电工基础
东北大学信息学院
电子信息工程研究所
第五章
互感电路与谐振电路
第五章 互感电路与谐振电路
? 5.1 互感
? 5.2 含互感电路的计算
? 5.3 空心变压器
? 5.4 理想变压器
? 5.5 串联谐振电路
? 5.6 并联谐振电路
5.1 互感
( 1)互感
载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为
磁耦合。
11? 21?
1L 1N 2
L 2N
1i
1i
+_ 21u
11′ 22′ 2i
● 自感磁通链
线圈 1中的电流产生的磁通设为 ?
11
11?在穿越自身的线圈时,所产生的磁通链设为 此
磁通链称为自感磁通链。
● 互感磁通链
中的一部分或全部交链线圈 2时产生的磁通链,设为
,称为互感通磁链
11?
21?
同样,线圈 2中的电流也产生自感磁通链 和互感
磁通链
?22
?21
线圈 2的磁通链为,
耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁通
链两部分的代数和。
12111 ??? ??
22212 ??? ???
线圈 1 的磁通链为,
( 2)互感系数
当周围空间是各向同性的线性磁介质时,每一种
磁通链都与产生它的电流成正比。
1111 iL??
2222 iL??
互感磁通链 21212 iM??
12121 iM??
自感磁通链:
上式中 M12和 M21称为互感系数,简称 互感 。
互感用符号 M表示,单位为 H。
M=M12=M21
两个耦合线圈的磁通链可表示为:
12111 ??? ??
22212 ??? ???
= L1i1± M i2
= ± M i1 +L2i2
上式表明,耦合线圈中的磁通链与施感电流成
线性 关系,是各施感电流独立产生的磁通链叠加的
结果。
为了便于反映“增助”或“削弱”作用和简化图形表示,
采用同名端标记方法。
( 3)同名端
● 同名端的引入
M前的 ± 号是说明磁耦合中,互感作用的两种可能性。
“+”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致,称
为互感的,增助” 作用;
“-”号则相反,表示互感的,削弱” 作用。
= L1i1± M i2
1?
= ± M i1 +L2i2
2?
● 同名端 (dotted terminals)
对两个有耦合的线圈各取一个端子,并用相同的符
号标记,这一对端子称为,同名端” 。当一对施感电
流从同名端流进(或流出)各自的线圈时,互感起增
助作用。
* *
11? 21?
1L 1N 2
L 2N
1i1i 11′ 22′
2i
+— u1 +— u2
+ +
-
-
* *
L
1
L
2
M
i 1 i 2
u 1 u 2
耦合线圈电路模型
* *
11? 21?
1L 1N 2
L 2N
1i1i 11′ 22′
2i
+— u1 +— u2
设 L1和 L2的电压和电流分别为 u1,i1和 u2,i2,
且都取关联参考方向,互感为 M,则有:
dt
diM
dt
diL
dt
du 21
1
1
1 ???
?
dt
diL
dt
diM
dt
du 2
2
12
2 ????
?
令自感电压
dt
diLu 1
111 ? dt
diLu 2
222 ?
互感电压
dt
diMu 1
21 ?dt
diMu 2
12 ?
( 4)互感电压
u12是变动电流 i2在 L1中产生的互感电压,
u21是变动电流 i1在 L2中产生的互感电压。
所以耦合电感的电压是自感电压和互感电压叠加
的结果。
互感电压前的, +”或,-”号的正确选取是写出耦
合电感端电压的关键,
说明
1211
21
1
1
1 uudt
diM
dt
diL
dt
du ????? ?
2221
2
2
12
2 uudt
diL
dt
diM
dt
du ??????? ?
如果互感电压, +”极性端子与产生它的电流流进
的端子为一对同名端,互感电压前应取, +”号,
反之取, -”号。
选取原则 可简明地表述如下:
左图电压、电流关系式为:
dt
di
M
dt
di
Lu
dt
di
M
dt
di
Lu
12
2
2
21
11
???
??
+ +
-
-
* *
L
1
L
2
M
i 1 i 2
u 1 u 2
(五 )互感电压的等效受控源表示法
当施感电流为同频正弦量时,在正弦稳态情况下,
电压、电流方程可用 相量形式 表示,
??? ??
2111 IMjILjU ??
??? ??
2212 ILjIMjU ??
?
1U
1Lj?
?
2IMj?
?
1I
?
2U
2Lj?
?
2I
?
1IMj?
(六 )耦合系数( coupling coefficient)
工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合 紧
疏 程度,把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的比
值的几何平均值定义为耦合因数,记为 k
22
21
11
12 ||||
?
?
?
? ??d e fk
1
21
??
LL
M
k
d e f
k的大小与两个线圈的结构、相互位置以及周
围磁介质有关。改变或调整它们的相互位置有可能
改变耦合因数的大小。
5.2 含互感( mutual inductance) 电路的计算
(一)两个互感线圈的串联
( 1)反向串联
dt
di
MLiR
dt
di
M
dt
di
LiRu
)(
)(
11
111
???
???
dt
di
MLiR
dt
di
M
dt
di
LiRu
)(
)(
22
222
???
???
R1 L1
R2
L2
M
u1
u2
u
i
dt
diMLLiRRuuu )2()(
212121 ???????
R1+R2 L1+ L2 -2M
无互感等效电路 dt
diLRi ??
R1 L1
R2
L2
M
u1
u
i
L
R
+
-
i
u
对正弦稳态电路,可采用 相量形式 表示为
?????? IMLLjRR )]2([
2121 ?
?? ?? ILjRU ][ ?
L
R
+
-
i
u
dt
diMLLiRRuuu )2()(
212121 ???????
dt
diLRi ??
R1+R2 L1+ L2 -2M
)2( 2121 MLLjRRZ ????? ?
反向串联时,每一条耦合电感支路阻抗和输入
阻抗都比无互感时的阻抗小(电抗变小),这是由于
互感的削弱作用,它类似于串联电容的作用,常称为
互感的,容性,效应。
u1
u2
R1
R2
L1-M
L2-M
u
( 2) 顺向串联
)2( 2121
21
MLLjRR
ZZZ
?????
??
?
)( 222 MLjRZ ??? ?
)( 111 MLjRZ ??? ?
每一耦合电感支路的阻抗为:

