电工基础
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第十章
非线性电路
10.2 图解分析法
第十章 非线性电路
10.1 非线性元件特性
10.4 小信号分析法
10.5 分段线性化方法
10.3 图解分析法
10 非线性电路 (nonlinear- circuit)
本章重点,充分 理解非线性元件的
特性，掌握分析非线性电路的图解
分析法、小信号法。
内容提要,本章介绍非线性元件及其
特性,讨论了分析非线性电路的常用
方法,图解分析法、小信号分析法、
分段线性化方法。
线性电路, 由 线性元件组成 的电路
非线性电路,线路包含非
线性元件。大多数实际电
路严格说来都是非线性电
路。对于那些非线性程度
比较弱的电路元件，作为
线性元件处理不会带来本
质上的差异。
但是，许多非线性元件的非线性特性不容忽略，
否则将无法解释电路中的一些现象，这时若把
非线性元件当作线性元件处理，会使所得结果
与实际值之间误差过大而无意义，甚至会造成
本质上的差异。
10.1.1 二端非线性电阻元件
非线性电阻,伏安特性不是通过 u-i平面坐标原
点的直线，或是用 曲线 表征。非线性电阻的
伏安关系不满足欧姆定律，而是符合某种非
线性的函数关系。因此，非线性电阻的参数
不能用一个数值来表示，而是用它在整个工
作区域内的伏安曲线或非线性的解析式来表
征。
二端线性电阻：伏安特性是通过 u-i平面
坐标原点的直线，欧姆定律就表达了线
性电阻的这种伏安关系。
uiou
i+
-
u R
i
非线性电阻符号
P-N结二
极管特性
)( ifu ?
i
0
u
流控型, (current-controlled resistor)
非线性电阻两端的电压是电流的单值
函数
特性
方程
+
-
u
i
充气二极管（辉光管） 伏安特性
u
i
0
u
1
i
1
i
2
对每一个电流 i
只有一个电压 u
与之对应,但对
同一个电压,电
流却可能是多
值的 。
+
-
u
i
压控型 (voltage -controlled resistor)
非线性电阻中通过的电流是其电压
的单值函数。
)( ugi ?
u
i
0
伏安特性
特性
方程
隧道二极管（辉光管）
对每一个电压 u
只有一个电流 i
与之对应,但
对同一个电流,
电压却可能是
多值的。
22 iu ?uui 43 ??
u
i
0
1i 2u 1u
单调型,既是流控型又是压控型的,
伏安特性是单调增长或单调下降的。
+
-
u
i
u
i
o
P - N 结 二 极 管 的 伏 安 特 性 曲 线
???
?
???
?
?? 10 eIi kTqu
R
i
+
-
+
-
uSU SR
图 1 0 - 1 5 例 1 0 - 5 图
Q
Q
Q I
U
R ?0
?tan
静态电阻,非线性电阻特性曲线上静态
工作点处的 电压与电流的比值,静态电
阻它 正比于 值。
?tan
动态电阻,指在
静态工作点 Q附近
电压对电流的变
化率,正比于 QIidQ di
du
R
?
?
U Qu
i
O
I QQ
1
?
?
非线性时不变电阻元件的静态电阻和
动态电阻都不是常数，而是其电压或
电流的函数，且随工作点的不同而不
同。
u
i
O
Q
P
0?dQR动态电阻是正值
动态电阻的正或负由
其伏安特性及静态工
作点的位置决定的。
动态电阻是负值 0?
dPR
10.2 图解分析法
2 A
R
1 Ω
1 Ω
2 Ω
2 V
+
-
i 1
i 2
i 3
i
+
-
u
a
b
非线性电阻网络的分析计算比线性电阻网络的
分析计算复杂。但是，对于只含有一个非线
性电阻元件，并且这个非线性电阻元件的伏
安特性可以用数学解析式表达出来时，可用
戴维南定理求解。
例图中,R是流控
型非线性电阻，其
伏安特性表达式为：
试求 R所消耗的功
率及 的值。
1i
2iu ?
2 A
R
1 Ω
1 Ω
2 Ω
2 V
+
-
i 1
i 2
i 3
i
+
-
u
a
b
R
i
+
-
u
a
b
R
0
+
-
U oc
( a )
( b )
解,在给定电路中,a,b两点的左侧为一个线
性有源的二端网络。根据戴维南定理,我们
将原电路图 (a)电路化成图 (b)所示戴维南等
效电路。
??? 1,2 0RVU oc
?
?
?
?
??
2
2
iu
iu
2iu ?
?
?
?
?
V
V
u
4
1
?
?
?
?
?
A
A
i
2
1
电路。的求解，需返回到给定对于 1i
解得,
WR
PVuAi R
1
W11,1
消耗功率此时
，＝时，当 ??
WR
WPAuAi R
8
,8,4,2
发生功率此时
时当 ?????
A
u
i 5.0
2
2
3 ??
?
?
Aiii 5.032 ???
Aii 5.12 21 ???
时，同理得当 VuAi 4,2 ???
得和时，由当 K C LK V LVuAi 1,1 ??
Aui 1
2
2
3 ?
?? Aiii 132 ????
Aii 32 11 ???
2 A
R
1 Ω
1 Ω
2 Ω
2 V
+
-
i 1
i 2
i 3
i
+
-
u
a
b
当非线性电阻不易写出它的数学表达式，求
解较困难，而且所得到的解答往往也是近似
解。因此，对非线性简单电阻网络往往采用
图解分析法 进行分析，此法包括 曲线相交法
和 曲线相加法 。
10.2.1 曲线相交法
曲线相交法是根据解析几何中用
曲线相交解联立方程的方法
R
i
+
-
u
E
R 0
u
i
0
iui )(
rui )(
曲线相交法
Q
I
U
iREu 0??
在图示电路中,非线形电阻 R的伏安特
性曲线如图中 红色 的曲线 所示，
rui )(列出电路左部支路的方程,
E/R
0
E
这两条曲线的交点 Q(静态 工作点,
或叫做工作点 )对应的电压 U和电
流 I就是要求的解答。这种求解非
线性电阻电路的方法叫做 曲线相
交法 。如果非线性电阻网络中只含有 一个
非线性电阻 元件,其余部分是线性电
路,就可以把线性电路化为戴维南等
效电路,然后就可以由曲线相交法计
算这个非线性电阻网络了。
2 A
R
1 Ω
1 Ω
2 Ω
2 V
+
-
i 1
i 2
i 3
i
+
-
u
a
b
R
i
+
-
u
a
b
R
0
+
-
U oc
( a )
( b )
u
i
- 1- 2 1
2
4
2
b
a
( d )
u
i
- 1- 2 1
2
4
2
( d )
稳定
工作
点
不稳
定工
作点
该电路有两个可能的工作点 a,b。对工作电 a,若
R支路中电路 i增长,则其电压 u增长,而对左部戴维南等效
电路,u增长则使 i减小,说明电路受到干扰出现偏离工作点
的情况时能自动恢复,这样的工作点是 稳定的工作点 。
u
i
- 1- 2 1
2
4
2
b
a
( d )
稳定
工作
点
不稳
定工
作点
,
0R
uUi OC ??
对工作点 b,i<0,若 i的绝对值变大,则 u增大,对左部的戴
维南等效电路,因其差值
增大时 i仍为负值,且其
绝对值增大,电路一旦
受到干扰就不能稳工作,
b是 不稳定工作点 。
非线性电阻伏安关系可以用数学
表达式写出时,可以用联立方程组
的方法求解电路。非线性电阻的
伏安关系为曲线形式表达时可用
曲线相交法求解。
10.2.2 曲线相加法
图 (a)示电路中,非线性电阻 R的伏安特性曲线如
图 (b)所示，求总电压 u和总电流 i的约束关系。
R
E
+
-
u
i i
1
i 2
R 1
R 2
+
-
u 0
+
-
u 1
u
i
0
i 1 ( u 0 )
( a )
( b )
首先,求含非线性电阻 R支路的伏安特性曲线 。
这条支路中的 R,R1,E 是串联的,流过的是同一
电流,因此在相同电流情况下,有：
)(1 ui
Euuu ??? 10
)(1 ui
因为该支路中有非线性电阻 R,u与 i1 不是线性关
系,因此必须利用各元件伏安特性曲线,在同一
电流条件下将电压相加,才能得到该支路的伏安
特性曲线 。
O
u
( c )
i
),( 01 uiR的伏安特性曲线
)( 11 uiR1的伏安特性曲线
)(1 EiE的伏安特性曲线
E
)(1 Ei)(
11 ui
),( 01 ui
O
u
( c )
i
︷
E1
u?
1i?
0u?
)(1 Ei
:1'1 ii ?
Euuu ??? 1'0''
得到图 (c)曲线上的 u=E的一点,
:01 ?i 0,0 10 ?? uu Eu ?
R上的电压为
0'u
R1上的电压为
1'u
该支路电压为：
)( 11 ui
)( 01 ui
u?
1u? ︷ 0
u?
因线性电阻 R2与含非线性电阻 R的支路是并
联的,所以在同一电压下,两支路中电流相加
就是总电流,即：
21 iii ??
i
u
( d )
E
)(2 ui )(1 ui
i
u
( d )
o
E
i?
)(2 ui
)(1 ui
)(ui
u?
uu ??
21 iii ?????
2i?
1i?
