第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
一 质点系的动能定理
质点系 动能定理
0kk
inex EEWW ???
1m
2m
im
exiF?
iniF?
内力可以改变质点系的动能注意
内力功外力功
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i
i
i
i
i
i
i
i ????? ????
对质点系，有
0kk
inex
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对第 个质点，有i
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
)()( 0p0kpkinncex EEEEWW ?????
机械能
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质点系动能定理
0kk
inex EEWW ???
非保守
力的功 inncincinin WWWW
i
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0pp0pp
in
c )( EEEEW
i
i
i
i ????? ??
0inncex EEWW ???
二 质点系的功能原理
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于
外力和非保守内力作功之和,
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
pk EE ???? )( 0pp0kk EEEE ????
当
0inncex ?? WW 0EE ?
时,有
)()( 0p0kpkinncex EEEEWW ?????
功能原理
三 机械能守恒定律
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，
质点系的机械能保持不变,
守恒定律的 意义
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是
各个守恒定律的特点和优点,
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
如图的系统，物体 A,B 置于光滑的桌面上，
物体 A 和 C,B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首
先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B,使弹簧压
缩，后拆除外力,则 A 和 B 弹开过程中,对 A、
B,C,D 组成的系统
讨论
（ A）动量守恒，机械能守恒,
（ B）动量不守恒，机械能守恒,
（ C）动量不守恒，机械能不守恒,
（ D）动量守恒，机械能不一定守恒,
D
B
C
A
D
B
C
A
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
例 1 一雪橇从高度为 50m的山顶上点 A沿冰道由
静止下滑,山顶到山下的坡道长为 500m, 雪橇滑至山下
点 B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在 C
处, 若摩擦因数为 0.050, 求此雪橇沿水平冰道滑行的
路程, (点 B附近可视为连续弯曲的滑道,忽略空气阻力,)
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
NF
?
fF
?
P?
?sinP
?cosP
?
h
's
已知
,m500',050.0,m50 ??? sh ?
求, s
解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
12f EEW ??
)'( ' c o s f ssmgm g ssmgW ?????? ?????
m g hEE ??? 12
又
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
)'( ssmg ?? ? m gh??可得
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?
fF
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P?
?sinP
?cosP
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h
's
12f EEW ??
由功能原理
m500' ??? shs ?
代入已知数据有
,m500',050.0,m50 ??? sh ? )'( f ssmgW ??? ?
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
例 2 有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的
顶点 P,另一端系一质量为 m 的小球,小球穿过圆环并
在圆环上运动 (不计摩擦 ),开始小球静止于点 A,弹簧
处于自然状态,其长度为圆环半径 R; 当小球运动到圆环
的底端点 B时,小球对圆环没有压力, 求弹簧的劲度系数,
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
?30
o
P
B
R
A
BA ?? 只有保守内力做功
系统机械能守恒?
AB EE ?
0p ?E取图中点 为重力势能零点B
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
又
R
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2v
??
所以
R
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即
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2
1
2
1 22 ???? mgRkRm
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o
P
B
R
A
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系统机械能守恒
AB EE ?
,图中 点为重力势能零点B
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
例 3 在一截面积变化的弯曲管中,稳定流动着不
可压缩的密度为 ?的流体, 点 a 处的压强为 p1、截面积
为 A1,在点 b 处的压强为 p2 截面积为 A2,由于点 a 和点 b
之间存在压力差,流体将在管中移动, 在点 a 和点 b 处的
速率分别为 和,求流体的压强和速率之间的关系,
2v1v
y
x
o 1x 11 dxx ?
2x 22 dxx ?
2y
1y
2p
1p
1v
2v
a
b
1A
2A
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
VxAxA ddd 2211 ?? VppW p d)(d 21 ???
222111 ddd xApxApW p ??
则
解 取如图所示坐标,在 时间内, 处流体分别
移动,, td a b
1dx 2dx
又
VyygyygmW g d)()(dd 2121 ???????? ?
y
x
o 1x 11 dxx ? 2x 22 dxx ?
2y
1y
2p
1p
1v?
2v?a
b
1A
2A
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
由动能定理得
2
1
2
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1d
2
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得
2
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即
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1A
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第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
若将流管放在水平面上，即 21 yy ?
??? 2
2
1 v?? gyp 常量伯努利方程
则有
?? 2
2
1 v?p 常量
y
x
o 1x 11 dxx ? 2x 22 dxx ?
2y
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2p
1p
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b
1A
2A
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
1p
2p
2v
1v
若将流管放在水平面上，即 21 yy ?
