复习上次课 1.建立了定义 ( )[ ] ( ) ( )∫∞∞? ? == ww GdxexfxfF xi ?? ? ( )[ ] ( ) ( )∫∞∞?? == xfdeGGF xi www w1 2.(常用)性质 ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]xfFixfF nn w= ()[ ] ()[ ]xfFixfF xx w1 0 =∫ [ ] [ ] [ ]2121 fFfFffF ?=? §4.2 傅里叶变换法 用傅氏变换解数理方程 一、波动问题 ）（10,,02 >∞<<?∞=? txuau xxtt ( ) ）（20 xu t j== ( ) ）（30 xu tt y== 曾由行波法求得 ( ) ( ) ( )[ ] ()∫+?+?++= atx atx daatxatxtxu aayjj 2121, 现用傅氏变换法求解 为此对定解问题各项施行傅氏变换 ( ) 0, 2 2 2 2 2 =????? ∫∫ ∞∞? ?∞∞? ? dxexuadxetxut xixi ww ( ) ( )∫ ∫∞∞? ∞∞? ?? = dxexdxexu xixi ww j0, ( ) ()∫∫ ∞∞? ?∞∞? ? =?? dxexdxexut xixi ww y0, 记 ( ) ( )tudxetxu xi ,~, ww =∫ ∞ ∞? ? ( ) ( )wjj w ~=∫ ∞∞? ? dxex xi ( ) ( )wyy w ~=∫ ∞∞? ? dxex xi 则 ( ) ( ) ()40,~, ~ 2 2 2 =+ tuadt tud www ( ) ( ) ( )5~,~ wjw =tu ( ) ( ) ( )6~0,~ wyw =tu 解(4)得 ( ) ( ) ( ) ( )7sincos,~ taBtaAtu wwwww += (5)代入(7): ( ) ( )wjw ~=A ( ) ( ) ( ) ( )7sincos~,~ ′+=∴ taBtatu wwwwjw (6)代入(7): ( ) ( )wyww ~=aB () ()wyww ~1aB =∴ ( ) () () tataatu wwjwwyww cos~sin~1,~ +=∴ ( ) ( )[ ]tuFtxu ,~, 1 w?= ()[ ] () ??????+= ?? taaFtaF wwwywwj sin ~ cos~ 11 由上次例题 ( ) ( )[ ]?????? ?++= ? atxatxFF jj211 ( ) ( )[ ] ()∫+?+?++= atx atx dxxaatxatx yjj 2121 () ??????+ ∫+ ? ? atx atx daFF xxy211 由此我们看出傅氏变换的解题三大步骤: 一、对定解问题各项实行傅氏变换 常微 分方程(选择恰当的变量) 二、解常微分方程 三、对解进行傅氏逆变换 → 二.输运问题 .1 ( ) ( )tudxetxu xi ,~, ww∫∞ ∞? ? =记 ( ) ( )∫∞ ∞? ? = tfdxetxf xi ,~, ww 则 () ( )∫∞ ∞? ? = wjj w ~dxex xi ( ) ( ) )10(~0,~ wjw =u ( ) ()9,~~ ~ 22 tfua dt ud ww =+ ( ) ( ) ( )80, xxu j= ( ) ( )7,2 txfuau xxt =? ( ) ( ) ( )xQyxpxy =+′对于Q () () ?????? +∫∫= ∫? cdxexQexy pdxpdx有 ( ) ( ) ?????? +=∴ ∫? t ata cdefetu 0 2222 ,~,~ ttww tww ( )wj~=c ( ) () ( ) ( )∫ ??? +=∴ t tata defetu 0 2222 ,~~,~ ttwwjw tww 又由(10): ( ) ( )[ ]tuFtxu ,~, 1 w?= ( )[ ]taeF 22~1 wwj ??= ( ) ( )[ ]∫ ???+ t ta defF 0 1 22,~ ttw tw [ ] ∫ ∞ ∞? ??? = dxeeeF titata www p 2222 2 11 ( ) ( ) [ ][ ]tata eFxFe 2222 1~ ww jwj ??? ?=而 ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ]twtw ttw ????? ?