复变函数论习题 第一章解析函数 遵循实数运算规则 幅角 模 )3( )arg2...;-1,0,(k 2arg)2( ||)1( 22 pp pj r ≤≤±±= ?+== ?=+= z kzArgz zyx )(zfw = ?? ??? ?? ??? + + = )sin(cos jjr r j i e iyx z i ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? = = ? ? ? ??? ? = = Lnzw zw chzshz ctgztgzzz ew zw n z n : : ,: ,,cos,sin: : : 对数函数 根式函数多值 双曲函数 三角函数 指数函数 幂函数 单值 →+= ),(),()( yxivyxuzf 二.有关复数和复变函数的实、虚部分开,求模和复 角的问题 ?argz ?||,0,sincos1.1 = =≤≤+? zi paaa aa aa sin,cos1 sincos1 =?= +?=+= yx iiyxz 则 解：令 aa 22 sin)cos1(||(1) +?=z 2sin22sin4cos22 2 aaa ==?= 2sin2|| a=∴ z 一象限,0,0cos1 ≥≥?= yx a 0sin1,cos-1 ≥<<∴ aa pa ≤≤0Q 求复角要看象限(2) a a cos1 sin ||arg ?==∴ arctgz yarctgz )2( actgarctg= )] 22([ ap ?= tgarctg 22 ap ?= )v.(u, 下面请同学做关键是求∴ .cos,.2 的模求已知 ziyxz += ]sin)(cos)[(21 ][ ][21 ][21][21cos )sin(cos)sin(cos 2 1 )sin(cos)sin(cos xeeixee ee eeeez yyyy yy xixyxixy yixyixiziz xixexixe ?+ ?++ ?? ? ?+? +??? += = += +=+= xee yy 2cos221 22 ++= ? 22|cos| vuz +==∴r xeev yy sin)(21 ??= xeeu yy cos)(21 +?=∴ xeexee yyyy 2222 sin)(cos)(21 ?+ ?? += pj ?= uvarctg 0,0,2 <<<< vux pp当 u varctg=j 0,0,20,0,0 <><<>> vuxyx p则当若 )( tgxee eearctguvarctg yy yy + ? ? ? ==j 已知图形如何用复变量 有关复变量和几何位置三 1. . R 0Imz0,y:(1) >>上半平面 R|z| argz0:(2) < << p半圆 : 问 a R|z| argz- < <<+ aap 2 2 2 2 2 1 2 1 22 11 22 11 )()( )()( |||| )()( )()( ,. yyxx yyxx z-bz-a yyixxbz yyixxaz iyxb iyxaiyxza ?+?= ?+?? =∴ ?+?=? ?+?=? += +=+= 由 则 设 ||||(1) z-bz-a = :,.2 求表示的图形已知表达式 出根据向量表示也易于得.b 0 a b || az ? 请思考)2( 0?c0,aC,|2||2| >>=++ azaz- ，可否用向量表示？问： 1Re|| ≤+ zz 答：不可以。 不是向量zRe Q )|||(|2|||| 2221221221 )3( zzzzzz +=?++ 证明： 右边 左边 =+= ++= = ?+?+ +++= + +++ )|||(|2 ][2 2222 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 )()( )()( )()( 11 11 zz yxyx yyxx yyxx yyxx 4arg0 4)1arg(0 11i) p p << <?< +?=?= w z iyxzw Q 令 是否是区域？图形 且 ? 3Re24)1arg(0).4( ≤≤<?< zz p 10 1,0)1( 01 0 410 ?<<∴ ?<∴>? ?? ? >? >< ?< xy xyx x y x y 由右 由右：即 Q p 1? 1 2 3 不是区域又 ∴≤≤ ,3Re2) zii ??? ??? ? + ?= +=∴ + ?= +=+= 22 22 22 1 yx yv yx xu yx iyx iyxivuw解：令 ?:41).5( 22 >?<=+= wyxzw 将 4 44 4 1,144:)( 4,4 ,)( 2222 22 == ?==∴ ++ ?===+ vuvua vyux a yvxuyx 即代入 代入：由 y x4 4 u v ? ? ? ??? ? ?