§3.5单值函数的孤立奇点 1.函数的奇点 () ()的孤立奇点是别无其他奇点则 外内除孤立奇点：若 zfbzxf bbz = <- e () ( )11.. -= zzzfge 010 =<?= zzz 时仅有奇点当孤立奇点 Q 1111 =<-?= zzz 时仅有奇点当孤立奇点 Q 是非孤立奇点外的奇点则都还有除 内在非孤立奇点： bzb bz = <-<>" ee 00 () 奇点?== 0;1 sin 1.. z z zfge ( )也是奇点,...2,1,0,1 ±±== nnz p 是非孤立奇点时且当 001 =\?=￥? znzn p 2.孤立奇点的分类 ( )的孤立奇点若 xfbz ?= () ( ) RbzbzCzf k k k <-<-=? ￥ -￥= 0则 (1).可去奇点： () ( ) RbzbzCzf k k k <-<-=? ￥ = 0, 0 若 ( ) ( )无负幂的可去奇点则 zfbz ?= () () 奇点不定 ?=== 0,0,sin.. zzfzz zzfge ( ) ( ) ￥<<+ -= ?￥ = + zk zzz z k kk 0,!1211sin 0 12 ( ) ( ) 可去奇点?=\+ -= ?￥ = 0!121 0 2 zk z k kk 注意：① ( ) 点不可导在为奇点 bzfbz ,=Q ( )( ) !k bfC k k 1 ②b为可去奇点的充要条件 () ( ) () 有限=>?-=> ? ￥ -￥= ? zfiibzCzfi bz k k k lim ( ) 充分小邻域内有界在bzfiii >? 只要论证由i>→ii>→iii>→i>即可 () ( ) 0 0 limlim CbzCzf k k kbzbz =-= ? ￥ =?? Q 而由极限性质可知,总 有当 dd <-<$ bz0, ( ) ( ) ( ) 000 , CCzfzfCzf +-=<- 即e ( ) MCCCzf 令 =+<+-￡ 0000 e 再考虑f(z)的主部 ( ) ( ) KK +-++-+- --- n n bz C bz C bz C 2 21 ( ) ( ) ( ),...2,12 1 1 --=-= ò + ndb f iC l nn xx x p 可充分小内的圆又含于而 zxd =-<< bz-bl 0 ( ) ( ) nnl nn MMd b f iC zpzzpxx x p =××￡-= ++ò 22 1 2 1 11于是由 0,...2,1 =--= nCn 时即当 由此,可不必将函数展开而判断b是否为可去奇点 ( )有限11coslimsinlim.. 00 == ?? z z zge zz Q 可去奇点?=\ 0z ③可去奇点常不作奇点看 ∵若令F(z)= ( ) bzzf 1 ( ) bzzf bz = ? lim ( ) 中解析在可导在则 RbzbzzF <-= , () ( ) ( )( )!,, k zFCRbzbzCzF k k k k k =<--= ? ￥ -￥= ( )有限项负幂0,1 13 - mCm () ( ) ,0, RbzbzCzf k k k <-<-=? ￥ -￥= 若 则z=b→f(z)的m阶极点,1阶极点又称为单极点。 () ( ) 10,111111.. 0 222 << -= - -×= -= ? ￥ = zzzzzzzzfge k k ∴z=0→二阶极点 1 () ( ) ( ) =+-×-=-= 11111112 zzzzzf而 (2).极点 ( )[ ] ( )( )?? ￥ = ￥ = -----= 00 11111 n nn k k zz z 注意：①定义指的是奇点的去心邻域。 () ?￥ = += - ×=-×=> 0 332 1 11 11 1 11,1 k kz z zzzzfz如当 无法用极点定义和可去奇点定义判断它是什么 奇点。 b为极点的充要条件: () ￥= ? zf bz lim 由此可判断b是否为极点，但不能判断是 几阶(不必展开)。 () pnzzzzfge == 有极点2sin.. ￥= ? z z nz 2sin lim p Q ②b为m阶极点的充要条件 () ( ) () ()( )m mk k k bz zzfbzCzf -=?