= tata eFxfFef 2222 1,,~ ∫ ∞ ?= 0 cos1 22 tdxe ta wp w ? ? ? ? ? ? ? ? =∫∞ ?? 0 4 2 2 2 1cos aebxdxe a b ax pQ ( )112 1211 2 2 2 2 4 2 4 ta x ta x etatae ?? =? ppp ( )[ ] ( ) ( )ttw tp ? ???? ?= ta x ta e taeF 2 2 22 41 2 1 ( ) () ( )tpj ??= taxtxu 2 1, ( ) ( ) ( )∫ ????+ t d ta x etaxf 0 42 2 2 1, tt tpt ( ) ( ) ( ) txtx tp t x ddefta ta x t ? ?? ∞ ∞?∫ ∫? + 2 2 4 0 ,12 1 () ( ) ∫∞∞? ?? = xxjp x deta ta x 2 2 4 2 1 2. 02 =?? uaut ()rut rj==0 ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∞ ∞? ?? == turdetrutruF ri ,~,, ww rrrr rr记 ()[ ] () ( )∫∫∫∞ ∞? ?? == wjjj w rrrr rr ~rderrF ri [ ] ∫∫∫∞ ∞? ???? ? ? ??? ? ? ?+ ? ?+ ? ?= rde z u y u x uuF ri rrrwD 2 2 2 2 2 2 注意到 ( )∫∫∫∞ ∞? ++??? ? ? ??? ? ? ?+ ? ?+ ? ?= dxdydze z u y u x u zyxi 321 2 2 2 2 2 2 www ∫∫∫∞∞? ∞∞? ????????? ??+??+??= dzdyedxeezuyuxu ziyixi 3212 2 2 2 2 2 www ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞ ∞? ∞ ∞? ?? ? ?? ? ? ?+ ? ?+= 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ,,~,,~,,~ z zyu y zyuzyui wwww dzdyee ziyi 32 ww ??? dze zi 3w?? ( ) ( ) ( )∫∞ ∞? ?? ? ?? ? ? ?+??= 2 21 2 21 2 221 2 1 ,,~,,~,,~ z zuzuzu wwwwwwww ( ) ( ) ( )321233212232121 ,,~,,~,,~ wwwwwwwwwwww uuu ???= ( ) ( ) ( )?=?= wwwwww ruu ~,,~ 23212 于是 ( ) () 0~,~ 22 =? www rr ua dt tud ( ) ( )wjw rr ~0,~ =u 对照(9),(10)的解有 ( ) ( ) taetu 22~,~ wwjw ?= rr ( ) ( )[ ]tuFtru ,~, 1 wrr ?=∴ ()[ ]taeF 22~1 wwj ??= r ( ) [ ][ ]taeFrFF 2211 ~ wj ??? ?= r 注意到此处 [ ] ( )[ ]tata eFeF 322212222 11 wwww ++???? = ta zyx eta 2 222 4 3 2 1 ? ++? ? ?? ? ?= p(11) ( ) ( ) ()∫∫∫∞ ∞? ?? =∴ 141233 2 2 1 8 1, rder tatru ta rr rrr rr jp 三、稳定问题 ( )zyxu ,,1 0 re?=? ( ) ( )ruzyxu r=,,记 ( ) ()rfzyx v=,,1 0 re () ( )ww rrr rv urderu ri ~=??∞ ∞?∫∫∫ () ()ww rrr rr frderf ri ~=∫∫∫∞ ∞ ?? ( ) ( )www rr fu =~2则 () ()2 ~~ w ww rr fu = ()[ ] ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ??= ? 2 1 1 wFFrfF r ()? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?