如有若干元件 串联,要得到这条支路
的伏安特性曲线，应在 同一电流条件
下 将各元件 电压相加,便可得到伏安
特性曲线上的一点，依次作图可得到
伏安特性曲线。
若有某些元件（支路） 并联,欲求其伏
安特性曲线,应在同一电压条件下 将各
支路 电流相加,得出伏安特性曲线上的
一点，依次作图便得到伏安特性曲线。
221,,iiiu 和
(1)若 us=3V,R = 1Ω 试定量画出 a,b右部伏安
特性曲线并计算 的值。
。??? 131 RR
例 在图 (a)电路中，压控型非线性电阻 R 的伏
安特性如图（ b）所示，
3121,,,uuiii(2)若 us=5V,R = 0 试求 的值。
?
－
ai
S
u
u
1
R 2
R
1
i
2
i
1
u
3
u
3
R
b
R
（ a ）
?
－
?
－
?
－o
( b )
Vu /1
Ai /
2
1 2
23
解 （ 1）先用曲线相加法求 i(u)曲线。
21,RR )()( 1211 uiui 和
21 iii ??
将 的伏安关系曲线 分别绘
于（ c）中，由于并联，在同一电压 u1下据
KCL有
)( 1ui
得 0ab曲线，反映了总电流 i和电压 u1 的伏安关系，
即 关系曲线。
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui)( 11 ui
)( 12 uia
b
31 uuu ??
)( 3ui将 R3 的伏安特性曲线 画在图（ d）中，由于
R3是与 R1, R2的并联电路相串联，应在同一电流
下将电压相加，即
12
3
i
3
u
( d )
O 321
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui
O1
2
3
4 5
i
u rui )(
( e )
321
Sui )(
:1,3)1( ??? RVu s
iRiuu S ???? 3
a,b左部的方程为：
左部电路伏安特性曲
线为 红色曲线 所示。
交点 Q就是给定电路的工作点。
Q
Vui 2A1 ?，＝
再据图（ c）得：
Ai 1? Vu 11 ?
0,1 21 ?? iAi
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui)( 11 ui
)( 12 ui
（ 2） 若 在图 (e)中，按
做电压坐标轴的 垂线 与 交与 P点，
,0,5 ?? RVu S Vu 5?
rui )(
O1
2
3
4 5
i
u rui )(
( e )
321
Sui )(
P
Ai 3?Ai 3?得,再据图（ c）曲线，令,通
过作图得 。Vu 2
1 ?
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui)( 11 ui
)( 12 ui
Vu 3,3 ?
据图（ d）曲线，
令,得Ai 3?
AiAi 1,2 21 ??
据图 (c)
Vu 21 ?
( d )
3
u
i
12
3
31 32o
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui)( 11 ui
)( 12 ui
10.3 数值分析法
分析非线性电阻电路时,在已知非线性电阻的
伏安特性曲线的情况下,可以采用图解法。如果非
线性电阻的伏安特性能用解析式近似表征的话,可
以运用本节讲述的数值分析法 (又称牛顿 -拉夫迭
代法 )。它特别适合与计算辅助分析,它能给出精
确的数字解答。该法实质上式现代工程数学中的
数值逼近理论在电工技术的应用。
就工程应用观点来看，工程实际中所遇到的非
线性电阻及描述它的非线性代数方程一般来说其
解不仅式存在的而且是唯一的。下面就来推导求
解一元非线性代数方程的数值分析法的算式。
10.3.1 数值迭代公式
图 10-13所示非线性电阻电路,是激励源电压，
是线性电阻，非线性电阻 R两端是电压 X，它的伏安特
性是 可以列出下面方程
SU
1R
2xi?
R
i
+
-
x
+
-
1R
S
图 1 0 － 1 3 数 值 分 析 法 电 路 示 例
0)(:
0)(:,:
0)()(
:,)(:
),(:
)(
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
21
1
1
?
??
???
?
???
??
???
?
?
??
??
??
?
xfx
xfxx
vxhxf
vxh
vURxhxRx
URxRx
xRxU
R
xU
i
s
s
s
s
值有对其他
则有为方程的真实解若
还可写成为一元非线性代数方程则有
令
?
0)()(
0)(
)()(
)()(
)()(
)(
)()(
,1k
,k)(
1
kk1kk
1kk
kk1kk
kkk
kk1k
kkkk
kk1k
kk
1k
1k
k
????
???
????
????
???
???
???
????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
xfxxxf
xxxf
xfxxxf
xxfxf
xxfxf
xxxfx
xxfxf
xxxx
xxf
xx
）（则有：
，令若：
）（
各项略去：的二次方及更高次方的
展成泰勒级数，并将附近将对上式在
次修正值为第
次修正值为的第设：
为止。
次进行修正，直到找到）式的解采用猜试法逐为找到（
迭代公式
方程数值分析法的数值）式为一元非线性代数（
）（
次修正估计值为可得第
2
2
)(
)(
1k
k
k
k1k
xf
xf
xx
?
??
?
?
（ 10-3）式就式解一元非线性代数方程数值分析法的
数值迭代式，由此可知，可以从第 K次修正估值找到
第（ K+1）次修正估值。式中 K＝ 1,2,… 。当 K＝ 0
时,叫初始修正估值，此值式用探测法确定的，
是第一次修正估值。可见，初始估值
是第 1次修正估值 基值，而 又是第 2次修正估值
的基值，这种后一个修正估值基于相邻前一次修正值
0x
1101 xxx k ?? ?? 0x
1x 1x 2x
来计算的方法，就称为逐次迭代法或数值分析法。
经 (K+1)次迭代计算，若,则 就是
的真实解,于是停止迭代，即求出非线性方程
的解。
0)( 1 ??kxf 1?kx )(xf
*x
10.3.2数值迭代公式的几何意义
下面来说明 (10-3)式的几何意义,图 10-14(a)所示,
的真实解是,线段,由此可
确定线段 根据导数的几何意义,
),(xf 0)( ?xf
*x kxa ?0
),( kxfab ?
x
xf
xf
x
caoaoc
xf
xf
ca
ca
xf
ca
ab
xf
?
?
??
??
?
?
???
? 1k
k
k
k
k
k
k
k
)(
)(
)(
)(
)(
)( 0 xx
k
x
k 1? )
( xf
k
a
bc )( xf
x
?
( a )
0 x
)( xf
x
?
x
0
x
1
x
2
( b )
0
)( xf
x*x
( C )
可以看出,牛顿 -拉夫逊迭代法的迭代过程,就是对第
K次修正估值 做 轴的垂线使其与 曲线
相交,过交点做 的切线与 轴相交就给出了下
一个修正估值,迭代过程如图 10-14(b)所示,
kx x )(xf
)(xf x
1?kx
10.3.3 初值的选取与真实解的认定
(1)初始估值的确定,用数值分析法解非线性代数
方程时,初始估值 是采用试探法来确定的,这种方
法是先设 作为第一个初始估值,把它代入给定方
程,可得 ;再设 作为第二个初始估值,
可得,A,B都是代数值,因为,所以视
A,B哪个值接近零,就选取其对应的试探估值作为
合理的初始估值,如果 A,B的值反号,即 A>0,B<0或
A<0,B>0,那么可以肯定真实值 是 和 之
间的某个值,初始估值确定的是否合理,不仅关系导
迭代过程的收敛或发散,而且还决定了修正的次数,
比如在图 10-14(c)中,若选初值,那么就有发散
的迭
0x
01x
Axf ?)( 01 02x
Bxf ?)( 02 0)( * ?xf
*x 01x 02x
0x
加过程,因此,确定合理的初始估值是数值分析法的
关键问题,
(2)真实解的认定,由于给定非线性代数方程的
真实解 是未知的,所以无法判定第 (k+1)次修正
值与真实解间差值的大小,但是,可根据
时,是根据方程解的精度要求确定的小数 (如
0.001,0.0001等 ),令迭代过程结束,真实解的另一
种认定方法是,因,所以只要第 (K+1)次
函数修正值 已经足够小了 (或者说已
经趋近于零 ),就停止迭代计算,停止迭代计算时的
那次修正估值就认定给方程的真实解,
*x
???? || 1 kk xx
?
0)( * ?xf
0)( 1 ??kxf
10-4 设一元非线性代数方程为
试用数值分析法求 x.
解 首先,用试探法确定合理的初始估值,
令,则
再令 则 显然欲使
必须,因此取 做给定方程解的初始
值,此时,
其次,据 (10-3)式得第 (k+1)次修正值为
最后,进行迭代计算,
032)( 2 ???? xxxf )0( ?x
0x
41 ?x ;2132)()( 1020101 ???? xxxf
5.02 ?x,75.1)( 02 ??xf 0)( ?xf
45.0 * ?? x 30 ?x
12)( 0 ?xf
kxx
kk
x
xxxx
?
?
?
????
22
3221
当 时,得第一次修正估值为
当 时,得第二次修正估值为
当 时,得第三次修正估值为
0?k
25.2)(
5.1
22
32
1
3
2
01
0
?
?
?
??
??
??
xf
x
xx
xx
xx
1?k
2025.0)(
05.1
22
32
2
5.1
2
12
1
?
?
?
??
??
??
xf
x
xx
xx
xx
2?k
00196.0)(
00049.1
22
32
3
05.1
2
23
2
?
?
?
??
??
