电工基础
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第十二章
磁路
第十二章 磁路
?12.1 磁场的基本物理量
?12.2 磁场的基本性质
?12.3 铁磁性材料的磁化曲线
?12.4 磁路及其基本定律
?12.5 恒定磁通路的计算
?12.6 交变磁通磁路的分析
?12.7 铁心线圈电路
?12.8 具有直流基磁化的铁心线圈
12 磁路
内容提要,前几章讨论了电路问题，但在工程上广泛
应用的电机、变压器、继电器等都是靠电与磁的相互作用
来工作的。因此，本章将介绍磁路的有关概念、定律和分
析方法。
本章将从磁场的基本规律出发，导出磁路的基
本定律，,据此，对磁路进行分
析计算。由于磁路中参数的变化规律是非线性的，
故非线性电路的分析方法原则上也适用于磁路。介
绍磁路中两类问题：一是已知磁通求磁势，二是已
知磁势求磁通的具体分析方法。在此基础上，还要
讨论交变的磁路、铁心线圈电路的特点和规律。
? ?0? ? ?? MRFWIHl /,?
本章重点：已知磁通求磁势及已知磁势求磁通。
12.1 磁场的基本物理量
在磁极或任何电流回路的周围以及被磁化后的物
体内外，都对磁针或运动电荷具有磁力作用，这种
有磁力作用的空间称为磁场。
下面简要地复习一下与磁场有关的物理量,
1.磁通
垂直穿过某一面积 S磁感应线的总条数叫做通过
这一面积的磁通。磁通用符号 表示。当面积一定
时若磁通愈多，表示磁场愈强。在国际单位制（ SI）
中，磁通的单位是伏秒，常称为韦伯 Wb,简称韦
?
2.磁感应强度
用来表示磁场中某一点磁场强弱和方向的物理量
叫做磁感应强度，用符号 表示。它与磁通的关系
可按图 12-1求出。
式中,为 S的面积元。
当磁场是均匀时，若 垂直于平面 S，则式
（ 12-1）可简化为
或
?B
?? ?? ? SdB
S? )112( ?
?Sd
?B
SB ??? )212( ?
SB
?? )312( ?
?
n
?
B
?
ds S
图 1 2 - 1 描 述 图 示
B?
根据式（ 12-3）,B也可以称为磁通密度。在国际单
位制中，磁感应强度的单位是韦 /米 （ ），即
特斯拉（ T）。
3.磁场强度
将不同的物质（通常叫做磁介质）放入磁场中，
对磁场的影响是不同的。不同的物质在外磁场的磁
化作用下将产生不同的附加磁场，此种附加磁场又
必然反过来影响外磁场。外磁场通常是由电流产生，
为了反映外磁场和电流之间的关系，引入一个辅助
矢量 叫做磁场强度。它也是用来表征磁场中各点的
磁力大小的方向的物理量。但是，它的大小仅与产
生该磁场的电流大小和载流导体的形状有关。在国
际单位制磁场强度的单位是安 /米（ A/m）。
2/ mWb
4.导磁系数
用来表示物质导磁能力大小的物理量叫做导磁系
数。它与磁场强度乘积等于磁感应强度，即
或写成
在国际单位制中 的单位为亨 /米（ H/m），可推导如
下：
H
B
HB
?
?
??
?
?
?
?
)512(
)412(
?
?
米亨米 秒欧米安 秒伏米安 米韦 ///
2
??????
由实验测得，在国际单位制中，真空中的导磁
系数 为一常数，即
通常采用实际导磁系数 与 的比值 来
表示各种物质的导磁能力，叫做相对导磁系数。显
然，它是没有单位的。例如硅钢片的
坡莫合金（铁镍合金）在弱磁场中的 可达 左右。
0?
mH /104 70 ??? ?? )612( ?
? 0? )/( 0??? ?r
8 0 0 0~6 0 0 0?r?
r? 510
12.2 磁场的基本性质
12.2.1 磁通的连续性原理
在物理学中已经指出，磁力线与电力线不同，磁
力线是没有起止的封闭曲线，这是磁力线的基本规
律，也是磁场的基本性质之一，通常叫做磁通连续
性原理。用数学形式可表示为
式中 是面积元的法线方向与磁感应强度矢量方
向的夹角。上式表示通过任意闭合曲面的磁感应强
度矢量的通量为零。
0c o s ??? ?? dSBSdB SS ??? )712( ?
?
12.2.2 全电流定律
全电流定律是磁场的又一基本定律。它表示磁
场强度与电流之间的关系。该定律可叙述如下：磁
场强度矢量沿任何闭合路径的线积分等于该路径所
包围的全部电流的代数和。用数学式子可表示为
式中符号 表示沿闭合路径 l的线积分。其中电
流的正负要看它的方向和所选路径的方向之间是否
符合右螺旋法则而定。当符合时，电流取正，否则
取负。
??
?
??
n
K
Kl IldH
1
??
?l
)812( ?
当沿路径上各点的 H均相等且其方向均沿路径的切
线方向（即 与 方向相同）时，则式（ 12-8）可
简化为
例 12-1 均匀密绕的环形螺管线圈，如图 12-2（ a）
所示，其匝数为,通入电流,方向入图（ b）
所示。试求距中心距离为 的 点的磁场强度 。
H dl
?
?
?
n
K
KIHl
1
)912( ?
W I
R P
H
( a )
( b )
?R1
RORP
H
? ld
?S l
解 在图 12-2（ b）中以 O点为圆心,R为半径,过
P点作周长为 l的圆，取积分路径方向如图示。因为
结构上的对称性，可知磁力线是一些同心圆。在半
径为 R的圆周上，各点的磁场强度相等，且方向在圆
周切线上。故根据全电流定律可得
因为匝数为 W，电流重复穿入该回路 W次，所以
因此
即
RHHlldHl ?2???? ??
R
WI
H
WIRH
WII
n
K
K
?
?
2
2
1
?
?
??
?
)1012( ?
上式表明，螺管线圈内任一点的磁场强度与产生
此磁场的电流和线圈匝数的乘积成正比，而与该点
距环中心 O距离 R成反比。当环的内、外径相近
（或 ）时，则环内磁场可以认为是均匀的，
其磁场强度可用环内、外径的平均值来计算，即
其中
式（ 12-10）中电流与线圈匝数的乘积 WI叫做磁
通势，简称磁势，用 F表示，即
磁势的单位为安匝或安（ AW）。
Sl ??
)(
2
1
2
21 RRR
R
WI
H
v
v
??
?
?
??
)1112( ?
WIF ? )1212( ?
12.3 铁磁性材料的磁化曲线
本章第一节已指出，物质的磁性可用导磁系数来
表示，或者用式（ 12-5）以通过物质中磁感应强度
与磁场强度的关系来描述。真空或空气的导磁能力
很低，其导磁系数为,是一个不随磁场强度的大小
而变化的常数（ ）。所以，真空或空气
中的磁感应强度是随磁场强度成比例地变化的，如
图 12-3中的直线①所示。
铁、镍、钴及其合金，导磁能力很高，常称为铁
磁性材料。它是构成磁路的主要材料。铁磁性材料
的相对导磁系数很大，可达数百甚至数万而且还具
有磁饱和及磁滞的特点。
mH /104 70 ??? ??
B?
?
0 1a
2a
a
1
H
2H m
H HB
0??H
①
③
②
图 1 2 - 3 铁 磁 材 料 的 原 始 磁 化 曲 线 导 磁 率 和 空 气 磁 化 曲 线
铁磁性材料的 B-H曲线，通常具有如图 12-3中曲
线②所示的形状。铁磁性材料已经进行消磁（或称
去磁），即从 B=0,H=0的状态开始磁化，在外磁
场较小的情况下（即图中 的区域），材料中
的磁感应强度随磁场强度的增大而增大，其变化并
不大。但随着外磁场的继续增大，材料中的磁感应
强度则急剧增大,如图中 段所示,在这一范围内,
铁磁材料中的磁感应强度较真空或空气中大得多,即
表现出较高的导磁能力或较小的磁阻。所以，通常
就要求材料工作在 点附近，若外磁场继续增大
（ ），铁磁材料的磁感应强度的增长率反而变
小，如图中 段所示。当 以后，磁感应强度
1HH ?
21aa
2a
2HH ?
aa2 mHH ?
的增长率就几乎与空气一样不变了，这种现象称为
磁饱和。在磁饱和区域，导磁系数下降，磁阻增大。
图中曲线②表示铁磁材料从原始状态开始进行磁化
的整个过程。这种磁化曲线称为原始（或起始） 磁
化曲线。铁磁材料的导磁系数随外磁场变化的曲线，
见图 12-3中曲线③。铁磁材料磁化在起始阶段及进
入磁饱和后，导磁系数均不大；但在 H=H2附近，导
磁系数达最大值，且远大于空气及其他材料，为
的数百或数万倍。可见。在磁化过程中，铁磁材料
的导磁系数是随磁场强度而变的，不是常数。
当外磁场增大到使铁磁材料达饱和状态的 后，
重又逐步减小，那么材料中的磁感应强度也会随之
减小。
0?
mH
但 B值并不按原始磁化曲线的规律下降，而是沿高
于原始磁化曲线的 ab曲线减小，如图 12-4所示。可
见，在下降过程中，对应同一磁场强度的 B值，均
比原始磁化过程的 B值要大。
当 H单调减小到零时,B等于,而不为零。
称为剩余磁感应强度，简称剩磁，相对于曲线上的
b点。
在相反方向下增加外磁场，则 B将由 Br逐渐减小。
这一过程称为去磁过程。使磁感应强度减至零时所
需的外磁场强度 称为矫顽磁力，相应于曲线上的
c点。各种铁磁材料均有一定的剩磁及矫顽磁力。
rB rB
cH
入图 12-4所示，将外磁场变至 后再减至零，
材料中磁性将沿 c-d-e曲线变化。在外磁场为零时，
也有剩磁 存在。这时再使外磁场整向增大，由
于磁性应从 e点而不是从 O点开始，磁性是沿
曲线变化的。由上述可见，铁磁材料在外磁场作正
负变化的反复磁化过程中，磁感应强度的变化总是
落后于磁场强度的变化，这种现象称为磁滞现象。
从图 12-4看出,与 并不重合。但是，如果反复
磁化若干循环后，就可得到一个近似对称于原点的
闭合曲线，入图 12-5所示，称为磁滞回线。
铁磁材料在反复磁化过程中有功率消耗，称为
磁滞损耗。在一个磁化循环过程中消耗的功率与其
回线面积成比例。
mH?
rB?
'afe ??
'a a
BmB a'a
rBb CH
mHfoc CH? m
H?
d e mB? rB? H
图 1 2 - 4 磁 化 过 程 曲 线
BmB
mm
H?
mB?
H
图 1 2 - 5 磁 滞 回 线
o
铁磁材料按其磁滞回线形状不同，可分成两类：
一类叫软磁材料，如纯铁、铸铁、铸钢、电工钢、
铁淦氧磁体及坡莫合金等；这类材料的剩磁及矫顽
磁力均较小，磁滞回线狭窄，如图 12-6所示，所以
磁滞损耗较小。但导磁系数却很高，适于做成各种
电机、电器的铁心。另一类叫硬磁材料，如碳钢、
钨钢、钴钢及镍合金等，它们的剩磁或矫顽磁力较
大，磁滞回线较宽，如图 12-7所示。这类材料被磁
化后，其剩磁不易消失，适宜做永久磁铁 。
B
H
图 1 2 - 6 软 磁 材 料 磁 滞 回 线
o
B
H
图 1 2 - 7 硬 磁 材 料 磁 滞 回 线
o
B
H
图 1 2 - 8 磁 滞 回 线 的 顶 点 构 成 基 本 磁 化 曲 线
o
3mH2mH1mH
3mB 2mB
1mB
在非饱和状态下，用
不同幅值的交变磁场强度，
对铁磁材料进行反复磁化，
将得到一系列磁滞回线，如
图 12-8所示。各磁滞回线顶
点连线 oa，称为基本磁化曲
线，简称磁化曲线。用软磁
材料做成的磁路，由于磁滞
回线狭窄，近似与基本磁化
曲线重合，所以进行磁路计
算时就可以基本磁化曲线为
依据。有时基本磁化曲线也
用表格形式给出，称为磁化
数据表。在计算时可参阅本
章的附表与附图。
12.4 磁路及其基本定律
12.4.1 磁路
在设计电机、电器时，总想用教小的电流（磁
势），产生较强的磁场（磁通），以便得到所要求
的较大的感应电动势或电磁力，这就需要利用铁磁
材料造成一个导磁的路径。磁通所通过的由铁磁材
料所构成的（包括气隙在内）路径常称为磁路。磁
路的形式很多，如图 12-9（ a）的磁路仅包括一个回
路。当不考虑漏磁时，沿整个磁路的磁通均相同，
这类磁路称为无分支磁路。而图 12-9（ b）所示的磁
路则称为分支磁路。由于铁磁材料的导磁系数比空
气大许多倍，因此磁通要沿铁心而闭合，这部分磁
通常叫做主磁通，用 表示，另外经过空气而闭合
的那部分磁通叫做漏磁通，用 表示。在磁路计算
中，本章只考虑主磁通，对漏磁通的处理将在有关
专业课程中介绍。
此外，一般还认为同一段磁路中，磁场是均匀
分布的。所以上述关于磁感应强度（或磁场强度）
的面积分（或线积分）关系，可用简单的乘积代替，
而且就按几何中心线来计算磁路的长度。
与电路相似，也有三个基本定律作为磁路分析
计算的基础，称为磁路的基尔霍夫定律和欧姆定律。
它们可以从上述磁场的基本性质导出。
?
S?
12.4.2 磁路的基本定律
在图 12-10中设在磁路分支点作一闭合面 S，如
图所示，则穿过闭合面的磁通应符合磁通连续性原
理，即式（ 12-7）。现因,所以
及,故有
上式表明，在磁路分支处，磁通应是连续的。一般
说，汇集一处的各段磁路（也可称为支路）中的磁
通代数和应等于零。或写成
其形式与电路的 KCI相似，故常称式（ 12-13）为磁
路的基尔霍夫第一定律。
0???
B d SSdB ?? ?? 111 SB??
222 SB?? 333 SB??
0132 ??? ???
)1312( ?
据上式列写方程时，常设磁通方程穿出闭合面
者为正，穿入者为负。应注意，由于,而且
各段磁路的截面通常是不等的，故并无
的关系。
在磁路的任一路径中，磁场强度与磁势的关系
符合全电流定律。例如在图 12-10的 abc-da闭合路
径中，设 ab,bc,cd,da四段路径各段平均长度分别
为,由于认为各段磁路中磁场是均匀的，
且磁场强度方向与各段路径重合，所以
故由式（ 12-8）可得
SB /??
? ? 0B
4321,,,llll
H d lldH ?? ??
WIlHlHlHlH ???? 44332211
一般情况下，闭合磁路中磁场强度与磁势的关系，
可写成
上式中各项磁路长度与其磁场强度的乘积称为该段
磁路的磁压（或称磁压降），常用 表示。磁压方
向与磁场方向相同。式（ 12-4）表示：闭合磁路中
各段磁压的代数和等于各磁势的代数和。这就是磁
路的基尔霍夫第二定律。磁势方向由电流及线圈绕
向按右螺旋关系确定。磁压、磁势方向与闭合路径
绕向一致者取正，反之取负。
设磁路由导磁系数为 的材料做成，面积为 S，
长度为 l。磁路中磁通为,磁感应强度为 B，磁场
强度为 H，如图 12-11所示，则因
?? ? WIHl )1412( ?
MU
?
?
l
? S
图 12-11 某段磁路示图
S
l
R
R
U
S
l
Hl
l
S
l
B
Hl
S
B
B
H
M
M
M
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??,
所以
或
其中
)1512( ?
)1612( ?
称为该段磁路的磁阻。而式（ 12-15）就称为磁路的欧
姆定律。磁阻的单位 1/亨利（ 1/H），简写成 1/亨。磁阻的倒
数称为磁导，用 表示，即
磁导的单位为亨（ H）。
若磁路中各段磁压均用磁通与磁阻的乘积表示，
则磁路的基尔霍夫第二定律还可写成
由式（ 12-16）可见，磁阻的大小决定于磁路的
尺寸及材料的导磁系数。磁路中若有长为, 面积
为 的空气隙，则因空气的导磁系数 为一常数，
故按式（ 12-6）计算得气隙的磁阻。
称为该段磁路的磁阻。而式（ ）就称为磁路的欧
姆定律。磁阻的单位 亨利（ ），简写成 亨。磁阻的倒
数称为磁导，用
磁导的单位为亨（ ）。
若磁路中各段磁压均用磁通与磁阻的乘积表示，
则磁路的基尔霍夫第二定律还可写成
）可见，磁阻的大小决定于磁路的
尺寸及材料的导磁系数。磁路中若有长为,
为
）计算得气隙的磁阻。
MR
MG
lSRG MM //1 ??? )1712( ?
? ?? WIR M? )1812( ?