-=? ￥ -= j () () 阶零点为以 mbzzfzg ==? 1 () ( ) ( )( ) ( )bzCCbzCbzCbzCzf mmmm -++-++-+-= ----- 10111 ...1 Qo ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )mmmm bz zbzCC bz -=+-+-= --- j...1 1 () () ( )() ,12 zbzzfzg m j -==又o () () 0 11 1￡<- zRRbzz jj 内解析且在其中 ( ) ( ) ( )( ) ,0,...,0,0 1 ==￠=\ - bgbgbg m ( )() () 0 ! 1= b mbgm j而 () () 阶零点为以 mbzfzg 13 =Qo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1-=\ bkzzbzzg m jjj 内解析且在 () ( ) ()zbzzf m j 11 ×-=() ( )( ) kzbzCCz mm ?+-+= --- ..., 1 1j而 () ( ) ( )( ) bzCbzCbzCzf mmmm -++-+-\ ----- 111 ...:的负幂部分为 由第二条件可不必将函数展开而立即判断b为f(x) 的几阶极点。 () ( ) 中解析在 1011;1111.. 2 2 <<--=-= zz z zzzzfge Q 为二阶极点0=\z () ( ) 中解析在而 1101,1 1 1 1 2 2 2 <-<-=-= zzz z zzzf 为一阶极点1=\ z ( ) ,的极点为 zfbz =③若 则z=b为f(x)的n阶极点。 ( ) ( )[ ] 非零有限值极点且 =- ? zfbz n bz lim ∵由b为f(x)的n阶极点的充要条件有 ()( ) () ( ) 中解析在 Rbzbzazbzzf k k k n <--==- ?￥ = , 0 j ( )( )[ ] ( ) 0lim 1=-? bbzzf n bz j 由此判断某些函数的极点的阶数更为方便。 ,sin.. 2 zzge ( )是极点,...2,1,0;sinlim 2 ±±==\￥= ? nnzzz nz p p Q ( ) zznz nz 2sin lim ×- ? p p 而 ( ) znzzz znz nznz 2sin 2lim cossin2lim pp pp -=+-= ?? ?? ?íì 1￥ === ? 0, 0,12sin2lim 0 n nzz z ( ) ( ) ( ) = -+-=×- ?? zz nzznz z znz nznz cossin2 2lim sinlim 2 2 2 ppp pp 而 ( )( ) z nzznz nz 2sin 2lim pp p -+-= ? ( )( ) ( ) ( ) z znznznzz nz 2cos2 12lim + -×-++--+= ? ppp p ( )02cos2 22cos224lim 222 1==+ -+-= ? nnnnz nznz nz ppppp p 为二阶极点为单一阶极点， pnzz ==\ 0 ( ) 值有否可能为非零的有限问题 zznz nz 3 3 sinlim: ×-? pp 阶极点不可能又是二阶又是三答：不行， pnQ (3)本性奇点 () ( ) ( )无限项负幂，若 RbzbzCzf k k k <-<-= ? ￥ -￥= 0 ( )的本性奇点则 zfbz ?= ￥<<+++= ÷???è? = ? ￥ = zzzkzege k k z 0...; !2 111 ! 1 .. 2 0 1 本性奇点2 1 0 ez ?=注意:b为本性极点的充要条件 ( ) ( )不存在不定= ? zf bz lim ( ) 可去奇点有限 ??= ? bzf bz limQ ( ) 极点??￥= ? bzf bz limQ ( )不可能为零而 zf bz ? lim ( ) 本性奇点不存在 ??= ? bzf bz limQ ? ? ? ? ? í ì ?í ì = ? ?í ì = ?￥ = - + ? 