??
xf
x
xx
xx
xx
当 时,得第四次修正估值为
已趋近于零,可停止迭代,这说明第四次修正估值
是给定方程 的真实解,即
例 10-4的方程可用解析法求解,验证上面的迭代
结果,
3?k
74244
0 0 0 4 9.1
2
34
10432)()(
0 0 0 0 0 0 1.1
22
32
3
?
??
?????
?
?
??
??
xxxf
x
xx
xx
xx
)( 4xf
)( 4x )(xf *x
0 0 0 0 0 0 1.1*4 ??? xxx
在 的条件下,可见,解析解于用数值分析法求得的
数值解相差,它说明数值分析法是解非线性代数方程有
效的方法,因而它在工程上得到了广泛应用,
例 10-5 在图 10-15所示非线性电阻电路中,
R为压控型非线性电阻,其特性方程为
试用数值分析法求电压 u和电流 I,以及电源发生和电阻消耗
功率,
解 首先,列出给定电路的非线性代数方程,由 KVL得
032)( 2 ???? xxxf
0?x 1?x
710?
,1,1 ??? SS RVU
)1(2 1.0 ?? uei
u
u
SS
e
e
iRUu
1.0
1.0
23
)1(21
??
???
??
或
其次,确定初始值,我们令第一个初始估计,则
再令第二个初始估值 则
因为第一个函数值 与零接近,故选定初始估值
再次,根据数值迭代算式进行迭代计算,第 (k+1)次修正估值
032)( 1.0 ???? ueuf u
101 ?u
21.0
312
32)(
1.0
011.001
?
???
???
e
ueuf u
,002 ?u
1302)( 002 ????? euf
21.0)( 01 ?uf
1010 ?? uu
12.0
32
1.0
1.0
1
?
?????
k
k
u
ku
kk
e
ueuu
当 k=0时,得第一次修正估值为
当 k=1时,得第二次修正估值为
最后,认定真实解,因两次迭代值差得绝对值
已足够小了,或由于第二次迭代时得函数值
从工程观点看,它们已趋近零,故停止迭代,认定
8 2 8.012.0 3121
12.0
32
1.0
1.0
1.0
01.0
01
0
0
??????
?
????
e
e
e
ueuu
u
u
8 2 7 4 2 5.0
12.0
32
1
1
1.0
11.0
12 ?
?
????
u
u
e
ueuu
0 0 0 5 7 5.08 2 8 0 0 0.08 2 7 4 2 5.012 ???? uu
000051.032)( 21.02 2 ???? ueuf u
电流
电源发生的功率
电阻消耗的功率
WuiiPP
WiUP
Aei
Vuuu
S
SS
u
1 7 2 5 1 5.0
1 7 2 5 1 5.0
1 7 2 5 2 4.0)1(2
8 2 7 4 2 5.0
2
1.0
*2
???
??
???
???
10.4 小信号分析法
在电子电路中经常遇到这样的非线性电路,它在恒
定电压源或恒定电流源的作用下,电路中的各电压,电
流都达到稳定状态,这样的工作状态常称为 静态工作
状态,这时的恒定电压源或恒定电流源成为 偏置源。
如果在静态工作状态下的非线性电阻电路里,再加入
幅值很小 的随时间变化的电压或电流 信号,又称为 小
信号,电路的工作情况将发生怎样的变化? 本节所介
绍的小信号分析法（ small signal analysis）便是分析
这类问题的一种近似方法。
10.4.1 非线性电阻元件的小信号
特性
? ?)()( tiftu ?
)()( tiIti ???
Iti ??)(?
R
+
u ( t )
-
i ( t )
I ( t ) )( ti
?
( a )
小信号分析法电路示例
在图示电路中,非线性流控型电阻的伏安特
性为,
)(ti?
其中 I是偏置电流源,
是 小信号源。 这里
小信号源的幅值远
小于偏置电源的幅
值,即
式中 u对 i的导数是连续的,由 KCL知,
)(ti?
)(tu?
对非线性电阻 R来说,若 I产生的电压为 U,在
I确定的工作点处产生的电压为,则它的
端电压可表示为：
)()( tuUtu ???
非线性电阻 R的伏安特性可表为：
)]([)( tiIftuU ?? ???
当小信号未激励电路时,
)( IfU ?0)( ?tu ?
现设小信号源在 t 时刻
激励电路,把上式在偏
置源 I处展成泰勒级数
.,,)()(
2
1)()()()( 2 ???????? tiIftiIfIftuU
???
)()()()( tiRtiIftu d ??? ???
)( IfR d ??
)(ti?
因为小信号源的幅值很小,故可忽略上式
中 二次方及以后各项,同时考虑：
上式便可化为,)( IfU ?
非线性电阻
在小信号激励
下动态方程
它是非线性电阻在工作点
处的动态电阻。
)( ti
?
)( ti
?
R ( t )
+
-
)( tu
?
( b )
这个电阻是非线性电阻的伏安特性 在 I处
的 斜率值 。
? ?)(tif
)(If?
这个重要结论告诉我们,非线性电阻在小信号
激励下,其特性与电阻函数为 的特性相同。
小信号等效电路如图 (b)所示。
)()( tiRtu d ?? ?
Su
du
di
G
u
Uu
d 21 1
3 ????
?
?
4
4
1 uui ??
例 某非线性压控型电阻的特性方程为
求非线性电阻的小信号等效电阻。
已知偏置电源 VU 1?
解,先求非线性电阻的小信号等效电导
故等效电阻
??? ? 5.01dd GR
R
?11R
i
u
?
?
?
?
?
e
( a )
??
E
?e
例题图
10.4.2 非线性电阻电路的小信号分析法
tVe ?? s i n?
)0(2 ?? iiu
例 图示电路中,偏置电压源 E=20V,小信号电压
源,非线性流控型电阻的特性
为 。今当 E作用于电路达到稳态时,
激励电路,试求电路的完全响应 u和 i。
)0( ??e
0Uu ?
解 当只有 E作用于
电路时,
静态电压
静态电流
据 KVL
0Ii ?
010 IREU ??代入非线性电阻伏安特性方程,有00
20 IU ??
02020 020020 ????? IIII
小信号等效电阻 (动态电阻 )：
VIU
AI
16
4
2
0
0
??
?
解得：
????
?
82 0
0
I
di
du
R
Ii
d
小信号激励时的小信号
等效电路如图 (b)所示
R
?i
?u
?
?
?
?
e
( b )
?
1R R
?11R i
u
?
?
?
?
?
e
( a )
??
E
小信号激励产生的电流和电压响应为
tAt
RR
ei
d
???? s i n1 1 1.0s i n
9
1
1
??
?
?
tVtiRu d ???? s i n8 8 9.0s i n
9
8 ???
电路的完全响应为
tAiIi ?? s i n111.040 ????
tVuUu ?? s i n8 8 9.0160 ????
?SSS uuu ?? 0
,40 Vu S ?
?? 2001R
201.0 ui ?
Su
mv30?
例 在图示电路中,,压控型非线性电阻 R
的伏安特性,若直流电压源 在 4V电
压上有 波动时,试求完全响应 u和 i。
解：依照题意
mVu S 30???
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
u s
( a )
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
-
+
?s
u
so
u
( b )
0Su ?Su(只 起作用,不起作用 )电压和静态电流,
(1)求非线性电路静态
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
so
u
( C )
求图 (c)所示电路的 a、
b左部戴维南等效电
路，
0000 1002 IIRUU OC ????
开路电压：
SU
du
di
G
Uu
d 02.002.0 0
0
???
?
0000 1002 IIRUU OC ????
200 01.0 UI ?
mAIVU 10,1 00 ??
a,b右部电路：
非线性电阻的小信号电导 (动态电导 ),
动态电阻
??? ? 501dd GR
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
so
u
( C )
?Su
mVu
mAi
5
1.0
??
??
?
?
mAiIi )1.010(0 ???? ?
求小信号响应,
只有小信号电压源 激励电路时,小信号等效电
路如图 (d)所示。
电路的完全响应：
mVuUu )51 0 0 0(0 ???? ?
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
?s
u
( d )
0??i?
S
I
?
i 12 i
1
i
1
R
i
?
?
u
R
( a )
,1 AI S ?
,s i n1.0 tAi ?? ?,11 ??R
12 ?? ui
例 在图 (a)电路中,直流偏置电流源
小信号电流源 线性电阻
压控型非线性电阻的伏安特性,试
求完全响应 i和 u。
解 (1)求静
态工作点。
AIi S 11 ??? CCCS的受控量：
,222 1 AIi S ??
控制量
0
1
0
10 32 UR
UiII
S ?????
据非线性电阻特性方程得：
12 00 ?? UI
00 312 UU ???
VVU 667.0
3
2
0 ??
AAI 33.2
3
7
0 ??
故
s
I 1
2 i
1
i
1
R
i
?
?
u
?
i
1
2 i
1
i
1
R
?i ?
?
?
?u
d
R
????
?
5.0
2
1
0Ii
d di
du
R
?i
(2)计算 作用于电路产生的小信号响应，非线
性电阻的小信号等效电阻。
小信号等效电路如图 所示
12 00 ?? UI
tA
i
RR
R
i
d
?
??
s i n2.0
)3(
1
1'
?
?
?
tViRu d ??? s i n1.0' ??
故小信号响应,
tVuUu ?? s i n1.06 6 7.00 ????
完全响应,
tAiIi ?? s i n2.033.20 ?????
?
i
1
2 i
1
i
1
R
?i ?
?
?