也是常数。即气隙是线性磁阻的元件。铁磁体的导
磁系数教大，但不是常数，故由该材料构成的磁路
是非线性磁阻元件。
在非线性电阻电路中，元件特性是用伏安特性
曲线表示的。在磁路中，也可用磁通 — 磁压曲线
（即 曲线）来表示磁阻元件的特性。因为不
同材料的 B-H曲线一般已给定，故只需将对应的 B，
H值，分别乘以磁路的面积及长度，即可得到 曲
线。如图 12-12曲线①所示。用图解分析磁路的问
题时，就需要利用给定材料的 B-H曲线及磁路尺寸，
做出 曲线。
00
0
0 S
lR
M ??
)1912( ?
MU??
MU??
上面已指出，气隙是一线性磁阻元件，故其 关系是一
条经过原点 的直线，如图 12-12的②所示。
?
MU
图 12-12 曲 线
MU??
②
①
MU?? l
W S
图 1 2 - 1 3 例 1 2 - 2 图
例 12-2 图 12-13所示为一铸铁制成的简单磁路，
已知截面各 S为,磁路的平均长度 l（中心线
长）为 0.5m，若已知磁通为,线圈的匝
数为 4500匝，求线圈应通入多大电流。
解 磁路中的磁感应强度为
由附表 12-2铸铁的磁化曲线数据表可查出，
所对应的 。
再由磁路的基尔霍夫第二定律可得
24101 m??
Wb41075.0 ??
Tm WbSB 75.0101 1075.0 24
4
?? ???? ?
?
TB 75.0?
mAH /4 6 0 0?
AWHlI 51.04 5 0 0 5.04 6 0 0 ????
磁路与电路在许多地方是相似的。为了加深对
磁路的理解和认识，进一步熟悉磁路的基本物理量
及其单位，掌握磁路的基本定律，现将磁路与电路
相互对比，列于表 12-1中。
事物之间除有共性外，还有其特性。磁路与电
路之间有相似之处外，也还有一些质的不同。
（ 1）一般来说，电流是表示带电质点的运动，
因而通过电阻在消耗能量，使电阻发热。而磁通却
不是质点的运动，只是描述磁场的一个物理量，它
通过磁阻时是不消耗功率的，因而不存在磁路的热
效应定律。
（ 2）漏电流小，漏磁通大。电路中导电材料与
绝缘材料的导电系数相差很大，因此在电路分析中，
只考虑导体中的电流，而绝缘材料中的漏电流通常
不考虑。但在磁路中，铁磁物质与空气相比，其导
磁系数相差只有几百到几万倍，也就是说磁路中没
有绝缘材料，漏磁通常需要考虑。对电路来说，存
在短路与开路的概念，而对磁路来说，有磁势就有
磁通，不可能做到 时而 。0?F 0??
12.5 恒定磁通路的计算
在电机、电器的设计计算中，常常会遇到磁路
计算。在电机设计中，一般是从已知电动势 E 出
发，根据电机的转速和结构求出磁通 Φ，然后按
照磁路的具体情况计算出激磁绕组的磁势 F。在
电磁铁和继电器中，已知量则是电磁吸力。这量
可根据吸力公式求出磁通后，再由磁通计算出线
圈的磁势。这一类属于已知磁通求磁势的问题。
另一类则是由已知磁势求磁通的问题。前一类问
题是本节的讨论的重点，只要已知磁通求磁势的
计算搞清了，另一类问题也就会迎刃而解了。为
了方便起见，本节首先讨论无分支磁路的计算，
然后讨论有分支磁路的计算。下面就已知磁通求
磁势这类问题的解题步骤分述如下：
(1) 将磁路文段，分段的原则是材料和截面积
都相同的磁路分为一段。
(2) 按照磁路的尺寸算出各段的截面和磁路的平
均长度。
计算铁心截面积时，当遇到铁心是由涂漆的电
工钢片迭成的，则需要扣除漆的厚度，因而磁通
所通过的实际铁心面积应按照有效面积来计算。
通常，令
视在面积
有效面积?k
称为填充系数，而视在面积是指按铁心几何尺
寸求得的面积,。显然值总是小于
1的数，其大小随钢片和绝缘漆的厚度而定，一般
对于厚度为 的钢片 取 0.92左右,厚度为
的钢片,取 0.86左右。
当磁路中有气隙存在时，磁通经过气隙，将向
外扩张形成边缘效应，如图 12-14所示，因而增大了
气隙的有效面积。
在有边缘效应存在的情况下，当磁通一定时，
对应的磁感应强度 将减小。当气隙长度很小时，
气隙的有效面积可按近似公式计算如下：
视在面积有效面积 ?? k
m3105.0 ?? k
m31035.0 ?? k
B
如图 所示，对于截面为矩形的铁心，
气息的有效面积为
如图 所示，对于截面为圆形的铁心，
气隙的有效面积为 ②
① )(1512 a?
0
00
)(
))((
lbaab
lblaS a
???
??? （ 12-20）
)(1512 b?
（ 12-20）
020 2)( rlrlrS a ??? ???? （ 12-21）
边
缘
效
应
图 12-14 气 隙 的 边 缘 效 应
ba
0l
( a )
图 1 2 - 1 5 计 算 气 隙 有 效 面 积 示 图
0l
( b )
r
(3)由已知磁通算出各段的磁感应强度
(4)按照 求出各段的磁场强度 。对于铁磁性材
料可查磁化曲线或数据表，对于气隙可按下式计
算
式中的 单位为, 的单位为,
。
)(
)()(
2mS
WbTB ??
B H
0H mA/ 0B
2/ mWb
mH /104 70 ??? ??
0
0
0 ?
BH ?
（ 12-22）
mABH 700 104 ??? ? （ 12-23）
(5)计算各段磁路的磁压 （等于 ） 。
(6)按照磁路的基尔霍夫第二定律求出所需要的磁
势
上述步骤可归纳为如下计算程序，即。
例 12-3 图 12-16所示的磁路中，几何尺寸已标明
于图上，长度单位为 m。铁心由电工钢片（ D21）
迭成，激磁绕组匝数为 120匝，求在该磁路中在得
到 时所需要的激磁电流。
解（ 1）进行分段并求出各段的磁路的尺寸：
MU Hl
??? HlWIF （ 12-24）
? ?????? WIHlHlHB
Wb41015 ????
取,则
当考虑气隙的边缘效应时，
（ 2）求每段的磁感应强度：
ml 09.003.006.01 ???
ml 2.005.015.02 ???
ml 0 0 2.00 ?
9.0?k
241 105.229.005.005.0 mS ??????
242 105.139.003.005.0 mS ??????
240 106.16002.0)05.003.0(05.003.0 mS ????????
TSB 667.0
105.22
1015
4
4
1
1 ??
????
?
?
（ 3）求每段的磁场强度：
由附表（ 12-3）查出
由式（ 12-23）可得
TSB 11.1105.13 1015 4
4
2
2 ??
????
?
?
TSB 904.0106.16 1015 4
4
0
0 ??
????
?
?
mAH 2 4 61 ?
mAH 6 9 12 ?
mABH 57
0
0
0 102.7104
904.0 ??
??? ???
（ 4）求每段的磁压（上下及左右两段分别计算
在一起）
（ 5）求总磁势：
（ 6）求磁激电流：
AU M 3.4409.022 4 61 ????
AU M 4.2 7 62.026 9 12 ????
AU M 1440002.07200000 ???
AW
UUUWIF MMM
1761
14402763.44
021
?
???
????
AWFI 7.141 2 01 7 6 1 ???
在实际工作中，有时遇到这样的问题，例如一
个电磁铁的激磁绕组（即铁心上的线圈）被烧坏了，
需要重配一下，该怎么办呢？我们从电磁铁的铭牌
或说明书上可找出该电磁铁的吸力，而当磁感应强
度 B 沿电磁铁磁极表面是均匀分布时（当气隙较小，
一般可这样近似认为），则电磁吸力 F 和 B 的关系
可表示如下：
式中 B 为气隙的磁感应强度，单位为特拉斯； S 为
磁通所穿过的铁心截面积，单位为平方米；电磁吸
力 F 的单位为牛顿，由于
NSBF 07
2
0
108 ??
?
?
（ 12-25）
BS??
0, 0 0 2
0, 1 5 0, 0 5
0, 0 5
0
.
0
5
0
.
0
3
0
.
0
3
0
.
0
6
2
l
1l
图 1 2 - 1 6 例 1 2 - 3 图
所以式（ 12-25）又可写成
式中 Φ 的单位为韦伯,S 的单位为平方米，而 F的
单位为牛顿。
式（ 12-25）与式（ 12-26）可推导如下。在图
12-2的环形线圈中，当电流 由 0增加而建立磁场时，
线圈中将产生电动势 。所以以电源在时间内
对线圈所做的功为
而线圈所储存的磁场能量为
NSF
0
7
2 1
108 ??
??
?
（ 12-26）
dt
diLe
L ??
i
L i d ii dteu i d tdA L ???? )(
2
00 2
1 LIL i d idAW tt
L ??? ??
又因
则
式中 为环形铁心的体积。而磁能密度
在图 12-9（ a）中，当衔铁（即被吸的铁块 ）受
吸引力而移动 时，吸力所做的机械功为,此
时气隙体积将减小
l
SW
l
WIS
I
WHS
I
WBS
I
W
I
W
IL
2??
?? ????
???
B H VlSlWIlWIIl SWW L 21))((21)(21 2
2
???? ??
lSV ?
BHVWW LL 210 ??
22SL
dx Fdx
dxSBdVBdVHBW L 0
0
2
0
0
0
2
0
000 222
1
?? ????
根据能量守恒定律
所以
式中的 单位为, 的单位为 。
在得知吸力 F后，可根据磁路尺寸，按照（ 12-
26）求出磁通。从磁通出发按照前述步骤，即可求
出相应的磁势大小，也就确定了磁激绕组的电流与
匝数。
dxSBF dx 0
0
2
0
2 ??
SNBSBF 7
2
0
0
0
2
0
1082 ???? ??
0B 2/米韦 0S 2米
例 12-4 电磁铁的吸力为 176.5牛顿，其磁路尺寸
如图 12-17所示，单位均 为 m。若铁心与衔
铁截面积均为，铁芯材料为工程纯铁，衔铁材料为
铸钢。略去漏磁与铁心边缘效应，试求线圈的磁势
应当是多少？
解 （ 1）根据吸力大小，按式（ 12-26）求磁通。
但因有两个气隙存在，每个气息中的吸力为总吸力
的一半，所以气隙中的磁通为
24 m104 ??
WbSπFΦ 407 103
2
1108 ?? ???????
（ 2）求各段磁路的尺寸：
铁心的平均长度
其截面积 ；衔铁的平均长度
其截面积为 ；气隙长度
气隙截面积 。
（ 3）求各段的磁感应强度：
（ 4）求各段的磁场强度
由 的值查附图得 ；由 的值附表 12-1
得 ;
3 0 m.0)02.0.0(2)0, 0 108.0(l 1 ??????
241 m104S ???
14m.002.002.01.0l 2 ????
242 m104S ??? 0 0 0 5 m.0l 0 ?
2-4210 m104SSSS ?????
T.BBB 75043021 ????
1B
mA220H 1 ?
2B
mAH 50 106 ??
（ 5）求总磁势,
由以上两例可以看出，气隙长度虽短，但其磁
压所占比例却很大，这是由于气隙的磁导比铁磁材
料的磁导要小得多的缘故。
对于这一类由磁势求磁通的反面问题，若直接
计算磁通，一般说是不可能的。
AW.
.
...
lHlHlHHlF
5754
58866600
140632300220000506000002
2 221100
?
???
???????
???? ?
因为磁路是非线性的，不可能把磁势按磁路的
各段分开，从而求出该段的磁场强度，再由磁化曲
线求出相应的磁感应强度。所以在这一类计算中，
一般都用逐步逼近的间接方法，即用试探法或图解
法来计算。这里对试探法作一介绍，而图解法留待
有关课程去解决。
这里介绍的试探法，与非线性直流电路中所讲
的方法类似，即先假定一个磁通，然后按求解正面
问题的办法和步骤，求出需要的磁势。如果求出的
此时正好等于给定的磁势时（实际上允许有 1%一
下的误差），那么所假定的磁通就是我们所求的磁
通。一般来说，往往需要经过几次假定才能得出结
果。由此可见，试探法的实质就是将磁路计算的反
面问题转化为正面问题来计算。
而困难问题仍然是选取第一个试探的磁通值。
当磁路中存在气隙时，可以这样来假定第一磁
通,即可以认为所给定的全部磁势都将在气隙部
分，无因为气隙磁组实际上比铁磁材料的磁阻大得
多，所以第一次试探计算时可略去铁心磁阻来考虑，
而气隙磁通可用下式计算
式中 为气隙长度,单位为米；为气隙截面积，单
位为, 单位为韦伯。当然，因为铁心实际上存
在磁阻，所以选取 时应比 略小。
当磁路中没有气隙时，可认为磁路中各段的磁
阻近似为一常值
1Φ
0
00
000000 l
μW I SSμHSBΦ ??? （ 12-27）
0l 0
S
2米
0?
1? 0?
从而可按线性问题来处理。选取 Φ可参照下式
μS
l
IW
R
IW
Φ
M
??1
0 1?? 2? 3??
F
3
F
2
FF
1
图 1 2 - 1 8 曲 线
F??
其中 与 S可按磁路中某段的材料与截面尺寸选取。
为了减少从此时求出磁通的运算次数，可采用
作图方法。即将每次计算的相应结果（,
等），在坐标纸上用三至五点描出一条曲线，
如图 12-18所示。根据这一曲线便可由给定的磁势 F
找出相应的磁通 Φ。
例 12-5 在例 12-3的具体磁路中，当已知磁势为
1761AW时，试求磁通为多少？
解 因为磁路的材料及尺寸未变，即
?
11 F?? 22 F??
33 F??
241 10522 m.S ???
m.l 1801 ?
242 10513 m.S ???
m.l 402 ?
240 10616 m.S ???
m.l 0 0 200 ?
Wb.π
.
.
l
μSIW
SBΦ
- 37
2
0
00
000
10841104
20
106161 7 6 1
????
??
?
?
??
?
?
，
，
，
为了简便起见，其计算步骤可列表如 12-2。
由上表可知，当 Φ=1.5× 10-3Wb时，所得的磁
势 与给定的值比较，其误差为
所以可以认为结果实合适的。
Φ/Wb B1T1 B2 B0 H/(A/m2) H2 H0 H1l1 H2l2 H0l0 Σ Hl
与
原
磁
势
比
较
1.6× 10-3 0.712 1.185 0.964 275 838 771000 49.5 335 1542 1926.5 大了
1.4× 10-3 0.623 1.038 0.843 224 586 674000 40.3 234 1348 1622.3 小了
1.5× 10-3 0.667 1.112 0.905 246 695 722000 43.3 278 1444 1766.5 相近
? ?? AWHlF 3.1 7 6 6
%1%3.01761 3.17661761 ???
关于有分支磁路的计算问题，按照此路的具体情况，
可分为对称与不对称两种。当有分支磁路成对称时，
可将这种对称分支磁路分割开来，作为无分支磁路
来计算。例如图 12-29的磁路，就可以摆中间的贴
心剖成两半，并取其中的一半来计算。应当注意，
剖开后中间心柱的面积缩小一半，磁通也减为原来
的一半，而磁感应强度和磁势却保持不变，且磁路
长度将比原来略有减小。对称分支磁路在电机与壳
式变压器中常见到。这种磁路的计算也有两类问题，
一类是已知磁通求磁势，另一类是已知磁势求磁通。
其计算步骤与方法与无分支磁路相似。
至于非对称的有分支磁路的计算，计算步骤一
般是较为复杂的。下面举例加以说明。
例 12-6 图 12-9所示的有分支磁路中，铁芯材料
为铸钢，具体尺寸如图所示，单位为米。当已知左
边铁芯中的磁通 时，求产生此磁
通所需要的磁势。
解 这是一个有已知磁通求磁势的正面问题。由
于两个分支磁路是对称的，所以可将中间的心柱剖
开，取其一半来计算。
应当注意，剖开后磁路的截面积变为处处相同，
其值为
Wb41 109.9 ????
2410903.0 m0, 0 3S ?????
而磁路长度也与原来不同，此时磁路平均长度在中
间部分应取原中间心柱一半的中心线，如图 12-19
中所示。
故
则磁感应强度
查附表 12-1可得对应的磁场强度为
所以磁势
ml 36.04)03.006.0( ????
T..
S
ΦB 11
109
1099
4
4
1
?
?
?
???
mAH 1090?
AWlHF 3 9 2369.10 ?????
图 1 2 - 1 9 例 1 2 - 6 图
1S
a
1S 3?
1
l3?
2
S
21
l
b
1
l
1
?
0, 0 3
0, 0 3
0, 0 6 0, 0 6 0, 0 6
0
.
0
3
0
.
0
3
0
.
0
6
0
.
0
3
例 12-7 在上例中，若将右边铁心锯开一个缺口，
假设缺口的长度为,如不考虑边缘效应，
试求铁心左边产生同样磁通 时所需要的磁势。
解 由于在铁心右边出现了一个气隙，破坏了磁
路的对称性，因此不能用上例的方法求解。现设有
缺口的磁路中的量均改为用下标 3表示。
由于磁路的基尔霍夫第二定律可知
因此，为了求得磁势，必须求出 1,2两之路的磁场
强度 与 。由上例可知，对应于 的
又左边铁心的平均长度为
ml 0 0 1.00 ?
