电工基础
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第三章
正弦稳态电路分析
第三章 正弦稳态电路分析
? 3.1 正弦交流电
? 3.2 正弦量的相量表示法
? 3.3 R,L,C伏安关系的相量形式
? 3.4 基尔霍夫定律的相量形式
? 3.5 复阻抗、复导纳及其等效变换
? 3.6 正弦交流电路中的功率
? 3.7 正弦稳态电路的计算
第三章 正弦稳态电路分析
本章重点：
正弦量的相量表示法；
两类约束的相量形式；
正弦交流电路的功率和正弦稳
态电路的计算
第 三 章 正弦稳态电路分析
本章要求
1,理解正弦量的特征及其各种表示方；
2,理解电路基本定律的相量形式及阻
抗； 熟练掌握计算正弦交流电路的相
量分析法，会画相量图。
3,掌握有功功率和功率因数的计算,了
解瞬时 功率、无功功率和视在功率的
概念；
4.了解正弦交流电路的频率特性，
5.了解提高功率因数的意义和方法。
3.1 正弦交流电
正弦量：
随时间按正弦规律做周期变化的量。
i
Ru
+
_
?
_ ?
_
i
t ?
u
+ _
正弦交流电的优越性：
便于传输；易于变换
便于运算；
有利于电器设备的运行；
.,,,,
正半周 负半周
i
Ru
+
_
3.1.1 正弦量的三要素
设正弦交流电流：
角频率,决定正弦量变化快慢
幅值,决定正弦量的大小
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
初相角,决定正弦量起始位置
?
? ??? ?? tIi s i nm
Im
? 2?
T
i
t ?O
周期 T,变化一周所需的时间 （ s）
角频率：
πfTπω 22 ?? （ rad/s）
Tf
1?频率 f,（ Hz）
T
* 无线通信频率,30 kHz ~ 30GMHz
* 电网频率,我国 50 Hz,美国,日本 60 Hz
* 高频炉频率,200 ~ 300 kHZ
* 中频炉频率,500 ~ 8000 Hz
i
t ?O
幅值,Im,Um,Em
幅值必须大写,
下标加 m。
注意：
交流电压、电流表测量数据为有效值
交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
3.1.2正弦量的相位差
ψt ??相位：
?
初相位,表示正弦量在 t =0时的相角。
反映正弦量变化的进程。
i
t ω
)s i n (m ψtωIi ??
O
0)( ??? t?? tψ
)s i n ( 1m ψtωUu ??
如：
)()( 21 ????? ???? tt
21 ψψ ??
若 0
21 ??? ψψ?
电压超前 电流 ?
两 同频率 的正弦量之间的初相位之差。
u
i
u i
?
ω tO
)s i n ( 2m ψtωIi ??
电流超前电压
????? 9021 ψψ?
电压与电流 同相 021 ??? ψψ?
电流超前电压 ?021 ??? ψψ?
电压与电流反相
???? 1 8 021 ψψ?
u i
ω t
ui
?
O
?90u i
ω t
ui
90°
O
u i
ω t
u
i
O ω t
u iu i
O
② 不同频率的正弦量比较无意义。
注意,
? t
i
2i1i
?
O
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，
与计时的选择起点无关。
有效值,如果一个周期电流 i 通过电阻 R,在一个
周期 T 内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间内通
过该电阻 R 消耗的能量,则 I 定义 为 i 的有效值
则有
?? T tiTI 0 2 d1
交流 直流
dtRiT 20? RTI
2?
?? T ttωIT1 0 22m ds i n 2mI?
有效值必
须大写
3.1.3 正弦量的有效值
m
m 7 07.0
2
UUU ＝?
m
m 707.0
2
EEE ??
同理：
3.2 正弦量的相量表示法
瞬时值表达式 )s i n (
m ?? ?? tUu
重点介绍相量表示法。
波形图
正弦量的表示方法
重点
必须
小写相量 ψUU ???
u
t ωO
? 3.2.1 复数 +j
+1
Ab
a
r
?0
复数表示形式
设 A为复数,
(1) 代数式 A =a + jb
a
bψ ar c t an?
22 bar ?? 复数的模
复数的辐角
实质：用复数表示正弦量
式中, ψra c o s?
ψrb s i n?
(2) 三角式
)s i nj( c o ss i njc o s ψψrψr ψrA ????
由欧拉公式,
2j
ees i n jj ψψψ ???
,2 eec o s
jj ψψ
ψ
??
?
(3) 指数式 ψrA je?
ψψψ s i njc o se j ??可得,
ψrrrjrbaA ψ ?????? jes i nc o sj ??
(4) 极坐标 式 ψrA ?
3.2.2.用旋转相量表示正弦量
ω
)(s i nm ψtUu ?? ?设正弦量,
若,有向线段长度 =
mU
ω有向线段以速度 按逆时针方向旋转
则,该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示
相应时刻正弦量的瞬时值。
有向线段与横轴夹角 = 初相位 ?
1u
1tω
u0
? x
y
O
mU
ψ
u
t ω
O
mU?
)(s i nm ψtωUu ??设正弦量,
相量, 表示正弦量的复数称相量
电压的有效值相量
相量表示,
相量的模 =正弦量的有效值
相量辐角 =正弦量的初相角ψUUeU ψ ?? j?
电压的幅值相量
① 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
注意,
)(s i nm ψtωIi ??？ =
② 只有正弦量才能用相量表示，
非正弦量不能用相量表示。
③ 只有 同频率 的正弦量才能画在同一相量图上。
I?
?
U?
相量的模 =正弦量的最大值
相量辐角 =正弦量的初相角ψUeUU ψ mjmm ???
或：
ψIeI ψ mjm ??
⑤ 相量的书写方式
? 模 用最大值表示,则用符号：
mm I U ??,
④ 相量的两种表示形式
相量图, 把相量表示在复平面的图形
?实际应用中，模多采用有效值，符号,I U ??,
可不画坐标轴 I?
?
U?
如：已知 )V45(s i n220 ??? tωu
Ve220 j 4 5m ??U?
Ve
2
2 2 0 j 4 5 ??U?则 或
)j s i nc o s(e j ψψUψUUU ψ ?????
相量式,
B?
jje ??????? 90s i n90c o sj 9 0 ?
⑥,j”的数学意义和物理意义
ψrA je??设相量
C?
A?
ψ
+1
+j
o
? 相量 乘以,A?
?90je
相量 乘以,? A? ?-j90e
?90j?e旋转 因子：?90
B?A? ?90将逆时针旋转,得到
C?A? ?90将顺时针旋转,得到
V45
2
2 2 0 ??U？
正误判断
1.已知：
)V45(s i n220 ??? tωu
Ve2 2 0 45m ??U?？
有效值
)A30(s i n24 ??? tω？
Ae4 j 3 0 ??I?
3.已知,复数
瞬时值j45?
?
)A60(s i n10 ??? tωi？
最大值
V1 0 0?U？
Ve1 0 0 j 1 5 ?? ?U？
? 负号2.已知,A6010 ??I?
4.已知：
V15100 ???U?
1U?
?20
2U?
?45
2U?1U?
落后于 1U?2U?
超前
落后？
解, (1) 相量式
(2) 相量图
例 1,将 u1,u2 用相量表示
V)45(s i n21102 ??? tωu
V)20(s i n22201 ??? tωu
+1
+j
V202201 ???U?
V451102 ???U?
3.3.1 电阻元件。
描述消耗电能的性质
iRu ?根据欧姆定律,
即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系
线性电阻
S
lR ??
金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的
导电性能有关, 表达式为：
表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。
0dd 00 ??? ?? tRituiW t 2t
电阻的能量
R
i
u
+
_
3.3 R,L,C 伏安关系的相量形式
基本 关系式：
① 频率相同
② U =RI
③ 电压与电流同相
???? 0iu ψψ?相位差
电压与电流的关系
Ri?u
设：
tωIi s i n2?
tωIu s i nmR?
tωRI s i n2?
IRU ?? ?
R
i
+ u -
i
ω t
u
O
1,电压与电流的关系
设
tωUu s i nm?
② 大小关系：
R
UI ?
③ 相位关系, u,i 相位相同
根据欧姆定律, iRu ?
tω
R
U2
R
tωU
R
ui s i ns i nm ???
tωI2tωI s i ns i nm ??
① 频率相同
0??? iu ???相位差,?
I?
U?相量图
R
i
u
+
_
相量式：
?? 0II ?
RIUU ?? ? ?? 0
2,功率关系
iup ??
(1) 瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积
小写
tωIU 2mm s i n?
)2c o s(121 mm tωIU ??
结论, （耗能元件）,且随时间变化。0?p
tωUu
tωIi
s i n2
s i n2
?
?
p
i
ω t
u
O
ω t
p
O
i u
瞬时功率在一个周期内的平均值
?? ??? TT tiuTtpTP 00 d1d1
UIttωUIT T? ???
0
)dc o s 2(11
大写
ttωIUT T d)2c o s(1211
0 mm?
??
(2) 平均功率 (有功功率 )P
IUP ?? 单位,瓦（ W） 2 RI?
P
RU
2
?
R
i
u
+
_
p p
ω tO
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
描述线圈通有电流时产生磁场、
储存磁场能量的性质。
1,物理意义
i
N Φ
i
ψL ??电感, ( H,mH)
线性电感, L为常数 ; 非线性电感, L不为常数
3.3.2 电感元件
电流通过 N匝 线圈产生 (磁链 )N Φψ ?
电流通过 一匝 线圈产生 (磁通 )Φ
u
i
?
+
-
线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质
的导磁性能等有关。
l
NSμL 2?
)90(s i n2 ??? tωLI ω
基本 关系式：
① 频率相同
② U =I? L
③ 电压超前电流 90?
???? 90iu ψψ?相位差
1,电压与电流的关系
?90
t
iLeu
L d
d???
3.3.2 电感元件
设：
tωIi s i n2?
i
u
+
-
eL
+
-
L
t
tωILu
d
)s i nd( m?
)90(s i n2 ??? tωUu
ω t
u i i
O
)90(s i n2 ???? tωLωIu
tωIi s i n2?
或
L
UI
??
LXIU ?
则,
感抗 (Ω)
? 电感 L具有通直阻交的作用
直流,f = 0,XL =0，电感 L视为 短路
定义,LfLX
L ?? 2??
fLπX L 2?
L ωIU ??
有效值,
交流,f XL
LfπLωX L 2??
感抗 XL是频率的函数 LX
可得相量式：
)(jj LXILωIU ??? ???
fL
UI
?2?
电感电路复数形式的欧姆定律
U?
I?相量图
?90IU ?? 超前 )90(s i n2 ???? tωLωIu
tωIi s i n2?根据：
?? 0II?
???? 9090 LI ωUU ?
L
I
U
I
U ?j90 ???
?
?则：
LXI,
fO
2,功率关系
(1) 瞬时功率
0d)(2s i n
d
1
o
o
??
?
?
?
ttωUI
T
1
tp
T
P
T
T
(2) 平均功率
)90(s i ns i nmm ????? tωtωIUuip
tωUI 2s i n?
tωIUtωtωIU 2s i n2c o ss i n mmmm ??
)90(s i n2 ???? tωLωIu
tωIi s i n2?
L是非耗
能元件
储能
p <0+
p >0
分析,瞬时功率, uip ?? tωUI 2s i n?
u
i
+
- u
i
+
-
u
i
+
-
u
i
+
-
+
p >0
p <0
放能 储能 放能
?电感 L是储
能元件。
tω
i
u
o
p
tωo
结论：
纯电感不消
耗能量,只和
电源进行能量
交换（能量的
吞吐 )。
可逆的能量
转换过程
用以衡量电感电路中能量交换的规模。 用 瞬时功率
达到的最大值表征，即
LL X
UXIIUQ 22 ???
单位,var
(3) 无功功率 Q
uip ??瞬时功率, tωUI 2s i n?
例 1,把一个 0.1H的电感接到 f=50Hz,U=10V的正弦
电源上，求 I，如保持 U不变，而电源
f = 5000Hz,这时 I为多少？
解,(1) 当 f = 50Hz 时
31, 4 Ω0,1503,1422 ??????? fLX L ?
3 1 8 m A
3 1, 4
10 ???
LX
UI
（ 2）当 f = 5000Hz 时
3140 Ω0,150003,1422 ??????? fLX L
3, 1 8 m A
3 1 4 0
10 ???
LX
UI
所以电感元件具有通低频阻高频的特性
练习题,1.一只 L=20mH的电感线圈，通以
)A30s i n ( 3 1 425 ??? ti
的电流
求 (1)感抗 XL;(2)线圈两端的电压 u;
(3)有功功率和无功功率。
电流与电压
的变化率成
正比。
t
uCi
d
d?基本 关系式：
1.电流与电压的关系
① 频率相同
② I =U?C
③ 电流超前电压 90?
????? 90iu ψψ?相位差
则：
)90s i n (2 ??? tωCωU
tωωUC
t
uCi c os2
d
d ??
3.3.3 电容元件
u
i
C
+
_设：
tωUu s i n2?
i
tω
u i
?90
u
)90(s i n2 ???? tωCU ωi
tωUu s i n2?
C ωUI ??
或
I
Cω
U 1?
CXIU ?
则,
容抗 （ Ω ）定义：
CfπCω
X C
2
11 ??
