电工基础
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第七章
线性动态网络时域分析
第七章 线性动态网络时域分析
? 7.1 电路动态过程和初始条件
? 7.2 一阶电路的零输入响应
? 7.3 一阶电路的零状态响应
? 7.4 一阶电路的全响应
? 7.5 一阶电路的阶跃响应
? 7.6 一阶电路的冲击响应
? 7.7 一阶电路对正弦激励的响应
? 7.9 二阶电路的零输入响应
? 7.10 二阶电路的零状态响应
7.1 电路动态过程和初始条件
1．电路的动态过程
任何系统的状态都有相对稳定和不稳定两种
状态．在电路中,稳定状态 是指在给定条件下电
路中电压、电流已达到稳定值。不稳定状态是指
动态, 例如：电容Ｃ的充电过程,
图 7-1 RC充电电路
K R
i
u
C
U
S
C
充电前，开关 Ｋ 是打开
的，且 uC = 0．选择开关
闭合时刻为 t = 0．Ｋ闭
合后，由于能量不能突
变,uC从 0 升高到 US．
t
0
U
S
/ R
i
动 态 过 程
稳 态
图 7-2 RC充电电路的动态过程曲线
u
C
t0
动 态 过 程
稳 态
U
S
uC从一个稳态 uC = 0 变化至另一个稳态 uC =
US 所经历的过程，称为 动态过程,
产生动态过程的 原因 是什么？
内因,电路为动态电路，即电路中 含储能元件 L,C；
外因,电路 换路,即开关通断、电源变化、元件参数
变化等。
换路时电容上的电压，电感上的电流不
能跃变．
2．换路定律
由于物体所具有的能量不能跃变，因此,在换
路瞬间储能元件的能量也不能跃变．即
2
2
1
LL LiW ?
uC,iL不能跃变,\
,21 2CC CuW ?
记, t = 0 — 表示换路时刻 (计时起点 )；
t = 0- — 表示换路前的终了瞬间；
t = 0+ — 表示换路后的初始瞬间．
换路定律,
)0()0()0()0(
)0()0()0()0(
????
????
??
??
CCLL
CCCC
ii
qquu
??或
或
)0()0(,)0()0( ???? ?? LLCC iiuu
因为，
??
??
d)(
1
)()(
d)(
1
)()(
0
0
0
0
?
?
??
??
t
t
LL
t
t
CC
u
L
titi
i
C
tutu
??
??
d)(
1
)0()(
d)(
1
)0()(
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
t
t
LL
t
t
CC
u
L
iti
i
C
utu
t = 0 时换路
计算 t = 0+ 时的值，有
tu
L
ii
ti
C
uu
t
t
LL
t
t
CC
d
1
)0()0(
d
1
)0()0(
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
在换路瞬间，若 i,u有限值，从而
0d0d 0000 ?? ?? ?
?
?
?
tuti
于是，
)0()0(,)0()0( ???? ?? LLCC iiuu
换路定律的 适用条件, 非跃变电路 (7.6节介绍）,
3,初始条件
用时域分析法求解电路的动态过程实质就是
求解微分方程．因此，必须要用初始条件确定积
分系数．
初始条件,就是所求变量及其各阶导数在换
路结束瞬间的值．
?独立变量,是指其变量及其初始值不能用其
它变量和初始值求出．如,uC和 iL，或 q和
Ψ．
?非独立变量,是指其变量及其初始值可以用
独立变量和初始值求出．指电路中除 uC和 iL的
其他变量．
? 1) 先由 t =0-的电路求出 uC ( 0– ), iL ( 0– )；
? 2) 根据换路定律，求出独立变量初始值 uC( 0+)
和 iL ( 0+) ；
? 3) 将电容用电压源代替，其值为 uC(0+)，将电
感用电流源代替，其值为 iL(0+)，画出 0+时刻等
效电路图 ;
? 4) 根据 0+时刻等效电路图，用线性稳态电路的
分析方法求出所需要的非独立变量初始值．
确定初始值的方法,
例 7-1 图 7-3所示电路,t=0 时将开关 K闭合,t<0
时电路已达稳态，试求各元件电流、电压初始值．
u
C
u
2
U
S
R
1
C
R
2
K
i
C
i
1
u
1
1 0 V
1 0 μ F
3 K Ω
2 K Ω
i
2
图 7-3 例 7-1图
解 t<0时电路已达稳态，电容相当于开路．
? ? V100 S ??? Uu C
? ? ? ? V1000 ?? ?? CC uu
t=0+的等效电路如下图 (b)所示．
u
C
u
2
U
S
R
1
C
R
2
K
i
C
i
1
u
1
1 0 V
1 0 μ F
3 K Ω
2 K Ω
i
2
(a) 例 7-1图
0)0()0( S1 ??? ?? CuUu
(b) 0+时刻等效电路
U
S
i
1
( 0
+
)
1 0 V
3 K Ω
2 K Ω
i
2
( 0
+
)
u
1
( 0
+
)
i
C
( 0
+
)
u
C
( 0
+
) u
2
( 0
+
)
0/)0()0( 111 ?? ?? Rui
V10)0()0(2 ?? ?? Cuu
mA5/)0()0( 222 ?? ?? Rui
0)0(
0)0(
0)0(
0)0(
0)0(:
2
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
C
i
i
u
i
u注
mA5)0()0()0( 21 ???? ??? iii C
? ? V100 ??Cu
例 7-2 图 7- 4(a)电路中的开关断开已经很久,t=0
时闭合开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电感
电流和电感电压。
图 7-4 例 7-2图
解 开关闭合前电路稳态，电感相当于短路．
2 A
R
1
= 1 Ω R
2
= 1 Ω
K
L
i
L
i
1
A1)0()0(
A1)0()0( 1
??
??
??
??
LL
L
ii
ii
t=0时闭合开关, 0+时刻等效电路如下图 (b)所示．
2 A
R
1
= 1 Ω R
2
= 1 Ω
K
L
i
L
i
1
(a) 例 7-2图
(b) 0+时刻等效电路
2 A
R
1
R
2
i
1
i
L
( 0
+
)
u
L
( 0
+
)
A1
)0(
)0(
2
??
?? ?
?
L
L
iR
u
所以，
00,?? )(u L注
1 0 V
3 Ω
2 Ω
1 Ω
1 H
2 F
i
C
u
C
ii
L
① ②
例 7-3 电路如图 7-5所示,t<0时电路已达稳态，
t=0时开关 Ｋ 由①扳向②，试求各元件电压和电流
的初始值,和,
?? 0
d
t
L
dt
i
?? 0
d
t
C
dt
u
图 7-5 例 7-3图
解 开关原置于位置①，
且电路稳态，可求
出：
V4
)0()0(
?
? ?? CC uu
A2
)0()0(
?
? ?? LL ii
t=0时开关由 ①扳向②, 0+时刻 等效电路如下图 所示．
1 0 V
3 Ω
1 Ω
4 V
2 A
u
L
( 0
+
)
i
C
( 0
+
)
i ( 0
+
)
图 7-6 例 7-3的 0+时刻等效电路
A4)0( ??i
A2)0(2)0( ???? ?? ii C
023410)0( ??????Lu
t
iLu,
t
uCi L
L
C
C d
d
d
d ??∵
∴
sV1011dd 0
0
/)(iCiCtu CtC
t
C ????
??
?
?
?
sA0011dd 0
0
/)(uLuLti LtL
t
L ???
??
?
?
?
例,换路前电路处于稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解,(1) 由 t = 0-电路求 uC(0–),iL (0–)
换路前电路已处于稳态,电容元件视为开路；
电感元件视为短路。由 t = 0
-电路可求得：
4?
2?+
_
R
R2
R1U8V ++
4?
i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
LC
t = 0 -等效电路
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
V414)0()0( 3 ???? ?? LC iRu
A1)0( ??Li
由换路定则：
V4)0()0( ?? ?? CC uu A1)0()0( ?? ?? LL ii
(2) 由 t = 0+电路求 iC(0+),uL (0+) uc (0+)
由图可列出 )0()0()0(
2 ??? ??? CC uiRiRU
)0()0()0( ??? ?? LC iii
带入数据
4)0(4)0(28 ??? ?? Cii
1)0()0( ?? ?? Cii
iL (0+)
C
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
L
t = 0+时等效电路
4V 1A
4?
2?+
_
R
R2
R1
U
8V +
4?
iC
_
iL R3
i
t = 0+时等效电路
4V 1A
4?
2?+
_
R
R2
R1
U
8V +
4?
ic
_
iL R3
i
解之得
A31)0( ??Ci
并可求出
)0()0()0()0( 32 ???? ??? LCCL iRuiRu
V311144314 ??????
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
计算结果：
电量 A/
Li A/CiV/Cu V/Lu
??0t
??0t
4 1
1
0
3
1
0
4
3
11
换路瞬间，
LC iu,
不能跃变，但 可以跃变。
LC ui,
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
7.2 一阶电路的零输入响应
一阶电路, 由一阶微分方程描述的电路称
为一阶电路。
零输入响应, 电路的输入为零，响应是由储
能元件所储存的能量产生的，这种响应称为
零输入响应．
本节讨论 RC电路和 RL电路的零输入响应．
如,含一个储能元件的电路，所列写电路
的微分方程是一阶微分方程，故含一个储能元
件的电路是一阶电路．
一,RC电路的零输入响应
图 7-7(a)所示电路中的开关原来连接在 1端, 电
压源 U0通过电阻 Ro对电容充电, 假设在开关转换
以前, 电容电压已经达到 U0。 在 t=0时开关迅速由
1端转换到 2端 。 已经充电的电容脱离电压源而与
电阻 R并联, 如图 (b)所示 。
图 7-7 RC放电电路
(a) (b)
u
C
U
0
R
K
C
R
0
1 2
u
C
u
R
R
C
i
R
我们先定性分析 t>0后电容电压的变化过程。
当开关倒向 2端的瞬间，电容电压不能跃变，即
0CC )0()0( Uuu ?? ??
由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电
容电压相同，即
0)0()0( Uuu CR ?? ??
电阻的电流为
R
Ui
R
0)0( ?
?
(a) (b)
u
C
U
0
R
K
C
R
0
1 2
u
C
u
R
R
C
i
R
该电流在电阻中引起的功率和能量为
?? t RRR diRtWtiRtp 0 22 )( )()()( ??＝
电容中的能量为
)(21)( 2C tCutW ?
随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来
提供，这造成电容电压的下降。一直到电容上电
压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就
是电容电压从初始值 uC(0+)=U0逐渐减小到零的变
化过程。这一过程变化的快慢取决于电阻消耗能
量的速率。
为建立图 (b)所示电路的一阶微分方程，由
KVL得到
0??? CR uu
由 KCL和电阻、电容的 VCR方程得到
t
uRCRiu C
RR d
d???
代入上式得到以下方程
(a) (b)
u
C
U
0
R
K
C
R
0
1 2
u
C
u
R
R
C
i
R
)0(0dd ??? tutuRC CC
(7-1)
这是一个 常系数线性一阶齐次微分方程 。其通
解为
ptC Ktu e)( ?
由式 (7－ 1)中，得到 特征方程
)27(01 ???R C p
其解为
)37(1 ?? RCp －
称为 特征根 (电路的 固有频率 )。
(a) (b)
u
C
U
0
R
K
C
R
0
1 2
u
C
u
R
R
C
i
R
)17()0(0dd ???? tutuRC CC
于是电容电压变为
0)(t ee)( ??? ?? RC
t
pt
C KKtu
式中 K是 待定常数,由初始条件确定。当 t=0+
时上式变为
KKu RC
t
C ??
?
? e)0(
根据初始条件
0)0()0( Uuu CC ?? ??
求得
)0(0 ??? CuUK
)0()( RC
t
CC eutu
?
??
得到图 7－ 7(b)电路 的零输入响应为
Cu
Ci
Ri
tO
(b)
u
C
u
R
R
C
i
R
e )()(
-0
RC
t
CR R
Utiti ???
e -0 RC
t
U?
RC
t
C R
U
t
uCti -0C e
d
d)( ???
当 时??t
010 %8.36e UUu C ?? ?
由曲线可见，各电压电流的变化快慢取决于 R
和 C的乘积。令 ? =RC，由于 ? 具有时间的量纲，
故称它为 RC电路的 时间常数 。
? 的 物理意义
?
t
Utu C
?
? e)( 0
%.836\ ?时间常数 等于电压 Cu 衰减到初始值 U0 的
所需的时间。
时间常数
0 t
iR
U0/R
0 t
uC
U0
)c47()0( e )()(
)b47()0(e
d
d
)(
)a47()0( e)(
-
0
-
0C
-
0
?????
?????
???
t
R
U
titi
t
R
U
t
u
Cti
tUtu
t
CR
t
C
t
C
?
?
?
图 7-8 RC放电电路的零输入曲线
?
0.368U0
?
0.368U0/R
动态过程时间 (暂态时间 )的确定
理论上认为, 电路达稳态,
0?Cu??t
0?Cu工程上认为 ~, 电容放电基本结束。?)53(?t
t ?
Cu 0.368U 0.135U
0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
?2 ?3 ?4 ?6?5
1e? 2e? 3e? 4e? 5e? 6e??t?e
?
t?
e 随时间而衰减
电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为
? ?? ?
?
??
0
0
2
0
202
2
1d)e(d)( CUtR
R
UtRtiW RC t
RR ＝
计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量
的确全部转换为电阻消耗的能量。
由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为
电阻消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响
电容电压衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角
度来说明放电过程的快慢。
例如在电容电压初始值 U0不变的条件下，增加
电容 C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时
间加长；
若增加电阻 R，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，
使放电过程的时间加长。
这就可以解释当时间常数 ? = RC 变大，电容
放电过程会加长的原因。
t
O
)(tuC
1? 2?? 3??
在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此
得到
例 7-4 电路如图 7－ 9(a)所示，已知电容电压 uC(0-)
=6V。 t=0闭合开关，求 t > 0的电容电压和电容电流。
图 7－ 9 例 7－ 4
解：
)0()0( ?? ? CC uu V6?
将连接于电容两端的电阻网络等效于一个电阻，
其电阻值为
k Ω10k Ω)36 368(o ?????R
得到图 (b)所示电路，
CR 0??
s05.0105
1051010
2
63
???
????
?
?
其时间常数为
由
0)()e(0)( ?? ?? tutu
t
CC ?
mAe2.0mAe6.031)(63 3)( 2020C ttR titi ?? ??????
t
uCti
C d
d)( C?
0)(Ve6)( 20 ?? ? ttu tC
得到
)0(mAe6.0
mAe
1010
6
20
20
3
???
?
??
?
?
tt
t
?
t
R
U 0 e ???
二, RL电路的零输入响应
电感电流原来等于电流 I0，电感中储存一定的
磁场能量，在 t=0 时开关由 1端倒向 2端，换路后的
电路如图 (b)所示。
我们以图 7－ 10(a)电路为例来说明 RL 电路零
输入响应的计算过程。
图 7-10 RL放电电路
I
0
K
R
L
i
L
1
2
i
R
u
L
R
L
i
L
i
R
(a) (b)
在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即
iL(0+)= iL(0-)= I0,这个电感电流通过电阻 R时引起
能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直
到电流变为零为止。
综上所述，图 (b)所示
RL电路的动态过程是电感
中的初始储能逐渐释放出
来被电阻消耗的过程。与
能量变化过程相应的是各
电压电流从初始值，逐渐
减小到零的过程。
(b)
u
L
R
L
i
L
i
R
u
R
换路后,由 KVL得
0?? LL uRi
代入电感 VCR方程
t
iLu L
L d
d?
得到以下 一阶线性齐次微分方程
)67(0dd ??? LL itiRL
(b)
u
L
R
L
i
L
i
R
u
R
)t(K)t(i tL
R
L 0e ??
?
这个微分方程与式 (7－ 1)相似，其 通解 为
代入初始条件 iL(0+)=I0求得
)0(0 ??? LiIK
?
t
LL iti
-)e(0)(
??
)t(K)t(i tL
R
L 0e ??
?
)0(e
d
d)( -
0
L ???? tRI
t
iLtu tLR
L
令,则电感电流和电感电压的表达式为
R
L??
图 7-11 RL放电电路的波形
0 t
uL
? ?2 ?3
-RIS0 t
iL
? ?2 ?3
I0
)0(e -0 ?? tI
t
?
u
L
i
L
①
②
2 4 V
4 Ω
2 Ω
3 Ω
6 Ω
4 Ω
6 H
K
i
1
图 7-12 例 7-5图
例 7-5 电路如图 7－ 12(a)所示,K合于①已很
久,t=0 时Ｋ由① 合向②，求换路后的
).t(u)t(u),t(i LL 12和
解 换路前电路已稳定，由换路定律可得
A263 6224 24)0()0( ??????? ?? LL ii
从 Ｌ 两端视入的等
效电阻为
换路后电路为 零输入响应,
??
??
???? 6
6)42(
6)42(3
0R
时间常数 为
s1
6
6
0
???
R
L?
u
L
i
L
①
②
2 4 V
4 Ω
2 Ω
3 Ω
6 Ω
4 Ω
6 H
K
i
1
零输入响应为
0)(A2)0()( ??? ??? teeiti t
t
LL ?
