线上 处 之值改变了，这时，
设在 处 的值仍保持和上式的值相等，
因而有 ?u
?u
? ? ? ? ttxxtx ??????? 1111 ??
0???? tx ?
由此得
即
t
x
?
?
??
这就表明，传输线上电压分量 之值保持不变之点的
位置经过时间 以后速度 v向 x增加的方向行进了一个
距离 。也就是 (11-62)代表的是一个以速度 v向 x 增
加方向 (从始端向终端 )进行的行波，叫做正向行波 (图
11-16)
?u
t?
x?
同理，把电压的第二个分量
? ? 63)-( 1 1 22 txFu ?? ??
叫做反向行波，它以同样的速度 v向 x 减小的方向 (从
终端向始端 )行进的波。在这里,v是无损耗线中行波在
暂态时的波速，其值与行波在稳态时的相速相同。在
架空线中
sm
CL
/103
1 8
00
????
? ? 6 4 )-( 1 1 1 1
CC z
u
txF
z
i ?? ? ???
? ? 6 5 )-( 1 1 1 1
CC z
u
txF
z
i ?? ? ???
电流的正向行波分量为
而电流的反向行波分量为
x?
1
tt ? ttt ???
1
?
?
?
x0
图1 1 - 1 6 正向
图1 1 - 1 7 电压行波的参考极性和
电流行波的参考方向
?
i
?
ii
?
.
u
.
u ?
.
u
传输线的电压和电流分别为
? ? 6 6 )-( 1 1,ψuutxu ?? ?
? ? 6 7 )-( 1 1,
C
ψ
C
ψ Z
u
-
Z
u
iitxi ?? ???
电压正向行波 与电压反向行波 的参考极性都和
传输线上的电压 u的参考极性相同；而电流正向行波
的参考方向 和传输线上的电流 i的参考方向相同，
电流反向行波 的参考方向和传输线上的电流的参考
方向相反（图 11-7）。
?u ?u
?i
?i
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
内容提要：本章学习均匀传输线的方程及
正弦稳态解；学习波的传输及反射，无损
耗传输线的各种工作状态；介绍无损耗传
输线方程的通解及传输线的波过程。
11 分布参数电路及均匀传输线
本章重点：理解分布参数电路的概念和
分析方法 ;掌握无损耗传输线的正弦稳
态解。
11.1 分布参数电路及均匀传输线的概念
11.2 均匀传输线的微分方程
11.3 均匀传输线的正弦稳态解
11.4 行波
11.5 波的反射与终端匹配的传输线
11.6 无损耗线的正弦稳态解
前面研究的电路都属于,集总参数电
路,。集总参数电路的显著特点是元件
的电路的 尺寸 是,很小,的。这个“很
小”是相对于工作频率所对应的波长 λ
而言的。根据电磁场理论，电磁波是以
有限速度传播的，这个速度就是光速，
在真空中 。当电路尺寸不
是“很小”的时候，用集总参数电路的
分析方法就不能准确地反映实际情况。
smv /103 8??
11.1 分布参数电路及均匀传输线的概念
例如，一对长 的传输线，电磁波
从一端到另一端需要：
svlt 98' 105.2103/75.0/ ??????
ml 75.0?
Hzf 3102 ??如果它工作在 的条件下，对应的波
长为,m
538 105.1102/103 ??????
电磁波从一端传播到另一端的时间 相对于
电磁波的周期 T可以忽略不计。
't
msT 5.0?周期为：
线上各个点的相位可以看作是相同的，在同
一时刻沿线各点的电压电流分布是相同的。
m5.1102/103 88 ?????
?
Hzf 8102 ??如果工作频率是,
对应波长为,
线的长度等于波长的一半，电磁波从一
端传到另一端要用二分之一周期的时间，
线的两端相位相差
可见线上各点相位不但与时间有关，还
与坐标有关，就是说沿线电压和电流的
分布不但是时间的函数也是坐标的函数。
为此引入“分布参数电路”的概念。
均匀传输线 （ uniform transmission
line） 是典型的 分布参数电路,
典型的均匀传输线是由为在均匀媒
质中放置的两根平行直导体构成
（ 两线架空线、同轴电缆、二芯电
缆等 ）
在均匀传输线中，电流在导线的电阻中引
起了 沿线的电压降 。
本章中主要分析两线架空线
为了计算沿线电压、电流的变化，
必须认为导线的每一长度元上
（无限小长度的一段），在线上
具有无限小的电阻、电感 ;在线间
具有电容和电导。
电流在导线周围形成磁场。变动的磁场 沿线产
生感应电动势 。
两线之间构成的电容会有 位移电流 通过
两线间绝缘不够理想会有 漏电流 通过。
分布参
数模型
)/,/(0 kmmR ??
