一、发展史：
绪论
复变函数理论被人誉为19世纪最独特
的创造，这个新的数学分支统治了19世纪。几
乎象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，曾
被称为19世纪的数学享受，也曾被称为抽象科
学最和谐的理论之一。
复变函数理论中最重要的内容是解析函数。
解析函数不仅对数学自身的发展起了重大作用，
而且在理论物理、空气动力学、流体力学、天体
物理、弹性理论及其工程技术中也有广泛的应用。
所以本篇研究的中心问题是解析函数的问题
由于复变函数是定义在复数集上的，为
此在学习时我们首先需要复习有关复数的概念。
二、复变函数的内容：
１、将“实函”中, 函数、极限、连续、微商、
积分、级数推广至“复函”中；
２、解除了实数领域中若干禁令：
2i± 1,13<
实函:
（ａ＝ｘ）
复函:
（ａ＝ｚ）
2- lg(1)-
cos
sin
a
a
ae
1￡不存在 不存在 bxx ee +1
pi+1lg 2zike p+
３、建立了三角函数和指数函数，双曲函数的关系：
chxixishxix
xixe ix
==
±=±
)cos(,)sin(
sincos
三、复变函数的应用：
1、解偏微分方程的边值问题，如：保角变换法、
复变函数法；
2、解偏微分方程的初值问题，如：积分变换法、
行波法；
3、计算实积分，如：留数定理。
§1.1 复数及其运算
一、复数概念：
(,)zxyxiy
zxiy
==+
=-
ì=+?
í=+?
?
ì=?=?
í=?
?
uuuuuur111
222
12
12
12
zxiy
zxiy
xxzz
yy
1. 定义
2. 性质
(1)
二、复数的表示：
1、几何表示：
()(...)(3) RabcRabc=， ，，，
rj
uur
： (2)
(3 (,) ):
oz向量
极坐
><或
。
1212(2) zzzzz大小：
都是的
j
r
无
错误
(1) 点 z
22
()cossin
i
zxiyi
e
xyz
yArctgArgz
x
j
rjrj
r
r
j
=+=+
=
=+=
==
三角式
模
数
→
→
→
→
指式
多值
例题： 1?=+=ziz1、 求
2、上例 一见书题
22
1,1
2
1
2(1,2,)4
: xy
zxy
yargzarctgarctg
x
Argzkkp p
==
\=+=
==
=+=±±×××
解 1
02,?p<￡若如何用a 表示ayargzrctgrgzx问题：
问题答案
,0,0
-,0,0
,0,0
2-,0,0
yarctgxy
x
yarctgxy
xargz
yarctgxy
x
yarctgxy
x
p
p
p
>>
<>
=
+<<
><
ì
?
?
?
??
í
?
?
?
??
?
答：
N
+￥=?????
?????￥
复平面全平面复球面
北极
o1 ，∞与分析中+∞、-∞有根本
在那儿+∞、-∞只是量化的
数学着区别
变变记号
ì
?
?
?í
?
?
??
o
∞=∞，但部、部和角是意的
∞±z=z±∞（ z ≠∞）
z2 定： =0（z≠∞）
∞
z =∞（ z ≠ 0 ）
0
规
实虚辐则认为无义
注意：
(4)复球表示：
cossin(
i
xiy
z
ej
rjrj
r
+ì
?=+í
??
三角）
2、代数表示：
1、运算结果与实数相符合
2、运算与实数规则相符合
即加法满足交换率、结合率，乘法满足
交换率、结合率和对加法的分配率
23、足i=-1满
三、复数的运算规则：
111222=+=+zxiyzxiy，若
121212
1212121212
zz(xx)i(yy)
zz(xxyy)i(xyyx)
±=±+±
′=-++
容易证得：
1212
1212
()
()
22
121212
1212
0
/
()()
()
iii
iii
n
nmmnm
n
m
eee
eee
zzzzzz
zzCzz
jjjj
jjjj
+
-
-
=
ì ×=
? =
?
í+=+-
?
+=?
? ?
?
?
?
?
??
?
í
ì
由上面的结论，可证明：
+
-
×=×
=1
12
12
()
1212
()
12122/(/)(0)
iArgzArgz
iArgzArgz
zzzze
zzzzez
inArgznn ezz =
2 0,12...
2
p+ =±±
3
ì= í
?
argzki
m mm k
m
zze ， ，，
证明：
12
12
1212
()
12
iArgziArgz
iArgzArgz
zzzeze
zze +
×=×
=×
)(
2121
2121
2121
2211
21
21
)sin()cos(
)sincoscos(sin
)sinsincos(cos
)sin)(cossin(cos
jj
jj
jjjj
jjjj
jjjj
jjjj
+=
+++=
+
+-=
++=×
i
ii
e
i
i
i
iiee
+++
=×
=
=
(...)
....niArgziArgziArgz
n iArgzArgzArgz
n inArgz
zzezeze
ze
ze
.
义数则称
个称为
数开记
mm：在 z 的含是,若复 w=z， w是z
的一 m次方根，而求z的全部m次方根 把
复 m次方或求z的m次方根，作 z
注意
对于式
2 0,12...
2
argzki
m mm kzze
m
p+ ì =±±
= í3
?
，，，
j
j
则义
iθ im
m
iθmim
令 z=w,z=re,w=ρe,
由定 z=w,
即re=ρe
(2)
cossin
cos()sin(2)
i
ik
ei
skik
e
a
ap
aa
apap
+
=+
=+++
=
Q
即指数函数是以 p2 为周期的
j
j
ì?
í?
?
为负数样
m
**
**
ρ=r∴上式相等有：
m=θ+2kπ k=0,±1,±2,...
(或θ=m+2kπ，∵ k 正整，∴此二式一）
j
别为
辐
（其中r，ρ，θ，
分 z和w的
模和角）
证:
*2
,m kr mqprj+==
故有：
*
*
2
22
(012...
qp
j
pp
r
+
++
===
=
=±±
=
，，）
即
ki
immm
ArgzkArgzki
mmmm
zwere
zez
k
当时别应
个
m
01m
k=m，m+1，... ，z的值分相的和
w，w，...w中的
()
一
2
相同
当时时
为
m
iα
k=-1，-2，... ，z的值和k取正相同
其原因是：e 以i2
()
π
3
周期
3求例1： 1 =？
02
3 03 3111
ki
iee
p+
=×=×解：
三点注意：
仅当时个m 01mk=0,1，...z有m不同的值w，w() ，...w1
3
2
3 3
42
333
6
33
82
3 33
2
3 3
0:11
131:1
22
132:1
22
3:11
134:1
22
131:1
22
i
ii
i
ii
i
k
ei
keei
ke
keei
kei
p
pp
p
pp
p
-
-
==
===-+
====--
===
====-+
×××××××
=-==--
(cossin)?2 nijj+=例 ：
jj
jj
j
j
nine
ei
in
nin
sincos
)()sin(cos
+==
=+
(cossin)cossinjjjj\+=+
? 公式
n nin
DeMoivre
1)1)(1(111 2 =--=--==- i
问题：下面错在何处？
问题答案：
p
p
+
--=
ì ====í
=-=?
02 0
2
(1)(1)1
10
11
k ii
i
eke