0)(V12dd)( ???? ? tetiLtu tLL
0)(A)(21)(1 ??? ? tetiti tL
0)(V424)(424)( 112 ?????? ? tetitu t
u
L
i
L
①
②
2 4 V
4 Ω
2 Ω
3 Ω
6 Ω
4 Ω
6 H
K
i
1
7.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应,电路的初始状态为零, 由外加激励
引起的响应, 称为零状态响应 。
一,RC电路的零状态响应
图 7-13所示电路中的电容原来未充电,uC(0-)=0。
t=0时开关Ｋ断开，电流源 IS被接入 RC电路。
I
S
K
R C
i
C
i
R
u
C
图 7-13 RC充电电路
uC(0+)= uC(0-)= 0
根据 KCL定律，有
CR iiI ??S
又
,tuCi CC dd? Rui CR ?
)87(dd S ??? RIutuRC CC
所以
这是 一阶线性非齐次微分方程 。
)97()()()( ph ??? tututu CCC
)0(eee)( h ???? ?? tKKKtu RC
tt
pt
C ?
方程的通解 = 对应齐次方程的通解 +方程的特解
齐次通解 非齐次通解
Q)t(u ?Cp SCC
d
d RIu
t
uRC ?? SCp )( RIQtu ??
式中的常数 K由初始条件确定。在 t=0+时
0)0( SC ???? RIKu由此求得
SRIK ?? )e1()(
SC RC
t
RItu ???
代入式 (7－ 10)中得到零状态响应为
)b117()0(e
d
d
)(
)a117()0()e1()(
S
C
C
SC
????
????
?
?
tI
t
u
Cti
tRItu
τ
t
τ
t
)c117()0()e-(1)(
S
C ???? ? tI
R
uti τt
R
)107(e)()()( S CpChC ????? ? RIKtututu RC
t
图 7-13 RC充电电路的响应曲线
t
O
u
C
i
C
t
O
其波形如图 (7－ 13)所示
I
S
K
R C
i
C
i
R
u
C
τ
t
τ
t
I
t
u
Cti
RItu
S
C
C
SC
e
d
d
)(
)e1()(
?
?
??
??
RI
S
-RI
S
Cu
SI
由于
Sp )( RItu C ?
即特解为 RIS，而 UC(t)的波形可以看出,RIS是
UC(t)的最终稳态解．
记
S)( RIu C ??
则式 (7-11a)可以写为：
)0()e1)(()(
C ????
?
tutu
t
C
τ
例 7-6 电路如图 8-11所示，已知电容电压 uC(0-)=0,
t=0打开开关，求 t?0的电容电压 uC(t),电容
电流 iC(t)以及电阻电流 iR(t)。
图 7-14 例 7-6图
在开关闭合瞬间，由换路定律
)0()0( CC ?? ? uu
解
K
i
C
i
R
u
C
1 A
1 2 0 Ω
1 8 0 Ω μF1
a
b
当电路达到新的稳定状态时,
V1 2 0)(C ??u
=0
?? 3 0 0oR
μs300F10300 6o ????? ?CR?
换路后，从 C两端看电路
)0(Ae4.0e10
3
1
12010
d
d
)(
)0(V)e1(120)e1)(()(
44
4
10
1
10
1
46C
C
10
1
C
???????
??????
????
?
??
?
?
t
t
u
Cti
tutu
tt
t
t
C
33
3
为了求得 i1(t)，根据图所示电路，由 KCL
)0(A)e4.01()()(
410
3
1
S ?????
?? ttiIti t
CR
K
i
C
i
R
u
C
1 A
1 2 0 Ω
1 8 0 Ω μF1
a
b
)0()e1)(()( ???? ? tutu
t
CC τ
RL一阶电路的零状态响应与 RC一阶电路相
似。 图 7-15所示电路在开关转换前，电感电流为
零，即 iL(0-)=0。当 t=0时开关 K闭合，其电感电
流和电感电压的计算如下：
二,RL电路的零状态响应
K R
i
L
U
S L
u
L
图 7-15 RL充电电路
根据 KVL,有
SUuRi LL ??
又
t
iLu L
L d
d?
所以
)127( )0( dd SL ???? tRUitiRL L
这是 一阶常系数非齐次微分方程,其解答为
)137(ee
)()()(
S
S
ph
?????
??
??
R
U
K
R
U
K
tititi
t
t
L
R
LLL
?
式中 ? =L/R是该电路的时间常数。常数 K由初
始条件确定，即
0)0()0( S ???? ?? RUKii LL
由此求得
R
UK S?? )e1()( S tL
R
L R
Uti ???
)0()e1)(()( ???? ? titi
t
LL τ
最后得到一阶 RL电路的零状态响应为
)0( )e1()e1)(()( S ?????? ?? tRUiti tL
R
τ
t
LL
其波形曲线如图 7－ 16所示。
图 7－ 16 RL电路零状态响应的波形曲线
0
i
L
U
S
/ R
t
0
u
L
U
S
t
)0(eedd)(
S
SL ????
??
tUUtiLtu τ
tt
L
R
L
例 7-7 电路如图 8-14 所示，已知电感电流
iL(0-)=0。 t=0闭合开关，求 t?0的电感
电流和电感电压。
图 7-17 例 7-7图
开关闭合后的电路如图 (b)所示，由于开关
闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即
0)0()0( ?? ?? LL ii
解
A5.12436)( ???Li
s050s8 40
o
..RL ????
)0(A)e1(5.1)( 20 ??? ? tti tL
电感电流和电感电压为：
V12eVe205.14.0dd)( 2020 ttLL tiLtu ?? ?????
?8=18+24 18×24=0R
例 7-8 图 8-15(a)为一个继电器延时电路的模型。已知继电
器线圈参数为, R=100?,L=4H,当线圈电流达到
6mA时，继电器开始动作，将触头接通。从开关闭
合到触头接通时间称为延时时间。为了改变延时时
间，在电路中串联一个电位器，其电阻值可以从零
到 900?之间变化。若 US=12V，试求电位器电阻值
变化所引起的延时时间的变化范围。
图 7－ 18 例 7－ 8图
解,开关闭合前，电路处于零状态,iL(0-)=0。
开关转换瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，
即 iL(0+)=iL(0-)=0。将电路用图 8－ 15(b)所示诺顿等
效电路代替，其中
o
S
W
S
scWo R
U
RR
UIRRR ?
?
???
电感电流的表达式为
)e1()(
o
S
L
τ
t
R
U
ti
?
??
设 t0 为延时时间，则有
mA6)e1()(
0
o
S
0 ???
?
τ
t
L R
U
ti由此求得
?
?
?
?
?
? ???
S
0o
0
)(1ln
U
tiRτt L
?
?
?
?
?
?
???
S
0o
0
)(
1ln
U
tiR
τt L
当 Rw=0 ? 时,? = 0.04s
ms05212 1061 0 01ln0401ln
3
S
0o
0,.U
)t(iRt L ?
?
?
?
?
?
? ?????
??
?
??
? ??? ??
当 Rw=900?时, ?=0.004s
ms77212 1061 0 0 01ln0 0 401ln
3
S
0o
0,.U
)t(iRt L ?
?
?
?
?
?
? ?????
??
?
??
? ??? ??
7.4 一阶电路的全响应
全响应, 由储能元件的初始储能和激励
电源共同引起的响应，称为 全响应 。
图 7－ 19 RC电路的完全响应
下面讨论 RC电路在直流电源作用下的全响应。
电路如图 7-19(a)所示，开关连接在 a端为时已经很
久,uC(0-)=U0。 t=0时开关倒向 b端。 t >0 时的电路
如图 8-16(b)所示。
u
C
I
S
R
K
1
C
a
b
K
2
I
S
RC
i
C
i
R
u
C
为了求得电容电压的全响应，以电容电压 uC(t)
为变量，列出图 (b)所示电路的微分方程
)157()0(dd S -≥tRIutuRC CC ??
)()()( ph tututu CCC ??
这是一个常系数 一阶线性非齐次微分方程 。其
解为：
)0(eee)( Ch ???? ?? tKKKtu RC
t
τ
t
pt
由初始条件得
S000 RIKU)(u)(u CC ???? ??
齐次通解 非齐次特解
S
e RIK RCt ?? -
S0 RIUK ??
? ? )167(e)()0()( ?????? ?? τtCCC uuu
)0(e)()( S S0 ???? ? tUUUtu RC
t
C
τ
t
C UUUtu
S0S e)()(
????
全响应＝稳态响应 ＋暂态响应
分析, 全响应的第一种表达式
稳态 (强制 )
响应
暂态 (自由 )
响应
O
t
u
C
( t )
US
U0-US
uC(t)
)177()e1)((e)0( ????? ??? τ
t
C
τ
t
C uu
)e1(e)( S 0 τ
t
τ
t
C UUtu
?? ???
全响应的第二种表达式分析,
全响应＝零输入响应＋零状态响应
零输入
响应
零状态
响应
)0(e)()( S S0 ???? ? tUUUtu RC
t
C
O
t
u
C
( t )
U0 uC(t)
一般情况下，对于任意响应 f(t),其 全响应 的
表达式为：
? ? )187()()0()()( 0 ?????? ??? τtt effftf
称为一阶电路的 三要素公式,
对三要素公式有如下说明：
2．当直流电源作用于电路时，
)()( 0 ??? ? ff t
初始值--
（三要素）
)(?f
稳态值--
)0( ?f
时间常数? --
1．
例 7-9 电路如 图 7-21所示，已知 uC(0-)= － 3V,
t=0闭合开关，求 t?0的电容电压全响应
uC(t) 和 i(t)。
u
C
K
i
6 V
1 0 μ F
3 K Ω
6 K Ω
图 7－ 21 例 7-9图
解 用三要素法求解．
1,先求初始值．
V300 ??? ?? )(u)(u CC
? ? mA3
3
36)0( ????
?i
2,再求稳态值．
V4663 6)( ?????Cu
mA6 6 7.096)( ???i
3,最后求时间常数．
????? K263 630R
s0201010102 630,CR ?????? ??
所以，由三要素公式有；
u
C
i
6 V
1 0 μ F
?K3
?K6
? ?
)0(V74
)()0()()(
50 ???
?????
?
?
?
te
euuutu
t
τ
t
CCCC
? ?
)0(mA33.26 6 7.0
)()0()()(
50 ???
?????
?
?
?
te
eiiiti
t
τ
t
其波形如下：
其中：
ms21174ln5011,t ???
0
t
u
C
4 V
V- 3
t
1
0
t
i
1
( m s )
3
2 / 3
A2321 2)0( ?????Li
A2)0()0( ?? ?? LL ii
用三要素法求解解,
t = 0ˉ等效电路
Li
2? 1?
3A
R1
2?由 t = 0ˉ等效电路可求得
(1) 求 uL(0+),iL(0+)
已知,S 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳
态。求, 电感电流 。和电压
LL ui
例 7-10
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
Li
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
由 t = 0+等效电路可求得
V4
)1
22
22
()0()0(
??
?
?
?
??? ?? LL iu
A2)0()0( ?? ?? LL ii
(2) 求稳态值 )()( ??
LL ui 和
t = 0+等效电路
2? 1?
2A
R1
2?
Lu
+
_
R3
R2
t = ?等效电路
2? 1?
2?
Li
R1 R3
R2
V0)( ??Li
由 t = ?等效电路可求得
V0)( ??Lu
(3) 求时间常数 ?
s5.0
2
1
0
???
R
L?
3210 // RRRR ??
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
2? 1?
R1
2?
R3
R2
L
Ve4
)04(0
2
2e
t
t
Lu
?
?
??
????
Ae2
e)02(0
2
2
t
t
Li
?
?
?
???
起始值-4V
稳态值
2A
Lu
0
Li,
t
iL,uL变化曲线
电路如图 7-22a所示．当 时，
开关Ｋ接于 a,uS=0．当 t=0 时，Ｋ由 a扳向 b．经
后，再将Ｋ由 b扳向 a．试求响应 U2(t)．
例 7-11
????? 0t
μs1
u
S
U
M
t
0
t
K
图 7－ 22 例 7-11图
(a) (b)
解 虚线内的开关电路，可等效为 图 (b)所示脉
冲信号，其幅值 UM=10V，脉冲宽度 tK=,
μs1
+
u
2
1 0 V
K
a
b
X
u
S
1 0 K Ω
u
R
μF100
⑴ 当 时，Ｋ由 a扳向 b，电路为零状
态响应,K
0 tt ???
V10)(2 ??u
此值并非最终稳态值，称为 虚拟稳态值,
时间常数：
μs1101001010 63 ?????? ?RC?
? ?K6102 0V)1(10)( ttetu t ???? ??所以，
+
u
2
1 0 V
K
a
b
X
u
S
1 0 K Ω
u
R
μF100u SU M
t
0
t
K
⑵ 当 时，Ｋ由 b扳向 a，电路为零输入响
应．
Ktt ?
6, 3 2 VV110 K610-K2 ??? ?? )e()t(u t
因电容电压不跃变，故
6.3 2V)()( -K2K2 ??? tutu
+
u
2
1 0 V
K
a
b
X
u
S
1 0 K Ω
u
R
μF100u SU M
t
0
t
K
τ不变．
? ? )s1(V32.6
32.6)(
66
K
1010
2
???
?
???
?
?
te
etu
t
τ
tt
tk为换
路时间
因为
2S uuu R ??
所以
? ?s100V10)( 610 6 ?? ??? ? tetu tR
6.32V)(0)( K2K ???? ?? tutu R
0)( ??Ru
又
所以
? ? ? ?s10V32.6)( 61010 66 ??? ??? ?? tetu tR
其波形如图 7-23所示．
+
u
2
10V
K
a
b
X
u
S
10K Ω
u
R
μF100uSUM
t
0
t
K
+
u
2
1 0 V
K
a
b
X
u
S
1 0 K Ω
u
R
μF100u SU M
t
0
t
K
u
2
1 0 V
t
0
t
K
6, 3 2 V
u
R
1 0 V
t
0
t
K
3, 6 8 V
- 6, 3 2 V
? ?K102 0V)1(10)( 6 ttetu t ???? ??
? ? )s1(V32.6)( 66 10102 ??? ??? tetu t
? ?s100V10)( 610 6 ?? ??? ? tetu tR
? ? ? ?s1V32.6)( 66 1010 ???? ?? ?? tetu tR
电路如图 7-23所示．电容 C原未被充电，
t=0时将开关Ｋ闭合，求Ｋ闭合后的 uC(t)．已知,
E=10V,R1=R2=4Ω,R3=2Ω,C=1F.
例 7-12
图 7－ 24 例 7-12图
解 用 三要素法 求解．
⑴ 求初始值．
0)0()0( - ??? CC uu
X X
X
+
E
K
R
1
R
2
R
3
+
2 u
1
C
+
u
C
u
1
⑵ 求稳态值．
根据 KCL和 KVL，有
)(2)()( 1
2
1
1
1 ?????? u
R
u
R
uE
解得
V1)(1 ??u
X X
X
+
1 0 V
K
+
+
u
1
( ∞ )
2 u
1
( ∞ )
u
C
( ∞ )
4 Ω
4 Ω
2 Ω
所以
V3)()(22)( 11 ????????? uuu C
⑶ 求时间常数．
X X
X
+
u
1
2 u
1
4 Ω
4 Ω
2 Ω
R
0
+
U
I
因为 ? ?
1122 uuIU ???
，且
21 Uu ?
所以
??? 800,IUR
整理
2222
UUIU ??
?
??
?
? ??? IU 45 ?
s8.018.00 ????? CR
故
? ? ? ?0V1313)( 25.18.0 ????
??
?
?
?
??
?
?
?
??? ?
?
teetu
t
C
例 7-13 图 7-24所示电路原处于稳定状态。
t=0时开关闭合，求 t?0的电容电压 uC(t)和
电流 i(t),并画波形图 。
图 7－ 24 例 7-13图
V8)0()0( CC ?? ?? uu
V8A24)0(C ?????u
解, 1,计算初始值 uC(0+)
7VV5V2V10
44
44
2
44
44
V2
2
1
4
1
4
1
1
)(C ????
?
?
?
?
?
??
??
??u
2,计算稳态值 uC(?)
???
??
? 1
2
1
4
1
4
1
1
oR
s1.0F1.01o ????? CRτ
3.计算时间常数 ?
4.将 uC(0+)=8V,uC(?)=7V和 ?=0.1s代入三要素
公式得
)0(]Ve17[]V7)e78[()( 1010C ?????? ?? ttu tt
)(ti
)(]e)()0([)(
????? ?
?
? ffftf
t
2 )(V10 c??? tu
)0(A)0, 5 e1, 5( 10 ??? ? tt
由于电路中每个响应具有相同的时间常数，
即,,用三要素公式得到
)0( A)e5.05.1(]A5.1e)5.11([)( 1010 ?????? ?? tti tt
电阻电流 i(t) 还可以利用三要素法直接求得
V8)0(C ??u
A5.1A
2
710
2
)(V10
)(
A1A
2
810
2
)0(V10
)0(
C
C
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
? ??
u
i
u
i
s1.0?τ
值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了
跃变,i(0+)=1A? i(0-)=1.667A，因而在电流表达式
中，标明的时间范围是 t>0，而不是 t?0。
)0( A)e5.05.1(]A5.1e)5.11([)( 1010 ?????? ?? tti tt
7.5 一阶电路的阶跃响应
在前面的讨论中，我们看到直流一阶电路中的
各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入
电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分
段恒定信号对电路的激励。
随着电路规模的增大和计算工作量增加，有
必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更
好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于
用计算机分析和设计电路。
t
0
1 ( t - t
0
)
t
0
1 ( t )
??