?u
d
R
10.5 分段线性化方法
分段线性化方法 (又称折线法 )是研究非线性电路
得一种有效方法,它的特点在于能把非线性的求解
过程分成几个线性区段,就每个线性区段来说,又可
以应用线性电路计算方法,
在分段线性化法中,常引用理想二极管模型,它的
特性是,在电压为正向时,二极管完全导通,它相当于
短路 ;在电压反向时,二极管完全部导通,电流为零,
它相当于开路,其伏安特性如与线性电阻组成实际
二极管的模型,其伏安特性可以用图 10-2的折线
表示,当这个二极管加正向电压时,它相当于一个线
性电阻,其伏安特性用直线 表示 ;当电压反向时,
二极管完全不导通,其伏安特性特性用 表示,
BOA
OA
OB
例 10-10 (1)图 10-22(a)所示电路由线性电阻 R,
理想二极管和直流电压串联组成,电阻 R的伏安特
性如图 (b)所示,画出此串联电路的伏安特性,(2)把
图 10-22(a)中的电阻 R和二极管与直流电源并联,如
图 10-22(d),画出此并联电路的伏安特性,
解 (1)各元件的伏安特性示于图 10-22(b)中,电
路方程为
需求解的伏安特性可用图解法求得,如图 10-22(c)
折线
0UuRiu d ??? 0?i
).0,( 0 ?? iUuA B C 时当
u
i
0
A
B
（ 1） 理想二极管
u
i
0
A
B
（ 2） P-N结二极管伏安特性
(2) 电路方程为
0IR
ui ?? 0?u
u
du
0U
R
)( a
Ru
i
u
i
0
二 极 管
)( iu
R
U 0
)( b
u
i
0
U 0
A
B
)( c
C
u
R
)( a
i Ri
0i
u
i
0
二 极 管
)( Riu
I 0
)( b
)( iu A
B
C
图 10-22 例 10-10 图
当 时,二极管全导通,电路被短路,当 用图
解法求得的伏安特性,如图 10-22(c)中的折线,
图 10-23(a)中虚线所示为隧道二极管的伏安特
性,此特性可用图中 3段直线粗略表示,而这 3段直线
0?u 0?u
ABO
可分解为如图 10-23(b)中 3个伏安特性,即直线,折线
和折线,这 3条曲线分别代表 3个非线性电阻
的伏安特性,因此图 (a)所示近似折线是这 3个并联电阻的等
效伏安特性,其静态工作点可以用图解法确定,
不过应当注意,如果静态工作点位于图 10-24(a)所示位置,
表示该点确实是工作点,如果负载线与分段线性的伏安特性
交点位于图 10-24(b)所示位置,则只有 为实际的工作点,
而 并不代表实际的工作点,
AOB
CEU1 CEU 2
3Q
2,1QQ
u
i
1U
)( a
0
1 2 3
2U
G a
G b
G c
u
i
1U
)( b
0
2U
G a
G b
G c
G 1
G 2
G 3
A
B
E
C
D
下面介绍一阶分段线性电路,
图 10-25(a)所示一阶电路中电容 C是线性元
件,N是非线性电阻一端口,它的驱动点特性可以用
分段线性表示如图 (b).这种电路称为分段线性 RC
电路,若该一端口与线性电感连接,则称为分段线性
i
O
0
0
R
U
A
1QC2Q
1U 2U
E
D3QB0Uu
( a )
i
O
0
0
R
U
A 1QC 2Q
1U 2U
E
D3Q B0Uu
( b )
图 10-24 隧道二极管的静态工作点
RL电路,这两种电路的分析可采取分段线性化的方
法,
图 10-25(a)的电路方程为
而 故有
设方程的解用 平面上的点 (u,i)表示,并称之
为动态点,动态点 (u,i)随时间斜沿着 N的驱动点特性
(端口伏安特性 )移动,移动的方向由式 (10-7)确定,动
态点移动的路径 (包括其方向 )称为动态路径,
iidtd u cC C ???
,Cuu ?
C
i
dt
du
dt
d u c ???
iu?
设电路的初始状态为,动态路径的起始点始图中的
点,根据式 (10-7)可见,当 i>0,有
)0( ?Cu 0P
01 ??? Cdtdu
+
i
u
ci
cu
+
C
路
电阻电
非线性
N
)( a
u
i
1U )( b0 2U
1P1I2I
)0( ?cu 1SU
0PA BC
2P
图 10-25 分段线性 RC电路
所以电流为正值时,电压总是减小的,当 i>0时,从
点起始的动态路径将沿着 u-i曲线从 点到 然后
到 此动态路径的终点是 因为此时有 i=0,从
而,即电容电压将不再变化,整个过程电容始
终处于放电过程,但从 到 电流在增长,而当电容
电压达到 (对应 )后,就逐渐减小直到零为止,
当动态点从 移动 时,一口 N的伏安特性是用
直线段 表示的,所示 N可用图 10-26(a)的等效电
路代替,其中直流电压源的电压等于 [见图 10-
25(b)],而线性电阻 可按下式计算
所以,它是一个负电阻,根据图 10-26(a),按
0P 1P
.2P,
2P
0?dtdu
0P 1P
1U 1P
0P 1P
AB
SIU
1R
21
21
1 II
UUR
?
??
01 ?R )0( ?Cu
以及 可求得该区段的电容电压为
由于,故 为负值,假想,则 将随时间的”负”
增长而增长,当 时,将达到,见图 10-26(c)中的虚线,
但 为负值,所以 达到 时 (对应的时间为
)即进入另一线性段,
,11 CR??
SISICC UeUuu ???
?
? 1
1
])0([ ?
01 ?R 1? 0?t Cu
???t
SIU
])0([ SIC Uu ?? Cu 1U 1t
+
R 1
cu
+
C
)a(
U S 1
R 2cu
+
C
)b(
从 到 区段,一端口 N相当于一个线性电阻,
而,而,对应的电容电压可根据图 10-
26(b)计算
其中
t0
cuu,U
S 1
)c(
P 0P 1t
1
图 10-26 计算图 10-25电路的等效电
路
1P 2P 2R
2R 112 / IUR ?
21 /)(1 ?tteUU ??? 1tt?
CR22 ??
电容电压随时间变化的
曲线示于图 10-26.
例 10-11 设图 10-27（ a）
中二端网络 N的压控分段线
性端口特性如图 10-27（ b）
所示。已知电容元件的初始
电压 uc ( 0+ ) = 2.5V，求
t≥0+时的电容电压 uc( t )。
)(ti )(tiC
)(tu )(tu C???? FC ?5.0?N
( a )
mAi / 1p
Vu /0 1 2 5.23 25.34
246
810 0p
( b )
解 本题可按下列步骤求解：
(1)确定初始点
因为对于所以的时刻 而在初始时
刻 所以位于二端网
络 的端口特性曲线上的初始点是,如附图 10-
27（ b）所示。
(2)确定动态路线
自 出发的动态路线决定于二端网络 N的端口特性
和 这一关系式。
由于 时,即当电流 正时电压
连续下降，因而自 出发的动态路线必然问题沿
曲线向左移动，而由两个直线段
组成，如附图 10-27（ b）所示。动态路线终止于 0
),()(,tutut C?
?t,5.2)0()0(,0 Vuu
C ?? ???
N
0P
0P
)(1)()( tCdt tdutu ????
0)( ?ti 0)(1)( ??? ti
Ctu?
)(ti )(tu
0P
ui? 0110 ?? PPP 和
这是因为在 0点,从而 的缘故。这时，
电容元件处于平衡状态（ equilibrium state）。
(3)对 曲线的每一个直线段分别求解
用一系列对应于动态路线中每一个直线段的戴维
南等效电路代替二端网络 N，求出 的一系列
解。就本例而言，动态路线 仅由两个
直线段组成，相应的等效电路分别示于图 10-
28(a),(b).
对于图 10-28（ a）所示等效电路，电容元件的初
始电压 平衡状态电压 时间常
数
于是，根据三要素法可以写出电容电压由到的解
0?i 0)( ?tu?
ui?
)(tuC
010 ?? PP
Vu C 5.2)0( ?? Vu 25.3f ?
ss ??? 5.625.01 2 51 ?????
析解如下
式中 是对应于 的时刻。由于在本段内
时间常数为负,的曲线为一段经过
并当 时渐近地趋向平衡状态值 的指
数曲线，如图 10-28（ c）所示。
对于图 10-28（ b）所示等效电路，电容元件的
初始电压 平等状态电压,时
间常数
Vetu tC ])25.35.2(25.3[)( 5.62/ ?????
Ve t )75.025.3( 5.62/?? st ?9.310 ???
s?9.31 VtuC 2)( ?
)(tuC Vu C 5.2)0( ??
???t Vu
f 25.3?
,9.31,2)( 00 stVtu C ??? 0?f?
ss ??? 1 0 05.02 0 02 ???
于是,根据三要素法可以写出电容电压由 到
的解析解如下
相应的指数曲线如图 10-28(c)所示,
1P
O
Vetu tC 1 0 0/)9.31(2)( ??? st ?9.31?
)(tuC?? 125
V25.3
????
F?5.0
( a )
)(tu C?200
??