则有
?? 2
2
1 v?p 常量 2
22
2
11 2
1
2
1 vv ?? ??? pp即
21 pp ? 21 vv ?
若 则
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
四 宇宙速度
牛顿的, 自然哲学的数学原理, 插图，抛体
的运动轨迹取决于抛体的初速度
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
设 地球质量,抛体质量,地球半径,Em ERm
v?h
``````
解 取抛体和地球为一系统,
系统的机械能 E 守恒,
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度
第一宇宙速度,是在地面上发射人造地球卫星
所需的最小速度, 1v
)(
2
1
E
E2
1 R
mmGmE ??? v
)(
2
1
E
E2
hR
mmGm
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第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
解得
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Gm
R
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??
E
E
E
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1
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v
由牛顿第二定律和万有引力定律得
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
v?h
``````
2
E
E
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E
E
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地球表面附近 hR ??E 故 E1 gR?v
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hR
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0?E
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Gm
R
Gm
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E
E
E
E
1
2v
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
我国 1977年发射升空的东方红三号通信卫星
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
2） 人造行星 第二宇宙速度
0
)(
2
1
pk
E
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2
???
???
??
EE
R
mm
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v?
h
设 地球质量,抛体质量,地球半径,Em ERm
第二宇宙速度,是 抛体脱离地球引力所需
的最小发射速度, 2v
E取抛体和地球为一系统 系统机械能 守恒,
0;0,???? vFr
当 若此时 则
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
E
E
E
2 2
2 gR
R
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第二宇宙速度
0?E
0)(
2
1
E
E2
2 ???? R
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``````
v?
h
k m / s2.112 ?v
计算得
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度
第三宇宙速度,是 抛体脱离太阳引力所需的
最小发射速度, 3v
v?h
设 地球质量,抛体质量,地球半径,Em ERm
太阳质量,抛体与太阳相距,
Sm SR
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
取地球为参考系,由机械能 守恒得
2
E
E2
3 2
1)(
2
1 v'v m
R
mmGm ???
取抛体和地球为一系统, 抛体 首先要 脱离
地球引力的束缚,其相对于地球的速率为,
v'
取太阳为参考系,抛体 相对于太阳的速度
为,
3'v 地球相对于
太阳的速度E3 '' vvv ??? ??则
如 与 同向,有E ' vv ?? E3 '' vvv ??
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
要 脱离太阳引力，机械能至少为零
0)(
2
1
pk
S
S2
3 ?????? ?? EER
mmGmE v'
21
S
S
3 )
2(
R
Gm?v'则
由于 与 同向,
则抛体与太阳的距离 即为地球轨道半径
设地球绕太阳轨道近似为一圆，
E3' v v ??
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则
2
S
SE
S
2
E
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G
R
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S
S
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第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
1-21
E
E2
3 s,4 k m16)2( ???? R
mGv'v计算得
第三宇宙速度
2
E
E2
3 2
1)(
2
1 v'v m
R
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v?h E3 vv'v' ??
21
S
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R
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计算得
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
v?
h
抛 体 的 轨 迹 与 能 量 的 关 系
0?E
0?E 椭 圆 (包括圆 )
k m / s9.71 ?v
0?E
0?E 抛物线
k m / s2.112 ?v
0?E
0?E 双曲线
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一 质点系的动能定理
质点系 动能定理
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1m
2m
im
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内力可以改变质点系的动能注意
内力功外力功
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对第 个质点，有i
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
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机械能
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质点系动能定理
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非保守
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二 质点系的功能原理
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于
外力和非保守内力作功之和,
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
pk EE ???? )( 0pp0kk EEEE ????
当
0inncex ?? WW 0EE ?
时,有
)()( 0p0kpkinncex EEEEWW ?????
功能原理
三 机械能守恒定律
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，
质点系的机械能保持不变,
守恒定律的 意义
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是
各个守恒定律的特点和优点,
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
如图的系统，物体 A,B 置于光滑的桌面上，
物体 A 和 C,B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首
先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B,使弹簧压
缩，后拆除外力,则 A 和 B 弹开过程中,对 A、
B,C,D 组成的系统
讨论
（ A）动量守恒，机械能守恒,
（ B）动量不守恒，机械能守恒,
（ C）动量不守恒，机械能不守恒,
（ D）动量守恒，机械能不一定守恒,
D
B
C
A
D
B
C
A
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
例 1 一雪橇从高度为 50m的山顶上点 A沿冰道由
静止下滑,山顶到山下的坡道长为 500m, 雪橇滑至山下
点 B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在 C
处, 若摩擦因数为 0.050, 求此雪橇沿水平冰道滑行的
路程, (点 B附近可视为连续弯曲的滑道,忽略空气阻力,)
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
NF
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fF
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P?