?
?
??
0 1
0 0)(
t
tt1
1(t-t0 )
一、阶跃函数
单位阶跃函数 1(t)的定义为
图 7－ 25 阶跃函数
(7-26)
k1(t)
??
?
?
??
0
0 0)(
tk
ttk1
t
0
k1(t)
1
k
?
?
?
?
???
0
0
0 1
0)(
tt
tttt1 t
0
1
t
0
1 ( - t )
11(-t)
??
?
?
???
0 0
0 1)(
t
tt1
开关电路可以等效为阶跃信号作用于该电路 。
图 7－ 26 用阶跃函数代替开关的作用
a
b
( a )
u
S
( t )
0
t
=
U
0
a
b
( b )
u
S
( t )
I
0
i
S
( t )
a
b
( c )
t = 0
a
b
( d )
i
S
( t )
I
0
1(t)
U
0
1(t)
二, 阶跃响应
阶跃响应, 阶跃信号作用下电路的零状态响
应，称为电路的 阶跃响应,
单位阶跃响应,单位阶跃信号作用下电路的
零状态响应，称为电路的 单
位阶跃响应,
单位阶跃响应用符号 s(t)表示,
单位阶跃响应用可以 用三要素公式求解,
)t) 1 (()t(s RC
t?
?? e1 )t) 1 (()t(s tL
R?
?? e1
利用三要素公式得到电感电流 iL(t)的阶跃响应
如下所示。
以上两个式子可以用一个表达式表示如下,
)()t) 1 (()t(s
t
277e1 ??? ? ?
其中时间常数 ?=RC或 ?=L/R。
图 7－ 27 用阶跃函数代替开关的作用
R
0
C
1 ( t ) u
C
( t )
i
C
( t )
R
0
L
1 ( t )
u
L
( t )
i
L
( t )
(a) (b)
已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得
在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零
状态响应，例如图 7-28(b)所示信号作用图 7-28(a)
所示 RC串联电路时，由于图 (b)所示信号可以分解
为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加。
图 7－ 28 RC电路及其分段恒定信号
)tt1()tt1()tt1()tt1()t1()t(u 4321S 2342 ?????????
其电容电压 uC(t)的零状态响应可以表示为
)tt(s)tt(s)tt(s)tt(s)t(s)t(u 4321C 2342 ?????????
由图 (b)知，
4321
e1
e1
,,,k
)tt) 1 (()tt(s
)t) 1 (()t(s
k
RC
tt
k
RC
t
k
?
????
??
?
?
?
其中
例 7-14 用阶跃电流源表示图 7-25(b)所示的方波
电流，求解电路中电感电流的响应，并画出波形
曲线。
图 7-33 例 7-14图
i
S
i
L
( t )
0, 1 K Ω
0, 1 H
0
t/m s
1 0
i
S
/m A
1
(a) (b)
解：图 (b)所示的方波电流，用两个阶跃函数表示：
iS(t)=[101(t)-101(t-1ms)]mA
由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠
加定理，其零状态响应等于 10 1(t)和 -10 1(t-1ms)两
个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。
1,阶跃电流源 101(t)mA单独作用时，其响应
为
mA 1e110 1 0 0 0L )t()()t(i t' ???
2,阶跃电流源 -101(t-1ms)mA单独作用时，其
响应为
mA ms1]e1[10 ms11 0 0 0 (L )t1()t(i )t" ???? ??
3,应用叠加定理求得 101(t)和 -101(t-1ms)共同
作用的零状态响应为
mA m s ) }1(]e1[10)()e1(10{ m s )1(1 0 0 01 0 0 0
LLL
?????
??
??? t1t1
)t(i)t(i)t(i
tt
"'
分别画出 和 的
波形，如曲线 1和 2所示。然
后它们相加得到 iL(t)波形曲
线，如曲线 3所示。
)(L ti' )(L ti"
例 7-15 图 7-26(a)所示为零状态电路，激励为
E=10V，脉冲宽度为 的脉冲函数，见图 (b)．
试求输出电压 uC(t)，并画出波形曲线。
μs1
u
S
1 0 V
t
0
1 m s
u
S
( t ) u
C
( t )
1 0 K Ω μF100
(a) (b)
图 7-33 例 7-15图
解 前面例 7-11已经用分段方法解过此题．即
? ?ms10V)1(10 610 ???? ?? te)t(u tC
? ? )te.)t(u tC ms1(V326 66 1010 ?? ???
此题也可以用阶跃函数表示法求解．此时激
励为：
uS(t)=10 [ 1(t) - 1(t-1ms) ] V
该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定
理，其零状态响应等于 10 1(t)和 -10 1(t-1ms)两个
阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。
1,阶跃电流源 10 1(t)mA单独作用时，其响应
为
V e110 610 )t) 1 (()t(u t'C ???
2,阶跃电流源 -10 1(t-1ms)mA单独作用时，其
响应为
V 01]e1[10 601(10 66 )t1()t(u )t"C ??? ???? ?
当 时，
3,应用叠加定理求得 101(t)和 -101(t-1ms)共同
作用的零状态响应为
V 01]e1[10e110 601(1010
666
)t1()t) 1 ((
)t(u)t(u)t(u
)tt
C
'
CC
???? ?????
????
?
其波形如右图所示．用
第二种解法，当 t= 时，
u
C
1 0 V
t
0
6, 3 2 V
1 m s
u
S
1 0 V
t
0
1 m s
μs1
V326
110110μ s )1( 01
.
)e()e(u C
?
???? ?
? ?V326 66 1010 ???? tC e.)t(u
V)1(10 610 tC e)t(u ???
μs10 ??? t
当 时，μs1?t
7.6 一阶电路的冲击响应
在前面的讨论中，我们用到的激励都是直流电
源，应用三要素法求解电路．初始值的求解的依
据是换路定律，即在换路瞬间，电容电压和电感
电流是连续变化的．
在介绍 换路定律 时，我们也提到它的 适用条
件是：非跃变电路,这一节我们将介绍的冲击响
应在求解时换路定律将不成立．因此，本节介绍
有关跃变电路的求问题．
)277(
0
0
1
00
)( ?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
at
at
a
t
tf
单位脉冲函数特点是,脉宽与幅值乘积为１,
当脉宽 a 变小时，幅值 1/a 变大．当 a→0 时，其幅
值 1/a →∞,但其面积仍为 1．把单位脉冲的这种
极限情况，称为单位冲击函数,波形如图 7-35所
示。,
一、单位脉冲函数和单位冲击函数
1.单位脉冲函数 的定义为
0
t
1 / a
f ( t )
a
图 7-34 单位脉冲函数
2.单位冲击函数
δ (t)
t
0
1
(a)
k δ ( t)
t
0
k
(b)
δ (t-t
0
)
t
0
1
t
0
(c)
k δ ( t- t
0
)
t
0
k
t
0
(d)
图 7－ 35 冲击函数
单位冲击函数 的定义：
)287(
1d)(
00)(
?
?
??
?
?
??
ttδ
ttδ
3,1(t) 与 δ(t)的关系,
根据 1(t) 与 δ(t)的定义，二者之间存在以下关
系,
)a297()(d )1(d ?? tδt t
?
?
?
?
?
?? ?
?? 01
00
d)(
t
t
ττδ
4.δ(t)的采样性质,
)()0()()( tδgtδtg ?
)0(d)()0(
d)()(
gttδg
ttδtg
?
?
?
??
?
??
??
)(d)()( 00 tgtttδtg ??? ???
g ( t )
t
0
δ ( t - t
0
)δ ( t )
图 7－ 36 采样性
)b297()1( ?? t
二、冲击响应
冲击响应,冲击信号作用下电路的零状态响应，
称为电路的 冲激响应,
如果电路的激励是冲击信号，那么此电路是
跃变电路．因此，换路定律不成立．这样就不能
用换路定律求初始值，进而也不能直接应用三要
素公式．这里介绍一种利用单位阶跃响应求解冲
击响应的方法．
单位冲击信号作用下电路的零状态响应，称
为电路的 单位冲击响应,用符号 h(t)表示。
s(t) 与 h(t)的关系,
由于单位脉冲函数为,
? ? ? ?? ?attatf ??? 111)(
f(t)在 a→0 时变为 δ(t)，因此,f(t)所对应的响应
在 a→0 时变成为 h(t)．
即
? ? ? ?? ?atstsa ??1
? ? ? ?? ? t tsatstsath
a d
)(d1l i m)(
0
????
?
0
t
1 / a
f ( t )
a
f(t)所对应的响应为,
)307(d )(d)( ?? t tsth
由线性性质，若
)()()1( thtst ??
)()()1( thktsktk ?????
则
冲击响应的求解步骤,
⑴ 把电路的冲击激励换为 1(t)，这时电路是非
跃变电路，可以用前面所学过的方法求 s(t).
⑵ 根据 h(t)=s' (t)，求出 h(t).
⑶ 若激励为 kδ(t)，则所求响应为 k·h(t).
下面讨论 RC和 RL电路的冲击响应．
图 7－ 37 RC电路 图 7－ 38 RL电路
i
L
R
L
u
L
)t(?
u
C
R )t(?
i
C
那么，在 δ(t) 作用下
)()e1()1(e
1
)()(
tt
RC
tsth
RC
t
RC
t
u C
?
??
???
??
)) 1 (e1()( tts RC
t?
??
将 δ(t) 换为 1(t)，则
1,RC电路
u
C
R
i
C
)(t? )(1t
)1(e1 tRC RC
t?
? )()0()()( tgttg ?? ?
t
uCti C
C d
d)( ?
)1(e1)( tRCtu RC
t
C
?
?
u
C
R
i
C
])()1(1[1 tδeteRCR RC
t
RC
t ??
???
)(1)1(12 tδ
R
te
CR
RC
t
???
?
)()0()()( tgttg ?? ?
那么，
)1(e)()( t
L
Rtsti tLR
L
?
???
)) 1 (e1()( tts tL
R?
??
将 δ(t) 换为 1(t)，则
)()1(e-
])(e)1(e[-
)()(
2
tR δt
L
R
tδt
L
R
R
tstu
t
L
R
t
L
R
t
L
R
L
??
??
??
?
??
2,RL电路
i
L
R
L
u
L
)(t? )(1t
可以看出，在冲击激励 δ(t) 作用下,uC (或 iL)
在 0 时刻有跃变，而 iC (或 uL)在 0 时刻会有冲击．
例 7-16 电路如图 7-39所示，试求电感电流和电感
电压的阶跃响应和冲激响应。
图 7-39 例 7-16图
u
L
L
R
i
L
K
)( t?
电路的激励是冲击函数，
电路是跃变电路,1(t)作用时
)) 1 (e1(1)( t
R
ts
t
L
R
i L
－
??
δ(t)作用时
)()e1(1)1(e1
d
)(d)( tδ
R
t
Lt
tsth tLRtLR
i L
??
????
电感电压 uL(t)的单位冲激响应
)(e)1(e
d
)(d)( tδt
L
R
t
tiLtu tLRtLRL
L
??
????
解 u L
L
R
i
L
)1(e1
t
L
t
L
R?
?
)1(e)(
t
L
Rtδ tLR???
kδ(t)1(
激励 k?(t)所产生的响应
)1(e)(
t
L
kti tLR
L
?
?
)1(e)()( t
L
kRtk δtu tLR
L
?
??
波形曲线如右图所示．
0
i
L
K / L
t
0
t
K
- K R / L
u
L
图 7-40 例 7-16响应曲线
)( t?
电感电压的冲激响应也可以用三要素法先求出
电感电压 uL(t)的阶跃响应
)1(e)( tts tL
R－
?
然后再对时间求导得到电感电压 uL(t)的冲激响应
t
tsth
d
)(d)( ?
u
L
L
R
i
L
K
)( t?
)1(e)(
t
L
Rtδ tLR???
)( 1e)( e
t
L
Rtδ tLRtLR ?? ??
u
C
1 0 0 k Ω
1 0 0 k Ω
5 0 k Ω
)t(?2 μF1例 7-17 电路如图 7-41所示，试求零状态电路对冲
击激励的响应 uC(t)。
图 7-41 例 7-17图
解 先用三要素法求电容电压 uC(t)的阶跃响应,
0)0( ??cu
V5.0211)( ????cu
s10
1010
1 0 01 0 0
1 0 01 0 0
50 63
0
.
)(
CR
?
??
?
?
??
?
?
?
故
V)) 1 (1(5.0)( 10 tets tu C ???
电容电压的单位冲击响应
)()( tsth ??
电路对 2?(t)产生的响应
V)1(10)(2)( 10 tethtu tC ???
1 0 0 k Ω
1 0 0 k Ω
5 0 k Ω μF1
u
C
1 0 0 k Ω
1 0 0 k Ω
5 0 k Ω
)t(?2 μF1
)()1(5.0)1(5 1010 tδete tt ?? ???
)1(5 10 te t??
三、电容电压和电感电流的跃变
跃变电路,电容电压和电感电流发生跃变的电路．
跃变电路的两种情况,
⑴ 电路的激励是冲击激励,
⑵ 电路在结构上是变电路的结构．
① 换路后，电容直接并联在恒压源或电容两端,
图 7-41 电容电压跃变电路
t = 0
K
u
C
C
U
S
i
C
(a)
R
u
C 2
C
2
i
C 1
t = 0
K
C
1
u
C 1
i
C 2
U
S
i
(b)
② 换路后，与某节点相连的各个支路中都有电
感或恒流源,
图 7-42 电感电流跃变电路
I
S
K
i
L
u
L
L
R
(a) (b)
u
L 1
U
S
K
L
1
R
1
L
2
R
2
u
L 2
i
L 1
i
L 2
对于⑵ 所述的结构上是跃变电路的情形
可以用下面的方法求初始值．
① 换路后，电容直接并联在恒压源或电容两端,
t = 0
K
u
C
C
U
S
i
C
(a)
R
u
C 2
C
2
i
C 1
t = 0
K
C
1
u
C 1
i
C 2
U
S
i
(b)
图 (a)所示电路，换路前,
0)0( ??Cu
换路后,电容电压发生跃变，电流
必然是冲击电压．设,由于
S)0( Uu C ??
)( tkδi ?
S
0
0
0
0 C ( t ) d
1d1)0( U
C
ktk δ
CtiCu C ???? ??
?
?
?
??
所以
SCUk ? )(S tδCUi C ?
? ? )()0()0( tuuC CC ??? ?
图 (b)所示电路，换路
前,
换路时，根据 KVL应有
S1 )0( Uu C ?? 0)0(2 ??Cu
R
u
C 2
C
2
i
C 1
t = 0
K
C
1
u
C 1
i
C 2
U
S
i
(b) )a307()0()0( 21 ?? ?? CC uu
)0()0( ?? ? qq
但因 i 不可能是冲击电流，所以 C1,C2极板上总电
荷量在换路瞬间不能发生变化，根据电荷守恒定律
)b307()0()0( 2211S1 ??? ?? CC uCuCUC
求解由 (7-30a)和 (7-30b)组成的方程组，得
21
S1
21 )0()0( CC
UCuu
CC ??? ??
所以
电容 C1和 C2电压均发生跃变，所以，电容 C1和
C2的电流必是冲击电流．设
)(11 tδki C ? )(,22 tδki C ?
则
? ???? ?? 00 1
1
11 d)(
1)0()0( ttδk
Cuu CC
即
1
1
S
21
S1
C
kU
CC
UC ??
?
同理
S
21
21
1 UCC
CCk
???
? ???? ?? 00 2
2
22 d)(
1)0()0( ttδk
Cuu CC
2
2
21
S1
C
k
CC
UC ?
? S21
21
2 UCC
CCk
??
)()0( S
21
21
1 tδUCC
CCi
C ???
)()0( S
21
21
2 tδUCC
CCi
C ??
? ? )()0()0( 111 tδuuC CC ?? ??
? ? )()0()0( 222 tδuuC CC ?? ??
② 换路后，与某节点相连的各个支路中都有电
感或恒流源,
I
S
K
i
L
u
L
L
R
(a) (b)
u
L 1
U
S
K
L
1
R
1
L
2
R
2
u
L 2
i
L 1
i
L 2
图 (a)所示电路，换路前,
0)0( ??Li换路后,电感电流发生跃变，电压
必是冲击电压．设,由于
S)0( Ii L ??
)( tk δu L ?
S
0
0
0
0 L ( t ) d
1d1)0( I
L
ktk δ
LtuLi L ???? ??
?
?
?
??
所以
SLIk ? )(S tδLIu L ?
? ? )()0()0( tiiL LL ??? ?
(b)
u
L 1
U
S
K
L
1
R
1
L
2
R
2
u
L 2
i
L 1
i
L 2
图 (b)所示电路，换路
前,
换路时，根据 KCL应有
1
S
1 )0( R
Ui
L ??