有效值
所以电容 C具有隔直通交的作用
Cfπ
X C
2
1? X
C
直流,XC,电容 C视为 开路?
交流,f
fCπX C 2
1?
容抗 XC是频率的函数
可得相量式
CXICωIU
??? j1j ????
则：
电容电路中复数形式的欧姆定律
U?
I?
相量图
?90UI ??超前
CωXC
1?
CX,I
f
)(2 CfπUI ?
O
)90(s i n2 ???? tωCU ωi
tωUu s i n2?
由：
CU ωII j90 ????
?? 0UU?
2.功率关系
(1) 瞬时功率
u
i
C
+
_
(2) 平均功率 Ｐ
)90(s i n2 ???? tωCU ωi
tωUu s i n2?
由
0d)(2s i n
d
1
0
??
?
?
?
ttωUI
T
1
tp
T
P
T
0
T
)90(s i ns i nmm ????? tωtωIUuip
tωUI 2s i n? tωIU 2s i n
2
mm?
C是非耗
能元件
瞬时功率, uip ?? tωUI 2s i n?
u
i
+
- u
i
+
-
u
i
+
-
u
i
+
-
+
p >0
充电
p <0
放电
+
p >0
充电
p <0
放电
p
tωo
所以电容 C是储
能元件。
结论：
纯电容不消
耗能量,只和
电源进行能量
交换（能量的
吞吐 )。
u
i
o tω
u,i
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
(3) 无功功率 Q
C
C X
UXIUIQ 22 ??????
tωUIp s i n 2??所以
单位,var
为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
tωIi s i n2?
)90(s i n2 ??? tωUu
则：
指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中：
R
Ui ?
R
UI ?
R
ui ?
R
UI ?? ?
在电感电路中：
LX
ui ?
Lω
ui ?
Lω
UI ?
LωIU j?
LXI
U ?
?
?
LXI
U j?
?
?
t
iLu
d
d?
在电容电路中：
CωIU ??
CXiu ??
CωUI j?? ??
CωI
U
j
1?
?
?
【 练习 】
电阻的标称值
误差
标
称
值
? 10%（ E12） ? 5% （ E24）
1.0,1.2,1.5、
1.8,2.2,2.7、
3.3,3.9,4.7、
5.6,6.8,8.2
电阻的标称值 = 标称值 ?10n
1.0,1.1,1.2,1.3、
1.5,1.6,1.8,2.0、
2.2,2.4,2.7,3.0、
3.3,3.6,3.9,4.3、
4.7,5.1,5.6,6.2、
6.8,7.5,8.2,9.1等
实际的电阻、电容
电阻的主要指标
1,标称值
2,额定功率
3,允许误差
种类,
碳膜、金属膜、
线绕、可变电阻
电容的主要指标
1,标称值
2,耐压
3,允许误差
种类,
云母、陶瓷、涤纶
电解、可变电容等
一般电阻器、电容器都按标准化系列生产。
单一参数电路中的基本关系
参数
LωX L jj ?
t
iLu
d
d?L
Cω
X C 1jj ??? tuCi dd?C
R
基本关系
iRu ?
阻抗
R
相量式
RIU ?? ?
IXU L ?? j?
IXU C ?? j??
相量图
U?
I?
U?
I?
U?
I?
3.7单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路
参数 电路图(参考方向 ) 阻抗
电压、电流关系
瞬时值 有效值 相量图 相量式
功 率
有功功率 无功功率
R
i
u iRu? R
设
则
tωU2u s i n?
tωI2i s i n?
IRU ? RIU ?? ?
U?I?
u,i 同相
0
L
tiLu dd?
C tuCi dd?
LXj
CXj?
设
则
)90ts i n ( 2 ??? ? LI ωu
则
LX
IXU
L
L
??
?
cX
IXU
C
C?/1??
u领先 i 90°
U?
I?
U?
I?
LXIU ?? j?
CXIU ?? j??
0
0
LXI
UI
2
基本
关系
+
-
i
u
+
-
i
u
+
-
tωI2i s i n?
设
RI
UI
2
UI?
CXI2-
tωI2i s i n?
)90s i n ( 2 ???? t CI ωu u落后 i 90°
3.4 基尔霍夫定律的相量形式
0321 ????? iiii
0321 ????? IIII ????
? ? 0I?
? ? 0U?
i1 i
3
i2
结论：相量形式的基尔霍夫定律仍然成立
3.4 基尔霍夫定律的相量形式
一, 基尔霍夫电流定律的相量形式
?
?
?
n
k
k ti
1
0)(
基尔霍夫电流定律 (KCL)叙述为,对于任何集中参数
电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路
电流的代数和等于零 。其数学表达式为
假设电路中全部电流都是 相同频率 ω的正弦电流,则
可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式
]e2R e []eR e [)( jjm tktkk IIti ?? ?? ??
代入 KCL方程中得到
????
????
????
n
k
t
k
n
k
k
n
k
t
k
n
k
k ItiIti
1
j
11
j
m
1
0]e2R e[)( 0]eR e[)( ?? ??
由于上式适用于任何时刻 t，其相量关系也必须成立，
即
??
??
????
n
k
k
n
k
k II
11
m )1510( 0 )1410(0
??
相量形式的 KCL定律表示对于 具有相同频率的正弦电
流电路中的任一结点, 流出该结点的全部支路电流相量的
代数和等于零 。 在列写相量形式 KCL方程时, 对于参考方
向流出结点的电流取, +”号, 流入结点的电流取, -”号 。
??
??
??
n
k
k
n
k
k II
11
m 0 0
特别注意的是
例 3-1 电路如图 10-12(a)所示,已知
A s i n25)(
A )60 c o s (210)(
2
1
tti
tti
?
?
?
?? ?
试求电流 i(t)及其有效值相量。
图 10-12
解：根据图 (a)所示电路的时域模型，画出图 (b)所示的相量
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将
时域模型中各电流符号 用相应的相量符
号 表示，并计算出电流相量 。
21S iiii,、、
21S IIII ????,、、
A 905 A 6010 21 ?? ?? ????? II
列出图 (b)相量模型中结点 1的 KCL方程，其相量形式
为
021 ???? III ???
由此可得
A2.362.666.3j5j5j 8, 665
905601021
?
?????
???????
??????? III
写出相应的电流瞬时值表达式
A)2.36 co s (22.6)( ??? tti ?
值得特别提出的是在正弦电流电路中流出任一结点的
全部电流有效值之代数和并不一定等于零，例如本题中的
I=6.2?I1+I2=10+5=15。
二, 基尔霍夫电压定律的相量形式
?
?
?
n
k
k tu
1
0)(
假设电路中全部电压都是 相同频率 ω的正弦电压,则
可以将它们用有效值相量表示如下：
]e2R e []eR e [)( jjm tktkk UUtu ?? ?? ??
基尔霍夫电压定律 (KVL)叙述为,对于任何集中参数
电路中的任一回路，在任何时刻，沿该回路全部支路电压
代数和等于零 。其数学表达式为
代入 KVL方程中得到
??
??
??
??
??
??
n
k
t
k
n
k
k
n
k
t
k
n
k
k
Utu
Utu
1
j
1
1
j
m
1
0]e2R e [)(
0]eR e [)(
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
n
k
k
n
k
k
U
U
1
1
m
)1710( 0
)1610(0
?
?
由于上式适用于任何时刻 t，其相量关系也必须成立，
即
这就是相量形式的 KVL定律, 它表示对于 具有相同频
率的正弦电流电路中的任一回路, 沿该回路全部支路电压
相量的代数和等于零 。 在列写相量形式 KVL方程时, 对于
参考方向与回路绕行方向相同的电压取, ＋, 号, 相反的
电压取, －, 号 。
值得特别注意的是沿任一回路全部支路电压振幅 (或有
效值 )的代数和并不一定等于零，即一般来说
??
??
??
n
k
k
n
k
k UU
11
m 0 0
例 10-7 电路如图 10-13(a)所示，试求电压源电压 uS(t)和相
应的电压相量，并画出相量图。已知
Vc o s212)(
V)90c o s (28)(
Vc o s26)(
3
2
1
ttu
ttu
ttu
?
?
?
?
??
??
?
图 10-13
解：根据图 (a)所示电路的时域模型，画出图 (b)所示的相量
模型，并计算出电压相量。
V012
V908
V1806
3
2
1
?
?
?
?
?
?
??
??
???
U
U
U
对于图 (b)相量模型中的回路，以顺时针为绕行方向，
列出的相量形式 KVL方程
0321S ????? UUUU ????
Vc o s212)(
V)90c o s (28)(
Vc o s26)(
3
2
1
ttu
ttu
ttu
?
?
?
?
??
??
?
写出相应的电压瞬时值表达式
V)1.53c o s (210)(S ??? ttu ?
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中的 US=10?U1+U2+U3=6+8+12=26。
由此可求得
V.15310j8612j86
0129081 806221S
?
???????
????????
????????? UUUU
jbaθrc ????
21
2
1
2
1
212121
θθ
r
r
c
c
θθrrcc
???
???
222111,θrcθrc ????
关于复数的几个公式
1,假设复数
则有
s i n c o s
a r c t a n 22
?? rbra
a
bθbac
??
???
2,假设复数
j,j 222111 bacbac ????
)(j)(
)(j)(
212121
212121
bbaacc
bbaacc
?????
?????
3,假设复数
则有
则有
要求掌握计算器进行复数两种形式的转换。
CASIO fx-100 3+j4=?
3 4 5 53.1PR? ?
举例
SHARP EL-5812 3+j4=?
3 4 5 53.1YX ? ?r? YX ?
CASIO fx-100 5?53.1=?
5 53.1 3 4RP? ? YX ?
YX ?
SHARP EL-5812 5??=?
5 53.1 3 4YX ? YX ?xy?
注意：
DEG
表示
度数
1j ??
j90s i nj90c o se 90j ??? ????
电路分析中采用符号
θθθ s i njc o se j ??
应用欧拉公式 可以得到
901e1j 90j ?? ??????
j)90s i n (j)90c o s (e 90j ??????? ????
?? 901e1j 90j ??????? ?
j
11 8 0s i nj1 8 0c o se 0j 1 8 ???? ????
1 8 01ej 1 0j 1 82 ?? ??????
21 IRIRU ??
交流电路, 与参数 R,L,C、
? 间的关系如何？
U? I?
3.5.1 R,L,C串联及复阻抗
U =IR + I?L + I 1/ ? C?
直流电路两电阻串联时
设,tωs i nIi 2?
RLC串联交流电路中
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
3.5复阻抗、复导纳及其等效变换
tωIi s i n2?设：
)90(s i n)
1
(2
)90(s i n)(2
s i n2
???
???
?
tω
Cω
I
tωLωI
tωIRu则
(1) 瞬时值表达式
根据 KVL可得：
CLR uuuu ???
???? tiCtiLiR d1dd
为同频率
正弦量
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
(2)相量法
? ?? ?CL
CL
XXRI
XIXIRIU
???
????
j
)j()(j
?
????
CLR UUUU ???? ???
??? 0II?设
（参考相量）
)j( CC XIU ?? ??
)(j LL XIU ?? ?
则
RIU R ?? ?
总电压与总电流
的相量关系式
R
jXL
-jXC
RU?
+
_
LU?
+
_
CU?
+
_
U?
+
_
I?
1)相量式
? ?? ?CL XX RIU ??? j??
? ?CL XX RZ ??? j令
则 ZIU ?? ?
Z 的模表示 u,i 的大小关系，辐角（阻抗角）
为 u,i 的相位差。
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
阻抗
复数形式的
欧姆定律
注意
根据
iu
i
u
I
UZ
I
U
I
UZ ???
?
? ?????
?
?
电路参数 与电路性质的关系：
22 )(
CL XXRI
UZ ????阻抗模：
? ?CL XX RZZ ????? j?
R
XXψψ CL
iu
???? a r c t a n?阻抗角：
R
CL ω ?/1a r c t a n ??
当 XL >XC 时, ? > 0, u 超前 i 呈 感性
当 XL < XC 时, ? < 0, u 滞后 i 呈 容性
当 XL = XC 时, ? = 0, u,i 同相 呈 电阻性
?由电路参数决定。
2) 相量图
LU?
I?
CL UU ?? ?
U?
RU?
( ? > 0 感性 )
XL > XC
参考相量
由电压三角形可得,
?c o sUU R ?
?s i nUU x ?
U?
RU?
CL UU ?? ?
?
XU??
电压
三角形
CU?
I?RU?
( ? < 0 容性 )
XL < XC
?
CU?
LU?
CL UU ?? ? U?
?
R
jXL
-jXC
RU?
+
_
LU?
+
_
CU?
+
_
U?
+
_
I?
由相量图可求得,
R
XX
XXRZ
CL
CL
?
?
???
a r c t a n
)( 22
?
ZI
XRI
XXRI
UUUU
CL
CLR
)(
)(
22
22
22
?
??
???
???
2) 相量图
由阻抗三角形：
?c o sZR ?
?s i nZX ?
U?
RU?
CL UU ?? ?
?
XU??
Z
R
CL XXX ??
?
电压
三角形
阻抗
三角形
3.5.2 R,L,C并联及复导纳
21
21 Z
U
Z
UIII ????? ????
I
ZZ
ZI ??
