§1.积分方程的解法 积分方程在物理学领域和其它科技领域也使用得相当多 的，一个简单的例子是LC振荡电路 0,0 且电流为带有电荷设开始试电容器板极上 q± :)( 满足的方程为则电路中电流 tI c qdI cdt dIL t 0 0 )(1 =+ ∫ tt L ( )tR I C ∫?= t dItq tItqc 0 ;)()( :)()( tt 关系为与上电荷此时Q 程严格的说是一微积分方这是一积分方程 , 现在方程的积分号下。积分方程即指未知数出 代入此式即得微分方程故将上述 即上的电势降落之和为上和电容又电感 qcqdtdIL cL 0 0 =???????+ §1.1积分方程的几种解法： 一、积分方程简介： 00 )()(),,()()( yxyyxkxy ==′ 已知且微分方程设 [ ] [ ] [ ]其中待求的函数积分方程这便是 其解可表示为则 ? += ∫ 0 0 ),()( ydxyxkxy x x 1.引入 [ ] (*))()(),()()( : xfdyygyxkxgxh b a =? ∫l 的线性积分方程可写为一般 则为齐次积分方程数知知 若非齐次项已知核常未已 0)( ,( ≡ ↓↓↓↓↓ xf )2(* )()(),()((*):1)( )1(* )()(),((*):0)( )()1( Fr xfdyygyxkxgxh Fr xdfdyygyxkxh Fredholm b a b a 第二类 第一类 弗雷德霍姆方程 ? =?→= ? →= ∫ ∫ l 2. 分类 )(:)2( 伏特拉方程Volterra 0),(, => yxkxy当 Volxfdyygyxkxg Volxfdyygyxk x a x a 第二类 第一类 ?=? ?= ∫ ∫ )()(),()( )()(),( l () () ∫==?→ b a dyyxkkxfxgkh ),()( (*):3 其中 、算符表示 l 二、退化核的方程的解法 ( ) 退化核方程则分别为线性独立的 和其中若 → = ∑ = (*), )()()()(, 1 yxyxyxk ii n i ii jjjj ( ) () )1()( 1 1 0 22 xdyygyxxyxg =+? ∫l 、例 退化核?= += ∑ = ? 2 1 3 22),( i ii yx yxxyyxk () () )3( )2( 1 0 1 0 2 dyyygB dyygyA ∫ ∫ = =令 ( )即可求出求出若 则 )(,AB )4()()1( 2 xg BxAxxxg ll ++=→ ( ) )3)(2(, 分别满足的函数而只是又注意到 BAyyg 的积分只要先算出关于变量即要算出 yBA, ( )dyByAyyyA ∫ ++=→ 1 0 22:)3()4( ll )6(413131 )5(514141 BAB BAA ll ll ++= ++= 即 即 :)6( )5( 得解为求得由代入法或消元法即可 ?? ? 22 120240 80, 120240 60 llll l ??=?? += BA () ( ) 2 2120240 8060240 :)4( ll ll ?? +?=∴ xxxg 代入 0120240: 2 =?? ll若分母由此解可看到 () ∞→±?= +±?=? ?+±= xg151660 6916602 2404120120 2 l即 方程有唯一的解若 151660 ±?≠l [由上例可见解退化核积分方程的问题化为了解线性代数 方程组的问题，若退化核有几项，就需要解几个代数方程 所构成的方程组(1)解具有几项的退化核的方程即要解几 阶线性代数方程组，具体做法是： 2、一般 () ∑ ∫ = += == n i ii b a ii Axpxfxg FrnidyygylA 1 0 )()()( ...2,1,)(1 的代数表达式 得代入第二类令 l y 的线性代数方程组 的积分表达式得关于的代数表达式代入将 i i A Axg )(20 即得原积分方程的解 代入 可求得的几阶线性代数方程组解关于 ∑ = +== n i iii i AxxfxgniA A 1 0 )()()()...2,1( 3 jl 列式为 为变量的方程的导数行事实上在上例中关于 BA, )240120(2401 4 11 3 1 5 1 4 11 )( 2 ?+?= ?? ?? ≡ ll ll ll lD 0)( ≡lD克莱姆解法可知若故按线性代数方程组的 的解 有唯一方程的根不为若为齐次时 当方程无解或有无限组解则退化核方程的根 行列式为线性代数方程组导数若 (*),0)() ((*), 0)()2( ≡ ≡ ll ll D D 的本征函数解称为非零的齐次方程的 相应此时例方程的本征值为 如上的本征值的根为方程通常称 )1()( (*)151660 ,)8(0)()3( ±?