R1 L1
R2
L2
M
u1
u2u
(二)并联
?U
R1
1Lj? 2Lj?
R2
?
3I
?
2I
?
1I
Mj?
0
1
R1 R2
?
3I
1
?
1I
?
2I
( 1)同侧并联
?U
0

jω(L1-M)
jωM
jω(L2-M)
?U
R1
1Lj? 2Lj?
R2
?
3I
?
2I
?
1I
Mj?
0
1
R1 R2
?
3I
1
?
1I
?
2I
0
(2)异侧并联
?U
-jωM
jω(L1+M) jω(L2+M)
L
2
R
1
R
2
+
-
?
U
?
I
M
1
?
I
2
?
I
+
-
L
1
M
+
-
M?
耦合线圈并联等效电路
同名端相接时,用 M前 上方符号,异名端相接时,用
M前 下 方符号。

j7.5Ω 3Ω
j6Ω j12.5Ω
K
?I
+ -
?U
例:电压 U=50V,求当开关 K打开和闭合时的电流。
解:当开关打开时
两个耦合电感是顺向串联
)2( 2121 MLLjRR
U
I
????
?
?
?
?
=1.52 / -75.96° A

j7.5Ω 3Ω
j6Ω j12.5Ω
K
?I
+ -?U
当开关闭合时
两个耦合电感相当于异侧并联
利用去耦法,原电路等效为


?I
+ -?U
j13.5Ω
- j6Ω
j18.5Ω
??I 7.79 / -51.50° A


?I
+ -?U
j13.5Ω
- j6Ω
j18.5Ω

j7.5Ω 3Ω
j6Ω j12.5Ω
K
?I
+ -
?U
计算 AB两点间的电压
A B
A B B
5.3 空心变压器 (air-core transformer)
(一)变压器的结构
变压器是电工、电子技术中常用的电气设备,
它是由两个耦合线圈绕在一个共同的心子上制成。
( 1)原边回路(或初级回路)
一个线圈作为输入,接入电源后形成的一个回路。
( 2)副边回路(或次级回路)
另一线圈作为输出,接入负载后形成另一个回路。
( 3) 心子
空心变压器的心子是 非铁磁 材料制成的。
R1 R2
1Lj? 2Lj?
1
1′
2
2′
(二)空心变压器的电路模型
负载设为电阻和电感串联。
RL
jXL
?
1U
?
2U
?
1I
?
2I
+
_
Mj?
??1U
??
111 )( ILjR ?
?
2IMj?+
+
0)( 2221 ????? ?? IXjRLjRIMj LL ???
(2)电路方程
(1)电路模型
( 3)原边等效电路
令 Z11 = R1+jωL1,称为原边回路阻抗
Z22 = R2+jωL2+RL+jωXL,称为副边回路阻抗
ZM = jωM
Y11= 1/Z11
Y22= 1/Z22
R1 R2
1Lj? 2Lj?
1
1′
2
2′
RL
jXL
?
1U
?
2U
?
1I
?
2I
+
_
Mj?
Z11 = R1+jωL1 Z22 = R2+jωL2+RL+jωXL
ZM = jωMY11= 1/Z11 Y22= 1/Z22
22
2
11
1
1 YZZ
U
I
M?
?
?
?
11
2
22
111
2 YZZ
UYZ
I
M
M
?
?
?
?
?
22
2
11
1
)( YMZ
U
??
?
?
??1U ?? 111 )( ILjR ? ?2IMj?+ +
0)( 2221 ????? ?? IXjRLjRIMj LL ???
?? ??
2111 IZIZ M
?
?? 1
22
IZZ M
??
????? 1222 IXjRLjR
MjI
LL ??
?
22
2
11
1
1 YZZ
U
I
M?
?
?
?
11
2
22
111
2 YZZ
UYZ
I
M
M
?
?
?
?
?
第一个式子中的分母 是原边的输入阻抗
其中
22
2
11
1
)( YMZ