±= +±= ? ?? ? = =? +=+ +=+ 2 12 2 12 12 1 1)( )1i)( 22 2 2 1 y x xy yx iiyx iyxi 则 有关计算四. i+1).1( 2 )24( 4 2 )2( i 2 i1 2|i1| ei1ii) 2 4 arctg1)1(arc pp pj j r r r pjp k i ki e e ki + + = =+ ==+ =+ +===+ 则 设或 只有虚部→ )(21 iiii eei ??=isin).2( )1(2 2 ?= eei )(21 1 eei ?= ? iie ieeziee zz iz iziz iziz )32(2 4164 014)(2 sin).3( 2 ±=+?±= =??→=? = ? )22()32( )22()32( ])32[(])32[( ])32[(])32[( )22()22( )22( pp pp pppp pp kiLnz kiLn eiArgeLn eLniLniz kiki ki ++±?=∴ ++±= ±+±= ±=±=∴ ++ + :(3) :(2) )(, )((1) . 性质 充分条件 解析在区域则称处可导 处在区域定义：如果函数 解析性：五 s s zfw zfw = = ??? ??? ? =′ ? 存在如由求导公式 连续 充分必要条件 定义于可导的联系 如何判断解析 zziii vvuu RCii i yxyx cos)(sin:. ,,, ,:. . .1 ]0[ 2,2 2,2 =+ ? ? ? ?=+?= =+= yyxx yyy xxx uu uxyu uyxu解： )( 1)(,.1 22 zf iifxyyxu 求解析函数 已知 +?=+?= Cxyxyv xyxyd dyyxdxxydxvdxvdv yxuvxyuvRC yx yyxx +?+=∴ ?+= ++?=+=∴ +==?==? 22 )22( )2()2( 2,2: 22 22 由 2 11 21 )1,0(1)( )22()( 22 22 =+?=++?∴ ==+?= +?+++?=∴ CiiCi yxiif Cxyxyixyyxzf 即 即又 2)21(2 1 2 1 )22()( 2 1 2,2 222 22 22 2 22 222 iziiizz Cxyxyixyyxzf izixyxyxyizyx +?=+?= +?+++?=∴ ?=?++=?Q jrr jrr pjrrjr pjrr r pj ? ??= ? ? ? ?= ? ? +=?? +=?? == ? + uv vu kv ku ezw ki 1 1 )]2(53cos[1531 )]2(53cos[53 5 3 5 2 )2(53535 3 同理可证 即 解： )3(2.20,.2 5 3 Pzw =讨论解析性，可微性 . ),0(2 6.21 22 式势族，并求此电场的复 求等物线族 力线是抛已知一平面静电场的电 例题： >+= CCxCy P 01 )0(, ),0(2 222 2 2 2 22 22 22 ≠ + =??+?? ?+= >?+= >+= yxy v x v xyxv CxyxC CCxCy 则 若令 有解：由 Q 2 3 22 2 2 222 2 )( )(])[( yx xtF yx ytF y v + ′+ + ′′=?? 同法可得： 2 3 22 2 2 222 2 22 22 )( )(])[( ]1)[( ),(),( yx xtF yx xtF x v yx xtF x v xyxttFyxv + ′+ + ′′=?? ? + ′=?? ?+== 则 故令 )()(),( )( )(,21)( )( 0)()(][2 2 22 1 21 1 22 DCxyxCtFyxv CtCtF t CtF ttF tF tFtFxyx +?+==∴ += =′?=′′′ =′+′′?+ 在积分： 积分：亦即： 带入拉普拉斯方程： 2sin2 1 2cos2 111: 1 1 j rrrj j rjrr Cvu C vuRC =???=?? =??=??? 条件由 21 21 2sin2 cos),( CC CCv += ++?= jr rjrjr 极坐标形式： 3 22 1 3 2 131 2cos22cos2 CxyxC CCCCu +++= +=+=? jrjr )2cos2( 2sin2 1 2cos2 11 1 1 1 jr jjrrjr jjrr dC dCdC dududu = += ? ?+ ? ?= CxCy Cxyx iCxyxiC iCCzCivzfu iCCzCzf x vi y v dz zdf 2 )( )( )( )( 22 22 2 22 1 321 321 ?=? =++= ??+? ++=?=∴ ++= ? ?+ ? ?= 由此得： 也可以这样做：由 D