)/,/(0 kmLmLL
)/,/(0 kmFmFC
)/,/(0 kmSmSG
电路的参数则认为是沿线分布的
每单位长度导线之间的电导
均匀传输线的参数是以每单位长度的数值来
表示的。
来回两条线上单位长度电阻
来回两条线上单位长度电感
每单位长度导线之间的电容
均匀传输线源参数?,,,,0000 GCLR
均匀传输线上各处电压 u和电流 i不仅是
时间 的函数，而且也是 空间 的函数。
如果将均匀传输线 始端 （电源端）作
为计算距离的 起点 。这样任意处 A的电
压 u和 i,如图所示，就都是该处离开
传输线始端的距离 x的函数。也就是说，
电压 u和电流 i既是时间 t的函数，也是
距离 x的函数。
11.2 均匀传输线的微分方程
A
B
u
u
1
ix dx
+
u
A B
dx
x
i
i
?
?
?
dxL
0
dxR
0
dxR
0
dxC
0
dxG
0
dxC
0
dxG
0
dxC
0
dxG
0
dx
x
u
u
?
?
?
dxL
0
i
dxx
设在传输线上的 A处沿线增加的方向取极短的一
段距离 AB，其长度为 dx。 由于这一段的长度极
其 微小, 故在这一段电路内可以 忽略 参数的 分
布性 。 于是得到如图所示的集总参数等效电路，
而无限多个这种小段的级联就组成整个传输线。
由于在 dx微段内已经用集总参数电路来
等效代替，就可以根据基尔霍夫两定律
来列写方程了。
因为电压 u是时间 t和距离 x的函数，所
以对一定的时间 t来说, 电压 u沿 x正方
向 （ 图中是由左到右 ） 的增加率为
dx
x
u
u
?
?
?
如果图中 A处的线间电压为 u,由于 A距 的距
离为 dx,故 B处的线间电压应为
x
u
?
?
由于电流 i流过 dx长度内的电阻 和电
感 时产生电压降，故根据基尔霍
夫电压定律有
dxR 0 xL0
t
idxLidxRdx
x
uuu
?
???
?
??? )()()(
00
t
i
LiR
x
u
?
?
??
?
?
? 00
t
i
dxLidxRdx
x
u
?
?
??
?
?
? )()( 00
x
i
?
?
dxxii ???
0)()()( 00 ???????????????? dxxuutdxCdxGdxxuudxxiii
2
2
00
2
00 )()( dxtx
uC
t
udxCdx
x
uGu d xGdx
x
i
??
??
?
??
?
???
?
??
2)(dx
同样地，对一定时间 t来说，电流 i沿 x正方向增
加率为
经过 dx后，电流就由 i变为
dxG0 dxC0由于 dx长度内线间漏电导 和线间电容 的存在：
略去上式中二阶无限小
t
uCuG
x
i
?
???
?
??
00
t
iLiR
x
u
?
???
?
??
00
（ 11-1）
（ 11-2）
均匀传输线
的微分方程
UYUCjUG
dx
Id
IZILjIR
dx
Ud
???
?
???
?
0
00
0
00
????
????
?
?
))(( 002
2
dx
IdLjR
dx
Ud ?? ??? ?
U
UCjGLjR
?
?
2
0000 ))((
?
??
?
???
11.3 均匀传输线的正弦稳态解
在均匀传输线正弦稳态情况下，式 (11-1)与 (11-2)
写成相量形式：
022
2
?? U
dx
Ud ??
?
rxrx eAeAU
21 ??
??
dx
Ud
LjR
I
??
00
1
??
??
x
C
x
C
xx
e
Z
A
e
Z
A
eAeA
LjR
??
??
?
?
21
21
00
)(
??
?
?
?
?
?
二阶常系
数线性微
分方程
通解
)711(21 ??? ?
? x
C
x
C
eZAeZAI ??
00
0000
0000
))((
CjG
LjRLjR
Z
CjGLjR
C
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
? 是一个无量纲的复数，叫做传输线的传播常数（ propagation coefficient）。
ZC具有电阻的量纲，叫做传输线的波阻抗或特
性复阻抗 (wave impedance)。
)611(21 ??? ? rxrx eAeAU ?
均匀传输线
正弦稳态解
121
121
IZAA
UAA
C
?
?
??
??
)(
2
1
)(
2
1
112
111
IZUA
IZUA
C
C
??
??
??
??
1U? 1I
?
11,IIUU ???? ??
如果始端的电压相量 和电流相量 是已知
的，即当 x=0 时，有，
将其代入式 （ 11-6） 和 （ 11-7），
U?
I?
得到传输线上任何处的线间电压相量
及线路电流相量 为,
x
C
C
x
C
C
x
C
x
C
eIZU
Z
eIZU
Z
I
eIZUeIZUU
??
??
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
1111
111
1
?????
?????
????
????
?
?
