§2.1 复变函数的积分 一、定义 1. ()fz有定义 max01 ()lim() AB k n kkl z k fzd fzx D? = =D?ò ()fz—被积函数， l —积分路径 注：凡无重点的曲线为简单曲线或Jordan曲线，具有 连续转动切线的简单曲线称为光滑曲线，由有限条光 滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线简单折线是 分段光滑曲线。 二、存在条件 ∵ 10 ()lim() k n kkl n kz fzd fzz ?￥ = D? =D?ò 令 , kkkkkkizxiyzxh=+D=D+D 则 ()(,)(,)kkkkkkkfuiuizxhnxhn=+=+ [ ] 1100 10 lim()lim()() lim()() kk k k k nn k kkkk kkxz y n kkkkkkkkn kx y fzuixiy uxyixuy xn nn ?￥?￥== D?? D? ?￥ = D? D? D=+D+D =D-D+D+D ?? ? 分段光滑； 即 () lll fzdzudxdyidxudynn=-++òòò 实积分存在则 l ()fzdzò存在。 条件(1) l ()fz 在l上连续(2) 三、性质 1． 11 ()() nn ukkkll kk CfzdzCfzdz == =??òò 2若12 nllll=++L 则 1 ()() kll fzd fzdz = ?òò 3． ()() ABBAll fzdzfzdz=-òò 用积分定义证 4． ()()llfzdzfzdz￡×òò () l fzdsò或 其中 22dsdzdxdy==+ 5．() l fzdzMS￡×ò max()Mlfz Sl - - 上 的长度 用积分定义和 公式 例：试证 0 lim 1 3 zrr z dZ=0 +z=? ò [证]：设 1r < 则 334 0 222 2 0 111 r zrzr zrdzdz zr p? == ￡￡????++-òò 四、计算方法 1．用定义： ① 0 ? : nldzlzz=?ò ∵()1fl= ∴ 1kfz = [ ] 0 1 1 1021121 1 0 lim1 () =lim k k n kkl n kz n nnnnn kz n dzzz zzzzzzzz zz ? -?￥ =D ---?￥ =D =- -+-++-+- =- ?ò ? L ② 0 1 ? : () nl kkk zdzlzz fzzzzz- =- =D=- ò 注意 kz 是 [ ]1, kkzz- 上任意一点 若选 1kkzz -= 则 [ ]11 10 lim() k n kkknl n kz zd zzzA-- ?￥ = D? =×-=?ò 若选 kkzz = 则 [ ]1 1 0 lim() k n nkkkl n kz zdzBzzz- ?￥ = D? ==-?ò ∴ 221 1 0 222222 10211 22 0 11()lim 22 1lim 2 1 () 2 k n n kkl n kz nn n zdzABzz zzzzzz zz -?￥ =D? - éù=+=-?? éù=-+-++-?? =- ?ò L 由此二例看出，牛顿莱布尼兹公式成立？ 2．用计算实践积分做 ∵ () lll fzdzudxdyidxudynn=-++òòò ∴只要计算二实线积分即可 注意： ①此公式可这 样记： [ ] ()()() () ll l fzdzuivdxidy udxdyidxudynn =++ =-++ òò ò lll udxdyudxdynn-=-òòò②问： 怎样做： 或利用参数方程，用参变量积分做或(y和x关系显式)利用y与x关系应学 会将线积分化为定积分或不定积分计算。 ① Re l zdzò :l )02)022ii?+??+ Re() llll zdzxdxidyxdxixdy=+=+òòòò i)∵此时 12 2, :0; 12 yx xyyi--=?=? ∴ 1 1 2 0 0Re222l zd ydyiydyi=+=+òòò 例题： ii） 12lll=+ 12 0, 0,2, 0 ::02, ::01 ydyxdx lxly ==== ?? ∴ 1122 2 1 0 0 Re 222 lll llll zdzxdxixdy xdxixdyxdxixdy xdxidyi =+ éùéù=+++êúêú ???? =+=+ òòò òòòò òò 沿两不同积分路径其值不同。 ② ? :l zdzl=ò 同上 ()()ll ll Izdzxiydxidy xdxydyiydxxdy ==++ =-++ òò òò i） 1 1 0 0 3(22)(22)2 2Iyydyiyydyi=×-++=+òò ii) 12lll=+ 1212 2 1 1 0 0 0 3 22 2 llll Ixdxydyxdxydyiydxxdyydxxdy xdyydyidyi éù=-+-++++êú ?? éù=-+=+ êú?? òòòò òòò 积分路径不同结果相同。 由上我们看到函数的积分与积分路径无关，只与起 点终点值有关，且似乎实积分中牛顿——莱布尼兹公式成 立，而函数的积分之值却与路径有关。 究竟哪些函数与路径有关？哪些无关？有无什么规律？ 我们已看到上面的例中是解析函，而 是非解析 函，那么有无可能积分的这种性质是不是因被积函数的解 析性造成的？ 下一节的内容将讨论和回答这一内容。 Re zz 例：用极坐标计算圆弧积分 2(1) 0(1)()nl indz nza p =ì= í 1- ?ò? :lzar-= 证：既然 zar-=故不妨求用za- 的极坐标形式来算积分。 2 0()() i ninl dzreiId zare qp q q==-òò 当 2 0 1, 2nIidip qp===ò 2 2 (1) 1(1)1 0 0 2 2 1 0 0 11, cos(1)sin(1)0 in ninn n inIided rer indind r ppq q pp qq q qq -- --- - 1== éù=---= êú?? òò òò 1 1 , 1 () (1)1 1 n n nl in Izadz r n p + + =+ì? =-=íéù-- ???+?ò 1, 11, 0 nr nnr n <-?￥ì ?1+>-?í ?=?奇整数 izareq-= idzreidqq=令 则 0qp￡￡ 1(1) 0 0 ninininIrereidriedppqqq++=×=òò 且 于是 1,n=- 0 Iidipqp==ò则 1,n1- 则 [ ] 1 0 1 00 1 1 cos(1)sin(1) sin(1)cos(1) 11 (1)1 1 n n n n Irinind nnri rn p pp qqq qq + + + + =+++ é++ù=×++ êú++?? éù--= êú+?? ò 附：格林公式：若函数 在闭 域 上具有连续的一阶 (,),(,)PxyQxyx s * l QPPdxQdyd xys s ????+=- ?÷??è?òòò? 其中 的边界*l s- 偏微商,则