第二章 Bessel函数 中心：Bessel函数 1．Bessel方程的级数解 2．Bessel函数的性质 3．其他柱函数 4．在“柱中” 00uuul?+=?? ?= ? §1 Bessel函数 一、Bessel方程在 x=0 点邻域的级数解 Bessell方程更一般形式为： 222(-)0,-xyxyxynn′′′++= 由书p353，常微方程的级数解法知， 21 (),()1-pxqxxxn??==???? ∴ x＝0为（1）的正则奇点，故 实数（1） 1．令 0 k kkyCx r+∞ = = ∑ 代入（1）： 2 0000 ()(-1)()-0kkkk k kk kkCxkCxCxCxrrrrrrrn∞∞∞∞+++++ ==== ++ ++=∑∑∑∑ 即222 00 ()-0kk kk kCxCxrrrn∞∞+++ == ??++=∑∑?? 2．比较最低次幂的导数：xr 22 00(-)0(0)CCrn =≠→ 判定方程： 22-0rn= （2） ,rn=± 设 0n > 则 12,-rnrn== 3．令 1 0 k kkyCx n∞ + = = ∑ 代入（1）： 222 00 ()-0kk kk kCxCxnnnn∞∞+++ == ??++=∑∑?? 22 0:(-)0,xC nnn = 设 0 0C ≠ 122 11:(1)-00xCC nnn+??+=→=?? 22 -2:()-0 vk kkxkCCnn +??++=?? -2- (2) k k CC kkn= +∴ （3） ∴ 02 1 3 2 4 5 -,22(1) -0,3(32) -,4(24) 0 CC CC CC C n n n = ×+ ==+ =+ = 于是 02212 0 2 (-1) ;0 !()(-1)(1) (-1)(1) 1,2, !(1) n nn n CCC nnn C n nn nnn n n +=≡++???+ Γ+==??? Γ++ ； ∴ 220 122 000 (-1)(1)() !(1) n knn kn knn CyxCxCxx nn n n n ∞∞∞ +++ === Γ+ Γ++∑∑∑ 类似的取 2 -rrn==，则得 2-0 2 20 (-1)(-1)() !(-1) n n nn Cyxx nn n n ∞ = Γ+=∑ Γ++ 二、解的敛散性 1．方程的奇点可能是解的奇点 解的奇点，最多只是方程的全部奇点，即解的奇点 少于或等于方程奇点 ∴若是方程正则奇点相邻的奇点则其解在 中收敛 2．Bessell方程： 其奇点为x=0 ，此外还有（∵当令t=1/x 代入方程 时，t=0为方程奇点） 0x 0100 xxxx<?<? 1x 三、Bessel函数 1．定义：在解 中，取 并记此时 ,称之为v阶Bessel函数， 1()yx 0 1 2(1)C u n= Γ+ 1()()yxJxn= 2 1 0 (1)()() !(1)2 kk k xyxJx kk n n n +∞ = ? ??==∑ ?? Γ++ ??则 （4） 类似的，在 中取 并记此 时 为 称之为-v阶的Bessel函数，则 2 ()yx 0 1 2(1)C n n?= Γ?+ 2 ()yx ()Jxn? 2limlim(2)k xx CRkk C n ? →∞→∞ ==+=∞ ∴ 12, yy在 0 x<<∞收敛 2- 2- 0 (-1)()() !(-1)2 kk k xyxJx kk n n n ∞ = ??==∑ ?? Γ++ ?? （5） 显然 2．线性相关性 ①当 时 和 是线性无关的。vm≠ ()vJx?()vJx 无论x取何值，若 ,则 和 是线性相关的，但事实上，当 时： -()/()JxJxCnn= 0x → 1() (1)2 xJx n n n ??≈ ?? Γ+?? () xvJx →∞? ???→∞ ()vJx ()vJx? ②当 （6）-()()cyCJxdJxn nn=+ - - 1() (-1)2 xJx n n n ??≈ ?? Γ+?? ∴ 将随x而变。故此时 2 - (-1)() () (1)2v xJx x J n n n n Γ+??= ?? Γ+ ?? -,()(-1)() n nnnJxJxn == ∵ ∵ 1 0 ()0xtxtedtx ∞?? Γ=>∫ 2 0 (1)() !(1)2 knk n k xJx knk ?∞ ? = ? ??= ?? Γ?++ ??∑ ∴ -10,-1nkkn++>> 2-(-1) !(-1)2 knk kn x a knk ∞ = ??=∑ ?? Γ++ ?? 令 -lkn= 2 0 (-1) ()!(1)2 lnln l x lnl ++∞ = ??= ∑ ?? +Γ+ ?? 21 0 (-1)(-1) (1)!2 ll n l x lnl +∞ = ??= ∑ ?? Γ++ ?? (-1)()n nJx= 问： 答： (-)?nJx= - ()nJx= 1 2 ()?Jx= 此时，由常微方程理论知， 其另一线性无关解应为： - 2 0()ln() vk nkkyxaxJxXdx ∞ = =+∑ 四、本征值问题 2222(-)0(7) () (8) a RRknR dRR d r rrr arbr = ?′′′++= ???? +=?? ??? 1． 2222(-)00(9) () (00 1) RRknRa Ra rrrr′′′++=<< = ?? ? 即 222(-)0(9) (10)xka xyxyxny y= ? ′ ++=? ? ′=? ? 五、小结 1. 222 2 0 (-)0 (-1)() !(1)2 kk k xyxyxy xyJx kk n n n n +∞ ±= ′′′++=→ ??==∑ ?? Γ±++ ?? （**） 当 -:()()cnyCJxdJxn nnn≠=+ 当-:()(-1)()nnnnJxJxn== 2222(-)00 ()0[(0)] RRknRa RaR rrrr?′′′++=<<? =→? 有限 2. ① 是一振荡函数：()nJx （由（4））→ 2246 0 20 (-1)11()1--... 222(!) (2!)(3!) kk k xxxxJx k ∞ = ????????=++∑ ???????? ???????? 2135 10 (-1)11()--... !(1)!221!2!22!3!2 kk k xxxxJx kk +∞ = ??????=+∑?????? + ?????? ∴由图可看出 ∵ ( ),0 ,1,2... n nnm mnm n m n xkJx a xyJm ar ?== ? →??? ? ?? ??? ② 与x轴有无穷个交点，即 有无穷多根记之为 ——称之为 的第m个零点如： 亦即 ()nJx ()0nJx= n mx ()nJx 00 12?,?xx== ()0nnmJx = ③本征值问题（9）～（10）或（9）’～（10）’ 本征值为： nn m m xk a= 本征函数为： n mn xyJ ar ??= ???? 即 ∴ ,nmkax= nn m m xk a= 从而有 ()-() nm nn xyxJkJ arr ??= ?? ?? 2. 2222(-)0(11) ()0(12) RRknR Ra rrr?′′′++=? =? ∵由（9）’=1有： ()()nyxJx= 而由（10）’有 ()0nJka = 证： 类似的记 的根为 , m=1,2,… , 称之为 的零点。 则本征值问题（11）～（12）的 本征值为： 本征函数为： ()0nJx′ = nmx ()nJx′ nn m m xx a= ∵由（11）→ ()()nRJkrr= 而由（12）→ ()()0nRakJka′′== ∴ n m n xyJ ar ??= ???? n nnm amm xkxk a=→=