)a317()0()0( 21 ?? ?? LL ii
即 iL1,iL2会发生跃变,L1,L2两端都会出现冲击电压，
但由于换路后的回路没有外加冲击电源的作用，若
将 L1,L2看成一个整体，它们两端不可能存在冲击电
压，否则将违背 KVL．所以，与 L1,L2有关的总磁链
在换路瞬间不能发生变化，根据磁链守恒原理
0)0(2 ??Li
)0()0( ?? ? ψψ
1
1
1
S
121
S1
)( L
k
R
U
RLL
UL ??
?
)b317()0()0( 2211
1
S
1 ??? ?? LL iLiLR
UL
求解由 (7-31a)和 (7-31b)组成的方程组，得
121
S1
21 )()0()0( RLL
ULii
LL ??? ??
由于电感 L1和 L2电流均发生跃变，所以，电感
L1和 L2的电压必是冲击电压．
设
),(11 tδku L ? )(22 tδku L ?
则
? ????? 00 1
11
S
1 d)(
1)0( ttδk
LR
Ui
L
即
S
121
21
1 )( URLL
LLk
?
??
所以
同理
2
2
121
S1
)( L
k
RLL
UL ?
? S
121
21
2 )( URLL
LLk
??
)()()0(
121
S21
1 tδRLL
ULLu
L ???
)()()0(
121
S21
2 tδRLL
ULLu
L ??
? ???? 00 2
2
2 d)(
1)0( ttδk
Li L
? ? )()0()0( 111 tδiiL LL ?? ?=
? ? )()0()0( 222 tδiiL LL ?? ?=
本节讨论一阶电路在正弦信号激励下的零状态
响应。
)0()s i n (2dtd S ???? ttURiiL u??
7.7 一阶电路对正弦激励的响应
图 7-43 电感电流跃
变电路
一,RL电路
u
s
u
L
u
R
R
L
t= 0
K
(7-32)
对于图 7-43所示 RL串联电
路中，在电压源的正弦电压
uS(t)= √2US sin(? t+?u)激励下，
以电感电流 i(t)为变量的电路方
程为
这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。
它的解答由两部分组成
)()()( ph tititi ??
?
tt
L
R
pt KKKti ?? ??? eee)(
h
式中 ?=L/R 是电路的时间常数,K 是待定常
数，由初始条件和输入共同确定。
(7-33)
齐次通解 非齐次特解
) s i n (2)(p itIti ?? ??
将上式代入微分方程 (7－ 32)中可以得到
)s i n (
)s i n ( )c o s (
S u
ii
tU
tRItLI
??
?????
??
????
由此求得 I 和 ?i
?
?
??
?
???
?
?
R
L
LR
UI
ui
???
?
a rc t a n
)( 22
S
从上式可以看出，特解 ip(t) 就是换路后正弦
稳态电路的稳态解．可以用前面第三章学过的相
量法求解．
) s i n (2)(p itIti ?? ??
1,特解的求解
特解 ip(t) 是换路后正弦稳态电路的稳态解．用前
面第三章学过的相量法求解．
R R
U?
LU
?
SU
? ?jI?
LR
UI
?j
S
?
?
??
?
?
??
?
???
?
?
R
L
LR
UI
ui
???
?
a rc t a n
)( 22
S
即
)( a r c t a n)( 22
S
R
L
LR
U u
?
?
?
??
?
?
)()()( ph tititi ??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
R
L
t
LR
U
K u
t
L
R
?
??
?
a r c t a ns i n
)(
2
e
22
S
) s i n (2e i
t
tIK ??? ??? ?
若初始条件为零，即 i(0+)=0，代入上式求得待
定常数 K
?
?
?
?
?
? ?
?
?
???
R
L
LR
U
IK ui
?
?
?
? a r c t a ns i n
)(
2
)s i n (2
22
S
最后得到电感电流的表达式为
? ?itL
R
i tIIti ??? ????
? s i n2e)s i n (2)(
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
?
R
L
tI
R
L
Iti
u
t
L
R
u
?
??
?
?
a r c t a ns i n
ea r c t a ns i n)(
m
m
即
由此式可以看出，在一阶电路时间常数 ? >0 的
情况下。电感电流的第一项是一个衰减的指数函数，
它经过 (3～ 5)?的时间基本衰减到零，是暂态响应。
电感电流的第二项是一个按照正弦规律变化的函数，
其角频率与激励正弦电源的相同，是正弦稳态响应。
特别指出,此响应满足三要素公式。
ih(t)
ip(t)
i(t)
t
i(t)=ih(t)+ip(t)
图 7-44 正弦激励下电路的暂态响应，
正弦稳态响应和全响应
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
?
R
L
tI
R
L
Iti
u
t
L
R
u
?
??
?
?
a r c t a ns i n
ea r c t a ns i n)(
m
m
分析解 i(t),
1.Ψu是开关 t=0 闭合时，电源 uS 相位角，与开关
闭合时刻有关．称为 合闸角,
2,特殊问题, 当 时，响应 i(t) 没有暂
态响应,
R
L
u
?? a rc t a n?
u
s
u
L
u
R
R
L
t = 0
K
二,RC电路
i(t)
K
R
C
i
C
i
R
u
C
图 7-45 RC电路接入正弦激励
对于图 7-45所示
RC电路，在电压源的
正弦电流
激励下，以电容电压 uC(t) 为变量的电路方程为
)0()s i n (2dtd S ???? ttIRuuC iCC ??
这是一个线性常系数非齐次一阶微分方程。
它的解答由两部分组成
)()()( ph tututu CCC ??
(7-34)
(7-35)
i (t)= √2ISsin(? t+?i)
uCh(t)是对应齐次微分方程的 通解,其形式为
?
tt
L
R
pt
C KKKtu
?? ??? eee)(
h
式中 ?=RC 是电路的时间常数,K 是待定常数，
由初始条件和输入共同确定。
uCp(t) 是非齐次微分方程的特解，可以用相
量法对换路后正弦稳态电路的求解．
R
I? CU?Cj?1
iCC ΨUCG
IU ??
?? ?j
??
22 )(G C
IU
C
??
?
G
CΨΨ
iu
?a r ct a n??
注意, 当 时，响应 i(t) 没有暂态响应,
G
C
i
?? a rc t a n?
? ?
?
?
?
?
?
?
????
???
?
?
G
C
tUK
tUKtu
iC
RC
t
uC
RC
t
C
?
??
??
a rct a ns i n2e
s i n2e)(
初始条件为零，即 uC(0+)=0，代入上式求得待定
常数 K
)s i n (2 ?? ??? iCUK
最后得到电感电流的表达式为
? ?????? ?????? ? iRC
t
iC tUUtu s i n2e)s i n (2)( CC
则
从前面的讨论可以看出，一阶电路在正弦信号
激励下的响应可以用三要素公式求解。即
? ? ?teffftf ??? ????? 0)()0()()(
稳态初值稳态值
初值
时间常
数
1,动态电路的完全响应由独立电源和储能元件
的初始状态共同产生。仅由初始状态引起的响应
称为零输入响应；仅由独立电源引起的响应称为
零状态响应。线性动态电路的全响应等于零输入
响应与零状态响应之和。
2,动态电路的电路方程是微分方程。其时域
分析的基本方法是建立电路的微分方程，并利用
初始条件求解。对于线性 n阶非齐次微分方程来说，
其通解为
)()()( ph tftftf ??
小 结
fh(t) 是对应齐次微分方程的通解，称为电路的
固有响应 (暂态响应 )，它与外加电源无关。
fp(t) 是非齐次微分方程的特解，其变化规律与
激励信号的规律相同，称为电路的强制响应 (稳态
响应 ),
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对
于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为
fh(t)=Kept,若 p<0时,当 t ?? 时,fh(t)=Kept?0，此
时 fp(t)= f(t)|t=?= f(?)。
只要能够计算出某个响应的初始值 f(0+)，稳态
值 f(?)和电路的时间常数 ?这三个要素，利用以上
通用公式，就能得到该响应的表达式，并画出波形
曲线。这种计算一阶电路响应的方法，称为 三要素
法 。
4,三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励
的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路。
3,直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达
式为
? ? )0()()0()()( 0 ?????? ??? teffftf t?
5,阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励
下的零状态响应, 一阶电路的阶跃响应可以用三
要素法求得 。
6,冲激响应是电路在单位冲激电压或电流激
励下的零状态响应, 线性非时变电路的冲激响应
可以用阶跃响应对时间求导数的方法求得 。
7,一阶电路在正弦激励下的响应可以用三要
素法求得。但需要注意，正弦激励作用下的响应
可能没有暂态。
由二阶微分方程描述的电路称为 二阶电路 。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，
并利用初始条件求解得到电路的响应。
7.9 二阶电路的零输入响应
一, RLC串联电路的微分方程
R
C L
t = 0
uC(t) uL(t)
i
图 7－ 46 RLC串联二阶电路
R
C L
t = 0
uC(t) uL(t)
i
图 7－ 46 RLC串联二阶电路
已知 uC(0-) = Uo,开关在 t=0 时闭合。开关
闭合后，由 KVL电压定律，得
)(dd C tutiLRi ??
将 代入上式经整理得
t
uCi
d
d C??
0
d
d
d
d
C
C
2
C
2
??? u
t
uRC
t
uLC
这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。
其特征方程为
012 ??? R C pL C p
其特征根为
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
????
(7-37)
(7-38)
(7-39)
特征根又称为电路的 固有频率 。
1,当 时,为不相等的负实根。
工作状态为过阻尼情况，或 非振荡衰减 。C
LR 2? 21,pp
当 R,L,C 的量值不同时，特征根可能出现
以下三种情况
2,当 时,为两个相等的负实根。
工作状态为 临界阻尼 情况。C
LR 2? 21,pp
3,当 时,为共轭复数根。
工作状态为欠阻尼情况，或 振荡衰减 。C
LR 2? 21,pp
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
????
二,当 时,为不相等的负实根。非
振荡衰减状态 。C
LR 2? 21,pp
齐次微分方程的解
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
????
设
L
R
2?? LC
1
0 ??
此时
2022,1 ??? ????p
)0(ee)( 21 21C ??? tKKtu tptp
dt
duCti C??)(
(7-40)
< 0
)0()ee( 21 2211 ???? tpKpKC tptp
式中的常数 K1,K2 由初始条件 i(0+) 和 uc(0+) 确定,
21C )0( KKu ???
2211)0( pKpKi ???
R
C L
t = 0
uC(t) uL(t)
i
联立求解以上两个方程，
可以得到
21
01
2
12
02
1,pp
UpK
pp
UpK
－＝－＝
0U?
0?
)0()ee()( 21 12
12
0
C ??? tpppp
Utu tptp
－
)0()ee()( 21
12
021 ???? t
pp
UpCpti tptp
－
0
uC(t)
t
)0()ee()( 21 12
12
0
C ??? tpppp
Utu tptp
－
tp
pp
pU 1e
12
20
－
tp
pp
pU 2e
12
10
－?
uC(t)
)0()ee()( 21
12
021 ???? t
pp
UpCpti tptp
－
0
i(t)
t
uC(t)
i(t)
uL(t)
t
iLtu
L d
d)( ?
)0()ee( 21 21
12
0 ???? tpp
pp
U tptp
－
tm
2tm
21
1
2
m
ln
pp
p
p
t
?
?
三,当 时,为共轭复数根。
振荡衰减工作状态。 C
LR 2? 21,pp
齐次微分方程的解
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
???? ?? j???
(7-41)
其中
220 ??? ??
0?
?
?
?
)s i n (e)(C ??? ?? ? tKtu t
)]c o s ()s i n ([e)( ??????? ?????? ? ttCKdtduCti tC
式中的常数 K1,K2 由初始条件 i(0+) 和 uc(0+) 确定,
?s i n)0(C Ku ??
???? c oss i n)0( ???i
联立求解以上两个方程，
可以得到
?
??
?
?
? a rct a n,s i n 0
00 ＝＝ UUK ?
0U?
0?
)0()a r ct a ns i n (e)( 00C ??? ? ttUtu t ????? ?
)0(s i ne)( 0 ?? ? ttLUti t ?? ?
0?
?
?
?
)0()a r ct a ns i n (e)( 00C ??? ? ttUtu t ????? ?
若电路中的电阻为零,称为等幅震荡 unattenuated
oscillatory) 过程，此时,
LCL
R 1,0
2 0
???? ???
)
2
s i n (
s i n
)(s i n
00
0
0
0
00
?
?
?
?
??
?
??
tUu
t
L
U
i
2
π
tωUu
L
C
)0(e)()( 21C ??? ? ttKKtu t?
K1,K2由初始条件 i(0+) 和 uC(0+) 确定。
四,当 时,为两个相等的负实根。
工作状态为临界阻尼情况。 C
LR 2? 21,pp
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
???? ???
齐次微分方程的解
)]([e)( 212 tKKKCdtduCti tC ?????? ? ??
)0(dd 0 ???? ? tteLUtuCi tC ?
)0()1(0 ??? ? tetUu tC ??
)0()1(dd 0 ???? ? tetUtiLu tL ??
1,在非振荡衰减 (过阻尼 )情况,p1 和 p2 是不相
等的负实数，固有频率出现在复平面上负实轴上，
响应按指数规律衰减。
2.在临界阻尼情况,p1= p2 是相等的负实数，
固有频率出现在复平面上负实轴上，响应按指数
规律衰减。
3.在振荡衰减 (欠阻尼 )情况,p1 和 p2 是共轭复
数，固有频率出现在复平面上的左半平面上，响
应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间
按指数规律衰减。
4.在无阻尼情况,p1 和 p2 是共轭虚数，固有频
率出现在复平面上的虚轴上，振幅不再衰减，形
成等幅振荡。
显然，当固有频率的实部为正时，响应的振
幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，
当一个电路的全部固有频率均处于复平面上的左
半平面上时，电路是稳定的。
t = 0
K
u
C
C
E
i
R
L
u
L
7.10 二阶电路的阶跃响应
Eu
t
uRC
t
uLC ???
C
C
2
C
2
d
d
d
d
电路所对应的微分方程为
EuRitiL ??? Cdd
开关闭合后
微分方程所对应的特征方程为
012 ??? R C pL C p
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
????
由 7.9 的分析，特征根有三种解的形式，对
应三种工作状态。
下面就三种情况分别讨论。
一,当 时,为不相等的负实根。非
振荡充电过程 。C
LR 2? 21,pp
微分方程的解 = 齐次通解 + 非 齐次特解
2022,1 ??? ????p
)0(ee)( 21 21C ???? tKKEtu tptp
dt
duCti C?)(
< 0
)0()ee( 21 2211 ??? tpKpKC tptp
由初始条件：
uC(0+)= uC(0-)= 0 i(0+)= i(0-)= 0
E+ K1 +K2 = 0
C( K1 p1+ A2 p2) = 0
得,K1 = - p2E / (p2 - p1)
K2 = p1E / (p2 - p1)
故：
)0()( 21 12
12
????? tepeppp EEu tptpC
)0()(
)(d
d)( 21
21
??
?
?? tee
ppL
E
t
uCti tptpC
)0()()(dd)( 21 21
21
????? tepeppp EtiLtu tptpL
u C
t
i
u
L
0
E
uC
i
uL
二,当 时,为共轭复数根。
震荡的充电过程。 C
LR 2? 21,pp
微分方程的解
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
???? ?? j???
)s i n (e)(C ??? ??? ? tKEtu t
)]s i n ()c o s ([e)( ??????? ????? ? ttCKdtduCti tC
由初始条件,
0s i nco s
0s i n
??
??
????
?KE
得,
?
?
?
?
?
?
a rct a n
s i n
0
?
???? E
E
K
)0()a r ct a ns i n (0 ????? ? ttEeEu tC ????? ?
所以
)0()a rct a ns i n (
d
d
)0(s i n
d
d
0 ??
?
???
?
?
??
?
?
ttEe
t
i
Lu
tte
L
E
t
u
Ci
t
L
tC
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)0(e)1()(C ???? ? ttEEtu t??
三,当 时,为两个相等的负实根。
工作状态为临界阻尼情况。 C
LR 2? 21,pp
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
???? ???
微分方程的解
)0(dd ??? ? tetLEtuCi tC ?
)0()1(dd ???? ? tetEtiLu tL ??
例 电路如图所示。已知 R=4?,L=1H,C=1/3F，
uS(t)=2V,uC(0)=6V,iL(0)=4A。求 t>0时，电容电
压和电感电流的响应。
LCL
R
L
R
s
1
22
2
21 ??
?
??
?
????
，
解,先计算特征根
??
?
?
????????
3
112342＝
响应为
tt KKtututu 321CpChC ee2)()()( ?? ?????
利用初始条件得到
4)3(
3
1
d
)(d
)0(
62)0(
210
C
L
21C
?????
????
???
?
KK
t
tu
Ci
KKu
t
联立求解以上两个方程得到
V8,V12 21 ??? KK
)0(A)e8e4(
d
d
)()(
)0(V)e8e122()(
3C
CL
3
C
??????
????
??