)(
2
1)(
2
1 xxxx eexsheexch ???? ?? ?? ????
xchIxsh
Z
U
I
xshZIxchUU
C
C
??
??
1
1
11
?
?
?
???
???
?? 双曲线函
数形式
因为
lchIlsh
Z
U
I
lshZIlchUU
C
C
??
??
1
1
2
112
?
?
?
???
???
??
,'xlx ??
2U? 2I?
如果传输线的长度为 l,则传输线终端的电压相
量 和电流相量 为：
2U?
2I?
如果已知的是传输线终端的电压相量 和电流
相量 则从传输线的终端起算较为方便。
令
)(
2
)(
1
'' xlxl eAeAU ??? ?? ???
x′是从传输线终端到所讨论的那一处的距离
图1 1 - 2 从开始端算起变为从终端算起的图示
.
1U
.
U
.
2U
x 'x
l
.
1I
.
2I
.
I
''
''
43
21
xx
xlxl
eAeA
eeAeeA
??
????
?
??
??
??
)(
2
)(
1
'' xlxl eAeAU ??? ?? ???
式中,
l
t
eAA
eAA
?
?
24
13
?
?
?
)(2)(1 '' xl
C
xl
C
e
Z
A
e
Z
A
I ??? ?? ???
''
''
43
21
x
C
x
C
xl
C
xl
C
e
Z
A
e
Z
A
ee
Z
A
ee
Z
A
??
????
?
??
??
??
0' ?x
2UU ?? ?
2II ?? ?
243
243
IZAA
UAA
C
?
?
??
??
)(
2
1
)(
2
1
224
223
IZUA
IZUA
C
C
??
??
??
??
)1611(
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
'
2222
2222
'
''
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?
?
x
C
C
x
C
C
x
C
x
C
eIZU
Z
eIZU
Z
I
eIZUeIZUU
??
??
?????
????
解得
?
?
?
?
?
??
??
'
2
'2
'
2
'
2
xchIxsh
Z
U
I
xshZIxchUU
C
C
??
??
?
?
??
双曲线函
数形式
kmR /09.00 ??
,/1048.8,/1033.1 9030 kmFCkmHL ?? ????
kmSG /101.0 60 ???
例 某三相超高压传输线的单相等效参数如下：
传输线的长度为 200km,传输线的终端线电压
为 220kV，负载功率为 160MW，功率因数为 0.9
（感性），
工作频率为 50HZ。求始端电压和电流及传输效
率。
?
CZ
解, 先计算传输线的传播常数 和波阻抗,
km
jj
/19.821007.1
85.87106 6 6.284.774 2 7 4.0
)106 8 4.2101.0)(4 1 7 8.009.0(
3
6
66
?
??
???
?????
?????
?
?
??
?
?
?
85.87106 6 6.2
84.774 2 7 4.0
6
00
00
??
?
?
?
?
? ?
CjG
LjR
Z C
?
?
???? ?0 05.54 00
?9.821007.1200 3 ???? ?l?
2 1 1 7.00 2 6 6.0 j??
ll eelch ??? ???
2
1
2
1
?
3 2 8.09 7 8.0
0 0 5 6.09 7 8.0
1 0 2 3.04 7 6.01 0 7 9.05 0 2.0
2
1
2
1
)21 17.002 65 6.0()21 17.002 65 6.0(
??
??
????
??
???
j
jj
ee
jj
ll eelsh ??? ???
2
1
2
1
?
??
0.832 1 2.0
2 1 0.00 2 6.0
4 8 6 9.05 1 3 5.0 13.1213.12
??
??
?? ?
j
ee jj
kVUUU l 1 2 7
3
2 2 0
3
0 222 ????? ???
22
2
2 c os3 ?
lU
PI ?
kA4 6 6 5.0
9.02203
160 ?
??
?
?8.259.0a r cc o s2 ???
??? 84.254 6 6 5.0222 ?????? ?II
lshZIlchUU C ?? 221 ??? ??
以终端相电压为参考相量,
kV
j
jj
?1.12152
93.315.148
22.313.24711.02.124
??
??
????
lchIlsh
Z
UI
C
?? 221 ?
??
??
kA
j
jj
?4.1743 4.0
12 94.041 41.0
19 65.041 17.006 71 4.000 23 91.0
???
??
????
kVUU l 2 6 39.1 5 133 11 ????
??? 48.2935.1713.121 ????
始端的线电压为
始端功率因数角为
1111 c o s3 ?IUP l?
MW1 7 2
48.29co s4 3 3 8.01.2 6 33
?
??? ?
%93930.0
1.172
160
1
2 ????
P
P?
输入功率为
传输效率为
kmSY /105.6 60 ???
例 某高压传输线的单相等效参数如下：
Z0=1 80oΩ/km
传输线的长度为 300km,传输线的终端接负载
线电压为 220kV，负载功率为 30MW，功率因
数为 0.9（感性），
求距始端 200km处 电压和电流及。
kVU 1152 ??