1Φ
2211 lHlHlWF ???
1H 2H TB 1.11 ?
mAH 10901 ?
则
要求出 必须先求出,然后计算出,查
出 。要求出,可根据磁路的基尔霍夫第一定律
得
所以欲求,则须先算出 。因第三支路磁压为
故可用试探法求,当略去 长度时,。当不
考虑边缘效应时，,而
ml 3.03.02015.0406.031 ???????
AlH 3 2 7309.1011 ???
22lH 2Φ 2B
2H 2Φ
312 ΦΦΦ ??
2Φ 3Φ
AlHlHlHU M ab 327110033 ????
3Φ 0l ml 3.03 ?
24103 109 mSSS ?????
Wb.,μl μI W SΦ 40
4
0
00
0 1069300 10
10932 7 ?? ???????
则 的求得可按表 12-3进行。
故可确定,所以
则
3Φ
Φ3/Wb B3/T H3/(A/m) H0 H3l3(A) H0l0 Hl 与原磁势比较
10-4 0.330 264 264000 79.2 264 343 大了
10-4 0.322 257 258000 77 258 335 大了
10-4 0.312 248 249000 74.5 249 332.5 合适
Wb43 108.2 ????
Wb...ΦΦΦ 444312 1071210821099 ??? ????????
T
S
B 706.0
1018
107.12
4
4
2
2
2 ??
????
?
?
查附表 12-1得
因此
故所求磁势为
mAH 5882 ?
AlH 9.5210)36(588 222 ???? ?
AWlHlHF 9.3 7 99.523 2 72211 ?????
12.6交变磁通磁路的分析
交变磁通磁路与恒定磁通磁路的不同点主要是
由于磁通交变而引起的。由于铁心中磁通交变，在
铁芯中引起感应电动势，而形成感应电流。感应电
流在铁芯中流通，造成能量损耗，而使铁心发热。
称这部分损耗为涡流损耗。由于铁芯中磁通交变，
使得铁心始终属于交变磁化状态。由于磁滞现象每
次磁化都要消耗一部分能量，这样，在铁芯中还有
由于磁滞现象而引起的能量损耗，这部分损耗也使
得铁心发热。称这部分损耗为磁滞损耗。涡流损耗
和磁滞损耗都是铁心发热表现出来的，因此，称它
们为铁心损耗，简称铁损。
对于 50Hz的工业频率和其他较低频率下的交变
磁通磁路，由于频率较低，故恒定磁通磁路的基本
定律和计算磁路的一些假定及方法仍然适用。
由于磁路问题都是非线性问题，即使线圈上外
加电压是正弦的，线圈中的电流也不是正弦的。一
般来说，交变磁通的磁路问题都是非正弦问题。但
是在电力工程上碰到的大量电机、变压器等问题，
由于制造时已考虑了消除谐波问题，因此，仍然可
看成正弦问题，而按正弦电路的方法去处理。
12.6.1 磁滞损耗
实践证明，在正常运行的电机、电器中，磁滞
损耗比涡流损耗大二至三倍。因此，对磁滞损耗更
应当引起足够的重视。
这里借助图 12-20来分析磁滞损耗与哪些因素有
关。设线圈有 W匝密绕于铁芯上，略去磁滞，并假
设圆环铁心平均半径 ≥d（铁环本身的直径），故可
以认为铁心街面上磁通 φ的分布是均匀的，
即 。因此有
或
SBφ ??
WiHl ?
W
Hli? （ 12-28）
式中 为圆环的平均长度。
此时电流供给的瞬时功率为
Rl ?2?
（ 12-29）
dt
φdWiuip ??
R Slu l
图 1 2 - 2 0 用 以 分 析 磁 滞 损 耗 图
当略去导线电阻的铜损,则上述电流供给的功率，
将全部消耗在铁芯上。将式（ 12-28）代入（ 12-
29），并考虑,则得
式中 为环形铁心的体积。所以铁心
消耗的平均功率为
ri2
BSφ ?
dt
dBVH
dt
SBd
W
HlWp ?? )( （ 12-30）
RSπlSV 2??
? ?
??
??
???
HdBfVHdB
T
V
dt
dt
dB
VH
T
uidt
T
P
TT
00
11
（ 12-31）
对于常见的静态磁滞回线而言，由式（ 12-31）
所求得的铁心消耗平均功率即为该铁心的磁滞损耗。
因为电流变化一个周期,B与 H将沿回线变化一周，
所以积分 就是沿如图 12-21所示的磁滞回线取
闭合积分，即
式中 S代表图中对应的面积,代表迟滞回线所
围成的面积。
?HdB
? ?
? ?
回
f V S
SSSSfV
H d BH d BH d BH d BfVP
dn e dbc dn bam b ae f am e
debdabea
?
????
???? ????
（ 12-32）
回S
0
B amb
HB
dB
c f H
m
B
end
图 1 2 - 2 1 求 示 图
? HdB
式 12-32表明，在磁滞损耗正比于交变磁化的频
率，铁心的体积和迟滞回线所包围的面积。而迟滞
回线的面积实际上代表了交变磁化一个循环时，铁
芯中单位体积的磁滞损耗。由于迟滞回线的面积于
铁磁材料的性质有关，对于一定得铁磁材料而言，
迟滞回线的面积显然又与磁感应强度的最大值
有关。故迟滞消耗的大小与铁磁材料的性质、磁化
频率、磁感应强度的最大值有关。工程上常用下列
经验公式来计算迟滞损耗，即
式中 为某铁心的磁滞损耗，单位瓦（ W），
mB
VfBσP nmhh ? （ 12-33）
hP hσ
为与材料性质有关的系数，可由试验确定，也可从
有关手册中查阅。指数 n与 有关，当
时 n取 1.6，当 时 n宜取 2。
为了减少磁滞损失，应当选择迟滞回线狭窄的
材料作为铁心，例如硅钢片于坡莫合金等。
mB TB m 0 0 0.1?
TB m 000.1?
12.6.2 涡流损耗
涡流损耗降低了电机、电器的效率，由于使铁
心发热，温度升高，降低了设备利用率。涡流的存
在，还会消弱铁心内部的交变磁场，通常称为涡流
去磁作用。去磁作用使铁芯的中心部分磁感应强度
最弱，而边缘部分最强。在交变磁通的磁路中为了
减少涡流损耗，铁心一般都是用硅钢片跌成，片上
涂有绝缘漆，如图 12-22（ c）所示。
下面来研究涡流损耗与哪些因素有关，以及怎
样计算涡流损耗，可以用图 12-22a来说明。图中为
一片硅钢片,长度为 l、宽度为 h、厚度为 b,
( a ) ( b )
( c )
y
h
2
b
b b b
l' hxdx
图 1 2 - 2 2 涡 流 损 耗 示 图
通常 。设交变磁通的频率 f不高，则可略去涡
流的去磁作用，认为在薄片截面上 B的分布是均匀
的，且沿 Y轴作用于钢片上。在交变磁场的作用下，
钢片上涡流的分布如图中虚线所示。今取一涡流回
路，如图 12-22（ b）中实线所示。在此回路上涡流
损耗为
式中 I为涡流回路中电流的有效值,为回路电阻；
为回路中感应电动势的有效值。
又设作用在涡流回路的磁通 作正弦变化，即
bh ??
x
x
x
x
x
xe dR
EdR
dR
EdRIdP 222 )( ??? （ 12-34）
xdR
xE
xφ
tωΦφ xmx s i n?
则涡流回路感应电动势的瞬时值为
式中
则
当 φ随时间作非正弦变化时，上式可改为
)
2
s i n (
c o s
π
tωE
tωωΦ
dt
d
e
m
xm
x
x
??
??????
xmm ΦωE ?
xmxmmx fΦfΦ
πEE 44.4
2
2
2 ???
（ 12-35）
xmfx fΦKE ?? 4
（ 12-36）
式中 称为波形系数，当电动势波形为正弦波时，
取,应指出，式（ 12-35）与式（ 12-36）
都是将涡流回路作为单匝绕组而得出的。
式（ 12-35）与式（ 12-36）中的
为使分析简便取 来分析。这样
fK
11.1?fK
mm
mxm
xh BΦ
S
hx
Φ
S
Φ
2
2
刚片总面积
涡流回路所包围的面积
?
?
?
?
（ 12-37）
hh ??
ld xγ
hdR
x
2? （ 12-38）
式中 γ为钢片的导电率。将（ 12-36）～（ 12-38）
代入（ 12-34）可得
则整个钢片的涡流损耗为 dxxBfl h Kγdp mfe
2222 )32(?
VbBfKγ
l h bbBfKγ
dxxBfl h KγdPP
mf
mf
b
mfee
2222
2222
2
0
2222
3
4
)(
3
4
)32(
?
?
?? ? ?
（ 12-39）
式中 为硅钢片的体积。
式（ 12-39）表明，涡流损耗与磁路材料的导电
率 γ成正比。因此，在钢片中掺入硅后，其导电率
大为降低，使涡流损失也大为减少。
因为涡流损耗与钢片厚度 b的平方成正比，因此
将硅钢片压得很薄并按图 12-22(c)迭起来。时间小
涡流损耗的有效措施。在工程实际中，对工频交流
而言，常采用厚度为 0.35与 0.5mm两种规格，也有
采用 0.2,0.15和 0.1mm的规格，对于更高的频率，
因为涡流的去磁作用特别大，一般采用铁粉心或铁
淦氧磁体。
lh bV ?
这类材料是某些金属的固体氧化物的混合物，其导
电率很小，故涡流损耗特别地。
涡流损耗还与感应电动势的波形系数 的平方
成正比。如果磁通的波形越平，则感应电动势
的波形越尖,就越大，造成的损耗也越大。
对一定的铁心和一定的磁通波形而言，涡流损
耗则与交变磁化的频率 f以及磁感应强度的最大值
二者的平方成正比，因此，可将（ 12-39）式用下
列简化公式表示，即
式中 为与铁心导电率、厚度及磁通波形有关的常
数。
fK
)( dtφde ??
fK
mB
（ 12-40）VBfσP
mee 22?
eσ
涡流会造成铁心损耗，对电机、电器的运行有
害，但在某些设备中却常利用涡流起作用。例如在
铸造工业中使用频炉或工频炉，就是利用涡流损耗
产生的热量来熔炼金属的。在电工仪表中，也常利
用涡流效应制成各种制动器等。
在电机、变压器等的设计计算与测式中，一般
都没有必要单独求出磁滞与涡流损耗，而常常是计
算和测量总的铁损。在电机设计中，铁损常按下列
经验公式计算：
kgWfBPP Fe 3.12
4
5010 )50()1 0 0 0 0
10( ??? （ 12-41）
式中 B的单位为特拉斯； 称为损耗系数，是指 1kg的
硅钢片，当, 时的铁损。其素质与钢片型号
和厚度有关，可参看下表。
5010P
Hzf 50? TBm 1?
钢片型号 钢片厚度 /mm P10/50
D12 0.5 2.8
D21 0.5 2.5
D31 0.5 2.0
D42 0.5 2.4
D44 0.35 1.2
对于工频,为其它值时各钢片的损耗系数
查阅有关设计手册即可得到。
当遗址中的铁损而有必要把所有的的铁损分开
为磁滞损耗与涡流损耗时，可以利用二者对频率的
不同依赖关系，在保持 不变的条件下，用改变电
源频率的方法，将两类损耗分开。由式（ 12-33）
与式（ 12-40）可知
上式中 是在式（ 12-33）中，取 n=2所
得结果。
mB 50BP
mB
VfBσVBfσppp mhmeheFe 222 ???? （ 12-42）
VfBσp mhh 2?
对于式（ 12-42），当保持 不变，则可改写为
式中，均为与频率无关的常数，于是则有
对式（ 12-43）与式（ 12-44）取两种不同的频
率，即 及,分别测出其对应的铁损值，
可确定出常数 A与 B，然后再确定涡流损耗及磁滞
损耗。
mB
2BfAfP Fe ??
（ 12-43）
BfAfP Fe ??
（ 12-44）
1ff ? 2ff ? FeP
12.6.3 电流、电压及磁通波形的畸变
电机、电器特别适用于自动控制中的电磁元件，
他们的性能不仅受到电流、电压的有效值及功率大
小的影像，而且还与电压、电流的波形有关。因此
要对铁心线圈的磁通、电流和电压的波形进行必要
的分析。
铁心线圈中电流,电压,及磁通 的波形，
主要受铁心的磁饱和、磁滞及涡流的影响。
如图 12-23(a)所示，当铁心线圈接通交流电源后，
大部分磁通通过铁心而闭合，叫做主磁通 φ；
)(ti )(tu )(tφ
e
2
?
?
u
i
图 1 2 - 2 3 交 变 磁 路 及 其 忽 略 磁 滞 和 涡 流 时 的 曲 线
i??( a )
( b )
0 i
?
还有很少一部分磁通，通过空气闭合，叫做漏磁
通 。若忽略铁心的磁滞与涡流的影响，则磁通 φ
与电流 i的变化关系如图 12-23(b)所示。实际上
曲线是由 B-H曲线通过, 得关系演变
而来的。当略去漏磁通 和电阻 压降之后，则电
压与铁心中的磁通有下列关系：
设外加电压为正弦波，即
则
s?
)(iφ
WHli ? SBφ ?
sφ
iR
dt
φdW
dt
ψdeu ???? （ 12-45）
tωUu m co s?
CtωWUudtWφ
ω
m ??? ? s i n1
因为外加电压是不含直流分量的正弦电压，因而电
流中就不会含有直流分量，则磁通中也不可能含有
直流分量，故积分常数 。即有
式中 是磁通的最大值。
由式 (12-46)看出，当外加电压为正弦波时，铁
心中的磁通 也是正弦波，但是在相位上，电压
超前磁通 。由于已知电压并不能直接求出电流，
因此要计算电流，还必须利用铁心线圈 的特性
曲线，用图解法求出电流。
0?C
tωΦtω
W
Uφ
m
ω
m s i ns i n ??
（ 12-46）
ω
m
m W
UΦ ?
)(tφ
2π
)(iφ
具体步骤是：先在图 12-24(b)上画出 与
的波形，在图 12-24(a)中画出 曲线。然后从曲线
上的点，作水平线与曲线 相交于点,则点
的横坐标就是 时刻的,因此，从曲线 上的
点 作铅垂线与曲线 的时间轴上的 点所作的
铅垂线相交于点,则点 就是电流曲线上的一
点 。按上述步骤逐点描绘，便可做出电流曲线
如图 12-24(c)所示。
)(tu )(tφ
)(iφ
)(tφ )(iφ 1?
1? 1t 1i )(iφ
1? )(tiM 1t
1? 1?
1i )(tiM
( a ) ( b )
( c )
? ?u
)(t? t
2
T
4
T
2t1t0
'
l
1i 2i 3ii
iM
)
(t
iM
''l
1 t
2
t4 T
2 Tt
图 1 2 - 2 4 忽 略 磁 滞 和 涡 流, u 为 正 弦 时 候 I 畸 变 图
由图可见,是非正弦波。应用谐波分析方法，
可将电流 进行分解。因为曲线 对称于原点，
所以电流中只含奇次谐波，且不含直流分量和余弦
项，即
由图 12-25可以看出，当电压为正弦波时，电流
确是具有尖顶的非正弦波。这种波形畸变的原因，
显然是由于 曲线的非线性所引起的。其实质是
由于磁饱和所造成的。值得注意的是，当外加电压
超过线圈额定电压较多时，可引起电流远远超过额
定值，从而使线圈损坏。
)(tiM
)(tiM )(tiM
tωItωItωI
iiiti
mmm
M
5s i n3s i ns i n
)(
531
531
???
???? ?
（ 12-47）
)(iφ
如果外加电压的振幅比较小，铁心未达到磁饱和，
则电流波形将近似于正弦波。由式（ 12-47）可知，
电流的基波分量为,与电压的相位相差，
故由外加电源输入的平均功率为
这是由于略去了线圈的电阻和铁损所得出的结论。
如果线圈通正弦电流 时，我们可以
仿照用曲线 和 曲线做出曲线 的方法，用
和 作出 的波形，然后再按照 关系，
即可得出电压 的波形如图 12-25所示。
tωIm s in1
0co s
1
?? ?
?
?
KK
K
K ΦIUP
（ 12-48）
tωIi m s in?
)(tφ )(iφ )(ti )(ti
)(iφ )(tφ
dt
φdWtu ?)(
)(tu
由图 12-25可见，当 为正弦波时，由于铁心
磁饱和的影响,将是具有平顶的非正弦波。由
得出电压 的波形，将是具有尖顶的非正弦波。
他们都具有显著的三次谐波。
以上这种由于磁饱和现象而引起的电压、电流
的波形畸变，在实际工作中必须引起注意。实际中
根据具体条件可以由减小磁通的最大值或从铁心线
圈的结构设计和连接线路的方式上加以解决。
)(ti
)(tφ )(tφ
)(tu
0 i
?
0 t
?ui )( tu
)( t?