21
1
2 ??
分流公式：
21
21
ZZ
ZZZ
?
??
Z
UI ?? ?
对于阻抗模一般
21
111
ZZZ ??
注意：
21
111
ZZZ ??
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
+
U? Z
-
I?
I
ZZ
ZI ??
21
2
1 ??
通式, ?
?
k
11
ZZ
例 2:
解,
同理：
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
Ω2 6, 54, 4 7
1 0, 51 1, 8
1650
j68j43
3710535
21
21
???
??
?
?
?
???
????
?
?
?
?
ZZ
ZZ
Z
A5344A
535
0220
1
1 ????
???
Z
UI ??
A3722A
3701
0220
2
2 ????
???
Z
UI ??
j4 Ω31 ??Z
有两个阻抗
j6 Ω82 ??Z
它们并联接在
V02 2 0 ??U? 的电源上 ;
求, I?和
21 II ??,
并作相量图。
21 III ??
相量图
1I?
U?
I?
2I?
?53
?37
?26.5
21 III ??? ??注意：
A2 6, 54 9, 2
2 6, 54, 4 7
0220 ???
?
???
Z
UI ??
或
A26, 549, 2
A3722A53-44 21
???
?????? III ???
导纳：阻抗的倒数
当并联支路较多时，计算等效阻抗比较麻烦，因
此常应用导纳计算。
如,? ?
1111 j CL XX RZ ???
导纳,
1
j
1111
2
1
2
1
2
1
1
2
11
2
1
111
1111
1
)j(
)j(
)(
)j(
)j(
11
??
????
???
??
??
?
??
??
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
XXR
XXR
XXRZ
Y
CL
CL
CL
CL
CL
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
导纳,
1j
1111
2
1
2
11
1
1
1
)j(
)j(
1
??
????
????
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
Z
Y
CL
CL
2
2
1
1 Z
RG ? 称为该支路的电导
2
1
1
L1 Z
XB L? 称为该支路的感纳
2
1
1
C1 Z
XB C? 称为该支路的容纳
211211 )( CL BBGY ??? 称为该支路的导纳模
（ 单位：西门子 S）
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
导纳,
1
11
1 ar c t a n G
BB CL ??? 称为该支路电流与电压之间的相位差
2j
2222
2
2 )j(
1 ??????? eYBBG
Z
Y CL
同理：
21
111
ZZZ ??因为
21 YYY ??所以
通式, ? ?? ???
kkk BjGYY
1j
1111
2
1
2
11
1
1
1
)j(
)j(
1
??
????
????
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
Z
Y
CL
CL
2+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
同阻抗串联
形式相同
用导纳计算并联交流电路时
UYUYUY
Z
U
Z
U
III
???
??
???
???
????
21
21
21
例 3 用导纳计算 例 2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
S530, 2S535 11
1
1 ??????? ZY
S370, 1S
3710
11
2
2 ?????? ZY
S2 6, 50, 2 2 4
S370, 1S530, 221
???
??????? YYY
例 3,用导纳计算 例 2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
注意：导纳计算的方法适用于多支路并联的电路
A5344
A022053-0,211
???
????? UYI ??
同理,
A3722
A02 2 0370,122
??
????? UYI ??
A2 6, 54 9, 2
A02202 6, 50, 2 2 4
???
?????? UYI ??
下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？
21
111
ZZZ ??
两个阻抗并联时,在什么情况下,
成立。
Ω2?Z
I=8A?
Ω2?Z
I=8A?
(c)
4A
4 ?
4A
4 ?
A2
I?
A1
(d)
4A
4 ?
4A
4 ?
A2
I?
A1
2,如果某支路的阻抗 Ω6)j8( ??Z,则其导纳
)S61j81( ??Y
对不对?
+
U?
-
CL
3,图示电路中,已知
CL XX ?
则该电路呈感性,对不对?
1,图示电路中,已知
A1+
U?
-
R
A2 A3
CL
2 Ω??? RXX CL
电流表 A1的 读数为 3A,
试问 (1)A2和 A3的 读数为多少?
(2)并联等效阻抗 Z为多少?
3.6 基尔霍夫定律 的相量形式
t ωIt ωUiup s i n)(s i n mm ????? ?
t ω UIt ω IU 2s i ns i ns i nc o s 2mm ?? ??
储能元件上
的瞬时功率
耗能元件上
的瞬时功率
在每一瞬间,电源提供的功率一部
分被耗能元件消耗掉,一部分与储能
元件进行能量交换。
(1) 瞬时功率
)(s i n
s i n
m
m
???
?
t ωUu
t ωIi
设：
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
(2) 平均功率 P （有功功率）
?c o sUIP ?所以
?
??
c o s
) ] d(2c o sc o s[
1
d
1
0
0
UI
ttωUIUI
T
tp
T
P
T
T
?
???
?
?
?
单位, W
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
cos?称为功率
因数，用来衡
量对电源的利
用程度。
(3) 无功功率 Q
单位,var?s i nUIQ ?
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
根据电压三角形可得：
RIIUUIP R 2c o s ??? ?
电阻消耗
的电能
)()( 2 CLCLCL XXIIUUIUIUQ ??????
根据电压三角形可得：
U?
RU?
?
XU?
电感和电
容与电源
之间的能
量互换
(4) 视在功率 S
电路中总电压与总电流有效值的乘积。
2IZUIS ?? 单位,V·A
注,SN＝ UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备
的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最
大有功功率。
22 QPS ?? QPS ??
? P,Q,S 都不是正弦量，不能用相量表示。
阻抗三角形,电压三角形,功率三角形
S
Q
P
22 )( CL XXRZ ???
?
?
s i n
c o s
ZX
ZR
?
?
2)(
CL
2
R UUUU ???
?
?
s i n
c os
UU
UU
X
R
?
?
22 QPS ??
?
?
s i n
co s
SQ
SP
?
?
RU?
U?
CL UU ?? ?
?
将电压三角形的有效值同除 I得到阻抗三角形
将电压三角形的有效值同乘 I得到功率三角形
R
CL XX ?
Z
(5) 功率因数 的 提高
1.功率因数,对电源利用程度的衡量 。?sco
U?
I?
?
Z
R
X?
jXRZ ??
+
U?
-
Z
I?
? 的 意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角
?s i nUIQ ?
1c o s ?? 时,电路中发生能量互换,出现无功当
功率 这样引起两个问题,
(1) 电源设备的容量不能充分利用
AkV1 0 0 0NNN ???? IUS
若用户,则电源可发出的有功功率为：1co ??s
若用户,则电源可发出的有功功率为：0,6co ??s
8 0 0 k v a rs i nNN ?? ?IUQ而需提供的无功功率为,
6 0 0 k Wc o sNN ?? ?IUP
所以 提高 可使发电设备的容量得以充分利用?cos
1 0 0 0 k Wco sNN ?? ?IUP
无需提供的无功功率。
（ 2）增加线路和发电机绕组的功率损耗
(费电 )
所以要求 提高电网的功率因数对国民经济的发展有重
要的意义。
设输电线和发电机绕组的电阻为,r
要求, (Ｐ、Ｕ 定值 )时?c osIUP ?
?c o sU
PI ?
rIP 2??
所以 提高 可减小线路和发电机绕组的损耗。?cos
(导线截面积 )I S
2,功率因数 cos ?低的原因
日常生活中多为 感性负载 ---如电动机、日光灯，
其等效电路及相量关系如下图。
?
I?
U?
RU?
LU?
相量图
+
U?
-
R
LX
I?
+
RU?-
+
-LU?
感性等效电路 A0, 1 8 2A
220
40 ???
U
PI
40W220V白炽灯 1c o s ??例
?c osIUP ?
A0, 3 6 4A
0, 52 2 0
40
co
?
?
??
?sU
PI
40W220V日光灯 0,5c os ??
供电局一般要求用户的
否则受处罚 。 0,85c os ??
?cos?L?L I
常用电路的功率因数
纯电阻电路 0)( ??
R-L-C串联电路
)9090( ?????? ?
纯 电感电路或
纯电容电路 )90( ????
电动机 空载
电动机 满载
日光灯
（ R-L串联电路）
1c o s ??
0,3~0,2c os ??
0c os ??
0co1 ?? ?s
0,9~0,7c os ??
0,6~0,5c os ??
(2) 提高功率因数的措施,
3.功率因数的 提高
1I?
CI?
I?
U??
1?
必须保证 原负载的工作状态不变。 即：
加至负载上的电压和负载的有功功率不变。
在感性负载两端并电容
? ?cos
I?cos
(1) 提高功率因数的原则：
CI?
C
+
U?
-
R
L
I?
1I?
结论 并联电容 C后：
(2) 原感性支路的工作状态不变,
1?cos
不变感性支路的 功率因数
不变感性支路的电流
1I
(3) 电路总的有功功率不变
1I?
I?
U??
1?
CI?
因为电路中电阻没有变，
所以消耗的功率也不变。
(1) 电路的总电流,电路总功率因数I ?cos
电路总视在功率 S
4,并联电容值的计算
相量图,
1I?
I?
U?
?
1?
CI?
又由相量图可得：
?? s i ns i n 11 III C ??
CU ωI C ?所以
11s in?I
?s inI
CI?
即, ?? s i ns i n
11 IICU ω ??
CI?
C
+
U?
-
R
L
I?
1I?
)t a n( t a n 12 ?? ??
Uω
PC
?
?
?
?
s i n
c o s
s i n
c o s 11 U
P
U
PCωU ??
思考题,
1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率
因数,为什么?
2.原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?
3.电源提供的无功功率是否有变化,为什么?
例 1:
解,(1)
Fμ656F)t a n 1 8( t a n 5 3
220314
1010
2
3
????
?
??C所以
（ 2）如将 从 0.95提高到 1，试问还需并多
大的电容 C。
（ 1）如将功率因数提高到,需要
并多大的电容 C,求并 C前后的线路的电流。
一感性负载,其功率 P=10kW,，
接在电压 U=220V,?=50Hz的电源上 。
0,6c os ??
0,95c os ??
?cos
)t a n( t a n 12 ?? ??
Uω
PC
0,6c os ?? 即 ?? 53?
0,95co ??s 即 ?? 18?
求并 C前后的线路电流
并 C前,
A75,6A
0,6220
1010
co
3
1
1 ??
???
?sU
PI
Fμ2 1 3, 6)Ft a n 0( t a n 1 8
220314
1010
2
3
????
?
??C
可见, cos ??1时再继续提高，则所需电容值很大
（不经济），所以一般不必提高到 1。
A47, 8A
0,9522 0
1010
c os
3
?
?
???
?U
PI并 C后,
(2) 从 0.95提高到 1时所需增加的电容值
?cos
例 2:
解,(1)电源提供的电流为：
5 4, 5 4 AA
0, 52 2 0
106
co s
3
?
?
???
?U
PI
电源的额定电流为：
0,5co s N ??
(1) 该电源供出的电流是否超过其额定电流？
已知电源 UN=220V,?=50Hz,SN=10kV?A向
PN=6kW,UN=220V,的感性负载供电，
(2) 如并联电容将 提高到 0.9，电源是否还有
富裕的容量？
?cos
45,45AA
220
1010 3
N
N
N ?
???
U
SI
例 2:
NII ?所以该电源供出的电流超过其额定电流。
（ 2）如将 提高到 0.9后，电源提供的电流为：?cos
3 0, 3 AA
0, 9220
106
co s
3
?
?
???
?U
PI
NII ?所以
该电源还有富裕的容量。即还有能力再带负载；
所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。
例 1：
已知,
)V20314(s i n2220 ??? tu
F40 μ1 2 7 m H,,Ω30 ??? CLR
求,(1)电流的有效值 I与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的
有效值与瞬时值； (3) 作相量图； (4)有功功率 P、
无功功率 Q和视在功率 S。
在 RLC串联交流电路中，
解：,Ω4010127314
3 ?????? ?LωX L
,Ω80
1040314
11
6- ?????? CωX C
,Ω5080)( 4030)( 2222 ???????? CL XXRZ
(1)
4, 4 AA
50
220 ???
Z
UI
)A73314(s i n244 ??? ti,
????? - 5330 80-40a r c t ana r c t an R XX CL?
?????? 73,- 5 3 iiu ψψψ 所以因为 ?
(2)
方法 1：
)V73314(s i n2132 ??? tu R
13 2V30 V4,4 ???? IRU R
)V1 6 33 1 4(s i n21 7 6 ??? tu L
1 76 VV404, 4 ???? LL IXU
方法 1：
)V17314(s i n2352 ??? tu C
352V804, 4 ???? CC IXU
?53 U?
LU?
CU?
CL UU ?? ?
I?
RU?
通过计算可看出：
CLR UUUU ???
CLR UUUU ???? ???
而是
(3)相量图
(4)
5 8 0, 8 W
)W53(co s4, 42 2 0co s
?
?????? ?UIP
或 5 8 0, 8 W
2 ??? RIIUP R
(4)
- 7 7 4, 4 v a r
) v a r53(s i n4, 4220s i n
?
?????? ?UIQ
或 - 7 7 4, 4 v a r)()( 2 ????
CLCL XXIIU-UQ
呈容性
方法 2：复数运算
Ω5350j 4 0 )30()(j ????????? CL XXRZ
A734, 4A
53-50
20220 ??
