电工基础
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第六章
非正弦周期电流电路
6.1 非正弦周期电流和电压
6.2 周期函数分解为傅里叶级数
6.3 非正弦周期量的有效值、平均值、平均功率
6.4 非正弦周期电流电路的计算
6 非正弦周期电流电路
6.5 滤波器的概念
6.1 非正弦周期电流和电压
ωt
i
O π 2π
图中电流是正弦信号还是非正弦信号？
非正弦（ nonsinusoidal signal）信号
+EC
uC
● 模拟电子中常用的放大电路
uC
UC0
UC0 +
uC波形可以分解
uC??
uC?
t
i
O t
i
O
方波电流 锯齿波
● 实验室常用的信号发生器
可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波；
激励是是正弦电压，
电路元件是非线性元件二极管
整流电压是非正弦量。
t
u
O T/2 T t
u
O T/2 T
● 整流分半波整流和全波整流
半波整流 全波整流
由语言、音乐、图象等转换过来的电信号，都不
是正弦信号；
● 非电量测量技术中
由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变化
的规律，也是非正弦的；
● 自动控制和电子计算机中
使用的脉冲信号都不是正弦信号。
● 无线电工程和其他电子工程中
6.2 周期函数分解为傅里叶级数
（ 1）周期函数
f(t)=f(t+kT)
T为周期函数 f(t)的周期，
k=0,1,2,……
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能
展开成一个收敛的 傅里叶级数 。
电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。
?? ????
??
???
)]s i n ()c o s ([
)]2s i n ()2c o s ([
)]s i n ()c o s ([
2
)(
11
1212
1111
0
tkbtka
tbta
tbta
a
tf
kk
??
??
??
?
?
?
???
1
11
0 )]s i n ()c o s ([
2 k kk
tkbtkaa ??
（ 2）傅里叶级数 (Fourier series)的两种形式
第一种形式
?? ?? ? ?? 2000 )(1)(2 tdtfdttfTa T
?? Tk dttktfTa 0 )c o s ()(2 ?
?? ? ??? 20 )()c o s ()(1 tdtktf
系数的计算公式
?? Tk dttktfTb 0 )s i n ()(2 ?
?? ? ??? 20 )()s i n ()(1 tdtktf
?? ????
??
???
)s i n (
)2s i n (
)s i n ()(
1
212
1110
kkm
m
m
tkA
tA
tAAtf
??
??
??
?
?
?
???
1
10 )s i n (
k
kkm tkAA ??
第二种形式
A0称为周期函数的 恒定分量 （或直流分量）；
A1m sin(ω1t+ψ1)称为 一 次谐波 （或基波分量）；
其他各项统称为 高次谐波,
即 二 次,三 次,四 次,……
两种形式系数之间的关系
?
?
?
???
1
10 )s i n ()(
k
kkm tkAAtf ??
?
?
?
???
1
11
0 )]s i n ()c o s ([
2
)(
k
kk tkbtka
atf ??第一种形式
第二种形式
22
kkkm baA ??
ak=Akmsinψk bk= Akmcosψk
)a rc t a n (
k
k
k b
a??
2
0
0
aA ?
6,3非正弦周期量 有效值、平均值和
平均功率
(一 )非正弦周期量的有效值
假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数
?
?
?
???
1
10 )s i n (
k
kkm tkIIi ??
则得电流的有效值为
dttkII
T
I
T
k
kkm? ? ??
?
??
? ??? ?
?0
2
1
10 )s i n (
1 ??
?????? 23222120 IIIII
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与
各次谐波有效值平方之和的平方根。
(二 )非正弦周期量的平均值
平均值的定义
??
T
av dtiTI 0 ||
1
非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值。
正弦量的平均值
?? T mav dttITI 0 |s i n|1 ?