)( ti
2
T
4
3 T
T4
T
图 1 2 - 2 5 忽 略 磁 滞 和 涡 流,ｉ 为 正 弦 时 u 畸 变 图
当考虑到铁心的磁滞现象后，则必须用如图 12-
26(a)的迟滞回线来取代基本磁化曲线，并仍按上述
作图方法求解。设计加电压 为正弦波，由上述
作图法求得 及对应的 与 的波形，如图 12-
26(b)所示，从图 12-26中看出，有磁滞现象影响时
电流 的波形畸变得更严重，它已经不再对称于原
点。将有磁滞影响和仅有磁饱和影响的两个电流
与 的波形加以比较，可以看出，有磁滞影响时
的电流 与 仅有磁饱和影响时的电流之间，只
相差一个电流分量,而 得波形近似于正弦
波，它超前于磁通,而与外加电压同相位。
此时输入的平均功率将不再为零。
)(tu
)(ti )(tu )(tφ
)(ti
)(ti
)(tiM
)(ti )(tiM
)(tih )(tih
)(tφ ?90
这个功率就是磁滞损耗的功率。
当考虑有涡流存在对电流波形的影响时，可以
从功率角度出发来分析，由于涡流存在，铁损还要
增加。因此电源供给的平均功率也将随之增大，这
就可以认为此时电流又增加了一个与电压同相位的
电流分量。所以由于考虑到涡流的存在，将使
电流的波形更加畸变。 )(ti
?iu?b'
3c
d e
f
a '2
'1 1i
1t 2t 3
t
23 )( t? )( ti
M
)( ti )( tu
)( ti h
( b )
( a )
图 1 2 - 2 6 考 虑 磁 滞, u 正 弦 时 I 畸 变 图
12.7 铁心线圈电路
由上节分析可知，铁心线圈中的电压或电流畸
变时为非正弦波，而非正弦电流（或电压）是不能
采用相量法与相量图来进行分析的。为了便于研究
问题，在分析中引进一个正弦电流（或电压）去代
替铁心线圈中的非正弦电流（或电压），这个引进
的正弦电流（或电压）成为等效正弦波。采用等效
正弦波去代替原来的非正弦波，必须满足以下三个
条件才能保证在研究的主要方面（电流、电压的有
效值与功率）的到足够准确的结果。
(1)等效正弦波的周期与原来的非正弦波的周期
相同。
(2)等效正弦波的有效值等于原来非正弦波的有
效值。
(3)等效正弦波的平均功率等于铁心线圈的功率
损耗。即等效正弦波的电流与电压间的相位差 φ
应满足如下关系
式中 为铁心线圈的总损耗。当略去线圈电阻的
损耗时,。
有了等效正弦波的感念后，就可以方便的讨论
铁心线圈的伏安特性和等效电路了。
UI
Pφ ??c o s （ 12-49）
P?
FePP ??
12.7.1 铁心线圈的伏安特性
铁心线圈的伏安特性通常可由实验方法测出来，
也可以用图解方法确定。为了便于找出伏安特性曲
线的主要性质，我们暂且忽略漏磁与铁损，采用节
12-6中的作图方法做出对应不同电压或磁通的最大
值（或有效值）时的电流波形如图 12-27所示。从
图中可以看出，当电压足够高时，电流的最大值便
迅速增长，这是由于铁心处于饱和状态所致。然后
将每一次的电压与电流的有效值算出来，例如当电
压有效值为 … 时，根据非正弦波有效值
的计算方法，从电流波形可以计算出与各电压对应
的电流有效值 … … 根据各对应的电压
321,,UUU
321,,III
与电流的有效值便可画出一条曲线，如图 12-28
所示。这条曲线就表示铁心线圈电压有效值与电流
有效值之间的关系，即铁心线圈的伏安特性曲线。
0
?
0
u
t
?
2
T
4
T
0
2 T
4 T
ii
)
(1t
i
)
(2t
i
)
(3t
it
)(1 t?
)(2 t?
)(3 t?)(1 tu )(
2 tu )(
3 tu
图 1 2 - 2 7 忽 略 漏 磁 和 铁 损 时 u, i 的 波 形
0 2I1I 3I
2
U
3
U
1
U
I
图 1 2 - 2 8 铁 心 线 圈 的 伏 案 特 性
与电流的有效值便可画出一条曲线，如图 12-28所
示。这条曲线就表示铁心线圈电压有效值与电流有
效值之间的关系，即铁心线圈的伏安特性曲线。
由图 12-28可以看出,曲线不是一条直线，说
明电压 U与电流 I之间是非线性关系。其形状与铁心
的基本磁化曲线相似。当考虑磁滞与涡流影响后，
电流的有效值虽然在数量上会加大一些，但伏安特
性曲线的基本形状不变，仍与图 12-28所示的曲线
相似。
)(IU
2.7.2 磁心线圈的等效电路
当略去铁心线圈的损耗不计，且用等效正弦波
代替非正弦电流，则由式 (12-49)可知，此时铁心线
圈的端电压与导致正弦波电流的相位差恰好为
（因 ），所以此时的铁心线圈便可看成一个
纯电感元件。其电压与电流有效值之比为
式中,叫做铁心线圈的等效电抗,叫做等
效电感。由伏安特性曲线可知，当电压与电流加大
时 和 的值将逐渐减少
2π
0??P
ee LωXI
U ?? （ 12-50）
ee LωX ? eL
eX eL
即 与 不为常数。因此铁心线圈是一个非线性电
感元件。只有当电压较低（伏安曲线在起始阶段 —
— 近似于一直线）时，或者铁心开有气隙时,和
才近似于常数。
当采用等效正弦波代替非正弦波电流、电压后，
就可以运用正弦交流电路中的相量法与相量图去分
析铁心线圈电路。下面首先从最简单的情况开始讨
论，即略去线圈电阻 R、漏磁 及 铁损不计，则由
图 12-23(a)可见，此时端电压 u应与感应电动势 e相
平衡，即
eX eL
eX eL
sφ FeP
eu ??
写成复数形式则为
由式（ 12-35）可知，当线圈匝数为 W时，其有效
值关系为
由于电动势 e在相位上之后磁通 φ为,故可用复数
表示为
在画相量图时，通常都以 作为参考相量，将它画
在水平方向，然后按式（ 12-53），在 较滞后处
画出电动势 的相量。
EU ?? ?? （ 12-51）
mfW ΦEU 4 4 4??
（ 12-52）
?90
mΦfWjE ?? 44.4??
（ 12-53）
mΦ?
mΦ? ?90
E?
因为端电压相量 与 反相，故可画在 的上方，
且长度相等。而等效正弦波电流相量 与电压 的
相位差 φ，则可按式（ 12-49）决定。此时因线圈电
阻及磁滞、涡流损耗均已忽略不计，即铁心线圈的
功率损耗为零，所以
由此可见，电流相量 滞后于电压 为,亦即
与 同相。相量图 12-29(a)所示。对应的等效
电路图如图 12-29(b)所示。其中电感 为
U? E? E?
MI? U?
???? 90ar cco s
MUI
Pφ
MI? U? ?90
MI? mΦ?
eL
M
e Iω
UL ? （ 12-54）
0 EU ?? ?? M??MI
?
E?
（ a ）
eL
E?MI
?
U?
（ b ）
图 1 2 - 2 9 忽 略 损 耗 时 铁 心 线 圈 等 效 电 路 及 向 量 图
EU ?? ???? I
?
aI
?
MI
?
m?
?
E?
( a )
U?I
?
aI
?
0gE
? MI? 0b
( b )
图 1 2 - 3 0 考 虑 铁 损 时 铁 心 线 圈 等 效 电 路 及 向 量 图
当考虑铁芯损耗后，则式（ 12-49）可知，因
所以此时的电流相量 滞后于电压相量 的角度 φ
将小于 。即相量 将超前 一个角度,
角 α常叫做损耗角。其他相量关系不变化。
为了便于进一步分析，常将电流 分解成一个
分量，即 与,如图 12-30(a)所示。其中 与
同相与差 的分量,叫做无功分量或磁激电流。
他相当于产生主磁通时的激磁分量，而与 同相的
分量,叫做有功分量，它相当于由于铁损而引起
的损耗分量。
如果引入导纳概念，则电压 与电流 之间将
有以下关系
0??P
I? U?
2π I? mΦ? φπα ?? 2
I?
MI? aI? mΦ? U?
2π MI?
U?
aI?
U? I?
对应于式（ 12-55）可画出其铁心线圈的等效电
路如图 12-30(b)所示。其中 叫做激磁电导，它反
映铁损的大小； 叫做激磁电纳；而 则
叫做激磁导纳；它们的大小可按下两式求得
Ma II
jbgUYUI
??
???
??
??? )( 000 （ 12-55）
0g
0b 000 jbgY ??
?
?
?
?
?
?
???
U
I
b
U
P
U
UI
U
I
g
M
Feaa
0
220 （ 12-56）
式中铁损,它可由实验测得，或由有关
手册中查得，于是可得
而电流 I也可由实验测得，因此
由此即可按式（ 12-56）求得铁心线圈的参数
与 。
最后讨论考虑线圈电阻及漏磁通时铁心线圈的
等效电路。
UIP aFe ?
U
PI Fe
a ?
22
aM III ??
0g
0b
此时 u中，除一部分用来平衡铁心中主磁通产生的
感应电动势 e之外，还必须有两个分量用来平衡电
阻压降 及漏磁通产生的电动势 。因此电压平衡
方程式可写为
因为漏磁通主要通过空气闭合，所以漏磁通链 与
电流 i成正比，即,其中比例系数为 线圈的
漏电感。因此
代入式（ 12-57）可得
iR Se
iReseu ???? （ 12-57）
sψ
iLsψ S? SL
dt
diL
dt
sψde
SS ???
（ 12-58）
iRdtdiLeu S ????
（ 12-59）
写成复数形式
考虑线圈电阻及漏磁通时，铁芯线圈的相量图
可在图 12-30(a)基础上，根据式（ 12-60）画出。即
在相量 的基础上加上与电流同相位的,再加
上超前电流 的相量，就可以得到端电压相量
如图 12-31(a)所示。比较图 12-30(a)与 12-31(a)，可
画出考虑线圈电阻、漏磁通和铁损时铁心线圈的等
效电路如图 12-31(b)所示。它与 12-31(b)比较，仅
多了一个串联电阻 R与漏电抗 。
IZEIRILωjEU SS ?????? ???????
（ 12-60）
E?? IR?
?90 U?
SX
应当指出，等效电路中的参数 与 一般都不
是常数，它们的数字随端电压 U而变化。所以对应
不同的 U，采用不同的 和 。但是，当 U变化范
围很小时,和 则可以近似看作常数，这样可采
用上述等效电路以复数进行分析计算，使计算大为
简化。
例 23-8 已知铁芯线圈的电阻,漏电抗
当外加电压 时，测得电流, 。
试求铁心损耗、主磁通产生的感应电动势及激磁电
流,并做出相量图。
解 已知,,则铜损为
0g 0b
0g 0b
0g 0b
?? 5.0R ??1SX
VU 100? AI 10? WP 200?
MI
?? 5.0R AI 10?
铁损为
而
若令
因为
故
则
所以
WRIP R 502 ??
WPPP RFe 1 5 0???
)( SjXRIEU ???? ???
AII ?????? 0100?
2.010100 200c o s ???? UIPφ
??? 5.782.0a r c c o sφ
VφUU ????? 5.781 0 0?
V
j
jXRIUE S
???
?????
????
4.802.89
)15.0(10781 00
)(???
即感应电动势的有效值
激磁电流
按各相量的关系，做出相量图如图 12-32所示
VE 2.89?
AII M 83.94.80s i n104.80s i n ?????
MI
?
m?
??
(a)
图 12-30 考 虑 铁 损 时 铁 心 线 圈 等 效 电 路 及 向 量 图
aI?I
?
IR ?U
?
E?? U?I
?
aI
?
0gE
? MI? 0b
(b)
SX
IjX S ?
0R
M
I? m??
E?
( a )
图 1 2 - 3 2 例 1 2 - 8 相 量 图
a
I?I?
RI?
U?
E??
S
XIj ?
?4.80
?5.78
12.8具有直流基磁化的铁心线圈
由前所述，在交流电路中铁心线圈是个非线性
感应元件，他的感抗与铁心饱和程度有关，铁心愈
饱和等值感抗 愈小。也就是改变铁心的饱和程度
就可以改变铁心线圈的等值感抗。这样，在铁心上
除了交流线圈，再绕上一个直流线圈，作为基磁化
线圈，改变他的电流，就可以改变铁心的饱和度，
就可以改变交流线圈的感抗，在实际中利用这个原
理制成可控饱和电抗器或叫功率放大器。
eX
如图 12-33为一具有直流基磁化的铁心线圈。设直
流线圈匝数为,线圈电流为 ；交流线圈匝数
为,线圈电流为,线圈两端电压为 。设已知
交流线圈的电流为正弦波形，即：
来计算交流线圈两端的电压 。
如图 12-33所设各量的参考方向下，总磁势为
0W 0I
1W 1i 1u
tωgIi m s i n11 ?
1u
tωWIWIWiWIFFF m s i n1100110010 ??????
?0I 1i
1W 1u
11Wi00 Wi
0W
图 1 2 - 3 3 具 有 直 流 磁 化 的 铁 心 线 圈
这样，由于磁势根据磁通 —— 磁势曲线 可
以求出磁通，然后，再由磁通求出交流线圈两端电
压 。其具体做法与前面相似。其中,
曲线如图 12-34所示。
从作图中可看出，直流激磁化的磁势 愈大，
铁芯愈饱和，在同样的交流磁势 作用下，所得
的磁通 曲线起伏愈小，而与它的变化率有关的
也就愈小，相应的，交流线圈的等值感抗就愈
小。反之，直流激磁化的磁势 愈小，交流线圈的
等值感抗就愈大。这样，改变直流线圈的电流 就
可以改变交流线圈的等值感抗，从而改变交流线圈
的电压或电流。
)(Fφ
1u )( tωφ )(1 tωu
00WI
11Wi
)( tωφ
)(1 tωu
00WI
?1 2
3 1 F2 3
?
)( F? 1u )( t??
t?
)(1 tu ?
0?
'?
0
)( tF ?3
t?
0I 0W
1W mI 1
图 1 2 - 3 4 具 有 直 流 基 磁 化 的 铁 心 线 圈 中 交 流 线 圈 电 压 求 解 示 图
1
u
由图 12-34上的 曲线很容易看出，他有个直
流分量 。这是因为有直流基磁化的磁势 所致。
但是，从图上也很容易看出，由于铁磁饱和的影响，
使得 要比 单独作用决定的恒定磁通 小一些。
在实际中，常常碰到的是交流线圈两端的电压
为正弦波，很容易想到，这次交流线圈的电流 为
非正弦波。现在来研究这种情形。设交流线圈两端
电压已知，且为正弦波，即：
现在来计算交流线圈中的电流。设仍然忽略交
流线圈的电阻和漏磁，则交流线圈两端的电压可表
示为：
)( tωφ
0Φ 00WI
0Φ 00WI Φ?
1u
1i
)90s i n (c o s1 ???? tωUtωUu mm
分离变量
取积分
dt
φdWu
11 ?
dt
W
uφd
1
1?
? ? ? ??? dttωWUdtWuφd m co s
11
1
010
1
s i n ΦφΦtω
Wω
Uφ m ????
第一项 是磁通的交变分量。第二项积分常数,
是磁通的直流分量，他不等于零，因为有直流磁
势 。但是，由前变得研究知道，直流分量 并
不等于 单独作用时产生的恒定磁通,而是要
比他小一些，这是由于铁心的非线性形成的。用与
前边相同的作图方法，由曲线, 做出
由 的平均值得出,由 减去 就得到
磁势的交变分量,因为：
1φ 0Φ
00WI 0Φ
00WI
Φ?
)(Fφ )( tωφ )( tωF
)( tωF 00WI 00WI)( tωF
)(1 tωF
111 )()( WtωitωF ?
?1 2
3
?
)( F?
t?
)(1 tu ?
0
t?
图 1 2 - 3 5 具 有 直 流 基 磁 化 的 铁 心 线 圈 中 交 流 线 圈 电 流 i 求 解 示 图
1
u2
)( t??31
2
)( tF ?
00 WI
0 0
? '?1
3
1'i1i
0 '0
)(1 ti ?
tI
m
?cos'
1 tI
m
?2cos'
1 t?
图 1 2 - 3 6 i 的 分 离 变 量 图
这样，再用 去除 曲线，就可以得到交流
线圈中电流曲线,如图 12-36所示。 是非
正弦波。如果把纵轴右移,如图中虚线那样，这
时用 表示。则 是对称于纵轴的偶函数，它
仅含有余弦项。即：
由上边左图中同样可以看出，直流激磁化的磁
势愈大，铁心愈饱和，交流线圈两端电压一定时，
交流线圈中的电流就愈大，交流线圈的等值感抗愈
小。
1W
)(1 tωF
)(1 tωi )(1 tωi
?90
)(1 tωi? )(1 tωi?