?
???
Z
UI ??
V731 3 23 0 V734, 4 ?????? RIU R ??
V163176V7340j 4, 4j ?????? LL XIU ??
V17-3 5 2V7380j 4, 4j ???????? CC XIU ??
V202 2 0 ??U?
解：
例 2：
已知, F1 μ.0,2k Ω ?? CR
在 RC串联交流电路中，
解：
Ω3, 2 kk Ω100, 15 0 03, 1 42 11 6- ??????? CωX C
,k Ω3,77k Ω3,22 2222 ????? CXRZ
输入电压 5 0 0 H z1 V,
1 ?? fU
(1)求输出电压 U2,并讨论输入和输出电压之间
的大小和相位关系 (2)当将电容 C改为 时,
求 (1)中各项； (3)当将频率改为 4000Hz时,再求
(1)中各项。
Fμ20
R
C
1U?
+
_
+
_
I?
2U?
方法 1：
(1)
0, 2 7 m AmA
3, 7 7
11 ???
Z
UI
????? - 5 823, 2-a r c t a na r c t a n RX C?
0,54 V2V0,272 ???? IRU
大小和相位关系
5 4 %
1
2 ?
U
U 2U? 1U?
比 超前 ?58
方法 2：复数运算
V011 ??U?解：设
V580, 5 4V583, 7 7 2V013, 22 212 ?????????? jUZRU ??
方法 3：相量图
0,5 4VVc o s 581c o s12 ????? ?UU
12 UU ?? ?
I?
?58
????? - 5 823, 2-a r c t a na r c t a n RX C?
RΩ1610205 0 03, 1 42 11 6- ?????????? CωX C
,k Ω222 ??? CXRZ
???? 0a r c t a n RX C?
1Vc o s 112 ??? UUU ?
1U?
CU?
I?2U?
V011 ??U?
解：设
（ 3）
Ω004100, 14 0 0 03, 1 42 11 6- ???????? CωX C
,k Ω2, 0 422 ??? CXRZ ???? - 1 1, 3a r c t a n
R
X C?
0, 98 Vc o s12 ?? ?UU
?31,1
1U?
CU?
I?2U?
大小和相位关系
9 8 %
1
2 ?
U
U 2U? 1U?
比 超前 ?311.
从本例中可了解两个实际问题：
(1)串联电容 C可起到隔直通交的作用 (只要选 择
合适的 C，使 )RX
C ??(2)RC串联电路也是一种移相电路,改变 C,R
或 f 都可达到移相的目的 。
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
1.假设 R,L,C 已定，电路性质能否
确定？阻性？感性？容性？
?cos2.RLC串联电路的 是否一定小于 1？
UU R ?
UUU,U CL ??
3.RLC串联电路中是否会出现,
的情况？
4.在 RLC串联电路中，当 L>C时,u超前 i
,当 L<C时,u滞后 i,这样分析对吗？
正误判断
Z
UI ?？
？
Z
UI ?
Z
ui ?？
Z
UI ?? ?？
在 RLC串联电路中，
?
?
Z
UI ?? ?？
？
U
UU CL ?? a r c t a n?
？
R
XX CL ?? a r c t a n?
R
CL
U
UU ?? a rct a n?？?
?
？
CX??
?
LXR
UI
？
CLR UUUU ???
？CLR uuuu ???
？ )
CL XXRZ ??? j(
R
CωLω ?? a r c t a n?？
?
？
CL XXRZ ???
?? 0II?设
U
ZZ
ZU ??
21
2
2 ??
Z
UI ?? ?
分压公式：
21 ZZZ ??
对于阻抗模一般
21 ZZZ ??注意：
IZZ
IZIZUUU
?
?????
)( 21
2121
??
????
U
ZZ
ZU ??
21
1
1 ??
+
U? Z
-
I?
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
通式, ? ?? ???
kkk XRZZ j
解：
同理：
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
Ω3010j58, 6 6
4)j ( 92, 5 )( 6, 1 621
????
?????? ZZZ
A022
3010
30220 ??
??
????
Z
UI ??
V5 5,62 3 9, 8
22V5 5,61 0,922Vj 9 )( 6, 1 611
??
??????? IZU ??
V581 0 3, 622Vj 4 )( 2, 522 ??????? IZU ??
j9 Ω6,1 61 ??Z
例 1:有两个阻抗
j4 Ω2,52 ??Z
它们串联接在 V30220 ??U? 的电源 ;
求, I? 和
21 UU ??,
并作相量图。
或利用分压公式：
1U?
U?
I?
2U?
?58
?30
?55.6
21 UUU ??? ??注意：
相量图
21 UUU ??
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
V581 0 3, 6
V30220
j58, 6 6
j42, 5
21
2
2
???
??
?
?
?
?
? U
ZZ
Z
U ??
V5 5, 62 3 9,8
V30220
j58,6 6
j96,1 6
21
1
1
??
??
?
?
?
?
? U
ZZ
Z
U ??
下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？
两个阻抗串联时,在什么情况下,
21 ZZZ ?? 成立。
7 Ω?Z U=14V? 10 Ω?Z U=70V?
(a)
3?
4?
V1
V2
6V
8V
+
_
U?
6?
8?
30V
40V
(b)
V1
V2
+
_
U?
3.7 正弦交流电路的计算
IU ??、
若正弦量用相量 表示，电路参数用复数阻抗
（ )表示，则直流电路中
介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电
路中都能使用。
C ω CL ωLRR
1jj ????,、
相量形式的基尔霍夫定律
0 K C L ? ?I? 0 K V L ? ?U?
电阻电路
RIU ?? ? )(j LXIU ?? ?
纯电感电路
)j( CXIU ?? ??
纯电容电路 一般电路 ZIU ?? ?
相量（复数）形式的欧姆定律
有功功率 P
有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，
或各支路有功功率之和。
i
i
1
2
i RIP ??
无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之
和，或各支路无功功率之和。
)( ii
i
1
2
i CL XXIQ ?? ?
的相位差与为 iii IU ???无功功率 Q
i
1
ii s i n ?∑
i
IUQ ?
或
i
1
ii c os ???
i
IUP
或
一般正弦交流电路的解题步骤
1、根据原电路图画出相量模型图 (电路结构不变 )
Ee,Ii,Uu
X C,XL, RR CL
??? ???
???? jj
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图
3、用相量法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式
例 1：
已知电源电压和电路参数，
电路结构为串并联。求电流的瞬
时值表达式。
一般用相量式计算,
2121( 2 ) i,iII I ?? ???,
iIZZZ ??? ?21 ( 1 ),
分析题目：
已知,
Vs i n2220 tωu ?
Ω4 0 0,Ω2 0 0Ω1 0 0,Ω50 1 ???? CL XX,RR
求, i
21 ii,
+
U?
-
1R
CXj-
LXj
R
I?
1I? 2I?
解：用相量式计算
+
U?
-
50Ω
I?
1I? 2I?
100Ω
j200Ω j400Ω-
V0220 ??U?
Ωj 1 2 0 0 )100(j11 ???? LXRZ
Ω1 4 0jj2 ???? CXZ
Ω334402 4 0 )j32050(]j 4 0 0j 2 0 0100 j 4 0 0 )(j 2 0 0 )( 1 0 050[ ????????? ????Z
A330, 5A33440 0220 ??????? ZUI
??
A5 9, 6-0, 8 9
A330, 5
j 4 0 0j 2 0 01 0 0
j 4 0 0
21
2
1
??
???
??
?
?
?
? I??
ZZ
Z
I
)A33(s i n20, 5 ??? tωi所以
)A5 9, 6(s i n20, 8 91 ??? tωi
)A9 3, 8(s i n20, 52 ??? tωi
同理：
+
U?
-
50Ω
I?
1I? 2I?
100Ω
j200Ω j400Ω-
A9 3, 80, 5
A330, 5
j 4 0 0j 2 0 0100
j 2 0 0100
21
1
2
??
???
??
?
?
?
? I??
ZZ
Z
I
例 2,下图电路中已知,I1=10A,UAB =100V，
求：总电压表和总电流表 的读数。
解题方法有两种,(1) 用相量 (复数 )计算
(2) 利用相量图分析求解
分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数
求总电流和电压
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
求,A,V 的读数
已知,I1= 10A、
UAB =100V，
解法 1,用相量计算
所以 A读数为 10安
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
即,V01 0 0
AB ??U?
为参考相量，
ABU?
设：
则：
A45210A)]5j5/(1 0 0[2 ?????I?
Aj 1 0A90101 ???I?
A01021 ???? III ???
Vj 1 0 0)Vj 1 0(L ?? IU ??所以
V 读数为 141V?
求,A,V 的读数
已知,I1=10A、
UAB =100V，
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
A01021 ???? III ???因为
V452100
j 1 0 0 V100AB
??
???? UUU L ???
解法 2,利用相量图分析求解 画相量图如下：
ABU?
设 为参考相量,
由相量图可求得,I =10 A
ABU?
求,A,V 的读数
已知,I1=10A、
UAB =100V，
10A1 ?I 超前1I? ?90ABU?
A,210
55
100
222
?
?
?I
°45AB2 UI ?? 滞后
10
1I?
I?
45°
210
2I?
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
UL= I XL =100V
V =141V
由相量图可求得：
求,A,V 的读数
已知,I1=10A、
UAB =100V，
ABU?
设 为参考相量,
°90IU L ?? 超前
100 ABU?
10
1I?
I?
45°
210
2I?
100
LU?
45°
U?
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
由相量图可求得：
U?I?
解：
A10
2
200200
2
L
22
??
?
??
RXRZ
UI
Ω210
210
2 0 0 ???
LXR所以
A2545s i n1045s i n21 ?????? II
A2545c o s2 ??? II
R XL
XC
+
–
S
1I?
2I?
I?
U?
例 3,已知,XRU
L?? V,2 00
。CL X,XR,I,
开关闭合后 u,i 同相。
,A102 ?? II开关闭合前
求,
2I?
?45
1I?
(1)开关闭合前后 I2的值不变。
R XL
XC
+
–
S
1I?
2I?
I?
U?
解,(2)用相量计算
∵ 开关闭合后 u,i 同相，
21 III ???? ??
Ac o s 4 52 ?? II由实部相等可得
A45s i n21 ?? II由虚部相等可得
Ω220
25
2 00
1
???
I
UX
C
A2545s i n1045s i n21 ?????? II
V,02 0 0 ??U?设,
A4510 2 ???? IXR L ?，所以因为
Ω4522)4510/0220(/ 22 ???????? IUZ ??
A0 ?? II?所以
?????? 451090 0 1II所以
解,求各表读数
V220?U
A1 5, 6
2
22
1 ??I
A112 ?I
A11?I所以
例 4,图示电路中已知, V3 1 4s i n22 2 0 tu ?
A)90( 3 1 4s i n2112 ??? ti
试求, 各表读数及参数 R,L 和 C。
A)45( 3 1 4s i n221 ??? ti
(1)复数计算 +
u
-
A
R
L
A1 A
2
1i C 2i
i
V
A11A9011451 5, 621 ???????? III ???
(2) 相量图
1I?
2I? LU?
U?
?45
RU?
I?
A11A111 5, 6 22 ???I根据相量图可得：
求参数 R,L,C
Ω10??? LXR
方法 1：
H0, 0 3 1 8
2
??
fπ
XL L
i
+
u
-
A
R
L
A1 A
2
1i C 2i
V
Ωj 10104514, 1
4515, 6
0220
1
1 ????????
???
I
UZ
?
?
Ω20?CX所以
Fμ1 5 9
203 1 4
1
2
1 ?
?
??
CXfπ
C
方法 2：
Ω1 4, 1
1
1 ?? I
UZ
Ω1045c o s1 ??? ZR
Ω1045s i n1 ??? ZX L
45?
Z
LX
R
H0, 0 3 1 8
2
??
fπ
XL L
Ω20
2
2 ?? I
UZ
即, XC=20?
Fμ159=20×314 1=2 1=
CXfπ
C
Ω9020
9011
0220
2
2 ?????
???
I
UZ
?
?
例 5,图示电路中,已知,U=220 V,?=50Hz,分析下列情况,
(1) K打开时,P=3872W,I=22A，求,I1,UR,UL
(2) K闭合后发现 P不变，但总电流减小，试说明
Z2是什么性质的负载？并画出此时的相量图。
解, (1) K打开时, A22
1 ?? II
?c osUIP ?
0, 822220 3872c os ???? UIP?
V1760,8V220c o s ????? ?UU R所以
V1320, 6 V220s i n ????? ?UU L
+
U?
-
1R
LX
I?
1I? 2I?
2Z
S
+
Ω8
22
3 8 7 2
22 ???? I
PR
Ω10?? IUZ
Ω6??? 22L RZX
V1768V22 ???? IRU R所以
V1 326V22 ???? LL IXU
(2) 当合 K后 P不变 I 减小,
说明 Z2为纯电容负载
相量图如图示,
1I?
2I?
U?
方法 2,A22
1 ?? II
I?
+
U?
-
1R
LX
I?
1I? 2I?