U
??
?
?
22211 )( YMZ ??
222)( YM?
称为 引入阻抗,
它是副边的回路阻抗通过互感反映到原边的等效阻抗。
引入阻抗的性质与 Z22相反,即感性(容性)变为容性
(感性)。
+
-
Z11
222)( YM?
?
1U
?
1I
原边等效电路
22
2
11
1
1 )( YMZ
U
I
??
?
?
?
( 4)从副边看进去的含源一端口的一种等效电路
02 ??I 得到此含源网络 2-2′端口开路电压 ?
111 UMYj?
戴维宁等效阻抗 Zeq=R2 + jωL2 + (ωM)2Y11
RL
jXL
11
2
22
111
2 YZZ
UYZ
I
M
M
?
?
?
?
?
11
2
22
111
YMZ
UYZ M
??
?
?
?
?
2I
2
2′
+
-
?
111 UMYj?
Zeq
5.4 理想变压器 (ideal transformer)
(一)理想变压器的电路模型
u1 u2
n:1
i1 i2
N1 N2
( 1)电路模型
2
2
1
1
N
u
N
u ?
22
2
1
1 nuuN
Nu ??
N1 i1 + N2 i2 = 0
22
1
2
1
1 i
niN
Ni ????
( 2)原、副边电压和电流的关系
n = N1 / N2,称为理想变压器的 变比 (transformation
ratio)。
u1 u2
n:1
i1 i2
N1 N2
(二 )理想变压器的功率
即输入理想变压器的 瞬时功率等于零,
所以它既不耗能也不储能,
它将能量由原边全部传输到输出,
在传输过程中,仅仅将电压电流按变比作数值变换。
得 u1 i1 + u2 i2 = 0
22
2
1
1 nuuN
Nu ??
22
1
2
1
1 i
niN
Ni ????据
空心变压器如同时满足下列 3个条件,
即经“理想化”和“极限化”就演变为理想变压
器。
( 1)空心变压器本身无损耗
( 2)耦合因数 k = 1
( 3) L1,L2和 M均为无限大,但保持
不变
2
1 n
L
L ?
(三)空心变压器转变为理想变压器
(四)阻抗变换
理想变压器对电压、电流按变比变换的作用,还
反映在阻抗的变换上。在正弦稳态的情况下,当理
想变压器副边终端 2-2′接入阻抗 ZL时,则变压器原边
1-1′的输入阻抗
LZn
I
U
n
I
n
Un
I
U
Z 2
2
22
2
2
1
1
'11 1 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
n2ZL即为副边折合至原边的等效阻抗,
5,5串联谐振电路
在同时含有 L 和 C 的交流电路中,如果总电压和
总电流同相,称电路处于谐振状态。此时电路与电
源之间不再有能量的交换,电路呈电阻性。
串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相
并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相
研究谐振的目的,就是一方面在生产上充分利
用谐振的特点,(如在无线电工程、电子测量技术等
许多电路中应用 )。另一方面又要预防它所产生的危
害。
谐振的概念:
IU ??,同相由定义,谐振时:
或:
CL oo ??
1?
0a r c t a n ??? R XX CL?即
谐振条件:
CL XX ?
谐振时的角频率
串联谐振电路 ( 1) 谐振条件
R
L
C
Ru
+
_
Lu
+
_
Cu
+
_
u
+
_
i
( 2) 谐振频率
根据谐振条件:
CωLω oo
1?
C
LX
zjXRZ
?
??
?
1
)( ??
????
LC
1
0 ?? LCf ?2
1
0 ?

电路发生谐振的方法:
(1)电源频率 f 一定, 调 参数 L,C 使 fo= f;
(2)电路参数 LC 一定, 调 电源频率 f,使 f = fo
或:
Cf
Lf
0
0 2
12
?
? ?
( 3) 串联谐振特怔
RXXRZ CL ???? 22 )(
① 阻抗最小
可得 谐振频率 为:
当电源电压一定时:
R
UII ??
0
② 电流最大
电路呈电阻性,能量全部被电阻消耗,和 相互
补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。
LQ CQ
③ 同相
IU ??、
0a r c t a n ??? R XX CL?
④ 谐振感抗和容抗不为零:
??
?
????
C
L
L
LC
L
C
11
0
0
称为特性阻抗 (characteristic impedance)?
⑤ 电压关系 谐振时各元件的电压相量分别为:
?
?
??
?
?
??
?
?
??
????
???
???
?
?
?
UjQ
R
U
Cj
I
Cj
U
UjQ
R
U
LjILjU
U
R
U
RIRU
C
L
R
00
00
11
??
??
?串联谐振电路对不同频率的选择能力
电流:
)
1
(1
)
1
(1)()(
)
1
()
1
(
2
2
0
2
2
0
0
0
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
????
????
?
??
??
Q
I
QLR
C
LR
C
LR
R
UU
UU
I
?
?
?
?
0
0
0
?
?
?
R
L
Q
R
U
I
为谐振时电流;
为品质因素;
为激励电压角频率与谐振角频率比值。
)1(
)
1
(
)
1
1(
1
)
1
(
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
??
??
????
???
???
??
?
?
???
?
?
?
?
?
Q
C
LR
U
Q
C
LR
U
QU
C
U
I
C
QULU
LI
C
L
UC, UL将大于
电源电压 U
RX X CL ???当 时:
有:
UUU U RCL ????
由于 UU U
CL ???
可能会击穿线圈或电容的
绝缘,因此在电力系统中一般应避免发生串联谐
振,但在无线电工程上,又可利用这一特点达到
选择信号的作用。
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
?
? ????
令:
表征串联谐振电路的谐振质量品质因数,Q
QUUU CL ?? 有:
所以串联谐振又称为 电压谐振。
QUU
CR
XIU CC ???
0
0
1
?
QUUR LXIU LL ??? 00 ?
谐振时, 与 相互抵消,但其本
身不为零,而是电源电压的 Q倍。
LU? CU?
相量图:
I?
LU?
CU?
UUR ?? ?
如 Q=100,U=220V,则在谐振时
2 2 0 0 0 V??? QUUU CL
所以电力系统应避免发生串联谐振。
( 4) 谐振曲线
◆ 串联电路的阻抗 频率特性
阻抗随频率变化的关系。
? ?22 1 CLRZ ?? ???
??? Z0??
RZ ??? 0??
??? Z0??
LX
Z
0f
CX
LfX L ?2?
fc
X C
?2
1?
容性
)( 0?? ?
感性
)( 0?? ?
f
0
R
)(j CL XXRZ ???
电流随频率变化的关系曲线。
)1-(
)(
22 CLR
U
Z
UI
??
?
?
??
Q值越大,曲线越尖锐,选择性越好。
0I?
Q大
Q小
0I
分析:
??? R
LQ 0?
谐振电流
R
UI ?
0
电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能力
—— 称为选择性。
f
0f
0
Z
IZ,
R ? ?0I
通频带:
:0f 谐振频率
上限截止频率:
2f
下限截止频率:
1f
Q大
通频带宽度越小 (Q值越大 ),
选择性越好,抗干扰能力
越强。
Q小
0
I
f
△ ?= ?2- ?1
当电流下降到 0.707Io时所对应的上下限频率之
差,称 通频带 。 即:
00.707 I
1f 2f
0I
0f
f ?
串联谐振应用举例
接收机的输入电路
1L,接收天线
LC,组成谐振电路
1L
L C
电路图
321 eee,、
为来自 3个不同电台 (不同频率 )
的电动势信号;
调 C,对
所需信号
频率产生
串联谐振
C
L
R
1e
2e
3e
1f
2f
3f
等效电路
+
-
Cu
QUU
II
C ?
?? m a x0 最大

例 1:
已知:
16 ΩH0,3m ?? RL,
6 4 0 k H z1 ?f
解:
LC2 π
ff 110 ??
? ? 204p F100,3106402
1
323
?
????
?

C
若要收听 节目,C 应配多大?
1e
C
L
R
1e
2e
3e
1f
2f
3f
+
-
Cu
? ? LfπC 202
1?则:
结论, 当 C 调到 204 pF 时,可收听到 的节目。
1e
(1)
例 1:
Vμ21 ?E已知:
Ω1 20 02 1 ???? LfπLωXX CL
Vμ1 561 ?? CC IXU
所需信号被
放大了 78倍
C
L
R
1e
2e
3e
1f
2f
3f
+
-
Cu
信号在电路中产生的电流 有多
大?在 C 上 产生的电压是多少?
1e
(2)
已知电路在解,6 4 0 k H z
1 ?f
时产生谐振
Aμ0, 1 316/1 ?? EI
这时
78
2
156
1
C1 ???
E
UQ
5.6并联谐振电路 ( 1) 谐振条件
LCωRCω
LωR
LωR

LωR

Z
2
??
?
?
??
?
?
j1
j
)j(
j
1
)j(
j
1
+
U?
-
R
CX
LX
I?
1I? CI?
实际中线圈的电阻很小,所以在谐振时有 RLω ??
0
)( LωCωLRCCRωLCω

Z 2
1j
1
j1
j
??
?
??
?
则:
1,谐振条件
01
0
0 ?? LωCω:谐振条件
2,谐振频率

LC
ff
?2
1
0 ??
可得出:
LC
ω 10 ?
)LωCωLRCCRωLCω
LωZ
2 1(j
1
j1
j
??
?
??
?
由:
3,并联谐振的特征
(1) 阻抗最大,呈电阻性
RC
LZ ?
0
(当满足 ? 0L ?? R时 )
I
0
0 Z
U
RC
L
UII ???
(2)恒压源供电 时,总 电流最小;
恒流源供电 时,电路的端电压最大。
0S ZIU ?
Z
?
Z I,

0Z
0I
(3)支路电流与总电流 的关系
Lfπ
U
LfπR
UI
0
2
0
21 2)(2
?
?
?
当 ? 0L ??R时,
01 QIII C ???
U?
CI?
I?
?1
1I?
支路电流是总电流的 Q倍 ? 电流 谐振
相量图
CfπU
Cfπ
U
I 0
0
C 2
2
1
???
QR LR Lf ??? 002 ??
RC
L
U
CfU )2( 0?
?
0
0
0
)2(
ZU
CfU
I
I C ??
例 2:
已知:
8 5 p F25 ΩHm250 ??? CRL,、.
解:
r a d / s106, 8 6
10850, 2 5
11
6
150
??
??
??
?LC
ω
OO ZQω,、
试求:
6 8, 625 100, 2 5106, 8 6
36
0 ??????
?
R
LωQ
1 1 7 K Ω108525 100, 2 5 - 1 2
3
0 ???
??? ?
RC
LZ
+
U?
-
R
CX
LX
I?
1I? CI?
例 3,电路如图:已知 R=10 ?,IC=1A,?1 =45?
( 间的相位角),?=50Hz、电路处于谐振状态。
1I,U ??
试计算 I,I1,U,L,C之值,并画相量图。
解,(1) 利用 相量图求解
U?I?
相量图如图,
1As i n 11 ?? CC III 因为?由相量图可知 电路谐振,则:
1I?
?45
A21, 4 1 445s i n1 ???? CII所以 A1?? CII
RU?
LU?
+
U?
-
R
CX
LX
I?
1I? CI?
CI?
V20V2102221 ????? LXRIU所以
Ω20
1
20
2
????
I
UX
C F159 μ2
1 ??
Cπ f X
C所以
H0, 0 3 1 8H
314
10
2
???

XL L
10 Ω451 ??? R、?又:
Ω10?? RX L所以
(2) 用相量法求解
C1 III ??? ??因为
例 3:
设:
V0 ?? UU? A901 ??CI?则:
A901450 1 ???? ?? II所以
例 3:
解:
图示电路中 U=220V,
(1)当电源频率 1 0 0 0 r a d / s
1 ?ω
时,UR=0
试求电路的参数 L1和 L2
(2)当电源频率 2 0 0 0 r a d / s
2 ?ω
时,UR=U
F1 μ?C


1
11
1?故,
1HH1011 0 0 0 11 622
1
1 ????? ?ωL所以
(1) 0?
RU因为 即,I=0
CL 1所以 并联电路产生谐振,
???
CR
LZ
1
1
0
即,
+
U?
- R
2L
I?
1L C
试求电路的参数 L1和 L2
(2)当电源频率 2 0 0 0 r a d / s
2 ?ω
时,UR=U
(2)
U,U ?R因为 所以电路产生串联谐振,
CL1
并联电路的等效阻抗为,
1-
j
)j(
j
1
)(j
j
1
1
2
2
12
12
2
12
2
1
CLω





Z ??
?
?
串联谐振时,阻抗 Z虚部为零,可得,
0, 3 3 HH
11012 0 0 0
1
1
1
62
1
2
2
2 ??????? ?LCωL
)
1-
(jj
1
2
2
12
22122 CLω
LωLωRZLωRZ ??????
总阻抗
+
U?
- R
2L
I?
1L C
思考题,




C
LR
SE? Nf
Sf
+
-NE?
+
-
滤波
电路
(a)
(1)现要求在接收端消
除噪声,问图 (a)LC并联
电路应工作在什么频
率下?
---信号源)(
sS ωE?
如图电路中,已知,
)( NN ωE? ---噪声源
(2)现要求工作信号到
达接收端,问图 (b)LC串
联电路应工作在什么
频率下?




CLR
SE? Nf
Sf
+
-NE?
+
-
(b)
滤波
电路