?????? ??? tωItωItωItωi mmm 3c o s2c o sc o s)( 3211
在工程上利用上述的原理制成铁磁功率放
大器，简称磁放大器。图 12-37就是其原理电路。
把交流线圈串在交流工作电路中，改变直流控制
电路的电流 就可以改变交流线圈的感抗，从而
改变交流工作电路的电流 i。这样，交流线圈就是
一个可控的电抗器。这样的电抗器也可以用在直
流互感器中。应当指出，图 12-37仅仅是一个原
理电路图。在工程实际应用中还要对它的缺点给
予改进。
0I
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第十二章
磁路
第十二章 磁路
?12.1 磁场的基本物理量
?12.2 磁场的基本性质
?12.3 铁磁性材料的磁化曲线
?12.4 磁路及其基本定律
?12.5 恒定磁通路的计算
?12.6 交变磁通磁路的分析
?12.7 铁心线圈电路
?12.8 具有直流基磁化的铁心线圈
12 磁路
内容提要,前几章讨论了电路问题，但在工程上广泛
应用的电机、变压器、继电器等都是靠电与磁的相互作用
来工作的。因此，本章将介绍磁路的有关概念、定律和分
析方法。
本章将从磁场的基本规律出发，导出磁路的基
本定律，,据此，对磁路进行分
析计算。由于磁路中参数的变化规律是非线性的，
故非线性电路的分析方法原则上也适用于磁路。介
绍磁路中两类问题：一是已知磁通求磁势，二是已
知磁势求磁通的具体分析方法。在此基础上，还要
讨论交变的磁路、铁心线圈电路的特点和规律。
? ?0? ? ?? MRFWIHl /,?
本章重点：已知磁通求磁势及已知磁势求磁通。
12.1 磁场的基本物理量
在磁极或任何电流回路的周围以及被磁化后的物
体内外，都对磁针或运动电荷具有磁力作用，这种
有磁力作用的空间称为磁场。
下面简要地复习一下与磁场有关的物理量,
1.磁通
垂直穿过某一面积 S磁感应线的总条数叫做通过
这一面积的磁通。磁通用符号 表示。当面积一定
时若磁通愈多，表示磁场愈强。在国际单位制（ SI）
中，磁通的单位是伏秒，常称为韦伯 Wb,简称韦
?
2.磁感应强度
用来表示磁场中某一点磁场强弱和方向的物理量
叫做磁感应强度，用符号 表示。它与磁通的关系
可按图 12-1求出。
式中,为 S的面积元。
当磁场是均匀时，若 垂直于平面 S，则式
（ 12-1）可简化为
或
?B
?? ?? ? SdB
S? )112( ?
?Sd
?B
SB ??? )212( ?
SB
?? )312( ?
?
n
?
B
?
ds S
图 1 2 - 1 描 述 图 示
B?
根据式（ 12-3）,B也可以称为磁通密度。在国际单
位制中，磁感应强度的单位是韦 /米 （ ），即
特斯拉（ T）。
3.磁场强度
将不同的物质（通常叫做磁介质）放入磁场中，
对磁场的影响是不同的。不同的物质在外磁场的磁
化作用下将产生不同的附加磁场，此种附加磁场又
必然反过来影响外磁场。外磁场通常是由电流产生，
为了反映外磁场和电流之间的关系，引入一个辅助
矢量 叫做磁场强度。它也是用来表征磁场中各点的
磁力大小的方向的物理量。但是，它的大小仅与产
生该磁场的电流大小和载流导体的形状有关。在国
际单位制磁场强度的单位是安 /米（ A/m）。
2/ mWb
4.导磁系数
用来表示物质导磁能力大小的物理量叫做导磁系
数。它与磁场强度乘积等于磁感应强度，即
或写成
在国际单位制中 的单位为亨 /米（ H/m），可推导如
下：
H
B
HB
?
?
??
?
?
?
?
)512(
)412(
?
?
米亨米 秒欧米安 秒伏米安 米韦 ///
2
??????
由实验测得，在国际单位制中，真空中的导磁
系数 为一常数，即
通常采用实际导磁系数 与 的比值 来
表示各种物质的导磁能力，叫做相对导磁系数。显
然，它是没有单位的。例如硅钢片的
坡莫合金（铁镍合金）在弱磁场中的 可达 左右。
0?
mH /104 70 ??? ?? )612( ?
? 0? )/( 0??? ?r
8 0 0 0~6 0 0 0?r?
r? 510
12.2 磁场的基本性质
12.2.1 磁通的连续性原理
在物理学中已经指出，磁力线与电力线不同，磁
力线是没有起止的封闭曲线，这是磁力线的基本规
律，也是磁场的基本性质之一，通常叫做磁通连续
性原理。用数学形式可表示为
式中 是面积元的法线方向与磁感应强度矢量方
向的夹角。上式表示通过任意闭合曲面的磁感应强
度矢量的通量为零。
0c o s ??? ?? dSBSdB SS ??? )712( ?
?
12.2.2 全电流定律
全电流定律是磁场的又一基本定律。它表示磁
场强度与电流之间的关系。该定律可叙述如下：磁
场强度矢量沿任何闭合路径的线积分等于该路径所
包围的全部电流的代数和。用数学式子可表示为
式中符号 表示沿闭合路径 l的线积分。其中电
流的正负要看它的方向和所选路径的方向之间是否
符合右螺旋法则而定。当符合时，电流取正，否则
取负。
??
?
??
n
K
Kl IldH
1
??
?l
)812( ?
当沿路径上各点的 H均相等且其方向均沿路径的切
线方向（即 与 方向相同）时，则式（ 12-8）可
简化为
例 12-1 均匀密绕的环形螺管线圈，如图 12-2（ a）
所示，其匝数为,通入电流,方向入图（ b）
所示。试求距中心距离为 的 点的磁场强度 。
H dl
?
?
?
n
K
KIHl
1
)912( ?
W I
R P
H
( a )
( b )
?R1
RORP
H
? ld
?S l
解 在图 12-2（ b）中以 O点为圆心,R为半径,过
P点作周长为 l的圆，取积分路径方向如图示。因为
结构上的对称性，可知磁力线是一些同心圆。在半
径为 R的圆周上，各点的磁场强度相等，且方向在圆
周切线上。故根据全电流定律可得
因为匝数为 W，电流重复穿入该回路 W次，所以
因此
即
RHHlldHl ?2???? ??
R
WI
H
WIRH
WII
n
K
K
?
?
2
2
1
?
?
??
?
)1012( ?
上式表明，螺管线圈内任一点的磁场强度与产生
此磁场的电流和线圈匝数的乘积成正比，而与该点
距环中心 O距离 R成反比。当环的内、外径相近
（或 ）时，则环内磁场可以认为是均匀的，
其磁场强度可用环内、外径的平均值来计算，即
其中
式（ 12-10）中电流与线圈匝数的乘积 WI叫做磁
通势，简称磁势，用 F表示，即
磁势的单位为安匝或安（ AW）。
Sl ??
)(
2
1
2
21 RRR
R
WI
H
v
v
??
?
?
??
)1112( ?
WIF ? )1212( ?
12.3 铁磁性材料的磁化曲线
本章第一节已指出，物质的磁性可用导磁系数来
表示，或者用式（ 12-5）以通过物质中磁感应强度
与磁场强度的关系来描述。真空或空气的导磁能力
很低，其导磁系数为,是一个不随磁场强度的大小
而变化的常数（ ）。所以，真空或空气
中的磁感应强度是随磁场强度成比例地变化的，如
图 12-3中的直线①所示。
铁、镍、钴及其合金，导磁能力很高，常称为铁
磁性材料。它是构成磁路的主要材料。铁磁性材料
的相对导磁系数很大，可达数百甚至数万而且还具
有磁饱和及磁滞的特点。
mH /104 70 ??? ??
B?
?
0 1a
2a
a
1
H
2H m
H HB
0??H
①
③
②
图 1 2 - 3 铁 磁 材 料 的 原 始 磁 化 曲 线 导 磁 率 和 空 气 磁 化 曲 线
铁磁性材料的 B-H曲线，通常具有如图 12-3中曲
线②所示的形状。铁磁性材料已经进行消磁（或称
去磁），即从 B=0,H=0的状态开始磁化，在外磁
场较小的情况下（即图中 的区域），材料中
的磁感应强度随磁场强度的增大而增大，其变化并
不大。但随着外磁场的继续增大，材料中的磁感应
强度则急剧增大,如图中 段所示,在这一范围内,
铁磁材料中的磁感应强度较真空或空气中大得多,即
表现出较高的导磁能力或较小的磁阻。所以，通常
就要求材料工作在 点附近，若外磁场继续增大
（ ），铁磁材料的磁感应强度的增长率反而变
小，如图中 段所示。当 以后，磁感应强度
1HH ?
21aa
2a
2HH ?
aa2 mHH ?
的增长率就几乎与空气一样不变了，这种现象称为
磁饱和。在磁饱和区域，导磁系数下降，磁阻增大。
图中曲线②表示铁磁材料从原始状态开始进行磁化
的整个过程。这种磁化曲线称为原始（或起始） 磁
化曲线。铁磁材料的导磁系数随外磁场变化的曲线，
见图 12-3中曲线③。铁磁材料磁化在起始阶段及进
入磁饱和后，导磁系数均不大；但在 H=H2附近，导
磁系数达最大值，且远大于空气及其他材料，为
的数百或数万倍。可见。在磁化过程中，铁磁材料
的导磁系数是随磁场强度而变的，不是常数。
当外磁场增大到使铁磁材料达饱和状态的 后，
重又逐步减小，那么材料中的磁感应强度也会随之
减小。
0?
mH
但 B值并不按原始磁化曲线的规律下降，而是沿高
于原始磁化曲线的 ab曲线减小，如图 12-4所示。可
见，在下降过程中，对应同一磁场强度的 B值，均
比原始磁化过程的 B值要大。
当 H单调减小到零时,B等于,而不为零。
称为剩余磁感应强度，简称剩磁，相对于曲线上的
b点。
在相反方向下增加外磁场，则 B将由 Br逐渐减小。
这一过程称为去磁过程。使磁感应强度减至零时所
需的外磁场强度 称为矫顽磁力，相应于曲线上的
c点。各种铁磁材料均有一定的剩磁及矫顽磁力。
rB rB
cH
入图 12-4所示，将外磁场变至 后再减至零，
材料中磁性将沿 c-d-e曲线变化。在外磁场为零时，
也有剩磁 存在。这时再使外磁场整向增大，由
于磁性应从 e点而不是从 O点开始，磁性是沿
曲线变化的。由上述可见，铁磁材料在外磁场作正
负变化的反复磁化过程中，磁感应强度的变化总是
落后于磁场强度的变化，这种现象称为磁滞现象。
从图 12-4看出,与 并不重合。但是，如果反复
磁化若干循环后，就可得到一个近似对称于原点的
闭合曲线，入图 12-5所示，称为磁滞回线。
铁磁材料在反复磁化过程中有功率消耗，称为
磁滞损耗。在一个磁化循环过程中消耗的功率与其
回线面积成比例。
mH?
rB?
'afe ??
'a a
BmB a'a
rBb CH
mHfoc CH? m
H?
d e mB? rB? H
图 1 2 - 4 磁 化 过 程 曲 线
BmB
mm
H?
mB?
H
图 1 2 - 5 磁 滞 回 线
o
铁磁材料按其磁滞回线形状不同，可分成两类：
一类叫软磁材料，如纯铁、铸铁、铸钢、电工钢、
铁淦氧磁体及坡莫合金等；这类材料的剩磁及矫顽
磁力均较小，磁滞回线狭窄，如图 12-6所示，所以
磁滞损耗较小。但导磁系数却很高，适于做成各种
电机、电器的铁心。另一类叫硬磁材料，如碳钢、
钨钢、钴钢及镍合金等，它们的剩磁或矫顽磁力较
大，磁滞回线较宽，如图 12-7所示。这类材料被磁
化后，其剩磁不易消失，适宜做永久磁铁 。
B
H
图 1 2 - 6 软 磁 材 料 磁 滞 回 线
o
B
H
图 1 2 - 7 硬 磁 材 料 磁 滞 回 线
o
B
H
图 1 2 - 8 磁 滞 回 线 的 顶 点 构 成 基 本 磁 化 曲 线
o
3mH2mH1mH
3mB 2mB
1mB
在非饱和状态下，用
不同幅值的交变磁场强度，
对铁磁材料进行反复磁化，
将得到一系列磁滞回线，如
图 12-8所示。各磁滞回线顶
点连线 oa，称为基本磁化曲
线，简称磁化曲线。用软磁
材料做成的磁路，由于磁滞
回线狭窄，近似与基本磁化
曲线重合，所以进行磁路计
算时就可以基本磁化曲线为
依据。有时基本磁化曲线也
用表格形式给出，称为磁化
数据表。在计算时可参阅本
章的附表与附图。
12.4 磁路及其基本定律
12.4.1 磁路
在设计电机、电器时，总想用教小的电流（磁
势），产生较强的磁场（磁通），以便得到所要求
的较大的感应电动势或电磁力，这就需要利用铁磁
材料造成一个导磁的路径。磁通所通过的由铁磁材
料所构成的（包括气隙在内）路径常称为磁路。磁
路的形式很多，如图 12-9（ a）的磁路仅包括一个回
路。当不考虑漏磁时，沿整个磁路的磁通均相同，
这类磁路称为无分支磁路。而图 12-9（ b）所示的磁
路则称为分支磁路。由于铁磁材料的导磁系数比空
气大许多倍，因此磁通要沿铁心而闭合，这部分磁
通常叫做主磁通，用 表示，另外经过空气而闭合
的那部分磁通叫做漏磁通，用 表示。在磁路计算
中，本章只考虑主磁通，对漏磁通的处理将在有关
专业课程中介绍。
此外，一般还认为同一段磁路中，磁场是均匀
分布的。所以上述关于磁感应强度（或磁场强度）
的面积分（或线积分）关系，可用简单的乘积代替，
而且就按几何中心线来计算磁路的长度。
与电路相似，也有三个基本定律作为磁路分析
计算的基础，称为磁路的基尔霍夫定律和欧姆定律。
它们可以从上述磁场的基本性质导出。
?
S?
12.4.2 磁路的基本定律
在图 12-10中设在磁路分支点作一闭合面 S，如
图所示，则穿过闭合面的磁通应符合磁通连续性原
理，即式（ 12-7）。现因,所以
及,故有
上式表明，在磁路分支处，磁通应是连续的。一般
说，汇集一处的各段磁路（也可称为支路）中的磁
通代数和应等于零。或写成
其形式与电路的 KCI相似，故常称式（ 12-13）为磁
路的基尔霍夫第一定律。
0???
B d SSdB ?? ?? 111 SB??
222 SB?? 333 SB??
0132 ??? ???
)1312( ?
据上式列写方程时，常设磁通方程穿出闭合面
者为正，穿入者为负。应注意，由于,而且
各段磁路的截面通常是不等的，故并无
的关系。
在磁路的任一路径中，磁场强度与磁势的关系
符合全电流定律。例如在图 12-10的 abc-da闭合路
径中，设 ab,bc,cd,da四段路径各段平均长度分别
为,由于认为各段磁路中磁场是均匀的，
且磁场强度方向与各段路径重合，所以
故由式（ 12-8）可得
SB /??
? ? 0B
4321,,,llll
H d lldH ?? ??
WIlHlHlHlH ???? 44332211
一般情况下，闭合磁路中磁场强度与磁势的关系，
可写成
上式中各项磁路长度与其磁场强度的乘积称为该段
磁路的磁压（或称磁压降），常用 表示。磁压方
向与磁场方向相同。式（ 12-4）表示：闭合磁路中
各段磁压的代数和等于各磁势的代数和。这就是磁
路的基尔霍夫第二定律。磁势方向由电流及线圈绕
向按右螺旋关系确定。磁压、磁势方向与闭合路径
绕向一致者取正，反之取负。
设磁路由导磁系数为 的材料做成，面积为 S，
长度为 l。磁路中磁通为,磁感应强度为 B，磁场
强度为 H，如图 12-11所示，则因
?? ? WIHl )1412( ?
MU
?
?
l
? S
图 12-11 某段磁路示图
S
l
R
R
U
S
l
Hl
l
S
l
B
Hl
S
B
B
H
M
M
M
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??,
所以
或
其中
)1512( ?
)1612( ?
称为该段磁路的磁阻。而式（ 12-15）就称为磁路的欧
姆定律。磁阻的单位 1/亨利（ 1/H），简写成 1/亨。磁阻的倒
数称为磁导，用 表示，即
磁导的单位为亨（ H）。
若磁路中各段磁压均用磁通与磁阻的乘积表示，
则磁路的基尔霍夫第二定律还可写成
由式（ 12-16）可见，磁阻的大小决定于磁路的
尺寸及材料的导磁系数。磁路中若有长为, 面积
为 的空气隙，则因空气的导磁系数 为一常数，
故按式（ 12-6）计算得气隙的磁阻。
称为该段磁路的磁阻。而式（ ）就称为磁路的欧
姆定律。磁阻的单位 亨利（ ），简写成 亨。磁阻的倒
数称为磁导，用
磁导的单位为亨（ ）。
若磁路中各段磁压均用磁通与磁阻的乘积表示，
则磁路的基尔霍夫第二定律还可写成
）可见，磁阻的大小决定于磁路的
尺寸及材料的导磁系数。磁路中若有长为,
为
）计算得气隙的磁阻。
MR
MG
lSRG MM //1 ??? )1712( ?
? ?? WIR M? )1812( ?