2Z
S
+
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第三章
正弦稳态电路分析
第三章 正弦稳态电路分析
? 3.1 正弦交流电
? 3.2 正弦量的相量表示法
? 3.3 R,L,C伏安关系的相量形式
? 3.4 基尔霍夫定律的相量形式
? 3.5 复阻抗、复导纳及其等效变换
? 3.6 正弦交流电路中的功率
? 3.7 正弦稳态电路的计算
第三章 正弦稳态电路分析
本章重点：
正弦量的相量表示法；
两类约束的相量形式；
正弦交流电路的功率和正弦稳
态电路的计算
第 三 章 正弦稳态电路分析
本章要求
1,理解正弦量的特征及其各种表示方；
2,理解电路基本定律的相量形式及阻
抗； 熟练掌握计算正弦交流电路的相
量分析法，会画相量图。
3,掌握有功功率和功率因数的计算,了
解瞬时 功率、无功功率和视在功率的
概念；
4.了解正弦交流电路的频率特性，
5.了解提高功率因数的意义和方法。
3.1 正弦交流电
正弦量：
随时间按正弦规律做周期变化的量。
i
Ru
+
_
?
_ ?
_
i
t ?
u
+ _
正弦交流电的优越性：
便于传输；易于变换
便于运算；
有利于电器设备的运行；
.,,,,
正半周 负半周
i
Ru
+
_
3.1.1 正弦量的三要素
设正弦交流电流：
角频率,决定正弦量变化快慢
幅值,决定正弦量的大小
幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
初相角,决定正弦量起始位置
?
? ??? ?? tIi s i nm
Im
? 2?
T
i
t ?O
周期 T,变化一周所需的时间 （ s）
角频率：
πfTπω 22 ?? （ rad/s）
Tf
1?频率 f,（ Hz）
T
* 无线通信频率,30 kHz ~ 30GMHz
* 电网频率,我国 50 Hz,美国,日本 60 Hz
* 高频炉频率,200 ~ 300 kHZ
* 中频炉频率,500 ~ 8000 Hz
i
t ?O
幅值,Im,Um,Em
幅值必须大写,
下标加 m。
注意：
交流电压、电流表测量数据为有效值
交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
3.1.2正弦量的相位差
ψt ??相位：
?
初相位,表示正弦量在 t =0时的相角。
反映正弦量变化的进程。
i
t ω
)s i n (m ψtωIi ??
O
0)( ??? t?? tψ
)s i n ( 1m ψtωUu ??
如：
)()( 21 ????? ???? tt
21 ψψ ??
若 0
21 ??? ψψ?
电压超前 电流 ?
两 同频率 的正弦量之间的初相位之差。
u
i
u i
?
ω tO
)s i n ( 2m ψtωIi ??
电流超前电压
????? 9021 ψψ?
电压与电流 同相 021 ??? ψψ?
电流超前电压 ?021 ??? ψψ?
电压与电流反相
???? 1 8 021 ψψ?
u i
ω t
ui
?
O
?90u i
ω t
ui
90°
O
u i
ω t
u
i
O ω t
u iu i
O
② 不同频率的正弦量比较无意义。
注意,
? t
i
2i1i
?
O
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，
与计时的选择起点无关。
有效值,如果一个周期电流 i 通过电阻 R,在一个
周期 T 内消耗的热能等于直流电流 I 在同样时间内通
过该电阻 R 消耗的能量,则 I 定义 为 i 的有效值
则有
?? T tiTI 0 2 d1
交流 直流
dtRiT 20? RTI
2?
?? T ttωIT1 0 22m ds i n 2mI?
有效值必
须大写
3.1.3 正弦量的有效值
m
m 7 07.0
2
UUU ＝?
m
m 707.0
2
EEE ??
同理：
3.2 正弦量的相量表示法
瞬时值表达式 )s i n (
m ?? ?? tUu
重点介绍相量表示法。
波形图
正弦量的表示方法
重点
必须
小写相量 ψUU ???
u
t ωO
? 3.2.1 复数 +j
+1
Ab
a
r
?0
复数表示形式
设 A为复数,
(1) 代数式 A =a + jb
a
bψ ar c t an?
22 bar ?? 复数的模
复数的辐角
实质：用复数表示正弦量
式中, ψra c o s?
ψrb s i n?
(2) 三角式
)s i nj( c o ss i njc o s ψψrψr ψrA ????
由欧拉公式,
2j
ees i n jj ψψψ ???
,2 eec o s
jj ψψ
ψ
??
?
(3) 指数式 ψrA je?
ψψψ s i njc o se j ??可得,
ψrrrjrbaA ψ ?????? jes i nc o sj ??
(4) 极坐标 式 ψrA ?
3.2.2.用旋转相量表示正弦量
ω
)(s i nm ψtUu ?? ?设正弦量,
若,有向线段长度 =
mU
ω有向线段以速度 按逆时针方向旋转
则,该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示
相应时刻正弦量的瞬时值。
有向线段与横轴夹角 = 初相位 ?
1u
1tω
u0
? x
y
O
mU
ψ
u
t ω
O
mU?
)(s i nm ψtωUu ??设正弦量,
相量, 表示正弦量的复数称相量
电压的有效值相量
相量表示,
相量的模 =正弦量的有效值
相量辐角 =正弦量的初相角ψUUeU ψ ?? j?
电压的幅值相量
① 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
注意,
)(s i nm ψtωIi ??？ =
② 只有正弦量才能用相量表示，
非正弦量不能用相量表示。
③ 只有 同频率 的正弦量才能画在同一相量图上。
I?
?
U?
相量的模 =正弦量的最大值
相量辐角 =正弦量的初相角ψUeUU ψ mjmm ???
或：
ψIeI ψ mjm ??
⑤ 相量的书写方式
? 模 用最大值表示,则用符号：
mm I U ??,
④ 相量的两种表示形式
相量图, 把相量表示在复平面的图形
?实际应用中，模多采用有效值，符号,I U ??,
可不画坐标轴 I?
?
U?
如：已知 )V45(s i n220 ??? tωu
Ve220 j 4 5m ??U?
Ve
2
2 2 0 j 4 5 ??U?则 或
)j s i nc o s(e j ψψUψUUU ψ ?????
相量式,
B?
jje ??????? 90s i n90c o sj 9 0 ?
⑥,j”的数学意义和物理意义
ψrA je??设相量
C?
A?
ψ
+1
+j
o
? 相量 乘以,A?
?90je
相量 乘以,? A? ?-j90e
?90j?e旋转 因子：?90
B?A? ?90将逆时针旋转,得到
C?A? ?90将顺时针旋转,得到
V45
2
2 2 0 ??U？
正误判断
1.已知：
)V45(s i n220 ??? tωu
Ve2 2 0 45m ??U?？
有效值
)A30(s i n24 ??? tω？
Ae4 j 3 0 ??I?
3.已知,复数
瞬时值j45?
?
)A60(s i n10 ??? tωi？
最大值
V1 0 0?U？
Ve1 0 0 j 1 5 ?? ?U？
? 负号2.已知,A6010 ??I?
4.已知：
V15100 ???U?
1U?
?20
2U?
?45
2U?1U?
落后于 1U?2U?
超前
落后？
解, (1) 相量式
(2) 相量图
例 1,将 u1,u2 用相量表示
V)45(s i n21102 ??? tωu
V)20(s i n22201 ??? tωu
+1
+j
V202201 ???U?
V451102 ???U?
3.3.1 电阻元件。
描述消耗电能的性质
iRu ?根据欧姆定律,
即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系
线性电阻
S
lR ??
金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的
导电性能有关, 表达式为：
表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。
0dd 00 ??? ?? tRituiW t 2t
电阻的能量
R
i
u
+
_
3.3 R,L,C 伏安关系的相量形式
基本 关系式：
① 频率相同
② U =RI
③ 电压与电流同相
???? 0iu ψψ?相位差
电压与电流的关系
Ri?u
设：
tωIi s i n2?
tωIu s i nmR?
tωRI s i n2?
IRU ?? ?
R
i
+ u -
i
ω t
u
O
1,电压与电流的关系
设
tωUu s i nm?
② 大小关系：
R
UI ?
③ 相位关系, u,i 相位相同
根据欧姆定律, iRu ?
tω
R
U2
R
tωU
R
ui s i ns i nm ???
tωI2tωI s i ns i nm ??
① 频率相同
0??? iu ???相位差,?
I?
U?相量图
R
i
u
+
_
相量式：
?? 0II ?
RIUU ?? ? ?? 0
2,功率关系
iup ??
(1) 瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积
小写
tωIU 2mm s i n?
)2c o s(121 mm tωIU ??
结论, （耗能元件）,且随时间变化。0?p
tωUu
tωIi
s i n2
s i n2
?
?
p
i
ω t
u
O
ω t
p
O
i u
瞬时功率在一个周期内的平均值
?? ??? TT tiuTtpTP 00 d1d1
UIttωUIT T? ???
0
)dc o s 2(11
大写
ttωIUT T d)2c o s(1211
0 mm?
??
(2) 平均功率 (有功功率 )P
IUP ?? 单位,瓦（ W） 2 RI?
P
RU
2
?
R
i
u
+
_
p p
ω tO
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
描述线圈通有电流时产生磁场、
储存磁场能量的性质。
1,物理意义
i
N Φ
i
ψL ??电感, ( H,mH)
线性电感, L为常数 ; 非线性电感, L不为常数
3.3.2 电感元件
电流通过 N匝 线圈产生 (磁链 )N Φψ ?
电流通过 一匝 线圈产生 (磁通 )Φ
u
i
?
+
-
线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质
的导磁性能等有关。
l
NSμL 2?
)90(s i n2 ??? tωLI ω
基本 关系式：
① 频率相同
② U =I? L
③ 电压超前电流 90?
???? 90iu ψψ?相位差
1,电压与电流的关系
?90
t
iLeu
L d
d???
3.3.2 电感元件
设：
tωIi s i n2?
i
u
+
-
eL
+
-
L
t
tωILu
d
)s i nd( m?
)90(s i n2 ??? tωUu
ω t
u i i
O
)90(s i n2 ???? tωLωIu
tωIi s i n2?
或
L
UI
??
LXIU ?
则,
感抗 (Ω)
? 电感 L具有通直阻交的作用
直流,f = 0,XL =0，电感 L视为 短路
定义,LfLX
L ?? 2??
fLπX L 2?
L ωIU ??
有效值,
交流,f XL
LfπLωX L 2??
感抗 XL是频率的函数 LX
可得相量式：
)(jj LXILωIU ??? ???
fL
UI
?2?
电感电路复数形式的欧姆定律
U?
I?相量图
?90IU ?? 超前 )90(s i n2 ???? tωLωIu
tωIi s i n2?根据：
?? 0II?
???? 9090 LI ωUU ?
L
I
U
I
U ?j90 ???
?
?则：
LXI,
fO
2,功率关系
(1) 瞬时功率
0d)(2s i n
d
1
o
o
??
?
?
?
ttωUI
T
1
tp
T
P
T
T
(2) 平均功率
)90(s i ns i nmm ????? tωtωIUuip
tωUI 2s i n?
tωIUtωtωIU 2s i n2c o ss i n mmmm ??
)90(s i n2 ???? tωLωIu
tωIi s i n2?
L是非耗
能元件
储能
p <0+
p >0
分析,瞬时功率, uip ?? tωUI 2s i n?
u
i
+
- u
i
+
-
u
i
+
-
u
i
+
-
+
p >0
p <0
放能 储能 放能
?电感 L是储
能元件。
tω
i
u
o
p
tωo
结论：
纯电感不消
耗能量,只和
电源进行能量
交换（能量的
吞吐 )。
可逆的能量
转换过程
用以衡量电感电路中能量交换的规模。 用 瞬时功率
达到的最大值表征，即
LL X
UXIIUQ 22 ???
单位,var
(3) 无功功率 Q
uip ??瞬时功率, tωUI 2s i n?
例 1,把一个 0.1H的电感接到 f=50Hz,U=10V的正弦
电源上，求 I，如保持 U不变，而电源
f = 5000Hz,这时 I为多少？
解,(1) 当 f = 50Hz 时
31, 4 Ω0,1503,1422 ??????? fLX L ?
3 1 8 m A
3 1, 4
10 ???
LX
UI
（ 2）当 f = 5000Hz 时
3140 Ω0,150003,1422 ??????? fLX L
3, 1 8 m A
3 1 4 0
10 ???
LX
UI
所以电感元件具有通低频阻高频的特性
练习题,1.一只 L=20mH的电感线圈，通以
)A30s i n ( 3 1 425 ??? ti
的电流
求 (1)感抗 XL;(2)线圈两端的电压 u;
(3)有功功率和无功功率。
电流与电压
的变化率成
正比。
t
uCi
d
d?基本 关系式：
1.电流与电压的关系
① 频率相同
② I =U?C
③ 电流超前电压 90?
????? 90iu ψψ?相位差
则：
)90s i n (2 ??? tωCωU
tωωUC
t
uCi c os2
d
d ??
3.3.3 电容元件
u
i
C
+
_设：
tωUu s i n2?
i
tω
u i
?90
u
)90(s i n2 ???? tωCU ωi
tωUu s i n2?
C ωUI ??
或
I
Cω
U 1?
CXIU ?
则,
容抗 （ Ω ）定义：
CfπCω
X C
2
11 ??
有效值
所以电容 C具有隔直通交的作用
Cfπ
X C
2
1? X
C
直流,XC,电容 C视为 开路?
交流,f
fCπX C 2
1?
