§2.1 达朗贝尔公式 一、定解问题： ?? ?? ? ><∞<<∞?= ><∞<<∞?= ><∞<<∞?= = = 3),(| 2,)(| 1, 0 0 2 xxu xxu xuau tt t xxtt y j BAtty +=)( 03/1 00 =→ ?? ? = =+? B A BA 二、求解： 1、分析：对于常微分方程 ?? ??? =′ = =′′ 3/1)( 0)0( 0)( oy y ty 先求通解： 再用初始条件求特解： tty )3/1()( = 启示:简化偏微分方程,先求通解,再求其特解 若将方程<1>化为型如： 0=xhu 0)( 2 2 2 2 2 =????? uxat 则通解简单易求，故引入变换 首先，将<1>变为 0))(( =???????+?? uxatxat即 ?? ? = = ),( ),( hx hx tt xx若引入 )( xatAxxtt ??+??=????+????=?? xxx使得： )( xatAxxtt ??+??=????+????=?? hhh 0=xhu则方程<1>化为 ? ? ? ??? ? =?? =?? 1 1 h x t t ? ? ? ??? ? ?=?? =?? ax ax h x为此需要： 故可令： ?? ? ?= += hx hx t ax )( ?? ? ?= += aatx aatx 2/)( 2/)( h x即： 则方程<1>化为： 0),( 2 =?? ? hxhx u 2、求通解： 选择 ?? ? ?= += )( )( atx atx h x ?? ? ?= += ))(2/1( ))(2/1( hx hx at x即： ∫ =??=??∴ )(0 1 xhhh xx Cduu ∫ +=??=?? )()()( 211 hxxxxx fCduCu ><+= 4)()(),( 21 hxhx ffu即 故通解为： )()(),( 21 atxfatxfyxu ?++= 3、用初始条件定特解： 由方程<2>可得： ><=+ 5)()()( 21 xxfxf j 由方程<3>可得： )()()( )( )( )( )( 0 1 0 1 xdt atxdatxd atxdf dt atxd atxd atxdf t t y=??? ++++ = = )()()( 21 xxafxaf y=′?′ 即 ><+ =? ∫ 6)(1 )()( 0 21 x x Cda xfxf aay <5>式加上<6>式再除2，可得： 2)(2 1)( 2 1)( 0 1 Cd axxf x x ++= ∫ aayj <5>式减去<6>式再除2，可得： 2)(2 1)( 2 1)( 0 2 Cd axxf x x ??= ∫ aayj 2)(2 1 )(21)( 0 1 Cd a atxatxf atx x ++ +=+∴ ∫ + aay j 2)(2 1 )(21)( 0 2 Cd a atxatxf atx x ++ ?=? ∫ ? aay j 将上两式带入<4>式，得到： ><+ ?++= ∫ +? 7)(21 )]()([21),( atx atx da atxatxtxu aay jj 三、分析解答： 1、适定性： 含参变量求导公式： dt atxdatx dt atxdatx dtdt atx atx atx atx )()()()( )( ???++ +??=?? ∫∫ + ? + ? yy ayaay [ ] [ ])()(21 2 1 )()(2 atxatx dta atxatxau atx atx t ?+++ ? ?+ ?′?+′=∴ ∫ +? yy ay jj <8>由式<7> [ ] [ ])()(2 )()(2 2 atxatxa atxatxautt ?′?+′+ ?′′++′′=∴ yy jj <9> [ ] [ ])()(21 )()(21 atxatxa atxatxu x ??++ ?′++′= yy jj由式<7> [ ] [ ])()(21 )()(21 atxatxa atxatxuxx ?′?+′+ ?′′++′′= yy jj <10> xxtt uau 2=∴ 由式<9>、式<10>： [ ] )( )(21)()(21| 0 x daxxu x xt j aayjj = ++= ∫= 由式<7> [ ] [ ] )( )()(21)()(2| 0 x xxxxau tt y yyjj = ++′?′== 由式<8> (1) 所以： 解存在； (2) 所以是唯一的； 确定、的任意性已由和 )()(21 xxff yj (3) 设 ?? ? ?? ? == )( )(| )( )(| 2 1 0 2 1 0 x xu x xu ttt y y j j ， dyydjj ≤?≤? 2121 ， 则： aayay jj jj da atxatx atxatxuu atx atx∫ + ? ?+ ???+ +?+≤? )()(21 )()(21 )()(21 21 21 211 [ ]atxatxa +?+++≤ ddd 212121 )1( t+=d 综合①、②、③则解适定。 2、物理意义： ：)( atx?j (1) 设人在t=0时在x=c处看到： )()0()( cacatx jjj =??=? 若人以速度a行走： 则： t时他在x=c+at处，将看到： )]()([21 atxatxu +++= jj设 )()()( catatxatx jjj =?+=? 则： u代表正行波和反行波的叠加 代表以速度a沿x轴反向传播的波，称 为反行波 )( atx ?∴j )( atx +∴j 为正行波 (2) ∫ + ? = atx atx dau aay )(21设 ∫= xx dax 0 )(21)( aayy 若令： )()( atxatxu ??+= yy 则：综合①、②可知，达朗贝尔解表示正行波和反 行波的叠加。 四、例题： ?? ?? ? = = =? 2 2 )0,( sin)0,( 0 1 xxu xxu uau t xxtt 、求 解：由达朗贝尔公式 [ ] ∫ +?+ ?++= atx atx da atxatxu aa221 )sin()sin(21 )3(3cossin 222 taxtatx ++=上式 ?? ?? ? ><= ><= ><=?+ 3)0,( 2sin)0,( 1032 2 xxu xxu uuu y yyxyxx 、求 解： 0)32( 2 2 2 2 =??+?? ?+?? uyyxx 由上式可得： 0))(3( =???????+?? uyxyx 我们令： ?? ? ><?= ><+= 53 4 hx hx y x ? ? ? ??? ? =?? =?? ? ? ? ??? ? =?? =?? ∴ 1 1 1 1 h h x x y x y x <4>式+<5>式，得： yx +=x4 <4>式×3+<5>式，得： yx ?= 34h 再令： ?? ? ?=′ +=′ 3/yx yx h x 则： 0=′′hxu )()3( )(),( 2 1 ??+ +=∴ yxf yxfyxu )()(),( 21 hxhx ′+′=′′ ffu 由<2>式： xxfxf sin)()( 21 =+ 由<3>式： xxfxf =′?′ )(31)( 21 即： Cxxfxf +=+ 2)(31)( 2 21 Cxxxf 43)23(sin41)( 2 1 ++=∴ Cxxxf 43)2(sin43)( 2 2 ??= 2 2 )3(83)3sin(43 )(83)sin(41),( yxyx yxyxyxu ???+ +++= 则： 2 3 1) 3sin(4 3 )sin(41),( yxyyx yxyxu ++?+ += 五、小结： ?? ?? ? ><= ><= ><= = = 30| 20| 1 1 0 0 2 tt t xxtt u u uau 、 先用式<1>求出通解： )()( 21 atxfatxfu ?++= 再求特解，形如： [] ∫+= au 2121 2、行波法： (1) 它基于波动的特点； (2) 引入了坐标变换简化方程； (3) 优点：求解方式易于理解，求解波 动方程十分方便； (4) 缺点：通解不易求，是之有局限性。