也是常数。即气隙是线性磁阻的元件。铁磁体的导
磁系数教大，但不是常数，故由该材料构成的磁路
是非线性磁阻元件。
在非线性电阻电路中，元件特性是用伏安特性
曲线表示的。在磁路中，也可用磁通 — 磁压曲线
（即 曲线）来表示磁阻元件的特性。因为不
同材料的 B-H曲线一般已给定，故只需将对应的 B，
H值，分别乘以磁路的面积及长度，即可得到 曲
线。如图 12-12曲线①所示。用图解分析磁路的问
题时，就需要利用给定材料的 B-H曲线及磁路尺寸，
做出 曲线。
00
0
0 S
lR
M ??
)1912( ?
MU??
MU??
上面已指出，气隙是一线性磁阻元件，故其 关系是一
条经过原点 的直线，如图 12-12的②所示。
?
MU
图 12-12 曲 线
MU??
②
①
MU?? l
W S
图 1 2 - 1 3 例 1 2 - 2 图
例 12-2 图 12-13所示为一铸铁制成的简单磁路，
已知截面各 S为,磁路的平均长度 l（中心线
长）为 0.5m，若已知磁通为,线圈的匝
数为 4500匝，求线圈应通入多大电流。
解 磁路中的磁感应强度为
由附表 12-2铸铁的磁化曲线数据表可查出，
所对应的 。
再由磁路的基尔霍夫第二定律可得
24101 m??
Wb41075.0 ??
Tm WbSB 75.0101 1075.0 24
4
?? ???? ?
?
TB 75.0?
mAH /4 6 0 0?
AWHlI 51.04 5 0 0 5.04 6 0 0 ????
磁路与电路在许多地方是相似的。为了加深对
磁路的理解和认识，进一步熟悉磁路的基本物理量
及其单位，掌握磁路的基本定律，现将磁路与电路
相互对比，列于表 12-1中。
事物之间除有共性外，还有其特性。磁路与电
路之间有相似之处外，也还有一些质的不同。
（ 1）一般来说，电流是表示带电质点的运动，
因而通过电阻在消耗能量，使电阻发热。而磁通却
不是质点的运动，只是描述磁场的一个物理量，它
通过磁阻时是不消耗功率的，因而不存在磁路的热
效应定律。
（ 2）漏电流小，漏磁通大。电路中导电材料与
绝缘材料的导电系数相差很大，因此在电路分析中，
只考虑导体中的电流，而绝缘材料中的漏电流通常
不考虑。但在磁路中，铁磁物质与空气相比，其导
磁系数相差只有几百到几万倍，也就是说磁路中没
有绝缘材料，漏磁通常需要考虑。对电路来说，存
在短路与开路的概念，而对磁路来说，有磁势就有
磁通，不可能做到 时而 。0?F 0??
12.5 恒定磁通路的计算
在电机、电器的设计计算中，常常会遇到磁路
计算。在电机设计中，一般是从已知电动势 E 出
发，根据电机的转速和结构求出磁通 Φ，然后按
照磁路的具体情况计算出激磁绕组的磁势 F。在
电磁铁和继电器中，已知量则是电磁吸力。这量
可根据吸力公式求出磁通后，再由磁通计算出线
圈的磁势。这一类属于已知磁通求磁势的问题。
另一类则是由已知磁势求磁通的问题。前一类问
题是本节的讨论的重点，只要已知磁通求磁势的
计算搞清了，另一类问题也就会迎刃而解了。为
了方便起见，本节首先讨论无分支磁路的计算，
然后讨论有分支磁路的计算。下面就已知磁通求
磁势这类问题的解题步骤分述如下：
(1) 将磁路文段，分段的原则是材料和截面积
都相同的磁路分为一段。
(2) 按照磁路的尺寸算出各段的截面和磁路的平
均长度。
计算铁心截面积时，当遇到铁心是由涂漆的电
工钢片迭成的，则需要扣除漆的厚度，因而磁通
所通过的实际铁心面积应按照有效面积来计算。
通常，令
视在面积
有效面积?k
称为填充系数，而视在面积是指按铁心几何尺
寸求得的面积,。显然值总是小于
1的数，其大小随钢片和绝缘漆的厚度而定，一般
对于厚度为 的钢片 取 0.92左右,厚度为
的钢片,取 0.86左右。
当磁路中有气隙存在时，磁通经过气隙，将向
外扩张形成边缘效应，如图 12-14所示，因而增大了
气隙的有效面积。
在有边缘效应存在的情况下，当磁通一定时，
对应的磁感应强度 将减小。当气隙长度很小时，
气隙的有效面积可按近似公式计算如下：
视在面积有效面积 ?? k
m3105.0 ?? k
m31035.0 ?? k
B
如图 所示，对于截面为矩形的铁心，
气息的有效面积为
如图 所示，对于截面为圆形的铁心，
气隙的有效面积为 ②
① )(1512 a?
0
00
)(
))((
lbaab
lblaS a
???
??? （ 12-20）
)(1512 b?
（ 12-20）
020 2)( rlrlrS a ??? ???? （ 12-21）
边
缘
效
应
图 12-14 气 隙 的 边 缘 效 应
ba
0l
( a )
图 1 2 - 1 5 计 算 气 隙 有 效 面 积 示 图
0l
( b )
r
(3)由已知磁通算出各段的磁感应强度
(4)按照 求出各段的磁场强度 。对于铁磁性材
料可查磁化曲线或数据表，对于气隙可按下式计
算
式中的 单位为, 的单位为,
。
)(
)()(
2mS
WbTB ??
B H
0H mA/ 0B
2/ mWb
mH /104 70 ??? ??
0
0
0 ?
BH ?
（ 12-22）
mABH 700 104 ??? ? （ 12-23）
(5)计算各段磁路的磁压 （等于 ） 。
(6)按照磁路的基尔霍夫第二定律求出所需要的磁
势
上述步骤可归纳为如下计算程序，即。
例 12-3 图 12-16所示的磁路中，几何尺寸已标明
于图上，长度单位为 m。铁心由电工钢片（ D21）
迭成，激磁绕组匝数为 120匝，求在该磁路中在得
到 时所需要的激磁电流。
解（ 1）进行分段并求出各段的磁路的尺寸：
MU Hl
??? HlWIF （ 12-24）
? ?????? WIHlHlHB
Wb41015 ????
取,则
当考虑气隙的边缘效应时，
（ 2）求每段的磁感应强度：
ml 09.003.006.01 ???
ml 2.005.015.02 ???
ml 0 0 2.00 ?
9.0?k
241 105.229.005.005.0 mS ??????
242 105.139.003.005.0 mS ??????
240 106.16002.0)05.003.0(05.003.0 mS ????????
TSB 667.0
105.22
1015
4
4
1
1 ??
????
?
?
（ 3）求每段的磁场强度：
由附表（ 12-3）查出
由式（ 12-23）可得
TSB 11.1105.13 1015 4
4
2
2 ??
????
?
?
TSB 904.0106.16 1015 4
4
0
0 ??
????
?
?
mAH 2 4 61 ?
mAH 6 9 12 ?
mABH 57
0
0
0 102.7104
904.0 ??
??? ???
（ 4）求每段的磁压（上下及左右两段分别计算
在一起）
（ 5）求总磁势：
（ 6）求磁激电流：
AU M 3.4409.022 4 61 ????
AU M 4.2 7 62.026 9 12 ????
AU M 1440002.07200000 ???
AW
UUUWIF MMM
1761
14402763.44
021
?
???
????
AWFI 7.141 2 01 7 6 1 ???
在实际工作中，有时遇到这样的问题，例如一
个电磁铁的激磁绕组（即铁心上的线圈）被烧坏了，
需要重配一下，该怎么办呢？我们从电磁铁的铭牌
或说明书上可找出该电磁铁的吸力，而当磁感应强
度 B 沿电磁铁磁极表面是均匀分布时（当气隙较小，
一般可这样近似认为），则电磁吸力 F 和 B 的关系
可表示如下：
式中 B 为气隙的磁感应强度，单位为特拉斯； S 为
磁通所穿过的铁心截面积，单位为平方米；电磁吸
力 F 的单位为牛顿，由于
NSBF 07
2
0
108 ??
?
?
（ 12-25）
BS??
0, 0 0 2
0, 1 5 0, 0 5
0, 0 5
0
.
0
5
0
.
0
3
0
.
0
3
0
.
0
6
2
l
1l
图 1 2 - 1 6 例 1 2 - 3 图
所以式（ 12-25）又可写成
式中 Φ 的单位为韦伯,S 的单位为平方米，而 F的
单位为牛顿。
式（ 12-25）与式（ 12-26）可推导如下。在图
12-2的环形线圈中，当电流 由 0增加而建立磁场时，
线圈中将产生电动势 。所以以电源在时间内
对线圈所做的功为
而线圈所储存的磁场能量为
NSF
0
7
2 1
108 ??
??
?
（ 12-26）
dt
diLe
L ??
i
L i d ii dteu i d tdA L ???? )(
2
00 2
1 LIL i d idAW tt
L ??? ??
又因
则
式中 为环形铁心的体积。而磁能密度
在图 12-9（ a）中，当衔铁（即被吸的铁块 ）受
吸引力而移动 时，吸力所做的机械功为,此
时气隙体积将减小
l
SW
l
WIS
I
WHS
I
WBS
I
W
I
W
IL
2??
?? ????
???
B H VlSlWIlWIIl SWW L 21))((21)(21 2
2
???? ??
lSV ?
BHVWW LL 210 ??
22SL
dx Fdx
dxSBdVBdVHBW L 0
0
2
0
0
0
2
0
000 222
1
?? ????
根据能量守恒定律
所以
式中的 单位为, 的单位为 。
在得知吸力 F后，可根据磁路尺寸，按照（ 12-
26）求出磁通。从磁通出发按照前述步骤，即可求
出相应的磁势大小，也就确定了磁激绕组的电流与
匝数。
dxSBF dx 0
0
2
0
2 ??
SNBSBF 7
2
0
0
0
2
0
1082 ???? ??
0B 2/米韦 0S 2米
例 12-4 电磁铁的吸力为 176.5牛顿，其磁路尺寸
如图 12-17所示，单位均 为 m。若铁心与衔
铁截面积均为，铁芯材料为工程纯铁，衔铁材料为
铸钢。略去漏磁与铁心边缘效应，试求线圈的磁势
应当是多少？
解 （ 1）根据吸力大小，按式（ 12-26）求磁通。
但因有两个气隙存在，每个气息中的吸力为总吸力
的一半，所以气隙中的磁通为
24 m104 ??
WbSπFΦ 407 103
2
1108 ?? ???????
（ 2）求各段磁路的尺寸：
铁心的平均长度
其截面积 ；衔铁的平均长度
其截面积为 ；气隙长度
气隙截面积 。
（ 3）求各段的磁感应强度：
（ 4）求各段的磁场强度
由 的值查附图得 ；由 的值附表 12-1
得 ;
3 0 m.0)02.0.0(2)0, 0 108.0(l 1 ??????
241 m104S ???
14m.002.002.01.0l 2 ????
242 m104S ??? 0 0 0 5 m.0l 0 ?
2-4210 m104SSSS ?????
T.BBB 75043021 ????
1B
mA220H 1 ?
2B
mAH 50 106 ??
（ 5）求总磁势,
由以上两例可以看出，气隙长度虽短，但其磁
压所占比例却很大，这是由于气隙的磁导比铁磁材
料的磁导要小得多的缘故。
对于这一类由磁势求磁通的反面问题，若直接
计算磁通，一般说是不可能的。
AW.
.
...
lHlHlHHlF
5754
58866600
140632300220000506000002
2 221100
?
???
???????
???? ?
因为磁路是非线性的，不可能把磁势按磁路的
各段分开，从而求出该段的磁场强度，再由磁化曲
线求出相应的磁感应强度。所以在这一类计算中，
一般都用逐步逼近的间接方法，即用试探法或图解
法来计算。这里对试探法作一介绍，而图解法留待
有关课程去解决。
这里介绍的试探法，与非线性直流电路中所讲
的方法类似，即先假定一个磁通，然后按求解正面
问题的办法和步骤，求出需要的磁势。如果求出的
此时正好等于给定的磁势时（实际上允许有 1%一
下的误差），那么所假定的磁通就是我们所求的磁
通。一般来说，往往需要经过几次假定才能得出结
果。由此可见，试探法的实质就是将磁路计算的反
面问题转化为正面问题来计算。
而困难问题仍然是选取第一个试探的磁通值。
当磁路中存在气隙时，可以这样来假定第一磁
通,即可以认为所给定的全部磁势都将在气隙部
分，无因为气隙磁组实际上比铁磁材料的磁阻大得
多，所以第一次试探计算时可略去铁心磁阻来考虑，
而气隙磁通可用下式计算
式中 为气隙长度,单位为米；为气隙截面积，单
位为, 单位为韦伯。当然，因为铁心实际上存
在磁阻，所以选取 时应比 略小。
当磁路中没有气隙时，可认为磁路中各段的磁
阻近似为一常值
1Φ
0
00
000000 l
μW I SSμHSBΦ ??? （ 12-27）
0l 0
S
2米
0?
1? 0?
从而可按线性问题来处理。选取 Φ可参照下式
μS
l
IW
R
IW
Φ
M
??1
0 1?? 2? 3??
F
3
F
2
FF
1
图 1 2 - 1 8 曲 线
F??
其中 与 S可按磁路中某段的材料与截面尺寸选取。
为了减少从此时求出磁通的运算次数，可采用
作图方法。即将每次计算的相应结果（,
等），在坐标纸上用三至五点描出一条曲线，
如图 12-18所示。根据这一曲线便可由给定的磁势 F
找出相应的磁通 Φ。
例 12-5 在例 12-3的具体磁路中，当已知磁势为
1761AW时，试求磁通为多少？
解 因为磁路的材料及尺寸未变，即
?
11 F?? 22 F??
33 F??
241 10522 m.S ???
m.l 1801 ?
242 10513 m.S ???
m.l 402 ?
240 10616 m.S ???
m.l 0 0 200 ?
Wb.π
.
.
l
μSIW
SBΦ
- 37
2
0
00
000
10841104
20
106161 7 6 1
????
??
?
?
??
?
?
，
，
，
为了简便起见，其计算步骤可列表如 12-2。
由上表可知，当 Φ=1.5× 10-3Wb时，所得的磁
势 与给定的值比较，其误差为
所以可以认为结果实合适的。
Φ/Wb B1T1 B2 B0 H/(A/m2) H2 H0 H1l1 H2l2 H0l0 Σ Hl
与
原
磁
势
比
较
1.6× 10-3 0.712 1.185 0.964 275 838 771000 49.5 335 1542 1926.5 大了
1.4× 10-3 0.623 1.038 0.843 224 586 674000 40.3 234 1348 1622.3 小了
1.5× 10-3 0.667 1.112 0.905 246 695 722000 43.3 278 1444 1766.5 相近
? ?? AWHlF 3.1 7 6 6
%1%3.01761 3.17661761 ???
关于有分支磁路的计算问题，按照此路的具体情况，
可分为对称与不对称两种。当有分支磁路成对称时，
可将这种对称分支磁路分割开来，作为无分支磁路
来计算。例如图 12-29的磁路，就可以摆中间的贴
心剖成两半，并取其中的一半来计算。应当注意，
剖开后中间心柱的面积缩小一半，磁通也减为原来
的一半，而磁感应强度和磁势却保持不变，且磁路
长度将比原来略有减小。对称分支磁路在电机与壳
式变压器中常见到。这种磁路的计算也有两类问题，
一类是已知磁通求磁势，另一类是已知磁势求磁通。
其计算步骤与方法与无分支磁路相似。
至于非对称的有分支磁路的计算，计算步骤一
般是较为复杂的。下面举例加以说明。
例 12-6 图 12-9所示的有分支磁路中，铁芯材料
为铸钢，具体尺寸如图所示，单位为米。当已知左
边铁芯中的磁通 时，求产生此磁
通所需要的磁势。
解 这是一个有已知磁通求磁势的正面问题。由
于两个分支磁路是对称的，所以可将中间的心柱剖
开，取其一半来计算。
应当注意，剖开后磁路的截面积变为处处相同，
其值为
Wb41 109.9 ????
2410903.0 m0, 0 3S ?????
而磁路长度也与原来不同，此时磁路平均长度在中
间部分应取原中间心柱一半的中心线，如图 12-19
中所示。
故
则磁感应强度
查附表 12-1可得对应的磁场强度为
所以磁势
ml 36.04)03.006.0( ????
T..
S
ΦB 11
109
1099
4
4
1
?
?
?
???
mAH 1090?
AWlHF 3 9 2369.10 ?????
图 1 2 - 1 9 例 1 2 - 6 图
1S
a
1S 3?
1
l3?
2
S
21
l
b
1
l
1
?
0, 0 3
0, 0 3
0, 0 6 0, 0 6 0, 0 6
0
.
0
3
0
.
0
3
0
.
0
6
0
.
0
3
例 12-7 在上例中，若将右边铁心锯开一个缺口，
假设缺口的长度为,如不考虑边缘效应，
试求铁心左边产生同样磁通 时所需要的磁势。
解 由于在铁心右边出现了一个气隙，破坏了磁
路的对称性，因此不能用上例的方法求解。现设有
缺口的磁路中的量均改为用下标 3表示。
由于磁路的基尔霍夫第二定律可知
因此，为了求得磁势，必须求出 1,2两之路的磁场
强度 与 。由上例可知，对应于 的
又左边铁心的平均长度为
ml 0 0 1.00 ?