1 8 b )-( 1 1
1 8 a )-( 1 1
..
21
.
..
21
.
??
??
??
??
IIe
Z
A
e
Z
A
I
UUeAeAU
x
C
x
C
xx
????
????
?
?
电压相量的第一个分量 。因为
A1和 γ都是复数，故令,
电压向量 的瞬时值可以写为
eAU x?? ?? 1?
eA j?? 111 ? ??? j??
.
U?
均匀传输线方程解的一般形式（ 11-6）和（ 11-
7）都包含有两项，因此，传输线上任何处的
电压相量 U和电流相量 I都可以看成是由两个分
量所组成，即,
11.4 行波
? ? ? ?
? ?? ?
? ?? ?
? ?
19)-( 11
s i n2
2
2
2,
11
1
1
1
1
????
?
?
?
????
????
?
?
?
???
?
?
?
?
???
??
?
xte
eeI
eeeI
eUItxu
x
xtjx
m
tjxjj
m
tj
m
＝１－e x?? 0?当 时，,式（ 11-9）就变成,
? ? ? ? 20)-( 1 1 s i n2,11 ????? ??? xttxu
在传输线上某一固定点处 x=x1，电压 将随时间 t作正
弦变化，其振幅为 ；而在线上所有各点处，电压也
随时间作正弦变化，振幅都是,只是它们的初相不
同。对于某一固定时刻 t=t1，电压 将沿线长 x 作正弦
分布 (即随空间作正弦变化 )，其振幅为,如图 (11-3)
中实线所示。
12?
?U?
12?
12?
?U?
? ?
? ?? ?tx
xtu
111
111
s i n2
s i n2
????
?????
????
???
因
为
? ?
? ?? ?tx
tx
111
111
s i n2
s i n2
????
????
????
????
x
?
l
终端始端
tt 1?
v
u ?
x
ttt ???
1
0
图 ( 11 - 3 ) 时的 沿线分布曲线0?? u ?
?
?
?? t
1
1
?
? ? 的曲线图 s in2 4-11
11
tx ???? ??
? ? s i n2
11
tx ???? ??
x
?
?? )(
11
tt ???
0
当时间由 t1增长了 之后，电压 沿线长 x的分布
将如图 11-3中的虚线所示。这个分布曲线的振幅仍然
是,只是它的位置向 x增加的方向移动了 的距
离。
t? u?
12? x?
这样，在不同的时刻,就有不同位置的分布曲
线，形成一个向 x增加的方向移动的行波。下面来求一
下这个行波的速度。
u?
设传输线上某一点,在 时这点电压的
相位角为 11 tt ?? xx
111 ???? ??? xt
由于 决定着 沿传输线相位的变化情况，所以叫做
相位常数。当经过时间 后，这点的相位已不再是
而相位角仍旧是 的点为,于是有
u?
?
?
t?
? xx ??1
1111111 )()( ??????? ???????? xxttxt ??
由此得 0?? xt ?? ??
即 tx ??
???
由于 的幅角只能在 0～ 90o之间，因此，实部 和虚
部 都是正值。即 总是正的，故知传输线上相位角
永远保持为 的点的位置随着时间的增长而向 增加
的方向移动。
? ?
?
? x
x?
移动速度是
2 1 )-( 1 1 ???v
这个速度叫做行波的相位速度，简称相速。式 (11-21)
也可求出如下：
因为
)( 1 常数c o n s txt ??? ???
故
? ? 01 ??? ??? xt
dt
d
而
0??
dt
dx
??
即
?
?
??
dt
dx
v
行波的波长用 表示，它是行波相位差２
的两点间的距离 (图 11-3及图 11-4)。即,?
?
? ? ? ? ???????? 211 ??????? txtx
故 ??? 2?
22)-( 1 1
2
?
?
? ?
而
T
f
f
v
?
?
?
?
?
?
????
2
即在一个周期的时间内，行波所行进的距离 vt正好是一
个波长。
一般电力架空线的相位速度大致等于光速，故波长
kmm
f
v 6000106000
50
103 38 ???????
现在再来考虑波的衰减问题，当 时，有0??
? ? ? ?11 s i n2,???? ?? ??? ? xtetxu x
这是一个向 x增加方向、以速度 行进的正弦
波，它的振幅 随着波的前进而逐渐减小，
如图 (11-5)所示
???v
xe ?? ?12
0
1
2 ?
? ?txu,
?
x
l
?
?
utt
1
时的?
uΔttt ?的
1
??
沿线分布曲线图
?
u 5-11
v
x?
终端
上述电压行波 的行进方向是由传输线的始端指
向负载，所以叫做正向行波。
u?
同理，电压相量的另一个分量
的瞬时值
eeeAU xjjx )(2 2 2
.
????? ? ???