??
t
t
u
Ctiti
ttu
tt
tt
所以
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第七章
线性动态网络时域分析
第七章 线性动态网络时域分析
? 7.1 电路动态过程和初始条件
? 7.2 一阶电路的零输入响应
? 7.3 一阶电路的零状态响应
? 7.4 一阶电路的全响应
? 7.5 一阶电路的阶跃响应
? 7.6 一阶电路的冲击响应
? 7.7 一阶电路对正弦激励的响应
? 7.9 二阶电路的零输入响应
? 7.10 二阶电路的零状态响应
7.1 电路动态过程和初始条件
1．电路的动态过程
任何系统的状态都有相对稳定和不稳定两种
状态．在电路中,稳定状态 是指在给定条件下电
路中电压、电流已达到稳定值。不稳定状态是指
动态, 例如：电容Ｃ的充电过程,
图 7-1 RC充电电路
K R
i
u
C
U
S
C
充电前，开关 Ｋ 是打开
的，且 uC = 0．选择开关
闭合时刻为 t = 0．Ｋ闭
合后，由于能量不能突
变,uC从 0 升高到 US．
t
0
U
S
/ R
i
动 态 过 程
稳 态
图 7-2 RC充电电路的动态过程曲线
u
C
t0
动 态 过 程
稳 态
U
S
uC从一个稳态 uC = 0 变化至另一个稳态 uC =
US 所经历的过程，称为 动态过程,
产生动态过程的 原因 是什么？
内因,电路为动态电路，即电路中 含储能元件 L,C；
外因,电路 换路,即开关通断、电源变化、元件参数
变化等。
换路时电容上的电压，电感上的电流不
能跃变．
2．换路定律
由于物体所具有的能量不能跃变，因此,在换
路瞬间储能元件的能量也不能跃变．即
2
2
1
LL LiW ?
uC,iL不能跃变,\
,21 2CC CuW ?
记, t = 0 — 表示换路时刻 (计时起点 )；
t = 0- — 表示换路前的终了瞬间；
t = 0+ — 表示换路后的初始瞬间．
换路定律,
)0()0()0()0(
)0()0()0()0(
????
????
??
??
CCLL
CCCC
ii
qquu
??或
或
)0()0(,)0()0( ???? ?? LLCC iiuu
因为，
??
??
d)(
1
)()(
d)(
1
)()(
0
0
0
0
?
?
??
??
t
t
LL
t
t
CC
u
L
titi
i
C
tutu
??
??
d)(
1
)0()(
d)(
1
)0()(
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
t
t
LL
t
t
CC
u
L
iti
i
C
utu
t = 0 时换路
计算 t = 0+ 时的值，有
tu
L
ii
ti
C
uu
t
t
LL
t
t
CC
d
1
)0()0(
d
1
)0()0(
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
在换路瞬间，若 i,u有限值，从而
0d0d 0000 ?? ?? ?
?
?
?
tuti
于是，
)0()0(,)0()0( ???? ?? LLCC iiuu
换路定律的 适用条件, 非跃变电路 (7.6节介绍）,
3,初始条件
用时域分析法求解电路的动态过程实质就是
求解微分方程．因此，必须要用初始条件确定积
分系数．
初始条件,就是所求变量及其各阶导数在换
路结束瞬间的值．
?独立变量,是指其变量及其初始值不能用其
它变量和初始值求出．如,uC和 iL，或 q和
Ψ．
?非独立变量,是指其变量及其初始值可以用
独立变量和初始值求出．指电路中除 uC和 iL的
其他变量．
? 1) 先由 t =0-的电路求出 uC ( 0– ), iL ( 0– )；
? 2) 根据换路定律，求出独立变量初始值 uC( 0+)
和 iL ( 0+) ；
? 3) 将电容用电压源代替，其值为 uC(0+)，将电
感用电流源代替，其值为 iL(0+)，画出 0+时刻等
效电路图 ;
? 4) 根据 0+时刻等效电路图，用线性稳态电路的
分析方法求出所需要的非独立变量初始值．
确定初始值的方法,
例 7-1 图 7-3所示电路,t=0 时将开关 K闭合,t<0
时电路已达稳态，试求各元件电流、电压初始值．
u
C
u
2
U
S
R
1
C
R
2
K
i
C
i
1
u
1
1 0 V
1 0 μ F
3 K Ω
2 K Ω
i
2
图 7-3 例 7-1图
解 t<0时电路已达稳态，电容相当于开路．
? ? V100 S ??? Uu C
? ? ? ? V1000 ?? ?? CC uu
t=0+的等效电路如下图 (b)所示．
u
C
u
2
U
S
R
1
C
R
2
K
i
C
i
1
u
1
1 0 V
1 0 μ F
3 K Ω
2 K Ω
i
2
(a) 例 7-1图
0)0()0( S1 ??? ?? CuUu
(b) 0+时刻等效电路
U
S
i
1
( 0
+
)
1 0 V
3 K Ω
2 K Ω
i
2
( 0
+
)
u
1
( 0
+
)
i
C
( 0
+
)
u
C
( 0
+
) u
2
( 0
+
)
0/)0()0( 111 ?? ?? Rui
V10)0()0(2 ?? ?? Cuu
mA5/)0()0( 222 ?? ?? Rui
0)0(
0)0(
0)0(
0)0(
0)0(:
2
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
C
i
i
u
i
u注
mA5)0()0()0( 21 ???? ??? iii C
? ? V100 ??Cu
例 7-2 图 7- 4(a)电路中的开关断开已经很久,t=0
时闭合开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电感
电流和电感电压。
图 7-4 例 7-2图
解 开关闭合前电路稳态，电感相当于短路．
2 A
R
1
= 1 Ω R
2
= 1 Ω
K
L
i
L
i
1
A1)0()0(
A1)0()0( 1
??
??
??
??
LL
L
ii
ii
t=0时闭合开关, 0+时刻等效电路如下图 (b)所示．
2 A
R
1
= 1 Ω R
2
= 1 Ω
K
L
i
L
i
1
(a) 例 7-2图
(b) 0+时刻等效电路
2 A
R
1
R
2
i
1
i
L
( 0
+
)
u
L
( 0
+
)
A1
)0(
)0(
2
??
?? ?
?
L
L
iR
u
所以，
00,?? )(u L注
1 0 V
3 Ω
2 Ω
1 Ω
1 H
2 F
i
C
u
C
ii
L
① ②
例 7-3 电路如图 7-5所示,t<0时电路已达稳态，
t=0时开关 Ｋ 由①扳向②，试求各元件电压和电流
的初始值,和,
?? 0
d
t
L
dt
i
?? 0
d
t
C
dt
u
图 7-5 例 7-3图
解 开关原置于位置①，
且电路稳态，可求
出：
V4
)0()0(
?
? ?? CC uu
A2
)0()0(
?
? ?? LL ii
t=0时开关由 ①扳向②, 0+时刻 等效电路如下图 所示．
1 0 V
3 Ω
1 Ω
4 V
2 A
u
L
( 0
+
)
i
C
( 0
+
)
i ( 0
+
)
图 7-6 例 7-3的 0+时刻等效电路
A4)0( ??i
A2)0(2)0( ???? ?? ii C
023410)0( ??????Lu
t
iLu,
t
uCi L
L
C
C d
d
d
d ??∵
∴
sV1011dd 0
0
/)(iCiCtu CtC
t
C ????
??
?
?
?
sA0011dd 0
0
/)(uLuLti LtL
t
L ???
??
?
?
?
例,换路前电路处于稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解,(1) 由 t = 0-电路求 uC(0–),iL (0–)
换路前电路已处于稳态,电容元件视为开路；
电感元件视为短路。由 t = 0
-电路可求得：
4?
2?+
_
R
R2
R1U8V ++
4?
i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
LC
t = 0 -等效电路
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
V414)0()0( 3 ???? ?? LC iRu
A1)0( ??Li
由换路定则：
V4)0()0( ?? ?? CC uu A1)0()0( ?? ?? LL ii
(2) 由 t = 0+电路求 iC(0+),uL (0+) uc (0+)
由图可列出 )0()0()0(
2 ??? ??? CC uiRiRU
)0()0()0( ??? ?? LC iii
带入数据
4)0(4)0(28 ??? ?? Cii
1)0()0( ?? ?? Cii
iL (0+)
C
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
L
t = 0+时等效电路
4V 1A
4?
2?+
_
R
R2
R1
U
8V +
4?
iC
_
iL R3
i
t = 0+时等效电路
4V 1A
4?
2?+
_
R
R2
R1
U
8V +
4?
ic
_
iL R3
i
解之得
A31)0( ??Ci
并可求出
)0()0()0()0( 32 ???? ??? LCCL iRuiRu
V311144314 ??????
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
计算结果：
电量 A/
Li A/CiV/Cu V/Lu
??0t
??0t
4 1
1
0
3
1
0
4
3
11
换路瞬间，
LC iu,
不能跃变，但 可以跃变。
LC ui,
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
7.2 一阶电路的零输入响应
一阶电路, 由一阶微分方程描述的电路称
为一阶电路。
零输入响应, 电路的输入为零，响应是由储
能元件所储存的能量产生的，这种响应称为
零输入响应．
本节讨论 RC电路和 RL电路的零输入响应．
如,含一个储能元件的电路，所列写电路
的微分方程是一阶微分方程，故含一个储能元
件的电路是一阶电路．
一,RC电路的零输入响应
图 7-7(a)所示电路中的开关原来连接在 1端, 电
压源 U0通过电阻 Ro对电容充电, 假设在开关转换
以前, 电容电压已经达到 U0。 在 t=0时开关迅速由
1端转换到 2端 。 已经充电的电容脱离电压源而与
电阻 R并联, 如图 (b)所示 。
图 7-7 RC放电电路
(a) (b)
u
C
U
0
R
K
C
R
0
1 2
u
C
u
R
R
C
i
R
我们先定性分析 t>0后电容电压的变化过程。
当开关倒向 2端的瞬间，电容电压不能跃变，即
0CC )0()0( Uuu ?? ??
由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电
容电压相同，即
0)0()0( Uuu CR ?? ??
电阻的电流为
R
Ui
R
0)0( ?
?
(a) (b)
u
C
U
0
R
K
C
R
0
1 2
u
C
u
R
R
C
i
R
该电流在电阻中引起的功率和能量为
?? t RRR diRtWtiRtp 0 22 )( )()()( ??＝
电容中的能量为
)(21)( 2C tCutW ?
随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来
提供，这造成电容电压的下降。一直到电容上电
压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就
是电容电压从初始值 uC(0+)=U0逐渐减小到零的变
化过程。这一过程变化的快慢取决于电阻消耗能
量的速率。
为建立图 (b)所示电路的一阶微分方程，由
KVL得到
0??? CR uu
由 KCL和电阻、电容的 VCR方程得到
t
uRCRiu C
RR d
d???
代入上式得到以下方程
(a) (b)
u
C
U
0
R
K
C
R
0
1 2
u
C
u
R
R
C
i
R
)0(0dd ??? tutuRC CC
(7-1)
这是一个 常系数线性一阶齐次微分方程 。其通
解为
ptC Ktu e)( ?
由式 (7－ 1)中，得到 特征方程
)27(01 ???R C p
其解为
)37(1 ?? RCp －
称为 特征根 (电路的 固有频率 )。
(a) (b)
u
C
U
0
R
K
C
R
0
1 2
u
C
u
R
R
C
i
R
)17()0(0dd ???? tutuRC CC
于是电容电压变为
0)(t ee)( ??? ?? RC
t
pt
C KKtu
式中 K是 待定常数,由初始条件确定。当 t=0+
时上式变为
KKu RC
t
C ??
?
? e)0(
根据初始条件
0)0()0( Uuu CC ?? ??
求得
)0(0 ??? CuUK
)0()( RC
t
CC eutu
?
??
得到图 7－ 7(b)电路 的零输入响应为
Cu
Ci
Ri
tO
(b)
u
C
u
R
R
C
i
R
e )()(
-0
RC
t
CR R
Utiti ???
e -0 RC
t
U?
RC
t
C R
U
t
uCti -0C e
d
d)( ???
当 时??t
010 %8.36e UUu C ?? ?
由曲线可见，各电压电流的变化快慢取决于 R
和 C的乘积。令 ? =RC，由于 ? 具有时间的量纲，
故称它为 RC电路的 时间常数 。
? 的 物理意义
?
t
Utu C
?
? e)( 0
%.836\ ?时间常数 等于电压 Cu 衰减到初始值 U0 的
所需的时间。
时间常数
0 t
iR
U0/R
0 t
uC
U0
)c47()0( e )()(
)b47()0(e
d
d
)(
)a47()0( e)(
-
0
-
0C
-
0
?????
?????
???
t
R
U
titi
t
R
U
t
u
Cti
tUtu
t
CR
t
C
t
C
?
?
?
图 7-8 RC放电电路的零输入曲线
?
0.368U0
?
0.368U0/R
动态过程时间 (暂态时间 )的确定
理论上认为, 电路达稳态,
0?Cu??t
0?Cu工程上认为 ~, 电容放电基本结束。?)53(?t
t ?
Cu 0.368U 0.135U
0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
?2 ?3 ?4 ?6?5
1e? 2e? 3e? 4e? 5e? 6e??t?e
?
t?
e 随时间而衰减
电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为
? ?? ?
?
??
0
0
2
0
202
2
1d)e(d)( CUtR
R
UtRtiW RC t
RR ＝
计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量
的确全部转换为电阻消耗的能量。
由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为
电阻消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响
电容电压衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角
度来说明放电过程的快慢。
例如在电容电压初始值 U0不变的条件下，增加
电容 C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时
间加长；
若增加电阻 R，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，
使放电过程的时间加长。
这就可以解释当时间常数 ? = RC 变大，电容
放电过程会加长的原因。
t
O
)(tuC
1? 2?? 3??
在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此
得到
例 7-4 电路如图 7－ 9(a)所示，已知电容电压 uC(0-)
=6V。 t=0闭合开关，求 t > 0的电容电压和电容电流。
图 7－ 9 例 7－ 4
解：
)0()0( ?? ? CC uu V6?
将连接于电容两端的电阻网络等效于一个电阻，
其电阻值为
k Ω10k Ω)36 368(o ?????R
得到图 (b)所示电路，
CR 0??
s05.0105
1051010
2
63
???
????
?
?
其时间常数为
由
0)()e(0)( ?? ?? tutu
t
CC ?
mAe2.0mAe6.031)(63 3)( 2020C ttR titi ?? ??????
t
uCti
C d
d)( C?
0)(Ve6)( 20 ?? ? ttu tC
得到
)0(mAe6.0
mAe
1010
6
20
20
3
???
?
??
?
?
tt
t
?
t
R
U 0 e ???
二, RL电路的零输入响应
电感电流原来等于电流 I0，电感中储存一定的
磁场能量，在 t=0 时开关由 1端倒向 2端，换路后的
电路如图 (b)所示。
我们以图 7－ 10(a)电路为例来说明 RL 电路零
输入响应的计算过程。
图 7-10 RL放电电路
I
0
K
R
L
i
L
1
2
i
R
u
L
R
L
i
L
i
R
(a) (b)
在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即
iL(0+)= iL(0-)= I0,这个电感电流通过电阻 R时引起
能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直
到电流变为零为止。
综上所述，图 (b)所示
RL电路的动态过程是电感
中的初始储能逐渐释放出
来被电阻消耗的过程。与
能量变化过程相应的是各
电压电流从初始值，逐渐
减小到零的过程。
(b)
u
L
R
L
i
L
i
R
u
R
换路后,由 KVL得
0?? LL uRi
代入电感 VCR方程
t
iLu L
L d
d?
得到以下 一阶线性齐次微分方程
)67(0dd ??? LL itiRL
(b)
u
L
R
L
i
L
i
R
u
R
)t(K)t(i tL
R
L 0e ??
?
这个微分方程与式 (7－ 1)相似，其 通解 为
代入初始条件 iL(0+)=I0求得
)0(0 ??? LiIK
?
t
LL iti
-)e(0)(
??
)t(K)t(i tL
R
L 0e ??
?
)0(e
d
d)( -
0
L ???? tRI
t
iLtu tLR
L
令,则电感电流和电感电压的表达式为
R
L??
图 7-11 RL放电电路的波形
0 t
uL
? ?2 ?3
-RIS0 t
iL
? ?2 ?3
I0
)0(e -0 ?? tI
t
?
u
L
i
L
①
②
2 4 V
4 Ω
2 Ω
3 Ω
6 Ω
4 Ω
6 H
K
i
1
图 7-12 例 7-5图
例 7-5 电路如图 7－ 12(a)所示,K合于①已很
久,t=0 时Ｋ由① 合向②，求换路后的
).t(u)t(u),t(i LL 12和
解 换路前电路已稳定，由换路定律可得
A263 6224 24)0()0( ??????? ?? LL ii
从 Ｌ 两端视入的等
效电阻为
换路后电路为 零输入响应,
??
??
???? 6
6)42(
6)42(3
0R
时间常数 为
s1
6
6
0
???
R
L?
u
L
i
L
①
②
2 4 V
4 Ω
2 Ω
3 Ω
6 Ω
4 Ω
6 H
K
i
1
零输入响应为
0)(A2)0()( ??? ??? teeiti t
t
LL ?