= ? rfFF r 2 11 w rrFrF rQ ppww p 4 1 4 11,41 2 1 2 ==?? ? ?? ?∴= ?? ? ?? ? ? ( ) ( )[ ]wrr uFru ~1?=∴ ()?????? ?= ? rfrFF rp411 ( )∫∫∫∞ ∞? ′′? ′= rdrr rf rrr r p4 1 傅氏变换习题课 一、求函数的傅氏变换或逆变换 定义: ()[ ] ()∫∞ ∞? ?= dxexfxfF xiw () ()[ ]∫∞ ∞? = dxexfFxf xiwp21 0?sin.1 >=? ? ? ?? ? a x axF求 ?? ? ?? ? x axF sin:由定义解 ∫∞∞? ? ?? = dxeixee xi iaxiax w 2 ( ) ( ) ∫∞∞? +?? ? = dxixee xaixai 2 ww ( ) ( ) ( ) ( )∫∞ ∞? +++??+?= ix xaixaxaixa 2 sincossincos wwww ( ) ( ) ><++?= ∫∫ ∞∞ 1sinsin 00 dxxadxx xa ww 由留数定理一章知 ∫∞ = 0 2 sin pdx x x ( ) ( ) ( )∫∫ ∞∞ =∴ 00 sinsin axd ax axdx x ax 0,2 >= ap ∫∫ ∞∞ ?=?=? 00 2sin)sin( pdxxaxdxx ax而 ()?=∫∞ 0 sin dx x Ax即 0,2 >A p 0,2 <? Ap 故对于本题， ( ) 0,0 00,.1 >+>? <>> ww www aa ora 均有 则无论若 ( ) dx x xa∫∞ ? 0 sin w ( ) ><=+= ∫∞ 2 2 sin 0 pw dx x xa 有从而由 ><>< 2,1 ppp =+=?????? 22sinxaxF 故由(*) ( ) ,.2 w=a若 ( )∫∞ =? 0 0sin dxx xa w故有 aaa aa 2,0 ,:0. =+=? => ww ww 从而有时有则当 ( )∫∞ =+ 0 2 sin pw dx x xa而 2 sin p= ?? ? ?? ? x axF代入<1>得 0,2 ,:0. =+=? ?=< ww ww aaa ab 从而有时有则当 ( )∫∞ =? 0 2 sin pw dx x xa所以 ( )∫∞ =+ 0 0sin dxx xa w 2 sin p= ?? ? ?? ? x axF 时有知当 w=a 代入<1>亦有 2 sin p= ?? ? ?? ? x axF 由①,② ( ) ,.3 w<a若 0,0 ,0 >+<? > ww w aa 时则①当 ( )∫∞ ?=? 0 2 sin pw dx x xa此时 ( ) 2 sin 0 pw∫∞ =+ dx x xa 0sin =? ? ? ?? ? x axF从而有 0,0 ,0 <+>? < ww w aa 时则②当 ( ) 2 sin 0 pw ?=+∫∞ dx x xa 2 )sin( 0 pa =?∫∞ dx x xx从而有 0sin =?????? x xF a故 2.在量子力学中一维体系中的一个状态在坐标表象 中的波函数为 () ∫∞ ∞? = dpepcx x pi h h )(2 1 py 求该状态在动量表象中的波函数 )( pc () ()∫∞ ∞? ?? ?? ? ?= hh hQ h pdepcx xpi p p py 2 2 2 1:解 故由傅氏变换公式有 : () ()∫∞ ∞? ?= dxexpc pi hh yp2 () ()∫∞ ∞? ?= dxexpc pi h h yp2 1故 ( ) ( )[ ]yxF rectrect:试证 ( ) ( )yx ff sincsinc= p w p w 2,2 21 == yx ff其中 () sincsinsinc 函数为x xx pp= ( ) =xrect而 2 1x1, ≤ 其他0, 为矩形函数 1 2 1 2 1 2 1? ( ) ( ) =yx rectrect:Q证 2 1, 2 11, ≤≤ yx 其他0, ( ) ( )[ ]yxF rectrect∴ () ()[ ]∫∫∞ ∞? +?= dxdyeyx yxi )( 21rectrect ww ∫∫? ? ??=21 2 1 2 1 2 1 21 dydxee yixi ww ?? ? ?? ? ??? ?? ? ?? ? ??= ?? 