F?5.0
( b )
( C )
Vtu C /)(32
10 St ?/
100 200 300
图 10-28 对应于动态路线 的等效电路以及 曲线OPPP ?? 110 和 )(tuC
sr ?5.62? sr ?100
2 ?9.31
25.35.2 0P
1P
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第十章
非线性电路
10.2 图解分析法
第十章 非线性电路
10.1 非线性元件特性
10.4 小信号分析法
10.5 分段线性化方法
10.3 图解分析法
10 非线性电路 (nonlinear- circuit)
本章重点,充分 理解非线性元件的
特性，掌握分析非线性电路的图解
分析法、小信号法。
内容提要,本章介绍非线性元件及其
特性,讨论了分析非线性电路的常用
方法,图解分析法、小信号分析法、
分段线性化方法。
线性电路, 由 线性元件组成 的电路
非线性电路,线路包含非
线性元件。大多数实际电
路严格说来都是非线性电
路。对于那些非线性程度
比较弱的电路元件，作为
线性元件处理不会带来本
质上的差异。
但是，许多非线性元件的非线性特性不容忽略，
否则将无法解释电路中的一些现象，这时若把
非线性元件当作线性元件处理，会使所得结果
与实际值之间误差过大而无意义，甚至会造成
本质上的差异。
10.1.1 二端非线性电阻元件
非线性电阻,伏安特性不是通过 u-i平面坐标原
点的直线，或是用 曲线 表征。非线性电阻的
伏安关系不满足欧姆定律，而是符合某种非
线性的函数关系。因此，非线性电阻的参数
不能用一个数值来表示，而是用它在整个工
作区域内的伏安曲线或非线性的解析式来表
征。
二端线性电阻：伏安特性是通过 u-i平面
坐标原点的直线，欧姆定律就表达了线
性电阻的这种伏安关系。
uiou
i+
-
u R
i
非线性电阻符号
P-N结二
极管特性
)( ifu ?
i
0
u
流控型, (current-controlled resistor)
非线性电阻两端的电压是电流的单值
函数
特性
方程
+
-
u
i
充气二极管（辉光管） 伏安特性
u
i
0
u
1
i
1
i
2
对每一个电流 i
只有一个电压 u
与之对应,但对
同一个电压,电
流却可能是多
值的 。
+
-
u
i
压控型 (voltage -controlled resistor)
非线性电阻中通过的电流是其电压
的单值函数。
)( ugi ?
u
i
0
伏安特性
特性
方程
隧道二极管（辉光管）
对每一个电压 u
只有一个电流 i
与之对应,但
对同一个电流,
电压却可能是
多值的。
22 iu ?uui 43 ??
u
i
0
1i 2u 1u
单调型,既是流控型又是压控型的,
伏安特性是单调增长或单调下降的。
+
-
u
i
u
i
o
P - N 结 二 极 管 的 伏 安 特 性 曲 线
???
?
???
?
?? 10 eIi kTqu
R
i
+
-
+
-
uSU SR
图 1 0 - 1 5 例 1 0 - 5 图
Q
Q
Q I
U
R ?0
?tan
静态电阻,非线性电阻特性曲线上静态
工作点处的 电压与电流的比值,静态电
阻它 正比于 值。
?tan
动态电阻,指在
静态工作点 Q附近
电压对电流的变
化率,正比于 QIidQ di
du
R
?
?
U Qu
i
O
I QQ
1
?
?
非线性时不变电阻元件的静态电阻和
动态电阻都不是常数，而是其电压或
电流的函数，且随工作点的不同而不
同。
u
i
O
Q
P
0?dQR动态电阻是正值
动态电阻的正或负由
其伏安特性及静态工
作点的位置决定的。
动态电阻是负值 0?
dPR
10.2 图解分析法
2 A
R
1 Ω
1 Ω
2 Ω
2 V
+
-
i 1
i 2
i 3
i
+
-
u
a
b
非线性电阻网络的分析计算比线性电阻网络的
分析计算复杂。但是，对于只含有一个非线
性电阻元件，并且这个非线性电阻元件的伏
安特性可以用数学解析式表达出来时，可用
戴维南定理求解。
例图中,R是流控
型非线性电阻，其
伏安特性表达式为：
试求 R所消耗的功
率及 的值。
1i
2iu ?
2 A
R
1 Ω
1 Ω
2 Ω
2 V
+
-
i 1
i 2
i 3
i
+
-
u
a
b
R
i
+
-
u
a
b
R
0
+
-
U oc
( a )
( b )
解,在给定电路中,a,b两点的左侧为一个线
性有源的二端网络。根据戴维南定理,我们
将原电路图 (a)电路化成图 (b)所示戴维南等
效电路。
??? 1,2 0RVU oc
?
?
?
?
??
2
2
iu
iu
2iu ?
?
?
?
?
V
V
u
4
1
?
?
?
?
?
A
A
i
2
1
电路。的求解，需返回到给定对于 1i
解得,
WR
PVuAi R
1
W11,1
消耗功率此时
，＝时，当 ??
WR
WPAuAi R
8
,8,4,2
发生功率此时
时当 ?????
A
u
i 5.0
2
2
3 ??
?
?
Aiii 5.032 ???
Aii 5.12 21 ???
时，同理得当 VuAi 4,2 ???
得和时，由当 K C LK V LVuAi 1,1 ??
Aui 1
2
2
3 ?
?? Aiii 132 ????
Aii 32 11 ???
2 A
R
1 Ω
1 Ω
2 Ω
2 V
+
-
i 1
i 2
i 3
i
+
-
u
a
b
当非线性电阻不易写出它的数学表达式，求
解较困难，而且所得到的解答往往也是近似
解。因此，对非线性简单电阻网络往往采用
图解分析法 进行分析，此法包括 曲线相交法
和 曲线相加法 。
10.2.1 曲线相交法
曲线相交法是根据解析几何中用
曲线相交解联立方程的方法
R
i
+
-
u
E
R 0
u
i
0
iui )(
rui )(
曲线相交法
Q
I
U
iREu 0??
在图示电路中,非线形电阻 R的伏安特
性曲线如图中 红色 的曲线 所示，
rui )(列出电路左部支路的方程,
E/R
0
E
这两条曲线的交点 Q(静态 工作点,
或叫做工作点 )对应的电压 U和电
流 I就是要求的解答。这种求解非
线性电阻电路的方法叫做 曲线相
交法 。如果非线性电阻网络中只含有 一个
非线性电阻 元件,其余部分是线性电
路,就可以把线性电路化为戴维南等
效电路,然后就可以由曲线相交法计
算这个非线性电阻网络了。
2 A
R
1 Ω
1 Ω
2 Ω
2 V
+
-
i 1
i 2
i 3
i
+
-
u
a
b
R
i
+
-
u
a
b
R
0
+
-
U oc
( a )
( b )
u
i
- 1- 2 1
2
4
2
b
a
( d )
u
i
- 1- 2 1
2
4
2
( d )
稳定
工作
点
不稳
定工
作点
该电路有两个可能的工作点 a,b。对工作电 a,若
R支路中电路 i增长,则其电压 u增长,而对左部戴维南等效
电路,u增长则使 i减小,说明电路受到干扰出现偏离工作点
的情况时能自动恢复,这样的工作点是 稳定的工作点 。
u
i
- 1- 2 1
2
4
2
b
a
( d )
稳定
工作
点
不稳
定工
作点
,
0R
uUi OC ??
对工作点 b,i<0,若 i的绝对值变大,则 u增大,对左部的戴
维南等效电路,因其差值
增大时 i仍为负值,且其
绝对值增大,电路一旦
受到干扰就不能稳工作,
b是 不稳定工作点 。
非线性电阻伏安关系可以用数学
表达式写出时,可以用联立方程组
的方法求解电路。非线性电阻的
伏安关系为曲线形式表达时可用
曲线相交法求解。
10.2.2 曲线相加法
图 (a)示电路中,非线性电阻 R的伏安特性曲线如
图 (b)所示，求总电压 u和总电流 i的约束关系。
R
E
+
-
u
i i
1
i 2
R 1
R 2
+
-
u 0
+
-
u 1
u
i
0
i 1 ( u 0 )
( a )
( b )
首先,求含非线性电阻 R支路的伏安特性曲线 。
这条支路中的 R,R1,E 是串联的,流过的是同一
电流,因此在相同电流情况下,有：
)(1 ui
Euuu ??? 10
)(1 ui
因为该支路中有非线性电阻 R,u与 i1 不是线性关
系,因此必须利用各元件伏安特性曲线,在同一
电流条件下将电压相加,才能得到该支路的伏安
特性曲线 。
O
u
( c )
i
),( 01 uiR的伏安特性曲线
)( 11 uiR1的伏安特性曲线
)(1 EiE的伏安特性曲线
E
)(1 Ei)(
11 ui
),( 01 ui
O
u
( c )
i
︷
E1
u?
1i?
0u?
)(1 Ei
:1'1 ii ?
Euuu ??? 1'0''
得到图 (c)曲线上的 u=E的一点,
:01 ?i 0,0 10 ?? uu Eu ?
R上的电压为
0'u
R1上的电压为
1'u
该支路电压为：
)( 11 ui
)( 01 ui
u?
1u? ︷ 0
u?
因线性电阻 R2与含非线性电阻 R的支路是并
联的,所以在同一电压下,两支路中电流相加
就是总电流,即：
21 iii ??
i
u
( d )
E
)(2 ui )(1 ui
i
u
( d )
o
E
i?
)(2 ui
)(1 ui
)(ui
u?
uu ??
21 iii ?????
2i?
1i?