?? ? ? 23)-( 1 1 s i n22,22, ??????? ????
?
?
??
?? xteUItxu tj
m
。
dt
dx
v
x
??
?
?
２是一负值。波长则仍为
波速减小的方向移动，即其沿随着时间的增长
，其相位保持常数的点图也是一个行波
)611(
???
?
此行波 行进方向是与 行进方向相反，所以叫做反向
行波。
u?
? ?t,xu
?
0
x
终端
l
v
沿线分布曲线图 u
?
6-11
传输线上各处的电流也可以看成是由正向电流行
波与反向电流行波相叠加而成。其中电流的正向行波
分量的瞬时值为
??
?
??
?? tj
m eIIi
.
2 ???
? ? 24)-( 1 1 s i n21 1 1 ????? ? ???? ? xte
z
x
c
电流的反向行波分量的瞬时值为
? ?tjm eIIi 2 ??? ??
? ? 25)-( 1 1 s i n21 22 ????? ? ???? xte
z
x
c式中
?j
cc ezZ ?
，因而有电流的反行波分量
，波分量由式看出，电流正向行
Ｃ
．
．
Ｃ
．
．
Ｚ
Ｕ
＝Ｉ
Ｚ
Ｕ
＝Ｉ
?
?
?
?
2 6 )-( 1 1
.
.
.
.
eZ
I
U
I
U
j θ
cC z
???
?
?
?
?
所以 ZC为波阻抗。
.U
?
.
U?
.U
电压正向行波 与电压反向行波 的参考极性都和传
输线上的电压 的参考极性一致；而电流正向行波 的
参考方向和传输线上的电流的 参考方向一致，电流反
向行波 的参考方向和传输线上的电流 的参考方向相
反 (图 11-7)。
.I
?
.I
?
.I
.I 图 11 - 7 电压行波的参考极性和
电流行波的参考方向
?I
?
?I
?
I
?
?U
?
U
?
?U
?
11-5 波的反射与终端匹配的传输线
均匀传输线上任何一点的电压可以看作是相反方向
进行的两个电压行波之和，即
2 7 )-( 1 1
...
...
?
?
?
?
?
??
??
??
??
III
UUU
16)-( 1 1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
.
2
.
2
.
2
.
2
.
.
2
.
2
.
2
.
2
.
?
?
?
??
?
?
????
????
???
???
x
C
C
x
C
C
x
C
x
C
eIZU
Z
eIZU
Z
I
eIZUeIZUU
??
??
2 8 )-( 1 1 '2
2
2
.
.
.
.
e
ZZ
ZZ
I
I
U
U
N x
C
C ?
?
?
?
? ?
?
?
???
为终端负载。令,.,IUZ 222 ?
得终端反射系数
代入式处，将称为反射系数。在终端
)2811(
0
?
??xN
29)-( 1 1
2
2
2
C
C
ZZ
ZZ
N
?
?
?
从式 (11-28)可知，当终端短路 (即 Z2=0)时，终
端反射系数 N2=-1，这时行波发生全反射，且带
有符号变化。
当终端开路 (Z2=∞)时，终端反射系数 1
2 ?N
行波发生全反射，没有符号变化。
当传输线终端所接负载复阻抗正好等于传输线的
波阻抗 (即 Z2=ZC)时，终端反射系数 N2=0；这时在传输
线的终端就没有反射波存在，从而在传输线上任何处
也都没有反射波存在。工作在这种情况下的传输线叫
做无反射线。无反射条件得到满足时，叫做负载与传
输线匹配，简称匹配。
在无反射线上，由于有入射波而没有反射波存在，
则根据式 (11-16)，线上任何处的电压和电流为
?
?
?
?
?
?
?
???
??
????
???
eeIeIe
Z
U
.
I
ee
U
.
e
U
.
U
xjxβxx
C
xjxβx
.
???
??
22
2
22
...
而电压和电流的有效值为
3 0 )-( 1 1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
eII
eUU
x
x
?
?
代入，得在上式中，以 xlx ???
31)-( 1 1
1
2
)(
2
1
-
2
)(
2
??
?
?
?
???
???
???
??
xxlxl
xxlxl
eIeeIeII
eUeeUeUU
????
????
即：线上各处电压和电流的有效值都是按照指数规律从
始端之值逐渐衰减到终端值的，如图 11-8所示。
IU
0
x
l
图 11 - 8 沿线反射线电压,
电流有效值的
U 1
I 1
）有根据式（
时，在无反射线上，当
3011 ?
?? lx
.
2
.
1
.
2
.
1
l
l
eII
eUU
?
?
?
?
由
此
得
.
2
.
1
.
2
.
1 lnln
I
I
U
U
l ???
即
32)-( 1 1 ln
1
ln
1
.
2
.
1
.
2
.
1
I
I
lU
U
l
???