22 2 22 1 2211 11 wwww ww iiii ee ieei 2 2 1 1 2sin22sin2 w w w w ?= ??= y y x x f f f f p p p p sinsin ( ) ( )yx ff sincsinc= wwwww =++==++= 232221222 ,4. rzyxr设 () () ()mmwpwp m 222 412,411: +=??????=?????? ?rerFrF证明 P214.7 ( ) ∫∫∫ ∞= 0 2 0 0 2cos 23 sin 1 2 4 p p qw wjqqw wp p ddde ri ...= ( ) ∫∫∫ ∞ ∞? ?? =? ? ? ?? ? w w p pw p w vvv deF ri 232 1 4 2 14:提示 二、傅氏变换的有关性质及其应用 ( )[ ] ( ) ( )( ) 1-n0,1,...,m;0,1. === ±∞→www mGGxf设 ( ) ( )[ ] ( ) ( )4.214P,...2,1,-: == nGxfixF nn w试证 ()[ ] () ()xfdeGGF xi == ∫∞ ∞? ? ww pw w 2 1 : 1Q证 ( )[ ] ()∫∞ ∞? ? ′=′∴ ww pw wdeGGF xi 2 11 ()∫∞ ∞? = wp wdGe xi21 () ()∫∞ ∞? ∞ ∞??= wwpwp ww deixGGe xixi 2 1 2 1 ()xfix)(?=( ) ()∫∞ ∞? ?= wwp wdeGix xi21 (*) ()[ ] ()( ) ()[ ]www GixFGFGF ′?=?????? ′′=′′ ??? 111 (*) ()xfix 2)(?= 仿此不断做下去即得证 ( ) ( ) > <<< +=+?∫ ∞ ∞? 1,0 ,1:.2 2222 ba bxax df x xx 已知 ( ) ( )p214.3?: =xf问 ( ) ( ) ()∫ ∞ ∞? + ?=+? ,1 2222 axxfdax f xxxQ ( ) ( ) () ?? ? ?? ? +?=?? ? ?? ? +?∫ ∞ ∞? 2222 1 axxfFdax fF x x xQ ()[ ] ?????? +=?????? +? >< 22 1 22 11 bxFaxFxfF ()[ ] ?????? +?????? +=∴ 2222 11 axFbxFxfF ∫∞∞? ? +=?? ? ?? ? + dxax e axF xi 2222 1 w而 ∫∞ ∞? + = dxax x22cos2 w () iaazzf z ±??→?+= ∞→ :,01 22 奇点Q :故由留数理论知 iaz zi az eires axF =+=?? ? ?? ? +> 2222 2 101 wpw ，若o ae a wp ?= iaz zi az eires axF ?=+=?? ? ?? ? +< 2222 2 102 wpw ，若o ae a wp= :21 。。、综 ae aaxF wp ?= ?? ? ?? ? + 22 1 本题知识点:①卷积定理,②留数理论 三、傅氏变换法 1.求解上半平面的狄氏问题 ><>=? 10,0 yu () ><=><= ∞→+= 30lim,2 220 uxfu yxx ( ) ( )[ ] ( )yuyxuF ,~,1: w=记解 ( )[ ] ( )wfxfF ~= ( ) () ( ) 0, ~~ 2 2 2 =+→ dy yudui www ( ) >′<=? 10,~ ~ 2 2 2 yudyud ww即 则<1> ( ) ( ) >′<=>→< 2~0,~2 ww fu ( ) >′<→>→< ±∞→ 30,~3 yyu w ( ) ( ) ( ) ( ) yy eBeAyu ww www ?+=>′< ,~12 有由 >′< 3由 ( ) 00 => ww A时当 ( ) 00 =< ww B时当 ( ) ( ) yeCyu www ?=∴ ,~ ( ) ( )ww fC ~= ( ) ( ) yefyu www ?=∴ ~,~ 有由 >′< 2 ( ) ( ) ( )[ ]yuFyxu ,~,3 1 w?= ( )[ ]yefF ww ??= ~1 ( ) [ ][ ]yeFxfFF w??? ?= 11 [ ] ∫∞ ∞? ??? = w p www deeeF xiyy 2 11 ( ) ( )∫∫ ∞? +∞ +? += 0 0 2 1 2 1 w pwp ww dede ixyixy ?? ? ?? ? +++? ?