=2Im/π
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，
这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各个
值变为对应的正值。
=0.637Im =0.898I
ωtO
i
Iav
Im
对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表
进行测量时，会有不同的结果。
用 磁电 系仪表（直流仪表）测量，所得结果将
是电流的 恒定分量 ；
用 电磁 系或 电动 系仪表测量时，所得结果将是
电流的 有效值 ；
用 全波整流 磁电系仪表测量时，所得结果将是
电流的 平均值 。
由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时，
要注意选择合适的仪表，并注意在各种不同类型表
的读数所示的含意。
(三 )非正弦周期电流电路的功率
(1)瞬时功率
任意一端口的瞬时功率（吸收）为
?
?
?
?
?
?
???? ?
?
? 1
10 )s i n (
k
kukm tkUUuip ??
?
?
?
?
?
?
??? ?
?
? 1
10 )s i n (
k
kkm tkII ??
式中 u,i取关联方向。
(2)平均功率
?? ?????? kkk IUIUIUIUP ??? c o sc o sc o s 22211100
平均功率等于恒定分量构成的功率和各次
谐波平均功率的代数和。
+
u
-
i已知一端口的电压和电流，求
电压和电流的有效值和一端口
的平均功率。
V)151 2 0s i n (40
)1160s i n (30)2730c o s (2010
???
???????
t
ttu
A)15120s i n (5)5290s i n (4)3330c o s (32 ?????????? ttti
解：电压的有效值 U=
2222 40302010 ???×
2222 )
2
40()
2
30()
2
20(10 ????U
电流的有效值
2222 )
2
5()
2
4()
2
3(2 ????I
平均功率
P = 10× 2 + 20× 3 + 30× 4 +40× 5×
V)151 2 0s i n (40
)1160s i n (30)2730c o s (2010
???
???????
t
ttu
A)15120s i n (5
)5290s i n (4)3330co s (32
???
???????
t
tti
?????? 30co s)
2
5)(
2
40(60co s)
2
3)(
2
20(210P
6,4 非正弦电流电路的计算
(一 )非正弦电流电路的计算具体步骤
把给定的非正弦周期电源电压或电流
分解 为傅里叶级数，
高次谐波取到哪一项为止，要看所需
要准确度的高低而定。
傅里叶级数应展开成 第二种 形式。
(1)傅氏分解
(2)分别求出电源电压或电流的恒定分量以及各谐波
分量单独作用时的响应。
对各次谐波分量，求解时可以用相量法进行。
直流分量单独作用 电感 L相当于 短路
电容 C相当于 开路
注意,
感抗、容抗与频率有关。
相量法
uS(1)(t)→ )1(
SU
? )1(
OU
? → uO
(1)(t)
XL(1)=ω1L
XC(1)=1/ω1C
uS(k)(t)→ )k(
SU
? )( kOU
? → uO
(k)(t)
XC(k)=1/kω1C
XL(k)=kω1L =k XL(1)
= XC(1)/k
一次谐波单独作用
高次谐波单独作用
把上一步所计算出的结果化为 瞬时 表达式后进
行相加，
把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没有
意义的，
最终求得的响应是用 时间函数 表示的。
（ 3）应用叠加定理,将各谐波瞬时值进行相加
例：
Vttte )]303s i n (502s i n100210[)( ????? ??
sr a d /10 3??
R1=5Ω,C=100μF,R2=2Ω,L=1mH，
求各支路电流及电源发出的功率。如在 R2 的支
路串入一个电磁式电流表，问这个电流表的读
数是多少？ +
-
R 1 R 2
C L
i
i 1 i 2
e ( t )
已知电源电动势
(1)分别求出电源电压恒定分量以及各谐波分
量单独作用时的响应。
+
-
R 1 R 2e ( 0 )
I ( 0 )
I 1 ( 0 )
I 2 ( 0 )
直流分量单独作用时：
一次谐波分量单独作用时：
+
-
R 1 R 2
)1(
?
E
)1(
?
I
)1(1
?
I )1(2
?
I
)1(
C
jX?
)1(
L
jX
三次谐波分量单独作用时,+
-
R 2R 1
)3(
?
I
)3(1
?
I )3(
2
?
I
)3(
C
jX? )3(LjX
)3(
?