如有若干元件 串联,要得到这条支路
的伏安特性曲线，应在 同一电流条件
下 将各元件 电压相加,便可得到伏安
特性曲线上的一点，依次作图可得到
伏安特性曲线。
若有某些元件（支路） 并联,欲求其伏
安特性曲线,应在同一电压条件下 将各
支路 电流相加,得出伏安特性曲线上的
一点，依次作图便得到伏安特性曲线。
221,,iiiu 和
(1)若 us=3V,R = 1Ω 试定量画出 a,b右部伏安
特性曲线并计算 的值。
。??? 131 RR
例 在图 (a)电路中，压控型非线性电阻 R 的伏
安特性如图（ b）所示，
3121,,,uuiii(2)若 us=5V,R = 0 试求 的值。
?
－
ai
S
u
u
1
R 2
R
1
i
2
i
1
u
3
u
3
R
b
R
（ a ）
?
－
?
－
?
－o
( b )
Vu /1
Ai /
2
1 2
23
解 （ 1）先用曲线相加法求 i(u)曲线。
21,RR )()( 1211 uiui 和
21 iii ??
将 的伏安关系曲线 分别绘
于（ c）中，由于并联，在同一电压 u1下据
KCL有
)( 1ui
得 0ab曲线，反映了总电流 i和电压 u1 的伏安关系，
即 关系曲线。
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui)( 11 ui
)( 12 uia
b
31 uuu ??
)( 3ui将 R3 的伏安特性曲线 画在图（ d）中，由于
R3是与 R1, R2的并联电路相串联，应在同一电流
下将电压相加，即
12
3
i
3
u
( d )
O 321
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui
O1
2
3
4 5
i
u rui )(
( e )
321
Sui )(
:1,3)1( ??? RVu s
iRiuu S ???? 3
a,b左部的方程为：
左部电路伏安特性曲
线为 红色曲线 所示。
交点 Q就是给定电路的工作点。
Q
Vui 2A1 ?，＝
再据图（ c）得：
Ai 1? Vu 11 ?
0,1 21 ?? iAi
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui)( 11 ui
)( 12 ui
（ 2） 若 在图 (e)中，按
做电压坐标轴的 垂线 与 交与 P点，
,0,5 ?? RVu S Vu 5?
rui )(
O1
2
3
4 5
i
u rui )(
( e )
321
Sui )(
P
Ai 3?Ai 3?得,再据图（ c）曲线，令,通
过作图得 。Vu 2
1 ?
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui)( 11 ui
)( 12 ui
Vu 3,3 ?
据图（ d）曲线，
令,得Ai 3?
AiAi 1,2 21 ??
据图 (c)
Vu 21 ?
( d )
3
u
i
12
3
31 32o
( c )
1
u
i
12
3
31 32o )( 1ui)( 11 ui
)( 12 ui
10.3 数值分析法
分析非线性电阻电路时,在已知非线性电阻的
伏安特性曲线的情况下,可以采用图解法。如果非
线性电阻的伏安特性能用解析式近似表征的话,可
以运用本节讲述的数值分析法 (又称牛顿 -拉夫迭
代法 )。它特别适合与计算辅助分析,它能给出精
确的数字解答。该法实质上式现代工程数学中的
数值逼近理论在电工技术的应用。
就工程应用观点来看，工程实际中所遇到的非
线性电阻及描述它的非线性代数方程一般来说其
解不仅式存在的而且是唯一的。下面就来推导求
解一元非线性代数方程的数值分析法的算式。
10.3.1 数值迭代公式
图 10-13所示非线性电阻电路,是激励源电压，
是线性电阻，非线性电阻 R两端是电压 X，它的伏安特
性是 可以列出下面方程
SU
1R
2xi?
R
i
+
-
x
+
-
1R
S
图 1 0 － 1 3 数 值 分 析 法 电 路 示 例
0)(:
0)(:,:
0)()(
:,)(:
),(:
)(
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
21
1
1
?
??
???
?
???
??
???
?
?
??
??
??
?
xfx
xfxx
vxhxf
vxh
vURxhxRx
URxRx
xRxU
R
xU
i
s
s
s
s
值有对其他
则有为方程的真实解若
还可写成为一元非线性代数方程则有
令
?
0)()(
0)(
)()(
)()(
)()(
)(
)()(
,1k
,k)(
1
kk1kk
1kk
kk1kk
kkk
kk1k
kkkk
kk1k
kk
1k
1k
k
????
???
????
????
???
???
???
????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
xfxxxf
xxxf
xfxxxf
xxfxf
xxfxf
xxxfx
xxfxf
xxxx
xxf
xx
）（则有：
，令若：
）（
各项略去：的二次方及更高次方的
展成泰勒级数，并将附近将对上式在
次修正值为第
次修正值为的第设：
为止。
次进行修正，直到找到）式的解采用猜试法逐为找到（
迭代公式
方程数值分析法的数值）式为一元非线性代数（
）（
次修正估计值为可得第
2
2
)(
)(
1k
k
k
k1k
xf
xf
xx
?
??
?
?
（ 10-3）式就式解一元非线性代数方程数值分析法的
数值迭代式，由此可知，可以从第 K次修正估值找到
第（ K+1）次修正估值。式中 K＝ 1,2,… 。当 K＝ 0
时,叫初始修正估值，此值式用探测法确定的，
是第一次修正估值。可见，初始估值
是第 1次修正估值 基值，而 又是第 2次修正估值
的基值，这种后一个修正估值基于相邻前一次修正值
0x
1101 xxx k ?? ?? 0x
1x 1x 2x
来计算的方法，就称为逐次迭代法或数值分析法。
经 (K+1)次迭代计算，若,则 就是
的真实解,于是停止迭代，即求出非线性方程
的解。
0)( 1 ??kxf 1?kx )(xf
*x
10.3.2数值迭代公式的几何意义
下面来说明 (10-3)式的几何意义,图 10-14(a)所示,
的真实解是,线段,由此可
确定线段 根据导数的几何意义,
),(xf 0)( ?xf
*x kxa ?0
),( kxfab ?
x
xf
xf
x
caoaoc
xf
xf
ca
ca
xf
ca
ab
xf
?
?
??
??
?
?
???
? 1k
k
k
k
k
k
k
k
)(
)(
)(
)(
)(
)( 0 xx
k
x
k 1? )
( xf
k
a
bc )( xf
x
?
( a )
0 x
)( xf
x
?
x
0
x
1
x
2
( b )
0
)( xf
x*x
( C )
可以看出,牛顿 -拉夫逊迭代法的迭代过程,就是对第
K次修正估值 做 轴的垂线使其与 曲线
相交,过交点做 的切线与 轴相交就给出了下
一个修正估值,迭代过程如图 10-14(b)所示,
kx x )(xf
)(xf x
1?kx
10.3.3 初值的选取与真实解的认定
(1)初始估值的确定,用数值分析法解非线性代数
方程时,初始估值 是采用试探法来确定的,这种方
法是先设 作为第一个初始估值,把它代入给定方
程,可得 ;再设 作为第二个初始估值,
可得,A,B都是代数值,因为,所以视
A,B哪个值接近零,就选取其对应的试探估值作为
合理的初始估值,如果 A,B的值反号,即 A>0,B<0或
A<0,B>0,那么可以肯定真实值 是 和 之
间的某个值,初始估值确定的是否合理,不仅关系导
迭代过程的收敛或发散,而且还决定了修正的次数,
比如在图 10-14(c)中,若选初值,那么就有发散
的迭
0x
01x
Axf ?)( 01 02x
Bxf ?)( 02 0)( * ?xf
*x 01x 02x
0x
加过程,因此,确定合理的初始估值是数值分析法的
关键问题,
(2)真实解的认定,由于给定非线性代数方程的
真实解 是未知的,所以无法判定第 (k+1)次修正
值与真实解间差值的大小,但是,可根据
时,是根据方程解的精度要求确定的小数 (如
0.001,0.0001等 ),令迭代过程结束,真实解的另一
种认定方法是,因,所以只要第 (K+1)次
函数修正值 已经足够小了 (或者说已
经趋近于零 ),就停止迭代计算,停止迭代计算时的
那次修正估值就认定给方程的真实解,
*x
???? || 1 kk xx
?
0)( * ?xf
0)( 1 ??kxf
10-4 设一元非线性代数方程为
试用数值分析法求 x.
解 首先,用试探法确定合理的初始估值,
令,则
再令 则 显然欲使
必须,因此取 做给定方程解的初始
值,此时,
其次,据 (10-3)式得第 (k+1)次修正值为
最后,进行迭代计算,
032)( 2 ???? xxxf )0( ?x
0x
41 ?x ;2132)()( 1020101 ???? xxxf
5.02 ?x,75.1)( 02 ??xf 0)( ?xf
45.0 * ?? x 30 ?x
12)( 0 ?xf
kxx
kk
x
xxxx
?
?
?
????
22
3221
当 时,得第一次修正估值为
当 时,得第二次修正估值为
当 时,得第三次修正估值为
0?k
25.2)(
5.1
22
32
1
3
2
01
0
?
?
?
??
??
??
xf
x
xx
xx
xx
1?k
2025.0)(
05.1
22
32
2
5.1
2
12
1
?
?
?
??
??
??
xf
x
xx
xx
xx
2?k
00196.0)(
00049.1
22
32
3
05.1
2
23
2
?
?
?
??
??