1Φ
2211 lHlHlWF ???
1H 2H TB 1.11 ?
mAH 10901 ?
则
要求出 必须先求出,然后计算出,查
出 。要求出,可根据磁路的基尔霍夫第一定律
得
所以欲求,则须先算出 。因第三支路磁压为
故可用试探法求,当略去 长度时,。当不
考虑边缘效应时，,而
ml 3.03.02015.0406.031 ???????
AlH 3 2 7309.1011 ???
22lH 2Φ 2B
2H 2Φ
312 ΦΦΦ ??
2Φ 3Φ
AlHlHlHU M ab 327110033 ????
3Φ 0l ml 3.03 ?
24103 109 mSSS ?????
Wb.,μl μI W SΦ 40
4
0
00
0 1069300 10
10932 7 ?? ???????
则 的求得可按表 12-3进行。
故可确定,所以
则
3Φ
Φ3/Wb B3/T H3/(A/m) H0 H3l3(A) H0l0 Hl 与原磁势比较
10-4 0.330 264 264000 79.2 264 343 大了
10-4 0.322 257 258000 77 258 335 大了
10-4 0.312 248 249000 74.5 249 332.5 合适
Wb43 108.2 ????
Wb...ΦΦΦ 444312 1071210821099 ??? ????????
T
S
B 706.0
1018
107.12
4
4
2
2
2 ??
????
?
?
查附表 12-1得
因此
故所求磁势为
mAH 5882 ?
AlH 9.5210)36(588 222 ???? ?
AWlHlHF 9.3 7 99.523 2 72211 ?????
12.6交变磁通磁路的分析
交变磁通磁路与恒定磁通磁路的不同点主要是
由于磁通交变而引起的。由于铁心中磁通交变，在
铁芯中引起感应电动势，而形成感应电流。感应电
流在铁芯中流通，造成能量损耗，而使铁心发热。
称这部分损耗为涡流损耗。由于铁芯中磁通交变，
使得铁心始终属于交变磁化状态。由于磁滞现象每
次磁化都要消耗一部分能量，这样，在铁芯中还有
由于磁滞现象而引起的能量损耗，这部分损耗也使
得铁心发热。称这部分损耗为磁滞损耗。涡流损耗
和磁滞损耗都是铁心发热表现出来的，因此，称它
们为铁心损耗，简称铁损。
对于 50Hz的工业频率和其他较低频率下的交变
磁通磁路，由于频率较低，故恒定磁通磁路的基本
定律和计算磁路的一些假定及方法仍然适用。
由于磁路问题都是非线性问题，即使线圈上外
加电压是正弦的，线圈中的电流也不是正弦的。一
般来说，交变磁通的磁路问题都是非正弦问题。但
是在电力工程上碰到的大量电机、变压器等问题，
由于制造时已考虑了消除谐波问题，因此，仍然可
看成正弦问题，而按正弦电路的方法去处理。
12.6.1 磁滞损耗
实践证明，在正常运行的电机、电器中，磁滞
损耗比涡流损耗大二至三倍。因此，对磁滞损耗更
应当引起足够的重视。
这里借助图 12-20来分析磁滞损耗与哪些因素有
关。设线圈有 W匝密绕于铁芯上，略去磁滞，并假
设圆环铁心平均半径 ≥d（铁环本身的直径），故可
以认为铁心街面上磁通 φ的分布是均匀的，
即 。因此有
或
SBφ ??
WiHl ?
W
Hli? （ 12-28）
式中 为圆环的平均长度。
此时电流供给的瞬时功率为
Rl ?2?
（ 12-29）
dt
φdWiuip ??
R Slu l
图 1 2 - 2 0 用 以 分 析 磁 滞 损 耗 图
当略去导线电阻的铜损,则上述电流供给的功率，
将全部消耗在铁芯上。将式（ 12-28）代入（ 12-
29），并考虑,则得
式中 为环形铁心的体积。所以铁心
消耗的平均功率为
ri2
BSφ ?
dt
dBVH
dt
SBd
W
HlWp ?? )( （ 12-30）
RSπlSV 2??
? ?
??
??
???
HdBfVHdB
T
V
dt
dt
dB
VH
T
uidt
T
P
TT
00
11
（ 12-31）
对于常见的静态磁滞回线而言，由式（ 12-31）
所求得的铁心消耗平均功率即为该铁心的磁滞损耗。
因为电流变化一个周期,B与 H将沿回线变化一周，
所以积分 就是沿如图 12-21所示的磁滞回线取
闭合积分，即
式中 S代表图中对应的面积,代表迟滞回线所
围成的面积。
?HdB
? ?
? ?
回
f V S
SSSSfV
H d BH d BH d BH d BfVP
dn e dbc dn bam b ae f am e
debdabea
?
????
???? ????
（ 12-32）
回S
0
B amb
HB
dB
c f H
m
B
end
图 1 2 - 2 1 求 示 图
? HdB
式 12-32表明，在磁滞损耗正比于交变磁化的频
率，铁心的体积和迟滞回线所包围的面积。而迟滞
回线的面积实际上代表了交变磁化一个循环时，铁
芯中单位体积的磁滞损耗。由于迟滞回线的面积于
铁磁材料的性质有关，对于一定得铁磁材料而言，
迟滞回线的面积显然又与磁感应强度的最大值
有关。故迟滞消耗的大小与铁磁材料的性质、磁化
频率、磁感应强度的最大值有关。工程上常用下列
经验公式来计算迟滞损耗，即
式中 为某铁心的磁滞损耗，单位瓦（ W），
mB
VfBσP nmhh ? （ 12-33）
hP hσ
为与材料性质有关的系数，可由试验确定，也可从
有关手册中查阅。指数 n与 有关，当
时 n取 1.6，当 时 n宜取 2。
为了减少磁滞损失，应当选择迟滞回线狭窄的
材料作为铁心，例如硅钢片于坡莫合金等。
mB TB m 0 0 0.1?
TB m 000.1?
12.6.2 涡流损耗
涡流损耗降低了电机、电器的效率，由于使铁
心发热，温度升高，降低了设备利用率。涡流的存
在，还会消弱铁心内部的交变磁场，通常称为涡流
去磁作用。去磁作用使铁芯的中心部分磁感应强度
最弱，而边缘部分最强。在交变磁通的磁路中为了
减少涡流损耗，铁心一般都是用硅钢片跌成，片上
涂有绝缘漆，如图 12-22（ c）所示。
下面来研究涡流损耗与哪些因素有关，以及怎
样计算涡流损耗，可以用图 12-22a来说明。图中为
一片硅钢片,长度为 l、宽度为 h、厚度为 b,
( a ) ( b )
( c )
y
h
2
b
b b b
l' hxdx
图 1 2 - 2 2 涡 流 损 耗 示 图
通常 。设交变磁通的频率 f不高，则可略去涡
流的去磁作用，认为在薄片截面上 B的分布是均匀
的，且沿 Y轴作用于钢片上。在交变磁场的作用下，
钢片上涡流的分布如图中虚线所示。今取一涡流回
路，如图 12-22（ b）中实线所示。在此回路上涡流
损耗为
式中 I为涡流回路中电流的有效值,为回路电阻；
为回路中感应电动势的有效值。
又设作用在涡流回路的磁通 作正弦变化，即
bh ??
x
x
x
x
x
xe dR
EdR
dR
EdRIdP 222 )( ??? （ 12-34）
xdR
xE
xφ
tωΦφ xmx s i n?
则涡流回路感应电动势的瞬时值为
式中
则
当 φ随时间作非正弦变化时，上式可改为
)
2
s i n (
c o s
π
tωE
tωωΦ
dt
d
e
m
xm
x
x
??
??????
xmm ΦωE ?
xmxmmx fΦfΦ
πEE 44.4
2
2
2 ???
（ 12-35）
xmfx fΦKE ?? 4
（ 12-36）
式中 称为波形系数，当电动势波形为正弦波时，
取,应指出，式（ 12-35）与式（ 12-36）
都是将涡流回路作为单匝绕组而得出的。
式（ 12-35）与式（ 12-36）中的
为使分析简便取 来分析。这样
fK
11.1?fK
mm
mxm
xh BΦ
S
hx
Φ
S
Φ
2
2
刚片总面积
涡流回路所包围的面积
?
?
?
?
（ 12-37）
hh ??
ld xγ
hdR
x
2? （ 12-38）
式中 γ为钢片的导电率。将（ 12-36）～（ 12-38）
代入（ 12-34）可得
则整个钢片的涡流损耗为 dxxBfl h Kγdp mfe
2222 )32(?
VbBfKγ
l h bbBfKγ
dxxBfl h KγdPP
mf
mf
b
mfee
2222
2222
2
0
2222
3
4
)(
3
4
)32(
?
?
?? ? ?
（ 12-39）
式中 为硅钢片的体积。
式（ 12-39）表明，涡流损耗与磁路材料的导电
率 γ成正比。因此，在钢片中掺入硅后，其导电率
大为降低，使涡流损失也大为减少。
因为涡流损耗与钢片厚度 b的平方成正比，因此
将硅钢片压得很薄并按图 12-22(c)迭起来。时间小
涡流损耗的有效措施。在工程实际中，对工频交流
而言，常采用厚度为 0.35与 0.5mm两种规格，也有
采用 0.2,0.15和 0.1mm的规格，对于更高的频率，
因为涡流的去磁作用特别大，一般采用铁粉心或铁
淦氧磁体。
lh bV ?
这类材料是某些金属的固体氧化物的混合物，其导
电率很小，故涡流损耗特别地。
涡流损耗还与感应电动势的波形系数 的平方
成正比。如果磁通的波形越平，则感应电动势
的波形越尖,就越大，造成的损耗也越大。
对一定的铁心和一定的磁通波形而言，涡流损
耗则与交变磁化的频率 f以及磁感应强度的最大值
二者的平方成正比，因此，可将（ 12-39）式用下
列简化公式表示，即
式中 为与铁心导电率、厚度及磁通波形有关的常
数。
fK
)( dtφde ??
fK
mB
（ 12-40）VBfσP
mee 22?
eσ
涡流会造成铁心损耗，对电机、电器的运行有
害，但在某些设备中却常利用涡流起作用。例如在
铸造工业中使用频炉或工频炉，就是利用涡流损耗
产生的热量来熔炼金属的。在电工仪表中，也常利
用涡流效应制成各种制动器等。
在电机、变压器等的设计计算与测式中，一般
都没有必要单独求出磁滞与涡流损耗，而常常是计
算和测量总的铁损。在电机设计中，铁损常按下列
经验公式计算：
kgWfBPP Fe 3.12
4
5010 )50()1 0 0 0 0
10( ??? （ 12-41）
式中 B的单位为特拉斯； 称为损耗系数，是指 1kg的
硅钢片，当, 时的铁损。其素质与钢片型号
和厚度有关，可参看下表。
5010P
Hzf 50? TBm 1?
钢片型号 钢片厚度 /mm P10/50
D12 0.5 2.8
D21 0.5 2.5
D31 0.5 2.0
D42 0.5 2.4
D44 0.35 1.2
对于工频,为其它值时各钢片的损耗系数
查阅有关设计手册即可得到。
当遗址中的铁损而有必要把所有的的铁损分开
为磁滞损耗与涡流损耗时，可以利用二者对频率的
不同依赖关系，在保持 不变的条件下，用改变电
源频率的方法，将两类损耗分开。由式（ 12-33）
与式（ 12-40）可知
上式中 是在式（ 12-33）中，取 n=2所
得结果。
mB 50BP
mB
VfBσVBfσppp mhmeheFe 222 ???? （ 12-42）
VfBσp mhh 2?
对于式（ 12-42），当保持 不变，则可改写为
式中，均为与频率无关的常数，于是则有
对式（ 12-43）与式（ 12-44）取两种不同的频
率，即 及,分别测出其对应的铁损值，
可确定出常数 A与 B，然后再确定涡流损耗及磁滞
损耗。
mB
2BfAfP Fe ??
（ 12-43）
BfAfP Fe ??
（ 12-44）
1ff ? 2ff ? FeP
12.6.3 电流、电压及磁通波形的畸变
电机、电器特别适用于自动控制中的电磁元件，
他们的性能不仅受到电流、电压的有效值及功率大
小的影像，而且还与电压、电流的波形有关。因此
要对铁心线圈的磁通、电流和电压的波形进行必要
的分析。
铁心线圈中电流,电压,及磁通 的波形，
主要受铁心的磁饱和、磁滞及涡流的影响。
如图 12-23(a)所示，当铁心线圈接通交流电源后，
大部分磁通通过铁心而闭合，叫做主磁通 φ；
)(ti )(tu )(tφ
e
2
?
?
u
i
图 1 2 - 2 3 交 变 磁 路 及 其 忽 略 磁 滞 和 涡 流 时 的 曲 线
i??( a )
( b )
0 i
?
还有很少一部分磁通，通过空气闭合，叫做漏磁
通 。若忽略铁心的磁滞与涡流的影响，则磁通 φ
与电流 i的变化关系如图 12-23(b)所示。实际上
曲线是由 B-H曲线通过, 得关系演变
而来的。当略去漏磁通 和电阻 压降之后，则电
压与铁心中的磁通有下列关系：
设外加电压为正弦波，即
则
s?
)(iφ
WHli ? SBφ ?
sφ
iR
dt
φdW
dt
ψdeu ???? （ 12-45）
tωUu m co s?
CtωWUudtWφ
ω
m ??? ? s i n1
因为外加电压是不含直流分量的正弦电压，因而电
流中就不会含有直流分量，则磁通中也不可能含有
直流分量，故积分常数 。即有
式中 是磁通的最大值。
由式 (12-46)看出，当外加电压为正弦波时，铁
心中的磁通 也是正弦波，但是在相位上，电压
超前磁通 。由于已知电压并不能直接求出电流，
因此要计算电流，还必须利用铁心线圈 的特性
曲线，用图解法求出电流。
0?C
tωΦtω
W
Uφ
m
ω
m s i ns i n ??
（ 12-46）
ω
m
m W
UΦ ?
)(tφ
2π
)(iφ
具体步骤是：先在图 12-24(b)上画出 与
的波形，在图 12-24(a)中画出 曲线。然后从曲线
上的点，作水平线与曲线 相交于点,则点
的横坐标就是 时刻的,因此，从曲线 上的
点 作铅垂线与曲线 的时间轴上的 点所作的
铅垂线相交于点,则点 就是电流曲线上的一
点 。按上述步骤逐点描绘，便可做出电流曲线
如图 12-24(c)所示。
)(tu )(tφ
)(iφ
)(tφ )(iφ 1?
1? 1t 1i )(iφ
1? )(tiM 1t
1? 1?
1i )(tiM
( a ) ( b )
( c )
? ?u
)(t? t
2
T
4
T
2t1t0
'
l
1i 2i 3ii
iM
)
(t
iM
''l
1 t
2
t4 T
2 Tt
图 1 2 - 2 4 忽 略 磁 滞 和 涡 流, u 为 正 弦 时 候 I 畸 变 图
由图可见,是非正弦波。应用谐波分析方法，
可将电流 进行分解。因为曲线 对称于原点，
所以电流中只含奇次谐波，且不含直流分量和余弦
项，即
由图 12-25可以看出，当电压为正弦波时，电流
确是具有尖顶的非正弦波。这种波形畸变的原因，
显然是由于 曲线的非线性所引起的。其实质是
由于磁饱和所造成的。值得注意的是，当外加电压
超过线圈额定电压较多时，可引起电流远远超过额
定值，从而使线圈损坏。
)(tiM
)(tiM )(tiM
tωItωItωI
iiiti
mmm
M
5s i n3s i ns i n
)(
531
531
???
???? ?
（ 12-47）
)(iφ
如果外加电压的振幅比较小，铁心未达到磁饱和，
则电流波形将近似于正弦波。由式（ 12-47）可知，
电流的基波分量为,与电压的相位相差，
故由外加电源输入的平均功率为
这是由于略去了线圈的电阻和铁损所得出的结论。
如果线圈通正弦电流 时，我们可以
仿照用曲线 和 曲线做出曲线 的方法，用
和 作出 的波形，然后再按照 关系，
即可得出电压 的波形如图 12-25所示。
tωIm s in1
0co s
1
?? ?
?
?
KK
K
K ΦIUP
（ 12-48）
tωIi m s in?
)(tφ )(iφ )(ti )(ti
)(iφ )(tφ
dt
φdWtu ?)(
)(tu
由图 12-25可见，当 为正弦波时，由于铁心
磁饱和的影响,将是具有平顶的非正弦波。由
得出电压 的波形，将是具有尖顶的非正弦波。
他们都具有显著的三次谐波。
以上这种由于磁饱和现象而引起的电压、电流
的波形畸变，在实际工作中必须引起注意。实际中
根据具体条件可以由减小磁通的最大值或从铁心线
圈的结构设计和连接线路的方式上加以解决。
)(ti
)(tφ )(tφ
)(tu
0 i
?
0 t
?ui )( tu
)( t?