E
(２ )应用叠加定理,将各谐波瞬时值进行相加
将含有电感和电容的电路接在电源与负载间用以抑制不
需要的谐波分量、将需要的谐波分量传送给负载，这种
电路称为滤波器。
+
-
C
1
+
-
C
2
L
u
2
u
1
i 1 i 2
6.5 滤波器的概念
（ 1 ）低通滤波器：
保留恒定分量和低于某一定频率的分量
f
1
f
0
U
2
( f )
+
-
R
L
u 2u 1
-
+
+
-
L 1
+
-
L
2
C
u
2
u
1
i 1 i 2
f
1
f0
U
2
( f )
（ 2）高通滤波器：保留高于截止频率的谐
波分量
（ 3）带通滤波器：保留两个截止频率
之间的各谐波分量
L 2 L 2C 2C 2
C 1L 1
0?? ?
+
-
L 3
+
-
L 4
C
u 2
u 1
i 1 i 2
+
-
C
3
+
-
C
4
L
u
2
u
1
i 1 i 2
0?? ?
L 2 L 2C 2C 2
C 1L 1
f
1
f
2
f
U
2
( f )
（ 4）带阻滤波器：滤去两个截止频率之
间的各谐波分量
L 2
C 2
C 1
L 1
L 2
C 2
+
-
L 1
+
-
L 4
C
u 2
u 1
i 1 i 2
0?? ?
+
-
C
3
+
-
C
4
L
u
2
u
1
i 1 i 2
0?? ?
f
1
f
2
f
U
2
( f )
0
例,截止频率的确定
(c)
+
-
R
L
u
2
u
1
-
+
)()(
1
1
)(
1
1
)(
)(
2
1
2
CRa r c tg
CR
jH
CRj
jH
U
U
???
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
为幅频特性
为相频特性
截止频率：幅频特性曲线下降到最大值的 时的
频率为截止频率 ?C
RC
CR
jH
C
1
2
1
1
1
)(
)(
2
?
?
?
?
?
?
?
2
1
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第六章
非正弦周期电流电路
6.1 非正弦周期电流和电压
6.2 周期函数分解为傅里叶级数
6.3 非正弦周期量的有效值、平均值、平均功率
6.4 非正弦周期电流电路的计算
6 非正弦周期电流电路
6.5 滤波器的概念
6.1 非正弦周期电流和电压
ωt
i
O π 2π
图中电流是正弦信号还是非正弦信号？
非正弦（ nonsinusoidal signal）信号
+EC
uC
● 模拟电子中常用的放大电路
uC
UC0
UC0 +
uC波形可以分解
uC??
uC?
t
i
O t
i
O
方波电流 锯齿波
● 实验室常用的信号发生器
可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波；
激励是是正弦电压，
电路元件是非线性元件二极管
整流电压是非正弦量。
t
u
O T/2 T t
u
O T/2 T
● 整流分半波整流和全波整流
半波整流 全波整流
由语言、音乐、图象等转换过来的电信号，都不
是正弦信号；
● 非电量测量技术中
由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变化
的规律，也是非正弦的；
● 自动控制和电子计算机中
使用的脉冲信号都不是正弦信号。
● 无线电工程和其他电子工程中
6.2 周期函数分解为傅里叶级数
（ 1）周期函数
f(t)=f(t+kT)
T为周期函数 f(t)的周期，
k=0,1,2,……
如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能
展开成一个收敛的 傅里叶级数 。
电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。
?? ????
??
???
)]s i n ()c o s ([
)]2s i n ()2c o s ([
)]s i n ()c o s ([
2
)(
11
1212
1111
0
tkbtka
tbta
tbta
a
tf
kk
??
??
??
?
?
?
???
1
11
0 )]s i n ()c o s ([
2 k kk
tkbtkaa ??
（ 2）傅里叶级数 (Fourier series)的两种形式
第一种形式
?? ?? ? ?? 2000 )(1)(2 tdtfdttfTa T
?? Tk dttktfTa 0 )c o s ()(2 ?
