§1.3球函数 一、缔合Legendre函数 1.缔合Legendre方程的有限解(本征值)问题 ( ) ( ) ()22 21--21-011-mxyxyllyx??′′′++=???? 1xy=± →有限, x=0一常点，当然可用常微分方程的级数解法 求解。现用下述方法求解，以使之与研究详 尽,较简单的 ( )lPx 系联 () ( ) () ()221-2myxxxn=令 代入(1)得 () ( ) ( ) ( ) ( ) () 2(1)-21 1-103 xxmxx l mm nn n ′′′?+ +++=???? () () ( ) () ()2(1-)-2104lllxPxxPxllPx′′′++=又 ()()()() ()1-104mll mmPx ′+++=???? ()( ) ()() ( ) ()()24:1--21m mmldxPxxmPxldx ″ ′?? ??+ ???? 对比 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )34 mlxPxn =得 () ( ) ()() ()21- 2 m mllmyxxPxPx===记称 代入(2): 缔合Legendre函数 故本征值问题(1)的本征值为：l(l+1),l=0,1,2,… 本征函数为： () ()() ( ) () ()221-,0,1,...5 m m m ll dyxPxxPxml dx===()5→由() ()0 llPxPx= () ()() ( )1 11 22 1(1)(1),cossin Pxxd PxxPxxorPdx qq =′′ =?=?= () ()( ) ( ) 123-1 21 1 22 22(1)31-, xd PxxPxxdx′ =?= ()()2 3cossin262or P qq′= ( ) ( ) ( )22222231-,cos3sinPxxorP qq== 在(1)中，m 换-m形式不变。 2. ( )mlPx的微分式： () ( )21 -12! l ll lldPxxldx=Q () ( ) 22 21- (1)(7) 2! m lm ml llm x dPxx dx + +=? () ( ) ( ) -22 - -21- -1 2! m lm l m l llm x dPxx dx=故有 ( ). mlPx积3 的分式： ()() () ( )1 ! 2 - n l n fnfzd i z x x p x += ∫Q 故由(7)立即可证： () ( ) ( ) ( )( ) 222 *1 1--1! (8) 2!2 - m l m l l lml x lmPxd li x xx px++ += ∫ 二、缔合Legendre多项式的性质 1.递推公式： ( ) () ( ) () ( ) () () 1 -1 1--21 09 mm ll m l lmPxlxPx lmPx +++ ++= ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) 1 -1 1-21 0 ll l lPxlxPx lPxB +++ += Q ()( ) ()()( ) ()()1:1-21m mmlldBlPxlxPxdx +++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -1-2 010mmllmlPxlPx++= ( ) ( ) ( ) ( )1-121-llllPxPxPx+′′+=又 ( ) ( ) ( ) ( ) () ()()( ) -1 1-1 -21 -11 m l mm ll mlPx mPxmPx+ + =+ 故有 ( ) ( ) ( ) 221 101- m x??????代入 (9) 2.正交性 () () ( )( )1-1 ! 2-!21mmlkkllmPxPxdx lmld+=∫ + 证明： ( ) ( )1, -1mmmlklkIPxPxdx= ∫记 ( ) ( ) () ( )()1 -12-1 1- m mmlkdxPxPxdxdx= ∫ ( ) () ( ) ()()1 -1 2 -1-1- mmm kl dPxxPxdx dx ??∫ ?? ?? ( ) ( ) () ( )()1-12 -1 1- m mmlkxPxPx= ( ) () ( ) ()()1 -1 2 -1-1- mmm k dPxxPxdx ldx ??= ∫ ???? ()4′而由 ( )21-:mx? ( ) () ( )( ) ( )()1 12(2)21--211-m mmllxPxxmxPx+ ++ + ( ) ( )( ) ()()21-11-0m mll m xPx+++=???? ()()()1 121- m mld xPxdx + +??????