0 0,0 0 0, lim.. 1 0 y x y x ege z z 3.无穷远点的性质 ( ) 时当若为解析点 RzR >>-￥ ,0:1 ( ) ( ) 解析。在则处处可导 ￥=zzfzf , () ( ) ()可导当 zfzzzzfge ,1,11.. 2 >-= 处解析在 ￥=\ z ( ) 时当若为孤立奇点 RzR >>-"￥ ,0:2 ( ) 别无奇点除 ￥=zzf ( )的孤立奇点则中解析即在 zfzzR ?￥=￥<< , () 别无奇点除当 ￥>= ,0,sin.. zz zzfge ()() tzzzf 1:3 =￥= 令的展开在 0=?￥= tz则 () ()ttfzf j=÷ ? ?? è ?? 1 0=?> tRz d<<?￥<< tzR 0 () ?? ?íì ?￥<< ?> 展的 展的在 LzR TRzzf () ?? ?íì << < 展的 展的在 Lt Ttt d dj 0 ( ) dj <+++= ttataat ...2210若 () Rzzazaazf >+++= ...11 2210则 () ( ) ......11... 1011 +￠+++￠+￠+= -+-- tCCtCtCt kkkkj () ( ) ...1...... 1011 +￠+++￠+￠+= -+-- zCCzCzCzf kkkk则 ( ) ￥<<++++++= - +-- zRzCCzCzC k k k k ..., 1...... 10 1 1 解： () () 11 1 1,1 -=-== t t t tzftz j变为了则令 () 1,11 0 <-=-×-= ? ￥ = tttttt k kj又 () 1,1111 2 0 1 >-----=-= ? ￥ = + zzzzzzf k k k LL () :00 内的罗朗展开为的去心邻域在设 dj <<= ttt () LLLL +￠++￠++￠++￠= -- kkkk tCtCCtCtCt 101j d<<t0 () 的邻域的泰勒展开在求 ￥=-= zzzf 11例1 ( ) :的罗朗展开为在则 ￥=zzf () LLLL +￠++￠++￠++￠= -- kkkk zCzCCzCzCzf 101 LLLL +++++++= -- kkkk zCzCCzCzC 101 ÷???è? =￥<< d1, RzR 例2 () 罗朗展开在孤立奇点无穷远点的求 z zzf sin= 解： () () 又变为了则令 ;1sin,1 tttzftz ×== j () ( )( ) ( )( ) ￥<<+-=÷???è?+-×= ?? ￥ = ￥ = + ttktktt k k k k kk 0,1!12 11!12 1 0 2 0 12 j () ( )( ) ￥<<+-=? ￥ = zzkzf k k k 0,!12 1 0 2故有 由上看到在∞的无论是T展还是L展，在形式上 都是以z=0为中心展开 (4) ∞为孤立奇点的分类 () ( ) ;221011 LLLQ ++++++= ---- zCzCCzCzCzf mmmm ￥<< zR ( ) LLL ++++++= - --- 2 21 0 1 1 z C t CCtCtC m m m m Rt 10 =<< d () ( ) ( )无正幂若 LL ++=>\ ---- 11 11 mmmm zCzCzfi 可去奇点则 ￥=z ( ) ( ) ( ) ( )?? ￥ = ￥ = + + -= + -×=× 0 2 0 12 1 !12 11 !12 11sin.. k k k k k k zkzkzzzge 可去奇点无正幂， ?￥=\￥<< zz ;0 是否为可去奇点问 ￥=>= ? ￥ = zzzke k k z ,0,1 ! 1 0 1 不是奇点，不是，答 ￥=zQ: () ( )有限项正幂若 ? ￥ -= => mk k k zCzfii 极点则 ?￥=z ( ) ￥<++= -- zazazazPge nnnnn 011.. L () ( )有无限项正幂若 ? ￥ -￥= => k k k zCzfiii 本性奇点则 ?￥=z ?,,!1 0 是否为可去奇点问 ￥=￥<= ? ￥ = zzzke k kz 不是奇点不是，答 0: