第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
P
z
*O
FdFrM ?? ?s i n
M?
F?
r?
?
d
,力臂d
刚体绕 O z 轴旋转,力
作用在刚体上点 P,且在转动
平面内,为由点 O 到力的
作用点 P 的径矢,
F?
r?
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对转轴 Z 的力矩F?
0,0 ?? ?? ii MF ?? 0,0 ?? ?? ii MF ??
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一 力矩
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
z
O
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讨论
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???
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?
?F?
1） 若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量
F?
2）合 力矩等于各分力矩的 矢量和
????? ???? 321 MMMM
?
其中 对转轴的力
矩为零，故 对转轴的
力矩
zF
?
F?
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
3） 刚体内作用力和 反 作用力的力矩互相 抵消
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i
j
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?
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?
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O
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
例 1 有一大型水坝高 110 m、长 1000m，水深 100m，
水面与大坝表面垂直，如图所示, 求作用在大坝上的力，
以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元
作用在此面积元上的力 yLA dd ?
ypLApF ddd ??
y
O
h y
x
Ad
yd
Q
y
O
x
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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令大气压为,则
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2
00 0 2
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代入数据，得 N1091.5 10??F
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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0 6
1
2
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代入数据，得 mN1014.2 12 ???M
对通过点 Q 的轴的力矩F?d
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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二 转动定律
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2） 刚体
质量元受 外 力, 内 力
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1） 单个质点 与转
轴刚性连接
m
外 力矩 内 力矩
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?
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
刚体定轴转动的角加速度与它所受的 合外力矩 成
正比,与刚体的 转动惯量 成反比,
αrmMM jj
j
j
j
j
2
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j
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j
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转动定律
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定义转动惯量
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O
z
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
mrJrmJ j
j
j d,
22 ?? ???三 转动惯量
? 物理 意义,转动惯性的量度,
? 质量离散分布刚体的转动惯量
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j
j
转动惯性的计算方法
? 质量连续分布刚体的转动惯量
mrrmJ j
j
j d
22 ?? ???
：质量元md
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
?对质量线分布的刚体：
：质量线密度
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?
?对质量面分布的刚体：
：质量面密度
Sm dd ??
?
?对质量体分布的刚体：
：质量体密度
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?
：质量元md
? 质量连续分布刚体的转动惯量
mrrmJ j
j
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
lO′
O
解 设棒的线密度为,取一距离转轴 OO′ 为
处的质量元
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3
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r
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例 2 一 质量为, 长为 的 均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量,
m l
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O
2
12
1 ml?
如转轴过端点垂直于棒
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
OR
R
4
0
3 π
2
dπ2 RrrJ R ?? ?? ?
rdr
例 3 一质量为,半径为 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量,
m R
解 设圆盘面密度为,
在盘上取半径为,宽为
的圆环
r rd
?
2π Rm??
而
rrm dπ2d ??圆环质量
2
2
1 mRJ ?
所以
rrmrJ dπ2dd 32 ???
圆环对轴的转动惯量
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2mdJJ
CO ??
四 平行轴定理
P
转动惯量的大小取决于刚体的 质量, 形
状及转轴的位置,
质量为 的刚体, 如果对
其质心轴的转动惯量为, 则
对任一与该轴平行, 相距为
的转轴的转动惯量
CJ
m
d
d
C O
m
注意
22
2
1 mRmRJ
P ??
圆盘对 P 轴
的转动惯量
R mO
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
全
？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
例 4 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物
体 B 上, 滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计, 问：（ 1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（ 2） 物体 B 从
Bm
Cm
再求线加速度及
绳的张力,
静止落下距离 时，
其速率是多少？（ 3）
若滑轮与轴承间的摩
擦力不能忽略，并设
它们间的摩擦力矩为
fM
y
Am
A
B
C
Am
Bm
Cm
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
A
B
C
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Cm
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O x
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Am
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Bm
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amFgm BT2B ??
?JRFRF ?? T1T2
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解 （ 1）隔离物体分
别对物体 A,B 及滑轮作
受力分析，取坐标如图，
运用牛顿第二定律,转
动定律列方程,
T2F
?
T1F?
?
CP
?
CF
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2CBA
B
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2
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（ 2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
2/
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CBA
B
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A
B
C
Am
Bm
Cm
T1F
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T2F?
?
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
（ 3） 考虑滑轮与轴承间的摩
擦力矩,转动定律
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结合（ 1）中其它方程
?JMRFRF ??? fT1T2
amF AT1 ?
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
例 5 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动, 由于此
竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小
扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转
动,试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度,
l m
?
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
作用，由转动定律得 NF
?
?? Jm g l ?s i n
2
1
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
式中
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平面内,为由点 O 到力的
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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直于转轴方向的两个分量
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2）合 力矩等于各分力矩的 矢量和
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
3） 刚体内作用力和 反 作用力的力矩互相 抵消
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
例 1 有一大型水坝高 110 m、长 1000m，水深 100m，
水面与大坝表面垂直，如图所示, 求作用在大坝上的力，
以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元
作用在此面积元上的力 yLA dd ?
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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1） 单个质点 与转
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
刚体定轴转动的角加速度与它所受的 合外力矩 成
正比,与刚体的 转动惯量 成反比,
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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? 物理 意义,转动惯性的量度,
? 质量离散分布刚体的转动惯量
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转动惯性的计算方法
? 质量连续分布刚体的转动惯量
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
?对质量线分布的刚体：
：质量线密度
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?对质量面分布的刚体：
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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解 设棒的线密度为,取一距离转轴 OO′ 为
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如转轴过端点垂直于棒
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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例 3 一质量为,半径为 的均匀圆盘，求通
过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量,
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圆环对轴的转动惯量
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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四 平行轴定理
P
转动惯量的大小取决于刚体的 质量, 形
状及转轴的位置,
质量为 的刚体, 如果对
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
例 4 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物
体 B 上, 滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计, 问：（ 1） 两物体的线加速度为多少？
水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（ 2） 物体 B 从
Bm
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再求线加速度及
绳的张力,
静止落下距离 时，
其速率是多少？（ 3）
若滑轮与轴承间的摩
擦力不能忽略，并设
它们间的摩擦力矩为
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
A
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解 （ 1）隔离物体分
别对物体 A,B 及滑轮作
受力分析，取坐标如图，
运用牛顿第二定律,转
动定律列方程,
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
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（ 2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
（ 3） 考虑滑轮与轴承间的摩
擦力矩,转动定律
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结合（ 1）中其它方程
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
例 5 一长为 质量为 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动, 由于此
竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小
扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转
动,试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度,
l m
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解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
作用，由转动定律得 NF
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第四章 刚体的转动4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
式中
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