0)(V12dd)( ???? ? tetiLtu tLL
0)(A)(21)(1 ??? ? tetiti tL
0)(V424)(424)( 112 ?????? ? tetitu t
u
L
i
L
①
②
2 4 V
4 Ω
2 Ω
3 Ω
6 Ω
4 Ω
6 H
K
i
1
7.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应,电路的初始状态为零, 由外加激励
引起的响应, 称为零状态响应 。
一,RC电路的零状态响应
图 7-13所示电路中的电容原来未充电,uC(0-)=0。
t=0时开关Ｋ断开，电流源 IS被接入 RC电路。
I
S
K
R C
i
C
i
R
u
C
图 7-13 RC充电电路
uC(0+)= uC(0-)= 0
根据 KCL定律，有
CR iiI ??S
又
,tuCi CC dd? Rui CR ?
)87(dd S ??? RIutuRC CC
所以
这是 一阶线性非齐次微分方程 。
)97()()()( ph ??? tututu CCC
)0(eee)( h ???? ?? tKKKtu RC
tt
pt
C ?
方程的通解 = 对应齐次方程的通解 +方程的特解
齐次通解 非齐次通解
Q)t(u ?Cp SCC
d
d RIu
t
uRC ?? SCp )( RIQtu ??
式中的常数 K由初始条件确定。在 t=0+时
0)0( SC ???? RIKu由此求得
SRIK ?? )e1()(
SC RC
t
RItu ???
代入式 (7－ 10)中得到零状态响应为
)b117()0(e
d
d
)(
)a117()0()e1()(
S
C
C
SC
????
????
?
?
tI
t
u
Cti
tRItu
τ
t
τ
t
)c117()0()e-(1)(
S
C ???? ? tI
R
uti τt
R
)107(e)()()( S CpChC ????? ? RIKtututu RC
t
图 7-13 RC充电电路的响应曲线
t
O
u
C
i
C
t
O
其波形如图 (7－ 13)所示
I
S
K
R C
i
C
i
R
u
C
τ
t
τ
t
I
t
u
Cti
RItu
S
C
C
SC
e
d
d
)(
)e1()(
?
?
??
??
RI
S
-RI
S
Cu
SI
由于
Sp )( RItu C ?
即特解为 RIS，而 UC(t)的波形可以看出,RIS是
UC(t)的最终稳态解．
记
S)( RIu C ??
则式 (7-11a)可以写为：
)0()e1)(()(
C ????
?
tutu
t
C
τ
例 7-6 电路如图 8-11所示，已知电容电压 uC(0-)=0,
t=0打开开关，求 t?0的电容电压 uC(t),电容
电流 iC(t)以及电阻电流 iR(t)。
图 7-14 例 7-6图
在开关闭合瞬间，由换路定律
)0()0( CC ?? ? uu
解
K
i
C
i
R
u
C
1 A
1 2 0 Ω
1 8 0 Ω μF1
a
b
当电路达到新的稳定状态时,
V1 2 0)(C ??u
=0
?? 3 0 0oR
μs300F10300 6o ????? ?CR?
换路后，从 C两端看电路
)0(Ae4.0e10
3
1
12010
d
d
)(
)0(V)e1(120)e1)(()(
44
4
10
1
10
1
46C
C
10
1
C
???????
??????
????
?
??
?
?
t
t
u
Cti
tutu
tt
t
t
C
33
3
为了求得 i1(t)，根据图所示电路，由 KCL
)0(A)e4.01()()(
410
3
1
S ?????
?? ttiIti t
CR
K
i
C
i
R
u
C
1 A
1 2 0 Ω
1 8 0 Ω μF1
a
b
)0()e1)(()( ???? ? tutu
t
CC τ
RL一阶电路的零状态响应与 RC一阶电路相
似。 图 7-15所示电路在开关转换前，电感电流为
零，即 iL(0-)=0。当 t=0时开关 K闭合，其电感电
流和电感电压的计算如下：
二,RL电路的零状态响应
K R
i
L
U
S L
u
L
图 7-15 RL充电电路
根据 KVL,有
SUuRi LL ??
又
t
iLu L
L d
d?
所以
)127( )0( dd SL ???? tRUitiRL L
这是 一阶常系数非齐次微分方程,其解答为
)137(ee
)()()(
S
S
ph
?????
??
??
R
U
K
R
U
K
tititi
t
t
L
R
LLL
?
式中 ? =L/R是该电路的时间常数。常数 K由初
始条件确定，即
0)0()0( S ???? ?? RUKii LL
由此求得
R
UK S?? )e1()( S tL
R
L R
Uti ???
)0()e1)(()( ???? ? titi
t
LL τ
最后得到一阶 RL电路的零状态响应为
)0( )e1()e1)(()( S ?????? ?? tRUiti tL
R
τ
t
LL
其波形曲线如图 7－ 16所示。
图 7－ 16 RL电路零状态响应的波形曲线
0
i
L
U
S
/ R
t
0
u
L
U
S
t
)0(eedd)(
S
SL ????
??
tUUtiLtu τ
tt
L
R
L
例 7-7 电路如图 8-14 所示，已知电感电流
iL(0-)=0。 t=0闭合开关，求 t?0的电感
电流和电感电压。
图 7-17 例 7-7图
开关闭合后的电路如图 (b)所示，由于开关
闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即
0)0()0( ?? ?? LL ii
解
A5.12436)( ???Li
s050s8 40
o
..RL ????
)0(A)e1(5.1)( 20 ??? ? tti tL
电感电流和电感电压为：
V12eVe205.14.0dd)( 2020 ttLL tiLtu ?? ?????
?8=18+24 18×24=0R
例 7-8 图 8-15(a)为一个继电器延时电路的模型。已知继电
器线圈参数为, R=100?,L=4H,当线圈电流达到
6mA时，继电器开始动作，将触头接通。从开关闭
合到触头接通时间称为延时时间。为了改变延时时
间，在电路中串联一个电位器，其电阻值可以从零
到 900?之间变化。若 US=12V，试求电位器电阻值
变化所引起的延时时间的变化范围。
图 7－ 18 例 7－ 8图
解,开关闭合前，电路处于零状态,iL(0-)=0。
开关转换瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，
即 iL(0+)=iL(0-)=0。将电路用图 8－ 15(b)所示诺顿等
效电路代替，其中
o
S
W
S
scWo R
U
RR
UIRRR ?
?
???
电感电流的表达式为
)e1()(
o
S
L
τ
t
R
U
ti
?
??
设 t0 为延时时间，则有
mA6)e1()(
0
o
S
0 ???
?
τ
t
L R
U
ti由此求得
?
?
?
?
?
? ???
S
0o
0
)(1ln
U
tiRτt L
?
?
?
?
?
?
???
S
0o
0
)(
1ln
U
tiR
τt L
当 Rw=0 ? 时,? = 0.04s
ms05212 1061 0 01ln0401ln
3
S
0o
0,.U
)t(iRt L ?
?
?
?
?
?
? ?????
??
?
??
? ??? ??
当 Rw=900?时, ?=0.004s
ms77212 1061 0 0 01ln0 0 401ln
3
S
0o
0,.U
)t(iRt L ?
?
?
?
?
?
? ?????
??
?
??
? ??? ??
7.4 一阶电路的全响应
全响应, 由储能元件的初始储能和激励
电源共同引起的响应，称为 全响应 。
图 7－ 19 RC电路的完全响应
下面讨论 RC电路在直流电源作用下的全响应。
电路如图 7-19(a)所示，开关连接在 a端为时已经很
久,uC(0-)=U0。 t=0时开关倒向 b端。 t >0 时的电路
如图 8-16(b)所示。
u
C
I
S
R
K
1
C
a
b
K
2
I
S
RC
i
C
i
R
u
C
为了求得电容电压的全响应，以电容电压 uC(t)
为变量，列出图 (b)所示电路的微分方程
)157()0(dd S -≥tRIutuRC CC ??
)()()( ph tututu CCC ??
这是一个常系数 一阶线性非齐次微分方程 。其
解为：
)0(eee)( Ch ???? ?? tKKKtu RC
t
τ
t
pt
由初始条件得
S000 RIKU)(u)(u CC ???? ??
齐次通解 非齐次特解
S
e RIK RCt ?? -
S0 RIUK ??
? ? )167(e)()0()( ?????? ?? τtCCC uuu
)0(e)()( S S0 ???? ? tUUUtu RC
t
C
τ
t
C UUUtu
S0S e)()(
????
全响应＝稳态响应 ＋暂态响应
分析, 全响应的第一种表达式
稳态 (强制 )
响应
暂态 (自由 )
响应
O
t
u
C
( t )
US
U0-US
uC(t)
)177()e1)((e)0( ????? ??? τ
t
C
τ
t
C uu
)e1(e)( S 0 τ
t
τ
t
C UUtu
?? ???
全响应的第二种表达式分析,
全响应＝零输入响应＋零状态响应
零输入
响应
零状态
响应
)0(e)()( S S0 ???? ? tUUUtu RC
t
C
O
t
u
C
( t )
U0 uC(t)
一般情况下，对于任意响应 f(t),其 全响应 的
表达式为：
? ? )187()()0()()( 0 ?????? ??? τtt effftf
称为一阶电路的 三要素公式,
对三要素公式有如下说明：
2．当直流电源作用于电路时，
)()( 0 ??? ? ff t
初始值--
（三要素）
)(?f
稳态值--
)0( ?f
时间常数? --
1．
例 7-9 电路如 图 7-21所示，已知 uC(0-)= － 3V,
t=0闭合开关，求 t?0的电容电压全响应
uC(t) 和 i(t)。
u
C
K
i
6 V
1 0 μ F
3 K Ω
6 K Ω
图 7－ 21 例 7-9图
解 用三要素法求解．
1,先求初始值．
V300 ??? ?? )(u)(u CC
? ? mA3
3
36)0( ????
?i
2,再求稳态值．
V4663 6)( ?????Cu
mA6 6 7.096)( ???i
3,最后求时间常数．
????? K263 630R
s0201010102 630,CR ?????? ??
所以，由三要素公式有；
u
C
i
6 V
1 0 μ F
?K3
?K6
? ?
)0(V74
)()0()()(
50 ???
?????
?
?
?
te
euuutu
t
τ
t
CCCC
? ?
)0(mA33.26 6 7.0
)()0()()(
50 ???
?????
?
?
?
te
eiiiti
t
τ
t
其波形如下：
其中：
ms21174ln5011,t ???
0
t
u
C
4 V
V- 3
t
1
0
t
i
1
( m s )
3
2 / 3
A2321 2)0( ?????Li
A2)0()0( ?? ?? LL ii
用三要素法求解解,
t = 0ˉ等效电路
Li
2? 1?
3A
R1
2?由 t = 0ˉ等效电路可求得
(1) 求 uL(0+),iL(0+)
已知,S 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳
态。求, 电感电流 。和电压
LL ui
例 7-10
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
Li
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
由 t = 0+等效电路可求得
V4
)1
22
22
()0()0(
??
?
?
?
??? ?? LL iu
A2)0()0( ?? ?? LL ii
(2) 求稳态值 )()( ??
LL ui 和
t = 0+等效电路
2? 1?
2A
R1
2?
Lu
+
_
R3
R2
t = ?等效电路
2? 1?
2?
Li
R1 R3
R2
V0)( ??Li
由 t = ?等效电路可求得
V0)( ??Lu
(3) 求时间常数 ?
s5.0
2
1
0
???
R
L?
3210 // RRRR ??
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
2? 1?
R1
2?
R3
R2
L
Ve4
)04(0
2
2e
t
t
Lu
?
?
??
????
Ae2
e)02(0
2
2
t
t
Li
?
?
?
???
起始值-4V
稳态值
2A
Lu
0
Li,
t
iL,uL变化曲线
电路如图 7-22a所示．当 时，
开关Ｋ接于 a,uS=0．当 t=0 时，Ｋ由 a扳向 b．经
后，再将Ｋ由 b扳向 a．试求响应 U2(t)．
例 7-11
????? 0t
μs1
u
S
U
M
t
0
t
K
图 7－ 22 例 7-11图
(a) (b)
解 虚线内的开关电路，可等效为 图 (b)所示脉
冲信号，其幅值 UM=10V，脉冲宽度 tK=,
μs1
+
u
2
1 0 V
K
a
b
X
u
S
1 0 K Ω
u
R
μF100
⑴ 当 时，Ｋ由 a扳向 b，电路为零状
态响应,K
0 tt ???
V10)(2 ??u
此值并非最终稳态值，称为 虚拟稳态值,
时间常数：
μs1101001010 63 ?????? ?RC?
? ?K6102 0V)1(10)( ttetu t ???? ??所以，
+
u
2
1 0 V
K
a
b
X
u
S
1 0 K Ω
u
R
μF100u SU M
t
0
t
K
⑵ 当 时，Ｋ由 b扳向 a，电路为零输入响
应．
Ktt ?
6, 3 2 VV110 K610-K2 ??? ?? )e()t(u t
因电容电压不跃变，故
6.3 2V)()( -K2K2 ??? tutu
+
u
2
1 0 V
K
a
b
X
u
S
1 0 K Ω
u
R
μF100u SU M
t
0
t
K
τ不变．
? ? )s1(V32.6
32.6)(
66
K
1010
2
???
?
???
?
?
te
etu
t
τ
tt
tk为换
路时间
因为
2S uuu R ??
所以
? ?s100V10)( 610 6 ?? ??? ? tetu tR
6.32V)(0)( K2K ???? ?? tutu R
0)( ??Ru
又
所以
? ? ? ?s10V32.6)( 61010 66 ??? ??? ?? tetu tR
其波形如图 7-23所示．
+
u
2
10V
K
a
b
X
u
S
10K Ω
u
R
μF100uSUM
t
0
t
K
+
u
2
1 0 V
K
a
b
X
u
S
1 0 K Ω
u
R
μF100u SU M
t
0
t
K
u
2
1 0 V
t
0
t
K
6, 3 2 V
u
R
1 0 V
t
0
t
K
3, 6 8 V
- 6, 3 2 V
? ?K102 0V)1(10)( 6 ttetu t ???? ??
? ? )s1(V32.6)( 66 10102 ??? ??? tetu t
? ?s100V10)( 610 6 ?? ??? ? tetu tR
? ? ? ?s1V32.6)( 66 1010 ???? ?? ?? tetu tR
电路如图 7-23所示．电容 C原未被充电，
t=0时将开关Ｋ闭合，求Ｋ闭合后的 uC(t)．已知,
E=10V,R1=R2=4Ω,R3=2Ω,C=1F.
例 7-12
图 7－ 24 例 7-12图
解 用 三要素法 求解．
⑴ 求初始值．
0)0()0( - ??? CC uu
X X
X
+
E
K
R
1
R
2
R
3
+
2 u
1
C
+
u
C
u
1
⑵ 求稳态值．
根据 KCL和 KVL，有
)(2)()( 1
2
1
1
1 ?????? u
R
u
R
uE
解得
V1)(1 ??u
X X
X
+
1 0 V
K
+
+
u
1
( ∞ )
2 u
1
( ∞ )
u
C
( ∞ )
4 Ω
4 Ω
2 Ω
所以
V3)()(22)( 11 ????????? uuu C
⑶ 求时间常数．
X X
X
+
u
1
2 u
1
4 Ω
4 Ω
2 Ω
R
0
+
U
I
因为 ? ?
1122 uuIU ???
，且
21 Uu ?
所以
??? 800,IUR
整理
2222
UUIU ??
?
??
?
? ??? IU 45 ?
s8.018.00 ????? CR
故
? ? ? ?0V1313)( 25.18.0 ????
??
?
?
?
??
?
?
?
??? ?
?
teetu
t
C
例 7-13 图 7-24所示电路原处于稳定状态。
t=0时开关闭合，求 t?0的电容电压 uC(t)和
电流 i(t),并画波形图 。
图 7－ 24 例 7-13图
V8)0()0( CC ?? ?? uu
V8A24)0(C ?????u
解, 1,计算初始值 uC(0+)
7VV5V2V10
44
44
2
44
44
V2
2
1
4
1
4
1
1
)(C ????
?
?
?
?
?
??
??
??u
2,计算稳态值 uC(?)
???
??
? 1
2
1
4
1
4
1
1
oR
s1.0F1.01o ????? CRτ
3.计算时间常数 ?
4.将 uC(0+)=8V,uC(?)=7V和 ?=0.1s代入三要素
公式得
)0(]Ve17[]V7)e78[()( 1010C ?????? ?? ttu tt
)(ti
)(]e)()0([)(
????? ?
?
? ffftf
t
2 )(V10 c??? tu
)0(A)0, 5 e1, 5( 10 ??? ? tt
由于电路中每个响应具有相同的时间常数，
即,,用三要素公式得到
)0( A)e5.05.1(]A5.1e)5.11([)( 1010 ?????? ?? tti tt
电阻电流 i(t) 还可以利用三要素法直接求得
V8)0(C ??u
A5.1A
2
710
2
)(V10
)(
A1A
2
810
2
)0(V10
)0(
C
C
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
? ??
u
i
u
i
s1.0?τ
值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了
跃变,i(0+)=1A? i(0-)=1.667A，因而在电流表达式
中，标明的时间范围是 t>0，而不是 t?0。
)0( A)e5.05.1(]A5.1e)5.11([)( 1010 ?????? ?? tti tt
7.5 一阶电路的阶跃响应
在前面的讨论中，我们看到直流一阶电路中的
各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入
电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分
段恒定信号对电路的激励。
随着电路规模的增大和计算工作量增加，有
必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更
好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于
用计算机分析和设计电路。
t
0
1 ( t - t
0
)
t
0
1 ( t )
??
