第三章 斯一刘本征值问题 在第三篇曾设几个重要特殊函数微分方程 ( )22(1-)-2(1)01-(1)0()ddyxyxyl yxl yAdxdx??′′′++=→++=???? 2 22222:(-)0-0()ddynxxyxykxnyxykxyB dxdxxr ??′′′→++=→+= ???? 2 22 2(1-)-2(1)-0(1-)-(1)0() 1 1- mddymxyxyl yxyl yC dxdxxx ????′′′++=→++= ???????? 有共同特点 §1.斯一刘本征值问题 1. S—L方程 （A）、（B）、（C）均可表为： 1．定义 ()-()()()0ddykxqxyxxydxdx lr?? +=???? （１） ,()0,()0,()0 - axbkxqxx SL r l ≤≤≥≥≥其中 方程 为参数，通常称（1）为 2．任意二阶常微分方程 ()()()()0yxyxhxyxr′′′++=（２） -SL为均可化方程 ∵以 ()(2):Tx? ()()()()()()()0TyxTxxyxTxhxyxr′′′++= 而（1）→ [ ]()()()()-()()0kxyxkxyxqxxylr′ ′′+++= 对比得： ()( (3) ()()()(4) ()()-()()(5) TxKx TxxKx Txhxqxx r lr =? ? ′=? ? =+? （3）（4）： ()()'()TxxKrl= ()() (),ln()(),()() () xdxTx xTXxdxKxTxe Tx rrr ∫′ ====∫ . :-220egHemityxyyl′′′+= （7） ∴（7）→ 22--2()0xxddyeeyxdxdx l??+=?? ?? 2()2() Pxd xdx xKxeee? ?∫∫=== (1)定义：不是定解问题给定的，而是问题本身应 具有的边界条件 0, (2)()u jpj?=→Φ+=Φ 2 1(1)2(1)0 xxyxyl yy=±′′′??++=+→有限 (2)对于S—L方程（1） 当在边界上时有： ()0, ()0 :()0, ()0 ()0, ()0 KaKb orKaKb KaKb ==? ? =≠? ? ≠=? 2.自然边界条件 在 或 存在有限性自然边界条件xa= xb= [证]：设 和 为（1）的解，且有界，1()yx 2 ()yx 则 111()()()()()()0(8)kxyxqxyxxyxlr′??′?+=?? 222()()()()()()0(9)kxyxqxyxxyxlr ′??′?+= ?? 12(9)(8):yy??? 1221()()()()()()0yxkxyxyxkxyx ′′?????= ???? 1221() )0 d kxyyyy dx ??′′?=??即 又∵ 独立，∴12, yy 1 2 y y ≠常 (10) 21221 22 111 - () yyyyy C y kxy ′′??==≠ ???? 常 0 2112 1() x x CyydxC kxy ??=+ ????∫∴ 当 或 为0时，()ka ()kb 2y →∞ ∴ 2,xaby = →有限 积分：1221 () Cyyyy kx ′ ′?= 3．若 则（1）有周期性边界条件，()(),kakb= ()()yayb= 或 ()()yayb′′= 如：对于 2 , 1,2,nnn′′Φ+Φ==L ()1, (0)(2)1kxkkp=== 如：对于 2(), ()(1)Akxx=?式 ，确有(1)0k ±= 1xy =± →有限 1．S—L问题：称 , ()()()()0 () * ()()0 xab ddykxqxyxyxaxb dxdx dy yxkx dx lr abg = ????+=<< ? ???? ? +≠=? ? （） 为S—L本征值问题 2．S—L问题共性: 1(),(),kxCqxCxab∈∈=阶（1）若 或最多在上有一 解 1212...()().. ()nyxyxyxll≤≤ 数则应*）有本征值相有本征函 3.自然边界条件 20,1,2,;m ml ≥=L（） 2 0,3()() , b nma n mnyxyxdx Nmnr ≠?= ? = ?