= = l lD 个本征值有项的方程退化核有 NN (*),)4( ( ) 次方程的是关于此时 nD ll 0=Q ()∫+= 1 0 )(:: dttxtuexu x l求解例 Axexu dtttuA x l+=→ = ∫ )(:)1( )(: 1 0 则 令解 Atde dtAtetAA t t l l 3 1 )(: 1 0 1 0 += += ∫ ∫代入 AAee ll 3113110 +=++??= ),(33)( 3 3 代入检验满足xexu A x l l l ?+=∴ ?=∴ 三、Volterra方程的求解 )2()()( )1()()(1 0 0 ∫ ∫ = =? x x dyyyuxg xdyyxyuxu 令 、例 ()[ ] ()[ ]xgx xxgxxxxuxg xxgxxu += +==′ +=→ 1 )()()2( )3()()()1( 2 )3( 由 则 ( )的微分方程解关于即解原方程 xg→ ()[ ] () ()[ ] Cxxg xxgxg ln31ln 1 1 3 2 +=+∴ =+ ′+ () () 3 3 3 3 )3( 1 x x Cxexu Cexg = ?= 代入 四、位移核方程的求解 ( ) ( ) 位移核??= yxkyxk , () ( )() () 可用傅氏变化求解 对于 )1(xdyygyxkxg jl =?? ∫∞ ∞? ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ()w w w kdxeyxkyxkF gxgF xi ~,, ~ == = ∫∞∞? ? 记 ( )[ ] ( ) ( )() ( ) ()xgyxkdyygyxk xF ?=? = ∫∞∞? , ~ Q wjj ( ) ( ) ( ) ( ) ()()wlwjw wwlwj kg gkg ~1 ~~ ~~~~:)1( ?=∴ +=→则 ( ) ( )[ ]wgFxg ~1?= () ( ) ()dyyueexu yxx ∫∞ ∞? +?? += 22:1: l、求解例 ( )[ ] ( ) [ ] dxeedxeeF uxuF ix xixx ∫∫ ∞ ∞? ?????? +??∞ ∞? ??? == = 22 22 24 ~: ww w w Q 记解 4 2w p ?= d ( ) () [ ] ()[ ]xuFeF dyyueF x yx ?= ??????∴ ? ∞ ∞? ??∫ 2 2 () () () () ()[ ]w pl pw wplpw w w ww uFxu e eu ueeu ~ 1 ~ ~~ 1 4 4 44 2 2 22 ? ? ? ?? = ? =∴ ?+=∴ () 4 2 4 2 44 2 222 1 ~ w www pl plplp w ? ??? ? ??? ? ??? ?+ ??? ? ??? ?? = e eee u ... 3 4 2 44 222 +?? ? ? ??? ?+ ??? ? ??? ?+= ??? www plplp eee 五、迭代解法 () () ( )() )1(, dyygyxkxfxg b a∫ += l ( ) ( ) () () ( )() )2(, :)1(,1 1 0 dyyfyxkxfxg xfxg b a∫ += = l 得代入先取、解法 () () ( ) () ( ) () ( )( ) dyydyfyykyfyxkxf dyygyxkxfxg b a b a b a ?? ? ?? ? ′′′++= += ∫∫ ∫ ,,)( , 12 ll l则 () ( )() ( ) ( )() dyydyfyykyxkdyyfyxkxf b a b a b a ′′++= ∫∫∫ ,,, 2ll ( ) () () ( )() )3(, )1(:lim 1 dyyfyxkxfxg xg b a nn n n n ∫∑ ∞ = ∞→ += = l 的解为方程于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )?? ??? =′′′= == ∫+ ba nn nydyydyxkyxk myxkyxk )4(...)2,1(,,, )1(,, 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 该级数解是收敛的时 若时 上连续在和、可以证明当 ,)1,,max( ,1, ,,2 <= ?