?
?
??
0 1
0 0)(
t
tt1
1(t-t0 )
一、阶跃函数
单位阶跃函数 1(t)的定义为
图 7－ 25 阶跃函数
(7-26)
k1(t)
??
?
?
??
0
0 0)(
tk
ttk1
t
0
k1(t)
1
k
?
?
?
?
???
0
0
0 1
0)(
tt
tttt1 t
0
1
t
0
1 ( - t )
11(-t)
??
?
?
???
0 0
0 1)(
t
tt1
开关电路可以等效为阶跃信号作用于该电路 。
图 7－ 26 用阶跃函数代替开关的作用
a
b
( a )
u
S
( t )
0
t
=
U
0
a
b
( b )
u
S
( t )
I
0
i
S
( t )
a
b
( c )
t = 0
a
b
( d )
i
S
( t )
I
0
1(t)
U
0
1(t)
二, 阶跃响应
阶跃响应, 阶跃信号作用下电路的零状态响
应，称为电路的 阶跃响应,
单位阶跃响应,单位阶跃信号作用下电路的
零状态响应，称为电路的 单
位阶跃响应,
单位阶跃响应用符号 s(t)表示,
单位阶跃响应用可以 用三要素公式求解,
)t) 1 (()t(s RC
t?
?? e1 )t) 1 (()t(s tL
R?
?? e1
利用三要素公式得到电感电流 iL(t)的阶跃响应
如下所示。
以上两个式子可以用一个表达式表示如下,
)()t) 1 (()t(s
t
277e1 ??? ? ?
其中时间常数 ?=RC或 ?=L/R。
图 7－ 27 用阶跃函数代替开关的作用
R
0
C
1 ( t ) u
C
( t )
i
C
( t )
R
0
L
1 ( t )
u
L
( t )
i
L
( t )
(a) (b)
已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得
在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零
状态响应，例如图 7-28(b)所示信号作用图 7-28(a)
所示 RC串联电路时，由于图 (b)所示信号可以分解
为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加。
图 7－ 28 RC电路及其分段恒定信号
)tt1()tt1()tt1()tt1()t1()t(u 4321S 2342 ?????????
其电容电压 uC(t)的零状态响应可以表示为
)tt(s)tt(s)tt(s)tt(s)t(s)t(u 4321C 2342 ?????????
由图 (b)知，
4321
e1
e1
,,,k
)tt) 1 (()tt(s
)t) 1 (()t(s
k
RC
tt
k
RC
t
k
?
????
??
?
?
?
其中
例 7-14 用阶跃电流源表示图 7-25(b)所示的方波
电流，求解电路中电感电流的响应，并画出波形
曲线。
图 7-33 例 7-14图
i
S
i
L
( t )
0, 1 K Ω
0, 1 H
0
t/m s
1 0
i
S
/m A
1
(a) (b)
解：图 (b)所示的方波电流，用两个阶跃函数表示：
iS(t)=[101(t)-101(t-1ms)]mA
由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠
加定理，其零状态响应等于 10 1(t)和 -10 1(t-1ms)两
个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。
1,阶跃电流源 101(t)mA单独作用时，其响应
为
mA 1e110 1 0 0 0L )t()()t(i t' ???
2,阶跃电流源 -101(t-1ms)mA单独作用时，其
响应为
mA ms1]e1[10 ms11 0 0 0 (L )t1()t(i )t" ???? ??
3,应用叠加定理求得 101(t)和 -101(t-1ms)共同
作用的零状态响应为
mA m s ) }1(]e1[10)()e1(10{ m s )1(1 0 0 01 0 0 0
LLL
?????
??
??? t1t1
)t(i)t(i)t(i
tt
"'
分别画出 和 的
波形，如曲线 1和 2所示。然
后它们相加得到 iL(t)波形曲
线，如曲线 3所示。
)(L ti' )(L ti"
例 7-15 图 7-26(a)所示为零状态电路，激励为
E=10V，脉冲宽度为 的脉冲函数，见图 (b)．
试求输出电压 uC(t)，并画出波形曲线。
μs1
u
S
1 0 V
t
0
1 m s
u
S
( t ) u
C
( t )
1 0 K Ω μF100
(a) (b)
图 7-33 例 7-15图
解 前面例 7-11已经用分段方法解过此题．即
? ?ms10V)1(10 610 ???? ?? te)t(u tC
? ? )te.)t(u tC ms1(V326 66 1010 ?? ???
此题也可以用阶跃函数表示法求解．此时激
励为：
uS(t)=10 [ 1(t) - 1(t-1ms) ] V
该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定
理，其零状态响应等于 10 1(t)和 -10 1(t-1ms)两个
阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。
1,阶跃电流源 10 1(t)mA单独作用时，其响应
为
V e110 610 )t) 1 (()t(u t'C ???
2,阶跃电流源 -10 1(t-1ms)mA单独作用时，其
响应为
V 01]e1[10 601(10 66 )t1()t(u )t"C ??? ???? ?
当 时，
3,应用叠加定理求得 101(t)和 -101(t-1ms)共同
作用的零状态响应为
V 01]e1[10e110 601(1010
666
)t1()t) 1 ((
)t(u)t(u)t(u
)tt
C
'
CC
???? ?????
????
?
其波形如右图所示．用
第二种解法，当 t= 时，
u
C
1 0 V
t
0
6, 3 2 V
1 m s
u
S
1 0 V
t
0
1 m s
μs1
V326
110110μ s )1( 01
.
)e()e(u C
?
???? ?
? ?V326 66 1010 ???? tC e.)t(u
V)1(10 610 tC e)t(u ???
μs10 ??? t
当 时，μs1?t
7.6 一阶电路的冲击响应
在前面的讨论中，我们用到的激励都是直流电
源，应用三要素法求解电路．初始值的求解的依
据是换路定律，即在换路瞬间，电容电压和电感
电流是连续变化的．
在介绍 换路定律 时，我们也提到它的 适用条
件是：非跃变电路,这一节我们将介绍的冲击响
应在求解时换路定律将不成立．因此，本节介绍
有关跃变电路的求问题．
)277(
0
0
1
00
)( ?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
at
at
a
t
tf
单位脉冲函数特点是,脉宽与幅值乘积为１,
当脉宽 a 变小时，幅值 1/a 变大．当 a→0 时，其幅
值 1/a →∞,但其面积仍为 1．把单位脉冲的这种
极限情况，称为单位冲击函数,波形如图 7-35所
示。,
一、单位脉冲函数和单位冲击函数
1.单位脉冲函数 的定义为
0
t
1 / a
f ( t )
a
图 7-34 单位脉冲函数
2.单位冲击函数
δ (t)
t
0
1
(a)
k δ ( t)
t
0
k
(b)
δ (t-t
0
)
t
0
1
t
0
(c)
k δ ( t- t
0
)
t
0
k
t
0
(d)
图 7－ 35 冲击函数
单位冲击函数 的定义：
)287(
1d)(
00)(
?
?
??
?
?
??
ttδ
ttδ
3,1(t) 与 δ(t)的关系,
根据 1(t) 与 δ(t)的定义，二者之间存在以下关
系,
)a297()(d )1(d ?? tδt t
?
?
?
?
?
?? ?
?? 01
00
d)(
t
t
ττδ
4.δ(t)的采样性质,
)()0()()( tδgtδtg ?
)0(d)()0(
d)()(
gttδg
ttδtg
?
?
?
??
?
??
??
)(d)()( 00 tgtttδtg ??? ???
g ( t )
t
0
δ ( t - t
0
)δ ( t )
图 7－ 36 采样性
)b297()1( ?? t
二、冲击响应
冲击响应,冲击信号作用下电路的零状态响应，
称为电路的 冲激响应,
如果电路的激励是冲击信号，那么此电路是
跃变电路．因此，换路定律不成立．这样就不能
用换路定律求初始值，进而也不能直接应用三要
素公式．这里介绍一种利用单位阶跃响应求解冲
击响应的方法．
单位冲击信号作用下电路的零状态响应，称
为电路的 单位冲击响应,用符号 h(t)表示。
s(t) 与 h(t)的关系,
由于单位脉冲函数为,
? ? ? ?? ?attatf ??? 111)(
f(t)在 a→0 时变为 δ(t)，因此,f(t)所对应的响应
在 a→0 时变成为 h(t)．
即
? ? ? ?? ?atstsa ??1
? ? ? ?? ? t tsatstsath
a d
)(d1l i m)(
0
????
?
0
t
1 / a
f ( t )
a
f(t)所对应的响应为,
)307(d )(d)( ?? t tsth
由线性性质，若
)()()1( thtst ??
)()()1( thktsktk ?????
则
冲击响应的求解步骤,
⑴ 把电路的冲击激励换为 1(t)，这时电路是非
跃变电路，可以用前面所学过的方法求 s(t).
⑵ 根据 h(t)=s' (t)，求出 h(t).
⑶ 若激励为 kδ(t)，则所求响应为 k·h(t).
下面讨论 RC和 RL电路的冲击响应．
图 7－ 37 RC电路 图 7－ 38 RL电路
i
L
R
L
u
L
)t(?
u
C
R )t(?
i
C
那么，在 δ(t) 作用下
)()e1()1(e
1
)()(
tt
RC
tsth
RC
t
RC
t
u C
?
??
???
??
)) 1 (e1()( tts RC
t?
??
将 δ(t) 换为 1(t)，则
1,RC电路
u
C
R
i
C
)(t? )(1t
)1(e1 tRC RC
t?
? )()0()()( tgttg ?? ?
t
uCti C
C d
d)( ?
)1(e1)( tRCtu RC
t
C
?
?
u
C
R
i
C
])()1(1[1 tδeteRCR RC
t
RC
t ??
???
)(1)1(12 tδ
R
te
CR
RC
t
???
?
)()0()()( tgttg ?? ?
那么，
)1(e)()( t
L
Rtsti tLR
L
?
???
)) 1 (e1()( tts tL
R?
??
将 δ(t) 换为 1(t)，则
)()1(e-
])(e)1(e[-
)()(
2
tR δt
L
R
tδt
L
R
R
tstu
t
L
R
t
L
R
t
L
R
L
??
??
??
?
??
2,RL电路
i
L
R
L
u
L
)(t? )(1t
可以看出，在冲击激励 δ(t) 作用下,uC (或 iL)
在 0 时刻有跃变，而 iC (或 uL)在 0 时刻会有冲击．
例 7-16 电路如图 7-39所示，试求电感电流和电感
电压的阶跃响应和冲激响应。
图 7-39 例 7-16图
u
L
L
R
i
L
K
)( t?
电路的激励是冲击函数，
电路是跃变电路,1(t)作用时
)) 1 (e1(1)( t
R
ts
t
L
R
i L
－
??
δ(t)作用时
)()e1(1)1(e1
d
)(d)( tδ
R
t
Lt
tsth tLRtLR
i L
??
????
电感电压 uL(t)的单位冲激响应
)(e)1(e
d
)(d)( tδt
L
R
t
tiLtu tLRtLRL
L
??
????
解 u L
L
R
i
L
)1(e1
t
L
t
L
R?
?
)1(e)(
t
L
Rtδ tLR???
kδ(t)1(
激励 k?(t)所产生的响应
)1(e)(
t
L
kti tLR
L
?
?
)1(e)()( t
L
kRtk δtu tLR
L
?
??
波形曲线如右图所示．
0
i
L
K / L
t
0
t
K
- K R / L
u
L
图 7-40 例 7-16响应曲线
)( t?
电感电压的冲激响应也可以用三要素法先求出
电感电压 uL(t)的阶跃响应
)1(e)( tts tL
R－
?
然后再对时间求导得到电感电压 uL(t)的冲激响应
t
tsth
d
)(d)( ?
u
L
L
R
i
L
K
)( t?
)1(e)(
t
L
Rtδ tLR???
)( 1e)( e
t
L
Rtδ tLRtLR ?? ??
u
C
1 0 0 k Ω
1 0 0 k Ω
5 0 k Ω
)t(?2 μF1例 7-17 电路如图 7-41所示，试求零状态电路对冲
击激励的响应 uC(t)。
图 7-41 例 7-17图
解 先用三要素法求电容电压 uC(t)的阶跃响应,
0)0( ??cu
V5.0211)( ????cu
s10
1010
1 0 01 0 0
1 0 01 0 0
50 63
0
.
)(
CR
?
??
?
?
??
?
?
?
故
V)) 1 (1(5.0)( 10 tets tu C ???
电容电压的单位冲击响应
)()( tsth ??
电路对 2?(t)产生的响应
V)1(10)(2)( 10 tethtu tC ???
1 0 0 k Ω
1 0 0 k Ω
5 0 k Ω μF1
u
C
1 0 0 k Ω
1 0 0 k Ω
5 0 k Ω
)t(?2 μF1
)()1(5.0)1(5 1010 tδete tt ?? ???
)1(5 10 te t??
三、电容电压和电感电流的跃变
跃变电路,电容电压和电感电流发生跃变的电路．
跃变电路的两种情况,
⑴ 电路的激励是冲击激励,
⑵ 电路在结构上是变电路的结构．
① 换路后，电容直接并联在恒压源或电容两端,
图 7-41 电容电压跃变电路
t = 0
K
u
C
C
U
S
i
C
(a)
R
u
C 2
C
2
i
C 1
t = 0
K
C
1
u
C 1
i
C 2
U
S
i
(b)
② 换路后，与某节点相连的各个支路中都有电
感或恒流源,
图 7-42 电感电流跃变电路
I
S
K
i
L
u
L
L
R
(a) (b)
u
L 1
U
S
K
L
1
R
1
L
2
R
2
u
L 2
i
L 1
i
L 2
对于⑵ 所述的结构上是跃变电路的情形
可以用下面的方法求初始值．
① 换路后，电容直接并联在恒压源或电容两端,
t = 0
K
u
C
C
U
S
i
C
(a)
R
u
C 2
C
2
i
C 1
t = 0
K
C
1
u
C 1
i
C 2
U
S
i
(b)
图 (a)所示电路，换路前,
0)0( ??Cu
换路后,电容电压发生跃变，电流
必然是冲击电压．设,由于
S)0( Uu C ??
)( tkδi ?
S
0
0
0
0 C ( t ) d
1d1)0( U
C
ktk δ
CtiCu C ???? ??
?
?
?
??
所以
SCUk ? )(S tδCUi C ?
? ? )()0()0( tuuC CC ??? ?
图 (b)所示电路，换路
前,
换路时，根据 KVL应有
S1 )0( Uu C ?? 0)0(2 ??Cu
R
u
C 2
C
2
i
C 1
t = 0
K
C
1
u
C 1
i
C 2
U
S
i
(b) )a307()0()0( 21 ?? ?? CC uu
)0()0( ?? ? qq
但因 i 不可能是冲击电流，所以 C1,C2极板上总电
荷量在换路瞬间不能发生变化，根据电荷守恒定律
)b307()0()0( 2211S1 ??? ?? CC uCuCUC
求解由 (7-30a)和 (7-30b)组成的方程组，得
21
S1
21 )0()0( CC
UCuu
CC ??? ??
所以
电容 C1和 C2电压均发生跃变，所以，电容 C1和
C2的电流必是冲击电流．设
)(11 tδki C ? )(,22 tδki C ?
则
? ???? ?? 00 1
1
11 d)(
1)0()0( ttδk
Cuu CC
即
1
1
S
21
S1
C
kU
CC
UC ??
?
同理
S
21
21
1 UCC
CCk
???
? ???? ?? 00 2
2
22 d)(
1)0()0( ttδk
Cuu CC
2
2
21
S1
C
k
CC
UC ?
? S21
21
2 UCC
CCk
??
)()0( S
21
21
1 tδUCC
CCi
C ???
)()0( S
21
21
2 tδUCC
CCi
C ??
? ? )()0()0( 111 tδuuC CC ?? ??
? ? )()0()0( 222 tδuuC CC ?? ??
② 换路后，与某节点相连的各个支路中都有电
感或恒流源,
I
S
K
i
L
u
L
L
R
(a) (b)
u
L 1
U
S
K
L
1
R
1
L
2
R
2
u
L 2
i
L 1
i
L 2
图 (a)所示电路，换路前,
0)0( ??Li换路后,电感电流发生跃变，电压
必是冲击电压．设,由于
S)0( Ii L ??
)( tk δu L ?
S
0
0
0
0 L ( t ) d
1d1)0( I
L
ktk δ
LtuLi L ???? ??
?
?
?
??
所以
SLIk ? )(S tδLIu L ?
? ? )()0()0( tiiL LL ??? ?
(b)
u
L 1
U
S
K
L
1
R
1
L
2
R
2
u
L 2
i
L 1
i
L 2
图 (b)所示电路，换路
前,
换路时，根据 KCL应有
1
S
1 )0( R
Ui
L ??