容抗 XC是频率的函数
可得相量式
CXICωIU
??? j1j ????
则：
电容电路中复数形式的欧姆定律
U?
I?
相量图
?90UI ??超前
CωXC
1?
CX,I
f
)(2 CfπUI ?
O
)90(s i n2 ???? tωCU ωi
tωUu s i n2?
由：
CU ωII j90 ????
?? 0UU?
2.功率关系
(1) 瞬时功率
u
i
C
+
_
(2) 平均功率 Ｐ
)90(s i n2 ???? tωCU ωi
tωUu s i n2?
由
0d)(2s i n
d
1
0
??
?
?
?
ttωUI
T
1
tp
T
P
T
0
T
)90(s i ns i nmm ????? tωtωIUuip
tωUI 2s i n? tωIU 2s i n
2
mm?
C是非耗
能元件
瞬时功率, uip ?? tωUI 2s i n?
u
i
+
- u
i
+
-
u
i
+
-
u
i
+
-
+
p >0
充电
p <0
放电
+
p >0
充电
p <0
放电
p
tωo
所以电容 C是储
能元件。
结论：
纯电容不消
耗能量,只和
电源进行能量
交换（能量的
吞吐 )。
u
i
o tω
u,i
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
(3) 无功功率 Q
C
C X
UXIUIQ 22 ??????
tωUIp s i n 2??所以
单位,var
为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
tωIi s i n2?
)90(s i n2 ??? tωUu
则：
指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中：
R
Ui ?
R
UI ?
R
ui ?
R
UI ?? ?
在电感电路中：
LX
ui ?
Lω
ui ?
Lω
UI ?
LωIU j?
LXI
U ?
?
?
LXI
U j?
?
?
t
iLu
d
d?
在电容电路中：
CωIU ??
CXiu ??
CωUI j?? ??
CωI
U
j
1?
?
?
【 练习 】
电阻的标称值
误差
标
称
值
? 10%（ E12） ? 5% （ E24）
1.0,1.2,1.5、
1.8,2.2,2.7、
3.3,3.9,4.7、
5.6,6.8,8.2
电阻的标称值 = 标称值 ?10n
1.0,1.1,1.2,1.3、
1.5,1.6,1.8,2.0、
2.2,2.4,2.7,3.0、
3.3,3.6,3.9,4.3、
4.7,5.1,5.6,6.2、
6.8,7.5,8.2,9.1等
实际的电阻、电容
电阻的主要指标
1,标称值
2,额定功率
3,允许误差
种类,
碳膜、金属膜、
线绕、可变电阻
电容的主要指标
1,标称值
2,耐压
3,允许误差
种类,
云母、陶瓷、涤纶
电解、可变电容等
一般电阻器、电容器都按标准化系列生产。
单一参数电路中的基本关系
参数
LωX L jj ?
t
iLu
d
d?L
Cω
X C 1jj ??? tuCi dd?C
R
基本关系
iRu ?
阻抗
R
相量式
RIU ?? ?
IXU L ?? j?
IXU C ?? j??
相量图
U?
I?
U?
I?
U?
I?
3.7单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路
参数 电路图(参考方向 ) 阻抗
电压、电流关系
瞬时值 有效值 相量图 相量式
功 率
有功功率 无功功率
R
i
u iRu? R
设
则
tωU2u s i n?
tωI2i s i n?
IRU ? RIU ?? ?
U?I?
u,i 同相
0
L
tiLu dd?
C tuCi dd?
LXj
CXj?
设
则
)90ts i n ( 2 ??? ? LI ωu
则
LX
IXU
L
L
??
?
cX
IXU
C
C?/1??
u领先 i 90°
U?
I?
U?
I?
LXIU ?? j?
CXIU ?? j??
0
0
LXI
UI
2
基本
关系
+
-
i
u
+
-
i
u
+
-
tωI2i s i n?
设
RI
UI
2
UI?
CXI2-
tωI2i s i n?
)90s i n ( 2 ???? t CI ωu u落后 i 90°
3.4 基尔霍夫定律的相量形式
0321 ????? iiii
0321 ????? IIII ????
? ? 0I?
? ? 0U?
i1 i
3
i2
结论：相量形式的基尔霍夫定律仍然成立
3.4 基尔霍夫定律的相量形式
一, 基尔霍夫电流定律的相量形式
?
?
?
n
k
k ti
1
0)(
基尔霍夫电流定律 (KCL)叙述为,对于任何集中参数
电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路
电流的代数和等于零 。其数学表达式为
假设电路中全部电流都是 相同频率 ω的正弦电流,则
可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式
]e2R e []eR e [)( jjm tktkk IIti ?? ?? ??
代入 KCL方程中得到
????
????
????
n
k
t
k
n
k
k
n
k
t
k
n
k
k ItiIti
1
j
11
j
m
1
0]e2R e[)( 0]eR e[)( ?? ??
由于上式适用于任何时刻 t，其相量关系也必须成立，
即
??
??
????
n
k
k
n
k
k II
11
m )1510( 0 )1410(0
??
相量形式的 KCL定律表示对于 具有相同频率的正弦电
流电路中的任一结点, 流出该结点的全部支路电流相量的
代数和等于零 。 在列写相量形式 KCL方程时, 对于参考方
向流出结点的电流取, +”号, 流入结点的电流取, -”号 。
??
??
??
n
k
k
n
k
k II
11
m 0 0
特别注意的是
例 3-1 电路如图 10-12(a)所示,已知
A s i n25)(
A )60 c o s (210)(
2
1
tti
tti
?
?
?
?? ?
试求电流 i(t)及其有效值相量。
图 10-12
解：根据图 (a)所示电路的时域模型，画出图 (b)所示的相量
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将
时域模型中各电流符号 用相应的相量符
号 表示，并计算出电流相量 。
21S iiii,、、
21S IIII ????,、、
A 905 A 6010 21 ?? ?? ????? II
列出图 (b)相量模型中结点 1的 KCL方程，其相量形式
为
021 ???? III ???
由此可得
A2.362.666.3j5j5j 8, 665
905601021
?
?????
???????
??????? III
写出相应的电流瞬时值表达式
A)2.36 co s (22.6)( ??? tti ?
值得特别提出的是在正弦电流电路中流出任一结点的
全部电流有效值之代数和并不一定等于零，例如本题中的
I=6.2?I1+I2=10+5=15。
二, 基尔霍夫电压定律的相量形式
?
?
?
n
k
k tu
1
0)(
假设电路中全部电压都是 相同频率 ω的正弦电压,则
可以将它们用有效值相量表示如下：
]e2R e []eR e [)( jjm tktkk UUtu ?? ?? ??
基尔霍夫电压定律 (KVL)叙述为,对于任何集中参数
电路中的任一回路，在任何时刻，沿该回路全部支路电压
代数和等于零 。其数学表达式为
代入 KVL方程中得到
??
??
??
??
??
??
n
k
t
k
n
k
k
n
k
t
k
n
k
k
Utu
Utu
1
j
1
1
j
m
1
0]e2R e [)(
0]eR e [)(
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
n
k
k
n
k
k
U
U
1
1
m
)1710( 0
)1610(0
?
?
由于上式适用于任何时刻 t，其相量关系也必须成立，
即
这就是相量形式的 KVL定律, 它表示对于 具有相同频
率的正弦电流电路中的任一回路, 沿该回路全部支路电压
相量的代数和等于零 。 在列写相量形式 KVL方程时, 对于
参考方向与回路绕行方向相同的电压取, ＋, 号, 相反的
电压取, －, 号 。
值得特别注意的是沿任一回路全部支路电压振幅 (或有
效值 )的代数和并不一定等于零，即一般来说
??
??
??
n
k
k
n
k
k UU
11
m 0 0
例 10-7 电路如图 10-13(a)所示，试求电压源电压 uS(t)和相
应的电压相量，并画出相量图。已知
Vc o s212)(
V)90c o s (28)(
Vc o s26)(
3
2
1
ttu
ttu
ttu
?
?
?
?
??
??
?
图 10-13
解：根据图 (a)所示电路的时域模型，画出图 (b)所示的相量
模型，并计算出电压相量。
V012
V908
V1806
3
2
1
?
?
?
?
?
?
??
??
???
U
U
U
对于图 (b)相量模型中的回路，以顺时针为绕行方向，
列出的相量形式 KVL方程
0321S ????? UUUU ????
Vc o s212)(
V)90c o s (28)(
Vc o s26)(
3
2
1
ttu
ttu
ttu
?
?
?
?
??
??
?
写出相应的电压瞬时值表达式
V)1.53c o s (210)(S ??? ttu ?
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中的 US=10?U1+U2+U3=6+8+12=26。
由此可求得
V.15310j8612j86
0129081 806221S
?
???????
????????
????????? UUUU
jbaθrc ????
21
2
1
2
1
212121
θθ
r
r
c
c
θθrrcc
???
???
222111,θrcθrc ????
关于复数的几个公式
1,假设复数
则有
s i n c o s
a r c t a n 22
?? rbra
a
bθbac
??
???
2,假设复数
j,j 222111 bacbac ????
)(j)(
)(j)(
212121
212121
bbaacc
bbaacc
?????
?????
3,假设复数
则有
则有
要求掌握计算器进行复数两种形式的转换。
CASIO fx-100 3+j4=?
3 4 5 53.1PR? ?
举例
SHARP EL-5812 3+j4=?
3 4 5 53.1YX ? ?r? YX ?
CASIO fx-100 5?53.1=?
5 53.1 3 4RP? ? YX ?
YX ?
SHARP EL-5812 5??=?
5 53.1 3 4YX ? YX ?xy?
注意：
DEG
表示
度数
1j ??
j90s i nj90c o se 90j ??? ????
电路分析中采用符号
θθθ s i njc o se j ??
应用欧拉公式 可以得到
901e1j 90j ?? ??????
j)90s i n (j)90c o s (e 90j ??????? ????
?? 901e1j 90j ??????? ?
j
11 8 0s i nj1 8 0c o se 0j 1 8 ???? ????
1 8 01ej 1 0j 1 82 ?? ??????
21 IRIRU ??
交流电路, 与参数 R,L,C、
? 间的关系如何？
U? I?
3.5.1 R,L,C串联及复阻抗
U =IR + I?L + I 1/ ? C?
直流电路两电阻串联时
设,tωs i nIi 2?
RLC串联交流电路中
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
3.5复阻抗、复导纳及其等效变换
tωIi s i n2?设：
)90(s i n)
1
(2
)90(s i n)(2
s i n2
???
???
?
tω
Cω
I
tωLωI
tωIRu则
(1) 瞬时值表达式
根据 KVL可得：
CLR uuuu ???
???? tiCtiLiR d1dd
为同频率
正弦量
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
(2)相量法
? ?? ?CL
CL
XXRI
XIXIRIU
???
????
j
)j()(j
?
????
CLR UUUU ???? ???
??? 0II?设
（参考相量）
)j( CC XIU ?? ??
)(j LL XIU ?? ?
则
RIU R ?? ?
总电压与总电流
的相量关系式
R
jXL
-jXC
RU?
+
_
LU?
+
_
CU?
+
_
U?
+
_
I?
1)相量式
? ?? ?CL XX RIU ??? j??
? ?CL XX RZ ??? j令
则 ZIU ?? ?
Z 的模表示 u,i 的大小关系，辐角（阻抗角）
为 u,i 的相位差。
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
阻抗
复数形式的
欧姆定律
注意
根据
iu
i
u
I
UZ
I
U
I
UZ ???
?
? ?????
?
?
电路参数 与电路性质的关系：
22 )(
CL XXRI
UZ ????阻抗模：
? ?CL XX RZZ ????? j?
R
XXψψ CL
iu
???? a r c t a n?阻抗角：
R
CL ω ?/1a r c t a n ??
当 XL >XC 时, ? > 0, u 超前 i 呈 感性
当 XL < XC 时, ? < 0, u 滞后 i 呈 容性
当 XL = XC 时, ? = 0, u,i 同相 呈 电阻性
?由电路参数决定。
2) 相量图
LU?
I?
CL UU ?? ?
U?
RU?
( ? > 0 感性 )
XL > XC
参考相量
由电压三角形可得,
?c o sUU R ?
?s i nUU x ?
U?
RU?
CL UU ?? ?
?
XU??
电压
三角形
CU?
I?RU?
( ? < 0 容性 )
XL < XC
?
CU?
LU?
CL UU ?? ? U?
?
R
jXL
-jXC
RU?
+
_
LU?
+
_
CU?
+
_
U?
+
_
I?
由相量图可求得,
R
XX
XXRZ
CL
CL
?
?
???
a r c t a n
)( 22
?
ZI
XRI
XXRI
UUUU
CL
CLR
)(
)(
22
22
22
?
??
???
???
2) 相量图
由阻抗三角形：
?c o sZR ?
?s i nZX ?
U?
RU?
CL UU ?? ?
?
XU??
Z
R
CL XXX ??
?
电压
三角形
阻抗
三角形
3.5.2 R,L,C并联及复导纳
21
21 Z
U
Z
UIII ????? ????
I
ZZ
ZI ??
21
1
2 ??
分流公式：
21
21
ZZ
ZZZ
?
??
Z
UI ?? ?
对于阻抗模一般
21
111
ZZZ ??