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,m500',050.0,m50 ??? sh ?
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解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
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又
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
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12f EEW ??
由功能原理
m500' ??? shs ?
代入已知数据有
,m500',050.0,m50 ??? sh ? )'( f ssmgW ??? ?
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
例 2 有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的
顶点 P,另一端系一质量为 m 的小球,小球穿过圆环并
在圆环上运动 (不计摩擦 ),开始小球静止于点 A,弹簧
处于自然状态,其长度为圆环半径 R; 当小球运动到圆环
的底端点 B时,小球对圆环没有压力, 求弹簧的劲度系数,
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
?30
o
P
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A
BA ?? 只有保守内力做功
系统机械能守恒?
AB EE ?
0p ?E取图中点 为重力势能零点B
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
又
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所以
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即
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系统机械能守恒
AB EE ?
,图中 点为重力势能零点B
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
例 3 在一截面积变化的弯曲管中,稳定流动着不
可压缩的密度为 ?的流体, 点 a 处的压强为 p1、截面积
为 A1,在点 b 处的压强为 p2 截面积为 A2,由于点 a 和点 b
之间存在压力差,流体将在管中移动, 在点 a 和点 b 处的
速率分别为 和,求流体的压强和速率之间的关系,
2v1v
y
x
o 1x 11 dxx ?
2x 22 dxx ?
2y
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2p
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第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
VxAxA ddd 2211 ?? VppW p d)(d 21 ???
222111 ddd xApxApW p ??
则
解 取如图所示坐标,在 时间内, 处流体分别
移动,, td a b
1dx 2dx
又
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o 1x 11 dxx ? 2x 22 dxx ?
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第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
由动能定理得
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第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
若将流管放在水平面上，即 21 yy ?
??? 2
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1 v?? gyp 常量伯努利方程
则有
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第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
1p
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若将流管放在水平面上，即 21 yy ?
则有
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1 vv ?? ??? pp即
21 pp ? 21 vv ?
若 则
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
四 宇宙速度
牛顿的, 自然哲学的数学原理, 插图，抛体
的运动轨迹取决于抛体的初速度
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
设 地球质量,抛体质量,地球半径,Em ERm
v?h
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解 取抛体和地球为一系统,
系统的机械能 E 守恒,
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度
第一宇宙速度,是在地面上发射人造地球卫星
所需的最小速度, 1v
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第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
解得
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由牛顿第二定律和万有引力定律得
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
v?h
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E
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第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
我国 1977年发射升空的东方红三号通信卫星
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
2） 人造行星 第二宇宙速度
0
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E
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EE
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设 地球质量,抛体质量,地球半径,Em ERm
第二宇宙速度,是 抛体脱离地球引力所需
的最小发射速度, 2v
E取抛体和地球为一系统 系统机械能 守恒,
0;0,???? vFr
当 若此时 则
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
E
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第二宇宙速度
0?E
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2
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计算得
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度
第三宇宙速度,是 抛体脱离太阳引力所需的
最小发射速度, 3v
v?h
设 地球质量,抛体质量,地球半径,Em ERm
太阳质量,抛体与太阳相距,
Sm SR
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
取地球为参考系,由机械能 守恒得
2
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取抛体和地球为一系统, 抛体 首先要 脱离
地球引力的束缚,其相对于地球的速率为,
v'
取太阳为参考系,抛体 相对于太阳的速度
为,
3'v 地球相对于
太阳的速度E3 '' vvv ??? ??则
如 与 同向,有E ' vv ?? E3 '' vvv ??
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
要 脱离太阳引力，机械能至少为零
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S
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21
S
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由于 与 同向,
则抛体与太阳的距离 即为地球轨道半径
设地球绕太阳轨道近似为一圆，
E3' v v ??
SR
则
2
S
SE
S
2
E
E R
mm
G
R
m ?
v
21
S
S
E )( R
mG?v
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
1-21
E
E2
3 s,4 k m16)2( ???? R
mGv'v计算得
第三宇宙速度
2
E
E2
3 2
1)(
2
1 v'v m
R
mmGm ???取地球为参照系
v?h E3 vv'v' ??
21
S
S ))(12(
R
Gm??v'
计算得
第三章动量守恒定律和能量守恒定律3-6功能原理 机械能守恒定律
v?
h
抛 体 的 轨 迹 与 能 量 的 关 系
0?E
0?E 椭 圆 (包括圆 )
k m / s9.71 ?v
0?E
0?E 抛物线
k m / s2.112 ?v
0?E
0?E 双曲线
sm,4 k16 3 ?v