传输线在匹配状态 (Z2=ZC)下工作时，所能够传输
到终端的有功功率叫做传输线的自然功率。即
33)-( 1 1 c o sc o s
2
2
222 ??
c
n z
UIUPP ???
为阻抗角。式中,?
β ll eI IeUU ?? ?? 12 12 ?由式
(11-
31)有代入式 (11-33)，得
c o sc o s 211222 ?? ? leIUIUP ???
而始端的输入功率为
c o s111 ?IUP ?
故传输线在匹配状态下工作时，传输效率为
35)-( 1 1 2
1
2 le
P
P ?
? ??
例 11-2 对于例题 11-1的超高压传输线，试计算
在给定终端电压值下的自然功率。当这个传输线输送自
然功率时，传输线始端的电压和电流应是多少？传输效
率又是多少？
11.6 无损耗线的正弦稳态解
无损耗线就是 R0=0和 G0=0的均匀传输线。
因为无损耗线的 R0=0和 G0=0，所以它的传播常数为
36)-( 1 1 ))(( 000000 CLj ωCjGLjR ???? ???
即
000 0 CL??? ??
也就是，传输线上的行波是不衰减的，其传播速度为
3 7 )-( 1 1 1
00 CL
v ??
?
?
波阻抗为
38)-( 1 1
0
0
00
00 z
C
L
CjG
LjRZ
CC ???
??
?
?
.2U
设
已
知
无
损
耗
线
终
端
的
电
I
xjxs hj
xxhj
???
???
??
??
s i n
c o sc
1 7)-( 1 1
''
.
2
.
2
.
.
2
.
2
.
?
?
?
??
?
?
????
??
xchIxsh
Z
U
I
xshZIxchUU
C
C
??
??
则得无损耗线上任意处的电压和电流为
xshZIxchUU C ???? ??, 2,2.
xs h jZIxc h jU C ???? ??
.
2
.
2
39)-( 1 1 s i nc o s
.
2
.
2 xZjIxU C ???? ??
40)-( 1 1 s i nc o s
.
2
.
2 x
Z
U
jxI
c
???? ??
xsh
Z
U
xchII
C
???? ??
.
2
.
2
.
xs hj
Z
U
xc hjI
C
???? ??
.
2
.
2
式
中
，
是
终
x?
从传输线上这一处向终端看进去的输入复阻抗为
s i nc o s
s i nc o s
2
2
22
xα
z
U
jxαI
xαzIjxαU
I
U
Z
C
.
.
C
.
.
.
in
???
???
??
xα
z
Z
jxα
xαjzxαZ
C
C
???
???
?
s i nc o s
s i nc o s
2
2
41)-( 1 1
2
2
xtg αjZz
xtg αjzZ
z
C
.
C
C ?
?
??
?
式中,Z2是终端负载复阻抗
.
2
.
2
2
I
U
Z ?
得、则由式
，且设终端接有纯电阻负载
40)-( 1 139)-( 1 1
0
0
22
C
L
zRR C ??
? ?xjxUU ???? ?? s i nc o s,2.
4 2 )-( 1 1
2.
2
.
2
xjxj
eUeU
??
?? ?
?
?
(1)无损耗线终端匹配时
? ?xjxII ???? ?? s i nc o s,2.
4 3 )-( 1 1
2.
2
.
2
xjxj
eIeI
??
?? ?
?
?
写成瞬时值形式，因为
)
2
s i n (22Im 2
.
?
?
?
?? ?????
?
?
??
?? xtUeUu tj
)
2
s i n (22Im 2
.
?
?
?
?? ?????
?
?
??
?? xtIeIi tj
式中
iu j
.j.
eII eUU ?? 2222 ??
由于负载是纯电阻，故 ??? ??
iu
由上式看出，传输线上的电压和电流只有一个不衰减的正
向行波，即入射波，而无反射波存在；且电压与电流是同
相的。传输线上各处电压的有效值相等，各处电流的有效
值也相等，这时，传输线上各处的输入复阻抗都等于波阻
抗，即
44)-( 1 1
0
0
C
L
z
I
U
I
U
Z c.
.
in ????
（ 2）无损耗线终端开路时
:)4011(
)3911(0 22
为
和时，式，当终端开路，即
?
????
?
ZI
45)-( 1 1
2
c o sc o s 22 x
λ
π
UxαUU
...
????
??
?
??
?? tjeUu ?.2Im
46)-( 11
2
s i ns i n
22
x
λ
π
z
U
jxα
z
U
jI
CC
.
.
????
?
写成瞬时值形式为
47)-( 1 1 )s i n (
2
c o s2 2 utxU ??
?
?
???
??
?
??
?? tjeIi ?.2Im
48)-( 1 1 )90s i n (2s i n2 2 ????? i
C
tx
z
U ??
?
?