??
xf
x
xx
xx
xx
当 时,得第四次修正估值为
已趋近于零,可停止迭代,这说明第四次修正估值
是给定方程 的真实解,即
例 10-4的方程可用解析法求解,验证上面的迭代
结果,
3?k
74244
0 0 0 4 9.1
2
34
10432)()(
0 0 0 0 0 0 1.1
22
32
3
?
??
?????
?
?
??
??
xxxf
x
xx
xx
xx
)( 4xf
)( 4x )(xf *x
0 0 0 0 0 0 1.1*4 ??? xxx
在 的条件下,可见,解析解于用数值分析法求得的
数值解相差,它说明数值分析法是解非线性代数方程有
效的方法,因而它在工程上得到了广泛应用,
例 10-5 在图 10-15所示非线性电阻电路中,
R为压控型非线性电阻,其特性方程为
试用数值分析法求电压 u和电流 I,以及电源发生和电阻消耗
功率,
解 首先,列出给定电路的非线性代数方程,由 KVL得
032)( 2 ???? xxxf
0?x 1?x
710?
,1,1 ??? SS RVU
)1(2 1.0 ?? uei
u
u
SS
e
e
iRUu
1.0
1.0
23
)1(21
??
???
??
或
其次,确定初始值,我们令第一个初始估计,则
再令第二个初始估值 则
因为第一个函数值 与零接近,故选定初始估值
再次,根据数值迭代算式进行迭代计算,第 (k+1)次修正估值
032)( 1.0 ???? ueuf u
101 ?u
21.0
312
32)(
1.0
011.001
?
???
???
e
ueuf u
,002 ?u
1302)( 002 ????? euf
21.0)( 01 ?uf
1010 ?? uu
12.0
32
1.0
1.0
1
?
?????
k
k
u
ku
kk
e
ueuu
当 k=0时,得第一次修正估值为
当 k=1时,得第二次修正估值为
最后,认定真实解,因两次迭代值差得绝对值
已足够小了,或由于第二次迭代时得函数值
从工程观点看,它们已趋近零,故停止迭代,认定
8 2 8.012.0 3121
12.0
32
1.0
1.0
1.0
01.0
01
0
0
??????
?
????
e
e
e
ueuu
u
u
8 2 7 4 2 5.0
12.0
32
1
1
1.0
11.0
12 ?
?
????
u
u
e
ueuu
0 0 0 5 7 5.08 2 8 0 0 0.08 2 7 4 2 5.012 ???? uu
000051.032)( 21.02 2 ???? ueuf u
电流
电源发生的功率
电阻消耗的功率
WuiiPP
WiUP
Aei
Vuuu
S
SS
u
1 7 2 5 1 5.0
1 7 2 5 1 5.0
1 7 2 5 2 4.0)1(2
8 2 7 4 2 5.0
2
1.0
*2
???
??
???
???
10.4 小信号分析法
在电子电路中经常遇到这样的非线性电路,它在恒
定电压源或恒定电流源的作用下,电路中的各电压,电
流都达到稳定状态,这样的工作状态常称为 静态工作
状态,这时的恒定电压源或恒定电流源成为 偏置源。
如果在静态工作状态下的非线性电阻电路里,再加入
幅值很小 的随时间变化的电压或电流 信号,又称为 小
信号,电路的工作情况将发生怎样的变化? 本节所介
绍的小信号分析法（ small signal analysis）便是分析
这类问题的一种近似方法。
10.4.1 非线性电阻元件的小信号
特性
? ?)()( tiftu ?
)()( tiIti ???
Iti ??)(?
R
+
u ( t )
-
i ( t )
I ( t ) )( ti
?
( a )
小信号分析法电路示例
在图示电路中,非线性流控型电阻的伏安特
性为,
)(ti?
其中 I是偏置电流源,
是 小信号源。 这里
小信号源的幅值远
小于偏置电源的幅
值,即
式中 u对 i的导数是连续的,由 KCL知,
)(ti?
)(tu?
对非线性电阻 R来说,若 I产生的电压为 U,在
I确定的工作点处产生的电压为,则它的
端电压可表示为：
)()( tuUtu ???
非线性电阻 R的伏安特性可表为：
)]([)( tiIftuU ?? ???
当小信号未激励电路时,
)( IfU ?0)( ?tu ?
现设小信号源在 t 时刻
激励电路,把上式在偏
置源 I处展成泰勒级数
.,,)()(
2
1)()()()( 2 ???????? tiIftiIfIftuU
???
)()()()( tiRtiIftu d ??? ???
)( IfR d ??
)(ti?
因为小信号源的幅值很小,故可忽略上式
中 二次方及以后各项,同时考虑：
上式便可化为,)( IfU ?
非线性电阻
在小信号激励
下动态方程
它是非线性电阻在工作点
处的动态电阻。
)( ti
?
)( ti
?
R ( t )
+
-
)( tu
?
( b )
这个电阻是非线性电阻的伏安特性 在 I处
的 斜率值 。
? ?)(tif
)(If?
这个重要结论告诉我们,非线性电阻在小信号
激励下,其特性与电阻函数为 的特性相同。
小信号等效电路如图 (b)所示。
)()( tiRtu d ?? ?
Su
du
di
G
u
Uu
d 21 1
3 ????
?
?
4
4
1 uui ??
例 某非线性压控型电阻的特性方程为
求非线性电阻的小信号等效电阻。
已知偏置电源 VU 1?
解,先求非线性电阻的小信号等效电导
故等效电阻
??? ? 5.01dd GR
R
?11R
i
u
?
?
?
?
?
e
( a )
??
E
?e
例题图
10.4.2 非线性电阻电路的小信号分析法
tVe ?? s i n?
)0(2 ?? iiu
例 图示电路中,偏置电压源 E=20V,小信号电压
源,非线性流控型电阻的特性
为 。今当 E作用于电路达到稳态时,
激励电路,试求电路的完全响应 u和 i。
)0( ??e
0Uu ?
解 当只有 E作用于
电路时,
静态电压
静态电流
据 KVL
0Ii ?
010 IREU ??代入非线性电阻伏安特性方程,有00
20 IU ??
02020 020020 ????? IIII
小信号等效电阻 (动态电阻 )：
VIU
AI
16
4
2
0
0
??
?
解得：
????
?
82 0
0
I
di
du
R
Ii
d
小信号激励时的小信号
等效电路如图 (b)所示
R
?i
?u
?
?
?
?
e
( b )
?
1R R
?11R i
u
?
?
?
?
?
e
( a )
??
E
小信号激励产生的电流和电压响应为
tAt
RR
ei
d
???? s i n1 1 1.0s i n
9
1
1
??
?
?
tVtiRu d ???? s i n8 8 9.0s i n
9
8 ???
电路的完全响应为
tAiIi ?? s i n111.040 ????
tVuUu ?? s i n8 8 9.0160 ????
?SSS uuu ?? 0
,40 Vu S ?
?? 2001R
201.0 ui ?
Su
mv30?
例 在图示电路中,,压控型非线性电阻 R
的伏安特性,若直流电压源 在 4V电
压上有 波动时,试求完全响应 u和 i。
解：依照题意
mVu S 30???
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
u s
( a )
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
-
+
?s
u
so
u
( b )
0Su ?Su(只 起作用,不起作用 )电压和静态电流,
(1)求非线性电路静态
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
so
u
( C )
求图 (c)所示电路的 a、
b左部戴维南等效电
路，
0000 1002 IIRUU OC ????
开路电压：
SU
du
di
G
Uu
d 02.002.0 0
0
???
?
0000 1002 IIRUU OC ????
200 01.0 UI ?
mAIVU 10,1 00 ??
a,b右部电路：
非线性电阻的小信号电导 (动态电导 ),
动态电阻
??? ? 501dd GR
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
so
u
( C )
?Su
mVu
mAi
5
1.0
??
??
?
?
mAiIi )1.010(0 ???? ?
求小信号响应,
只有小信号电压源 激励电路时,小信号等效电
路如图 (d)所示。
电路的完全响应：
mVuUu )51 0 0 0(0 ???? ?
R
i
+
-
u
a
b
+
-
R 1
R 1
?s
u
( d )
0??i?
S
I
?
i 12 i
1
i
1
R
i
?
?
u
R
( a )
,1 AI S ?
,s i n1.0 tAi ?? ?,11 ??R
12 ?? ui
例 在图 (a)电路中,直流偏置电流源
小信号电流源 线性电阻
压控型非线性电阻的伏安特性,试
求完全响应 i和 u。
解 (1)求静
态工作点。
AIi S 11 ??? CCCS的受控量：
,222 1 AIi S ??
控制量
0
1
0
10 32 UR
UiII
S ?????
据非线性电阻特性方程得：
12 00 ?? UI
00 312 UU ???
VVU 667.0
3
2
0 ??
AAI 33.2
3
7
0 ??
故
s
I 1
2 i
1
i
1
R
i
?
?
u
?
i
1
2 i
1
i
1
R
?i ?
?
?
?u
d
R
????
?
5.0
2
1
0Ii
d di
du
R
?i
(2)计算 作用于电路产生的小信号响应，非线
性电阻的小信号等效电阻。
小信号等效电路如图 所示
12 00 ?? UI
tA
i
RR
R
i
d
?
??
s i n2.0
)3(
1
1'
?
?
?
tViRu d ??? s i n1.0' ??
故小信号响应,
tVuUu ?? s i n1.06 6 7.00 ????
完全响应,
tAiIi ?? s i n2.033.20 ?????
?
i
1
2 i
1
i
1
R
?i ?
?
?
