§3.2幂级数 ( ) ( ) ( )2210 0 : bzabzaabza k k k -+-+=-? ￥ = 定义 ( ) 为中心的幂函数为以 b...... 33 +-++ bza ( ) 是常数和b,...2,1,0=ka k 一、收敛性:有类似实幂级数的able定理 ( ) 收敛在若定理 0 0 : Able.1 zzbza k k k =-? ￥ = 内绝对收敛则它在 bzbz -<- 0 ( )上一致收敛在 bzbz -<￡- 0rr 2.推论 ( ) 发散在若 1 0 zzbza k k k =-? ￥ = 内发散则它在 bzbz -<- 1 二、收敛圆和收敛半径 ( ) Rbzbza k k k =--? ￥ = 存在一收敛圆对于收敛圆 0 :.1 它绝对一致收敛当 Rbz <- 它发散当 Rbz >- 它不定当 Rbz =- ( )的收敛半径称为 ? ￥ = - 0k k k bzaR 收敛和发散区域不可能相间 2.收敛半径公式 1 lim +￥? = k k k a aR ?￥ = 0k kf由达氏判别法，对于 ?í ì > <=+ ￥? 发散 绝对收敛当 1 1lim 1 l f f k k k ( ) : 0 ?￥ = -k k k bza对于 ( ) ( ) ( )?í ì > <-×= - - + ￥? + + ￥? 发散 绝对收敛当 1 1limlim 111 bz a a bza bza k k kkk k k k ( ) ? ? ? ??í ì > < - +￥? +￥? 发散 绝对收敛 故当 1 1 lim lim k k k k k k a a a a bz 1 lim1 +￥? == k k k a a lR故 zzz k k k k -=?? ￥ = ￥ = 1 1, 00 并证的收敛半径例：求 一致收敛时故当显然 ? ￥ =+￥? <== 01 11lim k k k k k zzaaR ( ) q qa q qaaa nnn k k - -= - -=? = 1 1 1 11 0 等比数列Q zz zzz zn n n k k n n k k -=- -== < ￥?=￥?= ?? 1 1 1 1limlim 1 00 当 又 注意 :以上求半径公式对于幂级数缺项的 情况不能简单套用 的收敛半径例：求 ? ￥ = 0 2 22 1 n n n z 由达氏判别法 ( ) ( ) 2 22 2 2 2 12 12 2 2lim 2 1 2 1 lim z z z n n nn n n n n ×= + ￥? + + ￥? ?í ì > <= ￥? 发散 绝对收敛 1 1 2 1lim 2 2 zk ?? ?íì > < 发散 绝对收敛所以 2 2 2 2 2z ?í ì > < 发散 绝对收敛 2 2z 故R=2 ( ) 就会错若简单的用 4 2 1 2 1 limlim 12 2 1 === + ￥?+￥? n n nn n n a aR 原因在于比值中出现的不再是│z-b│一次方而是 二次方。 P61.2(1): ( ) Ra a k ak ak k k nk k n k n k =× ÷???è? + =+ +￥?+￥? 11 11 1lim 1lim 三、性质 总的来说：幂级数具有绝对收敛和一致收 敛级数具有的一切性质，如： ( ) 内解析在和函数 Rbzbza k k k <--? ￥ = 0 .1 () ( ) ( )?? òò ￥ = +￥ = -+=-= 0 1 0 1k kk k l k k bzk adzbzadzzf且 ()() ( )?￥ = --= 0 1 k k k k bzkazf RRR == 微积 2.可逐项相乘 既然幂级数在收敛园内其和函数是一解析函 数，我们自然想知道任意的解析函数 是否一 定可展开为幂级数?下一节Taylor展开定理将回答 我们的问题。 )(zf