)a317()0()0( 21 ?? ?? LL ii
即 iL1,iL2会发生跃变,L1,L2两端都会出现冲击电压，
但由于换路后的回路没有外加冲击电源的作用，若
将 L1,L2看成一个整体，它们两端不可能存在冲击电
压，否则将违背 KVL．所以，与 L1,L2有关的总磁链
在换路瞬间不能发生变化，根据磁链守恒原理
0)0(2 ??Li
)0()0( ?? ? ψψ
1
1
1
S
121
S1
)( L
k
R
U
RLL
UL ??
?
)b317()0()0( 2211
1
S
1 ??? ?? LL iLiLR
UL
求解由 (7-31a)和 (7-31b)组成的方程组，得
121
S1
21 )()0()0( RLL
ULii
LL ??? ??
由于电感 L1和 L2电流均发生跃变，所以，电感
L1和 L2的电压必是冲击电压．
设
),(11 tδku L ? )(22 tδku L ?
则
? ????? 00 1
11
S
1 d)(
1)0( ttδk
LR
Ui
L
即
S
121
21
1 )( URLL
LLk
?
??
所以
同理
2
2
121
S1
)( L
k
RLL
UL ?
? S
121
21
2 )( URLL
LLk
??
)()()0(
121
S21
1 tδRLL
ULLu
L ???
)()()0(
121
S21
2 tδRLL
ULLu
L ??
? ???? 00 2
2
2 d)(
1)0( ttδk
Li L
? ? )()0()0( 111 tδiiL LL ?? ?=
? ? )()0()0( 222 tδiiL LL ?? ?=
本节讨论一阶电路在正弦信号激励下的零状态
响应。
)0()s i n (2dtd S ???? ttURiiL u??
7.7 一阶电路对正弦激励的响应
图 7-43 电感电流跃
变电路
一,RL电路
u
s
u
L
u
R
R
L
t= 0
K
(7-32)
对于图 7-43所示 RL串联电
路中，在电压源的正弦电压
uS(t)= √2US sin(? t+?u)激励下，
以电感电流 i(t)为变量的电路方
程为
这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。
它的解答由两部分组成
)()()( ph tititi ??
?
tt
L
R
pt KKKti ?? ??? eee)(
h
式中 ?=L/R 是电路的时间常数,K 是待定常
数，由初始条件和输入共同确定。
(7-33)
齐次通解 非齐次特解
) s i n (2)(p itIti ?? ??
将上式代入微分方程 (7－ 32)中可以得到
)s i n (
)s i n ( )c o s (
S u
ii
tU
tRItLI
??
?????
??
????
由此求得 I 和 ?i
?
?
??
?
???
?
?
R
L
LR
UI
ui
???
?
a rc t a n
)( 22
S
从上式可以看出，特解 ip(t) 就是换路后正弦
稳态电路的稳态解．可以用前面第三章学过的相
量法求解．
) s i n (2)(p itIti ?? ??
1,特解的求解
特解 ip(t) 是换路后正弦稳态电路的稳态解．用前
面第三章学过的相量法求解．
R R
U?
LU
?
SU
? ?jI?
LR
UI
?j
S
?
?
??
?
?
??
?
???
?
?
R
L
LR
UI
ui
???
?
a rc t a n
)( 22
S
即
)( a r c t a n)( 22
S
R
L
LR
U u
?
?
?
??
?
?
)()()( ph tititi ??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
R
L
t
LR
U
K u
t
L
R
?
??
?
a r c t a ns i n
)(
2
e
22
S
) s i n (2e i
t
tIK ??? ??? ?
若初始条件为零，即 i(0+)=0，代入上式求得待
定常数 K
?
?
?
?
?
? ?
?
?
???
R
L
LR
U
IK ui
?
?
?
? a r c t a ns i n
)(
2
)s i n (2
22
S
最后得到电感电流的表达式为
? ?itL
R
i tIIti ??? ????
? s i n2e)s i n (2)(
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
?
R
L
tI
R
L
Iti
u
t
L
R
u
?
??
?
?
a r c t a ns i n
ea r c t a ns i n)(
m
m
即
由此式可以看出，在一阶电路时间常数 ? >0 的
情况下。电感电流的第一项是一个衰减的指数函数，
它经过 (3～ 5)?的时间基本衰减到零，是暂态响应。
电感电流的第二项是一个按照正弦规律变化的函数，
其角频率与激励正弦电源的相同，是正弦稳态响应。
特别指出,此响应满足三要素公式。
ih(t)
ip(t)
i(t)
t
i(t)=ih(t)+ip(t)
图 7-44 正弦激励下电路的暂态响应，
正弦稳态响应和全响应
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
?
R
L
tI
R
L
Iti
u
t
L
R
u
?
??
?
?
a r c t a ns i n
ea r c t a ns i n)(
m
m
分析解 i(t),
1.Ψu是开关 t=0 闭合时，电源 uS 相位角，与开关
闭合时刻有关．称为 合闸角,
2,特殊问题, 当 时，响应 i(t) 没有暂
态响应,
R
L
u
?? a rc t a n?
u
s
u
L
u
R
R
L
t = 0
K
二,RC电路
i(t)
K
R
C
i
C
i
R
u
C
图 7-45 RC电路接入正弦激励
对于图 7-45所示
RC电路，在电压源的
正弦电流
激励下，以电容电压 uC(t) 为变量的电路方程为
)0()s i n (2dtd S ???? ttIRuuC iCC ??
这是一个线性常系数非齐次一阶微分方程。
它的解答由两部分组成
)()()( ph tututu CCC ??
(7-34)
(7-35)
i (t)= √2ISsin(? t+?i)
uCh(t)是对应齐次微分方程的 通解,其形式为
?
tt
L
R
pt
C KKKtu
?? ??? eee)(
h
式中 ?=RC 是电路的时间常数,K 是待定常数，
由初始条件和输入共同确定。
uCp(t) 是非齐次微分方程的特解，可以用相
量法对换路后正弦稳态电路的求解．
R
I? CU?Cj?1
iCC ΨUCG
IU ??
?? ?j
??
22 )(G C
IU
C
??
?
G
CΨΨ
iu
?a r ct a n??
注意, 当 时，响应 i(t) 没有暂态响应,
G
C
i
?? a rc t a n?
? ?
?
?
?
?
?
?
????
???
?
?
G
C
tUK
tUKtu
iC
RC
t
uC
RC
t
C
?
??
??
a rct a ns i n2e
s i n2e)(
初始条件为零，即 uC(0+)=0，代入上式求得待定
常数 K
)s i n (2 ?? ??? iCUK
最后得到电感电流的表达式为
? ?????? ?????? ? iRC
t
iC tUUtu s i n2e)s i n (2)( CC
则
从前面的讨论可以看出，一阶电路在正弦信号
激励下的响应可以用三要素公式求解。即
? ? ?teffftf ??? ????? 0)()0()()(
稳态初值稳态值
初值
时间常
数
1,动态电路的完全响应由独立电源和储能元件
的初始状态共同产生。仅由初始状态引起的响应
称为零输入响应；仅由独立电源引起的响应称为
零状态响应。线性动态电路的全响应等于零输入
响应与零状态响应之和。
2,动态电路的电路方程是微分方程。其时域
分析的基本方法是建立电路的微分方程，并利用
初始条件求解。对于线性 n阶非齐次微分方程来说，
其通解为
)()()( ph tftftf ??
小 结
fh(t) 是对应齐次微分方程的通解，称为电路的
固有响应 (暂态响应 )，它与外加电源无关。
fp(t) 是非齐次微分方程的特解，其变化规律与
激励信号的规律相同，称为电路的强制响应 (稳态
响应 ),
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对
于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为
fh(t)=Kept,若 p<0时,当 t ?? 时,fh(t)=Kept?0，此
时 fp(t)= f(t)|t=?= f(?)。
只要能够计算出某个响应的初始值 f(0+)，稳态
值 f(?)和电路的时间常数 ?这三个要素，利用以上
通用公式，就能得到该响应的表达式，并画出波形
曲线。这种计算一阶电路响应的方法，称为 三要素
法 。
4,三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励
的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路。
3,直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达
式为
? ? )0()()0()()( 0 ?????? ??? teffftf t?
5,阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励
下的零状态响应, 一阶电路的阶跃响应可以用三
要素法求得 。
6,冲激响应是电路在单位冲激电压或电流激
励下的零状态响应, 线性非时变电路的冲激响应
可以用阶跃响应对时间求导数的方法求得 。
7,一阶电路在正弦激励下的响应可以用三要
素法求得。但需要注意，正弦激励作用下的响应
可能没有暂态。
由二阶微分方程描述的电路称为 二阶电路 。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，
并利用初始条件求解得到电路的响应。
7.9 二阶电路的零输入响应
一, RLC串联电路的微分方程
R
C L
t = 0
uC(t) uL(t)
i
图 7－ 46 RLC串联二阶电路
R
C L
t = 0
uC(t) uL(t)
i
图 7－ 46 RLC串联二阶电路
已知 uC(0-) = Uo,开关在 t=0 时闭合。开关
闭合后，由 KVL电压定律，得
)(dd C tutiLRi ??
将 代入上式经整理得
t
uCi
d
d C??
0
d
d
d
d
C
C
2
C
2
??? u
t
uRC
t
uLC
这是一个常系数齐次线性二阶微分方程。
其特征方程为
012 ??? R C pL C p
其特征根为
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
????
(7-37)
(7-38)
(7-39)
特征根又称为电路的 固有频率 。
1,当 时,为不相等的负实根。
工作状态为过阻尼情况，或 非振荡衰减 。C
LR 2? 21,pp
当 R,L,C 的量值不同时，特征根可能出现
以下三种情况
2,当 时,为两个相等的负实根。
工作状态为 临界阻尼 情况。C
LR 2? 21,pp
3,当 时,为共轭复数根。
工作状态为欠阻尼情况，或 振荡衰减 。C
LR 2? 21,pp
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
????
二,当 时,为不相等的负实根。非
振荡衰减状态 。C
LR 2? 21,pp
齐次微分方程的解
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
????
设
L
R
2?? LC
1
0 ??
此时
2022,1 ??? ????p
)0(ee)( 21 21C ??? tKKtu tptp
dt
duCti C??)(
(7-40)
< 0
)0()ee( 21 2211 ???? tpKpKC tptp
式中的常数 K1,K2 由初始条件 i(0+) 和 uc(0+) 确定,
21C )0( KKu ???
2211)0( pKpKi ???
R
C L
t = 0
uC(t) uL(t)
i
联立求解以上两个方程，
可以得到
21
01
2
12
02
1,pp
UpK
pp
UpK
－＝－＝
0U?
0?
)0()ee()( 21 12
12
0
C ??? tpppp
Utu tptp
－
)0()ee()( 21
12
021 ???? t
pp
UpCpti tptp
－
0
uC(t)
t
)0()ee()( 21 12
12
0
C ??? tpppp
Utu tptp
－
tp
pp
pU 1e
12
20
－
tp
pp
pU 2e
12
10
－?
uC(t)
)0()ee()( 21
12
021 ???? t
pp
UpCpti tptp
－
0
i(t)
t
uC(t)
i(t)
uL(t)
t
iLtu
L d
d)( ?
)0()ee( 21 21
12
0 ???? tpp
pp
U tptp
－
tm
2tm
21
1
2
m
ln
pp
p
p
t
?
?
三,当 时,为共轭复数根。
振荡衰减工作状态。 C
LR 2? 21,pp
齐次微分方程的解
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
???? ?? j???
(7-41)
其中
220 ??? ??
0?
?
?
?
)s i n (e)(C ??? ?? ? tKtu t
)]c o s ()s i n ([e)( ??????? ?????? ? ttCKdtduCti tC
式中的常数 K1,K2 由初始条件 i(0+) 和 uc(0+) 确定,
?s i n)0(C Ku ??
???? c oss i n)0( ???i
联立求解以上两个方程，
可以得到
?
??
?
?
? a rct a n,s i n 0
00 ＝＝ UUK ?
0U?
0?
)0()a r ct a ns i n (e)( 00C ??? ? ttUtu t ????? ?
)0(s i ne)( 0 ?? ? ttLUti t ?? ?
0?
?
?
?
)0()a r ct a ns i n (e)( 00C ??? ? ttUtu t ????? ?
若电路中的电阻为零,称为等幅震荡 unattenuated
oscillatory) 过程，此时,
LCL
R 1,0
2 0
???? ???
)
2
s i n (
s i n
)(s i n
00
0
0
0
00
?
?
?
?
??
?
??
tUu
t
L
U
i
2
π
tωUu
L
C
)0(e)()( 21C ??? ? ttKKtu t?
K1,K2由初始条件 i(0+) 和 uC(0+) 确定。
四,当 时,为两个相等的负实根。
工作状态为临界阻尼情况。 C
LR 2? 21,pp
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
???? ???
齐次微分方程的解
)]([e)( 212 tKKKCdtduCti tC ?????? ? ??
)0(dd 0 ???? ? tteLUtuCi tC ?
)0()1(0 ??? ? tetUu tC ??
)0()1(dd 0 ???? ? tetUtiLu tL ??
1,在非振荡衰减 (过阻尼 )情况,p1 和 p2 是不相
等的负实数，固有频率出现在复平面上负实轴上，
响应按指数规律衰减。
2.在临界阻尼情况,p1= p2 是相等的负实数，
固有频率出现在复平面上负实轴上，响应按指数
规律衰减。
3.在振荡衰减 (欠阻尼 )情况,p1 和 p2 是共轭复
数，固有频率出现在复平面上的左半平面上，响
应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间
按指数规律衰减。
4.在无阻尼情况,p1 和 p2 是共轭虚数，固有频
率出现在复平面上的虚轴上，振幅不再衰减，形
成等幅振荡。
显然，当固有频率的实部为正时，响应的振
幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，
当一个电路的全部固有频率均处于复平面上的左
半平面上时，电路是稳定的。
t = 0
K
u
C
C
E
i
R
L
u
L
7.10 二阶电路的阶跃响应
Eu
t
uRC
t
uLC ???
C
C
2
C
2
d
d
d
d
电路所对应的微分方程为
EuRitiL ??? Cdd
开关闭合后
微分方程所对应的特征方程为
012 ??? R C pL C p
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
????
由 7.9 的分析，特征根有三种解的形式，对
应三种工作状态。
下面就三种情况分别讨论。
一,当 时,为不相等的负实根。非
振荡充电过程 。C
LR 2? 21,pp
微分方程的解 = 齐次通解 + 非 齐次特解
2022,1 ??? ????p
)0(ee)( 21 21C ???? tKKEtu tptp
dt
duCti C?)(
< 0
)0()ee( 21 2211 ??? tpKpKC tptp
由初始条件：
uC(0+)= uC(0-)= 0 i(0+)= i(0-)= 0
E+ K1 +K2 = 0
C( K1 p1+ A2 p2) = 0
得,K1 = - p2E / (p2 - p1)
K2 = p1E / (p2 - p1)
故：
)0()( 21 12
12
????? tepeppp EEu tptpC
)0()(
)(d
d)( 21
21
??
?
?? tee
ppL
E
t
uCti tptpC
)0()()(dd)( 21 21
21
????? tepeppp EtiLtu tptpL
u C
t
i
u
L
0
E
uC
i
uL
二,当 时,为共轭复数根。
震荡的充电过程。 C
LR 2? 21,pp
微分方程的解
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
???? ?? j???
)s i n (e)(C ??? ??? ? tKEtu t
)]s i n ()c o s ([e)( ??????? ????? ? ttCKdtduCti tC
由初始条件,
0s i nco s
0s i n
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?KE
得,
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?
?
?
?
a rct a n
s i n
0
?
???? E
E
K
)0()a r ct a ns i n (0 ????? ? ttEeEu tC ????? ?
所以
)0()a rct a ns i n (
d
d
)0(s i n
d
d
0 ??
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???
?
?
??
?
?
ttEe
t
i
Lu
tte
L
E
t
u
Ci
t
L
tC
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?
?
?
?
?
?
?
)0(e)1()(C ???? ? ttEEtu t??
三,当 时,为两个相等的负实根。
工作状态为临界阻尼情况。 C
LR 2? 21,pp
LCL
R
L
Rp 1
22
2
2,1 ??
?
??
?
???? ???
微分方程的解
)0(dd ??? ? tetLEtuCi tC ?
)0()1(dd ???? ? tetEtiLu tL ??
例 电路如图所示。已知 R=4?,L=1H,C=1/3F，
uS(t)=2V,uC(0)=6V,iL(0)=4A。求 t>0时，电容电
压和电感电流的响应。
LCL
R
L
R
s
1
22
2
21 ??
?
??
?
????
，
解,先计算特征根
??
?
?
????????
3
112342＝
响应为
tt KKtututu 321CpChC ee2)()()( ?? ?????
利用初始条件得到
4)3(
3
1
d
)(d
)0(
62)0(
210
C
L
21C
?????
????
???
?
KK
t
tu
Ci
KKu
t
联立求解以上两个方程得到
V8,V12 21 ??? KK
)0(A)e8e4(
d
d
)()(
)0(V)e8e122()(
3C
CL
3
C
??????
????
??
??
t
t
u
Ctiti
ttu
tt
tt
所以