)( ti
2
T
4
3 T
T4
T
图 1 2 - 2 5 忽 略 磁 滞 和 涡 流,ｉ 为 正 弦 时 u 畸 变 图
当考虑到铁心的磁滞现象后，则必须用如图 12-
26(a)的迟滞回线来取代基本磁化曲线，并仍按上述
作图方法求解。设计加电压 为正弦波，由上述
作图法求得 及对应的 与 的波形，如图 12-
26(b)所示，从图 12-26中看出，有磁滞现象影响时
电流 的波形畸变得更严重，它已经不再对称于原
点。将有磁滞影响和仅有磁饱和影响的两个电流
与 的波形加以比较，可以看出，有磁滞影响时
的电流 与 仅有磁饱和影响时的电流之间，只
相差一个电流分量,而 得波形近似于正弦
波，它超前于磁通,而与外加电压同相位。
此时输入的平均功率将不再为零。
)(tu
)(ti )(tu )(tφ
)(ti
)(ti
)(tiM
)(ti )(tiM
)(tih )(tih
)(tφ ?90
这个功率就是磁滞损耗的功率。
当考虑有涡流存在对电流波形的影响时，可以
从功率角度出发来分析，由于涡流存在，铁损还要
增加。因此电源供给的平均功率也将随之增大，这
就可以认为此时电流又增加了一个与电压同相位的
电流分量。所以由于考虑到涡流的存在，将使
电流的波形更加畸变。 )(ti
?iu?b'
3c
d e
f
a '2
'1 1i
1t 2t 3
t
23 )( t? )( ti
M
)( ti )( tu
)( ti h
( b )
( a )
图 1 2 - 2 6 考 虑 磁 滞, u 正 弦 时 I 畸 变 图
12.7 铁心线圈电路
由上节分析可知，铁心线圈中的电压或电流畸
变时为非正弦波，而非正弦电流（或电压）是不能
采用相量法与相量图来进行分析的。为了便于研究
问题，在分析中引进一个正弦电流（或电压）去代
替铁心线圈中的非正弦电流（或电压），这个引进
的正弦电流（或电压）成为等效正弦波。采用等效
正弦波去代替原来的非正弦波，必须满足以下三个
条件才能保证在研究的主要方面（电流、电压的有
效值与功率）的到足够准确的结果。
(1)等效正弦波的周期与原来的非正弦波的周期
相同。
(2)等效正弦波的有效值等于原来非正弦波的有
效值。
(3)等效正弦波的平均功率等于铁心线圈的功率
损耗。即等效正弦波的电流与电压间的相位差 φ
应满足如下关系
式中 为铁心线圈的总损耗。当略去线圈电阻的
损耗时,。
有了等效正弦波的感念后，就可以方便的讨论
铁心线圈的伏安特性和等效电路了。
UI
Pφ ??c o s （ 12-49）
P?
FePP ??
12.7.1 铁心线圈的伏安特性
铁心线圈的伏安特性通常可由实验方法测出来，
也可以用图解方法确定。为了便于找出伏安特性曲
线的主要性质，我们暂且忽略漏磁与铁损，采用节
12-6中的作图方法做出对应不同电压或磁通的最大
值（或有效值）时的电流波形如图 12-27所示。从
图中可以看出，当电压足够高时，电流的最大值便
迅速增长，这是由于铁心处于饱和状态所致。然后
将每一次的电压与电流的有效值算出来，例如当电
压有效值为 … 时，根据非正弦波有效值
的计算方法，从电流波形可以计算出与各电压对应
的电流有效值 … … 根据各对应的电压
321,,UUU
321,,III
与电流的有效值便可画出一条曲线，如图 12-28
所示。这条曲线就表示铁心线圈电压有效值与电流
有效值之间的关系，即铁心线圈的伏安特性曲线。
0
?
0
u
t
?
2
T
4
T
0
2 T
4 T
ii
)
(1t
i
)
(2t
i
)
(3t
it
)(1 t?
)(2 t?
)(3 t?)(1 tu )(
2 tu )(
3 tu
图 1 2 - 2 7 忽 略 漏 磁 和 铁 损 时 u, i 的 波 形
0 2I1I 3I
2
U
3
U
1
U
I
图 1 2 - 2 8 铁 心 线 圈 的 伏 案 特 性
与电流的有效值便可画出一条曲线，如图 12-28所
示。这条曲线就表示铁心线圈电压有效值与电流有
效值之间的关系，即铁心线圈的伏安特性曲线。
由图 12-28可以看出,曲线不是一条直线，说
明电压 U与电流 I之间是非线性关系。其形状与铁心
的基本磁化曲线相似。当考虑磁滞与涡流影响后，
电流的有效值虽然在数量上会加大一些，但伏安特
性曲线的基本形状不变，仍与图 12-28所示的曲线
相似。
)(IU
2.7.2 磁心线圈的等效电路
当略去铁心线圈的损耗不计，且用等效正弦波
代替非正弦电流，则由式 (12-49)可知，此时铁心线
圈的端电压与导致正弦波电流的相位差恰好为
（因 ），所以此时的铁心线圈便可看成一个
纯电感元件。其电压与电流有效值之比为
式中,叫做铁心线圈的等效电抗,叫做等
效电感。由伏安特性曲线可知，当电压与电流加大
时 和 的值将逐渐减少
2π
0??P
ee LωXI
U ?? （ 12-50）
ee LωX ? eL
eX eL
即 与 不为常数。因此铁心线圈是一个非线性电
感元件。只有当电压较低（伏安曲线在起始阶段 —
— 近似于一直线）时，或者铁心开有气隙时,和
才近似于常数。
当采用等效正弦波代替非正弦波电流、电压后，
就可以运用正弦交流电路中的相量法与相量图去分
析铁心线圈电路。下面首先从最简单的情况开始讨
论，即略去线圈电阻 R、漏磁 及 铁损不计，则由
图 12-23(a)可见，此时端电压 u应与感应电动势 e相
平衡，即
eX eL
eX eL
sφ FeP
eu ??
写成复数形式则为
由式（ 12-35）可知，当线圈匝数为 W时，其有效
值关系为
由于电动势 e在相位上之后磁通 φ为,故可用复数
表示为
在画相量图时，通常都以 作为参考相量，将它画
在水平方向，然后按式（ 12-53），在 较滞后处
画出电动势 的相量。
EU ?? ?? （ 12-51）
mfW ΦEU 4 4 4??
（ 12-52）
?90
mΦfWjE ?? 44.4??
（ 12-53）
mΦ?
mΦ? ?90
E?
因为端电压相量 与 反相，故可画在 的上方，
且长度相等。而等效正弦波电流相量 与电压 的
相位差 φ，则可按式（ 12-49）决定。此时因线圈电
阻及磁滞、涡流损耗均已忽略不计，即铁心线圈的
功率损耗为零，所以
由此可见，电流相量 滞后于电压 为,亦即
与 同相。相量图 12-29(a)所示。对应的等效
电路图如图 12-29(b)所示。其中电感 为
U? E? E?
MI? U?
???? 90ar cco s
MUI
Pφ
MI? U? ?90
MI? mΦ?
eL
M
e Iω
UL ? （ 12-54）
0 EU ?? ?? M??MI
?
E?
（ a ）
eL
E?MI
?
U?
（ b ）
图 1 2 - 2 9 忽 略 损 耗 时 铁 心 线 圈 等 效 电 路 及 向 量 图
EU ?? ???? I
?
aI
?
MI
?
m?
?
E?
( a )
U?I
?
aI
?
0gE
? MI? 0b
( b )
图 1 2 - 3 0 考 虑 铁 损 时 铁 心 线 圈 等 效 电 路 及 向 量 图
当考虑铁芯损耗后，则式（ 12-49）可知，因
所以此时的电流相量 滞后于电压相量 的角度 φ
将小于 。即相量 将超前 一个角度,
角 α常叫做损耗角。其他相量关系不变化。
为了便于进一步分析，常将电流 分解成一个
分量，即 与,如图 12-30(a)所示。其中 与
同相与差 的分量,叫做无功分量或磁激电流。
他相当于产生主磁通时的激磁分量，而与 同相的
分量,叫做有功分量，它相当于由于铁损而引起
的损耗分量。
如果引入导纳概念，则电压 与电流 之间将
有以下关系
0??P
I? U?
2π I? mΦ? φπα ?? 2
I?
MI? aI? mΦ? U?
2π MI?
U?
aI?
U? I?
对应于式（ 12-55）可画出其铁心线圈的等效电
路如图 12-30(b)所示。其中 叫做激磁电导，它反
映铁损的大小； 叫做激磁电纳；而 则
叫做激磁导纳；它们的大小可按下两式求得
Ma II
jbgUYUI
??
???
??
??? )( 000 （ 12-55）
0g
0b 000 jbgY ??
?
?
?
?
?
?
???
U
I
b
U
P
U
UI
U
I
g
M
Feaa
0
220 （ 12-56）
式中铁损,它可由实验测得，或由有关
手册中查得，于是可得
而电流 I也可由实验测得，因此
由此即可按式（ 12-56）求得铁心线圈的参数
与 。
最后讨论考虑线圈电阻及漏磁通时铁心线圈的
等效电路。
UIP aFe ?
U
PI Fe
a ?
22
aM III ??
0g
0b
此时 u中，除一部分用来平衡铁心中主磁通产生的
感应电动势 e之外，还必须有两个分量用来平衡电
阻压降 及漏磁通产生的电动势 。因此电压平衡
方程式可写为
因为漏磁通主要通过空气闭合，所以漏磁通链 与
电流 i成正比，即,其中比例系数为 线圈的
漏电感。因此
代入式（ 12-57）可得
iR Se
iReseu ???? （ 12-57）
sψ
iLsψ S? SL
dt
diL
dt
sψde
SS ???
（ 12-58）
iRdtdiLeu S ????
（ 12-59）
写成复数形式
考虑线圈电阻及漏磁通时，铁芯线圈的相量图
可在图 12-30(a)基础上，根据式（ 12-60）画出。即
在相量 的基础上加上与电流同相位的,再加
上超前电流 的相量，就可以得到端电压相量
如图 12-31(a)所示。比较图 12-30(a)与 12-31(a)，可
画出考虑线圈电阻、漏磁通和铁损时铁心线圈的等
效电路如图 12-31(b)所示。它与 12-31(b)比较，仅
多了一个串联电阻 R与漏电抗 。
IZEIRILωjEU SS ?????? ???????
（ 12-60）
E?? IR?
?90 U?
SX
应当指出，等效电路中的参数 与 一般都不
是常数，它们的数字随端电压 U而变化。所以对应
不同的 U，采用不同的 和 。但是，当 U变化范
围很小时,和 则可以近似看作常数，这样可采
用上述等效电路以复数进行分析计算，使计算大为
简化。
例 23-8 已知铁芯线圈的电阻,漏电抗
当外加电压 时，测得电流, 。
试求铁心损耗、主磁通产生的感应电动势及激磁电
流,并做出相量图。
解 已知,,则铜损为
0g 0b
0g 0b
0g 0b
?? 5.0R ??1SX
VU 100? AI 10? WP 200?
MI
?? 5.0R AI 10?
铁损为
而
若令
因为
故
则
所以
WRIP R 502 ??
WPPP RFe 1 5 0???
)( SjXRIEU ???? ???
AII ?????? 0100?
2.010100 200c o s ???? UIPφ
??? 5.782.0a r c c o sφ
VφUU ????? 5.781 0 0?
V
j
jXRIUE S
???
?????
????
4.802.89
)15.0(10781 00
)(???
即感应电动势的有效值
激磁电流
按各相量的关系，做出相量图如图 12-32所示
VE 2.89?
AII M 83.94.80s i n104.80s i n ?????
MI
?
m?
??
(a)
图 12-30 考 虑 铁 损 时 铁 心 线 圈 等 效 电 路 及 向 量 图
aI?I
?
IR ?U
?
E?? U?I
?
aI
?
0gE
? MI? 0b
(b)
SX
IjX S ?
0R
M
I? m??
E?
( a )
图 1 2 - 3 2 例 1 2 - 8 相 量 图
a
I?I?
RI?
U?
E??
S
XIj ?
?4.80
?5.78
12.8具有直流基磁化的铁心线圈
由前所述，在交流电路中铁心线圈是个非线性
感应元件，他的感抗与铁心饱和程度有关，铁心愈
饱和等值感抗 愈小。也就是改变铁心的饱和程度
就可以改变铁心线圈的等值感抗。这样，在铁心上
除了交流线圈，再绕上一个直流线圈，作为基磁化
线圈，改变他的电流，就可以改变铁心的饱和度，
就可以改变交流线圈的感抗，在实际中利用这个原
理制成可控饱和电抗器或叫功率放大器。
eX
如图 12-33为一具有直流基磁化的铁心线圈。设直
流线圈匝数为,线圈电流为 ；交流线圈匝数
为,线圈电流为,线圈两端电压为 。设已知
交流线圈的电流为正弦波形，即：
来计算交流线圈两端的电压 。
如图 12-33所设各量的参考方向下，总磁势为
0W 0I
1W 1i 1u
tωgIi m s i n11 ?
1u
tωWIWIWiWIFFF m s i n1100110010 ??????
?0I 1i
1W 1u
11Wi00 Wi
0W
图 1 2 - 3 3 具 有 直 流 磁 化 的 铁 心 线 圈
这样，由于磁势根据磁通 —— 磁势曲线 可
以求出磁通，然后，再由磁通求出交流线圈两端电
压 。其具体做法与前面相似。其中,
曲线如图 12-34所示。
从作图中可看出，直流激磁化的磁势 愈大，
铁芯愈饱和，在同样的交流磁势 作用下，所得
的磁通 曲线起伏愈小，而与它的变化率有关的
也就愈小，相应的，交流线圈的等值感抗就愈
小。反之，直流激磁化的磁势 愈小，交流线圈的
等值感抗就愈大。这样，改变直流线圈的电流 就
可以改变交流线圈的等值感抗，从而改变交流线圈
的电压或电流。
)(Fφ
1u )( tωφ )(1 tωu
00WI
11Wi
)( tωφ
)(1 tωu
00WI
?1 2
3 1 F2 3
?
)( F? 1u )( t??
t?
)(1 tu ?
0?
'?
0
)( tF ?3
t?
0I 0W
1W mI 1
图 1 2 - 3 4 具 有 直 流 基 磁 化 的 铁 心 线 圈 中 交 流 线 圈 电 压 求 解 示 图
1
u
由图 12-34上的 曲线很容易看出，他有个直
流分量 。这是因为有直流基磁化的磁势 所致。
但是，从图上也很容易看出，由于铁磁饱和的影响，
使得 要比 单独作用决定的恒定磁通 小一些。
在实际中，常常碰到的是交流线圈两端的电压
为正弦波，很容易想到，这次交流线圈的电流 为
非正弦波。现在来研究这种情形。设交流线圈两端
电压已知，且为正弦波，即：
现在来计算交流线圈中的电流。设仍然忽略交
流线圈的电阻和漏磁，则交流线圈两端的电压可表
示为：
)( tωφ
0Φ 00WI
0Φ 00WI Φ?
1u
1i
)90s i n (c o s1 ???? tωUtωUu mm
分离变量
取积分
dt
φdWu
11 ?
dt
W
uφd
1
1?
? ? ? ??? dttωWUdtWuφd m co s
11
1
010
1
s i n ΦφΦtω
Wω
Uφ m ????
第一项 是磁通的交变分量。第二项积分常数,
是磁通的直流分量，他不等于零，因为有直流磁
势 。但是，由前变得研究知道，直流分量 并
不等于 单独作用时产生的恒定磁通,而是要
比他小一些，这是由于铁心的非线性形成的。用与
前边相同的作图方法，由曲线, 做出
由 的平均值得出,由 减去 就得到
磁势的交变分量,因为：
1φ 0Φ
00WI 0Φ
00WI
Φ?
)(Fφ )( tωφ )( tωF
)( tωF 00WI 00WI)( tωF
)(1 tωF
111 )()( WtωitωF ?
?1 2
3
?
)( F?
t?
)(1 tu ?
0
t?
图 1 2 - 3 5 具 有 直 流 基 磁 化 的 铁 心 线 圈 中 交 流 线 圈 电 流 i 求 解 示 图
1
u2
)( t??31
2
)( tF ?
00 WI
0 0
? '?1
3
1'i1i
0 '0
)(1 ti ?
tI
m
?cos'
1 tI
m
?2cos'
1 t?
图 1 2 - 3 6 i 的 分 离 变 量 图
这样，再用 去除 曲线，就可以得到交流
线圈中电流曲线,如图 12-36所示。 是非
正弦波。如果把纵轴右移,如图中虚线那样，这
时用 表示。则 是对称于纵轴的偶函数，它
仅含有余弦项。即：
由上边左图中同样可以看出，直流激磁化的磁
势愈大，铁心愈饱和，交流线圈两端电压一定时，
交流线圈中的电流就愈大，交流线圈的等值感抗愈
小。
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在工程上利用上述的原理制成铁磁功率放
大器，简称磁放大器。图 12-37就是其原理电路。
把交流线圈串在交流工作电路中，改变直流控制
电路的电流 就可以改变交流线圈的感抗，从而
改变交流工作电路的电流 i。这样，交流线圈就是
一个可控的电抗器。这样的电抗器也可以用在直
流互感器中。应当指出，图 12-37仅仅是一个原
理电路图。在工程实际应用中还要对它的缺点给
予改进。
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