= ixyixy 11 2 1 p 2222 1 2 1 yx y xy ixyixy +=?? +???= pp ( ) ( )( ) xx xp ∫∞ ∞? +? =∴ dyx fyyxu 22, 、2 ><>∞<<?∞=+ 10,,02 txuau xxxxtt ( ) ( ) ><= 20, xxu j ( ) ( ) ><′′= 30, xaxut y ( ) ( )[ ] ( )tutxuF ,~,1: w=记解 ( )[ ] ( )wjj ~=xF ( )[ ] ( )wyy ~=xF 则 ( ) ( ) ><=+ 40,~,~ 42 2 2 tuadt tud www ( ) ( ) ><= 5~0,~ wjwu ( ) ( ) ><?= 6~0,~ 2 wyww au ( ) ( ) ( ) ( ) taBtaAtu 22 sincos,~42 wwwww +=><由 ( ) ( )wjw ~:5 =>< A由 ( ) ( )wywww ~:6 22 aaB ?=?><由 ( ) ( )wyw ~?=∴B ( ) ( ) ( ) tatatu 22 sin~cos~,~ wwywwjw ?=∴ ( ) ( ) ( )[ ]tuFtxu ,~,3 1 w?= ( )[ ] ( )[ ]taFtaF 2121 sin~cos~ wwywwj ?? ?= ( ) [ ][ ]taFxFF 211 cos wj ?? ?= ( ) [ ][ ]taFxFF 211 sin wy ?? ?+ [ ] [ ]taFtaF 2121 sincos ww ?? 和欲求 [ ]tiaeF 21 w?不妨求 ∫∞∞?= wp ww dee xitia 221 ∫∞∞? ?? ?? ? ? + = wp ww de at xiat 2 2 1 ∫∞∞? ?? ?? ? ? +? = wp w dee at xiat at xi 222 24 2 1 xw =?????? + atxat 2令 ∫∞∞? ? = xp x deate i at xi 2 2 4 2 1 ∫∞?= 04 2 21 xp x deeat iat xi 2 4 0 2 p pi ix edxe =∫∞ 2 1 44 2 p p pi at xi eeat ?= §5.3 ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ?+ ??? ? ??? ? ?= at xi at x at 44sin44cos2 1 22 pp p ( ) ( )∫∞ ∞? ? ? ? ? ??? ? ??= xxpxj p datxattxu 44cos2 1, 2所以 ( )∫∞ ∞? ? ? ? ? ??? ? ??? xxpxy p datxat 44sin2 1 2 、3 ><>∞<<?∞= 10,,2 txuau xxt ( ) ><= 2sin0, xxu ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ( )wjw ~sin,,~,1: == xFtutxuF记解 则 ( ) ( ) 0,~, ~ 22 =+ tua dt tud www ( ) ( )wjw ~0,~ =u ( ) ( ) ( ) taetu 22~,~2 wwjw ?= ( ) ( ) ( )[ ]tuFtxu ,~,3 1 w?= [ ][ ]taeFxFF 2211 sin w??? ?= [ ] ∫∞ ∞? ??? = w p www deeeF xitata 2222 2 11 ()?>=∫∞ ?? 0 4 0 2 1cos 22 aebxdxe aabax p由 ( )∫∞ ∞? ?= ww p w dxe ta cos 2 1 22 ta x ta x etatae 2 2 2 2 4 2 4 2 1 2 11 ?? =?= p p p ( ) ( )∫∞ ∞? ? ?= xx p x dxetatxu ta sin2 1, 2 2 4所以 [ ]∫∞ ∞? ? ?= xxx p x dxxeta ta sincoscossin2 1 2 2 4 ∫∞∞? ?= xxp x deta x ta cossin 2 2 4 taeta x ta 2 1 2 2 1sin p p ??= xe ta sin21 2 1? = (*)