第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、
角动量定理,
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0,0 ?? p???
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
22k vv mEmp ?? ??质点 运动状态的描述
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理,
22k ?? JEJL ?? ??
刚体 定轴转动运动状态的描述
0,0 ?? p???
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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1 质点的角动量
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质点以角速度 作半径
为 的圆运动，相对圆心的
角动量
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质量为 的质点以速度
在空间运动，某时刻相对原点
O 的位矢为,质点相对于原
点的角动量
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的方向符合右手法则,L?
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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的力矩,等于质点对该点 O 的 角
动量 随时间的 变化率,
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2 质点的角动量定理
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该
参考点 O 的角动量为一恒矢量,
?? LM ??,0
恒矢量
冲量矩 tMt
t d
2
1?
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质点的角动量定理,对同一参考点 O,质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量,
12d
2
1
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3 质点的角动量守恒定律
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
例 1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内,一质
量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动, 小球开始
时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上 ),
然后从 A 点开始下滑,设小球与圆环间的摩擦略去不计,求
小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,
解 小球受重力和支持
力作用,支持力的力矩为零,
重力矩垂直纸面向里
由质点的角动量定理
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t
Lm g R
d
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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考虑到
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由题设条件积分上式
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?2mRL ??
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
例 2 一质量 的登月飞船,在离
月球表面高度 处绕月球作圆周运动,飞船
采用如下登月方式, 当飞船位于点 A 时,它向外侧短
时间喷气,使飞船与月球相切地到达点 B,且 OA 与
OB 垂直, 飞船所喷气体相对飞船的速度为
,已知
月球半径 ;
在飞船登月过程中,月球的
重力加速度视为常量
.
试问登月飞船在登月过程
中所需消耗燃料的质量
是多少?m?
0v
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B
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
解 设飞船在点 A 的
速度,月球质量 mM,
由万有引力和牛顿定律 0v
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14 sm1000.1 ????u km1 7 0 0?R
2sm62.1 ???g
已知
求 所需消耗燃料的质量,m?
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
得
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2
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得
当飞船在 A点以相对速度
向外喷气的短时间里,飞船的
质量减少了 Δm而为,并获得
速度的增量,使飞船的速度
变为,其值为 v
??
Av
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'm
u
质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用,角动量守恒'm
0v
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Av?
B
Bv?
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A
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
飞船在 A点喷出气体后,在到
达月球的过程中,机械能守恒
21)( 22
0 vvv ???A
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即
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而
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
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1 刚体定轴转动的角动量
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2 刚体定轴转动的角动量定理
12
2
1
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非刚体定轴转动的角动量定理
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2
1
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
? 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
? 内力矩不改变系统的角动量,
? 守 恒条件 0?M
若 不变,不变；若 变,也变，但 不变,J
? ? ?JL ?J
刚体定轴转动的角动量定理
12
2
1
d ?? JJtMt
t
???
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
0?M 常量?? ?JL，则若
讨论
exin MM ???? 在 冲击 等问题中 ?? L 常量
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
有许多现象都可以
用角动量守恒来说明,
自然界中存在多种守恒定律
?动量守恒定律
?能量守恒定律
?角动量守恒定律
?电荷守恒定律
?质量守恒定律
?宇称守恒定律等
?花样滑冰
?跳水运动员跳水
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
被 中 香 炉惯性导航仪（陀螺）
角动量守恒定律在技术中的应用
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
例 3 质量很小长度为 l的均匀细杆,可绕过其中心 O
并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平
位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点 O为 l/4 处,并
背离点 O 向细杆的端点 A 爬行,设小虫与细杆的质量均为
m.问,欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率
向细杆端点爬行?
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1
4
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0
7
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解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞
前后系统角动量守恒
第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
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由角动量定理
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
例 4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的演员 N弹了起来,设
跷板是匀质的,长度为 l,质量为,跷板可绕中部支撑点 C
在竖直平面内转动,演员的质量均为 m.假定演员 M落在跷
板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,问演员 N可弹起多
高?
l l/2
C A
B
M
N
h
解 碰撞前 M 落在
A点的速度
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M )2( gh?v
碰撞后的瞬间,M、
N具有相同的线速度
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2
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第四章 刚体的转动4 – 3 角动量 角动量守恒定律
把 M,N和跷板作为
一个系统,角动量守恒
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M )(2 gh?v
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2
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演员 N 以 u 起
跳,达到的高度 h
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