注意：
21
111
ZZZ ??
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
+
U? Z
-
I?
I
ZZ
ZI ??
21
2
1 ??
通式, ?
?
k
11
ZZ
例 2:
解,
同理：
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
Ω2 6, 54, 4 7
1 0, 51 1, 8
1650
j68j43
3710535
21
21
???
??
?
?
?
???
????
?
?
?
?
ZZ
ZZ
Z
A5344A
535
0220
1
1 ????
???
Z
UI ??
A3722A
3701
0220
2
2 ????
???
Z
UI ??
j4 Ω31 ??Z
有两个阻抗
j6 Ω82 ??Z
它们并联接在
V02 2 0 ??U? 的电源上 ;
求, I?和
21 II ??,
并作相量图。
21 III ??
相量图
1I?
U?
I?
2I?
?53
?37
?26.5
21 III ??? ??注意：
A2 6, 54 9, 2
2 6, 54, 4 7
0220 ???
?
???
Z
UI ??
或
A26, 549, 2
A3722A53-44 21
???
?????? III ???
导纳：阻抗的倒数
当并联支路较多时，计算等效阻抗比较麻烦，因
此常应用导纳计算。
如,? ?
1111 j CL XX RZ ???
导纳,
1
j
1111
2
1
2
1
2
1
1
2
11
2
1
111
1111
1
)j(
)j(
)(
)j(
)j(
11
??
????
???
??
??
?
??
??
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
XXR
XXR
XXRZ
Y
CL
CL
CL
CL
CL
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
导纳,
1j
1111
2
1
2
11
1
1
1
)j(
)j(
1
??
????
????
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
Z
Y
CL
CL
2
2
1
1 Z
RG ? 称为该支路的电导
2
1
1
L1 Z
XB L? 称为该支路的感纳
2
1
1
C1 Z
XB C? 称为该支路的容纳
211211 )( CL BBGY ??? 称为该支路的导纳模
（ 单位：西门子 S）
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
导纳,
1
11
1 ar c t a n G
BB CL ??? 称为该支路电流与电压之间的相位差
2j
2222
2
2 )j(
1 ??????? eYBBG
Z
Y CL
同理：
21
111
ZZZ ??因为
21 YYY ??所以
通式, ? ?? ???
kkk BjGYY
1j
1111
2
1
2
11
1
1
1
)j(
)j(
1
??
????
????
eYBBG
Z
X
Z
X
Z
R
Z
Y
CL
CL
2+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
同阻抗串联
形式相同
用导纳计算并联交流电路时
UYUYUY
Z
U
Z
U
III
???
??
???
???
????
21
21
21
例 3 用导纳计算 例 2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
S530, 2S535 11
1
1 ??????? ZY
S370, 1S
3710
11
2
2 ?????? ZY
S2 6, 50, 2 2 4
S370, 1S530, 221
???
??????? YYY
例 3,用导纳计算 例 2
+
U? 1Z
-
I?
2Z
1I? 2I?
注意：导纳计算的方法适用于多支路并联的电路
A5344
A022053-0,211
???
????? UYI ??
同理,
A3722
A02 2 0370,122
??
????? UYI ??
A2 6, 54 9, 2
A02202 6, 50, 2 2 4
???
?????? UYI ??
下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？
21
111
ZZZ ??
两个阻抗并联时,在什么情况下,
成立。
Ω2?Z
I=8A?
Ω2?Z
I=8A?
(c)
4A
4 ?
4A
4 ?
A2
I?
A1
(d)
4A
4 ?
4A
4 ?
A2
I?
A1
2,如果某支路的阻抗 Ω6)j8( ??Z,则其导纳
)S61j81( ??Y
对不对?
+
U?
-
CL
3,图示电路中,已知
CL XX ?
则该电路呈感性,对不对?
1,图示电路中,已知
A1+
U?
-
R
A2 A3
CL
2 Ω??? RXX CL
电流表 A1的 读数为 3A,
试问 (1)A2和 A3的 读数为多少?
(2)并联等效阻抗 Z为多少?
3.6 基尔霍夫定律 的相量形式
t ωIt ωUiup s i n)(s i n mm ????? ?
t ω UIt ω IU 2s i ns i ns i nc o s 2mm ?? ??
储能元件上
的瞬时功率
耗能元件上
的瞬时功率
在每一瞬间,电源提供的功率一部
分被耗能元件消耗掉,一部分与储能
元件进行能量交换。
(1) 瞬时功率
)(s i n
s i n
m
m
???
?
t ωUu
t ωIi
设：
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
(2) 平均功率 P （有功功率）
?c o sUIP ?所以
?
??
c o s
) ] d(2c o sc o s[
1
d
1
0
0
UI
ttωUIUI
T
tp
T
P
T
T
?
???
?
?
?
单位, W
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
cos?称为功率
因数，用来衡
量对电源的利
用程度。
(3) 无功功率 Q
单位,var?s i nUIQ ?
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
根据电压三角形可得：
RIIUUIP R 2c o s ??? ?
电阻消耗
的电能
)()( 2 CLCLCL XXIIUUIUIUQ ??????
根据电压三角形可得：
U?
RU?
?
XU?
电感和电
容与电源
之间的能
量互换
(4) 视在功率 S
电路中总电压与总电流有效值的乘积。
2IZUIS ?? 单位,V·A
注,SN＝ UN IN 称为发电机、变压器 等供电设备
的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最
大有功功率。
22 QPS ?? QPS ??
? P,Q,S 都不是正弦量，不能用相量表示。
阻抗三角形,电压三角形,功率三角形
S
Q
P
22 )( CL XXRZ ???
?
?
s i n
c o s
ZX
ZR
?
?
2)(
CL
2
R UUUU ???
?
?
s i n
c os
UU
UU
X
R
?
?
22 QPS ??
?
?
s i n
co s
SQ
SP
?
?
RU?
U?
CL UU ?? ?
?
将电压三角形的有效值同除 I得到阻抗三角形
将电压三角形的有效值同乘 I得到功率三角形
R
CL XX ?
Z
(5) 功率因数 的 提高
1.功率因数,对电源利用程度的衡量 。?sco
U?
I?
?
Z
R
X?
jXRZ ??
+
U?
-
Z
I?
? 的 意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角
?s i nUIQ ?
1c o s ?? 时,电路中发生能量互换,出现无功当
功率 这样引起两个问题,
(1) 电源设备的容量不能充分利用
AkV1 0 0 0NNN ???? IUS
若用户,则电源可发出的有功功率为：1co ??s
若用户,则电源可发出的有功功率为：0,6co ??s
8 0 0 k v a rs i nNN ?? ?IUQ而需提供的无功功率为,
6 0 0 k Wc o sNN ?? ?IUP
所以 提高 可使发电设备的容量得以充分利用?cos
1 0 0 0 k Wco sNN ?? ?IUP
无需提供的无功功率。
（ 2）增加线路和发电机绕组的功率损耗
(费电 )
所以要求 提高电网的功率因数对国民经济的发展有重
要的意义。
设输电线和发电机绕组的电阻为,r
要求, (Ｐ、Ｕ 定值 )时?c osIUP ?
?c o sU
PI ?
rIP 2??
所以 提高 可减小线路和发电机绕组的损耗。?cos
(导线截面积 )I S
2,功率因数 cos ?低的原因
日常生活中多为 感性负载 ---如电动机、日光灯，
其等效电路及相量关系如下图。
?
I?
U?
RU?
LU?
相量图
+
U?
-
R
LX
I?
+
RU?-
+
-LU?
感性等效电路 A0, 1 8 2A
220
40 ???
U
PI
40W220V白炽灯 1c o s ??例
?c osIUP ?
A0, 3 6 4A
0, 52 2 0
40
co
?
?
??
?sU
PI
40W220V日光灯 0,5c os ??
供电局一般要求用户的
否则受处罚 。 0,85c os ??
?cos?L?L I
常用电路的功率因数
纯电阻电路 0)( ??
R-L-C串联电路
)9090( ?????? ?
纯 电感电路或
纯电容电路 )90( ????
电动机 空载
电动机 满载
日光灯
（ R-L串联电路）
1c o s ??
0,3~0,2c os ??
0c os ??
0co1 ?? ?s
0,9~0,7c os ??
0,6~0,5c os ??
(2) 提高功率因数的措施,
3.功率因数的 提高
1I?
CI?
I?
U??
1?
必须保证 原负载的工作状态不变。 即：
加至负载上的电压和负载的有功功率不变。
在感性负载两端并电容
? ?cos
I?cos
(1) 提高功率因数的原则：
CI?
C
+
U?
-
R
L
I?
1I?
结论 并联电容 C后：
(2) 原感性支路的工作状态不变,
1?cos
不变感性支路的 功率因数
不变感性支路的电流
1I
(3) 电路总的有功功率不变
1I?
I?
U??
1?
CI?
因为电路中电阻没有变，
所以消耗的功率也不变。
(1) 电路的总电流,电路总功率因数I ?cos
电路总视在功率 S
4,并联电容值的计算
相量图,
1I?
I?
U?
?
1?
CI?
又由相量图可得：
?? s i ns i n 11 III C ??
CU ωI C ?所以
11s in?I
?s inI
CI?
即, ?? s i ns i n
11 IICU ω ??
CI?
C
+
U?
-
R
L
I?
1I?
)t a n( t a n 12 ?? ??
Uω
PC
?
?
?
?
s i n
c o s
s i n
c o s 11 U
P
U
PCωU ??
思考题,
1.电感性负载采用串联电容的方法是否可提高功率
因数,为什么?
2.原负载所需的无功功率是否有变化,为什么?
3.电源提供的无功功率是否有变化,为什么?
例 1:
解,(1)
Fμ656F)t a n 1 8( t a n 5 3
220314
1010
2
3
????
?
??C所以
（ 2）如将 从 0.95提高到 1，试问还需并多
大的电容 C。
（ 1）如将功率因数提高到,需要
并多大的电容 C,求并 C前后的线路的电流。
一感性负载,其功率 P=10kW,，
接在电压 U=220V,?=50Hz的电源上 。
0,6c os ??
0,95c os ??
?cos
)t a n( t a n 12 ?? ??
Uω
PC
0,6c os ?? 即 ?? 53?
0,95co ??s 即 ?? 18?
求并 C前后的线路电流
并 C前,
A75,6A
0,6220
1010
co
3
1
1 ??
???
?sU
PI
Fμ2 1 3, 6)Ft a n 0( t a n 1 8
220314
1010
2
3
????
?
??C
可见, cos ??1时再继续提高，则所需电容值很大
（不经济），所以一般不必提高到 1。
A47, 8A
0,9522 0
1010
c os
3
?
?
???
?U
PI并 C后,
(2) 从 0.95提高到 1时所需增加的电容值
?cos
例 2:
解,(1)电源提供的电流为：
5 4, 5 4 AA
0, 52 2 0
106
co s
3
?
?
???
?U
PI
电源的额定电流为：
0,5co s N ??
(1) 该电源供出的电流是否超过其额定电流？
已知电源 UN=220V,?=50Hz,SN=10kV?A向
PN=6kW,UN=220V,的感性负载供电，
(2) 如并联电容将 提高到 0.9，电源是否还有
富裕的容量？
?cos
45,45AA
220
1010 3
N
N
N ?
???
U
SI
例 2:
NII ?所以该电源供出的电流超过其额定电流。
（ 2）如将 提高到 0.9后，电源提供的电流为：?cos
3 0, 3 AA
0, 9220
106
co s
3
?
?
???
?U
PI
NII ?所以
该电源还有富裕的容量。即还有能力再带负载；
所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。
例 1：
已知,
)V20314(s i n2220 ??? tu
F40 μ1 2 7 m H,,Ω30 ??? CLR
求,(1)电流的有效值 I与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的
有效值与瞬时值； (3) 作相量图； (4)有功功率 P、
无功功率 Q和视在功率 S。
在 RLC串联交流电路中，
解：,Ω4010127314
3 ?????? ?LωX L
,Ω80
1040314
11
6- ?????? CωX C
,Ω5080)( 4030)( 2222 ???????? CL XXRZ
(1)
4, 4 AA
50
220 ???
Z
UI
)A73314(s i n244 ??? ti,
????? - 5330 80-40a r c t ana r c t an R XX CL?
?????? 73,- 5 3 iiu ψψψ 所以因为 ?
(2)
方法 1：
)V73314(s i n2132 ??? tu R
13 2V30 V4,4 ???? IRU R
)V1 6 33 1 4(s i n21 7 6 ??? tu L
1 76 VV404, 4 ???? LL IXU
方法 1：
)V17314(s i n2352 ??? tu C
352V804, 4 ???? CC IXU
?53 U?
LU?
CU?
CL UU ?? ?
I?
RU?
通过计算可看出：
CLR UUUU ???
CLR UUUU ???? ???
而是
(3)相量图
(4)
5 8 0, 8 W
)W53(co s4, 42 2 0co s
?
?????? ?UIP
或 5 8 0, 8 W
2 ??? RIIUP R
(4)
- 7 7 4, 4 v a r
) v a r53(s i n4, 4220s i n
?
?????? ?UIQ
或 - 7 7 4, 4 v a r)()( 2 ????
CLCL XXIIU-UQ
呈容性
方法 2：复数运算
Ω5350j 4 0 )30()(j ????????? CL XXRZ
A734, 4A
53-50
20220 ??