即 ( ) ( )( ) ()()2-1-11- m mll m xPx=++?? ()()( ) ( )() ( )()-11 -1-12, -11-11- m mmmlklkIl m xPxPxdx=++??∫??故 ( ) ( ) -1,1-1mlkl mmI=++ ( )( ) -1,-1mlklmlmI=++ ( )( )( )( ) -2,-1-1-2mlklmlmlmlmI=++++ ( )( ) ( )-1-1lmlmLlmm=++++???? ( )( ) ( ) -,-1-2- mmlklmlmLlmmI?+++ ( ) ( ) () () 1 -1 ! ! !-! lk lm l PxPxdx llm += ∫ ( ) ( ) 0, ! 2 , -!21 lk lm lk lml ≠? ?=+? =? + ? 3.广义傅氏展开 () () 0 mm lllfxCPx ∞ = =∑ ( ) ( ) () () 1 -1 ! 2 -!21 m llk lmCPxPxdx lml += ∫ + 解： ( ),,0,1urraqj?=<<> 2 0sincos22rauuqj= <> 4.例题：半径为a的均匀球，表面温度保持一 常数 ,求球内稳定温度分布u。20 sincos2unq ( ) ( ) 00 cossincosmmlmlll lm uAmBmrPjjq∞∞ == =+∑∑由<2>: ( ) ( ) 00 cossincosmlmlmll lm AamBamPjjq∞∞ == =+∑∑ ( )220021sincos2coscos23uuPqjqj ( )222cos3sinPqq=Q ( )2201,0,2,03lmlmlllAauAamlBa∴==≠≡ ( )2 02 ,0,2,03 mmllAAlmBa==≠≡即 ( ) 2 20 2, sincos23ururqqajj∴= 三、球函数 1.定义： ( ) ( ) ( )0 uRrnu q=ΘΦ?=??????→令 ( )( )( ) ( )-1 , cossincos llm lml mmlucrdrAmBmPjjq +=++ ()()sin,cos cosmmll mynP mjqqj??= ?? ?? 记 ( ) ( ),cos,0,1,...,mmimllyPemljqjq==±±或 称之为 l 阶球函数 ( ),21mlylqj →+显然，独立个的共有。 于是： ( )( ) ( )-1 0- ,l llmlll lml ucrdrynq∞ + == =+∑∑ 2.性质 ①正交归一性： 通常定义归一化的球函数为： ( ) ( )( ) ( )-!21,cos4!mmimlllmlyPelm jqjqp+= 0,1,...,;0,1,...mll=±±= 则易于证明：上述定义的球函数在单位球面上 正交归一。 ( ) ( )2 ,,00 ,,sinlmnmklnmynyndndpp qqqqdd=∫∫ ②广义傅氏展开： ( ) ( ),, 0- ,,l lmlm lml fnCynqq∞ == =∑∑ ( ) ( )2,,00 ,,sinlmlmCfnynddnpp qqqq= ∫∫ 0, 1,1 13,sin 84 inyyeq pp== -22 1,-12,2 315-sin,sin 832 i inyeyeqq pp ± ±== 3.例题：重解上述例，将解中含θ，j 的部 分用球函数表示。 解： ( ) ( ),, 0- ,,,l llmlm lml urCryqjqj∞ == =∑∑ 又由边界条件有： 22-20sin iirauueejjq= ??=+?? 22-20sin 2 iiu eejjq??=+?? 2 2-20 321515sinsin 2153232 iiu eejjp qq pp?? ( ) ( )02, 2,-28 ,,15 uyypqjqj??=+?? ( ),, 0- ,l llmlm lml Cay qj∞ == ∴∑∑ ( ) ( )02, 2,-28 ,,15 uyypqjqj??=+?? 22 2, 2,-20 8 15CaCau p∴== ( )02,2, 2 8,02,2 15 lm uCClm a p ±=≡≠≠±即 ( ) ( ) ( )202, 2,-228, ,,15 ruruyyapqjqjqj??=+??于是有： 2 22-2 0 2 815 sin 1532 iiruee a jjp q p ???? 2 2 0 2 sincos2 ru a qj=