第四篇非线性方程和积分方程
第一章 非线性方程
到此为止我们已经学习了有关解二阶线性偏微分方程
的各种解法。我们已看到这些解法都是以线性迭加原理为
基础的（分离变量法的解是求和，可数个的迭加；而行波
法、格林函数法、积分变换法的解是积分，不可数的连续
的累加）因此这些解法对于求解非线性方程显然不够用。
然而力学和许多物理问题就其本来面貌而言
都是非线性，线性化只是它的初步近似，虽然具
有重要的理论和实践价值，但许多物理现象如果
不考虑非线性效应就无法加以解释。如近年来涉
及物理学许多领域的孤立子效应所满足的就是非
线性方程；激光物理、等离子体物理中的湍流、
混沌等现象也满足非线性方程。
除了一阶偏微分方程以外，非线性方程能够
求精确解通常局限于下面两种情况
1、非线性偏微方程具有相似解或行波解
?
?? =
=
βαtxξ
ξuu )(次组合如令即解依赖于自变量的幂
降低从而使求解的难度大为
，从而减少自变量的个数
如令和线性组合 ),( atxξ)ξ(uu +==
2、对若干类似线性方程或方程组，已发展了某些
自变量和未知函数的一些变换（如Kirchhoff变
换、cole – Hopf变换、端迹变换等）
从而将非线性偏微分方程化为线性偏微分方程求解。
下面介绍几种常用的初等解法