∫ （） 1 4()(), ()()()bmmmm a fxCyxCxfxyxdxr ∞ = ==∑∫（） ()()0(1),0- ()0,()0(2), XxXxxlSL XoXl l′′ +=<<? ? ==?问题1.例： ① ()? ()?qxxr==① ② 本征函数=? ?l = 2 ?lN = ③ ()[,]fxxol=∈ 义将数展开由定 之按本征函 ？ 解：∵（1）→ ()0ddX Xxdxdx l??+=???? ①∴ ()1, ()()1, ()0, ()1kxkoklqxxr===== ② 222 ,1,2,,()sinnnnxnXx ll ppl ===L 22 00 12sin1-cos 22l xlNxd dx ll pp??=== ????∫∫ ③ 1 sinn n nxxC l p∞ = = ∑ ∴ 1 2 0 2(1)sin nl n l nxlCxdx lnN p p +? ==∫ ∴ 12(1) sin n nx x nl p p p +∞ ? = ∑ 2．证明S—L本征值问题 , ()()()()()0 (1) ()()0 (2) xab ddykxqxyxxyx dxdx dy yxkx dx lr abg = ????+= ????? ? ++=? ? 的本征函数系具有加权的正交性： 2 ()()b mnnmn a yxyxdxNrd=∫ [证]:∵ ()()()()()0(3) ()()()()()0(4) m mmm n nnn dyd kxqxyxxyx dxdx dyd kxqxyxxyx dxdx lr lr ???+= ???? ???+= ???? (3)()-(4)():(-)()()() ()()-()() bb nmmnmnaa nm mn yxyxd xyxyxdx d dyddyxkxdxyxkxdx dxd dxdx llr?? ????= ?????? ?? ∫∫ 以 为例xa= ①若有第一类边界条件： ∴右边=0 ()0, ()0mnyaya== ②若有第二类： ∴右边=0 (0)0, ()0nmyya′′== [ ] ()()-()()()()-()()()()() ()()()()-()() bbn mnmnnmaa b mmnnma dyyxkxkxyxkxyxdxyxkxyxkxyxdx dx kxyxyxyxyxyx ′′′′= ′′′= ∫ ③若有第三类： ∵ [ ] [ ] ()()()() ()()()()()()()() ()()()() mnnm mnmnmnnm mnnnmm yxyxyxyx yxyxhyxyxhyxyxyxyx yxyxhyxyxyy ′′? =+?? ′′=+?+ 当时 ,∴右边=0xA= 0, 0AB== ④若有自然，则 ，∴右=0()0ka = 综①②③④，当 时，mn≠ ()0mnll?≠ ∴ 0 b mna yydxr =∫ 若 令 当具有第一类边界条件 时 于是 ,mmnl = mn→ ()0, ()0nmyaya=≠ 22()()()bbdx mnnnaayxyxdxyxNrr==∫∫ 22()(1)3. nnxx n n dHxee dx ?=?已知： 证：① 2 1 1 11 1 1 11 ()2() ()2()2()0 ()2() ()2()2()0 0 ()() 2! nn nnn nn nnn x mn n HxnHx HxxHxnHx HxnHx HxxHxnHx mneHxHxdx n p ? +? ? +? ∞ ? ?∞ ? =? ? ?+=? ? ? =? ? ?+=? ? ≠??= ?? ?∫ ② ③ ∵ 222()xnnNeHxdx ∞ ? ?∞ ==∫ L ①∵ (*) 22 0 ()txt n n eaxtn ∞ ? = = ∑ 22 2222- 22 - -- 0- - 1() !!!() ()(-1) !! txt xnxntx x nnn xxn n dnededaxeee ndnnd dx Hxdnee nndx x x xx = === == 令 ②2 1 ! 0 ():2 ! txt nn n Hxd tet dxn ? ∞ = ∑(*) 01 1 00 ()()2 !! nn nn HxHxtt∞∞+ == =∑∑ 1 1 ()():2 (1)!! 2()() n nn nn HxHxt nHxHx ? ? ′= ? ′=