?? ? ??? 20 )()c o s ()(1 tdtktf
系数的计算公式
?? Tk dttktfTb 0 )s i n ()(2 ?
?? ? ??? 20 )()s i n ()(1 tdtktf
?? ????
??
???
)s i n (
)2s i n (
)s i n ()(
1
212
1110
kkm
m
m
tkA
tA
tAAtf
??
??
??
?
?
?
???
1
10 )s i n (
k
kkm tkAA ??
第二种形式
A0称为周期函数的 恒定分量 （或直流分量）；
A1m sin(ω1t+ψ1)称为 一 次谐波 （或基波分量）；
其他各项统称为 高次谐波,
即 二 次,三 次,四 次,……
两种形式系数之间的关系
?
?
?
???
1
10 )s i n ()(
k
kkm tkAAtf ??
?
?
?
???
1
11
0 )]s i n ()c o s ([
2
)(
k
kk tkbtka
atf ??第一种形式
第二种形式
22
kkkm baA ??
ak=Akmsinψk bk= Akmcosψk
)a rc t a n (
k
k
k b
a??
2
0
0
aA ?
6,3非正弦周期量 有效值、平均值和
平均功率
(一 )非正弦周期量的有效值
假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数
?
?
?
???
1
10 )s i n (
k
kkm tkIIi ??
则得电流的有效值为
dttkII
T
I
T
k
kkm? ? ??
?
??
? ??? ?
?0
2
1
10 )s i n (
1 ??
?????? 23222120 IIIII
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与
各次谐波有效值平方之和的平方根。
(二 )非正弦周期量的平均值
平均值的定义
??
T
av dtiTI 0 ||
1
非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值。
正弦量的平均值
?? T mav dttITI 0 |s i n|1 ?
=2Im/π
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，
这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各个
值变为对应的正值。
=0.637Im =0.898I
ωtO
i
Iav
Im
对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表
进行测量时，会有不同的结果。
用 磁电 系仪表（直流仪表）测量，所得结果将
是电流的 恒定分量 ；
用 电磁 系或 电动 系仪表测量时，所得结果将是
电流的 有效值 ；
用 全波整流 磁电系仪表测量时，所得结果将是
电流的 平均值 。
由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时，
要注意选择合适的仪表，并注意在各种不同类型表
的读数所示的含意。
(三 )非正弦周期电流电路的功率
(1)瞬时功率
任意一端口的瞬时功率（吸收）为
?
?
?
?
?
?
???? ?
?
? 1
10 )s i n (
k
kukm tkUUuip ??
?
?
?
?
?
?
??? ?
?
? 1
10 )s i n (
k
kkm tkII ??
式中 u,i取关联方向。
(2)平均功率
?? ?????? kkk IUIUIUIUP ??? c o sc o sc o s 22211100
平均功率等于恒定分量构成的功率和各次
谐波平均功率的代数和。
+
u
-
i已知一端口的电压和电流，求
电压和电流的有效值和一端口
的平均功率。
V)151 2 0s i n (40
)1160s i n (30)2730c o s (2010
???
???????
t
ttu
A)15120s i n (5)5290s i n (4)3330c o s (32 ?????????? ttti
解：电压的有效值 U=
2222 40302010 ???×
2222 )
2
40()
2
30()
2
20(10 ????U
电流的有效值
2222 )
2
5()
2
4()
2
3(2 ????I
平均功率
P = 10× 2 + 20× 3 + 30× 4 +40× 5×
V)151 2 0s i n (40
)1160s i n (30)2730c o s (2010
???
???????
t
ttu
A)15120s i n (5
)5290s i n (4)3330co s (32
???
