§1.3 定解条件 一、引入定解条件的必要性： 1.从物理的角度看：物理方程仅能表示 一般性，要个性化物体的运动需要附 加条件。 2.从数学的角度看：微分方程的解的任 意性也需附加条件来确定这些附加的 件，就是初始条件和边界条件，统称 为定解条件。 二、初始条件： 我们在求解含有时间变量t的数理方程 时，往往必须追溯到某个所谓“初始”时刻的 状况，我们称物理过程初始状况的数学表 达式为初始条件 如弦振动 ?? ? = = = = )(| )(| 0 0 xu xu tt t y j 1、定义： 2、注意： (1) 整个系统初始状况； 如图所示， 则初始条件为 ?? ?? ? = ?? ? ≤≤? ≤≤= = = 0| 2/))(/2( 2/0)/2(| 0 0 tt t u lxlxllh lxxlhu (2) 时间t的 n阶方程需要n个条件： 如： ?? ? = =→+= = = )(| )(| 0 02 xu xufuau tt t xxtt y j )(| 0 xufuDu tt j=→+?= = 三、边界条件： 1、定义： 我们在求解方程时要考虑边界状况，我们称物理 过程边界状况的数学表达式为边界条件 例如： ),( ),2(),(),( tau txutxutxu ±???← ±←±← 延伸 ee 2、三类边界条件： (1) 第一类边界条件： 又称为狄利克莱（Dirichlet）条件 已知边 ←= ),(| tMfu 如： t lx eTu ? = = 0|导热： 0|,0| 0 == == lxx uu杆振： (2) 第二类边界条件： 又称为诺依曼（Neuman）条件 已知边 ←= ),(| tMfun 如图所示： x? ttuxAsFstxl rr ?=?+???? ),( FxuEFtlPx lx =??=→? =|,),(:0 自由0,/| === FEFu lxx 一段单位面积受力)(tF 又如杆的导热问题： y端流出热流lxa =. y端流入热流lxb =. y端流入热流0. =xc k t x u lx )(| y?= ? ? =即 k t x u lx )(| y= ? ? =即 k t x u x )(| 0 y?= ? ? =即 (3) 第三类边界条件： 又称为混合边界条件 已知边 ←=+ ),(|)( tMfhuu n 如牛顿冷却问题： 杆的纵振动问题： 若一端固定，一端与弹簧相连 0| 0 ==xu txusFstxlP +?=+???? r)( 1 lxkustlP =?=? |),( 0|)( =+∴ =lxx huu Huuku lxlxx )|(| 0?=? == 0][ uuH ku lxx =+∴ = 3、注意： (1) 区别边界条件和外源 ??][2 =+= ffuau xxtt方程 力 是外力、初始条件、还是边界条件？F 例: 解：a. 不是初始条件 b. 不是源 因为源应在系统内部，始终存在。 c. F x uE lx =? ? =| E Fu lxx =∴ =| 是边界条件 因为虽 F开始时有，但并未说 以后就撤去。 0=tF >t (2) 一个边界只有一个边界条件，且边界条 件应恰如其分 0| ==lxxu 0| 0 ==xu 解： v 如：长为的均匀杆一端固定于以匀速 前进的壁上，另一端自由，突然静 止，写出杆做纵振动的定解条件。 lv 四、其它条件： 以上三类边界条件当 时，分别称为 第一、二、三类齐次边界条件 1、衔接条件： 如不同材料组成的杆的纵振动 其衔接处位移和应力应相等，则： ?? ??? ? ?= ? ? = == == 00 00 || || 2 2 1 1 21 xxxx xxxx x uE x uE uu 0=f 2、自然边界条件： 如欧拉（Euler）方程通解为： )1( +?+= ll BxAxy 但在区间[0，a]上要求解有限，故： 有限→=0|xy 从而在[0，a]中其解为： lAxy = 五、三类定解问题： 1、初值问题： 如无界弦自由振动 ? ? ? == ∞<<∞?= == )(|,)(| , 00 2 xuxu xuau ttt xxtt yj 2、边值问题： 如狄氏问题 ?? ? = =? )(| 0 Mfu u s 3、混合问题： 如两端固定弦： ?? ?? ? == == = == == )(|,)(| 0|| 00 0 2 xuxu uu uau ttt lxx xxtt yj