?u
d
R
10.5 分段线性化方法
分段线性化方法 (又称折线法 )是研究非线性电路
得一种有效方法,它的特点在于能把非线性的求解
过程分成几个线性区段,就每个线性区段来说,又可
以应用线性电路计算方法,
在分段线性化法中,常引用理想二极管模型,它的
特性是,在电压为正向时,二极管完全导通,它相当于
短路 ;在电压反向时,二极管完全部导通,电流为零,
它相当于开路,其伏安特性如与线性电阻组成实际
二极管的模型,其伏安特性可以用图 10-2的折线
表示,当这个二极管加正向电压时,它相当于一个线
性电阻,其伏安特性用直线 表示 ;当电压反向时,
二极管完全不导通,其伏安特性特性用 表示,
BOA
OA
OB
例 10-10 (1)图 10-22(a)所示电路由线性电阻 R,
理想二极管和直流电压串联组成,电阻 R的伏安特
性如图 (b)所示,画出此串联电路的伏安特性,(2)把
图 10-22(a)中的电阻 R和二极管与直流电源并联,如
图 10-22(d),画出此并联电路的伏安特性,
解 (1)各元件的伏安特性示于图 10-22(b)中,电
路方程为
需求解的伏安特性可用图解法求得,如图 10-22(c)
折线
0UuRiu d ??? 0?i
).0,( 0 ?? iUuA B C 时当
u
i
0
A
B
（ 1） 理想二极管
u
i
0
A
B
（ 2） P-N结二极管伏安特性
(2) 电路方程为
0IR
ui ?? 0?u
u
du
0U
R
)( a
Ru
i
u
i
0
二 极 管
)( iu
R
U 0
)( b
u
i
0
U 0
A
B
)( c
C
u
R
)( a
i Ri
0i
u
i
0
二 极 管
)( Riu
I 0
)( b
)( iu A
B
C
图 10-22 例 10-10 图
当 时,二极管全导通,电路被短路,当 用图
解法求得的伏安特性,如图 10-22(c)中的折线,
图 10-23(a)中虚线所示为隧道二极管的伏安特
性,此特性可用图中 3段直线粗略表示,而这 3段直线
0?u 0?u
ABO
可分解为如图 10-23(b)中 3个伏安特性,即直线,折线
和折线,这 3条曲线分别代表 3个非线性电阻
的伏安特性,因此图 (a)所示近似折线是这 3个并联电阻的等
效伏安特性,其静态工作点可以用图解法确定,
不过应当注意,如果静态工作点位于图 10-24(a)所示位置,
表示该点确实是工作点,如果负载线与分段线性的伏安特性
交点位于图 10-24(b)所示位置,则只有 为实际的工作点,
而 并不代表实际的工作点,
AOB
CEU1 CEU 2
3Q
2,1QQ
u
i
1U
)( a
0
1 2 3
2U
G a
G b
G c
u
i
1U
)( b
0
2U
G a
G b
G c
G 1
G 2
G 3
A
B
E
C
D
下面介绍一阶分段线性电路,
图 10-25(a)所示一阶电路中电容 C是线性元
件,N是非线性电阻一端口,它的驱动点特性可以用
分段线性表示如图 (b).这种电路称为分段线性 RC
电路,若该一端口与线性电感连接,则称为分段线性
i
O
0
0
R
U
A
1QC2Q
1U 2U
E
D3QB0Uu
( a )
i
O
0
0
R
U
A 1QC 2Q
1U 2U
E
D3Q B0Uu
( b )
图 10-24 隧道二极管的静态工作点
RL电路,这两种电路的分析可采取分段线性化的方
法,
图 10-25(a)的电路方程为
而 故有
设方程的解用 平面上的点 (u,i)表示,并称之
为动态点,动态点 (u,i)随时间斜沿着 N的驱动点特性
(端口伏安特性 )移动,移动的方向由式 (10-7)确定,动
态点移动的路径 (包括其方向 )称为动态路径,
iidtd u cC C ???
,Cuu ?
C
i
dt
du
dt
d u c ???
iu?
设电路的初始状态为,动态路径的起始点始图中的
点,根据式 (10-7)可见,当 i>0,有
)0( ?Cu 0P
01 ??? Cdtdu
+
i
u
ci
cu
+
C
路
电阻电
非线性
N
)( a
u
i
1U )( b0 2U
1P1I2I
)0( ?cu 1SU
0PA BC
2P
图 10-25 分段线性 RC电路
所以电流为正值时,电压总是减小的,当 i>0时,从
点起始的动态路径将沿着 u-i曲线从 点到 然后
到 此动态路径的终点是 因为此时有 i=0,从
而,即电容电压将不再变化,整个过程电容始
终处于放电过程,但从 到 电流在增长,而当电容
电压达到 (对应 )后,就逐渐减小直到零为止,
当动态点从 移动 时,一口 N的伏安特性是用
直线段 表示的,所示 N可用图 10-26(a)的等效电
路代替,其中直流电压源的电压等于 [见图 10-
25(b)],而线性电阻 可按下式计算
所以,它是一个负电阻,根据图 10-26(a),按
0P 1P
.2P,
2P
0?dtdu
0P 1P
1U 1P
0P 1P
AB
SIU
1R
21
21
1 II
UUR
?
??
01 ?R )0( ?Cu
以及 可求得该区段的电容电压为
由于,故 为负值,假想,则 将随时间的”负”
增长而增长,当 时,将达到,见图 10-26(c)中的虚线,
但 为负值,所以 达到 时 (对应的时间为
)即进入另一线性段,
,11 CR??
SISICC UeUuu ???
?
? 1
1
])0([ ?
01 ?R 1? 0?t Cu
???t
SIU
])0([ SIC Uu ?? Cu 1U 1t
+
R 1
cu
+
C
)a(
U S 1
R 2cu
+
C
)b(
从 到 区段,一端口 N相当于一个线性电阻,
而,而,对应的电容电压可根据图 10-
26(b)计算
其中
t0
cuu,U
S 1
)c(
P 0P 1t
1
图 10-26 计算图 10-25电路的等效电
路
1P 2P 2R
2R 112 / IUR ?
21 /)(1 ?tteUU ??? 1tt?
CR22 ??
电容电压随时间变化的
曲线示于图 10-26.
例 10-11 设图 10-27（ a）
中二端网络 N的压控分段线
性端口特性如图 10-27（ b）
所示。已知电容元件的初始
电压 uc ( 0+ ) = 2.5V，求
t≥0+时的电容电压 uc( t )。
)(ti )(tiC
)(tu )(tu C???? FC ?5.0?N
( a )
mAi / 1p
Vu /0 1 2 5.23 25.34
246
810 0p
( b )
解 本题可按下列步骤求解：
(1)确定初始点
因为对于所以的时刻 而在初始时
刻 所以位于二端网
络 的端口特性曲线上的初始点是,如附图 10-
27（ b）所示。
(2)确定动态路线
自 出发的动态路线决定于二端网络 N的端口特性
和 这一关系式。
由于 时,即当电流 正时电压
连续下降，因而自 出发的动态路线必然问题沿
曲线向左移动，而由两个直线段
组成，如附图 10-27（ b）所示。动态路线终止于 0
),()(,tutut C?
?t,5.2)0()0(,0 Vuu
C ?? ???
N
0P
0P
)(1)()( tCdt tdutu ????
0)( ?ti 0)(1)( ??? ti
Ctu?
)(ti )(tu
0P
ui? 0110 ?? PPP 和
这是因为在 0点,从而 的缘故。这时，
电容元件处于平衡状态（ equilibrium state）。
(3)对 曲线的每一个直线段分别求解
用一系列对应于动态路线中每一个直线段的戴维
南等效电路代替二端网络 N，求出 的一系列
解。就本例而言，动态路线 仅由两个
直线段组成，相应的等效电路分别示于图 10-
28(a),(b).
对于图 10-28（ a）所示等效电路，电容元件的初
始电压 平衡状态电压 时间常
数
于是，根据三要素法可以写出电容电压由到的解
0?i 0)( ?tu?
ui?
)(tuC
010 ?? PP
Vu C 5.2)0( ?? Vu 25.3f ?
ss ??? 5.625.01 2 51 ?????
析解如下
式中 是对应于 的时刻。由于在本段内
时间常数为负,的曲线为一段经过
并当 时渐近地趋向平衡状态值 的指
数曲线，如图 10-28（ c）所示。
对于图 10-28（ b）所示等效电路，电容元件的
初始电压 平等状态电压,时
间常数
Vetu tC ])25.35.2(25.3[)( 5.62/ ?????
Ve t )75.025.3( 5.62/?? st ?9.310 ???
s?9.31 VtuC 2)( ?
)(tuC Vu C 5.2)0( ??
???t Vu
f 25.3?
,9.31,2)( 00 stVtu C ??? 0?f?
ss ??? 1 0 05.02 0 02 ???
于是,根据三要素法可以写出电容电压由 到
的解析解如下
相应的指数曲线如图 10-28(c)所示,
1P
O
Vetu tC 1 0 0/)9.31(2)( ??? st ?9.31?
)(tuC?? 125
V25.3
????
F?5.0
( a )
)(tu C?200
??
F?5.0
( b )
( C )
Vtu C /)(32
10 St ?/
100 200 300
图 10-28 对应于动态路线 的等效电路以及 曲线OPPP ?? 110 和 )(tuC
sr ?5.62? sr ?100
2 ?9.31
25.35.2 0P
1P