???????
t
tti
?????? 30co s)
2
5)(
2
40(60co s)
2
3)(
2
20(210P
6,4 非正弦电流电路的计算
(一 )非正弦电流电路的计算具体步骤
把给定的非正弦周期电源电压或电流
分解 为傅里叶级数，
高次谐波取到哪一项为止，要看所需
要准确度的高低而定。
傅里叶级数应展开成 第二种 形式。
(1)傅氏分解
(2)分别求出电源电压或电流的恒定分量以及各谐波
分量单独作用时的响应。
对各次谐波分量，求解时可以用相量法进行。
直流分量单独作用 电感 L相当于 短路
电容 C相当于 开路
注意,
感抗、容抗与频率有关。
相量法
uS(1)(t)→ )1(
SU
? )1(
OU
? → uO
(1)(t)
XL(1)=ω1L
XC(1)=1/ω1C
uS(k)(t)→ )k(
SU
? )( kOU
? → uO
(k)(t)
XC(k)=1/kω1C
XL(k)=kω1L =k XL(1)
= XC(1)/k
一次谐波单独作用
高次谐波单独作用
把上一步所计算出的结果化为 瞬时 表达式后进
行相加，
把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没有
意义的，
最终求得的响应是用 时间函数 表示的。
（ 3）应用叠加定理,将各谐波瞬时值进行相加
例：
Vttte )]303s i n (502s i n100210[)( ????? ??
sr a d /10 3??
R1=5Ω,C=100μF,R2=2Ω,L=1mH，
求各支路电流及电源发出的功率。如在 R2 的支
路串入一个电磁式电流表，问这个电流表的读
数是多少？ +
-
R 1 R 2
C L
i
i 1 i 2
e ( t )
已知电源电动势
(1)分别求出电源电压恒定分量以及各谐波分
量单独作用时的响应。
+
-
R 1 R 2e ( 0 )
I ( 0 )
I 1 ( 0 )
I 2 ( 0 )
直流分量单独作用时：
一次谐波分量单独作用时：
+
-
R 1 R 2
)1(
?
E
)1(
?
I
)1(1
?
I )1(2
?
I
)1(
C
jX?
)1(
L
jX
三次谐波分量单独作用时,+
-
R 2R 1
)3(
?
I
)3(1
?
I )3(
2
?
I
)3(
C
jX? )3(LjX
)3(
?
E
(２ )应用叠加定理,将各谐波瞬时值进行相加
将含有电感和电容的电路接在电源与负载间用以抑制不
需要的谐波分量、将需要的谐波分量传送给负载，这种
电路称为滤波器。
+
-
C
1
+
-
C
2
L
u
2
u
1
i 1 i 2
6.5 滤波器的概念
（ 1 ）低通滤波器：
保留恒定分量和低于某一定频率的分量
f
1
f
0
U
2
( f )
+
-
R
L
u 2u 1
-
+
+
-
L 1
+
-
L
2
C
u
2
u
1
i 1 i 2
f
1
f0
U
2
( f )
（ 2）高通滤波器：保留高于截止频率的谐
波分量
（ 3）带通滤波器：保留两个截止频率
之间的各谐波分量
L 2 L 2C 2C 2
C 1L 1
0?? ?
+
-
L 3
+
-
L 4
C
u 2
u 1
i 1 i 2
+
-
C
3
+
-
C
4
L
u
2
u
1
i 1 i 2
0?? ?
L 2 L 2C 2C 2
C 1L 1
f
1
f
2
f
U
2
( f )
（ 4）带阻滤波器：滤去两个截止频率之
间的各谐波分量
L 2
C 2
C 1
L 1
L 2
C 2
+
-
L 1
+
-
L 4
C
u 2
u 1
i 1 i 2
0?? ?
+
-
C
3
+
-
C
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L
u
2
u
1
i 1 i 2
0?? ?
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1
f
2
f
U
2
( f )
0
例,截止频率的确定
(c)
+
-
R
L
u
2
u
1
-
+
)()(
1
1
)(
1
1
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)(
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1
2
CRa r c tg
CR
jH
CRj
jH
U
U
???
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为幅频特性
为相频特性
截止频率：幅频特性曲线下降到最大值的 时的
频率为截止频率 ?C
RC
CR
jH
C
1
2
1
1
1
)(
)(
2
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2
1