?
???
Z
UI ??
V731 3 23 0 V734, 4 ?????? RIU R ??
V163176V7340j 4, 4j ?????? LL XIU ??
V17-3 5 2V7380j 4, 4j ???????? CC XIU ??
V202 2 0 ??U?
解：
例 2：
已知, F1 μ.0,2k Ω ?? CR
在 RC串联交流电路中，
解：
Ω3, 2 kk Ω100, 15 0 03, 1 42 11 6- ??????? CωX C
,k Ω3,77k Ω3,22 2222 ????? CXRZ
输入电压 5 0 0 H z1 V,
1 ?? fU
(1)求输出电压 U2,并讨论输入和输出电压之间
的大小和相位关系 (2)当将电容 C改为 时,
求 (1)中各项； (3)当将频率改为 4000Hz时,再求
(1)中各项。
Fμ20
R
C
1U?
+
_
+
_
I?
2U?
方法 1：
(1)
0, 2 7 m AmA
3, 7 7
11 ???
Z
UI
????? - 5 823, 2-a r c t a na r c t a n RX C?
0,54 V2V0,272 ???? IRU
大小和相位关系
5 4 %
1
2 ?
U
U 2U? 1U?
比 超前 ?58
方法 2：复数运算
V011 ??U?解：设
V580, 5 4V583, 7 7 2V013, 22 212 ?????????? jUZRU ??
方法 3：相量图
0,5 4VVc o s 581c o s12 ????? ?UU
12 UU ?? ?
I?
?58
????? - 5 823, 2-a r c t a na r c t a n RX C?
RΩ1610205 0 03, 1 42 11 6- ?????????? CωX C
,k Ω222 ??? CXRZ
???? 0a r c t a n RX C?
1Vc o s 112 ??? UUU ?
1U?
CU?
I?2U?
V011 ??U?
解：设
（ 3）
Ω004100, 14 0 0 03, 1 42 11 6- ???????? CωX C
,k Ω2, 0 422 ??? CXRZ ???? - 1 1, 3a r c t a n
R
X C?
0, 98 Vc o s12 ?? ?UU
?31,1
1U?
CU?
I?2U?
大小和相位关系
9 8 %
1
2 ?
U
U 2U? 1U?
比 超前 ?311.
从本例中可了解两个实际问题：
(1)串联电容 C可起到隔直通交的作用 (只要选 择
合适的 C，使 )RX
C ??(2)RC串联电路也是一种移相电路,改变 C,R
或 f 都可达到移相的目的 。
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
1.假设 R,L,C 已定，电路性质能否
确定？阻性？感性？容性？
?cos2.RLC串联电路的 是否一定小于 1？
UU R ?
UUU,U CL ??
3.RLC串联电路中是否会出现,
的情况？
4.在 RLC串联电路中，当 L>C时,u超前 i
,当 L<C时,u滞后 i,这样分析对吗？
正误判断
Z
UI ?？
？
Z
UI ?
Z
ui ?？
Z
UI ?? ?？
在 RLC串联电路中，
?
?
Z
UI ?? ?？
？
U
UU CL ?? a r c t a n?
？
R
XX CL ?? a r c t a n?
R
CL
U
UU ?? a rct a n?？?
?
？
CX??
?
LXR
UI
？
CLR UUUU ???
？CLR uuuu ???
？ )
CL XXRZ ??? j(
R
CωLω ?? a r c t a n?？
?
？
CL XXRZ ???
?? 0II?设
U
ZZ
ZU ??
21
2
2 ??
Z
UI ?? ?
分压公式：
21 ZZZ ??
对于阻抗模一般
21 ZZZ ??注意：
IZZ
IZIZUUU
?
?????
)( 21
2121
??
????
U
ZZ
ZU ??
21
1
1 ??
+
U? Z
-
I?
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
通式, ? ?? ???
kkk XRZZ j
解：
同理：
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
Ω3010j58, 6 6
4)j ( 92, 5 )( 6, 1 621
????
?????? ZZZ
A022
3010
30220 ??
??
????
Z
UI ??
V5 5,62 3 9, 8
22V5 5,61 0,922Vj 9 )( 6, 1 611
??
??????? IZU ??
V581 0 3, 622Vj 4 )( 2, 522 ??????? IZU ??
j9 Ω6,1 61 ??Z
例 1:有两个阻抗
j4 Ω2,52 ??Z
它们串联接在 V30220 ??U? 的电源 ;
求, I? 和
21 UU ??,
并作相量图。
或利用分压公式：
1U?
U?
I?
2U?
?58
?30
?55.6
21 UUU ??? ??注意：
相量图
21 UUU ??
+
U?
1U?
2U?
1Z
2Z
+
-
-
+
-
I?
V581 0 3, 6
V30220
j58, 6 6
j42, 5
21
2
2
???
??
?
?
?
?
? U
ZZ
Z
U ??
V5 5, 62 3 9,8
V30220
j58,6 6
j96,1 6
21
1
1
??
??
?
?
?
?
? U
ZZ
Z
U ??
下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？
两个阻抗串联时,在什么情况下,
21 ZZZ ?? 成立。
7 Ω?Z U=14V? 10 Ω?Z U=70V?
(a)
3?
4?
V1
V2
6V
8V
+
_
U?
6?
8?
30V
40V
(b)
V1
V2
+
_
U?
3.7 正弦交流电路的计算
IU ??、
若正弦量用相量 表示，电路参数用复数阻抗
（ )表示，则直流电路中
介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电
路中都能使用。
C ω CL ωLRR
1jj ????,、
相量形式的基尔霍夫定律
0 K C L ? ?I? 0 K V L ? ?U?
电阻电路
RIU ?? ? )(j LXIU ?? ?
纯电感电路
)j( CXIU ?? ??
纯电容电路 一般电路 ZIU ?? ?
相量（复数）形式的欧姆定律
有功功率 P
有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，
或各支路有功功率之和。
i
i
1
2
i RIP ??
无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之
和，或各支路无功功率之和。
)( ii
i
1
2
i CL XXIQ ?? ?
的相位差与为 iii IU ???无功功率 Q
i
1
ii s i n ?∑
i
IUQ ?
或
i
1
ii c os ???
i
IUP
或
一般正弦交流电路的解题步骤
1、根据原电路图画出相量模型图 (电路结构不变 )
Ee,Ii,Uu
X C,XL, RR CL
??? ???
???? jj
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图
3、用相量法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式
例 1：
已知电源电压和电路参数，
电路结构为串并联。求电流的瞬
时值表达式。
一般用相量式计算,
2121( 2 ) i,iII I ?? ???,
iIZZZ ??? ?21 ( 1 ),
分析题目：
已知,
Vs i n2220 tωu ?
Ω4 0 0,Ω2 0 0Ω1 0 0,Ω50 1 ???? CL XX,RR
求, i
21 ii,
+
U?
-
1R
CXj-
LXj
R
I?
1I? 2I?
解：用相量式计算
+
U?
-
50Ω
I?
1I? 2I?
100Ω
j200Ω j400Ω-
V0220 ??U?
Ωj 1 2 0 0 )100(j11 ???? LXRZ
Ω1 4 0jj2 ???? CXZ
Ω334402 4 0 )j32050(]j 4 0 0j 2 0 0100 j 4 0 0 )(j 2 0 0 )( 1 0 050[ ????????? ????Z
A330, 5A33440 0220 ??????? ZUI
??
A5 9, 6-0, 8 9
A330, 5
j 4 0 0j 2 0 01 0 0
j 4 0 0
21
2
1
??
???
??
?
?
?
? I??
ZZ
Z
I
)A33(s i n20, 5 ??? tωi所以
)A5 9, 6(s i n20, 8 91 ??? tωi
)A9 3, 8(s i n20, 52 ??? tωi
同理：
+
U?
-
50Ω
I?
1I? 2I?
100Ω
j200Ω j400Ω-
A9 3, 80, 5
A330, 5
j 4 0 0j 2 0 0100
j 2 0 0100
21
1
2
??
???
??
?
?
?
? I??
ZZ
Z
I
例 2,下图电路中已知,I1=10A,UAB =100V，
求：总电压表和总电流表 的读数。
解题方法有两种,(1) 用相量 (复数 )计算
(2) 利用相量图分析求解
分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数
求总电流和电压
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
求,A,V 的读数
已知,I1= 10A、
UAB =100V，
解法 1,用相量计算
所以 A读数为 10安
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
即,V01 0 0
AB ??U?
为参考相量，
ABU?
设：
则：
A45210A)]5j5/(1 0 0[2 ?????I?
Aj 1 0A90101 ???I?
A01021 ???? III ???
Vj 1 0 0)Vj 1 0(L ?? IU ??所以
V 读数为 141V?
求,A,V 的读数
已知,I1=10A、
UAB =100V，
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
A01021 ???? III ???因为
V452100
j 1 0 0 V100AB
??
???? UUU L ???
解法 2,利用相量图分析求解 画相量图如下：
ABU?
设 为参考相量,
由相量图可求得,I =10 A
ABU?
求,A,V 的读数
已知,I1=10A、
UAB =100V，
10A1 ?I 超前1I? ?90ABU?
A,210
55
100
222
?
?
?I
°45AB2 UI ?? 滞后
10
1I?
I?
45°
210
2I?
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
UL= I XL =100V
V =141V
由相量图可求得：
求,A,V 的读数
已知,I1=10A、
UAB =100V，
ABU?
设 为参考相量,
°90IU L ?? 超前
100 ABU?
10
1I?
I?
45°
210
2I?
100
LU?
45°
U?
A BC1
V
5Ω
1I?
2I?
j10Ω A
j5Ω
I?
由相量图可求得：
U?I?
解：
A10
2
200200
2
L
22
??
?
??
RXRZ
UI
Ω210
210
2 0 0 ???
LXR所以
A2545s i n1045s i n21 ?????? II
A2545c o s2 ??? II
R XL
XC
+
–
S
1I?
2I?
I?
U?
例 3,已知,XRU
L?? V,2 00
。CL X,XR,I,
开关闭合后 u,i 同相。
,A102 ?? II开关闭合前
求,
2I?
?45
1I?
(1)开关闭合前后 I2的值不变。
R XL
XC
+
–
S
1I?
2I?
I?
U?
解,(2)用相量计算
∵ 开关闭合后 u,i 同相，
21 III ???? ??
Ac o s 4 52 ?? II由实部相等可得
A45s i n21 ?? II由虚部相等可得
Ω220
25
2 00
1
???
I
UX
C
A2545s i n1045s i n21 ?????? II
V,02 0 0 ??U?设,
A4510 2 ???? IXR L ?，所以因为
Ω4522)4510/0220(/ 22 ???????? IUZ ??
A0 ?? II?所以
?????? 451090 0 1II所以
解,求各表读数
V220?U
A1 5, 6
2
22
1 ??I
A112 ?I
A11?I所以
例 4,图示电路中已知, V3 1 4s i n22 2 0 tu ?
A)90( 3 1 4s i n2112 ??? ti
试求, 各表读数及参数 R,L 和 C。
A)45( 3 1 4s i n221 ??? ti
(1)复数计算 +
u
-
A
R
L
A1 A
2
1i C 2i
i
V
A11A9011451 5, 621 ???????? III ???
(2) 相量图
1I?
2I? LU?
U?
?45
RU?
I?
A11A111 5, 6 22 ???I根据相量图可得：
求参数 R,L,C
Ω10??? LXR
方法 1：
H0, 0 3 1 8
2
??
fπ
XL L
i
+
u
-
A
R
L
A1 A
2
1i C 2i
V
Ωj 10104514, 1
4515, 6
0220
1
1 ????????
???
I
UZ
?
?
Ω20?CX所以
Fμ1 5 9
203 1 4
1
2
1 ?
?
??
CXfπ
C
方法 2：
Ω1 4, 1
1
1 ?? I
UZ
Ω1045c o s1 ??? ZR
Ω1045s i n1 ??? ZX L
45?
Z
LX
R
H0, 0 3 1 8
2
??
fπ
XL L
Ω20
2
2 ?? I
UZ
即, XC=20?
Fμ159=20×314 1=2 1=
CXfπ
C
Ω9020
9011
0220
2
2 ?????
???
I
UZ
?
?
例 5,图示电路中,已知,U=220 V,?=50Hz,分析下列情况,
(1) K打开时,P=3872W,I=22A，求,I1,UR,UL
(2) K闭合后发现 P不变，但总电流减小，试说明
Z2是什么性质的负载？并画出此时的相量图。
解, (1) K打开时, A22
1 ?? II
?c osUIP ?
0, 822220 3872c os ???? UIP?
V1760,8V220c o s ????? ?UU R所以
V1320, 6 V220s i n ????? ?UU L
+
U?
-
1R
LX
I?
1I? 2I?
2Z
S
+
Ω8
22
3 8 7 2
22 ???? I
PR
Ω10?? IUZ
Ω6??? 22L RZX
V1768V22 ???? IRU R所以
V1 326V22 ???? LL IXU
(2) 当合 K后 P不变 I 减小,
说明 Z2为纯电容负载
相量图如图示,
1I?
2I?
U?
方法 2,A22
1 ?? II
I?
+
U?
-
1R
LX
I?
1I? 2I?
2Z
S
+