<?≤ ≤≤ r rl yxkM abMabM byxaxfyxk [ ] ( ) () () 00 0max: Mxfxg Mxf == = 则 令证 () ( ) () ( )abMMM dyyfyxkMxg b a ?+≤ ?+≤ ∫ 00 01 , l l ( ) ( ) ( ) ....2202002 abMMabMMMxg ?+?+≤ ll () ( ) n n nn n abMMxg l∑ ∞ = ?≤ 0 ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = <= ???≤ 0 0 0 0 )1( n n nn n n nn M abMabMM rr r 收敛故级数解 收敛的级数这是一绝对收敛且一致 )3( () ()() () () () 总能量作用势波函数 ?=?? =+?? )2(2,, )1(2 22 2 m kErvr rErrvrm hrr rrrrh j jjj 3、例:粒子散射问题满足薛定谔方程(schrodinger) () () ()() () ↑↑ ??? ??? ? +→ =+ ∞→ )4(),(| )3(2 :2)1( 2 2 2 r efer rrvmrkrm rki ikr r r r rr h rr h rrjqj jjjD 2 2 00 2, h mEkkk == 而 入射平面波齐波矢为 ( ) 散射的球面波 作用入射粒子与 rv r ( )的格林函数为方程 3Helmhoz ( ) rrerrG rrik ′??=′ ? rrrr vv ' 4 1, p ()rGkdrdGrdrdrGkG G r Q dD jq =+? ? ?? ? ?=+ 22 2 2 1 ,, 满足无关故其与即选用求坐标 函数的解故取零阶第一种球是无界区域又是发散波 函数齐次方程的解为零阶球若 Hankel Besselr Q ,010 ≠ ()( ) r eBkrBhG ikr′== 1 0即 ()() [ ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? += +== ? 2sin )()(2cos )(2 )()(2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 p p p p xJxJ ixJx xiNxJxxhQ () ()[ ] x eix xixxx xiJxJx ix =? ? ? ? ? ? ?= ?= ? cos2sin22 2 2121 pp p p ( )则有为零的积分，当注意进行 的小球内径为积分在以原点为球心半当 0 02 2 0 → = e e Gk r ( ) 14|4 |4| 0 0 2 00 =′?=?′= ? ?= ? ?= →= →=→=→∫∫∫ ∫∫ k Berike k B r Grds n GGdv r ikrikr rrv pp pD e ee r eGkB ikr pp 4,4 ??==′由此得 ( ) rrerrG rrik rrrr vv ??= ′? p4,)2( 所述在一般情况下综合 () ( )( ) )5(2 )3( 3 2 0 rrv rr erdmeru rrikrik ′′ ′?′?= ′?′ ∫ rrrrrhr rr r j p 的解为故由格林函数法可求得 ()的积分方程这是一关于未知函数 得到的其中第一项由边界条件 rrj ( ) () () () rdervrremerr er rki rrik rki rki ′′??=≈ = ∫ ? rr rrhrr r rr rr rr rr 3 21 0 00 0 2 : , pjj j 代的结果为 则得第一次迭首先取用迭代法求解 () ( ) rdrdervrrervrrem rki rrikrrik ′′′′′?′′?? ? ?? ? ?+ ′′′?′?∫∫ rrrrrr h rr rrrr 33 2 2 0 2p () .... : =rrj 式于是解可表示为级数形 ( ) () 称为二级近似得第二次迭代的结果再一次代入 将一级近似近似称为波恩这是一重要结果 ,5 ,, Born ( ) ( ) ( ) rdervrreme rr rki rrik rki ′′ ′??= ≈ ′ ′? ∫ rrrrh rr r rr rr 3 2 2 00 2p jj 总之解积分方程就是要将未知函数从积 分号下解脱出来 解法: 解一阶微分方程、通过变量代换→2 解代数方程、通过傅氏变换 →3 近似解、迭代法 →4 解代数方程组、通过变量代换→1