式 (11-47)和 (11-48)表明，电压和电流在时间相位上
相差 90°,在空间相位上也相差 90° 。图 11-9(a)画出了
几个不同时间电压 u与电流 i沿线分布的情况 (实线代表电
压，虚线代表电流 )。由图看出，在线的终端 (x’=0)和离开
终端的距离为
)(k
2
为整数 λkx ??
的各点处，总出现电压的极大值和电流的零值
?
x ?
iu
0
图1 1 - 9 终端开路时的无损耗线( a )
把总出现电压极大值的点叫做电压的波腹，而把总出
现电流零值的点叫做电流的波节。即在离开线终端的
距离为
)(k
2
为整数?kx ??
而在离开线终端的距离为
)(k 4)12( 为整数???? kx
的各点处，总出现电压的波腹和电流的波节。
的各点处，总出现电压的波节和电流的波腹。
无损耗线的输入复阻抗
，就得到终端开路的）中，令在式（ ??? 24111 Z
49)-( 1 1 2CC xc t gjzxc t gjzZ in ?????? ???
所示。
的回路来代表，如图等时，则可用串联谐振、
、的回路来代表；而当传输线可以用并联谐振
等时，、、。当，电抗性质就改变一次每隔
等等，则是一感抗。即到和从到
个容抗；而从等等，输入复阻抗是一到
和从到从它是一个纯电抗。而且
)b(911
4
5
4
3
4
2
0
4
4
3
2
44
3
24
0
?
?
?
???
??
????
??
?
?
??
??
?
?
?
??
x
x'
x'x'x'
x'x'
x'x'x
49)-( 1 1 2CC xc t gjzxc t gjzZ in ?????? ???
0
4
1
2
1
4
3
' ???????? λ x 'xλ xλ x x ?
in
Z
in
Z
x ?
(b)
图11-9 终端开路时的无损耗线
(3)终端短路
00 22 ???,ZU
50)-( 1 1 2s i ns i n
.
2
.
2
.
xIjzxIjzU CC ????
?
??
51)-( 1 1 2c o sc o s
.
2
.
2 xIxII
.
????
?
??
它的瞬时值为
53)-( 1 1 )s i n (2c o s2 2 itxIi ??
?
? ???
52)-( 1 1 )90s i n (2s i n2 2 ????? iC txIzU ??
?
?
时，式 (11-39)和 (11-40)变为
从
上
式
可
以
看
出
，
沿
传
输
线
电
4?
?
x ?
iu
0
图1 1 - 1 0 终端短路时的无损耗线( a )
所示。代表，如图则可用并联谐振回路来
等时，、、表；而当以用串联谐振回路来代
等时，传输线可、、抗性质就改变一次。当
，电则是一容抗。即每隔时感抗；而从
时输入复阻抗是一个它是一个纯电抗。而且
)b(1011
4
5
4
3
4
2
0
4
,
24
4
?
?
?
??
?
??
?
?
?
???
?
x
x'
x'
x'
为无损耗线的输入复阻抗
，就得到终端短路的）中，令在式（ 04111 2 ?? Z
54)-( 1 1 2CC xtgjzxtgjzZ in ????
?
??
0
4
1
2
1
4
3
??????? λ x 'λ x 'λ x 'x x ?
in
Z
in
Z
0
x ?
图 11 - 10 终端短路时的无损耗线 ( b )
in
Z
长度为则可求出终端开路线的容抗
的时，如已知所需的电容元件。当用作电容元件
这时它可作为电感是一纯电感时，当；容抗故可作为电容元件它的输入复阻抗为一纯
时，当的无损耗线为对于终端开路的一段长
C
X
Zl
ll
,
24
4
,
in
??
?
??
?
55)-( 1 1
2
1
C
C
z
Xc tgl ??
?
?
1 的单位是弧度。上式中
C
C
z
Xc t g ?
? ? ? ? 4111Z 2 得时，根据式因为当终端开路 ???
49)-( 1 1 2CC xc t gjzxc t gjzZ in ??????
?
??
xc t gjz
xj t g
z
Z CC ???
?
? ?
?in
xc t gjz C ???
?
?2
lc t gjzjX CC
?
?2???
C
C
z
X
c tgl 1
2
??
?
?
故
为短路的无损耗线的长度
，则可求出终端的感抗件。如已知所需的电感
电感元为一纯电感，故可作为它的输入复阻抗
时，当的无损耗线为对于终端短路的一段长
L
X
Z
ll
in
4
,
?
?
5 6 )-( 1 1
2
1
C
L
z
X
tgl ??
?
?
1 的单位是弧度。上式中
C
L
z
Xtg ?
? ? ? ? 41110Z 2 得时，根据式因为当终端短路 ??
xtgjzxtgjzZ CC ????
?
?? 2
in
ltgjzjX CL
?
?2
?
C
L
z
X
tgl 1
2
??
?
?
故
由于长度为 的终端短路的无损耗线的输入复阻抗
为无限大，故可用它作为支持绝缘子。
4?◆
如
在
4?◆
因为毫安计可以看成短路，因而对这个测量装置来说，
根据式 (11-50)有
.
2
.
2
.
1 2s i n IjzIjzU CC ??
?
4
2
4
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
tgjZz
tgjzZ
z
xt g ajZz
xt g ajzZ
zZ
C
C
C
C
C
Cin
?
?
?
??
??
?
长
的
无
损
耗
线
还
可
以
4?4?
◆
57)-( 1 1
2
2
2
2
2
2
Z
Z
tgjZz
tgjzZ
zZ
C
C
C
Cin ?
?
?
?
?
?
由
上
式
可
见
，
输
入
复
阻
4?
例 11-3 某超高频信号发生器的并联谐振电路由
电子管的极间电容 C和一段终端短路的无损耗线（介质
为空气）所组成，已知电子管的极间电容 C=2pF，无损
耗线的波阻抗 ZC=300?，信号发生器的工作波长 λ =3m
，试求无损耗线的长度 l 应是多少？
例 11-4 为了使 zc1=550?和 zc2=250?的两个传输线达到
匹配，采用一段长度为的无损耗线（图 11-13），求这
段线的波阻抗 zC。
C
A
B
D
4
?
图 11 - 13 例 11 - 4
z
c 1
z
c 2z
c
例 11-5 一个长度为 100m的无损耗线，它的参数为
L0=2.2×10-6H/m,C0=5.05×10-12F/m，波长 λ =20m，
试求：（ 1）无损耗线的波阻抗 ZC、相位常数及波速。
（ 2）当终端接一个 100pF的电容时，电压波和电
流波最靠近终端的波腹的位置。
§ 11-7 无损耗线方程的通解
对于无损耗线，式 (11-1)和 (11-2)变为
5 8 )-( 1 1 0
x
u
t
i
L
?
?
??
?
?
59)-( 1 1 0
x
i
t
u
C
?
?
??
?
?
此两式的通解具有下列形式,
? ? ?? ? ? 60)-( 11,21 txFtxFtxu ?? ????
?? ? ? ? ? 61)-( 1 1 11,22 txF
Z
txF
Z
txi
CC
?? ????
的函数。
是两个任意和线的波速和波阻抗。
分别为无损耗，式中，
21
0
0
0
00
1
FF
C
L
Z
CL
υ ??
式 (11-60)和 (11-61)是偏微分方程式 (11-58)和 (11-59)
的一般解。解答的形式说明了传输线上的电压和电流都
由两个分量所构成，先来看电压的第一个分量
? ? 6 2 )-( 1 1 1 txFu ?? ??
时的值为在假定传输线上某点 1,' ttxx ??
?? ? ?,1111 txFtxu ?? ??
ttt ??? 1
xxx ??? 1
1x
则在 时，线上 处 之值改变了，这时，
设在 处 的值仍保持和上式的值相等，
因而有 ?u
?u
? ? ? ? ttxxtx ??????? 1111 ??
0???? tx ?
由此得
即
t
x
?
?
??
这就表明，传输线上电压分量 之值保持不变之点的
位置经过时间 以后速度 v向 x增加的方向行进了一个
距离 。也就是 (11-62)代表的是一个以速度 v向 x 增
加方向 (从始端向终端 )进行的行波，叫做正向行波 (图
11-16)
?u
t?
x?
同理，把电压的第二个分量
? ? 63)-( 1 1 22 txFu ?? ??
叫做反向行波，它以同样的速度 v向 x 减小的方向 (从
终端向始端 )行进的波。在这里,v是无损耗线中行波在
暂态时的波速，其值与行波在稳态时的相速相同。在
架空线中
sm
CL
/103
1 8
00
????
? ? 6 4 )-( 1 1 1 1
CC z
u
txF
z
i ?? ? ???
? ? 6 5 )-( 1 1 1 1
CC z
u
txF
z
i ?? ? ???
电流的正向行波分量为
而电流的反向行波分量为
x?
1
tt ? ttt ???
1
?
?
?
x0
图1 1 - 1 6 正向
图1 1 - 1 7 电压行波的参考极性和
电流行波的参考方向
?
i
?
ii
?
.
u
.
u ?
.
u
传输线的电压和电流分别为
? ? 6 6 )-( 1 1,ψuutxu ?? ?
? ? 6 7 )-( 1 1,
C
ψ
C
ψ Z
u
-
Z
u
iitxi ?? ???
电压正向行波 与电压反向行波 的参考极性都和
传输线上的电压 u的参考极性相同；而电流正向行波
的参考方向 和传输线上的电流 i的参考方向相同，
电流反向行波 的参考方向和传输线上的电流的参考
方向相反（图 11-7）。
?u ?u
?i
?i
